O documento prova que o problema da parada é indecidível usando o método da diagonalização. Ele constrói uma máquina de Turing D que faz o oposto do que faria uma máquina H que supostamente decide o problema da aceitação. Quando D roda em si mesma, gera uma contradição, mostrando que o problema da parada não pode ser decidido.

1. Problema da Parada
Davi Felipe Russi
Leonardo Quatrin Campagnolo
Vitor da Silva

2. Prova
Queremos provar que o problema da
parada é indecidível.
Usaremos o método da Diagonalização.
Vamos provar por contradição para isso
iremos dizer que a MT é decidível.

3. Prova cont.
Supondo que um MT H decide AMT.
Então a partir de H contruiremos uma
MT D que, quando recebe uma entrada
<M>, determina se M aceita <M>, e
então D faz o oposto.
Em suma, se M aceita, D rejeita, se M
rejeita, D aceita.
Se rodarmos D com a entrada <D>
temos uma contradição.

4. Prova cont.
H aceita <M, w> quando M aceita w.
D Rejeita <M> quando M aceita <M>.
D rejeita <D> quando D aceita <D>

5. Prova cont.
A diagonalização fica aparente quando
construirmos as tabelas de
comportamento para as MTs H e D.
Tomamos a MT:
- A entrada é aceite se a máquina aceita
mas é branco se rejeita ou entra em loop
sobre aquela entrada.

6. Prova cont.
<M1> <M2> <M3> <M4> ...
M1 aceite aceite ...
M2 aceite aceite aceite aceite ...
M3 ...
M4 aceite aceite ...
... ... ... ... ... ...

7. Prova (cont.)
Agora criaremos a tabela para maquina H
onde:
H(<M, w>) = aceite se M aceita w
rejeita se M não aceita w

8. Máquina Turing H(<M, w>)
<M1> <M2> <M3> <M4> ...
M1 aceite rejeite aceite rejeite ...
M2 aceite aceite aceite aceite ...
M3 rejeite rejeite rejeite rejeite ...
M4 aceite aceite rejeite rejeite ...
... ... ... ... ... ...

9. Prova (cont.)
Agora tomamos a máquina D da seguinte
maneira.
D(<M>) = aceite se M não aceita <M>
rejeite se M aceita <M>
Logo se tomarmos a entrada D na
máquina D
D(<D>) = aceite se D não aceita <D>
rejeite se D aceita <D>

10. Prova (cont.)
Como nossa hipótese garante que H é
uma MT e o mesmo acontece com D.
Note que D computa o oposto das
entradas da diagonal de H(<M, w>). A
contradição ocorre no ponto em que a
maquina D tenta computar a entrada D ou
seja quando ela tenta computar ela
mesma.

11. Adicionando D
<M1> <M2> <M3> <M4> ... <D>
M1 aceite rejeite aceite rejeite aceite
M2 aceite aceite aceite aceite aceite
M3 rejeite rejeite rejeite rejeite rejeite
M4 aceite aceite rejeite rejeite aceite
.
.
.
D rejeite rejeite aceite aceite ?=?

12. Conclusão
Se rodarmos D sobre a sua descrição, teremos:
Se D aceita, então D rejeita, mas como D deveria ter
aceitado, vimos que chegamos a um ponto aonde
nao é possível decidir se o resultado é de aceitação
ou rejeição, pois D sempre é forçado a fazer o
oposto, gerando uma contradição, onde a entrada
deve ser o contrário dela mesma.
Logo, este problema é indecidível.