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ANALISIS MATEMATICO II
S O L U C IO N A R IO D E M ID O V IC H
T O M O I I
CO
W n
n - 
♦ IN T E G R A L IN D E F IN ID A
♦ IN T E G R A L D E F IN ID A
♦ IN T E G R A L IM P R O P IA
♦ A P L IC A C IO N E S
E D U A R D O E S P IN O Z A R A M O S
WWW.SOLUCIONARIOS.NET
INDICE
C A P Í T U L O IV
INTEGRAL INDEFINIDA
Pag.
1.1. Reglas Principales para la Integración. 1
1.2. Integración mediante la Introducción bajo el Signo de la Diferencial. 8
1.3. Métodos de Sustitución. 45
1.4. Integración por Partes. 57
1.5. Integrales Elementales que contienen un Trinomio Cuadrado. 79
1.6. Integración de Funciones Racionales. 88
1.7. Integrales de algunas Funciones Irracionales. 116
1.8. Integrales de las Diferenciales Binómicas. 129
1.9. Integrales de Funciones Trigonométricas. 134
1.10. Integración de Funciones Hiperbólicas. 157
1.11. Empleo de Sustitución Trigonométricas e Hiperbólicas para el
Cálculo de Integrales de la forma JR(x, Vax1 +bx +c)dx. 161
’ 1.12. Integración de diversas Funciones Trascendentes. 167
1.13. Empleo de las Fórmulas de Reducción. 176
1.14. Integración de distintas Funciones. 180
C A P ÍT U L O V
LA INTEGRAL DEFINIDA
2.1. La Integral Definida como Limite de una Suma. 218
2.2. Cálculo de las Integrales Definidas por Medio de Indefinidas. 223
2.3. Integrales Impropias.
234
2.4. Cambio de Variable en la Integral Definida.
248
2.5. Integración por Partes.
261
2.6. Teorema del Valor Medio.
268
C A P Í T U L O V I
.3 1 ,.
[A PLIC A C IO N ES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
3.1. Areas de las Figuras Planas.
276
3.2. Longitud de Arco de una Curva.
310
3.3. Volumen de Revolución.
325
3.4. Area de una Superficie de Revolución.
347
3.5. Momentos, Centros de Gravedad, Teorema de Guldin. 357
3.6. Aplicaciones de la Integral Definida a la Resolución de problemas
de Física.
377
Integral Indefinida
1
C A P Í T U L O I V
4 . I N T E G R A L I N D E F I N ID A .
4.1. REGLAS PRINCIPALES PARA LA INTEG RACION.
0 F '(je) = / ( x) entonces j"f(x)dx = F(x) +c , c constante.
( 2 ) J kf(x)dx = k j / ( x)dx, * es una constante.
@ J(/(jc)±g(x)<¿x = jf(x )d x ± ^ g (x )d x .
© Si J /( x > k = F ( x ) + c y u = y W . se tiene: ^ f ( u ) d u - F ( u )
TABLA DE INTEGRACION INMEDIATA.
Sea u una función de x.
© J ^ = 1 „ | „ | +C © J ^ T = r rc ,8 ,7 )+ c
2
Eduardo Espinoza Ramos
1031
J u 2 +a
du
y[a2- u 2
audu = -
■=are. senf u '
+c = -are. eos
-+c , a > 0
+ c, ;a > 0
10) e udu= eu +c
J
12) Ieosu du = senu+c
J = ln(w+ y¡u2+a)+ c ,a ? í0
J
J ln(fl)
^szn(u)du =-cos(m)+c (l2) j"
jtg u d u = —ln|cosw|+c =lnjsecMj+C! ^4) tgu.du = ln|senm|+c
Jsec u.du = tgu +c Jcsc2u.du = -ctg u +c
Jcscu.du =lnjsec¿¿+tgu +c (l^ jcscu.du = Lncscu-clgu +c
Jsenh(M)rf«=cosh(«)+c @ Jcosh(M)¿K =senh(«)
jc s c 2h(u).du = ctgh(u)+c @ Jsec2h(u)du = tgh(n)
Hallar las siguientes integrales, empleando las siguientes reglas de integración:
J
)+c
)+c
I5a2x2dx
Desarrollo
Integral Indefinida 3
1032
1033
1034
1035
1036
(i6x2 +8jc+ 3)dx.
Desarrollo
(6x2 + 8* + 3)dx = 6J x2dx + 8J xdx + 3J dx +c = 2x* + 4x2 + 3x
x(x +a)(x +b)dx
Desarrollo
+c
í<
C i ? x a +b 3 ab 2 í
x(x +a) (x +b)dx= (x 3+(a+b)x2+abx)dx = — +- — x +y * +c
(a +bx^)2dx.
Desarrollo
=I<
(a +bx3)2dx = I (a2 +2abx3+b2x6)dx = a2x +Y x* + ^ - j- +c
J2px dx.
Desarrollo
¡2 7 xd x = V 2^ JxU2dx = ^ 3/2 y¡2p +c = x j l f x +c
<fx
Desarrollo
4 Eduardo Espinoza Ramos
1037
1038
1039
1040
I
 - n
(nx) n dx.
Desarrollo
P P j p l l í i
I(nx) n d x =  u n — = —I m" du = (nx)n +c
í
(a2,3- x 2/3)3dx.
J ( a 2/3 —x2/3)3dx = j (a2—
Desarrollo
3a4/3x2/3+3a2/3x4/3- x 2)dx
2 9 4/3 5/3 9 2/3 7/3 X 3
= a x — a x +—a x ----- +c
5 7
J (yfx + 1) (x -  [ x +)dx.
Desarrollo
J"(%/3c-H1)( x -  f x +)dx = j í * 3' 2 +i)dx = ^ x 5/2 +X +C= —^ - J x +x +i
J
(x2 + )( x2 - 2 ) j
---------------- dx
3^7
Desarrollo
J U+l)^ _ 2)dx = ~ l ^ 2 dx =J (*10/3- X 4'3- 2 x-2,3)dx
Integral Indefinida
= — X4y¡X-----x2fx~6yjx +c
13 7
1041 i
T x
Desarrollo
.m „n2 2« r íü d 2m+2n~1 £2=*
(x 2 - 2 a: 2 + jc 2f U m- xn)2 ,f jc2"1- 2jtm+n + *2n f
J— ----7i-- dxi
2x2m4~x Axm+n4~x 2xln4~x
4m +1 2m +2n +1 4« +1
1042 4 x f_ dx
yjax
Desarrollo
+ c
f-
f(V a-V jc)4 d _ f fl2-4ayfax +6ax-4x[ax +x2 ^
J [ax J 4ax
= J [a2(axyin - 4 a +6-Jax - 4 x +x2(ax)“1/2] dx
2x3
= 2aJax - Aax + Ax^fax - 2x2 +— = +c
5yfax
1043
J í ! +7
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Solucionario demidovich tomo II

  • 1. Solucionarlo de Análisis Matemático por Deminovich tomo I, lli Solucionarlo de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II, III Solucionarlo de Matemática Aplicada a la Administración y Economía por E.WEBER. Solucionarlo de Leithold 2da. Parte. Geometría Vectorial en R2 Geometría Vectorial en R3 WWW.SOLUCIONARIOS.NET WWW.SOLUCIONARIOS.N ET Eduardo iiplno# i Rumo« Urna hmi w « Mam «• «««
  • 2. SOLUCIONARIOS UNIVERSITARIOS WWW.SOLUCIONARIOS.NET ANALISIS MATEMATICO II S O L U C IO N A R IO D E M ID O V IC H T O M O I I CO W n n - ♦ IN T E G R A L IN D E F IN ID A ♦ IN T E G R A L D E F IN ID A ♦ IN T E G R A L IM P R O P IA ♦ A P L IC A C IO N E S E D U A R D O E S P IN O Z A R A M O S
  • 3. WWW.SOLUCIONARIOS.NET INDICE C A P Í T U L O IV INTEGRAL INDEFINIDA Pag. 1.1. Reglas Principales para la Integración. 1 1.2. Integración mediante la Introducción bajo el Signo de la Diferencial. 8 1.3. Métodos de Sustitución. 45 1.4. Integración por Partes. 57 1.5. Integrales Elementales que contienen un Trinomio Cuadrado. 79 1.6. Integración de Funciones Racionales. 88 1.7. Integrales de algunas Funciones Irracionales. 116 1.8. Integrales de las Diferenciales Binómicas. 129 1.9. Integrales de Funciones Trigonométricas. 134 1.10. Integración de Funciones Hiperbólicas. 157 1.11. Empleo de Sustitución Trigonométricas e Hiperbólicas para el Cálculo de Integrales de la forma JR(x, Vax1 +bx +c)dx. 161 ’ 1.12. Integración de diversas Funciones Trascendentes. 167 1.13. Empleo de las Fórmulas de Reducción. 176 1.14. Integración de distintas Funciones. 180
  • 4. C A P ÍT U L O V LA INTEGRAL DEFINIDA 2.1. La Integral Definida como Limite de una Suma. 218 2.2. Cálculo de las Integrales Definidas por Medio de Indefinidas. 223 2.3. Integrales Impropias. 234 2.4. Cambio de Variable en la Integral Definida. 248 2.5. Integración por Partes. 261 2.6. Teorema del Valor Medio. 268 C A P Í T U L O V I .3 1 ,. [A PLIC A C IO N ES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 3.1. Areas de las Figuras Planas. 276 3.2. Longitud de Arco de una Curva. 310 3.3. Volumen de Revolución. 325 3.4. Area de una Superficie de Revolución. 347 3.5. Momentos, Centros de Gravedad, Teorema de Guldin. 357 3.6. Aplicaciones de la Integral Definida a la Resolución de problemas de Física. 377 Integral Indefinida 1 C A P Í T U L O I V 4 . I N T E G R A L I N D E F I N ID A . 4.1. REGLAS PRINCIPALES PARA LA INTEG RACION. 0 F '(je) = / ( x) entonces j"f(x)dx = F(x) +c , c constante. ( 2 ) J kf(x)dx = k j / ( x)dx, * es una constante. @ J(/(jc)±g(x)<¿x = jf(x )d x ± ^ g (x )d x . © Si J /( x > k = F ( x ) + c y u = y W . se tiene: ^ f ( u ) d u - F ( u ) TABLA DE INTEGRACION INMEDIATA. Sea u una función de x. © J ^ = 1 „ | „ | +C © J ^ T = r rc ,8 ,7 )+ c
  • 5. 2 Eduardo Espinoza Ramos 1031 J u 2 +a du y[a2- u 2 audu = - ■=are. senf u ' +c = -are. eos -+c , a > 0 + c, ;a > 0 10) e udu= eu +c J 12) Ieosu du = senu+c J = ln(w+ y¡u2+a)+ c ,a ? í0 J J ln(fl) ^szn(u)du =-cos(m)+c (l2) j" jtg u d u = —ln|cosw|+c =lnjsecMj+C! ^4) tgu.du = ln|senm|+c Jsec u.du = tgu +c Jcsc2u.du = -ctg u +c Jcscu.du =lnjsec¿¿+tgu +c (l^ jcscu.du = Lncscu-clgu +c Jsenh(M)rf«=cosh(«)+c @ Jcosh(M)¿K =senh(«) jc s c 2h(u).du = ctgh(u)+c @ Jsec2h(u)du = tgh(n) Hallar las siguientes integrales, empleando las siguientes reglas de integración: J )+c )+c I5a2x2dx Desarrollo Integral Indefinida 3 1032 1033 1034 1035 1036 (i6x2 +8jc+ 3)dx. Desarrollo (6x2 + 8* + 3)dx = 6J x2dx + 8J xdx + 3J dx +c = 2x* + 4x2 + 3x x(x +a)(x +b)dx Desarrollo +c í< C i ? x a +b 3 ab 2 í x(x +a) (x +b)dx= (x 3+(a+b)x2+abx)dx = — +- — x +y * +c (a +bx^)2dx. Desarrollo =I< (a +bx3)2dx = I (a2 +2abx3+b2x6)dx = a2x +Y x* + ^ - j- +c J2px dx. Desarrollo ¡2 7 xd x = V 2^ JxU2dx = ^ 3/2 y¡2p +c = x j l f x +c <fx Desarrollo
  • 6. 4 Eduardo Espinoza Ramos 1037 1038 1039 1040 I - n (nx) n dx. Desarrollo P P j p l l í i I(nx) n d x = u n — = —I m" du = (nx)n +c í (a2,3- x 2/3)3dx. J ( a 2/3 —x2/3)3dx = j (a2— Desarrollo 3a4/3x2/3+3a2/3x4/3- x 2)dx 2 9 4/3 5/3 9 2/3 7/3 X 3 = a x — a x +—a x ----- +c 5 7 J (yfx + 1) (x - [ x +)dx. Desarrollo J"(%/3c-H1)( x - f x +)dx = j í * 3' 2 +i)dx = ^ x 5/2 +X +C= —^ - J x +x +i J (x2 + )( x2 - 2 ) j ---------------- dx 3^7 Desarrollo J U+l)^ _ 2)dx = ~ l ^ 2 dx =J (*10/3- X 4'3- 2 x-2,3)dx Integral Indefinida = — X4y¡X-----x2fx~6yjx +c 13 7 1041 i T x Desarrollo .m „n2 2« r íü d 2m+2n~1 £2=* (x 2 - 2 a: 2 + jc 2f U m- xn)2 ,f jc2"1- 2jtm+n + *2n f J— ----7i-- dxi 2x2m4~x Axm+n4~x 2xln4~x 4m +1 2m +2n +1 4« +1 1042 4 x f_ dx yjax Desarrollo + c f- f(V a-V jc)4 d _ f fl2-4ayfax +6ax-4x[ax +x2 ^ J [ax J 4ax = J [a2(axyin - 4 a +6-Jax - 4 x +x2(ax)“1/2] dx 2x3 = 2aJax - Aax + Ax^fax - 2x2 +— = +c 5yfax 1043 J í ! +7 Desarrollo
  • 7. 6 Eduardo Espinoza Ramos 1044 1045 1046 1047 Í dx jr2—10 Desarrollo ¡ T T o ' Í T - - í dx 1 (Vio)2 2V10 ln x +Vio C-VÍO + c ¡4 +x2 Desarrollo Por la fórmula 7 se tiene: | = In Ix +lx2 +4 I+c J (x +4) I V8-JC2 t e - / Desarrollo X •---------------= ore.sen (— =■)+ c , resulta de la fórmula 8. 7(272)2-* 2 2V2 J í ■s/2 +x 2 - J 2 - X 2 •Ja-x* dx Desarrollo yj2 +x2 - y ¡ 2 - x 2 JC /J2+X2 y /2 -x 2 dx = f ( ^ 2 V 2 -* 2 » V^4-X4 V 4 - r4 dx = f~ 7 = = = ~ Í * - = are. sen Ln x +y¡2+x2 J y í ^ x 2 J J 2 Í X 2 V2 + c por fórmulas 7 y 8. Integral Indefinida 1 1048 a) 1tg2 J Desarrollo r r J ,8! A»fe = J<Sec! í - Í ) * . l g í - « + c . b) I tgh2 Desarrollo Jtgh2 xdx = J(l-sec!Ax)iír = x-tgh+c. 1049 a) 1c tg" xdx. * Desarrollo tV v * [ctg2x d x - J(csc2x -)d x C t g X - j : + C. b) 1c tgh xdx. w Desarrollo J,,g 1050 ¡3xexdx Desarrollo Í3xejrdx= f(3e)*¿c = - ^ - J J ln(3e)
  • 8. 8 Eduardo Espinoza Ramos 4.2. INTEGRACION M EDIANTE LA INTRODUCCIÓN BAJO EL SIGNO DE LA DIFERENCIAL. Ampliaremos la tabla de integración transformando, la integral dada a la forma: J*f(y/(x)).y/'(x)dx = J f(u)du , donde u = y/(x) a este tipo de transformaciones se llama introducción bajo el sigilo de la diferencial. , , adx 1051 ------ 1054 J -J a- x Desarrollo sea u = a - x —>du = -dx —>dx = -du f adx f dx f du , , c I------ = a I -------= -a I— = —aLn + aLn - aLn ------ J a - x J a - x J u a - . f 2x + 3 J 2x+l 1052 Idx Desarrollo ------------ [ l—^ d x f ( - —+ — (— í— ))dx ——x + — Ln | 2x + 3| J 3+ 2* J 2 2 2x + 3 2 4 f xdx J a +bx Desarrollo f xdx f 1 a , 1 , x a , . , . I--------= I [------- (--------)]dx —------ —Lna +bx+c J a +bx J b b a +bx b b +c 11055 I— + b dx ax+ ¡5 Integral Indefinida 9 1056 1057 1058 1059 Desarrollo J ax + l3 J a a a +¡i a a ^ d x J x - l Desarrollo 2 f X + 1dx = f(x + l + —1— )dx =— + x + 21n |x - l|+ c J x - l J x - l X f x2 + 5x + 7 , I--------------dx J x + 3 Desarrollo f x +^X+'! dx= j*(x+ 2 h—-—)dx = — + 2x + In|x + 3 1 J x+3 J x+3 2 J x - l Desarrollo [ x U x 2 + 1 dx= f(x3 + x2 +2x + 2+ - Í - J x - l J x + l +c )dx í r 4 r 3 = — + — + x2 +2x + 3 1 n |x -l|+ c 4 3 (a + -~ -)2dx X - f l Desarrollo r b i f 2 2ab b~ . , 2 o / 1 1 i ^ I (a +------ Y dx = (a- + ----------------------------+ -----T)dx - a x + 2aMn | x - a | - + c J x - a J x - a (x -fl)“ x ~ a
  • 9. 10 Eduardo Espinoza Ramos 1060 1061 1062 J X dx (jt + 1)2 Desarrollo sea u = x + 1 => du = d x , x = u - l ~ T du= f(~— =ln|w|+—+c =ln|* +l|+ ——+c i (JC+ 1)2 J u2 J U u2 u x +l f bdy JVw Desarrollo Sea u = 1 - y => dy = - du J =b ~y^ll2(iy=~bju~ll2(lu = ~2bu1'2 +c = -2by]l-y +c JVa-bxdx. Desarrollo Sea u - a - bx => dx = ~ — b f s¡a-bxdx= fwl/2(-^ -) = - - u m du = - — u>fü+c =- — (a-bx)Ja-bx J J b b j 3b 3b +c 1063 dx Desarrollo Integral Indefinida 11 1064 1065 1066 1067 f - ¡ J L = d x = í(x 2 + i r 1/2^ = u~U2 — = yfu+C = J x 2 +l+c J V 7 7 T J J 2 fy/x + lnx J X -dx Desarrollo Cyfx+lnx, f. 1 ln * , 0 r , ln x - ----------dx= l(-pr + ----- )dx = 2 ^ x + —— +c J X J yjx X 2 Í — J 3x2 + 5 Desarrollo í —t — = í r f X— = —J —¡=arctgC ^-) +c =-^=arctg(x í^) +c J 3x +5 J (J3x)2 +(J5)2 S S ¡5 %/I5 V5 f dx J7*2 +8 Desarrollo dx j*______dx______- ^ * in i V7jf —2>/2 1x2 -8 J (V7x)2-(2>/2)2 y¡l 4V2 J lx + 2 ^ 2 dx _ , --------------------- - ; 0 < b < a (a +b )- (a -b )x +c Desarrollo dx 1 f yfa—bdxf dx = r dx 1 f __________________ J (a +b)-(a~b)x2 J (Ja +b)2- ( J a - b x ) 2 J (Ja +bj2-(-J a - b x )2 1 . yja+b + sja—bx . ~ln ,----- ---- f = = - +c 2yja-b.¡a +b la +b - y/a-bx
