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Guia operaciones unitarias 1

  1. 1. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 1AFP atmmanabs PPP hp *CAPITULO 1“PRESIONES”1.1 INTRODUCCION.La presión de fluido, (P) está definida como la cantidad de fuerza, (F), que se ejerce sobreun área unitaria, (A), de una sustancia. La presión de fluidos se calcule a partir de:1.2 PRESION ABSOLUTA Y MANOMETRICACuando se realizan cálculos que implican la presión de un fluido, se debe hacer lamedición en relación con alguna presión de referencia. Normalmente, la presión dereferencia es la de la atmósfera y la presión resultante que se mide se conoce como presiónabsoluta. La presión que se mide en relación con el vacío perfecto se conoce como presiónmanométrica.Una sencilla ecuación relaciona los dos sistemas de medición de presión:Donde:Pabs = Presión absolutaPman = Presión manométricaPatm = Presión atmosférica1.3 RELACION ENTRE PRESION Y ELEVACIONCuando uno se sumerge cada vez más en un fluido como en una piscina, la presiónaumenta. Existen muchas situaciones en las que es importante saber exactamente dequé manera varía la presión con un cambio de profundidad o de elevación.El cambio de presión en un líquido homogéneo en reposo debido al cambio en elevaciónse puede calcular a partir de:DONDE:Δp = Cambio de presiónγ = Peso especifico del liquidoh = Cambio de elevaciónNota: La ecuación es válida para un líquido homogéneo en reposo.
  2. 2. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 2)1........(CB PP )2........(*38.0 2 atmB PP)3........(*55.0 1 DC PP)1......()3()2( eny:ReemplazandoPROBLEMAS RESUELTOSP-1.1 Un líquido de peso especifico 1.25 [g/cm3], llena parcialmente el reservorio esféricode la figura. ¿Cuál será la intensidad de la presión en un punto situado a 0.55 [m] debajodel punto C (punto D)?SOLUCION:P-1.2 Calcular la diferencia de presiones entre los puntos 1 y 2 de la tubería de la figurapor la que circula agua, el líquido en el piezómetro tiene una densidad relativa de 2.96,(Tome como datos adicionales h=0.6m, z=0.5m)332)81.9*1250(*55.0)81.9*13600(*38.0101325mNmPmNmmND absolutapresionKPaPD 37.5712 *55.0*38.0   Datm PP
  3. 3. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 3SOLUCION:Balance entre los puntos A y BRestando (1) – (2):La diferencia de presiones entre A y B:De la grafica:Reemplazamos (4) y (5) en (3):Reemplazando valores se tiene:)1(..........*21 XPP OHA )2(..........*22 YPP OHB YPXPPP OHOHBA ** 22 21  )3..().........(*221 YXPPPP OHBA  )4(..........*ZPP BA )5(..........hZYXhYZX )(** 221 hZZPP OH  mmNmmNPP )6.05.0(*)81.9*1000(5.0*)81.9*2960( 3321 221 73.3mKNPP 
  4. 4. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 4P-1.3 Para el tanque que muestra la figura calcular el valor de H.SOLUCION: (+↓,-↑)aceiteHgaguaagua PgHggP  3.02.0 HgggPP Hgaguaaceiteagua   3.02.0ggPPHHgaguaaceiteagua )3.02.0()(1743.098106.13)3.092.098102.09810(1640mH )(43.17 mH P-1.4 Encontrar la diferencia de presiones entre los puntos M y N en función de z, s,h;( s )SOLUCION:Balance entre los puntos M y BmPP BM * …..(1)Balance entre los puntos C y NnPP NC * …..(2)Balance entre los puntos B y CzPP CB * …….(3)(1) + (2)nPmPPPnPPmPPNBCMNCBM****)(* nmPPPP CBNM   ……….(4)Por geometría: nmzhznmh  …..(5)Agua40(kPa)Aceite16(kPa)92.0H30cm20cmmercuriomzBChMNn
  5. 5. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 5(5) en (4): )(* zhPPPP CBNM  Con (3) )(** zhPzPPP CCNM  )(** zhzPP NM  Pero:  *ss )(*** zhzsPP NM   )(** zhzsPP NM    hszPP NM  )1(**P-1.5 Un piezómetro conectado a un tanque contenido agua como se muestra en la figura,el liquido en el piezómetro es mercurio (Dr= 13.6). Cuando la superficie del tanque estaen A, el valor de H es 0.6(m). Hallar el valor de H cuando la superficie del agua en eltanque esta en B=5(m) sobre A.SOLUCION:Inicialmente en el nivel D se cumple:hPatmzPatm **  )(16.86.0*16.13*1mhz Luego en la situación final cuando elnivel del agua en el tanque esta en B. elpunto D baja una distancia Y, lo mismoocurre con el punto C por lo tanto en elnivel D se cumple.zmBAAh=0.6 (m)
  6. 6. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 6)(***5* 1yhyPatmyzPatm  yyhz ***2**5* 11 )16.13*2(6.0*6.13)16.85(*1)*2(*)5(*11yyhz)(19083.0 my Pero de la grafica:Hf=h+y+y=.6+2*0.19083=0.982(m))(982.0 mH f P-1.6 En el sistema de manómetros, mostrado en la figura. Determinar al diferencia depresiones en el punto A y B, es decir (A-B).M NH2H1A H3SOLUCION:Del gráfico: PM = PN………….. αABzmBAhDfDiyCfCiy
