Matematika Transformasi

1. Transformasi
(Refleksi)
1

2. Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menentukan peta atau
bayangan suatu kurva
hasil dari suatu
Refleksi
2

3. Transformasi
Untuk memindahkan suatu titik atau
bangun pada sebuah bidang dapat
dikerjakan dengan transformasi.
Transformasi T pada suatu bidang
‘memetakan’ tiap titik P pada bidang
menjadi P’ pada bidang itu pula.
Titik P’ disebut bayangan atau peta titik P
3

4. Jenis-jenis Transformasi
a. Tranlasi
b. Refleksi*)
c. Rotasi
d. Dilatasi
*) yang dibahas kali ini
4

5. Refleksi
artinya pencerminan
Bangun
Asal →
peta
sumbu pencerminan
5

6. Dalam geometri bidang,
sebagai cermin digunakan:
sumbu X
sumbu y
Garis x = m
Garis y = n
garis y = x
garis y =-x
6

7. Refleksi terhadap sumbu X
Y
O
●P(x,y)
X
●P’(x’,y’) = P’(x,- y)
x’ = x dan y’ = -y
7

8. Berdasarkan gambar tersebut:
x’ = x
y’ = -y
dalam bentuk matriks:
 x'   1 0   x 
 =
 
 y '   0 − 1  y 
  
 
8

9. Sehingga
1 0 


 0 − 1


adalah matriks penceminan
terhadap sumbu X
9

10. Contoh 1
Diketahui segitiga ABC dengan
koordinat titik A(2,0), B(0,-5) dan
C(-3,1). Tentukan koordinat bayangan
segitiga ABC tersebut bila
dicerminkan terhadap sumbu X
10

11. Bahasan
Pencerminan terhadap sumbu X
P(x,y) → P’(-x,y)
Jadi bayangan titik :
A(2,0) adalah A’(-2,0)
B(0,-5) adalah B’(0,-5)
C(-3,1) adalah C’(3,1)
11

12. Contoh 2
Bayangan garis 3x – 2y + 5 = 0 oleh
refleksi terhadap sumbu X adalah….
Jawab:
oleh pencerminan terhadap sumbu Y
maka: x’ = x → x = x’
y’ = -y → y = -y’
12

13. x = x’ dan y = -y’
disubstitusi ke kurva 3x – 2y + 5 = 0
diperoleh: 3x’ – 2(-y’) + 5 = 0
3x’ + 2y’ + 5 = 0
Jadi bayangannya
adalah 3x + 2y + 5 = 0
13

14. Refleksi terhadap sumbu Y
Y
●
●P(x,y)
P’(x’,y’)
= P’(-x,y)
X
O
x’ = -x
y’ = y
14

15. Berdasarkan gambar tersebut:
x’ = -x
y’ = y
dalam bentuk matriks:
 x'   − 1 0   x 
 =
 
 y'   0 1   y 
  
 
15

16. Sehingga
 − 1 0


 0 1


adalah matriks penceminan
terhadap sumbu Y
16

17. Contoh
Tentukan bayangan kurva y = x2 – x
oleh pencerminan terhadap sumbu Y.
Jawab:
oleh pencerminan terhadap sumbu Y
maka: x’ = -x → x = -x’
y’ = y → y = y’
17

18. x = -x’ dan y = y’
disubstitusi ke y = x2 – x
diperoleh: y’ = (-x’)2 – (-x’)
y’ = (x’)2 + x’
Jadi bayangannya
adalah y = x2 + x
18

19. Refleksi terhadap garis x = m
Y
●
P(x,y)
● P’(x’,y’)
x’ = 2m - x
y’ = y
X
O
x=m
19

20. Contoh
Tentukan bayangan kurva y2 = x – 5
oleh pencerminan terhadap
garis x = 3.
Jawab:
oleh pencerminan terhadap garis x = 3
maka: x’ = 2m - x → x = 2.3 - x’ = 6 –x’
y’ = y → y = y’
20

21. x = 6 – x’ dan y = y’ disubstitusi
ke y2 = x - 5
diperoleh: (y’)2 = (6 – x’) – 5
(y’)2 = 1 – x’
Jadi bayangannya adalah y2 = 1 - x
21

22. Refleksi terhadap garis y = n
Y
O
●P(x,y)
y=n
X
●P’(x’,y’) = P’(x,2n – y)
x’ = x dan y’ = 2n – y
22

23. Contoh
Tentukan bayangan kurva x2 + y2 = 4
oleh pencerminan terhadap
garis y = -3.
Jawab:
oleh pencerminan terhadap
garis y = - 3 maka: x’ = x
y’ = 2n - y
23