  • 10. 12 Eduardo Espinoza Ramos 1068 1069 1070 1071 1 . . yfa + b + y ja -b x . In |-----------— | +c 2yja2 - b 2 Ja + b -->J a - b x r x2dx x 2+2 Desarrollo I x3dx ~2 Fa - x Desarrollo f x3dx f J Jt2- 5 x + 6 2 2 2 / x v f x a t o . (* + ~ -----= -(— + — In | jc - a |) + c x~ - a 2 2 i x2 +4 dx Desarrollo Cx2 - 5 x + 6 j f 5 x - 2 f 5x 2 I — 1 ~ 7 ~ ( 1 — r ~ ; ) d x = I * 1 — 2 — + ~ i — ) d x J x + 4 J x + 4 J * +4 x + 4 f dx JyJl +Zx2 = In | *2 + 4 1+arc.tg(—)+ c 2 2 Desarrollo 2yfldxr dx f - 1 f j yll + Sx2 j yjl + (2y¡2x)2 2¡2 Jy¡7 + (2^/2x)2 Integral Indefinida 13 1072 1073 1074 = 1 Ln 12- 2x+ 7 +8jc2 | +c , por la fórmula 7 2v2 Í dx yjl - 5 x 2 Desarrollo r dx _ j*______dx _ 1 |* '¡5dx-------=-^=arcsen(^í) + c J 3* -2 Desarrollo yftdx 1 , , . 5 . .y¡3x-y¡2 , = -ln 3jc2 - 2 ----- r - r ' n H r ----- /x l+c 3 2>/3.V2 ¡3x + yj2 oHonr,a»q 1 , I , 2 T I ^ i„ | ' f i x =—In - 2l-2^ lnl ^ +V2 +c Í 3 - 2x , dx 5x +7 Desarrollo f = 2 f f Ü Ü L = - i l n 15^ + 71+c J5jc2+7 SJ 5Jí!+7 5V7 ^7 5.X _ 5 5 3 arctg(^ x) - ^ In 15x2 + 7 | +c >/35
  • 11. 14 Eduardo Espinoza Ramos 1075 1076 1077 1078 J 3.x:+ 1 dx lsx2 +1 Desarrollo ( - * 2 L d x . 3 [ ' t b + ( * = 1 f i f Vm. Jyj5x2 +l J s]5x2+l J yj5x2+l 10 J y¡5x2 +1 S J ^(y¡5x)2 +1 - j l 5 x 2 +1 + ~ L n yÍ5x+y¡5x2 + 1 1+c 5 5 I x +3 -dx s ¡ J ^ 4 Desarrollo i r ? ' dx +3 í ------- = V-*2 - 4 + 31n | x +yjx2 - 4 |+c , por la fórmula j x - 4 J y jx 2 - 4 í x2 - 5 Desarrollo f ^ - = i f — —ln |x 2—5|+ c J a:2 - 5 2 J x —5 2' J2jc2 +3 Desarrollo J a x +b 1079 Desarrollo Integral Indefinida 1080 1081 1082 1083 ) a 2x2 +b2 ) a"x +b" J a2x2 +b2 1 , 9 o » ? i 1 = — ln |a 'jr + ¿ r |+ —arc.tg(— ) + c 2a a b f jcdx J 4 7 ^ 7 Desarrollo (* xdx _ 1 f 2xdx _ J_ JVa4-*4_2j^4_;c4"2 2 = -^arc. sen(— ) + c úT J i « 6 Desarrollo „2 , fiL * L = f A </Y- = l f J £ ^ = IarctgU 3) + c J l + x6 J l + U 3)2 3 j l + (x ) 3 j" x2dx JVTm Desarrollo f x 1 f 3a = -ln | x3+ ¡xb - l | + c , por la fórmula 7 j V*6- l 3J V(;t3)2-1 3 f jares' J vT : arcsen* , dx x2 J S p * =| <arcsenJ. Desarrollo dx
  • 12. 16 Eduardo Espinoza Ramos donde u = arcsen x => du = 2 í ¡ —X - 2 - 2 u2du = —u 2 +c =—(arcsen x)2 +c 3 3 f arctg(~) 1084 --------é~dx 4 +x2 Desarrollo f arctg(^) j f 2arctg(^) j f x 2dx arctg2( ” t C 1085 l+ 4x2 Desarrollo f Jr-7arctg2Jr d,j = 1 f j £ * i f (arclg 2 f) 3 - i * J 1+ 4x2 8 J 1+ 4* 2 Jl + 4x2 3 = -ln |l + 4jt2 I--(arctg 2 x )2 +c 8 3 1086 h dx yj(l +x2) ln(x + Vi + x2) Desarrollo f ■ ^ ,____ - ¡IM x + J u x 1)] ------ J y/(l +x2)ln(x+Jl +x 2) J v l + x Integral Indefinida 17 1087 1088 1089 1090 donde u = ln(x + vi-+x2) => du dx ll +x 2 + x2 ) + c2du = 2fü + c = 2jn(x + yfl J ae~mxdx Desarrollo du Sea u = -mx => dx = ----- m ae-mxdx = a fe“(-—)=- - e udu = - - e u J J m m J m +c = - - e~mx+c m 42~3xdx Desarrollo du J 42 3^<íjc= 16J"4 3xdx, sea u = -3x => dx = -'- 16 4“ -4 2.4~3* 42~3* J (e ' ~e~')dt- j e ' d t - je~'dt - e ’ +e~' 3 ln(4) 31n4 31n4 -+c )dt Desarrollo + c m * I (ea +e a)2dx Desarrollo
  • 13. 18 Eduardo Espinoza Ramos 1091 1092 1093 1094 m x x m 2 x 2 x 2 x 2 x i (ea +e a)2d x - I (e a +2 +e a )dx = ^ e a +2 x - ^ e a +c 2 2 -x ,_^2 -dx f (ax ~bx)2 J axbx Desarrollo 2 (■ 2* ^„x<x..2x ^ x - b± d x = dx= f((a- y - 2 + £ Y ) d x J axbx J a'bx J b a ¿ Y i - ) x j fl b - b _ +^ — - 2 x +c = ± r - ( £ ) x + (-)x) - 2 x +c ln(—) ln(—) 'n a ~ hlb b a b a [ alX~ XA J - J T * Desarrollo 3 x x i x X „ y 2 o y — + ------- +c In a In a f a -1 f , a 1, f . y -§ w 2a _ _ r f * = ( - = — -j=)dx= ( a 2 - a i ) d x = - .~ j ¿ Y J y f c 7 7 J 3 lr Je + ^ x d x Desarrollo Sea u = -(a'2 +1) => du = -2x dx => xdx = ~ — 2 Je~^+l)xdx = Je ~ ) = — fe^du = ~ eU+ c = _ ^ " (Jrí+1>+c I*.7* <£t Desarrollo Integral Indefinida 19 Sea u —x~ => du = 2xdx => xdx = — 2 í x.lx dx = [ 7 ^ ^ = Í7“— = - Í 7 " d « = - — J J J 2 2 J 21n(' 1-+c = ----------7 +c 2 ln(7) 21n(7) l 1095 I 7dx 1 Desarrollo 1 dx dx Sea u = — => du= — ■? => — = -du X X X 1096 I 5 ^ — J e— dx = j e u(-du) = - J eudu = — dx T x _ + c = - e 1 + c 1 Desarrollo r dx dx Sea u = yjx => d u - —=• => 2d u = —j= 2¡x s¡x { 5J~xdx = 5“.2du = 2 ( 5“du= — J V i J J ln(5; 1097 f —— dx J ex - Desarrollo Sea « = £ * -1 => du = exdx í C>— -= f — = In | m| +c = In | e* - 1 1+c J ex- l J « + c = — 5 ^ + 0 ln(5) ln(5)
  • 14. 20 Eduardo Espinoza Ramos 1098 1099 1100 bexdx Desarrollo , . r . X . dU Sea u = a -b e => du = -be dx => e dx —----- b [(a -b e x)^exd x - [u^ [u^du = ——u^ +c =-^--J(a-bex)3 +c J J b b J 3b 3b I X 1 X (ea +1y>eadx Desarrollo ¿ - dx Sea u = e a + 1 => du = ea — => adu =eadx a f - - — f - f - 3a - 3a — I (ea +l)3eadx = I u3adu = a u3du =-^-ui +c = — (ea -1) J * * 3 +c dx 2X+3 Desarrollo f — —f(l— - ) d x = - ( x — — ln12X+ 31) J 2* +3 3 J 2* +3 3 ln2 + c 110. l - a ™ J + a Desarrollo Integral Indefinida 21 1102 1103 1104 f axdx 1 f du 1 1 , ------— = -— ----- ? = -— arctgM+ c =-— arctg(a )+ c J l + a m a j + u lna lna f-J 1- e~fa¿jc I+ e~2hx Desarrollo Sea u = e hx => du=-be~hxdx => e~bxdx = - — f <rto<¿r l f á 1 , x 1 , - h — h — 2’= _ 7:arcts (M)+t: = - T arctg(^ )+c J 1+e ¿ J 1+ w b b f-J 1-« dt Desarrollo -e2' Sea w= e' => du = e‘dt f e!í/í C du 1, , 1+ u . 1, . 1+ e‘ . I —= I ----- í- = -ln ----- +c = —l n -------1+c J l —e J l - u 2 2 1-M 2' l - e'' J sen(a + bx)dx Desarrollo Sea u = a + bx => du = b dx => d x - — b f r du 1 f J sen(a + bx)dx = J sen(w)— = —I sen(u)du = - —cos(«)+c =-icos(« +kO+c 6 fe
  • 15. 22 Eduardo Espinoza Ramos 1105 1106 1107 1108 J Jt COS(~7=)dx v5 Desarrollo Sea u - -—= => ¡5 J"cos(-JL)í£t'= J*cos(m)^5í/m = V5j"cos(w)ài/ = 5 sen(«) + c = .5 sen( * ) + c J (cos(oa) + sen(ax))2dx Desarrollo J"(cos(a.v) + sen(ax))2dx - J*(cos(a.v) + sen(<u))~ dx = I (eos (ax) + 2sen(ax).cos(ax) + sen (ax))dx i = I (1+ 2sen(ax).cos(ox))cfcc = x — —cos(2<ru)+c 2a Jcos(Vx). dx 4~x Desarrollo r dx dx _ , Sea u = y/x => d u = — -¡= => —¡== 2du 2Jx y X j*cos(Vx).-^- = J*cos(u).2du = 2J eos(u)du = 2sen(w) +c = 2sen(fx) í + c sen(log x).— x Desarrollo Sea u = logx => d u - ——— => — = ln(10)í/w ln(10)x a- Integral Indefinida 23 1109 1110 1111 1112 J senflog x)——= J sen(«).ln(10).dM = ln(10)J*sen(u)du isen2xdx = - ln(10) eos (u) + c = - ln(10) eos (log x) + c Desarrollo ., , ? 1-cos2jc Usar la identidad: sen x = ----------- Jsen2.xí¿t=j i­ je o s 2 xdx - cos(2jc) , x sen(2x) ------------d x - --------------- + c 2 2 4 Desarrollo 2 1+ cos(2jc) Usar la identidad eos x = -------------- 2 J*cos2jc</x=J- í 2 2 4 secz(ax+b)dx Desarrollo du Sea u = ax + b => dx = — a [ see2(ax +b)dx = fsec2u — = - | see2udu = - tg n + c = -tg(ox + fc)+ c J J a a J a a j c t g 2(ax)dx
  • 16. 24 Eduardo Espinoza Ramos Desarrollo Usar la identidad: 1+ c tg 2 x = ese2 x je tg2(ax).dx = J (csc2(ax) -1 )dx = _ * + c 1113 f dx sen(-) Desarrollo _ x _ , x „ , x , Se conoce que sen—= 2sen(— ).cos(— ) a 2a 2a i — - ' sen(-) J dx 2sen(— ).cos(— 2a 2a > 2 ¡ se c (^ ) 2a sen(— ) 2a dx - l i 2, X see (— ) 2a sen(— ).sec(— 2a 2a -dx = - f ) 2 j j f sec2( ^ ) 1 ‘ 2a dx Sea u = tg(— ) 2a du = see (— ).— 2a 2a ? JC De donde se tiene: see (— )dx = 2a dx 2a Integral Indefinida 25 1114 1115 1116 dx K 3cos(5x-—) 4 Desarrollo dx 1 i 5x JT. i " ------ = — ln|tg[— + - ] |+ c o /« * * 1 5 2 8 3cos(5x---- ) 4 dx sen(ax + b) Desarrollo ax +b ax +b Se conoce sen(ax + b) = 2 sen( — ).cos( ^ ) f ■ - f J sen(ox +b) J dx ,ax +b s ax +b 2sen(—-—).cos(—- ) , r s e c = ( í^ >, . sec(—- — ) , [>sec - > , ,ax+b.. =1f- - - 2— dx= - i- - - -h r dx = - lnltg(— )!+c 2 J sn,(£ £ ± * ) .g ( H ± í, “ 2 J xdx ~) Desarrollo cos2(x2)
  • 17. 26 Eduardo Espinoza Ramos 1117 1118 1119 1120 J*sen(l-jr)í£c Desarrollo Sea u = l - x 2 => du = -2x dx => x d x - ~ — f »J*.ísen(l - x~)dx = Jsen(l - x2)xdx = Jsen 1 f j 1 1 2 J $enud u = —cosu+c = —cos(l-X ) +c I sen(;t r - ) 2dx sen(xv2) Desarrollo J (¡enxv^ ~ 1)2^dX = J (CSC^ ~ 1)2^dX = J (CS°2^(Xs^ )" 2csc(;cV2)+ IWjc = J (l + c s c « ( ^ ) - _ ^ I A „ _ ^ ctg(^ ) _ _ | ln |,g(^ )|+ c / tgxdx Desarrollo eos * +cf * * * = f — dx = -ln J J eos Jf tg xdx Desarrollo c ig x d x = = ln | sen jc| +c J J senjr Integral Indefinida 27 1121 1122 1123 1124 1‘W^r )dx b Desarrollo Sea u = — =* dx = (a-b)du a - b Jc tg(—^-j-)dx = Jetg a.(a - b)du = (a - ¿?)Jcigudu X = ( a - b ) In Isenu | +c = (a- b)ln | sen(------) | +c a - b I dx ,x. W j) Desarrollo r , r f cos(|) I — — = I ctg(—)dx = I -------- dx = 51n | sen(—) | +c J t g í í) J 5 J se n A 5tgCj) J tg(fx). dX VI Desarrollo i— i dx dx ~ , Sea z = x => dz- — => —¡= -2 d z 2yjx yjx J tg(VÍ).-^ = Jtg z.2dz = 2j tgzdz = -21n | eos z | +c = -21n | eos Vz | +c JxCtg(A'2v" +1)dx Desarrollo
  • 18. 28 Eduardo Espinoza Ramos 1125 1126 1127 1128 Sea u = x 2 +1 => x dx ——— 2 Jxc tg(x2 + 1)dx = Jrtg(x2 +l)xdx = j c l g u . du ~2 = i ln | sen u | +c = ^ ln | sen(jr2 +1) |+c í dx sen x.eos x Desarrollo f dx f secx , f see x , , , , I-------------= I-------dx = I--------dx = ln tgx +c J sen xcos.r J senx J tgjc ícos(—).sen(—) J a a -)dx Desarrollo fcos(—).sen(—)dx = —sen2(— J a a 2 a I sen3(6x).cos(6x)í¿v Desarrollo Sea u = sen 6x => du = 6 eos 6x dx J*sen3(6x).cos(6A)¿x - Ju J i du u4 sen4(6jc) — = — + c - --------- — - + C 6 24 24 cos(ax) , dx sen5(ax) Desarrollo Integral Indefinida 29 1129 1130 1131 p o s t a d L a * « ,) ) - * .* * « ) * . = — J-+C = --------!¡ J sen (ax) J J a u a a sen , +c (ax) du donde u = sen (ax) => cos(ax)dx - — a I sen(3x)djc 3 + cos(3jc) Desarrollo dz Sea u = 3 + eos (3x) => dz = - 3 sen (3x) dx => sen(3x)dx = —— f i E 2 f ^ L = - l f ^ = _ I ln lz l+ c = - i l n |3 + COS(3x) |+c J 3 + cos(3jc) 3J z 3 3 I sen*,eos jc . rdx Veos2Jt-sen2x Desarrollo Se conoce que: sen x.cos x = — ^— y eos x —sen x —cos(2.r) f senxcosx = ¿ f sen(2*) ^ = 1 f ( c o s { 2 x ) ) ~ 2 sen(2x)dx J Veos2Jt.sen2x ~ >/cos(2x) 2 J yJcos(2x) 2 ~ V 1+ 3eos2x sen(2*)dx Desarrollo Sea u = l + 3cos2 x => du = - 6 eos x . sen x dx
  • 19. 30 Eduardo Espinoza Ramos 1132 1133 1134 1135 du = - 3 sen (2x)dx ; — y = sen(2x)dx J*(l + 3cos2x)2,sen(2x)dx = —i j u 2du = ~ u 2 +c = - ^ y j(l +3cos2jc)3 +< ,sec2(—)dx 3 Desarrollo Sea u ~ tg(~) => 3du = scc2(^)dx J tg 3(-Í).sec2(^)í¿c = j u 33du = ^u 4 3 a .X. + c = -t g (-) + c 4 3 dx x Desarrollo eos2X f ^ ^ = f(tgx)2.sec2xdx = —tg2(x) + c J eos" x J 3 í 2 sen (x) Desarrollo c c t s 3(x) r - ~ ^ ~ I r---- |c tg 3(x).csc (x)dx = — ctg3(x) + c J sen (x) J 5 J1+sen(3x) , dx cos2(3.y) Desarrollo Integral Indefinida 1136 1137 1138 1139 f l + sen(3.t)¿jr_ f(sec2(3jt)+tg(3.x).sec(3jr))dx = J cos2(3x) J tg(3x) | sec(3x) | c í (cos(üx) + sen(ax))2 sen(ax) Desarrollo r(cos(ojc)+sen(ax)) _ fl+ 2sen(ax).cos(flx) ^ J sen(cijc) J sen(ox) J (csc(ax) + 2cos(ax))dx = —(ln | csc(ax) - c tg(ax) | +2 sen(ax) + c f csc3(3x) _ ^ J b - a c tg(3x) Desarrollo dU 2 V 1 Sea u = b - a ctg (3x) => du = 3acsc“(3x)í/x ~^¡~csc f_ £ !£ !2 íL .^ = _L f = ._Lln |u | +c = J-ln |b-- aCtg(3x) | J /?-actg(3x) 3a J u 3a 3a J (2senh(5x) - 3cosh(5x))t/x +c Desarrollo f 2 3 (2 sen(5x) - 3cosh(5x))dx = - cosh(5x) - - senh(5x) + c 1senh2 xdx Desarrollo
  • 20. 32 Eduardo Espinoza Ramos 1140 1141 1142 1143 Jsenh2xdx = J (—i í cosh(2*)N,x senh(2x) H-------------)dx —----- 1--------------1-c 2 2 4 senh(jc) Desarrollo d'X = ln | tghí^) | +<~ senh(x) 2 dx cosh(jt) Desarrollo f— —— = f ------- dx - 2 f e— -dx - 2arctg(g*)+c JcoshU) J +e2x J l +e2* i senh(jc).cosh(jc) Desarrollo f dx f seeh(x) J Csech2( x ) , , . ,, . I -------------------- = -------— dx = --------— dx - ln | tgh(x) | + c J senh(x).cosh(*) J senh(x) J tgh(x) J tgh(A‘)¿V Desarrollo J"tgh(x)dx = J*Senj^*| dx = ln | cosh(x) | +c 1144 ctgh(x)dx Desarrollo Integral Indefinida 33 1145 1146 1147 í c tgh(x)dx = f C° Sh(A)^ = ln | senh(jc) | +c J J senh(x) Hallar las siguientes integrales indefinidas: í ' ^ ■x2dx Desarrollo J x¡5 - x 2dx = J*(5 - X 2 )5xdx = —^ j*(5 - x2)5(-2 x)dx = J x - 4* +1 a2)6 +C Desarrollo Sea u = x 4 - 4 x +l =$ - = (x3 -l)dx 4 f — - — í— dx = — f — = —ln |m|+c = —ln | a 4 - 4 x + J x4 —4jc+ 1 4 J u 4 4 1 +c A + 5 Desarrollo f x3dx _ f J ^ 5 _ J x3dx 1 ,x A tg(.-!=)+C (a4)2 +(y¡5)2 4^5 J s 1148 í xe x dx Desarrollo
  • 21. 34 Eduardo Espinoza Ramos 1149 1150 j xe x dx =j e x xdx = —i j e u 1 « 1du =—e +c = — e +c 2 2 J 3 -> /2 + 3.í 2 dx 2 + 3*2 Desarrollo dx 72 + 3*‘J 2+ 3* J 2+ 3* J Usando las formulas 4 y 7, se tiene: f 3 - 7 i 7 p ^ _ f dx f Jx J 2+ 3* J 2 + 3* J V2 + 3*2 = arctg(*^-) - ln | ¡3x + y¡2+3x2 +c f ¡ L ± d x J * + 1 Desarrollo (* - * + 1--- — )dx = -(-*—21n * + 1 +c * + 1 3 2 Desarrollo Integral Indefinida 35 1152 1153 1154 1155 f 1-sen* J * + cos* dx Desarrollo Seaz = x +cosx =» dz= (1 - senx)dx fj—sen.x_¿x = í — = ln|z | +c = ln|*+eos*|+c J * +cos* J z f tg(3*)-ctg(3*)^ J sen(3*) Desarrollo fjg(3*)—ctg(3*) _ f(Sec(3^ _ ctg(3x)csc(3*))d* J sen(3*) J = - [ln | sec(3*) + tg(3*) | + ---- ——]+ c 3 sen(3*) J dx *ln2* Desarrollo f d - = f(lnx) = f« J * ln ' * J x J - 2 . 1 1du = — + c ----------1-c u ln(*) dx donde u = ln x => d u - — * J see2xdx y¡ig2 x - 2 Desarrollo Sea u = tg x => du= see2 xdx f see2xdx f du , , r I — - I —InIu +lu J s]tg2x - 2 J yju2- 2 2 - 2 | +c = ln | lgx +jtg2x - 2 l+c