  7. 7. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 7PA = H1 + H2 + PM PM = PA – H1 – 2…………………… (1)PB = H3 + PN PN = PB – H3……………………………. (2)REEMPLAZANDO (1) Y (2) EN *:PA – H1 – H2 = PB – H3R.- 332211BA H-H+H=P-P * Otra forma:Empezamos del bolo izquierdo:PA – H1 – H2 + H3 = PBR. - H33-H22+H11=PB-PA P-1.7 En el sistema mostrado en la figura. Determinar la diferencia de presiones entre lospuntos A y B.BH3AH1H2SOLUCION:(+) (-) PA + H1 – H2 – H3 = PBR. - H-H+H=P-P 113322BA 
  8. 8. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 8P-1.8 Un liquido A tiene un peso especifico de 9.4 KN/m3 y el liquido B tiene un pesoespecifico de 11.4 KN/m3. El líquido manométrico es mercurio. Si la presión de B es de210 KPa, halle la presión en A:SOLUCION:mmkNPPB 4.5*4.11 31 kPamkNmkNmkNPP B 44.14856.6121056.61 2221 Donde:21 PP Por otra parte se tiene P3:kPakPakPammkNPP 15356.444.1484.0*4.11 323 Donde:43 PP Se tiene P5 bajo la siguiente relación:mmkNPP 4.0*81.9*6.13 354 kPamkNmkNmkNPP 63.9937.5315337.53 22245 Sabiendo que:65 PP La presión en el manómetro A es:mmkNPPA 4.2*4.9 36  kPamkNmkNPA 19.12256.2263.99 22 kPaPA 19.122
  9. 9. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 9APF promR *2*hPprom CAPITULO 2“FUERZA SOBRE AREAS PLANAS”2.1 INTRODUCCION.En el presente capítulo se presenta los métodos de análisis utilizados para calcular lafuerza ejercida sobre un área plana. También se analizarán las fuerzas sobre superficiescurvas.En la figura de abajo se muestra la distribución de presión sobre el muro de contenciónvertical. Como se indicó en la ecuación Δp=γh, la presión varía linealmente (como unalínea recta) con respecto de la profundidad en el fluido. La longitud de las fechaspunteadas representa la magnitud de la presión de fluido en diferentes puntos sobre lapared. Debido a esta variación lineal en la presión, la fuerza resultante total puede sercalculada con la ecuación:Donde:Pprom = es la presión promedio yA = es el área total del muro que se encuentra en contacto con el fluido.Pero la presión promedio es la que se encuentra en la parte media del muro y puedecalcularse mediante la ecuación:En la que h es la profundidad total del fluido.promedioPh32h312hhpresionesdeCentro
  10. 10. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 10AhFR *2*  AhFR *2*  Por tanto, tenemos:2.2 PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LA FUERZA SOBRE UNA PAREDRECTANGULAR:1. Calcule la magnitud de la fuerza resultante, F., empleando la siguiente ecuación:DONDE:γ = Peso especifico del fluidoh = Profundidad total del fluidoA = Área total de la pared2. Localice el centro de presión a una distancia vertical de h/3 a partir del pie de lapared ó en su caso a 2/3 h desde la superficie libre del fluido.3. Muestre la fuerza resultante que actúa en el centro de presión en formaperpendicular a la pared.2.3 PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LA FUERZA SOBRE UNA PARED RECTANGULARINCLINADA:h32h312hhYcgYcpY3YRFpresionesdeCentro
  11. 11. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 11AhFR *2*  YhsensenhY LYA *3YYYcp 1. Calcule la magnitud de la fuerza resultante, FR, empleando la siguiente ecuación: Para calcular el área de la cortina, se necesita la altura de su cara, denotadacon “Y” como se observa en la figura anterior. Entonces el área de la cortina es:2. Localice el centro de presión a una distancia vertical de h/3 o medido a partir delpie de la pared sobre el largo de la superficie de la cortina.3. Muestre la fuerza resultante que actúa en el centro de presión en formaperpendicular a la pared.2.4 AREAS PLANAS SUMERGIDAS GENERALEl procedimiento que se analizara en esta sección se aplica a problemas que involucraáreas planas, ya sean verticales o inclinadas, completamente sumergidas en el fluido.Como en problemas anteriores, el procedimiento nos capacitara para calcular la magnitudde la fuerza resultante sobre el área y la localización del centro de presión, en dondepodemos suponer que actúa la fuerza resultante.En la figura se muestra un tanque que tiene una ventana en una pared inclinada. Lossímbolos utilizados en el procedimiento que se describirá mas adelante, se muestran en lafigura y se definen a continuación:
