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Departamento de Matem´atica Aplicada
C´ALCULO COMPUTACIONAL.
Licenciatura en Qu´ımica (Curso 2007-08)
Control. Diciembre 2007
1. (5 puntos) Sean B una matriz cuadrada y b una matriz columna, dadas por
B =


2 −1 1
1 1 0
0 1 −3

 , b(j) = j, para j = 1, 2, · · ·
Sea ahora A = [B , B2
; B.ˆ2 , −B ; 2 ∗ B , 3 ∗ B].
a) ¿C´omo tiene que ser b para que el sistema Ax = b tenga sentido?. b(j) = j, para j = 1, 2, · · · , 9
>>b=1:9; b=b’
b) Calcula A(1 : 3, 4 : 6), A(4 : 6, 1 : 3) y A(7 : 9, 4 : 6).
A(1 : 3, 4 : 6) = B2
=


3 −2 −1
3 0 1
1 −2 9

 , A(4 : 6, 1 : 3) = B.ˆ2 =


4 1 1
1 1 0
0 1 9

 , A(7 : 9, 4 : 6) = 3B =


6 −3 3
3 3 0
0 3 −9


c) ¿Qu´e comandos de Matlab conoces para resolver el sistema Ax = b?
>> x=Ab
>> xpinv=pinv(A)*b
Si escribimos el comando xref=rref([A b]) podemos observar que el sistema es incompatible ya que
6 = rg(A) = rg([Ab]) = 7 donde rg(A) representa el rango de A.
d) ¿Que responde Matlab a cada uno de los comandos?
x = 0,8999 3,4043 0,1316 0,8177 −1,1378 −0,4476 ,
xpinv = 0,8999 3,4043 0,1316 0,8177 −1,1378 −0,4476
e) Calcula el error entre las soluciones. ¿De qu´e orden es?
A ∗ x − b = 2,7035 4,3096 −0,9259 0,8098 −0,3758 −1,6164 −2,9690 −0,3520 −2,3658 ,
A ∗ xpinv − b = 2,7035 4,3096 −0,9259 0,8098 −0,3758 −1,6164 −2,9690 −0,3520 −2,3658
Los errores son del orden siguiente norm(A*x-b) = 6.6847, norm(A*xpinv-b) = 6.6847.
Recordemos que el sistema es incompatible. Si calculamos AA=A’*A, bb=A’*b, obtenemos que
norm(AA*x-bb) = 2.7748e-014, y que norm(AA*x-bb) = 2.2280e-013.
2. (1 punto) Dibuja la siguiente curva en coordenadas polares r(θ) = 3 − cos(5θ), −π < θ < π.
>> theta=-pi:.01:pi;
>> r= 3-cos (5*theta );
>> polar(theta,r)
3. (4 puntos) Escribe en un fichero script de nombre orbitales_d.m los comandos necesarios para dibujar en
una misma gr´afica los orbitales 3dxy, 3dyz y 3dxz correspondientes a las funciones de onda Ψ3,2,−2, Ψ3,2,−1 y
Ψ3,2,1 respectivamente definidas en la pr´actica 5; elige n = 8 y color amarillo i.e. i = 1. Dibuja en la misma
grafica los orbitales 3dx2−y2 y 3dz2 correspondientes a las funciones de onda Ψ3,2,2 y Ψ3,2,0, elige color azul,
i.e. i = 6.
Fichero orbitales_d.m
[x,y,z]=meshgrid(-20:.5:20);
%%% Orbitales d
Psi=FdOn32_2(x,y,z);
m=min(Psi(:));
M=max(Psi(:));
n=8;
color=[1 1 0;1 0 1; 0 1 1;0 1 0;1 0 0;0 0 1; 0 0 0]; % colores de la superficie
i=1;
clf % clear figure
unasuperficiedenivel
Psi=FdOn32_1(x,y,z);
unasuperficiedenivel
Psi=FdOn321(x,y,z);
unasuperficiedenivel
i=6;
Psi=FdOn320(x,y,z);
unasuperficiedenivel
Psi=FdOn322(x,y,z);
unasuperficiedenivel
Fichero unasuperficiedenivel.m
isovalue=m+i*(M-m)/n; % valores de Psi=isovalue
fv= isosurface(x,y,z,Psi,isovalue); % la superficie de nivel
hpatch = patch (fv);
isonormals(x,y,z,Psi,hpatch);
Alphalevel=.5;
set(hpatch,’FaceAlpha’,Alphalevel,’FaceColor’,...
color(i,:),’EdgeColor’,’none’)
daspect([1 1 1])
view(3);
axis tight
camlight left;
Departamento de Matem´atica Aplicada
C´ALCULO COMPUTACIONAL.
Licenciatura en Qu´ımica (Curso 2007-08)
Control. Enero 2008
1. (4 puntos) Escribe todas las ´ordenes necesarias para calcular la siguiente integral:
∞
−∞
e−x2
dx
a) utilizando variables simb´olicas. ¿Qu´e ocurre?.
syms x
f=exp(-x.^2)
I=int(f,-inf,inf)
El comando int calcula la interal impropia correctamente, I =
√
π.
b) utilizando comandos de Matlab de integraci´on num´erica. ¿Qu´e ocurre?.
F=inline(’exp(-x.^2)’)
Q=quad(F,-1e6,1e6)
El comando quad no acepta l´ımites infinitos. Puede proporcionar una aproximaci´on num´erica Q−
√
π =
1,3152 × 10−6
.
Escribe todas las ´ordenes necesarias para calcular la siguiente integral m´ultiple por dos procedimientos:
∞
−∞
∞
−∞
e−x2
−y2
dxdy
syms y
f2=exp(-x.^2-y.^2)
I2=int(f2,y,-inf,inf)
J2=int(I2,x,-inf,inf)
F=inline(’exp(-x.^2-y.^2)’)
Q=dblquad(F,-1e6,1e6,-1e6,1e6)
2. (4 puntos) La presi´on de vapor del agua y la temperatura siguen una ley experimental Pv = exp(a/T + b).
A partir de los siguientes datos obtenidos en el laboratorio:
T(o
K) 253 259 273 277 283
Pv(mbar) 1,02 1,81 6,06 8,11 12,25
a) Realiza el conveniente cambio de variables para linealizar el problema.
T =[ 253 259 273 277 283];
P=[ 1.02 1.81 6.06 8.11 12.25];
x=1./T;
y=log(P);
b) Calcula los par´ametros a y b del ajuste lineal y el error.
[c,s]=polyfit(x,y,1);
[fxi,delta]=polyval(c,x,s);
c) Deshaz el cambio de variables para recuperar las variables del problema.
T =
1
x
, P = ey
.
Tp=250:.1:285;
Pp=exp(c(1)./Tp+c(2));
d) Dibuja los datos de presi´on y temperatura, junto con la gr´afica del ajuste.
figure(1)
plot(T,P,’r*’)
hold on
Tp=250:.1:285;
Pp=exp(c(1)./Tp+c(2));
plot(Tp,Pp)
e) Escribe, en t´erminos de probabilidad, una interpretaci´on de los datos en el apartado b). Deshaz el cambio
de variables y obt´en un intervalo de confianza al 95 % dentro del cual se encuentre el valor experimental
de Pv y dibuja las l´ıneas de tendencia junto con los datos y la curva ajustada.
Prob yi − (axi + b) ≤ 2δi = 0,95, yi = log Pi, xi = 1/Ti
Deshaciendo el cambio de variable obtenemos la siguiente desigualdad equivalente, y por tanto equiprob-
ables,
−2δi ≤ log Pi − log e(a/Ti+b)
≤ 2δi,
tomando exponenciales
e−2δi
≤
Pi
e(a/Ti+b)
≤ e2δi
,
restando una unidad
e−2δi
− 1 ≤
Pi − e(a/Ti+b)
e(a/Ti+b)
≤ e2δi
− 1,
multiplicando por el denominador
e−2δi
− 1 e(a/Ti+b)
≤ Pi − e(a/Ti+b)
≤ e2δi
− 1 e(a/Ti+b)
.