  • 22. 36 Eduardo Espinoza Ramos 1156 1157 1158 1159 J(2h----- — )- * 2x +1 2x +1 Desarrollo f x dx C dx f xdx J *"+2x2 +1 2x2+1 ~ J2x2+1+ J(2x2 +1)2 = Í2 arctg(W2)--------—— + c 4(2x“ +1) íasenx eos xdx Desarrollo Sea u - a senx => du - a scnx cos x. In a dx => = asenx eos xdx Ina f sen* f du 1 asenx la cos xdx = I -----= ------u + c - ------- J J na lna lna J* x2dx J W T + c Desarrollo „ 3 , dU ■y Sea u = x +1 => — = x~dx 3 f X dx f 3 -r 2 . f du 1 I —...-.....- I (x +1) 3x~dx= I u 3 — = —u J J 3 2 x4 Desarrollo Integral Indefinida 37 1160 1161 1162 1163 f xdx 1 f 2xdx 1 2 I ,____ = —I —= = = = = = —aresen(x ) + c J V Í I 7 2 2 íXg2(ax)dx Desarrollo tg¿(ax)dx= I (sec~ (a*) -1 )dx = í^ ax'>- x +cJ"tg2(ax)dx = J*( J sen2('(^r)dx 2 Desarrollo « , , i 1-cos(2jc) Por la identidad sen' x ---------------- se tiene: J sen2(-^)ífa = J - J —eosx . x sen* --------- dx = ---------------hc 2 2 see2xdx ¡ 4 - tg 2x f see* Desarrollo 2 xdx = aresen(-----)+ c f dx ^ eos(—) Desarrollo
  • 23. 38 Eduardo Espinoza Ramos 1164 1165 1166 1167 1 y¡ +In x ---------- dx Desarrollo Sea u = 1 + ln x => du = l~ x J Vi + ln x — - J*“ J y fx -l l 3 - 3 - 3d u - —u 3’ +c= —(1+ lnx)3 +c 4 4 x-1).- J x - l Desarrollo dx „ , dx Sea z - y j x - l => dz=Jí— => 2dz =- 2yjx~l y jx - l J*tg(V*-T).-^==== = 2J*tgzdz = -21n(cosz) + c = —2 ln | eos V x-1 | +c i xdx ) Desarrollo sen(x2) f xdx1, , , r %l 1 ,, I-------j - = -In Itg(— ) |+c = - ln(csc(x )- c tg(x2)) +c J sen (x ) 2 2 2 J sen(x ) 2 e ^ '+ x ln ü + x V l 1+ x2 dx Desarrollo Ce ^ + x W + x ^ + l ^ = f J 1+x2 X ~ J . , . e aMgv x ln(l + x2) 1 w dx = | (------- + --------- - + --------)dx 1+ X 1+ x~ 1+ X arctot ln (1+ X ~) = e ° + ------------- + arctg * + c Integral Indefinida 39 1168 1169 1170 1171 1 sen x -eo s x , --------------- dx sen x + eos x Desarrollo Sea u = sen x + eos x => du = (eos x - sen x) dx => -du = (sen x - eos x)dx f sen x - eos x , f du , , . , --------------- dx = I ------= -lnw + c = -ln |se n x + cosx|+c J senx + cosx J u í (1- sen(-~))2 --------- se„< -|) Desarrollo ,(l-sen (™ ))2 f -----------— — = í( ---- -------- 2 + sen{-^=))dx sen(-^=) sen(^=) "72 = V2 ln | fg (~ = ) | -2x - yjl eos(-j=) +c I 2 x dx x2 - 2 Desarrollo f (1+ A-)2 J x(l + x2 dx - 1(1+—^— )dx = x +-^= ln j—— | +c x —2 V2 x+V2 -dx x(l + x¿) Desarrollo
  • 24. 40 Eduardo Espinoza Ramos 1172 j"esen*senlxdx Desarrollo Sea u = sen2 x => du = 2 sen x . eos x dx = sen 2x dx 5 Vi"-3^ f 5 -3 * f d* f xdx 5 V3* I------- 7 I ~~r ' ti* = 5 I ..... - 3 I = -=arcsen(——) + V 4-3* J V4 - 3*2 J V 4 - 3 7 V3 2 f ¿* Je*+1 1173 f - .5 3A dx J J 4 -3 r 2 1174 1175 Desarrollo +c Desarrollo f dx f , I—----= I------- -í/* = -ln 1+ e ■* +c = -{n(} + e x) - l n e x] + c J e +1 J l + e = -[ln |l + eJC|-* ] + c = * - l n |l + e* |+c h (a +b) +(a-b)x~ Desarrollo f_____ * ____ _ = _ L f _ J (a +b) +(a-b)x~ a - b j a- dx 1 1 t = arctg(~ t )+c (a +b) +( a - b ) x 1 a - b j a +b |a - b ¡a +b " ¡a+b 1 a ~b. -arctg(* /------) + c ■Ja2 - b 2 Vfl + ¿ Integral Indefinida 1176 í , e — -dx 1177 £ s¡e2x- 2 Desarrollo f e ' d x - f - 7=¿ £ = = m |^ + V ¡2^ 2 |+ c J 4el x - 2 J J(eA)2 - 2 ¡ dx sen(fl.v).cosía*) Desarrollo f dx = f sec(^2</* = f Scc2(a- ^ = —ln |tg(ax) | +c J sen(a*).cos(fl*) J sen(ax) J tg(a*) « 1 2tt? , 1178 sen(— +yf0)dt i ' Desarrollo 2Kt 2n ., rj. du Sea u —-----+ i//n => d u = — dt => dt = T — ~ T T ¿n j s e n (-^ + 1/ 0)dt = J sen u.T— = ~ J sen u du eos 11 T , 2tt/ = - r ------ +c = ------ cos(-— +v^0)+ c 27T 2n 1 1179 r rf* J *(4-ln2.*(4-ln~ *) Desarrollo dx Sea u = !n x => du =—
  • 25. 42 Eduardo Espinoza Ramos 1180 1181 1182 1183 f . f _ * l | „ |i ± ü J x (4 -ln 'x ) J 4-u~ 4 2 - u 1, , 2 + ln x , + c - —l n --------- +c 4 2 -ln x . arccos(—) Desarrollo dx Sea u = arccos(—) => du = — — d u = - 2 /l_ ( |) 2 V ^ X 2 -arccos(-) f «2 1 - I —-j— 2 dx = - udu = - — +c - — (arccos(—))2+c J V 4 -r 2 J 2 2 2 í V4 e~lg1see2xdx Desarrollo Sea u = - tg x =» du= —sec2 xdx J*e~tg'.sec2xdx =-J*eV « = —e" + c = - e _tgA + c f senx. J V2- sen4 x eos .v , dx Desarrollo ,------ ------dx = —arcsen(— =—)+c V2-sen4* 2V2 dx sen2.v.cos2* Desarrollo Integral Indefinida 43 1184 1185 1186 sen 2* sen x.cos * = -------- f -------—-------= 4 f — ^ - = 4 f csc2(2x)dx = -2c tg(2x) + c J sen2x.cos2x J sen“(2x) J í aresen x + x , dx Desarrollo •x2 ¡ ^ x + x d x = ^ l f _ ^ + c f secx.tgx , J i 2....... J vsec x + 1 Desarrollo f secx.tgx , f secx.tgx ./2„.,1,„I —</r= I 0 — d x - In jser r+ vsec x + l|+C J Vsee2x + 1 J y(secx)2+1 I cos(2x) dx 4 + cos2(2x) Desarrollo f cos(2x)</x f cos(2x) f cos(2x)rfx 1 ^ i ^+ sendx) J 4 + cos2(2x) J 4 + 1—sen2(2x) J 5-sen2(2x1 4^5 V5-sen(2x) +c 1187 f — í i J 1+ cos Desarrollo
  • 26. 44 Eduardo Espinoza Ramos 1188 1189 1190 f ¡n(x + -Jx2 +1) Sea a = ln(x + yfx2 Desarrollo na;- l +1) => du = dx x2 f ln(.v+ n/a" + 1 ) (* /“’J 7 ^ dx f ^ , i ------d x - I (n(x +¡x + 1))2 —p------ = I u du — j v i + x 2 j 7 , ^ 7 J —■](ln(x + y¡x2 +l))^ + c 3 í jc2cosh(;t3+ 3)<£c Desarrollo o 3 -> d u 2 , Sea u —x +3 => — = x dx f 2 , , 3 f , , . du senh(n) senh(x3 +3) I x cosh(x + 3)d x - I cosh(«)~— = ------— + c = ------ -------- J J 3 3 3 ^tgh(A) + C í , dx cosh“(jc) Desarrollo Sea u = tgh x => du = see lr(x)dx j* -jtglUjr) /• » ~u itghx I- 1— ,-dx= I 3'gb*.see hx2dx = 13“du = --------- + c --------+ c J cosh“(.v) J J ln3 ln3 {NIIr*-i Integral Indefinida 45 4.3. M ETODO DE SUSTITUCION.- PRIMERO.- SUSTITUCION O CAMBIO DE VARIABLE EN LA INTEGRACION INDEFINIDA. Se hace poniendo x = y(t), donde t es una variable y f es una función continua diferenciable, f(x)dx = J f(f/(t))xift)dt ... (1) La función i se procura elegir de tal manera que el segundo miembro de (1) tome una forma más adecuada para la integración. SEGUNDO.- SUSTITUCION TRIGONOMETRICA 1 Si la integral contiene el radical [a2 - x dx = a eos 0 d0 => 9 = arcsen(—) a x se toma: sen 0 = ; x = a sen 0 a 2 Si la integral contiene el radical x 2 —a2 se toma: sec0 = —, x= a see 0 dx = a see 0. tg 0 d0 : 0 = aresec(-) a /x2 - a2 a
  • 27. 46 Eduardo Espinoza Ramos 1191 3 Si la integral contiene el radical 4 a2+x2 se toma: tgd = — x = a tg 0 ; dx = a see26 d6 ; 9 ~ arctg(—) a Hallar las siguientes integrales, utilizando para ello las sustituciones indicadas. a) i* dx 1 J x J T ^ . ' x ~~> Desarrollo 1 A d t A -1 x —- => dx = — —ademas t = — t r x dt -dt 1 xyjx2- 2 J2r2 J V l-2 r2 V2 (V2í)-arccos(v2?) + c b) 1 V2 /- -7=arccos(— )+ c, x>J2 V2 x f dx Jex +1 x = - ln t Desarrollo Integral Indefinida 47 dt L+ / l+c = -ln +e~x I+c J e '+ l J e " ln,+1 J l + í c) I x(5x2 - 3)7dx , 5x2 - 3 = t i ‘ Desarrollo ? , dt 5x - 3 = t => jcí/x = — 10 x(5x2 -3 )1dx= f /7- = 4 J J 10 80 (5x -3 ) + c = ----------— +c 80 f xdx i---- r d) I , t = J x + J Vx + 1 Desarrollo t = yjx+1 => dt= ----7 = = i t = y ¡ X + 1 => X = f2 -1 2y¡X+ f eos xdx e) / ’ 1= sen x J VI + sen a Desarrollo t = sen x => dt = eos x dx f eos xdx f dt _ J Vi + sen2x J ¡+t~ = InI?+ Vl + r I+c = ln | sen x + + sen2x | +c
  • 28. 48 Eduardo Espinoza Ramos 1192 1193 Hallar las integrales siguientes, empleando para ello las sustituciones mas adecuadas. I x(2x +5)wdx Desarrollo t = 2x + 5 => — = dx , x = -- ^ 2 2 f x(2x +5)}0dx= f — = - f(/n - 5 t w)dt = - [ - ----- — í“ ]+ c J J 2 2 4 j 4 12 11 ; i ía * ± s F _ ± (2x+ n 4 12 11 I 1 + X dx l + yfx Desarrollo Sea t - y í x =$ t 2 = x => dx = 2t dt J 1+ yJX ' J 1+ t J í + 1 T 2 /3 t2 2J ( r - t + 2 - — )df = 2 [ - — + 2 /-2 1 n |f + l|] + <? = 2[— -----—+ 2[x -2 n | + [x |] + c 1194 f dx J xJ2x +l Desarrollo Integral Indefinida 49 1195 1196 1197 2 . i------- i t —1 Sea t = yj2.V + 1 => r = 2 a + 1 ; x = ------ => dx = tdt f dX - f -y —— = 2 f -y— - In 1 [+c = ln | i * + 1 J x j 2 x + 1 J r - 1 í - 1 V2 a + 1 - 1 yj2x + 1+ 1 . +c - i 2 í dx •je* -1 Desarrollo Sea t = Je' -1 t ~ —e x —1 e x —t +1 2tdt t2 + 1 e cdx = 2id/ => dx = - 2tdt f —I— = f ? ± 1 = 2 f f ' = 2 arctg t +c = 2arctg(V?7 J V ^ -l J f J r + l fln(2x) dx J ln(4x) a Desarrollo ln(2x) = ln x + ln 2 ; ln(4x) = ln x + ln 4 = ln x + 2 ln 2 fln(2x) dx _ j* lnA + ln2 ^ dx _ f ^ ln2 ^dx J ln(4x) x J l n x + 2ln2 a J l n A + 21n2 x = ln x - (ln 2) ln |ln x + 2 ln 2¡ + c f(arcsenx)2 , J Desarrollo ■l) + c
  • 29. 50 Eduardo Espinoza Ramos Sea t = arcsen x => d t - dx v r 1198 1199 f (arcsenr f f 2 / J J T 7 - 1 ■ í Vl- x e2xdx (arcsen*)3 +c = ---------------í-c Vex +] Desarrollo Sea t 2 = ex + 1 => ex = t2 -1 => exdx = 2rdt r e2xdx Cf_- JV77I J r I 1 ltdt = 2(t- - t ) +c =^-í(r2 -3 ) +c - ~ ^ l e x +(ex sen xdx Desarrollo Sea t 2 = eos * => 2t dt = - sen x dx ; como t 2 = eos * => í 4 = eos2 * - 1-sen* *; sen~* = l - í 4 j W « f a = f l z í l . (_2„ d, = - 2 f (1- ,< v , = - 2 ( ,- 4 ) + <' = 7'(>4 J v cosx J t J = y Veos *(cos2* - 5) + c - 2 ) + c 5) + c 1200 f y - J *Vi+*~ Desarrollo Integral indefinida 51 dt t.-z- f - 7 ^ = = í -?==== = - f “7=== = “ In Ir + Ví^+T| +c j *vtt7 j r r . i Vi+*2 1, , ,i + Vi+ *2 , . , * . = —ln |—h----------1-t-c = —ln ¡-------------- ¡+c = ln |------ = = ¡ + c * * * 1+V1+*2 Hallar las siguientes integrales, empleando sustituciones trigonométricas. 1201 I" x2dx JVHv Desarrollo cos0 = V i-* 2 ; sen 9 = x => dx = cos0d0 fW O .c o s I )^ ¡ 2 e d e ^ f i r ” * * ’) J V i-* 2 j cose J J 2 de 0 sen 9 eos 9 arcsen* Vi :-------------------hC= ------------*------- 2 2 2 2 1202 í x'dx &
  • 30. 52 Eduardo Espinoza Ramos Desarrollo Í2 eos8 - 7 2 - x 2 ; x = ¡2sen9 => dx = Í2cos9d9 í x dx y¡2- 2>/2J sen30 d6 = 2V2J (1- = 2¡2(- scn} OdO = 2V2 I (l-c o s¿ 9)sen9d9 = 2a/2(-cos0 + ~"-) + c 7 ^ 7 . 2 - x 2 7 T 7 )+ c V2 2 ' 3V2 1203 I Desarrollo x2 - a2 a.tg# = 7x2 - a 2 ; x = a see 0 => dx = a see 0 . tg 0 d0 7 2 -X 2 f 2V2sen30.V2 eos6d0 J V2cos0 Integral Indefinida 53 f jx2 - a2 _ j>aíg0.íisec0.tg0í/0 _ f ^ 2 J x J asec0 J 6 d 6 = « | (see20 - 1)d9 = a tg 9 - u9 + c - jx2 - a 2 - a.are see(—) + c J a 1204 f dx J x T T T Í = 7 ^2 - «2 -a.arecos(—) + c x Desarrollo ctg0 = -¡= L = ; cos0= — 9 = árceos— 7 7 7 1 x a x = see 0 => dx = sec 0 . tg 0 d0 1205 f — — = fcos0rtg9.scc0.tg0dO - f d 9 - 0 + l -aiccos(—)+ t J x T ^ T J ~ ~ J 7 x2 +1 , — dx Desarrollo tg 0 = x => dv = sec2 0rf0. ; sec0 = 7 x 2 +1 1
  • 31. 54 Eduardo Espinoza Ramos f í £ i . sec= í)< » = r J X J tg 0 J J (see0.ctg 0 + see0. tg 0)d6 - J (ese 0 + see0. tg0 )dd sec0(l + tg~0)úí0 t20 ] _eos f) = ln ¡c sc0 -ctg 0 | +sec0+c = ln| —------ -|+sec0 + c sen0 - _in | - St'n^-1 + sec0 + c = V*2 + 1 - ln | 1 + C OS0 1206 f -----p------ x2y¡4-x2 Desarrollo x = 2sen0 => dx = 2cos0d 0 ; j 4 - x 2 = 2eos0 l +Vx^+ l +c f— = f — 1 J x2y¡4-x2 J 4sen2 2c°s0 1 f 2 ctg0 J 4-X 2 ------------- do = - ese 6 dO = ----- — +c = ------------ 0 -2 co s0 4 J 4 4x +c 1207 x 1dx Desarrollo x = sen 0 => dx = eos 0 d0 ; cos0 = V i-* 2 Integral Indefinida 55 1208 1209 J ¡ l - x 2dx = J 0 sen 0.eos 0 aresen x x ¡ l - x2 2 +* Calcular la integra! I -+c = - +c J V IV T I Desarrollo Sea x = sen2 1 => dx = 2 sen t. eos t dt, 2 2 valiéndose de la sustitución x - sen ‘ t . como x - sen / => sen t ■ Jx t = aresen VI f — * L _ = f - 2sen '-i— - 1 = 2 f - 2 t + c - 2 aresenVI J VIVICI J senrVi-sen2/ J sen/.cosí + c jV ? +x2dx Desarrollo Empleando la sustitución hiperbólica x = a senh t tenemos: Va2 + a'2 = V«2 + «2sen2ht = acoshf ; dx = a cosh t. dt 2 f 1+ cosh 2í , a2 , senh2f J Va2+x2dx = a2J cosh2fdt = «2J -rfí = — (/+- 2 2 )+ r
  • 32. 56 Eduardo Espinoza Ramos 1210 = — (t + senhí.coshO + í' = — ln(x +yja2 +x2) +—4 a 2 + a2 + c 2 2 2 t , , x v « “+ X“ donde, senh t - —, cosh t = ------------ a a e' = cosh t +senh t x +yfa2+x2 í ; 2 x~dx Hallar I r-------- ; haciendo x = a cosh t J T ^ a 2 Desarrollo x = a cosh t => dx = a senh t. dt f x'dx f a2cosh2í.senhí dt 7 f , = I ------------------------= a I cosh t dt Jyj x2 - a 2 J senhí J = ° f + cosh2í , a2 . senh2í, a2 dt = ——[t +~--------] +c = — [t + senhr.coshí] + c 2 2 2 2 como x = a cosh t => cosh t = —, además a ^ L , x x"> +x"senhf = „ l + (~ y V V V 2 I í 2a + x“ , . x + vx~ +a e = senn i + cosn i = ---------------- =» t = l n ---------------- a f x~dx _ a i J x 2 - a 2 a2 , x +4 x 2 +a2 . xyja2 +x2 [ln i---------------- 1+--------r----- ]+c I o 7 o L 1 1 „2 ix - a i2 a = — ln | .v+ [x~ + a 2 | +—yja2+ x~ +k Integral Indefinida 57 4.4. INTEG RACION PO R PARTES.- Fórmula para la integración por partes: si u = vj/(x) y v = <p(x); son funciones diferenciables, tendremos que: » » u dv = uv~ vdu • Hallar las siguientes integrales, utilizando la fórmula para la integración por partes. 1211 J-xdx Haciendo u = ln x =» d u - — x Desarrollo dx dv —dx => v = x nxdx = A lnx- | x —- = jc.ln* —Jt+ cJ*ln xdx - A‘ln x —J x — - . 1212 Iarctg xdx Desarrollo Haciendo u - arctg x => du = dv = dx => v = a- dx (1+ JC2) J r x ¿x i . ,, ?, arctg a*dx = x. arctg x - I ----- = Xarctg x - —ln 11+ x~ | +c 14"X~ J 1213 aresen a dx Desarrollo