  12. 12. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 12AhcgFR **Donde:FR = Fuerza resultante sobre el área, debida a la presión de fluidoθ = Ángulo de inclinación del área.hcg = Profundidad del fluido desde la superficie libre hasta el centroide del área.Ycg = Distancia existente desde la superficie libre del fluido al centroide del área,medida a lo largo, del ángulo de inclinación del area.γ = Peso especifico del fluido.Mx = Momento de primer orden con respecto a su centro de gravedad.Icg = Momento de Inercia respecto al centro de gravedad de la superficie ómomento de segundo orden.A = Área de la compuerta que se encuentra en contacto con el fluido.La magnitud de la fuerza resultante, FR, se calcula empleando la siguiente ecuación:2.5CENTRO DE PRESIÓNEs aquel punto sobre un área en el que se puede suponer que actúa la fuerza resultantepara tener el mismo efecto que la fuerza distribuida sobre el área entera, debida a lapresión del fluido.hRFYYcgYcphcphcgdFCGreferenciadeLineafuerzalacalcularavasecuallasobreareadelproyectadaVistafluidodelSuperficie
  13. 13. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 13YcgAYcgIcgYcp *NOTA. El momento de Inercia va difiriendo de la forma que presenta la superficie como sepuede demostrar en el siguiente Ejemplo, de base "b" y de altura "h" respecto a un ejeque pasa por el centro de gravedad y sea paralelo a la base:2.6 FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVASEn la figura se muestra un muro de contención que contiene un líquido y cuya partesuperior está expuesta a la atmósfera, cuya superficie abc es una cuarta circunferencia y sivemos con la profundidad es un segmento de un cilindro. En este caso interesa la fuerzaque actúa sobre la superficie curva debida a la presión del fluido.2.6.1 COMPONENTE HORIZONTALLa pared solida vertical que se encuentra a la derecha ejerce fuerzas horizontales sobre elfluido que esté en contacto con ella, como reacción a las fuerzas debidas a la presión delhHF HFHFab cWW3hxLRFVFCentroide Centroideh21h21hb bd2d3hhhbA *12* 3hbIcg 2*hbA 36* 3hbIcg 4* 2dA64* 4dIcg
  14. 14. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 14)1.....(*2*** AhAhcgFF HHa  )2..(........................................* LhA )*(*2* LhhFH hhcp32VWFV *LAFV **Rx3422VHR FFF fluido y se encuentra ubicada a una distancia h/3 del pie de la pared.La magnitud de FH, y su posición se puede encontrar utilizando los procedimientosdesarrollados en superficies planas. Esto es:Reemplazando (2) en (1) se tiene:Su centro de presión desde la superficie libre líquido será:2.6.2 COMPONENTE VERTICALLa componente vertical de la fuerza ejercida por la superficie curva sobre el fluido puedeencontrarse sumando las fuerzas que actúan en dirección vertical. Únicamente el peso delfluido actúa hacia abajo y solamente la componente vertical, Fv actúa hacia arriba.Entonces, el peso y el fluido deben ser iguales entre sí en magnitud. El peso essimplemente el producto de su peso específico por el volumen del cuerpo del fluidoaislado. El volumen es el producto del área de la sección transversal, que se muestra en lafigura anterior (a,b,c) y la longitud de interés es "L". Donde la Fv es:Su centro de presión desde la superficie del muro será:La fuerza total resultante, FR es:La fuerza resultante actúa formando un ángulo θ; con respecto de la horizontal, y se lepuede calcular por medio de la ecuación:
  15. 15. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 15 HVFFtag 12shhcg )2(*)*(***shLshcgAFH  hcghcgshcgsLhcgsLhcgAhcgIhcp x*12)*(*12**2322VHR FFF  HVFFtag 12.6.3 RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LA FUERZA EN UNA SUPERFICIECURVA SUMERGIDA.Dada una superficie curva sumergida en un líquido estático, se puede utilizar el siguienteprocedimiento para calcular la magnitud, dirección y localización de la fuerza resultantesobre la superficie:1. Aislar el volumen del fluido que está por encima de la superficie.2. Calcular el peso del volumen aislado.3. La magnitud de la componente vertical de la fuerza resultante es igual al peso delvolumen aislado. Actúa en línea con el centroide del volumen aislado.4. Dibuje una proyección de la superficie curva en un plano vertical y determine su altura, en este caso representado por la letra "s".5. Calcule la profundidad del centroide del área proyectada con la ecuación:6. En la que h es la profundidad de la parte superior del área proyectada.7. Calcule la magnitud ce la componente horizontal de la fuerza resultante, a partir dede:8. Calcule la profundidad de la línea de acción de la componente horizontal con laecuación:9. Calcule la fuerza resultante con la ecuación:10. Calcule el ángulo de inclinación de la fuerza resultante con respecto de lahorizontal, utilice la ecuación:11. Muestre la fuerza resultante que actúa sobre la superficie curva en la dirección detal forma que su línea de acción pase por el centro de curvatura de la superficie.