Definiendo por tanto Deltai = e2δi
− 1 e(a/Ti+b)
y Delta−
i = e−2δi
− 1 e(a/Ti+b)
obtenemos
Prob Delta−
i ≤ Pi − e(a/Ti+b)
≤ Deltai = 0,95,
y podemos representarlo del siguiente modo
figure(1)
FXi=exp(c(1)./T+c(2));
Delta=(exp(2*delta)-1).*exp(c(1)./T+c(2));
plot(T,FXi+Delta,’g*’)
Delta_=(exp(-2*delta)-1).*exp(c(1)./T+c(2));
plot(T,FXi+Delta_,’g*’)
3. (2 puntos) El proceso de cuarto orden A + 3B −→ P viene dado por la ecuaci´on diferencial
d
dt
p(t) = k a0 − p(t) b0 − 3p(t)
3
donde k es la constante de velocidad, a0, b0 son las concentraciones iniciales de A, B y p(t) es la concentraci´on
de producto en el instante t. Responde a los siguientes apartados del siguiente modo: escribe los comandos
necesarios para calcularlos y su resultado.
a) Guarda en un fichero tipo funci´on llamado funcorden1y3.m la funci´on de las e.d.o. Utiliza variables
globales para asignar valores a los par´ametros
function f=funcorden1y3(t,x)
global k a0 b0
f=k*(a0-x).*(b0-3*x).^3;
b) Si p(0) = 0, resolver num´ericamente la ecuaci´on diferencial, para k = 3 y dos valores distintos de las
concentraciones iniciales a0 y b0.
global k a0 b0
k=3;a0=2;b0=1;
[t,u]=ode45(@funcorden1y3,[0,4],0);
a0=1;b0=2;
[t2,u2]=ode45(@funcorden1y3,[0,4],0);
c) Dibuja la gr´afica de la soluci´on aproximada. Usa el comando title para poner un t´ıtulo a la ventana y
el comando legend para indicar las distintas curvas.
figure(3)
plot(t,u,t2,u2,’g’)
title(’grafica de las soluciones aproximadas’)
legend(’u’,’u2’))
Gu´ardalo en un fichero llamado test_cinetica_quimica.m todas las ´ordenes y los comandos necesarios para
resolver este problema.
Departamento de Matem´atica Aplicada
C´ALCULO COMPUTACIONAL.
Licenciatura en Qu´ımica (Curso 2007-08)
Examen. Febrero 2008
1. (3 puntos) Sean B una matriz y b una matriz columna, dadas por
B =
1 2 3 4
5 6 7 8
, b(j) = j − j3
, para j = 1, 2, · · ·
Sean ahora C = [B; sin(B)] y A una matriz tal que A = [ C.ˆ2 , 2 ∗ C ; −C , C2
; 3 ∗ C , C].
Escribe todas las ´ordenes necesarias para efectuar los siguientes pasos:
a) ¿C´omo tiene que ser b para que el sistema Ax = b tenga sentido?. b(j) = j −j3
, para j = 1, 2, · · · , 12
>>J=1:12; b=J-J.^3; b=b’;
b) Calcula A(1 : 4, 5 : 8), A(5 : 8, 1 : 4) y A(9 : 12, 5 : 8).
A(1 : 4, 5 : 8) = 2 ∗ C, A(5 : 8, 1 : 4) = −C, A(9 : 12, 5 : 8) = C
c) ¿Qu´e comandos de Matlab conoces para resolver el sistema Ax = b?
>> x=Ab
>> xpinv=pinv(A)*b
Si escribimos el comando xref=rref([A b]) podemos observar que el sistema es incompatible ya que
8 = rg(A) = rg([Ab]) = 9 donde rg(A) representa el rango de A.
d) ¿Que responde Matlab a cada uno de los comandos?
x = 1,0e + 003 ∗ −0,5114 1,7555 −2,3966 1,0121 2,9017 −5,3539 4,0002 −1,1598 ,
xpinv = 1,0e + 003 ∗ −0,5114 1,7555 −2,3966 1,0121 2,9017 −5,3539 4,0002 −1,1598
e) Calcula el error entre las soluciones. ¿De qu´e orden es? Los residuos son del orden siguiente
norm(A ∗ x − b) = 1,2061e + 003, norm(A ∗ xpinv − b) = 1,2061e + 003.
Recordemos que el sistema es incompatible. Si calculamos AA=A’*A, bb=A’*b, obtenemos
que
norm(AA ∗ x − bb) = 9,8991e − 009, norm(AA ∗ xpinv − bb) = 1,2405e − 008.
2. (2 puntos) Escribe todas las ´ordenes necesarias para definir un mallado de valores de x e y, para valores
comprendidos entre −20a0 y 20a0, evaluar la funci´on Ψ3,1,1(x, y, z) (Orbital 3px) para z = 10 y dibujar las
curvas de nivel.
Generamos un fichero FdOn311.m para definir la funci´on de onda
function Psi=FdOn311(x,y,z)
% Funcion de Onda n=3, l=1, m=1 % orbital 2px
r=sqrt(x.^2+y.^2+z.^2);
Psi=8*x/27.*(1-r/6).*exp(-r/3)/sqrt(8*pi);
y ahora el mallado, evaluamos la funci´on y la salida gr´afica
[x,y]=meshgrid(-20:.1:20);
Psi=FdOn311(x,y,10);
contour(x,y,Psi)
3. (2 puntos) Ajustar los datos siguientes
x1 1 2 3 4
x2 0 1 2 3
y −4,1 2,7 8,3 11,6
a una funci´on lineal del tipo y = a1x1 + a2x2 + a3 del siguiente modo
a) Calcula los par´ametros a1, a2 y a3 del ajuste lineal.
x1=[1 2 3 4]’;
x2=[0 1 2 3]’;
y=[-4.1 2.7 8.3 11.6]’;
X=[x1 x2 ones(size(x1))];
a=Xy;
Matlab da un aviso Warning: Rank deficient, rank = 2, tol = 4.8648e-015. i.e. el rango de la
matriz X es 2 y el sistema es indeterminado, hay infinitas soluciones. Lo comprobamos
rref([X y])
apinv=pinv(X)*y;
norm(a)-norm(apinv)
Si escribimos el comando norm(a)-norm(apinv) la respuesta es 3,9436 > 0 y podemos observar que
norm(apinv) < norm(a) como era de esperar, ya que el comando pinv, cuando hay infinitas soluciones,
selecciona la que minimiza la norma de la soluci´on.
Deberemos hacer m´as mediciones para efectuar el ajuste
b) Calcula el error.
Los residuos son del orden siguiente
(X ∗ a − y) = 1,7672 norm(X ∗ apinv − y) = 1,7672.
Recordemos que el sistema es indeterminado. Si calculamos XX=X’*X, yy=X’*y, obtenemos
que
norm(XX ∗ a − yy) = 1,4211e − 014, norm(XX ∗ apinv − yy) = 6,8245e − 014.
4. (3 puntos) La ecuaci´on de Van der Waals es:
p =
RT
v − b
−
a
v2
,
donde R = 0 082, p es la presi´on, v el volumen molar, T la temperatura y a y b son dos constantes positivas
cuyo valor se puede ajustar y dependen del gas. Los mejores valores se obtienen tomando:
a =
27R2
T2
c
64pc
b =
RTc
8pc
donde Tc y pc son los valores de la temperatura y la presi´on en el punto cr´ıtico.