  • 33. 58 Eduardo Espinoza Ramos 1214 1216 1217 Haciendo u = arcsen x =$ du = dx dv = dx => v - x arcsen xdx - x. arcsen x - í xdx r. 2 = x arcsen x + v i - x +c xsen xdx Desarrollo Haciendo u - x => d u - d x dv = eos 3x dx v = sen3x í I; xcos 3xdx =- xsen3x fsen3x , xsen3x cos3x í -dx -+c -dx Desarrollo Haciendo u = x => du = dx II dx — => i ex - - I dx x 1 J “ 7 ~ ex ex+ C ~ x + 1 -+c í x.2 ' dx Haciendo Desarrollo u = x => du= dx dv = 2 xdx => v = —- ln 2 Integral Indefinida 59 1218 1219 L 2- ^ = -x .2I - f - 2I ^ = - x . ^ . - J ln2 J in 2 ln2 P 2~* xln2 + l + c = ---------r— +c In-2 2jrln22 Desarrollo Haciendo u = x_ => <ím= 2xáx c/v = e3xc/x ,3* V= ■ xe’xdx Haciendo - u = x => du= dx j 3r . edv - e ' dx => v = — 3x 1 r2 0 <*-.3*2„3* > X „3j x W x = — eJJC- - [ 3 3 3 -P - d x = - e 3x~ e3* + -------+ c 3 3 9 27 2x 2e3x e3x 2 - — (9x‘ - 6x + 2) + c 27 2x + 5)e Xdx Desarrollo Haciendo ju = x -2 x + 5 du = 2(x-X)dx dv = e~xdx => v = -e~x
  • 34. 60 Eduardo Espinoza Ramos 1220 Haciendo « = * -1 => du = dx dv = e~xdx => v = -e~ J (x¿-2 x + 5)e Xdx = -e X(x2 -2 x + 5) + 2 (x -l)(-e x) - 2 e x +c X x3e 3dx Haciendo = -e~x(x2 +5) + c Desarrollo u = x3 => du - 3x2dx X X dv = e 3dx => v = —3e 3 e 3dx = -3x3e 3 - J*(3x2)(-3e 3)dx = ~3x3e 3 + 9 | x2e 3dx Haciendo u = x" => du = 2xdx X X d v - e 3dx => v = -3e 3 J' J’ Haciendo u = x => d u - d x X dv = e 3dx => v = -3e 3 m _ X X X x 3e 3dx = -3 x 2e 3(x + 3) + 54(-3x<? 3 -9 e 3) + c -- X = -3 x 2e 3(x + 3 )-54e 3(3x + 9) + c = -e~3(3x3+ 9x2 + 162x + 486) + c X = —3e 3(x3+3x2 + 54x + 162) + c Integral Indefinida 61 1221 1222 Jxsen x. cosxdx Desarrollo Usar la identidad sen 2x = 2 sen x. eos x í x sen x.eos x d x ~ — í x sen 2x dx 2 J Haciendo u = x du = dx dv = sen2xdx => v - eos 2x f 1 f N, 1 , x . sen2xN j xsenx.cosxdlx = —J xsen(2x)dx = —(——cos2xh----- — ) + c 2 2 x . sen2x = — cos(2x) + ----------ve 4 8 í (x2 + 5x + 6)cos2xdx Desarrollo Haciendo u = x2 + 5x + 6 => du = (2x + 5)dx dv —eos 2xdx => v = sen 2x i(x‘ + 5x + 6)eos 2x dx = x + 5x + 6 sen(2x)— | (2x + 5)sen2xdx 2 2 a Haciendo u = 2x +5 => du = 2í/x dv = sen2xdx => v = eos 2x
  • 35. i i 62 Eduardo Espinoza Ramos i (x2+5X+6)co&2xdx = ^ 5 ± l sen2xA {. ^ l l cos2x + ^ l ) +c 2 2 2 2 2x2 +lOx + l „ 2x + 5 = — --------------sen 2x + ---------- cos2x + c 4 4 1223 j x 2lnxdx Desarrollo Haciendo u = ln x => du —— dv = x2dx => v = — 1224 f 1.. > / ** i f ** dx x3 , jr3i lu u/< In r - I-------* — ln jc------ J ’ J 3 x 3 9 J ln1x dx + c Desarrollo Haciendo M= ln*x => du = 2lnx. d v - d x => v = x dx j l n 2x.dx = xla2 x - jx.2ln x.— = xn2 x - 2J*ln xdx Haciendo m= ln x => du= — x d v - d x => v —x ln2x.dx = xln2x-2xlnx+2x+c Integral Indefinida 63 1225 1226 1227 flnj J x3 dx Desarrollo Haciendo u = lnx => du _¿x X 1- ll ^18- => v = 1 2x2 lnx dx _ 2x2 . ! 2x2 X -+ c 4 x dx Haciendo u = ln x => du= — x dv = => v = 2VI lx Desarrollo dx dx = 2V i ln x - 1 2V i ^ = 2V I ln x - 2J V i y = ^+‘ í xarctgx</x Haciendo Desarrollo . dx u = arctgx => du ------- - 1+ x2 dv - x d x => v — 2 Jxarctgx<it =^-arctgx-2 J ——- d x arctgx ^J(1 ^_ x^ dx
  • 36. 64 Eduardo Espinoza Ramos x2 1 * * + 1 , x - — arctg*H— atctg*— +c = --------arctg* - —+ c 2 2 2 2 2 1 1228 * arcsen* dx Haciendo u - arcsen x => du = dv = xdx => v = — Desarrollo dx síi^ x 2 dxf ¿ X 1 l C X 2c I x arcsen xdx =— arcsen*— —¡= J 2 2J ^ Z x2 Sea x = sen 0 => dx = eos 0 d0 V i-sen29 = f« n ’ #«,»= í í ^ í " , » -2 ““sen2O.cosOdd = j sen"t) dt) = j ----— 9 sen20 9 sen9 eos9 arcsen* * v l- * 2 2 4 2 2 Luego: * arcsen xdx = — arcsen * - —( J 2 2 2 1 arcsen* *Vl - * 2 ) + c arcsen* * r , T + -V 1 -* +c 1229 J ln(* + Vi + *2W* Desarrollo Haciendo u = ln(*+Vl + *2 => = dv = dx => v = * dx V1+*2 Integral Indefinida 65 1230 1231 1232 f ln(* + Vi + *2)d* = *ln(* + Vi + *2) - í - /==== zzx]n(x+'h+x2)-'J +x~ +c J J Vi+*2 í xdx en2* Desarrollo *cos ec2xdx Haciendo íw = * =i> du = dx líiv = cosec2xdx =£ v = -c tg * J- A = -c tg * + j c tg * dx = xc tg * + ln | sen * | +c j sen * J f xcosxdx J sen2* Desarrollo f * c o s * ^ _ f xcosecxcXgxdx J sen"* J Haciendo u = x => du =dx dv =cosecx.ctgxdx => v = -cosecx f.vcosx , f , I —dx = -eosecx- I -eosecxdx J sen * J X x = -xcosecx + ln Ieos ecx - c tg * | +c = --------- + ln ¡tg—| +c sen* 2 íex sen xdx Desarrollo
  • 37. 66 1233 Eduardo Espinoza Ramos Haciendo u = sen x => du = eos x dx I dv = e dx => v = e exsenx d x - e x sen x - j e * cosxdx u = eos x => du = - sen xdx Haciendo I d v -e * d x => v = e* e*sen xdx = e* sen x -(e * eos x — e * ( - sen x)dx) J‘ J‘ = e* sen x - e* cos x - I ex sen xdx = — (senx -eos x) + c 2 1 3* eos xdx Desarrollo Haciendo u —eosx => du = -sen x dx 3* 1 3Xeos xdx = dv = 3xdx => v 3* eos x ln3 I- ln3 3X , 3Xeos ——sen xdx = -------- ln 3 ln 3 í + — f ln 3 j 3Xsen xdx Haciendo w=senx => du = eos xdx 3X dv = 3xdx v = - ln3 , 3*cosx 3* sen x 3 cos x d x - --------- -H---------— ln3 ln3 - ¡ y 3Xeos xdx , 3*(sen x + ln3cosx) 3 cosxdx = ----------- ----------------- -c ln 3 +1 Integral Indefinida 67 1234 1235 í eax sen(bx)dx Desarrollo m= sen(¿x) ==> du = b cos(bx)dx Haciendo dv = emdx =* v = ---- a feax sen(bx)dx =sen bx - b e— cosbxdx = e- ^ ^ - b f•* a J a a a J Haciendo u = eos bx => du = -b sen bxdx e“* dv = eaxdx => v = - a Jeax sen bx dx = e™senbx b . e ^ cosbx b --- (■ a a a +— fe sen bxdx) e“*sen bx b m b2 f „ -----—e eos bx— - l e senbxdx a~ J 7>J(1+ —r) I e“*sen bxdx = a a aeax sen bx - beaxeos bx l ax , , ax.asenbx-bcosbx, J e sen bx dx = e°*(--------- — —------ ) + c a2 +b2 Jsen(ln x)dx Desarrollo eos bxdx Sea z = ln x => x - e z => dx = e zdz
  • 38. 68 Eduardo Espinoza Ramos f f ez sen ^—e" eos 7 J sen(ln x)dx = I ez sen zdz = -------- — ----------+ c , por el ejercicio 1234. í e njrsen(lnx)-e cos(lnx) x sen(ln a) - xcos(ln x) sen(ln x)dx = ---------- ------------------------- - + c = ----------------------- ------- + c 2 2 Hallar las siguientes integrales, empleando diferentes procedimientos: J a - ' ,1236 I x e~x dx ' Haciendo • Desarrollo h = x2 => du = 2xdx e-* dv = xe~* dx => v = ■ j x 3e x dx = -~^-e x ~ j ~ xe * dx = - ~ - - X 1 e x e x ■> e ----------i-c = --------(x~ + 1) + c 2 2 1237 I e ^ d x Desarrollo Sea z2 = x => dx = 2zdz J"e ^ d x = 2 f zezdz Haciendo u = z => du —dz dv = ezdz => v = ez ^ e ^ d x = 2J zezdz = 2(zez - e z) + c = 2(yfxe'^x - e ^ ) + c = 2e'^x([x - l) + t Integral Indefinida 69 1238 1239 J (x -2x+ 3)lnxdx Desarrollo Haciendo u = ln x => du= — x dv = (x2- 2x + 3)dx => v = —— x2 +3xi . 3 J*(jc2 -2 x + 3)lnxdx = ( ^ - - x 2 + 3x)I n —J * — jc+ 3)dx fxln (|—:-)dx J 1+ x r 3 3 2 = (------x2 + 3x)lnx------- ¡-------3x + c 3 9 2 Desarrollo J x ln(|—-)dx = J"jcln(l —x)dx - J x ln(l + x)dx integrando Jxln(l-x)dx (1) Haciendo u = ln(l - x ) => du = - dv - xdx => v = — 2 dx - x Ixln(l - x)dx = — ln(l - x) + ^ 2 J 1- 2 x2 dx = — ln (l-x )+ [ x 2 1 f(_x_l+J-2 J 1-; )dx] (2)
  • 39. 70 Eduardo Espinoza Ramos iintegrando I xln(l + x)í/x Haciendo u = ln(l + x) du = dv = xdx => v = — 2 dx í+ x I x ln(l + x)dx - — ln(l + x) _ I f . 2J 1 x2 x2 — dx =— ln(l + x)- + x 2 - f ( x - l + — 2 J 1+ ; ■)dx X X X 1 = — ln(l + x ) - — + -------ln(l + x) 2 4 2 2 ... (3) reemplazando: (2), (3) en (1) se tiene: fxln(-—-)<£t= — ln(l-x)-—— — ln(l—x)—— ln(l+x)H---------H—ln(l+x) J 1+x 2 ' " " "4 2 2 4 2 2 x2 , 1 -x 1, ,1-x. x2 - l . ,1 - * . = — ln---------x — ln(--) + c = ---------- ln |-------1- x +c 2 1+ x 2 +x 1+ x 1240 I n¿x dx Haciendo Desarrollo dx u = ln x => d u - 2lnx. dv dx 1 Integral Indefinida 71 1241 1242 Haciendo u = ln x => du= — x . dx 1 d v - — =* V —---- x¿ X ñ ln2x lnx f dx . ln2x 2 lnx 2 -dx = — — + 2(— x- x f ln(ln x) í y -dx Desarrollo Haciendo u = ln(ln x) => du = i dx idv —— => v = ln x x dx xln x ln(in jc) dx = ln x.ln(ln x) - I ln x.- J dx xlnx = (ln(ln x) - 1) ln x + c = ln x. ln(ln x) - ln x + c x arctg(3x)í£c Desarrollo Haciendo u = arctg(3x) => du = j 2 , x dv = x dx => v = -—- 3dx l +9x2 J , x3 x arctg(3x)dx = — arctg(3x) - f x dx _ x' J l+9x - f ( - — — - J 9 162 1 18x + 9x2 -)dx J x 1 - — arctg(3x)-------1----- ln 11+ 9x2 | +c 3 18 162
  • 40. 72 Eduardo Espinoza Ramos 1243 i ■ 1244 I x(arctg x)2dx Desarrollo Sea z = arctg x =* x = tgz => dx = sec2 z dz JA(arctg x)2dx = Jz2 tg z.sec2 z dz u - z 2 => du = 2zdz Haciendo 7 t g 2 Z dv = tgz.sec zdz => v =—— 2 7 2 - 2 = — tg2 z +~ - I zsecz zdz j*x(arctgx)2í¿x = ^ -tg 2z - J z t g 2 zdz =~~tg2 z - j"(zsec2 z~z)dz - I ' integrando J z sec2 z dz = z tg z + In | cos z | es por partes Jx(arctg x)2dx = -y (tg2 z +1)- z tg z - In | cos z | +c Í (arcsen x)2dx z2 = — (tg2 z + 1)- z tg z + In | sec z | +c = i arct§ AL ( Ar2 +l)-jcarctgA + 2ln(l + x 2) +c Desarrollo Integral Indefinida 73 1245 Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz J (arcsen x)2dx = J z2cos z dz Haciendo u = z2 =* du = 2z<iz dv = cos zdz => v = senz J (arcsen x)2dx = z2sen z - 2J zsen z dz I'm= z => du=dz dv = sen z*/z => v = -cos z J (arcsen x)2dx = z2sen z - 2(-z cos z - J - cos zdz) Haciendo z 1 sen z + 2z cos z - 2sen z +c = jc(arcsen x)2 +2V1- x2 arcsen x -2 x + c f arcsen x IX Desarrollo J „ -dx x2 Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz farcsenx^_ f /- Coszdz= f zctgz.coseczcfz J x J sen z J Haciendo U - z => du =dz dv = c tgz.coseczdz => v = -cosecz f arcsenx . f , z , f dz »-------- dx = -zcosecz — I-coseczdz =------- + >----I---------- dx = -zcos ecz - I -cos ecz az = ---------+ i ------- J x2 J sen z J sen z + ln |tg (-)|+ c senz 2
  • 41. 74 Eduardo Espinoza Ramos 1246 1247 farcsenx , z , ,.,arcsen*,,*L ,I---------- dx = ---------+ ln|cosé,c z -c tg z | = -------------+ ln¡------- |+c J * sene * 1+ V 1-* f arcsen J jr r x dx Desarrollo Sea [z = arcsenV* => V* = sen z * = sen2 z => í/* = 2senzcoszdz f arcsen V* , f z-2senz.cosz ,„f, I — -------dx - I— -dz = 2 I zsenzaz J v i - * J V i-sen2 z J Haciendo u = z => d u = d z dv = senzdz => v = -cosz f arC^en -* dx = 2(-z eos z - f -eos zdz) = -2z eos z + 2 sen z + c J Vl~ * J = -2arcsen V*Vl~* +2fx +c Jx tg 2*rf* Desarrollo (*sec22x -x )d x Haciendo u = x => du =dx dv = sec2 2xdx => v = ^ Integral Indefinida 75 1248 1249 I sen2 x , --------dx Desarrollo i 2x , f l-co s2 *f sen" x f 1- cos 2x 1 f 1 f , I--------dx= I------------ dx =— e dx---- le eos 2xdx J ex J 2ex 2 J 2 j 41- e ~2 e JCcos2xdx ... (1) 1 integrando le *cos2xdx, por partes se tiene: Haciendo u = eos 2x => du = -2 sen 2x dx dv = e~xdx v ——e x j e ~ xcos2xdx = e'' co&2x+2je~xsealxdx integrando por partes se tiene: j*e~x eos 2x dx = -------------- -------------- ... (2) f sen2x , e~x /co s2 * -2 se n 2 * -l reemplazando (2) en (1) se tiene: | ------— dx = —r- (---------------------------- ;--) + <■ y r J eos2(ln x)dx Desarrollo , J 2 1+ eos 2* Usar la identidad eos x = ------------ J eos2(ln x)dx = J 1+ COS^2ln X- dx = ^ ^ J cos(2 ln x)dx ... (1)
  • 42. 76 Eduardo Espinoza Ramos Sea z = ln x => x —e l => dx —e'dz J cos(2 ln x)dx = J e zeos 2z dz «=ez =>du =ezdz Haciendo dv = cos2xdx => v = - sen2z J cos(2 lnjc)í/jc = y sen 2z - —J e~ sen 2zdz Haciendo u - e z =$ du = ezdz. d v - s t n l z d z =* v = - cos2z Icos(2 ln x)dx = — sen 2z - - f ( - — cos2z + - (Vcos22<fe) 2J 2 2J = - sen 2(ln x) + - cos(2ln x) - - f eos 2(ln *)cfx 2 4 4 J 1 cos(2 ln x)dx - 2x sen(2 ln x) + x cos(ln x) ... (2) reemplazando (2) en (1) se tiene: ‘l + cos(21nx)x x cos(2 ln x) + 2x sen(2 ln x) 1250 j*eos2(ln x)dx = J - I x dx (1+ *2)2 -dx = —+- 2 Desarrollo 10 + c Integral Indefinida 77 Haciendo u = x => du =dx dv = xdx (1+ Jr2)2 => v = — 1 2(x +1) 1251 — f - + ( J (l + x2)2 2(x +1) J í dx 2(x +1) J 2(x +1) 2(x +1) 2 x 1 ^----- + —arctgx + c dx (x2 + a 2)2 Desarrollo Sea x = a tg 0 => dx = a see2 9 dd f dx _ f a sec~ 9 d9 fa s J ( x 2 + a 2)2 J(a2tg: 0 + a 2)2 J a see2Odd 4 sec49 =4r [cos2Odd =-2- f(l +cos26)dd = -— ■+ a3 J 2a3 J 2a3 9 sen 9 cos 9 ---------+ c 2a3, arctg(-) arctg(-) /7 CL 1 /i X --------- r — + -------r -------------- + C = ----------------------------h —-------- ^ ) + C 2a' 2(«‘ + x ) a 2a2 a a + x 1252 JJ a 2 - x 2dx Desarrollo Sea x = a sen 0 => dx = a cos 0 d0 X X sen9 = — => 9 = arcsen(—) a a J*'Ja2~—x2dx = jy fa 2 - a 7sen29.acos9d9 - a2jc o s 29 d9
  • 43. ¡ 7g Eduardo Espinoza Ramos 2 f l + cos20 a" a" a = a2 I ------------¿Q = — 0H-----sen0cos0+í J 2 2 2 « * 1 2 2 ,= — arcsen(—) + —va -•* +c 2 a 2 1253 |V a + ;c2</;c Desarrollo Sea x = VÁtg 9 => dx = VÂ see29 d9 tg 9 = -4= => 0 = arctg(-^=) Va Va JyjA +x2dx = Js¡A + Aig29.yfÁ sec2dO = J Asee39 dO se integra por partes: JA see30 d9 = AJ(1+ tg29 )see 9 d9 = AJ(sec0 + tg29 see 9)d9 = A ln|sec0 + tg0 |+ A tg 0 se c 0 -A jse c 30¿0 = y [ln |see0 + tg0 | + tg0sec0] + c JV Â 7 7 d x -= |[ l n I I + ^ V Á ^ 7 ] + c —1n Ia:+ yfÂ+x2 +—VÁ+~? + k 2 2 Integral Indefinida 79 1254 1 x2dx y¡9-x2 Desarrollo x = 3 sen 0 => dx = 3 eos 0 d9 X x sen0 = — => 0 = arcsen(—) 3 3 f x2dx (*9sen20 f , I -y- — = I ----------.3cos0 dO = 9 I sen' 0 ¿0 J V 9-.Ï2 J 3eos0 J = 1 1 - 90 9 2eos 9)d9 = —-— sen0eos0 + c 2 2 9 -v 9 x y¡9-x2 9i jc r 7 = —aresen(—)— ( - ) -----+ c --a rc se n (-) — yJ9-x~ +c 2 3 2 3 3 2 3 2 4.5. INTEG RALES ELEM ENTALES QUE CONTIENEN UN TRINOM IO CUADRADO.- 0 INTEGRALES DEL TIPO. 171X + Yl . dx, el procedimiento es el siguiente: El trinomio der , J ax +bx +c segundo grado ax2 + bx+ c, se reduce a la forma 2 "y ax +bx +c = a(x+k) + L , donde k, L; son constantes y esto se consigue completando cuadrados. © INTEGRALES DEL TIPO.- í mx +n d x , los caiculos son analogos del 1) y después son fax2+bx +c integrales inmediatos.