  16. 16. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 16PROBLEMAS RESUELTOSP-2.1 Cuál es el empuje que se ejerce por el agua en una compuerta vertical de [ ]cuyo tope se encuentra a [ ] de profundidad.[ ]SOLUCIÓN:En el problema: ̅ ̅ [ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ]̅ [ ] [ ] [ ]P-2.2 Determine la posición del centro de presiones para el caso de la compuerta delproblema anterior.̅̅( )Donde: = momento de inercia con respecto al centro de gravedad( )( ) [ ] ( )P-2.3 Determine la coordenada del centro de presión (Cp) de las siguientes áreas situadasen planos verticales y la magnitud de la fuerza FCgCp[ ][ ]̅CgCp[ ][ ][ ][ ][ ]( )( )
  17. 17. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 17a) ParalelogramoSOLUCIÓN:Sabemos:̅ ̅ ̅Entonces:̅̅b) Rectángulo̅ ̅ ̅b ( superficie)hypCpCgCph̅( ) ( )( )
  18. 18. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 18P-2.4 Un dique con 4[m] de altura y 10[m] de ancho presenta un perfil parabólico aguasarriba. Calculé se la resultante de la acción del fluido. (Solución numérica).SOLUCIÓN:Componente Horizontal:̅[ ] [ ] [ ] [ ][ ] *Donde se aplica:; [ ][ ] *Componente Vertical:( )[ ] [ ] [ ] [ ][ ] *Donde se aplica: (x)̅ [ ][ ]Para la resultante (R)√√( ) ( )[ ] *HF HFW3hxRFVFm5.1OH2mh 4 FxFym4m10m5.2A
  19. 19. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 19P-2.5 La compuerta de la figura. Tiene 3 [m] de longitud. Calculé se la magnitud yubicación de los componentes de la fuerza que actúan sobre ella.Solución: Calculo de la FuerzaHorizontal.̅( )[ ] [ ] [ ] [ ][ ] *Calculo de :( )[ ][ ] *Calculo de la fuerza Vertical:( )[ ]( )[ ] [ ][ ] *Calculo del lugar donde se aplica (̅)̅̅[ ]̅ ̅ [ ]m2m3bhWFxFy xABC 31000mKgfm2m3pyAgua
  20. 20. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 20P-2.6 El depósito de la figura contiene aceite y agua. Encontrar la fuerza resultante sobrela pared ABC, que tiene 1.2m de anchura.SOLUCION:a) PAB =(0.800 x 1000)(1.5)(3 x 1.2)=4320 kg, que actúa en el punto (2/3)(3) m de A, osea, 2 m por debajo. Puede obtenerse este mismo aplicando la formula conocida,como sigue:( )( )b) El agua actúa sobre la cara BC y la acción del líquido superior puede tenerse encuenta por la altura o profundidad de agua equivalente. Se emplea en estesegundo cálculo la superficie de agua imaginaria (IWS), situando la IWS por cambiode los 3 m de aceite en los 0.800 x 3 = 2.40 m de agua. Por tanto,( )( )( )( )La fuerza resultante total = 4320 + 7228 = 11.448 kg, que actúa en el centro de presiónque corresponde al área total. El momento de esta resultante = la suma de los momentode las dos fuerzas parciales anteriores. Tomando momentos respecto de A,Pueden emplearse para este cálculo otros métodos, pero el presentado aquí reduce loserrores tanto en el planteamiento como en los cálculos.m8.1m3Agua)8.0( DrAceiteABCLa fuerza total sobre ABC es igual a (PAB +PBC). Hay que encontrarcada una de las fuerzas, situar su posición y aplicar el principio demomentos y por ultimo hallar la posición de la fuerza totalresultante sobre la pared ABC.