En la tabla siguiente se muestran los valores cr´ıticos de la temperatura, presi´on y volumen molar para el
amoniaco:
Sustancia Tc (K) pc (atm) vc (l/mol)
Amoniaco (NH3) 405.5 111.3 0.073
a) Escribe todas las ´ordenes necesarias para
1) crear un programa function que obtenga los par´ametros a y b de la ecuaci´on de Van der Waals
function [a,b]=van_der_waals(Tc,pc,vc)
R=.082;
a=(27*R^2*Tc^2)./(64*pc);
b=(R*Tc)./(8*pc);
2) dibujar una gr´afica con 8 isocoras (a volumen constante).
V=2:9;
V=V*b;
T=Tc-10:Tc+10;
p=zeros(length(V),length(T));
color=[’r’,’g’,’b’,’c’,’m’,’y’,’b’];
figure(1); hold on;
for j=1:7
v=V(j);
p(j,:)=R*T./(v-b)-a./(v.^2);
plot(T,p(j,:),color(j))
end
title(’isocoras’)
legend(’v=0.0747’,’v=0.1120’,’v=0.1494’,’v=0.1867’,’v=0.2241’,’v=0.2614’,’v=0.2988’ )
hold off
A continuaci´on se obtiene la siguiente tabla de datos de p y T en un proceso isoc´orico en el laboratorio:
T(K) 300 310 320 340 370 380
p(atm) 1,23 1,25 1,29 1,40 1,51 1,55
1) Realiza un ajuste lineal p = αT + β
T =[ 300 310 320 340 370 380];
p =[ 1.23 1.25 1.29 1.40 1.51 1.55];
[c s]=polyfit(T,p,1);
α = c(1), β = c(2).
2) ¿Qu´e relaci´on guardan los par´ametros del ajuste α, β con los de la ecuaci´on de Van der Waals a, b?.
En la ecuaci´on de Van der Waals se tiene p =
R
v − b
T −
a
v2
, de modo que α =
R
v − b
y β = −
a
v2
.
¿Podr´ıas estimar un valor para el volumen molar de la muestra?.
Hay dos posibles estimaciones para el volumen molar: vα = b+R/α y vβ = −a/β, y los valores que
arrojan son diferentes: vα = 19,7075 y vβ = 11,4776. Por lo tanto no se puede estimar el volumen
molar con la precisi´on deseada.
3) Compara las isocoras obtenidas con las correspondientes a la ecuaci´on de los gases ideales, ¿qu´e dife-
rencias hay?.
Las isocoras correspondientes a los niveles anteriores se dibujan mediante las instrucciones
V=2:9;
V=V*b;
T=Tc-10:Tc+10;
pGI=zeros(length(V),length(T));
color=[’r’,’g’,’b’,’c’,’m’,’y’,’b’];
figure(2); hold on;
for j=1:7
vGI=V(j);
pGI(j,:)=R*T./vGI;
plot(T,pGI(j,:),color(j))
end
title(’isocoras Gas Ideal’)
legend(’v=0.0747’,’v=0.1120’,’v=0.1494’,’v=0.1867’,’v=0.2241’,’v=0.2614’,’v=0.2988’)
hold off
Se observan muchas diferencias entre las gr´aficas de las figuras 1 y 2: Van der Waals presenta mayor
diferencia entre las pendientes y adem´as distintas ordendas en el origen. Por otra parte, en el rango
de Temperaturas estudiado, los valores de las presiones de los gases ideales son mayores aunque su
pendiente sea menor.
5. (Pregunta para subir nota). Si intentamos calcular la siguiente integral m´ultiple:
I =
3
−3
√
9−x2
−
√
9−x2
9
x2+y2
x2 + y2 dz dy dx
utilizando variables simb´olicas o bien comandos de integraci´on num´erica, Matlab no proporciona una respuesta
satisfactoria. Vamos a dise˜nar tres v´ıas para salvar esta dificultad.
Escribe todas las ´ordenes necesarias para calcular esa integral m´ultiple por los tres procedimientos siguientes:
a) Calcula las siguientes integrales utilizando variables simb´olicas¿Qu´e ocurre?.
I1(x, y) =
9
x2+y2
x2 + y2 dz
I2(x) =
√
9−x2
−
√
9−x2
I1(x, y) dy
I3 =
3
−3
I2(x) dx
syms x
syms y
syms z
f=sqrt(x^2+y^2)
I1=int(f,z,x^2+y^2,9)
I2=int(I1,y,-sqrt(9-x^2),sqrt(9-x^2))
I3=int(I2,x,-3,3)
Matlab nos da un aviso diciendo que no puede calcular la integral expl´ıcita: Warning: Explicit
integral could not be found.
b) Calcula la siguiente integral utilizando utilizando comandos de Matlab de integraci´on numerica. ¿Qu´e ocurre?.
Q =
3
−3
√
9−x2
−
√
9−x2
I1(x, y) dy dx
F=inline(’(x.^2+y.^2).^(1/2).*(9-x.^2-y.^2).*(-sqrt(9-x.^2)<y).*(y<sqrt(9-x.^2)).*(-3<x).*(x<3)’)
Q=dblquad(F,-3,3,-3,3)
Q = 203.5752
c) Efect´ua un cambio a coordenadas polares x = r cos(θ), y = r sin(θ) del siguiente modo:
1) define r, θ como variables simb´olicas,
syms r
syms theta
2) calcula las derivadas parciales primeras
∂x
∂r
,
∂x
∂θ
,
∂y
∂r
,
∂y
∂θ
diff(r*cos(theta),r)
diff(r*cos(theta),theta)
diff(r*sin(theta),r)
diff(r*sin(theta),theta)
3) usando los comandos jacobian, det, simplify, calcula la matriz jacobiana, calcula su determi-
nante y simplif´ıcalo. ¿Cu´al es el elemento diferencial de ´area?
J=jacobian([r*cos(theta);r*sin(theta)],[r;theta])
D=det(J)
D=simplify(D)
El elemento diferencial de ´area es el determinante de la matriz Jacobiana, i.e. D=r.
4) sustituye en el integrando las nuevas variables usando el comando subs. Sugerencia: utiliza el help
de matlab.
II=subs((x^2+y^2)^(1/2),{x,y},{r*cos(theta),r*sin(theta)})
5) ¿Cu´ales son los nuevos l´ımites de integraci´on?. Integra el producto del integrando en las nuevas
variables multiplicado por el elemento diferencial de ´area en los nuevos l´ımites de integraci´on
Los nuevos l´ımites de integraci´on son
0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ 2π
II1=int(II*r,z,r^2,9)
II2=int(II1,r,0,3)
II3=int(II2,theta,0,2*pi)
II3 = 324/5*pi = 203.5752.
Decide cu´al o cu´ales de los tres procedimientos anteriores proporciona resultados satisfactorios.
El b) y el c).
Departamento de Matem´atica Aplicada
C´ALCULO COMPUTACIONAL.
Licenciatura en Qu´ımica (Curso 2007-08)
Examen. Septiembre 2008
1. (3 puntos) Sean B una matriz y b una matriz columna, dadas por
B =
8 7 1 3
3 2 5 8
, b(j) = j + j2
, para j = 1, 2, · · ·
Sean ahora C = [B; cos(B)] y A una matriz tal que A = [ C.ˆ3 , C/2 ; −C , C2
; 3 + C , C].
Escribe todas las ´ordenes necesarias para efectuar los siguientes pasos:
a) ¿C´omo tiene que ser b para que el sistema Ax = b tenga sentido?.
>>J=1:12; b=J-J.^3; b=b’;
b) Calcula A(1 : 4, 1 : 4), A(5 : 8, 5 : 8) y A(9 : 12, end − 4 : end).