  • 44. 80 Eduardo Espinoza Ramos © INTEGRALES DEL TIPO. (mx + n) , se usa la sustitución inversa-------- = t (mx + n)¡ax2 +bx +c ,nx + n © INTEGRALES DEL TIPO.- 1255 I ax1 +bx +c d x , se completan cuadrados y la integral se reduce a una de las integrales principales. dx x2 + 2.x+ 5 1256 Desarrollo x +2x +5 J (x + 1) + 4 2 dx Ix Desarrollo x 2+2x f dx _ f dx _ f dx _ 1 1 | x +1 —1 J x 2+2x J x 2+2x + 1-1 J(x+1)2-1 2 x+ 1+ 1 2 x+2 1257 1258 J 3x2 —x + 1 dx 3x2 —x + 1 xdx x 2- 7 x + 13 Desarrollo dx 1 f dx 3 6 x -l. U n 3 3 6 36 Desarrollo Integral Indefinida 81 1259 1260 1261 f xdx _ 1 2 x ~ l 7 J x 2 -7 x + 13 2 ] x2- l x + 3 + ~x2- 7 x + l3)dX j* 3x J x 2 - 2' 4 3x —2 -dx 4x + 5 Desarrollo - i f - î ï = i _ * + 4 f * J x -4 x +5 J x~ - 4 x +5 2 j x 2 - 4 x +5 J x 2- 4 x +5 = - ¡ n l x 2 - 4 x +5 j+ 4 j— = |ln |x 2-4x +5|+4arctg(x-2) +c f (x -1 )2dx Jx2 + 3x+4 Desarrollo 9 f (x -1 Ÿ dx _ f 5x + 3 5 f 2x + 3Ô J ^ +í«+4 - J <1" ? T 5 7 rï>& =I- [l J <ï w ï - 7 7 f c 7 ^ 1 f ^ - 3 a + í f — ± — ^ +3^+4 2 J u + 3 )¡ + 7 2 4 - x - - ln | x2 + 3x + 4 1+ ~ a rc tg (-^ Íl) + c 2 V7 V7 f x2dx Jx2 - 6 x + 10 Desarrollo
  • 45. 82 Eduardo Espinoza Ramos f x2dx f 6x-10 w f f 6x-10 J I í— ------- = (l + -r------------------------- )dx = dx+ - T-~--------- dx J x -6x + 10 J x -6x + 10 J J x~ - 6x +10 f 2 x -6 f dx = x + 3 —----------- dx +8 -------- J x -6 x + 10 J (x -3 ) +1 1262 J (x -3 )¿ = x + 31n | x 2 -6 x + 10|+8arctg(x-3) + c dx y¡2+3 x - 2 x 2 Desarrollo 1263 f dx (* dx 1 f dx ¡2 + 3 x - 2 x 2 J j 2(l + 3 x _ x2} 4 2 J J 1 + 3 x _ x2 72 í í x 1 ,4 x - 3 , r I i ~ -------= —¡=arcsen(--------- )+ c y jx - x 2 Desarrollo dx 1264 ¡ f s dx = arcsen(2x -1) + c + px +q Desarrollo ' ~=f~j--------~ X = n x + £ + 4 x 2 + px + ql +c J X + DX + a J l r> ^ n Integral Indefinida 83 f 3 x -6 J [x2- 4 x +‘. 1265 I ------ dx h5 Desarrollo ~ 2 w— dxJ ’ í i S — s L f J y¡x - 4 x +5 * lx - 4x + 5 /------------- x —2 Sea u = x 2 - 4x + 5 => du = —= = = = ■ dx Vx2 -4 x + 5 f —-j2~^L=Jt=dx = 3 f - — L=^===rdx = 3 Idu = 3u +c = 3-v/*2 -4 x + 5 + < J ¡x2 - 4 x +5 * v x 2 - 4 x + 5 J 1266 J 2X 6...-dx 2 x -8 Vi - x —x” Desarrollo f = f e * +1)- y = f-7J £ Ü_*=9f J y j l - x - x 2 J >jl—x -x ? * j - x - x 2 J « f ) 2 - U + 2-), )5 = -2 -v /l-x -x 2 - 9 arcsen(— Í - ) + c yf5 í 1267 I -= ==J====dx V5x2 - 2 x + l Desarrollo f , - dx = l [ ^ - 1)+ 1 dx » v5x2 -2 x + l 5 J v5x2 - 2 x + 1 ^ ..... * + l f . ^ J v 5 x 2 - 2 x + l V5x2 - 2 x+ 1
  • 46. 84 Eduardo Espinoza Ramos = -->/5jc2—2x+l h— í= f - . = 4 ^ 7 ^ + J _ to U _ i t ^ T | 7 J | +c - ) 2 + ( -)2 5 5 1268 J dx x J l- x 2 Desarrollo Sea x = - => dx = —~ t t2 J- dt = - l n | i + ——— | +c = ln | ----- vX | +c . * * Í + V i^ ^ - 1 1+c 1269 1 d;c x¡x2 + JC+1 i Sea x =- => dx = ~ — t t2 Desarrollo J dt_ dx = f 12 = _ f dt _ _ r dt 4 2 / 2í- ^ ,2 - j r= - arcsen(—= -) +c - ~ arcsen( )+ c v5 V5x Integral Indefinida 85 1270 1271 1272 f ___ dx J (x —(x-l)y¡x2 - 2 Desarrollo 1 1 i j dt Sea t - ----- => - = x - l => dx = — - x - l t t2 _dt í ____ * ____ , r y , . = j J í r _ n J J I 2 J i [ i .„2 „ J = -arcsen( — ) + c 1 (jc-I)Vjc2 - 2 J l ^ l + 1)2_2 J Vl + 2 í- í2 J 2 ( x - D dx (x +l)4x2 +2x Desarrollo i 1 di ' Sea x +1 = - => dx - — — í í2 dt 1 -arcsen t +c = ~ arcsen(------ ) + c x +l r _ _ _ ¿ __________ r * — . ' - J (~ -l)2+ 2 (--l) ^ í V t t yx2 +2x +5dx Desarrollo * J V 7 7 2 ^ 5 d x = JV Ü ^ Í)2 +4dx yj(x + l)2 + 4 + -ln | jc+ I+ Ví-í + I)2 + 4 l+c X + l 2 v 2 = £ ± IV x 2 +2x + 5 + 21n|x + l + >/x2 +2x + 5| +c 2
  • 47. 86 Eduardo Espinoza Ramos 1273 1274 1275 1276 S ' / * - * 2 dx Desarrollo 1 j f x x~dx - j ( x - —)2dx = ——í - J x - x 2 +-^.iarcsen(2*-l) + c 2 x -l I 2 1 - — -— x - x + -arcsen(2A-l) + c 4 8 -ji1dx Desarrollo l { ' f a - x - x dx= í j —-(*+—)-dx =—- 2 .y j2 - x - x2 +—arcsen(-^-í-í-)+c J J V4 z 2 2 4 3 _ 2x +l £ 7 92*+ l -------— 2 - x - x +-arcsen(------- ) + c 4 8 3 ; xdx Jx4 - 4x24x2+3 Desarrollo f _ xdx _ f xdx 1 1 x2 - 2 - 1 . _ J -4^+3-JÍ7TÍ7TT=i -2lnITTiTI1+" i ln17T71+c I (a2 - 2 ) 2-1 2 2 ' x2- 2 + 1' !~ 4 ' x2—1 eos xdx í+ 12 • Desarrollo sen2x-6sen jc+ 12 Integral Indefinida 87 1277 1278 1279 T exdx J y¡Vve*~+e2x Desarrollo - + yjl +ex +e2* I+c í senjedx Veos2x + 4cos.x + l Desarrollo f sen a¿y _ f sen .ydx J Veos2x + 4cos.x + l J y[(cosx + 2 y - 3 = - l n |cosx + 2 + Vcos2 * + 4cosx + l |+c f lnjcrtx J * V l-4 1 n x -ln 2 x Desarrollo lnxdxf ln xdx f ____J| Jx ¡ l- 4 n x - ln 2 x J Xy¡5- (ln x + 2)2 dx , t Sea u = ln x + 2 => du - — , ln x - u - 2 x f lnAdt j" lnxdx _ |‘(m-2)¿m _ |* udu ^ j* du J vVl-4ln;c-ln2a Jxy¡5-(nx+2)2 J yj5-u2 Jy¡5-u^ Jy¡5-u2 ,lnA+ 2x - -y¡5 - ii' -2 arcsen(-^=r)+c = -V 1- 4 ln a - ln"a - 2arcscn( j - ) + c
  • 48. 88 Eduardo Espinoza Ramos 4.6. INTEG RACION DE FUNCIONES RACIO NALES. ® METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS.- Consideremos dos funciones polinómicas: P(x)=bnx" +bn_]x n~i +...+blx+b0 y Q(x)=amxm+amAxm~{+...+alx+a0 Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas, es P(x) decir Q(x) Cuando el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x) a la función racional se denomina función racional propia, en caso contrario se denomina impropia. Si la función racional es impropia al dividir el numerador por el denominador se puede representar la función dada como la suma de un polinomio y de una función racional. P(x) R(x) Es decir: ------ = C(x) + ---- ^, donde el grado de R(x) es menor que el Q(x) grado de Q(x). Q(x) Nuestro interés es la integración de las funciones racionales propias: P(x) í Q(x) d x , para esto consideremos los siguientes casos: PRIMER CASO: Cuando los factores de Q(x) son todos lineales y distintos. Es decir: Q(x) = ( x - a y) ( x - a 2)...(x-an) , para este caso escribiremos: donde Al ,A2,...,An , son constantes] P(x) Q(x) x-a¡ x - a 2 x - a n que se van a determinar. Integral Indefinida 89 SEGUNDO CASO: Cuando los factores de Q(x) son todos lineales y algunos se repiten, suponiendo que (jc -a ,) es el factor que se repite P veces, para este caso existe la suma de P fracciones parciales. A A, AP — — + -----3 _ + ... + ------c— x-a¡ (x - a ¡ f ( x - a i)p donde A,, A2, A3,..., Ap , son constantes que se van a determinar. TERCER CASO: Los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos irreducibles y ninguna de los factores cuadráticos se repiten. Para el factor cuadrático x2 +bx + c la función racional es de la forma: Ax +B x2 +bx + c CUARTO CASO: Cuando los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos y algunos de los factores cuadráticos se repiten. Si x 2 +bx +c es un factor cuadrático que se repite m veces, entonces las fracciones parciales correspondientes a este factor son de la forma: A|X+P| A2x + B2 ^ j ax2 + bx + c (ax2 +bx + c)2 (ax2 + bx + c)m (2 ) METODO DE OSTROGRADSKI.- Si Q(x) tiene raíces múltiples, se tiene: P^ d x = X M + ... (a) • Q(x) Qx(x) J Q2(x ) donde Qt(x) es el máximo común divisor del polinomio Q(x) y de su derivada Q'(x).
  • 49. 90 Eduardo Espinoza Ramos 1280 1281 & (*) = -“ :* 0i W . X(x) e Y(x) Qi(x) son polinomios con coeficientes indeterminados, cuyos grados son menores en una unidad que los Q¡ (x) y Q2(x), respectivamente, los coeficientes indeterminados de X(x), Y(x) se calcula derivando la identidad (a). Hallar las integrales: dx J(x +a)(x +b) Desarrollo ^ , efectuando y agrupando: Cx +a)(x +b) x +a x +b A +B = 0 } i i 1 A = -------- , B = - Ab+ Ba = l! a —b a —b f, * - M — i-*---L . fJ Ü - + - L . fjJ (x + a)(x + b) J x + a x + ba - b J x + a a - b j a dx Tb 1 > i i l . i ,i x + b , -ln | jc+ « | h------- n x +b+c = -------ln | -------¡+c, a ^ b a - b a - b a - b x+a I x 2- 5 jc+ 9 x2- 5 jc+ 6 dx Desarrollo Integral Indefinida 91 1282 1283 1 dx (jc—1)(jc+ 2)(jc+ 3) 1 Desarrollo A h— — + — — , efectuando y agrupando: (jc-1 ) (jc+ 2)(.x+ 3) jc—1 x +2 x + 3 1= (A +B +C)x2 +(5A +2B +C)x +(6A - 3B - 2C) A +B + C —0 5 A + 2B + C =0 6 A -3 B - 2 C = 0 A = — ; B = - ~ ; C = - 12 3 4 J dx (jc-l)(;t+2)(x + 3) B C u+ ------- 1------- )dx x+2 x+3 _L f dx 1 f dx +J_ f 12 Jjc-l 3 J x +2 4 J dx „t+ 3 1 ln !jc—11---In ! x +2 |+ —ln | x + 3| +ci i 3 i 4 12 = -|-[ln |x -l¡-4 1 n |x + 2 |+ 3 1 n |x + 3|] + c ln|- 12 12 (x+3) 1 , . (jc-IXjc+3)3 |+c r 2x2 J ( x - i ) + 4 U - 9 1 1)(jc+ 3)(jc- 4 ) 2jc + 41jc—91 -dx Desarrollo A B C h------- +.-------, efectuando y agrupando se obtiene: ( x - 1 ) ( j í + 3 )(x -4 ) x - l x +3 x - 4 2x2 +41jc-91 = (A +B +C)x2 + (-A -5 B +2 C )x -l2 (A -4 B +3C)
  • 50. 92 Eduardo Espinoza Ramos 1284 A + B + C = 2 de donde se obtiene: - A - 5 B +2 C -41 -(12A -4B + 2C) = -91 resolviendo se tiene: A = 4, B = -7, C = 5 2x2 + 41x-91 (x -l)(x + 3)(x + 4) -dx ■ M r-J JC—1 X + + 3 ,n |íit^ - 4)5|+c x + 3 x - 4 (x + 3) 5x +2 x3+ 5x2+ 4x dx Desarrollo 5x3 +2 . 25.x2 -2 0 * + 2 , 25x2 -20* + 2 — ------- -------- = 5 + — -------- ----------= 5 + ------------------------ x - 5 x +4x x - 5x“+ 4x x(x 4)(. I) 25x2- 20x + 2 A B C x (x -l)(x -4 ) x x-1 c - 4 de donde 25.v" —20x +2 —{A +B +C)x~ +(5A —4B~ ( )x ■+4A A +B +C = 25 - 5 A - 3 B - C = -20 4A = 2 1 „7 ^ 161 , resolviendo el sistema: A .11 . C = — 2 3 6 Integral Indefinida 93 1285 1286 í dx x(x + l) 1 Desarrollo = —h—— + — —— , efectuando la operación x(x+ l)2 A' X + l (x + l)‘ l = A(x + l) 2 + B x(x + l) + Cx => 1=(A +B)x2 +(2A +B +C)x +A , de donde: resolviendo el sistema: A = 1, B = -1, C = -1 A+B = 0 2A + B+ C = 0 A = 1 dx JJ x(x + l)2 J * X+l (x + l) ,A B C(_ + -------+ . ~ ) d x = [ ( i — 4 - — -^ J X x 1 (x + l)" )dx = ln x-ln Ix + l I+—— +c = ln | ----- ¡+-------+ c 1 1 x + l x + l x+ l f —J 4x3- A dx Desarrollo * _ i x3—1 1 4-= - +- ^ x - 4 4x3 x 4 4x' x x(x + 2 )(x _ ^) A B C 1. ~ x + 1 + 1x + — x — 2 2 B C A de donde x - 4 = (A+B + C)x2 + ( - —+ —)x —— 2 2 A A +B +C = 0 _ B C =1 2 + 2 resolviendo el sistema: A =16, B =-9, C =-7
  • 51. 94 Eduardo Espinoza Ramos 1287 - ^ T ^ d x = IVJ 4 x - x J 4 A B C w . t i H-----1------ —-i------ 7~)dx ——i— | 1 . 4 x , 1 „ 14 16J , l v 1, í- x - 4 í/x x + — x — 2 2 x(x + - ) ( x - - ) 2 2 x 1 f 16 -9 7 x 1 ri¿, , L ti , —h— I (— +-— -------- r)dx = —h— [16lnx-9ln(x+ —)-7 ln (x -~ )] 4 16J x 1 1 4 16 2 2xH— x— 2 2 x 1 . =—+—ln4 16 „16 (x + i ) 9( x - i ) 7 2 2 | +c = —+ — ln | 4 16 (2x + l) (2 x -l) y + c f x4- 6x3 J x3- 6x2 + 12x‘ + 6 + 12x -8 dx Desarrollo x4- 6x3+ 12x2+ 6 x3- 6x2+ 12x -8 :x + - 8x + 6 x - 6x‘ + 12x - 8 = x + - 8x + 6 (x~ 2)3 í x4- 6x3+ 12x2+6 x3- 6x2+ 12x -8 í ‘ dx = I (x + 8x + 6 ( x - 2)3 )dx __x1 + 2 B ( x - 2)2 ( x - 2)3 )dx 8x + 6A + — ! L _ +_ C _ =>sx +6 = Ax2 + (B -4 A )X+2 A - 2 B +C ( x - 2)3 x -2 ( x - 2)2 ( x - 2)3 A = 0 .B-4A = 8 2 A - 2 B +C = 6 , resolviendo el sistema se tiene: A = 0, B = 8, C = 22 x4- 6x3+ 12x2+ 6 , x2 f 8 22 w —------ --------------dx =— + (-------- - + ------— )dx Integral Indefinida 95 1288 1289 ___8 11 2 x -2 ( x - 2)2 C f (5x2+ 6x + 9)dx J (x -3 )2(x + 1)2 Desarrollo 5x2+6x + 9 _ A B C D (x -3 )2(x + 1)2 ~ x - 3 + (x -3 )2+ x + 1+ (x + 1)2 5x2+ 6x + 9 = (A + C)x3+ (-A + B - 5 C +D)x2 + +(-5 A+2B +3 C - 6D)x + (-3 A+B +9C +9D) A +C = 0 -A + 5 -5 C + D = 5 -5 A+ 2Z?+ 3C - 6D = 6 -3 A+ B +9C +9D = 9 9 l resolviendo el sistema se tiene: A = 0, C = 0, B = —, D =— 2 2 f 5x2+ 6x + 9 J 9 C dx 1 f dx 9 1 1 , 1 , ------------ ------------r - d x = - ------------T + - I ----------------------------------------------------------— = - ( ----------) - (------ j (x -3 )2(x + 1)2 2J (x -3 ) 2J (x + 1) 2 x -3 2 x + 1 f + 7 J(x2-3 x -1 0 )2 X Desarrollo f x2- 8x + 7 J f x2-8 x + 7 , I —i-------------^rdx— I ---------- --------- dx J (x -3 x -1 0 ) J (x -5 )2(x+ 2)2