  21. 21. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 21P-2.7 Refiriéndose en la figura, calcular la fuerza de presión que ejerce el fluido debenceno sobre la compuerta y localice la fuerza de presión. Muestre la fuerza resultantesobre el área y señale claramente su localización.Ubicando su punto de acción de la FR( )m50.0m50.1m80.0º70)88.0( SGBencenoRF( )( )( )( )(( ))SOLUCION:Calculo de la Fuerza Resultante:Donde:Sustituyendo en (1)
  22. 22. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 22P-2.8 Para el tanque de agua que se muestra en la figura, calcule la magnitud de la fuerzade presión que ejerce el fluido de agua sobre la compuerta y localice la fuerza de presiónUbicando la fuerza resultante:( )P-2.9 Determine el peso específico de una esfera que flota entre dos líquidos dedensidades: 0,8 y 1. La línea de separación de los líquidos pasa por el centro de la esfera:"18"6"20"30FRcpyAGUAº50( )()SOLUCION:Calculo de la Fuerza Resultante:Donde su centro de gravedad es:Por otra parte el área se obtiene:Sustituyendo hcg y el área de la compuerta en (1):
  23. 23. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 23SOLUCIÓN:( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )P-2.10 Un tronco cilíndrico tiene un diámetro de 450 mm y una longitud de 6.75 m.Cuando el tronco está flotando en agua dulce con su eje más largo horizontal, 110 mm desu diámetro está por encima de la superficie. ¿Cuál es el peso específico de la madera deltronco?SOLUCION:dVwTVwoodbFw   ;Θ=Arcsen(150/225)=30.74ºΒ=
  24. 24. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 24TdVVwwood    3074.1750.64245042mLDTV    LXDVd  11522136042     3328703.075.6115.01934.0213605.241445.0mmVd    33/95.7074.1/8703.0/81.9 mkNmkNwood 3/95.7 mkNwood P-2.11 En la siguiente figura, un cilindro de 2,4 m de diámetro cierra un agujerorectangular en un depósito de 0,9 m ¿Con que fuerza queda presionado el cilindro contrael fondo dl deposito por la acción de los 2.7 m de profundidad de agua?abjohaciakgBEyCAarribahaciafuerzaCDEsobreabajohaciafuerzaPv16908102500038,1*6,0*212,1*121162,0*1,222,1*214,2*1,29.0*1000 22
  25. 25. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 25)/,()/,(22smgravedadladenaceleraciogsmrecipientedellinealnaceleracioatg gahp 1*222xgyCAPITULO 3“TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS”3.1 INTRODUCCION.Un fluido puede estar animado de un movimiento de traslación o rotación, sometido auna aceleración constante, sin movimiento relativo entre sus partículas. Esta es una de lascondiciones del equilibrio relativo y el fluido está libre de tensiones cortantes. En generalno existirá movimiento entre el fluido y el recipiente que lo contiene. Son aplicables aúnlos principios de la estática, modificados para tener en cuenta los efectos de laaceleración.3.2 MOVIMIENTO HORIZONTALEn el caso de un movimiento horizontal la superficie libre del líquido adopta una posicióninclinada y plana. La pendiente del plano se determina mediante:3.3 MOVIMIENTO VERTICALPara el movimiento vertical la presión (kgf/m2o Pa) en un punto cualquiera del líquidoviene dada por:en la que el signo positivo se aplica cuando la aceleración es hacia arriba y el negativocuando la aceleración constante es hacia abajo.3.4 ROTACION DE MASAS FLUIDAS RECIPIENTES ABIERTOSLa forma de la superficie libre de un líquido que gira con el recipiente que lo contiene esun paraboloide de revolución. Cualquier plano vertical que pasa por el eje de revolucióncorta a la superficie libre según una parábola. La ecuación de esta parábola es:
  26. 26. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 26222xgp222xgyp donde x e y son las coordenadas, en metros, de un punto genérico de la superficie,medidas con el origen en el vértice situado en el eje de revolución, y “ω” la velocidadangular constante, medida en radianes por segundo. La demostración de esta fórmula seda más adelante. RECIPIENTES CERRADOSEn los recipientes cerrados aumenta la presión al girar los recipientes. El aumento depresión entre un punto situado en el eje y otro a una distancia de x metros del eje, en elmismo plano horizontal, es:y el aumento de la altura de presión (m) seráque es una ecuación análoga a la aplicable a recipientes abiertos en rotación. Como lavelocidad lineal v=x*ω, el término x2ω 2/2g = v2/2g da la altura de velocidad, en m, comose verá más adelante.PROBLEMAS RESUELTOSP-3.1 Problema: Un vaso de 1.22[m] de diámetro está abierto y lleno de un liquido comomuestra la figura. Determinar el volumen derramado del liquido cuando el cilindro girasobre su eje vertical simétrico.SOLUCIÓN:[ ][ ][ ]( )[ ⁄ ]( )[ ] Altura del paraboloide
  27. 27. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 27( )[ ][ ]( )( )Rpta.P-3.2 Un vaso cilíndrico abierto está lleno de líquido. ¿A qué velocidad deberá girar sobreun eje vertical para el liquido deje descubierto en el fondo un circulo en el fondo de radio(3R/4) del cilindro. ¿Cuál será el volumen del líquido derramado con esta relación? El vasotiene 1.6 (m) de diámetro y 2(m) de altura:SOLUCIÓN:( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⁄√( ⁄ )( ( ))( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