A(1 : 4, 1 : 4) = C.ˆ3, A(5 : 8, 5 : 8) = C2
, A(9 : 12, end − 4 : end) = C
c) ¿Qu´e comandos de Matlab conoces para resolver el sistema Ax = b?
>> x=Ab
>> xpinv=pinv(A)*b
Si escribimos el comando xref=rref([A b]) podemos observar que el sistema es incompatible ya que
8 = rg(A) = rg([Ab]) = 9 donde rg(A) representa el rango de A.
d) ¿Que responde Matlab a cada uno de los comandos?
x = 1,0e + 003 ∗ −59,5622 88,6676 −16,3809 5,6321 21,4879 −42,2877 41,9849 −6,6145 ,
xpinv = 1,0e+003∗ −59,5622 88,6676 −16,3809 5,6321 21,4879 −42,2877 41,9849 −6,6145
e) Calcula el error entre las soluciones. ¿De qu´e orden es?
Los residuos son del orden siguiente
norm(A ∗ x − b) = 110,2987, norm(A ∗ xpinv − b) = 110,2987.
Recordemos que el sistema es incompatible. Si calculamos AA=A’*A, bb=A’*b, obtenemos
que
norm(AA ∗ x − bb) = 5,7818e − 009, norm(AA ∗ xpinv − bb) = 4,5348e − 009.
2. (2 puntos) Se pide lo siguiente:
a) Calcular el l´ımite siguiente:
l´ım
x→0
log x
√
x
Si escribimos
>>x=sym(’x’); y=log(x)/sqrt(x); l=limit(y,x,0)
responde
l = NaN
b) Calcular la siguiente integral definida:
1
0
log x
√
x
dx
Si escribimos
>> Idef=int(y,0,1)
responde
Idef =-4
c) Calcular la siguiente integral indefinida:
I =
log x
√
x
dx
Escribimos
>> I=int(y)
y responde
I = 2*log(x)*x^(1/2)-4*x^(1/2)
d) Calcular los l´ımites siguientes:
l´ım
x→0
I, l´ım
x→1
I
>> l1=limit(I,x,0) l2=limit(I,x,1)
y responde
l1 = 0
l2 = -4
e) Interpreta el resultado de los apartados a), b) y c).
En el apartado a) nos piden calcular un l´ımite, cuyo valor es −∞. En el apartado b) nos piden calcular
una integral impropia, cuyo integrando no est´a acotado. Pero la integral existe y est´a acotada, en otras
palabras, existe el l´ımite
l´ım
→0
1
log x
√
x
dx = −4.
En el apartado c) nos piden calcular una primitiva de la integral, y se puede observar que
l´ım
x→0
I(x) = 0, l´ım
x→1
I(x) = −4.
3. (2 puntos) Ajustar los datos siguientes
x1 1 2 3 4
x2 0 1 2 5
y −2,1 1,6 4,2 6,7
a una funci´on lineal del tipo y = a1x1 + a2x2 + a3 del siguiente modo
a) Calcula los par´ametros a1, a2 y a3 del ajuste lineal.
Escribimos
>>x1=[1 2 3 4]’; x2=[0 1 2 5]’; y=[-2.1 1.6 4.2 6.7]’; X=[x1 x2 ones(size(x1))]; a=Xy;
y se obtiene
a = [3.5667 -0.4167 -5.4833]’
b) Calcula el error.
Escribimos
>>norm(X*a-y)
XX=X’*X; yy=X’*y; norm(XX*a-yy)
y se obtiene
norm(X*a-y) = 0.4491, norm(X*a-y) = 0.4491
c) Realiza un mallado de puntos x1 y x2 entre 0 y 5 y dibuja la superficie de ajuste calculada. Usando el
comando plot3 dibuja los datos del problema a˜nadi´endolos a la superficie anterior.
1
2
3
4
0
2
4
6
−5
0
5
10
Figura 1: ajustes
>>[x1p,x2p]=meshgrid(1:.5:4,0:.5:5);
yp=x1p*a(1)+x2p*a(2)+a(3);
surf(x1p,x2p,yp)
hold on
plot3(x1, x2, y, ’r*’)
hold of
y se obtiene la figura 1
4. (3 puntos) La ecuaci´on de Van der Waals es:
p =
RT
v − b
−
a
v2
,
donde R = 0 082, p es la presi´on, v el volumen molar, T la temperatura y a y b son dos constantes positivas
cuyo valor se puede ajustar y dependen del gas. Los mejores valores se obtienen tomando:
a =
27R2
T2
c
64pc
b =
RTc
8pc
donde Tc y pc son los valores de la temperatura y la presi´on en el punto cr´ıtico.
En la tabla siguiente se muestran los valores cr´ıticos de la temperatura, presi´on y volumen molar para el
vapor de agua:
Sustancia Tc (K) pc (atm) vc (l/mol)
H2O (vapor) 647.4 218.3 0.056
a) Escribe todas las ´ordenes necesarias para
1) crear un programa function que obtenga los par´ametros a y b de la ecuaci´on de Van der Waals
Escribimos en un fichero Van der Waals.m
function [a,b]=Van_der_Waals(Tc,pc,vc)
R=.082;
a=(27*R^2*Tc^2)./(64*pc);
b=(R*Tc)./(8*pc);
y en la l´ınea de comandos
>> Tc=674.4; pc=218.3; vc=.056;
>> [a,b]=Van_der_Waals(Tc,pc,vc)
y obtenemos
a = 5.9101; b = 0.0317;
2) dibujar una gr´afica con 8 isocoras (a volumen constante).
Escribimos en la l´ınea de comandos
>> V=2:9;
V=V*b;
T=Tc-100:5:Tc+10;
p=zeros(length(V),length(T));
color=[’r’,’g’,’b’,’c’,’m’,’y’,’b’,’r--’];
figure(4);
hold on;
for j=1:8
v=V(j);
p(j,:)=R*T./(v-b)-a./(v.^2);
plot(T,p(j,:),color(j))
end
title(’isocoras’)
legend([’v=’num2str(V(1))],[’v=’num2str(V(2))],[’v=’num2str(V(3))],...
[’v=’num2str(V(4))],[’v=’num2str(V(5))],[’v=’ num2str(V(6))],[’v=’ num2str(V(7))])
hold off
y se obtiene
560 580 600 620 640 660 680 700
0
50
100
150
200
250
300
isocoras
v=0.063331
v=0.094997
v=0.12666
v=0.15833
v=0.18999
v=0.22166
v=0.25332
A continuaci´on se obtiene la siguiente tabla de datos de p y T en un proceso isoc´orico en el laboratorio:
T(K) 300 310 320 340 370 380
p(atm) 1,08 1,12 1,14 1,24 1,34 1,36
a) Realiza un ajuste lineal p = αT + β
Escribimos en la l´ınea de comandos
>> T =[ 300 310 320 340 370 380];
p =[ 1.08 1.12 1.14 1.24 1.34 1.36];
[c s]=polyfit(T,p,1)
alpha=c(1)
beta=c(2)
y se obtiene
alpha = 0.0036; beta = -0.0029;
b) Utilizando la pendiente de la recta de ajuste estima un valor para el volumen molar de la muestra.
Escribimos en la l´ınea de comandos
>> valpha=b+R/alpha
vbeta=sqrt(-a/beta)
figure(5);
hold on;
V=2:9;
V=V*b;
T=Tc-100:5:Tc+10;
pGI=zeros(length(V),length(T));
for j=1:8
vGI=V(j);
pGI(j,:)=R*T./vGI;
plot(T,pGI(j,:),color(j))
end
title(’isocoras Gas Ideal’)
legend([’v=’ num2str(V(1))],[’v=’ num2str(V(2))],[’v=’num2str(V(3))],...