  • 52. 96 Eduardo Espinoza Ramos 1290 1291 , A B t C | D x - 5 + (x -5 )2+ x+2 (x +2)2 x 2- 8jc+ 7 = A(x +5){x +2)2 + B(x + 2)2+ C(.x + 2)(x - 5)2 + D(x - 5)2 i ! « = _ A C = - — __ 343 ’ 49 ’ 343 ’ 49 f x2 - S x +1 , 3 0 , , c , , 8 1 30 , , J *=5 4 3 ln1' - 5 1 - - 3 « ln1A+21" = _ » ________ - — +ü L i „ |— j * 49(jc—5) 49U + 2) ~ ~ J(aT 30 8 30 n - 27agrupando y resolviendo se tiene: A = ——, B - - — , C - - ——, U - - 49(jc-5 ) 49U + 2) 343 a:+ 2 2jc—3 —rdx 2) Desarrollo — dx (x~ —3a:+ 2) Sea u = x 2 - 3 a: + 2 => du = (2 x -3 )d x J (ac —3ac+ 2) J w3 2/r Como 1 1(x2 - 3jc+ 2)3~' J «3 2m2 +C 2 U 2 - 3 at+ 2 ) 2 I X3+ AT+1 a:(a:2+ 1) dx Desarrollo fAT3+JC+l (" 1 w f d.V -----r------dx = I (H—=---)dx = x + ------- ----- J x(x~ + 1) J x3 +x J x(x~ +1) ___ !___ = A + Bx +C = (A + B)x-+Cx+A ^ l = x 2(A+C) +Cx +A JC(.V2+1) * X2 +l Af(A-2+1) Integral Indefinida 97 1292 A+ B = 0] de donde: C = 0 A = 1 resolviendo el sistema: A = 1, B = -1, C = 0 fAT3+JC+l f 1 x | ---- r-----dx =x+ |( ------ — J x(x2+1) J X X2H )dx =x+lnx — ln(jc +l) +c +1 2 = x +ln | Va:2+1 +c f x4dx J x 4-1 Desarrollo s d x = L ' ) dx=x+ J * 4 - l J JC4 —1 J a4 -1 1 A B Cx+D -+ ----- + - (ac-1)(a. + 1)(at + 1) *-1 JC-1 x2 +1 1= (A+ B +C)x3+(A—B+D)x2+(A+ B + C)x + A—B—D A +B+C =0 A - B + D = 0 A+B -C = 0 A - B - D = 1 , resolviendo el sistema: A= —, B =— , C = 0, D 4 4 f ac4 f A B Cx +D 1 f dx 1 f dx 1 f dx —— dx =x+ |(-----+ ------+ —------)dx = x + - -----------------------I - — J x —1 J x 1 x +1 x +1 4 J x -1 4 j x + 2 J x - + l 1 , . JT-1 . 1 = x +-ln |-----1--arctgx +c 4 AC+ 1 2
  • 53. 98 Eduardo Espinoza Ramos f_______ * _______ J (x2—4x + 3)(x2+ 4x + 5) Desarrollo 1 _ A + B + Cx+D (jc2 - 4 x +3)(x2+ 4x + 5) x - 3 x - x2+4x + 5 efectuando operaciones y simplificando se tiene: A(x3 + 4x + 5x) - A(x2+ 4x + 5) + fí(x3+ 4 + 5x) - 3fi(x2+4x +5) + + C(x3- 4x2+ 3x) + D(x2- 4x + 3) = 1 (A + B +C)x3 +(3A+B +4C +D)x2 + (A -7 B +3 C - 4 D ) x - 5 A - l 5 B +3D = l A + B + C = 0 3A +B - 4 C +D = 0 A - 7 B +3C - 4 D = 0 -5A-15B +3D = 1 1 1 2 3 resolviendo el sistema se tiene'. A = — , B = ----- , C = — , D =— 52 20 65 36 f dx f , A B Cx+D —-----------------------------= (------+ ------ + —----------- )dx J (x -4 x + 3)(x +4x + 5) J x - 3 x - x + 4x + 5 =_L f_*L+f 65I j L d x 5 2 j x -3 20j x - 1 J x 2+4x + 5 1 1 1 f 2x + 4 7 f dx = — ln (x -3 )----- ln(x-l)H-----I —------------ dx +~— I —------------ 52 20 65 J x + 4x + 5 1 3 0 jx 2 +4x + 5 = — ln (x -3 )——ln(x —1) + — ln(x2+ 4x + 5) + — arctg(x +2) 52 20 65 130 Integral Indefinida 99 1294 1295 f dx J77T i i Desarrollo A Bx +C x3 + l (x + l)(x2 - x + l) * + l X2 - X + l 1—(A + B)x~ + (“ A+ B +C)x + A+ C A +B = 0 -A + ¿f + C = 0 A +C = 1 1 „ 1 „ 2 , resolviendo el sistema se tiene: A = —, B =— , C = — 3 3 3 x 2 ^ - = f ( - ^ - + B2X+C )dx = ] -[ — + f 3 3 dx J X +1 J x + 1 x ~ -x + l 3 j x +1 J x - x +1 = —ln(x + l)~ —ln(x2- x + 1) + —^ arctg(-:~ -)+ c 3 6 V3 V3 1 , , (x + 1)2 1 = —l n .- - , , 6 x“ - x +1 v3 2x - l f dx J x 4+1 Desarrollo Ax +B Cx+D -+ - x4 +l (x2+Jlx +l)(x2 - V2x + 1) X 2 +y[lx + x2 -y¡lx + 1 l = (A +C)x3 +(B + D +y¡2C-y¡2A)x2 +(A +C +y¡2A-yÍ2B)x+B+D A+ C = 0 B +D +¡2C - Í2A = 0 A +C +y¡2D-y¡2B = 0 B + D = 1
  • 54. 100 Eduardo Espinoza Ramos 1296 resolviendo el sistema se tiene: A = —^=r, B = D = —, C - — 2V2 ’ 2 ’ 272 1 1 1 1 X + — -----T = X + - f dx i* Ax +B Cx+DC2V2 2 2¡22, Jx4+l“J x2+V2x+l+x2-V2x+lJV+>/2x+l x2-V2x+l 1 f X + SÍ2 _ 1 f X - y ¡ 2 . ' í T í j I?— T *+ yflx + 1 2/2 J .Y“—yflx + 1 2 ■ + y fl,X + 1 * V2 X y fí. In I— -------= --------I + — « r c r g ( --------- - ) + c J 4V2 X2- y íl x + 4 1 -x 2 dx ! +1 Desarrollo x4+ x2+1 x4+x2+l=x4+2x2+l-x2=(x2+1)2-x2 x4+x2+1=(x2+x+l)(x2—x+1) Ax+B Cx+D -+ - X4 + X2 +1 X~ + X + 1 X — X + 1 1—(Ax + fí)(x —x + 1)+ (Cx + D)(x~ +x +1) 1= (í4 + C)x3+ ( B - A +C +D)x2 + ( A - B +C + D)x+B + D A +C = 0 B - A + C + D = 0 A - B + C + D = 0 B +D = l integral Indefinida 101 1297 1298 resolviendo el sistema se tiene: A = —, B = —, C = ——, D = 2 2 2 2 f dx f . Ax+B Cx+D N, 1 f x+1 ,1f x—1 —------5— = (—---------------------------------------------------- + -3---------)dx = - ,d x - - J x +x +1 J x ' + x + l x -x+1 2J x‘+ x+1 2J x'- x+1 I 1 , . x +x + l . 1 x - l = - ln |—---------1+—j=arctgí— -=-) +c x x —x+1 2V3 x%/3 dx 7 Desarrollo (l + .v2)2 Sea x = tg 0 => dx = see2 9 dO í — ^ r T = f - ec2y - ~ = f - ^ _ = fcos20dOJ (l + x“)~ J (l + tg‘ 0)" J sec“0 J f l + cos209 sen0 eos9 arctgx x= ------------d G = - + ---------------+ c = -— — + --------r - J 2 2 2 2 2(1+x) r 3 x +5 I —r----------r—^dx J (x“ +2x + 2) Desarrollo (x2+ 2x + 2)2 = (x + 1)2+ 12 => z = x + l => dz = dx f — — 2 = 3í —T ~ ~ — ~ t^x+ f J (x2 + 2x + 2) J (x2 + 2x + 2)‘ J (x2 + 2x + 2)~ = _______2_____+ 2 f _____ * _____ 2(x2 + 2 x + 2 ) J (x2 + 2 x + 2 ) 2
  • 55. 102 Eduardo Espinoza Ramos 1299 3 + f dx ________ 3_____ +2 f dx 2(x 2 + 2 x + 2) J((x+1)2+1)2 2(x2 + 2 x +2) J(z2+1)2 = ------ 2 3 ..... +2Í(2(a~ + 2a+ 2) J2( x '+ 2x + 2) J (z + 1) (z + 1) ■J;:+2arctgz—21—---- ...(1)2(x2 + 2x + 2) ” ~J ( z 2+ 1)2 1 , „ , z 2d z Z arctg;integrandoporpartes; —-----=------- h--—' (z2+l)2 2(z +1) 2 Luego reemplazando en (1) se tiene: J í 3 a + 5 3 „ 2x+2 — ----------- dx =------ ----- — + 2arctg(a +1) +— -------------- arctgU + 1)+c (x~ +2x+2) 2(x +2x+2) 2 ( a 2 + 2 a + 2 ) 2x + = ---- ,------------ + arctg(.v + 1)+ c 2(x~ + 2x + 2) dx Ha + 1)2 Desarrollo A Bx +C Dx + B -+ - ( a + 1 ) 2 ( a 2 + x + i ) 2 ( a + 1)(a 2 + A + l)2 A + l X 2 + A' + 1 (x2+ x + l)2 efectuando operaciones y eliminando denominadores se tiene: 1 = A(x2 + a + 1) + ( B x + C ) ( a + 1 ) ( a 2 +x +l) +(x +l)(Dx+E) Integral Indefinida 103 A + B = 0 2A+ 2B+ C= 0 agrupando y por entidad de polinomios tenemos: 3A + 2B + 2C' + D = 0 2A+ B +2C +D + E = 0 A + C + E = 1 resolviendo el sistema se tiene: A = 1, B = -1, C = 0, D = -1, E = 0 f - _____ J ( A + 1 ) ( x 2 +A + l ) 2 J A + l Bx +C Dx + E -+ —---------+ — ---------- -]dx (A + 1 ) ( a ” + A + 1)“ J A + l A + A + 1 (A^ + A + 1) í t 1 * * W(---- ---------------------------------_)£/x A + l X~+X+l (x~ + X+1) , . i r 2a + i i w i r ;ln | x + 1 I (—- ----------)d x -~ 2 J X + A + 1 X + A + 1 2 J , 2 a + 1 1 ( --------- ------ ---------- -)dx (A + X + 1) ( a + A + 1 ) “ i i . i l . i 2 i i 5 2 a + 1 a + 2 :In a + i j— ln x + A + l + —=rarctg(— ?=^-)+ -------------------;--------+ c 2 3V3 v3 3(a + a + 1) l x3+11 3 0 0 ! -----------------dx Desarrollo ( a 2 —4 a + 5 ) 2 a 3 + 1 Ax +B Cx+D ( a 2 - 4 a + 5 ) 2 a 2 - 4 a + 5 ( a 2 - 4 a + 5 ) 2 efectuando operaciones y eliminado denominadores: a 3 + l = (A x+i?)(x2 + x + 1) + Cx +Z> a 3 + 1= A*3+ (-4A+ B)x 2 +(5A-4B +C)x +5B + D
  • 56. 104 Eduardo Espinoza Ramos por identidad se obtiene: A = 1 -4 A + fí= 0 5 A -4 B +C = 0 5B +D = l A = 1 B = 4A => B = 4 C = 11 D = - 49 J (x~ -4x + 5)- J . Ax+i? Cx+D , ( - -----------+ —5------------ 7)dx x2-4 x + 5 (x —4x + 5) , x +4 llx -1 9 , = H — ------ + - T — ------r)d * 1«x2- 4x + 5 (x2- 4x +5)2 1 f, 2x —4 12 J 11 f 2 x - 4 J r dx = - (-5-----------+ — -------------¿ v + 3 I —-------------- 2J x -4 x + 5 x~ -4x + 5 2 J (x~-4 x + 5)" J ( x " - 4 x + 5) = —Inlx2-4x+5|+ óarctg(x-2)-—(—-——------ )+ —arctg(x-2)H-----~ — ----- 2 1 5 2 ;c2_ 4jc+ 5 2 6V 2(x - 4x + 5) 1 1 1 2 a c 1 15 , .. 3x-17 = —ln x -4 x + 5 h— arctgíx- 2 )-1------ --------------he 2 ' 2 2(x -4 x + 5) Hallar las integrales siguientes, utilizando el método de Ostrogradski: f dx J(x + l)2(x2+ l)2 Desarrollo f dx _ Ax2+Bx +C ^ f Dx2 +Ex + F J(x +1)2(x2 +1)2 (x +l)(x2 +1) J (x +l)(x2 + 1) derivando y agrupando se tiene: Integral Indefinida 105 Dx5 +(E +D - A ) x 4 +(E + D+ F - 2 B ) x 3+ (x + l)2(x2+ l)2 (x + l)2(x2+ l)2 +(A + E + F - B +D -3 C )x‘-+(2A +E + F - 2 C ) x + B + F - C (x + l)2(x2+ l)2 de donde se tiene: 1= Dx +(E + D - A ) x 4+(E + D +F - 2B)x +(A +E + F —B +D —3C)x~ + D = 0 E + D - A = 0 E + D + F - 2 B = 0 A + E +F + D - B - 2 C =0 2A +E + F - 2C = 0 B + F - C = 1 +(2A + E + F - 2 C ) x +B + F - C 1 1 1 3 resolviendo el sistema se tiene: D~0, A = — . B - —, C = 0 , E = — , F = — 4 4 4 4 Como: dx__________________ A x 2 + Bx +C |*Dx2 +Ex+F i (x + l)2(x2+ l)2 (x + l)(x2+l) J (x + l)(x2+ l / - X 2 + X__________ r x —3 4(x + l)(x2+l) 4 J(x + l)(x~ + 1) dx - X +x 1 f -2 -I i ------dx + 4(x + l)(x2+1) 4 'J x + l 1 7 h * - ¡ ------^-+ —In Ix + l |~ —ln |x 2+ 1| +—arctgx + c 4(x + l)(x +1) 2 ' ' 4 ' 4 6
  • 57. 106 Eduardo Espinoza Ramos 1302 f dx í dx Desarrollo Ax’ + Bx2 +Cx+D f Ex’+ Fx2 +Gx+H (x4 - l ) 2 x4 - l +J x4 +l derivando, simplificando y agrupando se tiene: 1_ 3A(x6- x2)+2B(x5~ x) +C(x4 -l)-4 A x 6+4Bx5 - 4 Cx4 - 4 /lr 3 (x4- l )2 (x4 - ) 2 Ex3+ Fx2 +Gx +H x4 —l 1= Ex7+ (F - A)x6 + (G - 2B)x5 +( H - 3C)x4 +(-3D - E)x3+ +(—3A —F)x2 +(—2 B - G ) x - C —H E = 0 F - A = 0 G - 2 B = 0 H -3C = 0 -3 A - E = 0 - 3 A - F = 0 - 2 B - G = 0 - C - H = 1 , resolviendo el sistema se tiene: A = 0, B = 0, C = - 2 , d = 0, C = 0, F = 0, G = 0, H = - - 4 4 Ax3+Bx2+Cx + D f Ex3+ Fx2+Gx+H x4 - l Integral Indefinida 107 I 1 _ I , ------1 — + Í - 4 - * = -------í -------2 f , _ ^ _ + _ 4 _ + l í - )Jx 4(x —1) J x 4 -1 4(x - 1) 4 J x +l x - x + 1 X 3 f 1 1 w 3 f dx ----- ----- +— I (-------- — )dx +~ I —----- 4(x '- 1) 16 J x+ l x - 1 8J jc +1 x 3 , i x + l , 3 -+ — ln | ----- |+ -arctg x + c 4(x4- 1) 16 x -1 3 x 3 , x - l -a rctg x ------------------- ln ------ 8 4(x - 1) 16 x + l 1303 í (x2+ l)4 dx )4 Desarrollo 2,Sea x = tg0 => dx = sec Odd f dx f sec"d dd _ f sec~9d9 _ f d0 J(x2+1)4 J(tg20+1)4 J see89 Jsee60 JcOS60í/0 = J(cos20)3d0 = ■¿J ■¿J (1+ 3cos229 + 3cos29 + eos329)d9 (1+ -(1 +cos40) + 3cos20 +cos229 eos 29)d9 2 = 1 f ( l+ 2 c o s 8j 2 2 cos4# + 3cos20 + (l-se n 20)cos201<i0
  • 58. 108 Eduardo Espinoza Ramos 1304 1r59 3 3sen 26» sen326. :_[—-+ —sen 40+—sen 29 h— ------------------ ]+c 8 2 8 2 2 6 = —[— + —sen9 eos9 (2eos29 - 1)+ 4sen9 eos9 ——sen39 eos39] +c 8 2 2 3 1.5 3 x 2 4x 4x3 = - [ - arctg x + ----- (—-------1) + —------------------------- ---] + c 8 2 2(x"+l) x +1 x~ +1 3(x~ + l) 15 15x5 +40x3 +33x =— arctg * + ----------- ----------- +c 48 48(x +1) í x - 2x + 2 , —r--------------dx (x - 2 x +2) Desarrollo r 4x3-10x2+ 8 x -2 f —2 2X +22 dx= f(l +- J ( x - 2 x + 2 ) J )dx (x~ - 2 x +2) J (x - 2x + 2) f 4x3—1Ox2+ 8x - 2 , =x+ -------------------— dx ...(1) J (x - 2x + 2) f4x -lO x + 8x + 2 , Ax+B f Cx+D ------r------------ ~z— dx =—--------- + —--------- — dx J (x - 2x +2) x - 2 x +2 J x - 2 x +2 derivando, simplificando y agrupando se tiene: 4x3-10x2+ 8x —2 -A x 2-2B x +2A +2B Cx + D (x2- 2x + 2)2 (x2- 2x + 2)3 x2- 2x + 2 Cx3+ ( D - 2 C - A)x2 +(2C - 2 D - 2 B ) x +2A +2B + 2D (x2- 2x + 2)2 Integral Indefinida 109 1305 4x -lO x +8x--2 - Cx3+ ( D - 2 C - A ) x ¿ +(2 C -2 D -2 B )x + 2 A +2B +2D C —4 D - 2 C - A = -10 2C - 2D - 2 B = 8 2A +2B +2D = -2 resolviendo el sistema se tiene: A=-l, B=3, C = 4, D = -3 1 4x3—10x2+ 8 x -2 (x2-2 x + 3)2 x -3 dx = — -------------1- I - 4 x -3 x2~ 2x + 2 J x z - 2x + 2 -dx x - 3 x" - 2x +2 reemplazando (2) en (1) se tiene: ‘4x3- 10x" + 8x -2 -+ 21n |x 2- 2x + 2 |+arctg(x-l) (2) í x4- 2x2+ 2 (x2- 2x + 2)2 dx = * + J ‘ : X —- (x - 2x + 2) x -3 , 2 dx + 21n ¡x - 2x + 2 |+ arctg(x-l) +c x - 2x + 2 Hallar las integrales siguientes empleando diversos procedimientos. x5dx I (x + l)(x + 8) Desarrollo Sea z = x3 dz = 3x2dx — = x2dx 3 f x5dx x3.x2dx 1 f zdz _ 1 f I (x3+ l)(x3+ 8) j (x3+ l)(x3+ 8) 3,¡ (z + l)(z + 8) 3 J / A B(-------1------- )dz z + 1 z +8 A B (A+B)z +8A +B (z + l)(- + 8) z + 1 z + 8 (z + l)(z + 8)
  • 59. 110 •v Eduardo Espinoza Ramos 1306 z = (A + B)z + 8a + B por igualdad se tiene: A+B = l ) 1 n 8 >entonces A = — ,B = — 8A+ £ = 0 7 7 f x5dx 1 f A B 1 . . , . —3— -------------------- i-----= o I (-T+ ----------ñ ^ z ~ - t81n U + 8 -ln z + 1 ]+ c J (x3+l)(.r3+ 8) 3 J z + l z + 8 21 = ~[81n | -v3+ 81-ln | x3+ 11]+ c í x7+*3 J dx xI2- 2x4 +l Desarrollo yP _L v-3 r „ 3 , „4 J x -2 x +1 J x -2 x +1 Sea z = x 4 =* dz = 4x3dx f xl+x¡ J x = l f z +lj . = 1 f (z + l)<fe Jx12- 2x4+1 4 Jz3_ 2z+ l " 4J(z -l)(z 2+ z —1) _ 1 f A Bz + C z2 + z - 1 )dz z + l A Bz + C - + - (z -l)(z 2+ z - l) z -1 z2+ z - l efectuando operaciones y agrupando se tiene: A+ £ = 0 z + l = (A + B)z2+ (A -B + C )z - A -C , de donde A ~ B +C = 1- —A—C = 1 Integral Indefinida 111 1307 2z + 3 -)dz z ‘ + Z -1 resolviendo el sistema se tiene: A = 2, B = -2, C = -3 f .x7+x3 . 1 f A Bz +C _ 1 f 2 4 j <r i + ?T 7^ T - ¿ t a u - i i - i r ^ - * — 2 4 J z + z - l 2 J z " + z - l 1 , 1 .i 1 - i 2 i i 1 i i 2z + 1—y¡5 . = - ln z - 1 — ln z ' + z - l -t=-l n --------------------------■== 2 1 ' 4 ' 2>/5 2z + l+V5 1 . ¿i , 1 i k 4 t l , i 2x4+1 —*J5 , = —ln x -1 — ln x + x - 1 ------------------------p in — --------------j= +c 2 4 2^5 2x + + ¡5 í; x2—x +14 -dx ( x - 4 ) ( x —2) Desarrollo jr2 - x + 14 A B C D -H----------—H--------- + - ( x - 4 ) 3 ( x - 2 ) ( x - 4 ) 3 ( x - 4 ) 2 ( x - 4 ) x - 2 efectuando operaciones y agrupando se tiene: x2 - x +l4 = (C +D)x3+ ( B - 0 C - 2 D ) x 2 + (A -6 B +32C +48D)x- -2 A -8 B -3 2 C -6 4 D C + D = 0 B-10C —12D = 1 A - 6 B +32C + 48D = -1 -2A+ 8B -32C -64D = 14 resolviendo el sistema se tiene: A = 13, B = -3, C = 2, D = -2