  28. 28. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 28P-3.3 Un paraboloide de revolución cuyo diámetro es “d” la base es igual a su altura, flotacon su eje vertical y vértice hacia abajo, determine la densidad relativa mínima delparaboloide con respecto al líquido para que la flotación sea estable.SOLUCIÓN:( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )√√ ( )̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅
  29. 29. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 29̅( )( )̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( )̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )√ ( )
  30. 30. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 30VAQ *QW *vAW **QM *vAM **CAPITULO 4“FLUJO DE FLUIDOS Y LA ECUACION DE BERNOULLI”4.1 RAPIDEZ DE FLUJO DE FLUIDOEs la cantidad de flujo que fluye en un sistema por unidad de tiempo, se puede expresarmediante los tres términos que definimos a continuación.La Rapidez de Flujo Volumétrico (Q), es el volumen de flujo de fluido que pasa por unasección por unidad de tiempo y esta es la más importante entre los tres términos que semenciona y se calcula empleando la siguiente ecuación:Donde:A = es el área de la secciónV = es la velocidad promedio del fluido4.2 LA RAPIDEZ DE FLUJO DE PESO (W), es el peso de fluido que fluye por una secciónpor unidad de tiempo y está relacionada con Q mediante la ecuación:DONDE:W = es el peso específico del fluidoQ = es la rapidez de flujo de volumen4.3 LA RAPIDEZ DE FLUJO DE MASA (M), es la masa de fluido que fluye por unasección por unidad de tiempo y está relacionada con Q mediante la ecuación:Donde:ρ = es la densidad del fluidoQ = es la rapidez de flujo de volumen
  31. 31. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 3121 MM 222111 vAvA  2211 ** vAvA 21 QQ )1...(..........** zgmPE )2(....................* gmw zwPE *4.4 ECUACION DE CONTINUIDADEsto es, la cantidad de fluido que pasa por cualquier sección en un cierto tiempo dado, esconstante. En este caso decimos que se tiene un flujo constante, entonces la masa de fluido quepasa por la sección 2 en un tiempo dado, debe ser la misma que la que fluye por la sección 1, en elmismo tiempo. Lo anterior se puede expresar en términos de la rapidez de flujo de masa como:Considerando que el fluido que se encuentra en tubo es un líquido que puede ser incomprensible,entonces los términos ρ1 y ρ2, son iguales, entonces la ecuación anterior resulta:Esta ecuación de continuidad es aplicada a líquidos; establece que para un fluido estable, larapidez de flujo de volumen “Q” es la misma en cualquier sección.4.5 CONCERVACION DE LA ENERGIA – ECUACION DE BERNOULLIEn un problema de flujo en conductos toma en cuenta la energía del sistema. En física ustedaprendió que la energía no puede ser creada ni destruida, sino que puede ser transformada de untipo a otro. Este es el enunciado de la “ley de conservación de la energía”.Cuando se analizan problemas de flujos en conductos, existen tres formas de energía que siemprese tiene que tomar en consideración. Tome un elemento de fluido, como en el que se muestra enla figura adjunta. Puede estar localizado a una cierta elevación ”z”, tener una cierta velocidad “v” yuna presión “p”. El elemento de fluido tendría las siguientes formas de energía:4.5.1. ENERGÍA POTENCIAL (PE): Es debido a su elevación, la energía potencial del elementocon respecto de algún nivel de referencia es:Reemplazando (2) en (1)4.5.2. ENERGÍA CINÉTICA (KE): Es debido a su velocidad, la energía cinética del fluido es:
  32. 32. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 32)2...(....................gwm gvwKE*22)1.....(..........21 2mvKE )1........(* )()( LONGITUDFUERZA LFTrabajo )2(..........*)( ApFAFp PRESION )3.......(....................** LAPTrabajo )4......(....................*)( LAvolumenV )5..(..............................*VpTrabajo )6.......(........................................VwwpTrabajoFEKEPEFEE gvwwzpwE22Reemplazando (2) en (1)4.5.3. ENERGÍA DE FLUJO (FE): En ocasiones conocida corno energía de energía de presión otrabajo de flujo, está presentada por la cantidad de trabajo necesario para mover elelemento de fluido a través de una cierta sección en contra de la presión “p”. La energíade flujo se abrevia FE (Flow Energy) y se calcule a partir de la siguiente ecuación:Sustituyendo (2) en (1)Reemplazando (4) en (3)Sustituyendo (6) en (5)La cantidad total de energía de estas tres formas que posee el elemento de fluido será la suma,representada con E.Considerando en la siguiente figura que el fluido se mueve de la sección 1 a la sección 2.Los valores de p, z y v son diferentes en las dos secciones.