[’v=’ num2str(V(4))],[’v=’ num2str(V(5))],[’v=’ num2str(V(6))],[’v=’ num2str(V(7))])
hold off
y se obtiene
560 580 600 620 640 660 680 700
100
200
300
400
500
600
700
800
900
isocoras Gas Ideal
v=0.063331
v=0.094997
v=0.12666
v=0.15833
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  • 1. Departamento de Matem´atica Aplicada C´ALCULO COMPUTACIONAL. Licenciatura en Qu´ımica (Curso 2007-08) Control. Diciembre 2007 1. (5 puntos) Sean B una matriz cuadrada y b una matriz columna, dadas por B =   2 −1 1 1 1 0 0 1 −3   , b(j) = j, para j = 1, 2, · · · Sea ahora A = [B , B2 ; B.ˆ2 , −B ; 2 ∗ B , 3 ∗ B]. a) ¿C´omo tiene que ser b para que el sistema Ax = b tenga sentido?. b(j) = j, para j = 1, 2, · · · , 9 >>b=1:9; b=b’ b) Calcula A(1 : 3, 4 : 6), A(4 : 6, 1 : 3) y A(7 : 9, 4 : 6). A(1 : 3, 4 : 6) = B2 =   3 −2 −1 3 0 1 1 −2 9   , A(4 : 6, 1 : 3) = B.ˆ2 =   4 1 1 1 1 0 0 1 9   , A(7 : 9, 4 : 6) = 3B =   6 −3 3 3 3 0 0 3 −9   c) ¿Qu´e comandos de Matlab conoces para resolver el sistema Ax = b? >> x=Ab >> xpinv=pinv(A)*b Si escribimos el comando xref=rref([A b]) podemos observar que el sistema es incompatible ya que 6 = rg(A) = rg([Ab]) = 7 donde rg(A) representa el rango de A. d) ¿Que responde Matlab a cada uno de los comandos? x = 0,8999 3,4043 0,1316 0,8177 −1,1378 −0,4476 , xpinv = 0,8999 3,4043 0,1316 0,8177 −1,1378 −0,4476 e) Calcula el error entre las soluciones. ¿De qu´e orden es? A ∗ x − b = 2,7035 4,3096 −0,9259 0,8098 −0,3758 −1,6164 −2,9690 −0,3520 −2,3658 , A ∗ xpinv − b = 2,7035 4,3096 −0,9259 0,8098 −0,3758 −1,6164 −2,9690 −0,3520 −2,3658 Los errores son del orden siguiente norm(A*x-b) = 6.6847, norm(A*xpinv-b) = 6.6847. Recordemos que el sistema es incompatible. Si calculamos AA=A’*A, bb=A’*b, obtenemos que norm(AA*x-bb) = 2.7748e-014, y que norm(AA*x-bb) = 2.2280e-013. 2. (1 punto) Dibuja la siguiente curva en coordenadas polares r(θ) = 3 − cos(5θ), −π < θ < π. >> theta=-pi:.01:pi; >> r= 3-cos (5*theta ); >> polar(theta,r) 3. (4 puntos) Escribe en un fichero script de nombre orbitales_d.m los comandos necesarios para dibujar en una misma gr´afica los orbitales 3dxy, 3dyz y 3dxz correspondientes a las funciones de onda Ψ3,2,−2, Ψ3,2,−1 y Ψ3,2,1 respectivamente definidas en la pr´actica 5; elige n = 8 y color amarillo i.e. i = 1. Dibuja en la misma grafica los orbitales 3dx2−y2 y 3dz2 correspondientes a las funciones de onda Ψ3,2,2 y Ψ3,2,0, elige color azul, i.e. i = 6. Fichero orbitales_d.m
  • 2. [x,y,z]=meshgrid(-20:.5:20); %%% Orbitales d Psi=FdOn32_2(x,y,z); m=min(Psi(:)); M=max(Psi(:)); n=8; color=[1 1 0;1 0 1; 0 1 1;0 1 0;1 0 0;0 0 1; 0 0 0]; % colores de la superficie i=1; clf % clear figure unasuperficiedenivel Psi=FdOn32_1(x,y,z); unasuperficiedenivel Psi=FdOn321(x,y,z); unasuperficiedenivel i=6; Psi=FdOn320(x,y,z); unasuperficiedenivel Psi=FdOn322(x,y,z); unasuperficiedenivel Fichero unasuperficiedenivel.m isovalue=m+i*(M-m)/n; % valores de Psi=isovalue fv= isosurface(x,y,z,Psi,isovalue); % la superficie de nivel hpatch = patch (fv); isonormals(x,y,z,Psi,hpatch); Alphalevel=.5; set(hpatch,’FaceAlpha’,Alphalevel,’FaceColor’,... color(i,:),’EdgeColor’,’none’) daspect([1 1 1]) view(3); axis tight camlight left;
  • 3. Departamento de Matem´atica Aplicada C´ALCULO COMPUTACIONAL. Licenciatura en Qu´ımica (Curso 2007-08) Control. Enero 2008 1. (4 puntos) Escribe todas las ´ordenes necesarias para calcular la siguiente integral: ∞ −∞ e−x2 dx a) utilizando variables simb´olicas. ¿Qu´e ocurre?. syms x f=exp(-x.^2) I=int(f,-inf,inf) El comando int calcula la interal impropia correctamente, I = √ π. b) utilizando comandos de Matlab de integraci´on num´erica. ¿Qu´e ocurre?. F=inline(’exp(-x.^2)’) Q=quad(F,-1e6,1e6) El comando quad no acepta l´ımites infinitos. Puede proporcionar una aproximaci´on num´erica Q− √ π = 1,3152 × 10−6 . Escribe todas las ´ordenes necesarias para calcular la siguiente integral m´ultiple por dos procedimientos: ∞ −∞ ∞ −∞ e−x2 −y2 dxdy syms y f2=exp(-x.^2-y.^2) I2=int(f2,y,-inf,inf) J2=int(I2,x,-inf,inf) F=inline(’exp(-x.^2-y.^2)’) Q=dblquad(F,-1e6,1e6,-1e6,1e6) 2. (4 puntos) La presi´on de vapor del agua y la temperatura siguen una ley experimental Pv = exp(a/T + b). A partir de los siguientes datos obtenidos en el laboratorio: T(o K) 253 259 273 277 283 Pv(mbar) 1,02 1,81 6,06 8,11 12,25 a) Realiza el conveniente cambio de variables para linealizar el problema. T =[ 253 259 273 277 283]; P=[ 1.02 1.81 6.06 8.11 12.25]; x=1./T; y=log(P); b) Calcula los par´ametros a y b del ajuste lineal y el error. [c,s]=polyfit(x,y,1); [fxi,delta]=polyval(c,x,s); c) Deshaz el cambio de variables para recuperar las variables del problema. T = 1 x , P = ey . Tp=250:.1:285; Pp=exp(c(1)./Tp+c(2)); d) Dibuja los datos de presi´on y temperatura, junto con la gr´afica del ajuste.