  • 60. r 112 Eduardo Espinoza Ramos 1308 f ' r " ,,, f,J (x -4 ) ( x - 2) J (x - A B C D H---------1------- )dx (x -4 ) ( x - 2) J (x - 4 )3 (x -4 )- x - 4 x -2 = 13 j*— - —— - 3 f ———^+ 2 — 2 J (x - 4 )3 J (x - 4 )2 J x - 4 J x - 2 I 1: 2(x-4)~ x - 4 dx 13 3 , x - 4 , + -------+ 2In I------- 1+c x4(x3+ l)2 Desarrollo dx ■ Í 7 " I f x3+l i ! J x4(x3+ l)2 x4(x3+ 1)2< r dx f dx J x 4(x3+ 1) ,J x(x3+ 1)2 A B - i , *J+I X3 )dx )dx (x‘ + 1) J x (x + 1) x (x + 1) (------------------------- )dx ———- - ln x + -ln (x + 1) x(x +1) x(x +1) 3x 3 A = I —- = — —r + —ln(x3+1) —In x I: f x4(x3+l) 3x3 3 dx 1, , 3 ,, 1 , 1 B= I ----—— 7 = — In | x + l |+ - ( —-----) + lnx x(x +1) 3 ' 3 x3+l Luego: (1) Integral Indefinida 113 1309 1310 I = - ( l n x - - l n ( x 2 +1) + — ^ — —) - l n x + ^ l n ( x 3 +1) 1 x4(x2+ l)2 3(x +1) 3x 1 , ,x 3+ l, 1 1, ,x 3+ l. 1 = ” ln I —5—I■ -+ -ln I 3 ' x3 ' 3(x3+1) 3 **' x3 3x2 ) + c - - [ 21n | 1„ . ,a + 1 , 1 1 3 x3 ' 3 x3+ l x3 3* x" x —1 xJ - - d +c dx 4x2+ 5 x -2 Desarrollo 1 1 A B C -H-------- f*- i3-4 x 2+ 5 x -2 (x —l)2( x - 2) ( x - 1)2 x -1 x -2 efectuando operaciones y agrupando se tiene: 1= A (x-2) +B(x2 -3 x + 2 ) + C(x2-2 x + l), de donde se tiene: B +C = 0 A - 3 B - 2 C = 0 -2 A +2B +C = ■ resolviendo el sistema: A = -l, B = -l, C =1 í____ * ____ , f( J x3—4x2+5x —2 J (x -1 )2 X - 1 x - 2 f dx i* dx j* dx _ 1 j (x-1)2 J x - 1 J x - 2 x - - + lnj — j f c 1 x -1 f_ dx J x(x7■ d X x(x7+ 1) Desarrollo
  • 61. 1]4 Eduardo Espinoza Ramos 1311 í dx l)2 Desarrollo *(x5+ l)2 r dx f x5 + i f x* d x _ r dx r x4 ±x Jx(x5 +1)2 Jx(xs +1) J(at5+1)2 J x(x5+1) J(x5 +1)2 = f - ^ * - í /< b J x(x + 1) J x(x + 1) J ( ■Jf-J 4 x(xr>+1) J U '+ i r dx +----- ;--------------- + c = ln x — ln | x + 1|+ 7-+c x5 + l 5(x5+1) 5 5(x +1) 1312 J dx (x2+ 1x + 2)(x2+ 2x + 5) Desarrollo 1 Ax+B ^ Cx + D (x2+2x + 2)(xz +2x + 5) xl +2x +2 x¿ +2x +5 efectuando operaciones y agrupando se tiene: 1= A(x3+ 2x2 +5x) + B(x2+ 2x + 5) + C(x3+ 2x2+ 2x) + D(x2 +2x +2) A +C = 0 2A + B +2C + D = 0 de donde se tiene: _____ 5A+2B+2C+2D =0 5A + 2 D -1 KchiiIvIpihIo pI ilvtriiim k" (tone A •*0. II ^ , C' O , /) ^ Integral Indefinida 115 f _________________ = f( M+J - + ^ x +D - )dx J (x2 + 2x + 2)(x2 + 2 x + 5) J x2 +2x +2 x2 +2x + 5 1 f dx 1 f dx 1 1 ,* + l , = - I ---------------------I -----------------= -arctg (x + l ) — arctg(---------)+ c 3 Jx2+ 2x + 2 3 Jx + 2x + 5 3662 f x2dx 1313 --------- J (* -l)10 Desarrollo Sea z = x --1 = > x = z+ l= > dx = dz _1________ 1 4 (x -l)8 9(x-l)' 1314 Desarrollo f. dx .. = f __ * __ = í ( - í l ± i ------------% -----)dx Jx8+x6 Jx6(x2+1) J x6(x2+l) x6(x-+l) ___ L— f f . p - d x + - 4 — dx 5x's Jx (x_+ 1) Jx (x +1) 1 1 f x 2 +,_fX2dx “Í7 +Í7 +Jx2(x2+1)íiA Jx2(x2+l) 1 1 1= ---- r + — ------- arctg x + c 5x 3x * i “J U - l) 2dx _ f(z + l)~ !ü J 10 f 1 2 ' J z8+z9 .10 )dz 1 I z 1 4z 9z9+C 7 (x -l)7 + c
  • 62. I ihuiiilii ! spinoza Ramos 4.7. INTEGRALES DE ALGUNAS FUNCIONES IRRACIONAL ES.- ( 7 ) INTEGRALES DEL TIPO.- J cx +d cx +d donde R es una función racional y p¡. q l p 1. q 2... son números enteros, estas integrales se hallan valiéndose de la sustitución. ax +b „ ex + d donde n es el mínimo común múltiplo de los números q {, q2 Hallar las integrales: Desarrollo Sea z2 = x -1 => dx = 2z dz Como z2 = x —1 => z = Vx—1 = 2 í (z +3: + 3z" + )dz ■■2(— + - z 5+ z3+ z) + c 7 5 = 2z(— + - z4+ z2+l) + c = 2V x -l(————+ —(x —l)2+x) + c 7 5 7 5 Integral Indefinida 117 1316 1317 1318 J xdx yjax+b Desarrollo , 3 2 Sea z =ax +b => dx = —z d z a Como z3=ax +b => z = sax +b además x = z3- b a i z3- b xdx yjax +b í a 3z2 i z a z)dz = JL ( i i - - z2) + c = - 1 - (2^(ox + b f - 5bl](ax+b)2) +c a 5 2 10o f dx * Vx +1 + (.x+ 1)3 Desarrollo Sea z2 =x + l => z = Vx + 1 => zi =yj(x+Ÿ Como z2 = x + l => x = z2 - l dx = 2zdz f dx —-—= = f ^ ^ - = 2 [ ^ Z = 2arctg(z) + c = 2arctg(Vx + l) J Vx+I + ^ x + l)3 J z + z‘ J z "+1 I - + c Vx + Vx Desarrollo
  • 63. 118 Eduardo Espinoza Ramos z3 z2 = 6(—---- —+ z-ln(z + l)) + c 1319 J f r r “ Desarrollo Sea x = z 6 => sfx = z? => Hx = z2 aaemás dx = 6z5dz [ ^ j h ± d x = í-y -^ -6z5dz = 6 —y — dz J # t + l J z +1 J z +1 *6 | (z6- z 4- z 3- z 2 - z - 1— -)dz z +1 7 7 75 74 73 72 1 = 6(---------------- +— +—— z — ln(z2+l) + arctgz) 7 5 4 3 2 2 - “ VI-^V?- V?+ 2VI+3fx - 6¡x - 3ln(VI+ 1) + 6arctg yfx +c h 1320 | — ±jL= dx (a + 1) —yjX+ 1 Desarrollo Sea z 2 = jc+1 => dx = 2z dz f Vx+T + 2 f z + 2 o f z -*-2 ,„ f , A Bz +C , I— t---- j= = d x = I— 2zdz = 2 I—— dz = 2 (------ +- T— )dz J(x + 1)2-V IÍT J z 4- z J z3- 1 J z - 1 z + z+1 Z - 1 Z-1 Z2 + Z+ l z + 2 = A(z2 + z + l)+(z-V)(Bz + C)=>z + 2 = A(z2 +z + )+B(z2 - z ) + C ( z - l ) Integral Indefinida 119 1321 A +fí = 0 de donde: A - B +C = A - C - 2 resolviendo el Sistema se tiene: A.= 1, B = -1, C= -1 f— # i ^ =<a=2 fi f í ¿i=2 f +- ^ - c J (x+l)2-VITl J z —1 J z-1 Z +z- =2j*(—-----2Z+1- ~)dz =21n(z-D- f -2c+1- dz- f- J Z -1 z + z +1 J z + z +1 J z +Z + 1 -)dz : + l dz = 21n (z -l)-ln (z 2+ z + l ) - J V 1sT 3l z + - y + - , 2 4 ■? 2 2z + l = 2ln(z - 1) - ln(z‘ + z + 1) - arctgí—-j~~) +c , ( z - 1)2 2 -2z+ 1 = ln—-------------7=-arctg(— -r -) +x Z +Z + 1 y¡3 V3 (fx + —Y)~ 2■2Jx+1 +1 = ln - ----- -¡= ?— -f=arctg( — — ■).+ c X+ 2 + v x +1 V3 a/3. . . fVIdx ' . J x+2 Desarrollo Sea z 2 = x =$ dx = 2zdz ^ - d x = f - ^ - d z = 2 ( - ^ - d z = 2 Í ( l — 2 J x +2 J z +2 J z +2 J z‘ +2 = 2(z - -JL arctg(-^=)) +c = 2VI - 272 a rc tg (^ ) + c 2 ■)dz
  • 64. 120 Eduardo Espinoza Ramos 1322 1323 f e dx (2~x)yjl-x Desarrollo Sea l - x = z 2 => 2 - x = z 2 +1 => dx = -2z dz dx f -2zdz 2arctg(z) + c = —2arctg(Vl —x ) + c Desarrollo 7 X2 - 1 J V*+i J V T ^ I see 0 = x dx, = see 9. tg 0 d0 eosec9 = ....... ,=> f x. ——-dx = f ,. X ,{x-l)dx 4 J T X J v*+ i J =Jcos<?c0(sec0-l)sec0tg0í/0=J(sec0-l)seeddd =Jsec39 dQ - Jsec29 d9 ix-1 := J see36 dO - Jsx^j— —dx = | sec- 9d9 - | see“9 d6 (a) Integral Indefinida 121 1324 integrando por partes I see30 dO se tiene: Jsec39d9 =^[ln| sec0 -rtg0 ¡+ sec0 tg0] !x. ——~í£t = —[In Isee# tg0 |+sec0 tg 0 ]-tg # + c jc+ 1 2 = —[In Ix + yfx2 -1 I+Wx2 - ] - ¡ x2 - +c 2 = i l n |x + V 7 ^ l | + £ ^ -(x —2) +c 2 -dx Desarrollo 3 x+ z3+ l , -6z2dz Sea z ------- => x = —5— => dx = —------- x - l z3 - l (Z3-1 )2 dz l)2 f ______M ______ r , A | B 1 Cz +D | Ez +F J(z -l)2(z2 + z + l)2 J z - í (z l)2 z2+ z + l (z2 + z+ l) z3 A B Cz+D Ez + F -+ --------------------- + -T---+ (z i) z - i (z-ir z +z+i (z¿+z+ir efectuando operaciones y agrupando se tiene:
  • 65. 122 Eduardo Espinoza Ramos 1325 z3=(A+C)z5+ (A + B -C +D)z4+(A+2B-D+E)zi + ( B - A - C - 2 E +F)z2 +(2B-A +C —D +E - 2F)z + B - A + D + F por identidad de polinomios se tiene: A +C = 0 A + B - C + D = 0 A +2 B - D + E =l B - A - C - 2 E + F = 0 2 B - A +C - + E - 2 F = 0 B - A +D + F =0 a ^ , b = ^ c = - ^ , d = - ^ , E = J - , f = ^ 81 9 81 81 27 27 resolviendo el sistema se tiene: j é ? * - 6! . A B Cz + D Ez + F , (_--- h---------H----- ---- — H----------------)dz z - 1 (z —1) z +z + l (z +z + y 11 1 11 31 7 11 — Z + — ZH----- , 9 81 81 . 27 27 w . + --------7 — ........ + — -----------7)dz ( z - 1)z~+z + l (z" + z + l)~- 4 * integrando cada termino y simplificando se tiene: J é ? x + 1 , 1 , z2 +z + l 2 2z + l 2z , , J-í + 1 J -3/:-----dx = - ln--------— + —¡=arctg(— =-) + —------1-c donde z = h 1 3 (z —1) yfc * J3 z3 - l V x-1 x + 3 ~dx x2J2x + 3 Desarrollo 2 z2- 3 Sea z = 2x + 3 z dz = dx => x = ------- Integral Indefinida 123 z2 - | + 3 f 2 X+ l ^ dx= f------^ ---- zdz = 2 Í v2x + 3 J ^22 ——-)2^ * z2+3 (z2^ 3)2 dz . Áz + S Cz +D dz = (—7----- 7 + --7— -)dz (z2 - 3)2 z2-3 derivando, simplificando v agrupando: z +3 Az —2Bz —3A + Cz +D Cz3+(D-A) z +(-2B-3C)z-3A-3D (z2- 3)2 (z2- 3 )2 z2-3 (z2-3 )2 z + 3 = Cz + (£>- A)z + (-2S - 3C)z - 3 A - 3 D C = 0 -2 8 - 3C = 0 D - A = l -3 A - 3 D = 3 resolviendo se tiene: A = -1, B = 0, C = 0, D = 0 Az +B Cz+D z2- 3 (z2- 3 )2 )dz = - z2-3 (2) reemplazando (2) en (1) se tiene: x + 3 L i t L = * = 2 f - J x~V2x + 3 J (z z + 3 . 2z V2x + 3 dz = -----,----- + C= ---------------he (z2 -3 ) 2 z - 3 © INTEGRALES DEL TÌPO.- donde p n(x) es un polinomio de grado n, se supone que 1 pn(x)dx yjax2 +bx +c
  • 66. 124 Eduardo Espinoza Ramos f _ Pn^x ~ = d x = Qr '_x( x)'Jax2 +bx +c + A f -?= » yax2+bx +c J ¡a dx ax‘ + bx +1 ... (3) 1326 donde Qn_,(x) es un polinomio de grado (n - 1) con coeficientes indeterminados y X es un numero. Los coeficientes del polinomio Qn-1(•*) Y numero A, se hallan derivando la identidad (3). ® INTEGRALES DEL TIPO.- , se reduce al 2° tipo de integrales valiéndose de I dx ( x - a ) nfax2 +bx +i la sustitución: ------ = t x - a Hallar las integrales: í; x 2dx 4 x ^ - x +l í x 2dx X - x +l Desarrollo = (Ax+ B)sjx2 - x +l + A í —j=~--L= •* Vx2 - x +1 , derivando se tiene: 2A(x2 - x +1) + A(2x2- x) + B(2x- 1)+ 2 x +l 2yfx2^ x +l 2x2 = 4Ax2+(2B-3A)x +2 A - B +2Á, dedonde: A = - , B = - , A = — 2 4 8 J 4 x 2 - x + l 2 48j dx 1 x - x + l Integral Indefinida 125 1327 1328 — — Vx2- x +l - - l n | 2x - l + 2Vx2- x + l|+c r x^dx j ^ / w 2 Desarrollo f x dx - = (Ax4+Bx3+ Cx2 +Dx+ E)yjl-x2 + A f — derivando se tiene J J i - x 2 sfl- x5 i ? ^ /T 2 x(Ax4+Bx*+Cx2+Dx+E) A = =(4Ax3+3Bx +2Cx+D)y¡l-x2 — ------------ = = ----------- -+ ~ r= sfl-x X5= (4Ax3+3Bx2 +2Cx + D)(1- x 2)-(A x 5+Bx4 + Cx3+Dx2 +£x) + A x5= -5Ax5-4 flx 4+(4A -3C )x3+ (3B -2D )x2+ (2 C -£ )x + D + A -5A = 1 -4B = 0 4A -3C = 0 3B - 2D = 0 2 C - E = 0 D + A = 0 1 4 8 • resolviendo se tiene: A = - - , C = _ ^ > D = 0, E = , A. = 0 dx VÍ^X2 = (_ £ _ _ ± ^ _ A ) V í r 7 = - 8+4* + 3 x .^ 7 + c 5 15 15 15 x.’dx
  • 67. 126 Eduardo Espinoza Ramos 1329 Desarrollo dx i-,—*- dx = (Ax4+ Bx3+Cx2 +Dx +E)ll +x2 + A f —p JJlTx2 J Vi+ x2 derivando y agrupando se tiene: x6 _ 6Ax6 + 5Bx5+ (5A+ 4C)x4 + (4B + 3D)x3+ ii+x2 v r+ x 2" 2+(3C + 2 £ V + (2D + F)x +E + A Ví+ X* x6= 6Ax +5Bx5+(5A+ 4C)x4+ (4fí + 3D)x3+ (3C + 2E)x2+(2D+ F)x +E +X de donde: A = - , B = 0, C = ~ — , D = 0, £ = — , A = - — 6 24 16 16 f_ í= ^ = = (Ax5+ Bx4 +Cx3+ Dx2+ £x+F)Vl + *2+ A f , ¿X J V iT 7 J V iT ? /7~ 7 5 f dx 6 24 16 16 J = ^ Y ~ ^ d +T ¿ ^ l+x2 ~ y 7 lnx + ^ ]+xl l+c6 24 16 16 l+ x2 J *x5 Desarrollo Integral Indefinida 127 dt 4 dt tf t 2 1 = (At3+Bt2+Ct + D)Jl-t2 -A f ^ J V I - ? . derivando y agrupando se tiene: -,4= —4f4- 3Sí3+ (3A- 2C)t2 +(2B-D)t +C +X 1 3 3 de donde: A = —, B = 0, C = —, D = 0 , A = — 4 8 8 f p = = - [ - ^ L , = (At3+ Bt2 +Cí +D)Vl-í2+a[-7¿L J x’ V ^ M j V T ? j V w * = (4 4 )V ^4 8 S j J Z S 4 8 T 3f — arcsení + c = (—i—+ — -)V*2- 1 - - arcsen(—) + c 4x 8x 8 x 1330 í (x+1)3V*2+ 2x Desarrollo 1 , 1 jHacemos ------= / => x+1 = - => dx = — - x +1 / r
