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CARRO DE PROPULSION HIDRAULICA
Un recipiente cerrado lleno parcialmente de agua que contiene aire en su interior a
una presión elevada. Cuando se abre el orificio en la parte inferior del recipiente, el
agua expulsada ejerce una fuerza sobre el recipiente similar al empuje que
experimenta un cohete al expulsar el combustible quemado por sus toberas.
El análisis del sistema físico tiene las siguientes partes:
 Llenado de aire del recipiente mediante una bomba de bicicleta o similar
 Apertura del orificio en la parte inferior del recipiente y expulsión del agua,
que ya hemos estudiado en la página anterior.
 Empuje que experimenta el recipiente al expulsar el agua
 Ecuaciones del movimiento.
Datos del cohete
El cohete consta de un recipiente de forma cilíndrica de 10 cm de radio y 50 cm de
altura.
El radio del orificio situado en la parte inferior se puede modificar entre 1/2 y 1/10
del radio del recipiente. Por ejemplo, al elegir ¼, el radio del orificio es 10/4=2.5
cm
Otro dato es la proporción de agua en el recipiente. Por ejemplo, una proporción
del 70% equivale a una altura de agua de 0.7·50=35 cm.
El cohete puede transportar una carga que es la suma de la carga útil más la
masa de las paredes del recipiente.
Se introduce aire comprimido en el cohete con una bomba de volumen Vb= 5 litros.
Llenado de aire
Antes de accionar la bomba tenemos n0 moles de aire en el recipiente a la presión
atmosférica y a la temperatura ambiente T.
pat·S1 (H-h0)=n0RT
Cada vez que accionamos la bomba de volumen Vb, introducimos en el
recipiente n moles de aire a la misma temperatura T.
pat·Vb=nRT
Si accionamos la bomba N veces, tendremos que la presión p0 del aire contenido
en en el recipiente es
p0·S1(H-h0)=(n0+n·N)·RT
El manómetro marcará una presión final p0 dada por la fórmula
Ejemplo:
Supongamos que el tanto por ciento de agua en el recipiente es del 70%, la altura
inicial de agua es h0=0.7·H=0.7·50=35 cm.
Sabiendo que el volumen de la bomba Vb= 5 litros, y el recipiente tiene un
radio r1=10 cm. Si accionamos la bomba N=4 veces, la presión del aire en el
recipiente cerrado será dep0=5.24 atm que es lo que marca el manómetro.
Empuje que experimenta el cohete
El recipiente experimenta un empuje que es el producto de la velocidad de salida
del agua ve (medida en el sistema de referencia del cohete) por la masa de agua
expulsada en la unidad de tiempo dM/dt. La velocidad de salida del agua es v2, y
el volumen de agua expulsada en la unidad de tiempo (gasto) es S2·v2.
Como hemos visto en la página anterior el las ecuaciones que describen este
sistema son:
1. La ecuación de Bernoulli,
2. La ecuación de continuidad,
S1·v1=S2·v2
3. Expansión isotérmica del gas
p0·S1(H-h0)=p1·S1(H-h)
que nos permiten obtener la expresión de v1 ó v2 en función de la altura h de agua
en el recipiente.
Aproximación
Si suponemos que la presión debida a la velocidad v1 en la interfase agua-aire y la
presión debida a la altura h del agua son pequeñas comparadas con la
presión p1=p del aire en el interior del recipiente, la ecuación de Bernoulli se
escribe
Expresamos de forma simple, el empuje E en función de la presión p.
E=2(p-pat)S2
Variación de la altura del agua en el recipiente con el tiempo
A partir de la ecuación de continuidad, obtenemos la variación de la altura h del
agua en recipiente en función del tiempo t.
Ecuaciones del movimiento
El movimiento del cohete se divide en dos etapas
1. Mientras sale agua por el orificio
La masa del recipiente no es constante, sino disminuye con el tiempo. La masa del
recipiente es la suma de la carga útil, de la masa de las paredes del recipiente y
del agua que contiene en el instante t.
m=mu+r S1·h
La ecuación del movimiento vertical de un cohete, es la de una
partícula de masa m bajo la acción de dos fuerzas el empuje y el
peso.
ma=E-mg
En forma de ecuación diferencial
Tenemos que resolver un sistema de dos ecuaciones diferenciales simultáneas:
 Una ecuación diferencial de primer orden, que nos calcula
la variación de h con el tiempo.