  • 4. figure(1) plot(T,P,’r*’) hold on Tp=250:.1:285; Pp=exp(c(1)./Tp+c(2)); plot(Tp,Pp) e) Escribe, en t´erminos de probabilidad, una interpretaci´on de los datos en el apartado b). Deshaz el cambio de variables y obt´en un intervalo de confianza al 95 % dentro del cual se encuentre el valor experimental de Pv y dibuja las l´ıneas de tendencia junto con los datos y la curva ajustada. Prob yi − (axi + b) ≤ 2δi = 0,95, yi = log Pi, xi = 1/Ti Deshaciendo el cambio de variable obtenemos la siguiente desigualdad equivalente, y por tanto equiprob- ables, −2δi ≤ log Pi − log e(a/Ti+b) ≤ 2δi, tomando exponenciales e−2δi ≤ Pi e(a/Ti+b) ≤ e2δi , restando una unidad e−2δi − 1 ≤ Pi − e(a/Ti+b) e(a/Ti+b) ≤ e2δi − 1, multiplicando por el denominador e−2δi − 1 e(a/Ti+b) ≤ Pi − e(a/Ti+b) ≤ e2δi − 1 e(a/Ti+b) . Definiendo por tanto Deltai = e2δi − 1 e(a/Ti+b) y Delta− i = e−2δi − 1 e(a/Ti+b) obtenemos Prob Delta− i ≤ Pi − e(a/Ti+b) ≤ Deltai = 0,95, y podemos representarlo del siguiente modo figure(1) FXi=exp(c(1)./T+c(2)); Delta=(exp(2*delta)-1).*exp(c(1)./T+c(2)); plot(T,FXi+Delta,’g*’) Delta_=(exp(-2*delta)-1).*exp(c(1)./T+c(2)); plot(T,FXi+Delta_,’g*’) 3. (2 puntos) El proceso de cuarto orden A + 3B −→ P viene dado por la ecuaci´on diferencial d dt p(t) = k a0 − p(t) b0 − 3p(t) 3 donde k es la constante de velocidad, a0, b0 son las concentraciones iniciales de A, B y p(t) es la concentraci´on de producto en el instante t. Responde a los siguientes apartados del siguiente modo: escribe los comandos necesarios para calcularlos y su resultado. a) Guarda en un fichero tipo funci´on llamado funcorden1y3.m la funci´on de las e.d.o. Utiliza variables globales para asignar valores a los par´ametros function f=funcorden1y3(t,x) global k a0 b0 f=k*(a0-x).*(b0-3*x).^3; b) Si p(0) = 0, resolver num´ericamente la ecuaci´on diferencial, para k = 3 y dos valores distintos de las concentraciones iniciales a0 y b0. global k a0 b0 k=3;a0=2;b0=1; [t,u]=ode45(@funcorden1y3,[0,4],0); a0=1;b0=2; [t2,u2]=ode45(@funcorden1y3,[0,4],0);
  • 5. c) Dibuja la gr´afica de la soluci´on aproximada. Usa el comando title para poner un t´ıtulo a la ventana y el comando legend para indicar las distintas curvas. figure(3) plot(t,u,t2,u2,’g’) title(’grafica de las soluciones aproximadas’) legend(’u’,’u2’)) Gu´ardalo en un fichero llamado test_cinetica_quimica.m todas las ´ordenes y los comandos necesarios para resolver este problema.
  • 6. Departamento de Matem´atica Aplicada C´ALCULO COMPUTACIONAL. Licenciatura en Qu´ımica (Curso 2007-08) Examen. Febrero 2008 1. (3 puntos) Sean B una matriz y b una matriz columna, dadas por B = 1 2 3 4 5 6 7 8 , b(j) = j − j3 , para j = 1, 2, · · · Sean ahora C = [B; sin(B)] y A una matriz tal que A = [ C.ˆ2 , 2 ∗ C ; −C , C2 ; 3 ∗ C , C]. Escribe todas las ´ordenes necesarias para efectuar los siguientes pasos: a) ¿C´omo tiene que ser b para que el sistema Ax = b tenga sentido?. b(j) = j −j3 , para j = 1, 2, · · · , 12 >>J=1:12; b=J-J.^3; b=b’; b) Calcula A(1 : 4, 5 : 8), A(5 : 8, 1 : 4) y A(9 : 12, 5 : 8). A(1 : 4, 5 : 8) = 2 ∗ C, A(5 : 8, 1 : 4) = −C, A(9 : 12, 5 : 8) = C c) ¿Qu´e comandos de Matlab conoces para resolver el sistema Ax = b? >> x=Ab >> xpinv=pinv(A)*b Si escribimos el comando xref=rref([A b]) podemos observar que el sistema es incompatible ya que 8 = rg(A) = rg([Ab]) = 9 donde rg(A) representa el rango de A. d) ¿Que responde Matlab a cada uno de los comandos? x = 1,0e + 003 ∗ −0,5114 1,7555 −2,3966 1,0121 2,9017 −5,3539 4,0002 −1,1598 , xpinv = 1,0e + 003 ∗ −0,5114 1,7555 −2,3966 1,0121 2,9017 −5,3539 4,0002 −1,1598 e) Calcula el error entre las soluciones. ¿De qu´e orden es? Los residuos son del orden siguiente norm(A ∗ x − b) = 1,2061e + 003, norm(A ∗ xpinv − b) = 1,2061e + 003. Recordemos que el sistema es incompatible. Si calculamos AA=A’*A, bb=A’*b, obtenemos que norm(AA ∗ x − bb) = 9,8991e − 009, norm(AA ∗ xpinv − bb) = 1,2405e − 008. 2. (2 puntos) Escribe todas las ´ordenes necesarias para definir un mallado de valores de x e y, para valores comprendidos entre −20a0 y 20a0, evaluar la funci´on Ψ3,1,1(x, y, z) (Orbital 3px) para z = 10 y dibujar las curvas de nivel. Generamos un fichero FdOn311.m para definir la funci´on de onda function Psi=FdOn311(x,y,z) % Funcion de Onda n=3, l=1, m=1 % orbital 2px r=sqrt(x.^2+y.^2+z.^2); Psi=8*x/27.*(1-r/6).*exp(-r/3)/sqrt(8*pi); y ahora el mallado, evaluamos la funci´on y la salida gr´afica [x,y]=meshgrid(-20:.1:20); Psi=FdOn311(x,y,10); contour(x,y,Psi)
  • 7. 3. (2 puntos) Ajustar los datos siguientes x1 1 2 3 4 x2 0 1 2 3 y −4,1 2,7 8,3 11,6 a una funci´on lineal del tipo y = a1x1 + a2x2 + a3 del siguiente modo a) Calcula los par´ametros a1, a2 y a3 del ajuste lineal. x1=[1 2 3 4]’; x2=[0 1 2 3]’; y=[-4.1 2.7 8.3 11.6]’; X=[x1 x2 ones(size(x1))]; a=Xy; Matlab da un aviso Warning: Rank deficient, rank = 2, tol = 4.8648e-015. i.e. el rango de la matriz X es 2 y el sistema es indeterminado, hay infinitas soluciones. Lo comprobamos rref([X y]) apinv=pinv(X)*y; norm(a)-norm(apinv) Si escribimos el comando norm(a)-norm(apinv) la respuesta es 3,9436 > 0 y podemos observar que norm(apinv) < norm(a) como era de esperar, ya que el comando pinv, cuando hay infinitas soluciones, selecciona la que minimiza la norma de la soluci´on. Deberemos hacer m´as mediciones para efectuar el ajuste b) Calcula el error. Los residuos son del orden siguiente (X ∗ a − y) = 1,7672 norm(X ∗ apinv − y) = 1,7672. Recordemos que el sistema es indeterminado. Si calculamos XX=X’*X, yy=X’*y, obtenemos que norm(XX ∗ a − yy) = 1,4211e − 014, norm(XX ∗ apinv − yy) = 6,8245e − 014. 