  33. 33. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 33gvwwzpwE221111  gvwwzpwE222222 21 EE gvwwzpwgvwwzpw2222222111gvzpgvzp2222222111En la sección 1, la energía total es: En la sección 2, la energía total es:Si no se agrega energía al fluido o se pierde entre las secciones 1 y 2, entonces el principiode conservación de la energía requiere que:El peso del elemento, w, es común en todos los términos y se le puede cancelar. Le ecua-ción, entonces, resulta:A ésta se la conoce como ecuación de Bernoulli.4.6 INTERPRETACION DE LA ECUACION DE BERNOULLICada término de la ecuación Bernoulli es el resultado de dividir una expresión de la energíaentre el peso de un elemento del fluido. Las unidades de cada término pueden sernewton-metro por Newton (N-m/N) en el Sistema Internacional y libras-pies por libra (Ib-pie/lb) en el Sistema Británico de Unidades. Pero la unidad de peso, el newton (N) o lalibra (lb), pueden cancelarse, dejando solamente una unidad de longitud, el metro (m) o elpie.FluidodeElementoFluidodeElemento12
  34. 34. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 342211 ** vAvA 2112 *AAvv Por tanto, los términos de la ecuación de Bernoul!i se conocen, a menudo como"cabezas”; refiriéndose a una altura por encima de un nivel de referencia. El término “p/γ”se conoce como cabeza de presión; a “z” se le llama cabeza de elevación; y al término“V2/2g” se le conoce como cabeza de velocidad. La suma de las tres se conoce comocabeza total. Observe que debido a la suposición de que no se pierde o se agrega energía,la cabeza total permanece a un nivel constante, por consiguiente la altura relativa de cadatérmino varía según lo establecido por la ecuación de Bernoulli.En la figura adjunta usted verá que la cabeza de velocidad en la sección 2 será menor queen la sección 1. Esto se puede mostrar mediante la ecuación de continuidad:Puesto que A1<A2, V2 debe ser menor que V1, y como la velocidad está al cuadrado en eltérmino correspondiente a la cabeza de velocidad, V22/2g es mucho menor que V12/2g.Consiguientemente, cuando el tamaño de la sección se expande como lo hace en la figuraanterior, la cabeza de presión aumenta debido a que disminuye le cabeza de velocidad.Sin embarco el cambio real también se ve afectado por el cambio en la cabeza deelevación.En resumen, la ecuación de Bernoulli explica el cambio en las cabezas de elevación, depresión y de velocidad entre dos puntos, en un sistema de flujo de fluido. Se supone queLínea de alturas piezométricasFlujoLínea de alturas totalesPlano de referenciaDDelevaciondeCabezaZ 1presióndeCabezap2presióndecabezap1velocidaddeCabezagV221velocidaddeCabezagV222elevaciondeCabezaZ 2
  35. 35. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 35no existen pérdidas o ganancias de energía entre los dos puntos, de modo que la cabezatotal permanece constante.4.7 RESTRICCIONES A LA ECUACION DE BERNOULLIAunque la ecuación de Bernoulli es aplicable a una gran cantidad de problemas prácticos,existen limitaciones que deben tenerse en cuenta con el fin de aplicar la ecuación demanera correcta. Entre estas limitaciones se tiene las siguientes: Es válida solamente para fluidos incomprensibles, puesto que el peso específicodel fluido se tomó como el mismo en las dos secciones de interés. No puede haber dispositivos mecánicos entre las dos secciones de interés que pu-dieran agregar o eliminar energía del sistema, ya que la ecuación establece que laenergía total del fluido es constante. No puede haber transferencia de calor hacia dentro o fuera del fluido. No puede haber pérdidas de energía debido a la fricción.En realidad, ningún sistema satisface todas estas restricciones. Sin embargo, existenmuchos sistemas para los cuales solamente se tendrá un error despreciable cuando se lesaplica la ecuación de Bernoulli. Por otro lado, el uso de tal ecuación puede permitir unarápida estimación de un resultado, cuando eso es todo lo que se necesita.
  36. 36. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 36PROBLEMAS RESUELTOSP-4.1. En la siguiente figura, están circulando 0.370m3/s de agua de A a B, existiendo en Auna altura de presión de 6.6 m. Suponiendo que no existen perdidas de energía entre A yB determinar la altura de presión en B. Dibujar la altura de líneas totales.Donde: 30V = Q/ 30A = 0,370    sm/24,53.04/1 2 y  smV /31,124,521260  Sustituyendo,Y 41,3Bpm de aguaPuede representarse la energía total en una sección cualquiera como altura sobre unplano horizontal de referencia. Utilizando en este caso el plano que pasa por D-D.Altura total enAltura total enLínea de alturas piezométricasA 30cmB 60cmLínea de alturas totalesPlano de referenciaDDmgVa4.122mgVb09.022mpA6.6mpB41.3mZA 0.3 mZB 5.7FIGURA BBAAZgVpZgVp22602302mzgVpA AA 0,110,34,16,62302     5,4231,10224,56,622gpgBmzgVpB BB 0,115,709,041,32602 mpB41.3