 La ecuación del movimiento. El empuje E y la masa m del cohete son
funciones de h (altura de agua en el recipiente).
En el programa interactivo, se ha resuelto el sistema de dos ecuaciones
diferenciales por el método de Runge-Kutta, sin realizar ninguna aproximación. Lo
que nos permite incluso examinar el caso de que la presión del aire en el interior
del recipiente no sea suficiente para expulsar toda el agua del mismo, y se alcance
una altura del fluido en equilibrio tal como vimos en la página anterior.
2. Cuando se ha agotado el agua
Una vez que se ha agotado el agua del depósito, el aire en el interior del depósito
tiene una presión p mayor que la presión atmosférica, pero supondremos
despreciable el impulso adicional proporcionado por la salida del aire por el orificio
inferior hasta que se igualan las presiones en el interior y exterior del recipiente.
Sobre el cohete actúa solamente el peso, por lo que el movimiento
es uniformemente acelerado
a=-g
v=v0-g(t-t0)
x=x0+v0(t-t0)-g(t-t0)2
/2
donde x0, y v0 son la posición y la velocidad del móvil en el
instante t0 en el que se ha agotado el combustible, en este
caso, agua.
El rozamiento del aire
Al moverse un cuerpo en el aire con velocidad v, experimenta una fuerza de
rozamiento, que es proporcional al cuadrado de la velocidad
Esta fuerza de rozamiento no es importante durante la fase de lanzamiento que
dura poco tiempo y durante la cual la fuerza de empuje es la que predomina, pero
puede ser importante en la fase de vuelo libre desde que se agota el combustible
hasta que alcanza la máxima altura.
La fuerza de rozamiento no se ha tenido en cuenta en la simulación del cohete
propulsado por agua.
Resultados
El programa interactivo permite investigar cómo cambia la velocidad máxima que
alcanza el cohete al agotarse el agua del depósito (o la altura máxima) con la
proporción inicial de agua en el depósito, fijada la carga útil mu, la presión
inicial p0 del aire en el recipiente y el radio r2 del orificio de salida del agua.
En las gráficas que vienen a continuación, se ha dibujado:
 En el eje vertical, la velocidad máxima v que alcanza el cohete al acabar de
salir el agua por el orificio inferior.
 En el eje horizontal, la fracción f=h0·100/H (tanto por ciento) inicial de agua
en el depósito.
1. Se ha fijado la carga útil mu y el radio r2 del orificio de salida del agua y se
examina el comportamiento del cohete para dos presiones
iniciales p0 distintas del aire contenido en el depósito.
Cuando la presión inicial p0 es pequeña, y la fracción de agua en el depósito f es
grande, el cohete no llega a despegar, el empuje es menor que el peso.
Cuando la presión inicial del aire p0 es grande, existe una fracción f para la cual la
altura que alcanza el cohete es máxima.
2. En la gráfica siguiente, se ha fijado la presión inicial del aire p0 contenido en
el recipiente, y el radio r2 del orificio de salida del agua. Vemos que cuanto
mayor es la carga útil mumenor es la velocidad final o la máxima altura que
alcanza el cohete.
3. Finalmente, examinamos el comportamiento del cohete fijando la carga
útil mu y la presión inicial p0 del aire en el depósito, para dos valores del
radio del orificio de salidar2=10/2 cm y r2=10/10 cm.
Como ejercicio, se sugiere al lector que fije la presión inicial del aire en el
recipiente, la carga útil y el radio del orificio, y trate de buscar la proporción óptima
de agua en el cohete a fin de que alcance la altura máxima posible. En general,
que examine el comportamiento del cohete al cambiar los distintos parámetros.
Nota: Las ecuaciones del movimiento del cohete, mientras expulsa agua, se
resuelven aplicando procedimientos numéricos. Cuando la presión p0 es elevada y
la carga útil mu es pequeña, la solución de las ecuaciones diferenciales empieza a
tener errores apreciables, tal como se pone de manifiesto en la forma aserrada de
algunas curvas de las figuras.