4. (3 puntos) La ecuaci´on de Van der Waals es: p = RT v − b − a v2 , donde R = 0 082, p es la presi´on, v el volumen molar, T la temperatura y a y b son dos constantes positivas cuyo valor se puede ajustar y dependen del gas. Los mejores valores se obtienen tomando: a = 27R2 T2 c 64pc b = RTc 8pc donde Tc y pc son los valores de la temperatura y la presi´on en el punto cr´ıtico. En la tabla siguiente se muestran los valores cr´ıticos de la temperatura, presi´on y volumen molar para el amoniaco: Sustancia Tc (K) pc (atm) vc (l/mol) Amoniaco (NH3) 405.5 111.3 0.073 a) Escribe todas las ´ordenes necesarias para 1) crear un programa function que obtenga los par´ametros a y b de la ecuaci´on de Van der Waals function [a,b]=van_der_waals(Tc,pc,vc) R=.082; a=(27*R^2*Tc^2)./(64*pc); b=(R*Tc)./(8*pc);
  • 8. 2) dibujar una gr´afica con 8 isocoras (a volumen constante). V=2:9; V=V*b; T=Tc-10:Tc+10; p=zeros(length(V),length(T)); color=[’r’,’g’,’b’,’c’,’m’,’y’,’b’]; figure(1); hold on; for j=1:7 v=V(j); p(j,:)=R*T./(v-b)-a./(v.^2); plot(T,p(j,:),color(j)) end title(’isocoras’) legend(’v=0.0747’,’v=0.1120’,’v=0.1494’,’v=0.1867’,’v=0.2241’,’v=0.2614’,’v=0.2988’ ) hold off A continuaci´on se obtiene la siguiente tabla de datos de p y T en un proceso isoc´orico en el laboratorio: T(K) 300 310 320 340 370 380 p(atm) 1,23 1,25 1,29 1,40 1,51 1,55 1) Realiza un ajuste lineal p = αT + β T =[ 300 310 320 340 370 380]; p =[ 1.23 1.25 1.29 1.40 1.51 1.55]; [c s]=polyfit(T,p,1); α = c(1), β = c(2). 2) ¿Qu´e relaci´on guardan los par´ametros del ajuste α, β con los de la ecuaci´on de Van der Waals a, b?. En la ecuaci´on de Van der Waals se tiene p = R v − b T − a v2 , de modo que α = R v − b y β = − a v2 . ¿Podr´ıas estimar un valor para el volumen molar de la muestra?. Hay dos posibles estimaciones para el volumen molar: vα = b+R/α y vβ = −a/β, y los valores que arrojan son diferentes: vα = 19,7075 y vβ = 11,4776. Por lo tanto no se puede estimar el volumen molar con la precisi´on deseada. 3) Compara las isocoras obtenidas con las correspondientes a la ecuaci´on de los gases ideales, ¿qu´e dife- rencias hay?. Las isocoras correspondientes a los niveles anteriores se dibujan mediante las instrucciones V=2:9; V=V*b; T=Tc-10:Tc+10; pGI=zeros(length(V),length(T)); color=[’r’,’g’,’b’,’c’,’m’,’y’,’b’]; figure(2); hold on; for j=1:7 vGI=V(j); pGI(j,:)=R*T./vGI; plot(T,pGI(j,:),color(j)) end title(’isocoras Gas Ideal’) legend(’v=0.0747’,’v=0.1120’,’v=0.1494’,’v=0.1867’,’v=0.2241’,’v=0.2614’,’v=0.2988’) hold off Se observan muchas diferencias entre las gr´aficas de las figuras 1 y 2: Van der Waals presenta mayor diferencia entre las pendientes y adem´as distintas ordendas en el origen. Por otra parte, en el rango de Temperaturas estudiado, los valores de las presiones de los gases ideales son mayores aunque su pendiente sea menor.
  • 9. 5. (Pregunta para subir nota). Si intentamos calcular la siguiente integral m´ultiple: I = 3 −3 √ 9−x2 − √ 9−x2 9 x2+y2 x2 + y2 dz dy dx utilizando variables simb´olicas o bien comandos de integraci´on num´erica, Matlab no proporciona una respuesta satisfactoria. Vamos a dise˜nar tres v´ıas para salvar esta dificultad. Escribe todas las ´ordenes necesarias para calcular esa integral m´ultiple por los tres procedimientos siguientes: a) Calcula las siguientes integrales utilizando variables simb´olicas¿Qu´e ocurre?. I1(x, y) = 9 x2+y2 x2 + y2 dz I2(x) = √ 9−x2 − √ 9−x2 I1(x, y) dy I3 = 3 −3 I2(x) dx syms x syms y syms z f=sqrt(x^2+y^2) I1=int(f,z,x^2+y^2,9) I2=int(I1,y,-sqrt(9-x^2),sqrt(9-x^2)) I3=int(I2,x,-3,3) Matlab nos da un aviso diciendo que no puede calcular la integral expl´ıcita: Warning: Explicit integral could not be found. b) Calcula la siguiente integral utilizando utilizando comandos de Matlab de integraci´on numerica. ¿Qu´e ocurre?. Q = 3 −3 √ 9−x2 − √ 9−x2 I1(x, y) dy dx F=inline(’(x.^2+y.^2).^(1/2).*(9-x.^2-y.^2).*(-sqrt(9-x.^2)<y).*(y<sqrt(9-x.^2)).*(-3<x).*(x<3)’) Q=dblquad(F,-3,3,-3,3) Q = 203.5752 c) Efect´ua un cambio a coordenadas polares x = r cos(θ), y = r sin(θ) del siguiente modo: 1) define r, θ como variables simb´olicas, syms r syms theta 2) calcula las derivadas parciales primeras ∂x ∂r , ∂x ∂θ , ∂y ∂r , ∂y ∂θ diff(r*cos(theta),r) diff(r*cos(theta),theta) diff(r*sin(theta),r) diff(r*sin(theta),theta) 3) usando los comandos jacobian, det, simplify, calcula la matriz jacobiana, calcula su determi- nante y simplif´ıcalo. ¿Cu´al es el elemento diferencial de ´area? J=jacobian([r*cos(theta);r*sin(theta)],[r;theta]) D=det(J) D=simplify(D) El elemento diferencial de ´area es el determinante de la matriz Jacobiana, i.e. D=r. 4) sustituye en el integrando las nuevas variables usando el comando subs. Sugerencia: utiliza el help de matlab.
  • 10. II=subs((x^2+y^2)^(1/2),{x,y},{r*cos(theta),r*sin(theta)}) 5) ¿Cu´ales son los nuevos l´ımites de integraci´on?. Integra el producto del integrando en las nuevas variables multiplicado por el elemento diferencial de ´area en los nuevos l´ımites de integraci´on Los nuevos l´ımites de integraci´on son 0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ 2π II1=int(II*r,z,r^2,9) II2=int(II1,r,0,3) II3=int(II2,theta,0,2*pi) II3 = 324/5*pi = 203.5752. Decide cu´al o cu´ales de los tres procedimientos anteriores proporciona resultados satisfactorios. El b) y el c).