  • 68. 128 Eduardo Espinoza Ramos 1331 j , / i 2 i f t~dt r - í 2+ l - l donde x + 2x = (x + 1) - ] = - 1- = I — J J V ÍZ 7 2 2 í// -arcsen í - arcsen í + c t rr~2 i i I. i i , i = —V l-í — are.*arcsent +c = --------- 1------------ — arcsen(------ ) + c 2(x + l)V (A+ l)2 2 x + l ------——Vx2+2x - —arcseni— —)+ c 2(x + l) 2 x + x2 + X + 1 -(lx :Vx2- x + +l Desarrollo f x2 +x + l f x(x + l) 1 — 1 = = = d x = (— ?=•: ■ ^ + - -7=.= ■ = ) < & j xVx - x + l J xvx2 - x + l xvx2 - x + l =i~r===i£ï+f -r fr•W x " -x + l J xy¡x‘' - x +1 _ 1 f 2jc—1+ 1 f i* dx f 2J yjx2 - X + l J X ¡ X 2 - X + l J fifx W ^ -JC + l J yjx2 - x + l 1 f 2 x -l 3 f </x f dx x + 2 ¡ 4 7 ^ ¡ +I W ? : x + l integrando y de acuerdo a las integrales anteriores se tiene: = -/x2—x + l+ ln | x|+-^ln | x --^ + Vx2- x + l | -In 11—-^+ Vx2- x + l |+c Integral Indefinida 129 4.8. INTEG RALES DE LAS DIFERENCIALES BINO M ICAS.- xm(a+bxn)pdx ... (1) donde m, n y p son números racionales. CONDICIÓN DE CHEBICHEC.- La integral (1), puede expresarse por medio de una combinación finita de funciones elementales, únicamente en los tres casos: Cuando p es entero. © Cuando es número entero, aquí se emplea la sustitución n m +1 n a +bxn = z s , donde “s” es el divisor de la fracción p. © Cuando + p , es número entero, en este caso se emplea la m +1 n sustitución ax~n +b = z Hallar las integrales: 3 1332 J x 3 (1 + 2 x 2 ) 2dx Desarrollo m + 1 3 + 1 4 ------ = ------=—- 2 es un entero n 2 2 2 2 2 Z2 - l j Zdz entonces: l + 2 x “ - z ‘ => x = ------- => xdx =—— 2 2 3 Jx3(1+2 x2) 2dx = Jx2(l+2x2) 2xdx = J 2^ *.(z2) 2 = ^ J ( 1 -z ’ )tiz
  • 69. 130 Eduardo Espinoza Ramos 1333 I K K 1 z +1 1 2 +2x N 11+ x . = - ( z + - ) + c = - ( ------- ) + c = —(—== = ) +c = —(—===?) +c 4 z 4 z 4 J 1+2x2 2 V!+ 2.v2 dx 7 Desarrollo Sea x 4 + l = z4 => .v4= — jc= 1. => dx = - z 3(z4-1) 4¿z ? - i Vz4^ ! J Z -1 J Z+ 1 Z~1 Z + 1 z2 A B Cz +D _ -H---------i-—r---- , efectuando operaciones y agrupando 5 z4 - l Z + 1 Z - l z2 + l z~ = (A +B +C)zi + ( B - A +D)z2+(A +B -C )z +B - A - D de donde se tiene: A + B + C = 0 B - A + D = 1 A + B - C = 0 B - A - D =0 resolviendo el sistema se tiene: A = —- , fí = —,C = 0, D = — 4 4 2 f z2 , f, A B Cz +D 1, .1, .. 1 —— dz= (— + ----- + ■)dz = —-ln |z + l|+ - ln |z - l|+ - a r c tg z + c J z -1 J z+ 1 z - l z +1 4 4 2 i , I z - l I 1 = - - l n — -|+ -a rc tg z + c 4 z + 1 2 Luego: Integral Indefinida 131 í — —— = - i - —“ = ~ (~ ln | ——- | + —arctgz)+ c = —l n | | — arctgz+c J4 / n V Jz —1 4 z + 1 24Z - l 2 a , „ | ^ S ± I | - I a re,g ^ + c 4 ' V ^ T l - l 2 1334 I - Xí dx x2 Desarrollo X 'Jl +X' 1 dt Sea x = - => dx =— - t r dt í -----$ = = f -----p = = - [ - 4 ^ = = - [ / (1+ í ) J x4^ / i í 7 J i C Z J J ,4 V t2 i 2dt Sea z2 = l + /2 => z dz = t dt .3 f -----^ ==r = - j ' - i = d f = - f ( z 2-l)z .zdz = - J ( z 2-l)dz = - ( y - z ) + c = - | ( z 2-3 ) + c = i l i - ( l + , 2-3 ) + C . } 0 ± L (ti - 2 ) +c = - ' ' 1 1+^ - V T -2 3 V 3x3 x'-(-Ar-2)+c =^— ^-(2x2 - l ) + c 1335 J: dx f l + x
  • 70. 132 Eduardo Espinoza Ramos Desarrollo i 3 _í Sea l + ;t5 = z 3 =* x5= z3 - l => x = (z3- l ) 5 , dx = - - ( z 3- l ) 5z2dz f — = fjc_,(l + jc5) 3dx = f(z3- l) 5(z3) 3 - ( z3 -1 ) 5z2dz J r/l + r5 J J5XJl +X' = - í(z3-ir 'zd z = - [ - 5^ - * = - f ----- 5 J 5 J z - l 5 J ( z - zdz l)(z2+ z + l) = - f(— 5 J z -1 Bz +C w+ —------- : )dz z +z + l A Bz +C -+—-------- de donde se tiene: z3 - l Z - l Z2 + Z+ l z = (A +B)z2+( A - B +C)z + A - C A+ fl = 0 A - B + C =1 A -C = 0 resolviendo el sistema se tiene: A = —, B = , C = — 3 3 3 - r - ~ f l - £ - - < ^ - ) l * = - [ f — * - J jc^/i + x5 5 J z - l 3 z +z + l 5 J z - l J z +z + l = ^ [ln(z-1 )--^ n(lz2+ z + l) + /3 arctg(2^ -)] 1ln (z-l)2-ln (z2 + z + l) V3 /2z + l.-------------- ---------------+ _ are,g(_ ? r ) +c = — ln-^f——— l-^-arctg(2~ ^ -) + c donde z = yjl +x5 10 z2+ z + l 5 V3 Integral Indefinida 133 1336 f dx 5 x2(2+ x3)3 Desarrollo - 1 3 3 2 l/l Sea 2x +1 = z => x =—— => x = --------- - => dx = - * (z3- l )3 a-2= (^ 2)2(z3- l) 3 => x 2 = (Z y } ] - =>2 + a 3- 2j 5 j ------—— - = Jjc_2(2+ jc3) 3é/jc jc2(2+ a 3)3 2 = J í i i j l i ( 2z3(z2- i r ') 3(-^/2)(z3-1) 3z2dz 2 3^2. j (z3_ z-5(z3_ {)i z2 dz = - I J (z 3 f t 1337 I dx Desarrollo -lf2(z3- l i 3z2dz :3(z3- l )-1 -l)z~3</z 1+ c
  • 71. 134 Eduardo Espinoza Ramos Hacemos 1+ —L= = /3 , t = J 1+ 1 -7.V3 - V = ^ i - = » í / í = 31 . 1 1 r3-1 3- l 4/U * 4/77 1V.v = -------- - , v* = —----- — , t (r -D " (f3- l )3 -At dt de 1+ .— = r ’ => — = 3t~dt => dx = ----, Luego: f f - 4 r g 3- i ) 2 d{ f r V - u V 'lxi l + i [ 7 (P _ 1)3 J j L . (i3- 1)3 t Vi -1 - l )3 2/ + C = - 2(3/1+ —r = ) 2 +c — —2(]l(l + x 4 )2) +c V 4.9. INTEG RALES DE FUNCIO NES TRIGO NO M ETRICAS.- ( I ) INTEGRALES DE LA FORMA.- donde m y n son números enteros.Jsen”jtí/jt,yJcos"xdx PRIMER CASO.- Cuando n es un entero positivo par se usan las identidades siguientes: •> 1- eos 2x o 1+ eos 2.v sen- x = ——----- , eos" x -------------- Integral Indefinida 135 SEGUNDO CASO.- Cuando n es un entero positivo impar dentro del integrando se saca el factor común sen x dx o eos x dx, respectivamente, luego se usa la identidad: sen2x + cos” x = l 0 PARA LOS INTEGRALES DE LA FORMA.- f tg” xdx y c tg" xdx J J si n es par o impar se usan las identidades: 1 + tg2 x = se£2 x , 1+ ctg 2 x = csc2 x @ PARA LAS INTEGRALES DE LA FORMA.- » sen"1x.cos" x dx PRIMER CASO.- Si m o n es un entero positivo impar y el otro cualquier numero. Se procede de la siguiente manera: Si m es impar se saca factor sen x dx y se usa la identidad: sen2 x + eos2x = 1 SEGUNDO CASO.- Si m y n son enteros positivos pares se usa la fórmula: •> l-c o s2x 2 i +cos2x sen“x = ----------- , eos x = ------ ------ __________ 2________________2 @ PARA LAS INTEGRALES DE LA FORMA.- f ígmx.sec" x d x , • rtg"' x.csc" xdx J J
  • 72. 136 Eduardo Espinoza Ramos 1338 1339 PRIMER CASO.- Cuando n es un entero positivo par y m es cualquier número, se saca el factor. see2xdx o ese2xdx y se usan las identidades: l + tg2 x = see2 x , 1+ c tg 2x = csc2x SEGUNDO CASO.- Cuando m es un entero positivo impar, n es cualquier número, se saca como factor. sec x. tg x dx o ese x. ctg x dx y se usa la identidad: 1+ tg2x = sec2x , 1+ e tg 2x = csc2x ’ Hallar las integrales / eos3xdx Desarrollo J*cos xdx —J eos* x.cos xdx = f (1—sen" x) eos xdx = J cos xdx - J sen“ x.cos xdx = senx I sen3x --------- I-C sen5xdx Desarrollo | sen xdx = | sen4x.sen x dx = j (1-eo s2x)2sen xdxJ*sen5xdx = J*sen4x.sen xdx = J ( J( l - 2cos~ x + cos4x)senxdx Integral Indefinida 137 1340 1341 J*sen xdx- 2J= I senxdx- 2 I cos2x.senxdx + Ieos4 x.senxdx i 2eos3x eos5x = - C O S X + ---------------------------------l-C sen2x.cos3xdx Desarrollo J sen2x.cos3xdx = J sen2x.cos2x.cos xdx J*sen2x(l - sen2x) cos x dx = Jsen2Xcos x dx - J sen4x.eos x dx sen5x sen5x -----------he Jsen3(—).eos5(-)dx 2 2 Desarrollo j*sen3(^).cos5(~~)dx = J cos5(^).sen2(^).sen(^)dx = Jeos5(^).(l - eos2(-)) sen¿ ) d x = J eos5(^) sen(^)dx - J eos7(—)sen(—)dx - - eos (—) eos ( -------2_ + ---------- -rt, 3 4 f eos5X , 1342 ---- r- d x J sen x Desarrollo
  • 73. 138 Eduardo Espinoza Ramos 1343 1344 feos3* , f( l- s e n “ *) I — t— dx = I ------ --------eos xdx J sen' x J sen * f l - 2sen2* + sen4x , f, I -------------t----------eosxdx= ((ctgxcsc * - 2ctg* + senxcos*)d* J sen x J sen2x 1 2 2 sen“ * --21n Isen I+c 1 sen4 xdx Desarrollo 2 1- eos 2* sen“x = ------------- J*sen4 *dx = J*(- -~^s - x )2C¡X=i J*(l—2eos 2x +eos2 2x)dx l r . x sen(4*) 3* sen(2*) sen(4*) = —[ x - sen(2*) + —+ ----- — -] + c = --------— — - + ---- — - +c 4 2 8 8 4 32 Isen2x co s2 xdx sen*, eos* = Desarrollo sen(2*) J sen2*cos2xdx = J (sen *cos x f d x = J (—■-l^ X)dx = i j s e n 22xdx 4J1 -e o s 4* , 1 sen4*,* sen4* ----------- dx = - [ * ----------- ]+ c = ------------- +c 2 8 4 8 32 Integral Indefinida 139 1345 1346 J sen2 xcos4 xdx Desarrollo 2 1- eos 2* 2 1+ eos 2* sen * = -------------, eos * = --------------- 2 2 f 2 4 . f l- c o s 2 * 1+ c o s 2 x 2 , I sen xcos xdx = -------------.(------------- y d x j J 2 2 = - J(1 - eos22*)(1 + eos 2x)dx = ~ J sen2 2*(1 + eos 2x)dx ■ & I -e o s 4* 2 o t u l rA' sen4* sen32*, ---------- +sen 2x cos2*]J* = - [ --------------+ ---------- l + c 2 8 2 8 6 * sen 4* sen32*-----------------------1------------------j_Q 16 64 48 eos0 3xdx Desarrollo t „ 1+ eos 6* eos“3* = ------------- 2 Jco s63xdx =J(cos23x)3dx f ,1+ cos6jcx* , 1 f /4 , , 3 = J ( ----- -----) dx = —J (l + 3cos6x-f3eos ójc+ cos 6x)dx
  • 74. 140 Eduardo Espinoza Ramo'. 1347 1348 1349 _ 1 ,5x sen 6a sen 12a sen 6.v sen36v = 8(T + ~ + ~ T - + ^ --------Ì8~ , + C _ 5a | senÓA sen 12a sen36a 16 12 64 144 I dx x Desarrollo sen4 x / s è n ^ I= J CS° 4XdX = | CS° 2JCCSC2xdx = | (1+ <****)cscZ xdx 2 - J 3 (csc2x +ctg2x.csc2x)dx = - c t e x - - ~ — +c 3 J dx x Desarrollo cos6X í ---- — = f sec6xdx = f sec4a.sec2xdx J COS° X J J = J*(l + tg2a)2sec2xdx = J(1+ tg x) sec xdx= I (1+ 2 tg2x + tg4 a)see2xdx -J J cos2A , ---- r— dx sen x (sec- x +2 tg2a sec“ x+ tg4 a.see2x)dx = tg x +—tg3 x+ ^ ' A+ c 3 5 i Desarrollo Integral Indefinida 141 1350 1351 ■J o 7 4 2 Ctg3X C tg5X (ctg A.CSC*A+ Ctg A.CSC x)dx = ----- ---------------+C sen2 a cos4 xI Desarrollo f__*__=f” = f(-L-+ , 1 y )dX J sen2 a.eos4 a J sen2 a eos4 a J eos a sen a.eos a = J(sec4 a + 4 csc2 2x)dx = J*[(1+ tg2a) sec2a + 4 csc2 2x)]dx = tgx +—^ - 2 c t g 2 x + c J dx sen5a eos3x Desarrollo «6 v r f__ ÉL__= í___ csc6/ = f CSCV ^ J sen5acos3a J csc6A.sen5 acos a J csca.cos a í í-l+ctg f i- dx = [tg a sec2a(1 + 3c tg2a + 3c tg4x +c tg6x)dx J Ctg A.COS A J = J(tgA.sec2A+ 3 ) ^ - ^ + 3tg 3xsec2 A+ tg 5x.sec2 x)dx tgA 1352 I t2^ x 3 1 = + 3ln(tg A)- — — ■-— — -+c 2 2tg a 4tg a dx X 3 X sen-.eos - 2 2
  • 75. 142 Eduardo Espinoza Ramos Desarrollo 2y* ax , ü + c t2‘ í , 2 f dx f csc2(2 )dx |.(l + ctg2(|))d* s e n c o s 3^ J csc2A .sen (|).co s3(J) J ctg(-).cos2(*) ¿ ¿ 2 2 2 2 2 2•* f x x y r see — = tg (-)sec2(-)(l + ctg2-)í/* = (tg-.sec2- + ------ ^)dx J ¿ 2 2 J 2 2 * tg2 2 X see — , , x x x o = I (sec--.tg -.sec- + ------±-)dx 2 2 2 . a 2 ■/< = sec2J + 21n |tg ^ -|+ c = — — + 21n | tg - |+ c 2 2 2x 2eos — 2 ,.sen(* + —) 1353 ---------- 1-dx J sen*.eos* Desarrollo .sen(* + —) »sen*, eos —+ sen —.eos*»SCIHX1- - ; »sen *.eos — f-sen —.eos * pr . f ----------4_rfi= r-----------4— 4— dx = V2 J sen*.cos* J sen*.cos* 2 J _ V2 f , l l w V2 f - “r - I v--------1-------)dx = —— I (sec* + csc*)J* 2 J eos* .ve/!* 2 J jen* + eos * ---------------dx senx. eos* Integral Indefinida 143 * l-c o s* = l - ^ os*_ _ lj-eos* _ —l------ £2£jL = CSc ^ - c tg * 2 Vl + cos* V i-eos2* senjc s¿r‘A‘ sen* A 7T análogamente In | see * + tg * |= ln | tg(—+ —) | 1354 I dx x Desarrollo sen5 * f dx —~ íese5xdx= f (l + c tg2*) ese3* dx J sen * J J = fcsc3*dx + J c tg 2*.cse3*d* —(l) integrando se tiene: J*ese3* dx = [In | esc * - c tg * | -c tg *.esc *] f i 1 , 1 eos * , 1 r, . 1—eos * . , ese3xdx = —[ l n ----------------1-c tg *csc *J = —[ln | ------------1-c tg *csc*] J 2 sen * sen * 2 sen * = —[ln || -c tg*.csc*] = ^-fln | tg ^ | -c tg*.csc*] ...(2) 2 Vl + cos* 2 2 integrando por partes J e tg2*.csc3* dx du = -esc“ xdx u = c tg* —■> i . 3 . , CSC X dv = csc x.c tg xdx v = ---------- f , , , Ctgxcsc3* 1 f 5 , j c tg" *.csc xdx = -----SL-^---------3j CSC X
  • 76. 144 Eduardo Espinoza Ramos 1355 reemplazando (3), (2) en (1) f dx f 5 I . , x . 1 ctgxcsc3* 1 f s , I , - I CSC dx =- ln jtg —I— ctg x cscx ----- --------------- csc' xdx J sen x J 2 2 2 3 3J i 5 3 . jc 3 eos x 1 eos x = I csc xdx = —ln | tg ———---- ------ ----- —he ‘ sen4x8 2 8sen2x 4 r™ 4 1 sec54xdx Desarrollo Jsec54xdx = J*(l + tg24x)sec34xdx = Jsec34xdx +J tg 24xsec34xdx ... (1) integrando por partes: Jsec34xdx = ^[sec4x. tg 4x +ln | sec4x +tg 4x |] integrando por partes: J tg2x. sec34x dx = — —'^ C - i Jsec54xdx reemplazando en (1) se tiene: J sec54xdx = J sec34xdx + J tg24xsec34xdx sec4xtg4jc 1 tg4x.sec34x 1 f , , = ---------------+ in sec4jc + tg4x +—------------------- sec54xdx 8 8 12 3 j —fsec54x<¿t = -ln|sec4jc+tg4jc|H—sen4x + _ sen4x 3 J 8 8eos 4x 12eos 4* fsec54 x ^ = -lln |sec4 A + ^ 4 x |+ ^ + ^ + e J 32 12 16 Integral Indefinida 145 1356 1357 1358 1359 J tg25xdx Desarrollo tg¿ 5jcdx = | (secz 5x -1 )dx = —- x +c I Desarrollo j c i g 3xdx = j (csc2x - l)ctgxdx = J (ctgxese2x - c tgx)dx ctg3xdx ctg2x , . . ----------- ln sen x +c í ctg4xdx Desarrollo J e tg4xdx = J(csc2x - l)c tg2xdx - Jícsc2x ctg 2j e -c sc2x +Y)dx ctg ’ x ---------+ ctgjc + jc+ c í (tg - + tg -)dx Desarrollo Jtg3^dx=J(sec2^-l)tgjdx =-jtg2^+31n|cos^| ... (1) J tg4^ = J(sec2^ - 1) tg2~~dx ~ J(sec2~ tg2^ - sec2~ +1)dx ... (2) 3 3