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Geometria analitica-

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Presentacion de Recta en R3

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Geometria analitica-

  1. 1. REPUBLICA BOLIVARIANADE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LAS FUERZAS ARMADAS (UNEFA) RECTA EN R3 INTEGRANTES : YENDERSON LOPEZ DAYANA VARGAS JOSE COLMENAREZ FELIPECASTILLO DAVID DAVILA SECCION: 1T2ISBARQUISIMETO 3/7/2012
  2. 2. RECTA EN R3Sea P0(x0,y0,z 0) un punto que pertenece a larecta L, con vector directord diferente del vectorcero dado por (a,b, c). Se define a L como elconjunto de puntos P(x ,y ,z ) tales que ladirección del vector P0P es paralela a dEsto es P0P = (x− x0, y− y0,z − z 0)=t (a,b,c) ;t ∈R −{0}A partir de la ecuación (1) se obtiene x=x0 + at y= y0 + bt z =z0 + ctQue se denominan las ecuaciones paramétricas de L con parámetro t.Como t satisface a las tres coordenadas simultáneamente para un punto dado , sepuede despejar e igualar t, obteniendo de esta forma las ecuaciones simétricas : x –x0/a =y-y0/=z-z0/c ; a , b , c ∈ R - {0}
  3. 3. ECUACIONES EN RECTA R3 Ecuaciones simétricas de una recta :Sea A un punto y B un vector en R3 . __ , __, Con respecto a las ecuaciones paramétricasSea L la recta de ecuación OX = OA + tB,com t ∈ R obtenidas en (2), si suponemos queb1 0, = b2 0 y b3 0 entonces se tiene que = =Sean X = ( x, y , z ), A =( a1 , a 2 , a3 ) y B ( b1 , b2 , b3 )entonces se tiene : X = a1 + tb1 = x – a1 = tb1 : o sea que y – a1/b1 = t (3)Ecuaciones Paramétricas de una Recta : Y= a2 + tb2 = x – a2 = tb2 , o sea queOX =OA +tB= ⇒( x,y,z) = (a1,a2,a3) + t(b1,b2,b3), de donde y – a2 / b2 = t (4)realizando las correspondientes operaciones se tiene que x = a2 + tb2 X = a3 + tb3 = x – a3 = tb3 ; o sea que y = a2 + tb2 con t ∈ R z – a3 / b3 = t (5) z = a3 + tb3Las ecuaciones anteriores reciben el nombre de ecuaciones Como las ecuaciones (3) ,(4),y (5) el ladoparamétricas de la recta que pasa por ( a1 , a2 ,a3 ) y cuyo izquierdo esta igualado a T , entonces sevector director es ( b1 , b2 , b3 ). cumple que x-a1/b1 =y – a2 /b2 = z – a3 /b3 hay simetría
  4. 4. Angulo entre una recta y un plano : Se define el ángulo que forman dos rectas como el ángulo que determinansus vectores directores.Sea N un vector en R 3 diferente de ceo . Sea T un punto en R3 .Se dice que el conjunto de puntos X generan un plano que contiene al puntoT, si cumplen que : __ __ (0X - 0T) . N = 0 Si se denota por π el plano que contiene aT y los puntos X En R3 que satisfacen (∗), entonces se dice que N es elvector normal de π.
  5. 5. Números Directores de la Intersección de los Planos :Para determinar un plano se necesitan un punto Po(x o ,yo ,zo) y un vector Ñ(A, B,C)normal al plano. La ecuacióndel plano viene entonces dada por la relación: A(x - xo) + B(y - yo) + C(z - zo) = 0 ⇒A.x + B.y + C.z + D = 0 (1)Donde D = -A.xo - B.yo - C.zoSe pueden considerar varios casos particulares según que uno o dos de los coeficientes de la ecuación (1) seannulos.a) Plano paralelo al eje OX. Se tiene A = 0 y la ecuación toma la forma: B.y + C.z + D = 0 Siendo el vector director normal al plano de la forma:
  6. 6. b) Plano paralelo al eje OY. Se tiene B = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + C.z + D = 0 Siendo el vector director normal al plano de la forma: C) Plano paralelo al eje OZ. Se tiene C = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + B.y + D = 0 Siendo el vector director normal al plano de la forma:d) Plano que pasa por el origen. Se tiene D = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + B.y + C.z = 0
  7. 7. Plano que pasa por dos Puntos:Siendo Po , P1 y P2 tres puntos no consecutivos pertenecientes a un plano, podemos considerar un puntogenérico P de dicho plano y determinar entonces tres vectores dados por las siguientes coordenadas: Como sabemos que la condición necesaria y suficiente para que tres vectores sean coplanarios, es que su producto mixto sea nulo, podemos hacer: Como caso particular de esta ecuación se puede calcular la ecuación segmentaria del plano. Se trata de saber la ecuación del plano que corta a los ejes de coordenadas en los puntos x = a ; y = b ; z = c.

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