  37. 37. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 37smmsmDVAVQ BB322021.0)05.0(4*85.104** BBBCCCZgVPZgVP2222)(020)4,26,3(.)(02referenciadenivelgVdesprec BsmgVB 85.10)4,26,3(*81.9*2)4,26,3(*2smQ3021.0QQQ BA Nota: Se observa que tiene lugar la transformación de una forma de energía en otradurante el flujo. En el caso presente, parte de la energía de presión y de la energía cinéticaen A se transforma en energía potencial en B.P-4.2 Según la figura mostrada determinar el caudal y la presión en el punto A. (Sin tomaren cuenta las perdidas menores) D1=150mm D2=50mmDatos: SOLUCION:D1=150mmD2=50mmγ=9810[N/m3]Incógnitas:a) Q=?b) PA=?Despejando la velocidad en el punto BSegún la siguiente ecuación se calculara el caudal en la tubería:b) Para cálculo de la presión analizando la variable PB/γ=0 (da a laatmosfera).Ecuación de energía entre los puntos A y BA BCm4,2m6,32D1DOH2a) La velocidad de las partículas en C es tan pequeña que puededespreciarse. Para calcular el caudal Primero:Ecuación de energía entre C y B:
  38. 38. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 38BBBAAAZgVPZgVP22220200222gVgVP BAA);1(....222EcgVVP ABA  )2(.......4*4***2222EcDDVVDVDVAVAVABBABBAABBAAmgDDVP ABBA93.581.9*2150501*85,1021*4242233.581739810*93.5mNmNmPA ][17,58 KPaPA Despejando PA/γReemplazando 2 en 1 se tiene:P-4.3. Un tubo de pitot con un coeficiente de 0,98 se utiliza para medir la velocidad v delH2O en el eje en una tubería, la altura de presión de estancamiento es 5,67 (m) y la alturade presión estática de la tubería es de 4,73(m). ¿Cuál es la velocidad del flujo?SOLUCIÓN:De la ecuación de Bernoulli entre el punto 1y 2gvPgvP22222211……………..(*)Supongamos como un fluido ideal sinrozamiento en (*):12212PPgv )(2 121PPgv
  39. 39. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 391)73.467.5)(81.9(2 21mmsmv smv 29,41  (Teórico)Para la velocidad del agua será: smv real 29.498,0)(1   smv real 21,4)(1 P-4.4. En el venturímetro la lectura del manómetro diferencial, en el fluido es 35,8 (cm)determine el caudal de agua a través del venturímetro si se desprecia las pérdidas entrelos puntos A y B.SOLUCIÓN:Aplicando la ecuación de BernoulliBBBAAAzgvPzgvP2222 mzB 75,075,02222gvPgvP BBAA…………………. (1)Sabemos que: Dc PP 358.0 hPP ACBDPhP  6,13358.075,0Entonces:BA PhhP 6,13358.075,0358.0BA PP 2608,5 ……………………………… (2)(2) en (1)75,0222608,522gvPgvP BBAB71,42222gvgv BA………………………………… (3)De la ecuación de conductividad tenemos: BBAA vAvA 
  40. 40. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 40BBAA vDvD  2244Entonces:AABAB vvDDv 221530AB vv 4  71,424222gvgv AA smvA 43,2Por lo tanto   smvDAvQ AAAA 43,230,04422 smQ3172,0P-4.5 Para el sistema se presenta en la figura calcule a) la rapides de flujo de volumen deaceite que sale de la boquilla y b) la presion en los puntos A y BSOLUCION:a) Aplicando Bernoulli en los puntos S y CConsiderando PS=PC=0 y despejando la velosidad en C:√ ( ) √ ( ) ( )( )ABm1m3eriordiametrodemmint100eriordiametrodemmint35SC85.0SGAceite
  41. 41. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 41b) Empleando Bernoulli en los puntos S y A:Despejado la presión en A[ ( )] ( )Donde la VA se la obtiene empleando la ecuación de continuidad:( )( )Sustituyendo VA en (1):[( )( )]Empleando Bernoulli entre los puntos S y B:Considerando PS=0 y despejando PB:[ ( )] ( )Sustituyendo la VB en (2) se tiene:[( )( )] ( )kpa24.64=pBP-4.6 Para el sifón que se muestra en la figura calcule a) la rapidez de flujo de volumen deaceite del tanque y b) la presión en los puntos A, B, C, D.
  42. 42. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 42SOLUCION:a)√ ( ) √donde( )[ ] ( )[( ) ] ( )[( ) ] ( )P-4.7 En la figura se muestra un manómetro que se utiliza para indicar la diferencia depresión entre dos puntos de un sistema de conductos. Calcule la rapidez de flujo devolumen del agua del sistema si la desviación en el manómetro es h de 250 mm (A este21
  43. 43. Aux. José Luis Huanca P.UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 43dispositivo se le conoce como medidor Venturi, que se utiliza a menudo para medicionesde flujo).SOLUCION:BABBwBAAwAZZgvZPgvZP ;2222     gvDDvgvAAvgvvPP ABAAABAAABwBA2/2/22222222gvgvv AAA215216222Del manómetro:BwHgwwA PyhhyP     wwwwHgwHgBA hhhhhPP  54.1254.13)( gvPP AwBA2152gvh Aww21554.122hgvA54.122152smmsmhgvA /025.215250.054.12/81.921554.122 2    smsmmvDvAQ AAA /1098.3/025.2050.0443322 smQ /1098.3 33
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