  • 11. Departamento de Matem´atica Aplicada C´ALCULO COMPUTACIONAL. Licenciatura en Qu´ımica (Curso 2007-08) Examen. Septiembre 2008 1. (3 puntos) Sean B una matriz y b una matriz columna, dadas por B = 8 7 1 3 3 2 5 8 , b(j) = j + j2 , para j = 1, 2, · · · Sean ahora C = [B; cos(B)] y A una matriz tal que A = [ C.ˆ3 , C/2 ; −C , C2 ; 3 + C , C]. Escribe todas las ´ordenes necesarias para efectuar los siguientes pasos: a) ¿C´omo tiene que ser b para que el sistema Ax = b tenga sentido?. >>J=1:12; b=J-J.^3; b=b’; b) Calcula A(1 : 4, 1 : 4), A(5 : 8, 5 : 8) y A(9 : 12, end − 4 : end). A(1 : 4, 1 : 4) = C.ˆ3, A(5 : 8, 5 : 8) = C2 , A(9 : 12, end − 4 : end) = C c) ¿Qu´e comandos de Matlab conoces para resolver el sistema Ax = b? >> x=Ab >> xpinv=pinv(A)*b Si escribimos el comando xref=rref([A b]) podemos observar que el sistema es incompatible ya que 8 = rg(A) = rg([Ab]) = 9 donde rg(A) representa el rango de A. d) ¿Que responde Matlab a cada uno de los comandos? x = 1,0e + 003 ∗ −59,5622 88,6676 −16,3809 5,6321 21,4879 −42,2877 41,9849 −6,6145 , xpinv = 1,0e+003∗ −59,5622 88,6676 −16,3809 5,6321 21,4879 −42,2877 41,9849 −6,6145 e) Calcula el error entre las soluciones. ¿De qu´e orden es? Los residuos son del orden siguiente norm(A ∗ x − b) = 110,2987, norm(A ∗ xpinv − b) = 110,2987. Recordemos que el sistema es incompatible. Si calculamos AA=A’*A, bb=A’*b, obtenemos que norm(AA ∗ x − bb) = 5,7818e − 009, norm(AA ∗ xpinv − bb) = 4,5348e − 009. 2. (2 puntos) Se pide lo siguiente: a) Calcular el l´ımite siguiente: l´ım x→0 log x √ x Si escribimos >>x=sym(’x’); y=log(x)/sqrt(x); l=limit(y,x,0) responde l = NaN b) Calcular la siguiente integral definida: 1 0 log x √ x dx Si escribimos >> Idef=int(y,0,1) responde
  • 12. Idef =-4 c) Calcular la siguiente integral indefinida: I = log x √ x dx Escribimos >> I=int(y) y responde I = 2*log(x)*x^(1/2)-4*x^(1/2) d) Calcular los l´ımites siguientes: l´ım x→0 I, l´ım x→1 I >> l1=limit(I,x,0) l2=limit(I,x,1) y responde l1 = 0 l2 = -4 e) Interpreta el resultado de los apartados a), b) y c). En el apartado a) nos piden calcular un l´ımite, cuyo valor es −∞. En el apartado b) nos piden calcular una integral impropia, cuyo integrando no est´a acotado. Pero la integral existe y est´a acotada, en otras palabras, existe el l´ımite l´ım →0 1 log x √ x dx = −4. En el apartado c) nos piden calcular una primitiva de la integral, y se puede observar que l´ım x→0 I(x) = 0, l´ım x→1 I(x) = −4. 3. (2 puntos) Ajustar los datos siguientes x1 1 2 3 4 x2 0 1 2 5 y −2,1 1,6 4,2 6,7 a una funci´on lineal del tipo y = a1x1 + a2x2 + a3 del siguiente modo a) Calcula los par´ametros a1, a2 y a3 del ajuste lineal. Escribimos >>x1=[1 2 3 4]’; x2=[0 1 2 5]’; y=[-2.1 1.6 4.2 6.7]’; X=[x1 x2 ones(size(x1))]; a=Xy; y se obtiene a = [3.5667 -0.4167 -5.4833]’ b) Calcula el error. Escribimos >>norm(X*a-y) XX=X’*X; yy=X’*y; norm(XX*a-yy) y se obtiene norm(X*a-y) = 0.4491, norm(X*a-y) = 0.4491 c) Realiza un mallado de puntos x1 y x2 entre 0 y 5 y dibuja la superficie de ajuste calculada. Usando el comando plot3 dibuja los datos del problema a˜nadi´endolos a la superficie anterior.
  • 13. 1 2 3 4 0 2 4 6 −5 0 5 10 Figura 1: ajustes >>[x1p,x2p]=meshgrid(1:.5:4,0:.5:5); yp=x1p*a(1)+x2p*a(2)+a(3); surf(x1p,x2p,yp) hold on plot3(x1, x2, y, ’r*’) hold of y se obtiene la figura 1 4. (3 puntos) La ecuaci´on de Van der Waals es: p = RT v − b − a v2 , donde R = 0 082, p es la presi´on, v el volumen molar, T la temperatura y a y b son dos constantes positivas cuyo valor se puede ajustar y dependen del gas. Los mejores valores se obtienen tomando: a = 27R2 T2 c 64pc b = RTc 8pc donde Tc y pc son los valores de la temperatura y la presi´on en el punto cr´ıtico. En la tabla siguiente se muestran los valores cr´ıticos de la temperatura, presi´on y volumen molar para el vapor de agua: Sustancia Tc (K) pc (atm) vc (l/mol) H2O (vapor) 647.4 218.3 0.056 a) Escribe todas las ´ordenes necesarias para 1) crear un programa function que obtenga los par´ametros a y b de la ecuaci´on de Van der Waals Escribimos en un fichero Van der Waals.m function [a,b]=Van_der_Waals(Tc,pc,vc) R=.082; a=(27*R^2*Tc^2)./(64*pc); b=(R*Tc)./(8*pc); y en la l´ınea de comandos >> Tc=674.4; pc=218.3; vc=.056; >> [a,b]=Van_der_Waals(Tc,pc,vc) y obtenemos a = 5.9101; b = 0.0317;
  • 14. 2) dibujar una gr´afica con 8 isocoras (a volumen constante). Escribimos en la l´ınea de comandos >> V=2:9; V=V*b; T=Tc-100:5:Tc+10; p=zeros(length(V),length(T)); color=[’r’,’g’,’b’,’c’,’m’,’y’,’b’,’r--’]; figure(4); hold on; for j=1:8 v=V(j); p(j,:)=R*T./(v-b)-a./(v.^2); plot(T,p(j,:),color(j)) end title(’isocoras’) legend([’v=’num2str(V(1))],[’v=’num2str(V(2))],[’v=’num2str(V(3))],... [’v=’num2str(V(4))],[’v=’num2str(V(5))],[’v=’ num2str(V(6))],[’v=’ num2str(V(7))]) hold off y se obtiene 560 580 600 620 640 660 680 700 0 50 100 150 200 250 300 isocoras v=0.063331 v=0.094997 v=0.12666 v=0.15833 v=0.18999 v=0.22166 v=0.25332 A continuaci´on se obtiene la siguiente tabla de datos de p y T en un proceso isoc´orico en el laboratorio: T(K) 300 310 320 340 370 380 p(atm) 1,08 1,12 1,14 1,24 1,34 1,36 a) Realiza un ajuste lineal p = αT + β Escribimos en la l´ınea de comandos >> T =[ 300 310 320 340 370 380]; p =[ 1.08 1.12 1.14 1.24 1.34 1.36]; [c s]=polyfit(T,p,1) alpha=c(1) beta=c(2) y se obtiene alpha = 0.0036; beta = -0.0029; b) Utilizando la pendiente de la recta de ajuste estima un valor para el volumen molar de la muestra. Escribimos en la l´ınea de comandos >> valpha=b+R/alpha vbeta=sqrt(-a/beta) figure(5); hold on;
  • 15. V=2:9; V=V*b; T=Tc-100:5:Tc+10; pGI=zeros(length(V),length(T)); for j=1:8 vGI=V(j); pGI(j,:)=R*T./vGI; plot(T,pGI(j,:),color(j)) end title(’isocoras Gas Ideal’) legend([’v=’ num2str(V(1))],[’v=’ num2str(V(2))],[’v=’num2str(V(3))],... [’v=’ num2str(V(4))],[’v=’ num2str(V(5))],[’v=’ num2str(V(6))],[’v=’ num2str(V(7))]) hold off y se obtiene 560 580 600 620 640 660 680 700 100 200 300 400 500 600 700 800 900 isocoras Gas Ideal v=0.063331 v=0.094997 v=0.12666 v=0.15833 v=0.18999 v=0.22166 v=0.25332