1. Introducción
• Concepto de transitorio
• Orden del circuito
2. Transitorios de primer orden
• Respuesta natural
• Respuesta transitoria en continua
• Respuesta transitoria en alterna
3. Transitorios de segundo orden
• Circuitos básicos
• Respuesta natural
• Respuesta ante escalón (continua)
• Respuesta a onda sinusoidal (alterna)
4. Ejemplos de aplicación
Tema 13: Transitorios de 1er
y 2º orden

Transitorio: Evolución debida a cambios topológicos en el circuito. Transición entre un
régimen permanente y otro, tras un cambio en las condiciones del estado del circuito.
Los transitorios son debidos a
elementos que almacenan energía:
Bobinas y condensadores.
Introducción. Concepto de transitorio

ORDEN DEL CIRCUITO: número de elementos almacenadores de energía (Leq o Ceq) que
tenga el circuito.
Circuitos de primer orden Circuitos de segundo orden
Introducción. Orden del circuito

0(0)cv V=
e( ) R ( )c q cv t i t= − ×
( )
( ) c
c
dv t
i t C
dt
= ×
e
( ) 1
( ) 0
R
c
c
q
dv t
v t
dt C
+ =
×
/
( ) t
cv t A e τ−
= ×
eR q Cτ = ×
0A V=
Cte de tiempo
El condensador se descarga sobre la resistencia siguiendo una
evolución exponencial desde el valor inicial V0 hasta 0=V∞
τ
Para un t=τ se alcanza un
63% del ΔV=V0-V∞
/
0( ) t
cv t V e τ−
= ×
Cálculo de la constante, A:
0(0)cv V=
/
( ) t
cv t A e τ−
= ×
Transitorios de primer orden. Respuesta en ausencia de fuentes
Respuesta natural
Condiciones iniciales

/
0( ) ( ) t
X t X X X e τ−
∞ ∞= + − ×
0(0)cv V=
e e
( ) 1 1
( )
R R
c
c
q q
dv t
v t V
dt C C
∞+ =
× ×
/
0( ) ( ) t
cv t V V V e τ−
∞ ∞= + − ×
eR q Cτ = × Cte de tiempo
( )cv V∞∞ =
Cualquier otra variable del circuito tiene
una evolución temporal de la misma forma
que la de la tensión del condensador.
Respuesta forzada=permanenteRespuesta natural=transitorio
Respuesta forzada=permanenteRespuesta natural=transitorio
El condensador evoluciona desde su valor inicial
hasta el nuevo régimen permanente siguiendo
una exponencial
τ
Para un t=τ se alcanza un
63% del salto (ΔV=V∞-V0)
Única para el circuito
/ /
0( ) (1 )t t
cv t V e V eτ τ− −
∞= × + −
Respuesta a entrada ceroRespuesta a estado cero
Transitorios de primer orden. Respuesta en continua

/
( ) 2 cos( ) t
X t X t K e τ
ω ϕ −
= + + ×
0(0)cv V=
e e
( ) 1 1
( ) ( )
R R
c
c ca
q q
dv t
v t V t
dt C C
+ =
× ×
/
( ) 2 cos( ) t
cv t V t K e τ
ω ϕ −
= + + ×
eR q Cτ = × Cte de tiempo
/t
K e τ−
×
Respuesta forzada=permanenteRespuesta natural=transitorio
Respuesta forzada=permanenteRespuesta
natural=transitorio
Vc(t)
Única para el circuito
Cálculo de la constante, K:
0(0)cv V=
(0) 2 coscv V Kϕ= +
0 2 cosK V V ϕ= −
Cualquier otra variable del circuito tiene una
evolución temporal de la misma forma que la de la
tensión del condensador.
Transitorios de primer orden. Respuesta en alterna

0(0)Li I=
0A I=
e( ) ( )L q Li t G v t= − ×
( )
( ) L
L
di t
v t L
dt
= ×
e
( ) 1
0L
L
q
di t
i
dt G L
+ × =
/
( ) t
Li t A e τ−
= ×
eqG Lτ = Cte de tiempo
La bobina se descarga sobre la resistencia
siguiendo una evolución exponencial desde el
valor inicial I0 hasta 0
τ
Para un t=τ se alcanza un
63% del ΔI=I0-I∞
Cálculo de la constante, A:
/
( ) t
Li t A e τ−
= ×
0(0)Li I=
/
0( ) t
Li t I e τ−
= ×
Transitorios de primer orden. Respuesta en ausencia de fuentes
Respuesta natural
Condiciones iniciales