24. pencerminan terhadap garis y = - 3
maka: x’ = x → x = x’
y’ = 2n – y
y’ = 2(-3) – y
y’ = - 6 – y → y = -y’ – 6
disubstitusi ke x2 + y2 = 4
(x’)2 + (-y’ – 6)2 = 4
24

25. disubstitusi ke x2 + y2 = 4
(x’)2 + (-y’ – 6)2 = 4
(x’)2 +((-y’)2 + 12y’ + 36) – 4 = 0
Jadi bayangannya:
x2 + y2 + 12y + 32 = 0
25

26. Refleksi terhadap garis y = x
Y
●P(x,y)
garis y = x
O
●P’(x’,y’) = P’(y, x)
X
x’ = y
y’ = x
26

27. Berdasarkan gambar tersebut:
x’ = y
y’ = x
dalam bentuk matriks:
 x'   0 1   x 
 =
 
 y'   1 0   y 
  
 
27

28. Sehingga
 0 1


 1 0


adalah matriks penceminan
terhadap sumbu Y
28

29. Contoh
Bayangan garis 2x – y + 5 = 0
yang dicerminkan tehadap garis
y = x adalah….
Pembahasan:
Matriks transformasi refleksi
terhadap y = x adalah
29

30. Bahasan
matriks transformasi refleksi
terhadap y = x adalah  0 1 


 1 0


 x'   0 1   x   y 
  =  
⇒  =
 y'   1 0   y   x 
  
   
30

31.  x'   0 1   x   y 
 =
  =  
 y'   1 0   y   x 
  
   
⇒ x’ = y dan y’ = x
disubstitusi ke 2x – y + 5 = 0
diperoleh: 2y’ – x ’ + 5 = 0
-x’ + 2y’ + 5 = 0
31

32. -x’ + 2y’ + 5 = 0
dikali (-1) → x’ – 2y’ – 5 = 0
Jadi bayangannya adalah
x – 2y + 5 = 0
32

33. Refleksi terhadap garis y = -x
Garis y = -x
Y
●P (x,y)
X
O
●
P’(x’,y’) = P’(-y,- x)
33

34. Berdasarkan gambar tersebut:
x’ = -y
y’ = -x
dalam bentuk matriks:
 x'   0 − 1  x 
 =
 
 y'   − 1 0   y 
  
 
34

35. Sehingga
 0 − 1


−1 0 


adalah matriks penceminan
terhadap sumbu Y
35

36. Contoh 1
Bayangan persamaan
lingkaran x2 + y2 - 8y + 7 = 0
yang dicerminkan tehadap
garis y = -x adalah….
36

37. Bahasan:
Matriks transformasi refleksi
− 1


−1 0 


terhadap y = -x adalah  0
 x'   0 − 1  x 
sehingga:   = 
 
 y'   − 1 0   y 
  
 
37

38.  x'   0 − 1  x   − y 
 =
  =  
 y'   − 1 0   y   − x 
  
   
→ x’ = -y dan y’ = -x
atau y = -x’ dan x = -y’
Kemudian disubstitusikan ke
x2 + y2 – 8y + 7 = 0
38

39. x = -y’ dan y = -x’ disubstitusikan
ke x2 + y2 – 8y + 7 = 0
→ (-y’)2 + (-x)2 – 8(-x) + 7 = 0
(y’)2 + (x’)2 + 8x + 7 = 0
(x’)2 + (y’)2 + 8x + 7 = 0
Jadi bayangannya adalah
x2 + y2 + 8x + 7 = 0
39

40. Contoh 2
Koordinat bayangan titik (-2,-3)
 1
oleh translasi oleh T =  
 − 7
 
dan dilanjutkan refleksi terhadap
garis y = -x adalah….
40

41. Bahasan
 1
Karena translasi T =  
 − 7
 
maka titik (-2,-3) → (-2 + 1, 3 – 7)
→ (-1,-4)
41

42. Kemudian titik (-1,-4) dilanjutkan
refleksi terhadap garis y = - x
 x'   0 − 1  x 
 =
 
 y'   − 1 0   y 
  
 
 x'   0 − 1  − 1 
 =
 
 y'  − 1 0   − 4 
  
 
42

43.  x '   0 − 1  − 1 
 =
 y'   − 1 0   − 4 
 
  
 
 x'   0.(− 1) + (− 1)(− 4)   4 
 =
= 
 y'   (− 1)(− 1) + 0.(− 4)   1 
  
  
→ x’ = 4 dan y’ = 1
Jadi koordinat bayangannya (4,1)
43

44. SELAMAT
BELAJAR
44