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  • 1. CARRO DE PROPULSION HIDRAULICA Un recipiente cerrado lleno parcialmente de agua que contiene aire en su interior a una presión elevada. Cuando se abre el orificio en la parte inferior del recipiente, el agua expulsada ejerce una fuerza sobre el recipiente similar al empuje que experimenta un cohete al expulsar el combustible quemado por sus toberas. El análisis del sistema físico tiene las siguientes partes:  Llenado de aire del recipiente mediante una bomba de bicicleta o similar  Apertura del orificio en la parte inferior del recipiente y expulsión del agua, que ya hemos estudiado en la página anterior.  Empuje que experimenta el recipiente al expulsar el agua  Ecuaciones del movimiento. Datos del cohete El cohete consta de un recipiente de forma cilíndrica de 10 cm de radio y 50 cm de altura. El radio del orificio situado en la parte inferior se puede modificar entre 1/2 y 1/10 del radio del recipiente. Por ejemplo, al elegir ¼, el radio del orificio es 10/4=2.5 cm Otro dato es la proporción de agua en el recipiente. Por ejemplo, una proporción del 70% equivale a una altura de agua de 0.7·50=35 cm. El cohete puede transportar una carga que es la suma de la carga útil más la masa de las paredes del recipiente. Se introduce aire comprimido en el cohete con una bomba de volumen Vb= 5 litros.
  • 2. Llenado de aire Antes de accionar la bomba tenemos n0 moles de aire en el recipiente a la presión atmosférica y a la temperatura ambiente T. pat·S1 (H-h0)=n0RT Cada vez que accionamos la bomba de volumen Vb, introducimos en el recipiente n moles de aire a la misma temperatura T. pat·Vb=nRT Si accionamos la bomba N veces, tendremos que la presión p0 del aire contenido en en el recipiente es
  • 3. p0·S1(H-h0)=(n0+n·N)·RT El manómetro marcará una presión final p0 dada por la fórmula Ejemplo: Supongamos que el tanto por ciento de agua en el recipiente es del 70%, la altura inicial de agua es h0=0.7·H=0.7·50=35 cm. Sabiendo que el volumen de la bomba Vb= 5 litros, y el recipiente tiene un radio r1=10 cm. Si accionamos la bomba N=4 veces, la presión del aire en el recipiente cerrado será dep0=5.24 atm que es lo que marca el manómetro. Empuje que experimenta el cohete El recipiente experimenta un empuje que es el producto de la velocidad de salida del agua ve (medida en el sistema de referencia del cohete) por la masa de agua expulsada en la unidad de tiempo dM/dt. La velocidad de salida del agua es v2, y el volumen de agua expulsada en la unidad de tiempo (gasto) es S2·v2. Como hemos visto en la página anterior el las ecuaciones que describen este sistema son: 1. La ecuación de Bernoulli, 2. La ecuación de continuidad, S1·v1=S2·v2 3. Expansión isotérmica del gas
  • 4. p0·S1(H-h0)=p1·S1(H-h) que nos permiten obtener la expresión de v1 ó v2 en función de la altura h de agua en el recipiente. Aproximación Si suponemos que la presión debida a la velocidad v1 en la interfase agua-aire y la presión debida a la altura h del agua son pequeñas comparadas con la presión p1=p del aire en el interior del recipiente, la ecuación de Bernoulli se escribe Expresamos de forma simple, el empuje E en función de la presión p. E=2(p-pat)S2 Variación de la altura del agua en el recipiente con el tiempo A partir de la ecuación de continuidad, obtenemos la variación de la altura h del agua en recipiente en función del tiempo t. Ecuaciones del movimiento El movimiento del cohete se divide en dos etapas 1. Mientras sale agua por el orificio La masa del recipiente no es constante, sino disminuye con el tiempo. La masa del recipiente es la suma de la carga útil, de la masa de las paredes del recipiente y del agua que contiene en el instante t. m=mu+r S1·h