/
0( ) ( ) t
X t X X X e τ−
∞ ∞= + − ×
0(0)Li I=
e e
( ) 1 1
( )L
c
q q
di t
v t I
dt G L G L
∞+ =
Cte de tiempo
/
0( ) ( ) t
Li t I I I e τ−
∞ ∞= + − ×
iL(t)
I0
I∞
La bobina evoluciona desde su valor inicial hasta
el nuevo régimen permanente siguiendo una
exponencial
Respuesta forzada=permanenteRespuesta natural=transitorio
Respuesta forzada=permanenteRespuesta natural=transitorio
( )Li I∞ = ∞
Para un t=τ se alcanza un
63% del valor salto
/ /
0( ) (1 )t t
li t I e I eτ τ− −
∞= × + −
Respuesta a entrada ceroRespuesta a estado cero
Única para el circuito
Cualquier otra variable del circuito tiene
una evolución temporal de la misma forma
que la de la intensidad de la bobina.
Transitorios de primer orden. Respuesta en continua
eqG Lτ =

( )Li t
/
( ) 2 cos( ) t
X t X t K e τ
ω ϕ −
= + + ×
0(0)Li I=
.
e e
( ) 1 1
( ) ( )L
c LR P
q q
di t
v t i t
dt G L G L
+ =
/
( ) 2 cos( ) t
Li t I t K e τ
ω ϕ −
= + + ×
Cte de tiempo
Respuesta forzada=permanenteRespuesta natural=transitorio
Respuesta forzada=permanente
/t
K e τ−
×
Respuesta natural=transitorio
Única para el circuito
Cálculo de la constante, K:
(0) 2 cosli I Kϕ= +
0 2 cosK I I ϕ= −
0(0)Li I=
Cualquier otra variable del circuito tiene una
evolución temporal de la misma forma que la de la
intensidad de la bobina.
Transitorios de primer orden. Respuesta en alterna
eqG Lτ =

0
0
( )
(0) c
L
t
dv t
i I C
dt =
= =
2
e
2
R( ) ( ) 1 1
( ) ( )qC C
g
d v t dv t
Vc t V t
dt L dt LC LC
+ × + =
• RLC serie: circuito compuesto por una
resistencia, bobina y condensador en serie.
0(0)cv V=
• RLC paralelo: circuito compuesto por una
resistencia, bobina y condensador en paralelo.
2
2
e
( ) ( )1 1 1
( ) ( )
R
L L
g
q
d i t di t
Vc t i t
dt C dt LC LC
+ × + =
0(0)Li I= 0
0
( )
(0) L
C
t
di t
v V L
dt =
= =
Condiciones inicialesCondiciones iniciales
Equivalante Thévenin
visto desde el cjto. LC Leq
Ceq
Equivalante Norton
visto desde el cjto. LC
Leq Ceq
Transitorios de segundo orden. Circuitos básicos

2 2
1 2 0,S S α α ω= − ± −
2 2
02 0S Sα ω+ + =
Respuesta natural
2
2
02
( ) ( )
2 ( ) 0
d X t dX t
X t
dt dt
α ω+ + =
1 2
1 2( ) S t S t
X t K e K e= × + ×
e
e
0
R
,
2
constante de amortiguamientoα
1
,
2R
1
frecuencia de resonancia ,
q
q
para RLC serie
L
para RLC paralelo
C
para RLC serie y paralelo
LC
ω



≡ = 


≡ =
Polinomio característico
2 2
1 0S α α ω= − + − 2 2
2 0S α α ω= − − −
0α ω>
1 2
1 2( ) S t S t
X t K e K e= × + ×
Respuesta Sobre amortiguada
1 2S S α= = − 0α ω=
1 2( ) ( ) t
X t K t K e α−
= + ×
Respuesta Críticamente amortiguada
1 dS jα ω= − + 2 dS jα ω= − −
0α ω<
1 2( ) os( )t
dX t K e c t Kα
ω−
= +
Respuesta Subamortiguada
22
0frecuencia natural dω ω α≡ = −
Transitorios de segundo orden. Respuesta en ausencia de fuentes

Transitorios de segundo orden. Respuesta en continua
2 2
1 0S α α ω= − + − 2 2
2 0S α α ω= − − −
0α ω>
1 2
1 2( ) S t S t
cV t V K e K e∞= + × + ×
Respuesta Sobreamortiguada
t
X(t)
0V
V∞
( )cV t
Determinación de K1 y K2:
Condiciones iniciales: V0 e I0
Rég. permannete: V∞
1 2
1 1 2 2
( ) ( ) S t S tc cI t dV t
K S e K S e
C dt
= = × × + × ×
01
01 2 2
1 1
/
V VK
I CS S K
∞−   
=    
    0 1 1 2 2/I C K S K S= × + ×
En forma matricial:
0 1 2V V K K∞− = +

Transitorios de segundo orden. Respuesta en continua
Determinación de K1 y K2:
Condiciones iniciales: V0 e I0
Rég. permannete: V∞
1 1 2
( ) ( )
( )t tc cI t dV t
K e K t K e
C dt
α α
α− −
= = × − + ×
01
02
0 1
/1
V VK
I CKα
∞−   
=    −    0 1 2/I C K K α= −
En forma matricial:
0 2V V K∞− =
1 2S S α= = −
0α ω=
1 2( ) ( ) t
cV t V K t K e α−
∞= + + ×
Respuesta Críticamente amortiguada
0V V∞
( )cV t

Transitorios de segundo orden. Respuesta en continua
Determinación de K1 y K2:
Condiciones iniciales: V0 e I0
Rég. permannete: V∞
1 2 1 2
( ) ( )
( ) os( )t tc c
d d d
I t dV t
K e sen t K K e c t K
C dt
α α
ω ω α ω− −
= =− + − +
0
0
1 1
/d
V VX
I CYα ω
∞−    
=    − −     
0 1 2 1 2/ osdI C K senK K c Kω α=− −
En forma matricial:
0 1 2osV V K c K∞− =
1 dS jα ω= − + 2 dS jα ω= − −
0α ω<
1 2( ) os( )t
c dV t V K e c t Kα
ω−
∞= + +
Respuesta Subamortiguada
22
0frecuencia natural dω ω α≡ = −
0V
V∞
( )cV t
1 2osX K c K= 1 2Y K senK=
2 2
1K X Y= +
2 ( / )K arctg Y X=

Transitorios de segundo orden. Respuesta en alterna
2 2
1 0S α α ω= − + − 2 2
2 0S α α ω= − − −
0α ω>
1 2
1 2( ) 2 cos( ) S t S t
cV t V t K e K eω ϕ∞= + + × + ×
Respuesta Sobreamortiguada
Determinación de K1 y K2:
Condiciones iniciales: V0 e I0
Rég. permannete:
1 2
1 1 2 2
( ) ( )
2 ( ) S t S tc cI t dV t
V sen t K S e K S e
C dt
ω ω ϕ∞= =− + + × × + × ×
01
1 2 2 0
2 cos1 1
/ 2
V VK
S S K I C V sen
ϕ
ω ϕ
∞
∞
 −  
=    
+     0 1 1 2 2/ 2I C V sen K S K Sω ϕ∞+ = +
En forma matricial:
0 1 22 cosV V K Kϕ∞− = +
2 cos( )V tω ϕ∞ +
( )cV t
1 2
1 2
S t S t
K e K e× + ×

1 1 2
( )
( ) 2 ( ) ( )t tc
c
dV t
I t C V sen t K e K t K e
dt
α α
ω ω ϕ α− −
∞= =− + + × − + ×
01
2 0
2 cos0 1
1 / 2
V VK
K I C V sen
ϕ
α ω ϕ
∞
∞
 −  
=    − +      0 1 2/ 2I C V sen K Kω ϕ α∞+ = −
En forma matricial:
0 22 cosV V Kϕ∞− =
1 2S S α= = −
0α ω=
1 2( ) 2 cos( ) ( ) t
cV t V t K t K e α
ω ϕ −
∞= + + + ×
Respuesta Críticamente amortiguada
Transitorios de segundo orden. Respuesta en alterna
( )cV t
1 2( ) t
K t K e α−
+ ×
Determinación de K1 y K2:
Condiciones iniciales: V0 e I0
Rég. permannete: 2 cos( )V tω ϕ∞ +

1 2 1 2
( )
( ) 2 ( ) ( ) os( )t tc
c d d d
dV t
I t C V sen t K e sen t K K e c t K
dt
α α
ω ω ϕ ω ω α ω− −
∞= =− + − + − +
0
0
1 1 2 cos
/ 2d
V VX
Y I C V sen
ϕ
α ω ω ϕ
∞
∞
 −  
=    − − +      
0 1 2 1 2/ 2 osdI C V sen K senK K c Kω ϕ ω α∞+ =− −
En forma matricial:
0 1 22 cos osV V K c Kϕ∞− =
1 dS jα ω= − + 2 dS jα ω= − −
0α ω<
1 2( ) 2 cos( ) os( )t
c dV t V t K e c t Kα
ω ϕ ω−
∞= + + + +
Respuesta Subamortiguada
22
0frecuencia natural dω ω α≡ = −
1 2osX K c K= 1 2Y K senK=
2 2
1K X Y= +
2 ( / )K arctg Y X=
Transitorios de segundo orden. Respuesta en alterna
1 2os( )t
dK e c t Kα
ω−
+
Determinación de K1 y K2:
Condiciones iniciales: V0 e I0
Rég. permannete: 2 cos( )V tω ϕ∞ +