  • 5. La ecuación del movimiento vertical de un cohete, es la de una partícula de masa m bajo la acción de dos fuerzas el empuje y el peso. ma=E-mg En forma de ecuación diferencial Tenemos que resolver un sistema de dos ecuaciones diferenciales simultáneas:  Una ecuación diferencial de primer orden, que nos calcula la variación de h con el tiempo.  La ecuación del movimiento. El empuje E y la masa m del cohete son funciones de h (altura de agua en el recipiente). En el programa interactivo, se ha resuelto el sistema de dos ecuaciones diferenciales por el método de Runge-Kutta, sin realizar ninguna aproximación. Lo que nos permite incluso examinar el caso de que la presión del aire en el interior del recipiente no sea suficiente para expulsar toda el agua del mismo, y se alcance una altura del fluido en equilibrio tal como vimos en la página anterior. 2. Cuando se ha agotado el agua Una vez que se ha agotado el agua del depósito, el aire en el interior del depósito tiene una presión p mayor que la presión atmosférica, pero supondremos despreciable el impulso adicional proporcionado por la salida del aire por el orificio inferior hasta que se igualan las presiones en el interior y exterior del recipiente. Sobre el cohete actúa solamente el peso, por lo que el movimiento es uniformemente acelerado
  • 6. a=-g v=v0-g(t-t0) x=x0+v0(t-t0)-g(t-t0)2 /2 donde x0, y v0 son la posición y la velocidad del móvil en el instante t0 en el que se ha agotado el combustible, en este caso, agua. El rozamiento del aire Al moverse un cuerpo en el aire con velocidad v, experimenta una fuerza de rozamiento, que es proporcional al cuadrado de la velocidad Esta fuerza de rozamiento no es importante durante la fase de lanzamiento que dura poco tiempo y durante la cual la fuerza de empuje es la que predomina, pero puede ser importante en la fase de vuelo libre desde que se agota el combustible hasta que alcanza la máxima altura. La fuerza de rozamiento no se ha tenido en cuenta en la simulación del cohete propulsado por agua. Resultados El programa interactivo permite investigar cómo cambia la velocidad máxima que alcanza el cohete al agotarse el agua del depósito (o la altura máxima) con la proporción inicial de agua en el depósito, fijada la carga útil mu, la presión inicial p0 del aire en el recipiente y el radio r2 del orificio de salida del agua. En las gráficas que vienen a continuación, se ha dibujado:  En el eje vertical, la velocidad máxima v que alcanza el cohete al acabar de salir el agua por el orificio inferior.  En el eje horizontal, la fracción f=h0·100/H (tanto por ciento) inicial de agua en el depósito. 1. Se ha fijado la carga útil mu y el radio r2 del orificio de salida del agua y se examina el comportamiento del cohete para dos presiones iniciales p0 distintas del aire contenido en el depósito.
  • 7. Cuando la presión inicial p0 es pequeña, y la fracción de agua en el depósito f es grande, el cohete no llega a despegar, el empuje es menor que el peso. Cuando la presión inicial del aire p0 es grande, existe una fracción f para la cual la altura que alcanza el cohete es máxima. 2. En la gráfica siguiente, se ha fijado la presión inicial del aire p0 contenido en el recipiente, y el radio r2 del orificio de salida del agua. Vemos que cuanto mayor es la carga útil mumenor es la velocidad final o la máxima altura que alcanza el cohete.
  • 8. 3. Finalmente, examinamos el comportamiento del cohete fijando la carga útil mu y la presión inicial p0 del aire en el depósito, para dos valores del radio del orificio de salidar2=10/2 cm y r2=10/10 cm. Como ejercicio, se sugiere al lector que fije la presión inicial del aire en el recipiente, la carga útil y el radio del orificio, y trate de buscar la proporción óptima de agua en el cohete a fin de que alcance la altura máxima posible. En general, que examine el comportamiento del cohete al cambiar los distintos parámetros. Nota: Las ecuaciones del movimiento del cohete, mientras expulsa agua, se resuelven aplicando procedimientos numéricos. Cuando la presión p0 es elevada y la carga útil mu es pequeña, la solución de las ecuaciones diferenciales empieza a tener errores apreciables, tal como se pone de manifiesto en la forma aserrada de algunas curvas de las figuras.