50 V
Interruptor
4 Ω
0.1 H
t = 0
R = 4 Ω R = 2.5 Ω R = 7.5 Ω
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
0
2
4
6
8
10
14
16
18
20
Tiempo (s)
Corriente(A) t = τ = 0.025 s
t = τ = 0.013 s
t = τ = 0.04 s
i(∞) = 50/4 = 12.5 A
τ = L/R = 0.1/4 = 0.025 s
i(∞) = 50/2.5 = 20 A
τ = L/R = 0.1/2.5 = 0.04 s
i(∞) = 50/7.5 = 6 A
τ = L/R = 0.1/7.5 = 0.013 s
Motor de CC
/
0( ) ( ) t
Li t I I I e τ−
∞ ∞= + − ×
Circuito de primer orden
Influencia de la resistencia:
R afecta a la cte. de tiempo y a I∞
La intensidad de la bobina evoluciona
desde su valor inicial hasta el régimen
permanente siguiendo una exponencial
Transitorio de arranque de un motor CC

50 V
Interruptor
4 Ω
0.1 H
t = 0
L = 0.1 H L = 0.2 H L = 0.05 H
Tiempo (s)
Corriente(A)
0 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
0
2
4
6
8
10
12
14
L → 0
i(∞) = 50/4 = 12.5 A
τ = L/R
Influencia de la bobina:
L afecta a la cte. de tiempoMotor de CC
/
0( ) ( ) t
Li t I I I e τ−
∞ ∞= + − ×
Circuito de primer orden
La intensidad de la bobina evoluciona
desde su valor inicial hasta el régimen
permanente siguiendo una exponencial
t = τ = 0.025 s
t = τ = 0.0125 s
t = τ = 0.05 s
Transitorio de arranque de un motor CC

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
-6
-4
-2
0
2
4
6
Tiempo (s)
Corrientedelprimario(A)
1er
Orden
2º Orden
Conmutació n
2 Ω
12 V
Interruptor
cerrado
1µF
1 100
5 mH
α = R/2L = 200
ω0 = 1/√LC = 14142
α << ω0 Subamortiguado
Interruptor
abierto
Circuito de primer ordenCircuito de segundo orden serie
2 2
0 0dω ω α ω= − ≈
Circuito de encendido de un automóvil. Transitorio

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
-150
-100
-50
0
50
100
150
Tiempo (s)
Tensióndelprimariodeltransformador(V)
Conmutació n Régimen permanente final
Pico de tensió n: chispa en la bujía
R = 2 Ω R = 4 Ω R = 0.5 Ω
R
12 V
InterruptorC
1 100
L
Interruptor abierto:
2º orden subamortiguado
α= R/2L
ω0 = 1/√LC α<< ω0
2 2
0 0dω ω α ω= − ≈
Interruptor abierto: 1er
orden
τ=L/R
0.0145 0.015 0.0155 0.016 0.0165 0.017 0.0175 0.018 0.0185 0.019
-300
-200
-100
0
100
200
300
Tiempo (s)
Tensióndelprimariodeltrafo(V)
2 2
0 0dω ω α ω= − ≈
Influencia de la resistencia:
Circuito de encendido de un automóvil. Transitorio

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x 10
4
Tiempo (s)
Tensióndelsecundariodeltrafo(V)
L = 5 mH L = 7.5 mHL = 2.5 mH
R
12 V
InterruptorC
1 100
L
Interruptor abierto:
2º orden subamortiguado
α= R/2L
ω0 = 1/√LC α<< ω0
2 2
0 0dω ω α ω= − ≈
Interruptor abierto: 1er
orden
τ=L/R
0.0145 0.015 0.0155 0.016 0.0165 0.017 0.0175 0.018
-1
-0.5
0
0.5
1
x 10
4
Tiempo (s)
Tensióndelsecundariodeltrafo(V)
Influencia de la bobina:
Circuito de encendido de un automóvil. Transitorio

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
-6
-4
-2
0
2
4
6
Tiempo (s)
Corrientedelprimario(A)
L = 2.5 mH R = 4 Ω C = 0.5 µF
R
12 V
InterruptorC
1 100
L
Interruptor abierto:
2º orden subamortiguado
α= R/2L
ω0 = 1/√LC α<< ω0
2 2
0 0dω ω α ω= − ≈
Interruptor abierto: 1er
orden
τ=L/R
Influencia de R, L y C en el transitorio de 1er orden:
Circuito de encendido de un automóvil. Transitorio