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Ministerio del poder Popular para la Educación.
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ESCUELA: INGENIERÍA MANTENIMIENTO MECÁNICO
MATERIA: matemática 3
FUNCIONES DE VARIAS
VARIABLES
Profesor (a):
Pedro Beltrán
Alumno
Algara, Diego
CI 2730544
Introducción
Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, se cumplen la misma
definición de función, con la diferencia que una variable dependiente estará regida por más de
una variables independiente.
A continuación se presenta lo relacionado con el Sistema de coordenadas en el Espacio, en
donde representaremos los diferentes sistemas de coordenadas entre las cuales están las
Cartesianas, Cilíndricas y Esféricas.
También indicaremos las transformaciones entre los diferentes sistemas de coordenadas, las
definiciones y planteamientos de Simetría, las Funciones de varias variables y como
determinamos el Dominio de funciones de varias variables.
Es importante indicar que existen diferentes Geometría en el espacio, en donde se representan las
figuras geométricas en la Superficie esférica, Superficie cilíndrica, la representación en Paraboloide,
Elipsoide y la Hiperboloide.
 Sistema de coordenadas en el Espacio.
o Coordenadas Cartesianas.
o Coordenadas Cilíndricas.
o Coordenadas Esféricas.
 Transformación entre los diferentes sistemas de
coordenadas. Mapa de contorno o curva de nivel.
o Simetría.
o Funciones de varias variables.
o Dominio de funciones de varias variables.
 Geometría en el espacio.
o Superficie esférica.
o Superficie cilíndrica.
o Paraboloide.
o Elipsoide.
o Hiperboloide
Coordenadas cartesianas.
Las coordenadas son grupos de números que describen una posición a lo largo de una línea, en una superficie
o en el espacio
Sistemas de coordenadas en el espacio
Las coordenadas cartesianas o rectangulares
son un sistema de coordenadas esta con formado
por dos ejes en el plano, mutuamente
perpendiculares que se cortan en el origen, en el
plano las coordenadas cartesianas x e y se
denominan respectivamente abcisa y ordenada.
Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes
en los que los signos de las coordenadas alternan
de positivo a negativo. Las coordenadas de un
punto cualquiera vendrán dadas por
las proyecciones del segmento entre el origen y el
punto sobre cada uno de los ejes.
En el plano hay otra forma de expresar la
posición de un punto, que son las
coordenadas polares. En este sistema se
indica la distancia del origen de
coordenadas al punto, r, y el ángulo que
forma esa recta con el eje x, q.
En el espacio 3D, la posición de un punto
en coordenadas cartesianas, vendrá dada
por un trío ordenado de números que nos
indicarán los valores de x, y y z,
Los planos de referencia XY (z=0) XZ
(y=0) e YZ (x=0) dividen el espacio en 8
octantes en los que como en el caso
anterior los signos de las componentes
cambian de positivo a negativo según sean
los valores de las tres coordenadas
Coordenadas cilíndricas y esféricas
El nombre de coordenadas cilíndricas se origina del hecho de que la gráfica r = c es un cilindro circular recto.
Las coordenadas cilíndricas se utilizan con frecuencia en aquellos problemas reales en los que existe un eje de
simetría.
En el sistema de coordenadas cilíndricas un punto P del
espacio se representa por un trio ordenado (r, ϴ , z), tal que:
- (r, ϴ ) es una representación polar de la proyección de P en
el plano XY.
- z es la distancia de (r, ϴ ) a P.
r puede tomar los valores desde 0 a ∞. Los valores de q
estarán entre 0 y 2 ∏.
En el sistema de coordenadas esféricas un punto P del
espacio se representa por un trío ordenado (ρ, ϴ,Ф) donde:
ρ es la distancia orientada desde O hasta P, (valores de ρ
≥ 0).
ϴ es el mismo ángulo que el usado en coordenadas
cilíndricas, (0 < Ɵ < 2 ∏ ).
Ф es el ángulo entre el eje z y el segmento O- r, (0 ≤ Ф ≤
∏).
Resumiendo:
CARTESIANAS CILÍNDRICAS ESFÉRICAS
Coordenadas (x, y, z) (r, Ɵ, z) (ρ, ϴ,Ф)
Valores posibles (-∞ a ∞) 0<r<∞,0<Ɵ<2∏,-∞≤z≤∞
0<r<∞,0<Ɵ<2∏,0<Ф<∏
Fórmulas para la transformación de coordenadas
Cilíndricas a
cartesianas
Esféricas a cartesianas Cartesianas a cilíndricas Cartesianas a esféricas
x= r cosq x= r senf cosq r= (x2+y2)1/2 r= (x2+y2+z2)1/2
y= r senq y= r senf senq q=arctg(y/x) f=arccos(z/(x2+y2+z2)1/2)
z= z z= r cosq z= z q=arctg(y/x)
Coordenadas cilíndricas
Las coordenadas cilíndricas son un sistema de
coordenadas para definir la posición de un punto
del espacio mediante un ángulo, una distancia
con respecto a un eje y una altura en la dirección
del eje.
Coordenadas esféricas
El sistema de coordenadas esféricas se basa en la
misma idea que las coordenadas polares y se utiliza
para determinar la posición espacial de un punto
mediante una distancia y dos ángulos.
Transformación entre los diferentes sistemas de coordenadas.Mapa de
contorno o curva de nivel
Transformaciones
Las transformaciones convierten datos entre distintos sistemas de coordenadas geográficas o entre
diferentes sistemas de coordenadas verticales.
Transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas.
Transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas.
Transformación de coordenadas cartesianas a esféricas
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Simetría.
Simetría es cuando una figura se vuelve exactamente igual que otra si la volteas o la giras.
La forma más simple de simetría es la simetría de "Reflexión"
 Simetría esférica. La simetría de rotación, cuando giras algo y sigue siendo igual.
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la izquierda, lo cerca es lejos, y Mercedes Milá no usa argumentos Ad Hominem para justificar
su ignorancia...
 Simetría traslacional. La última, la que desplaza un objeto tal cual y se mantiene igual. Como el
Día de la Marmota
Realidad consiste en medir lo que es similar, entender los sucesos que se repiten.
Funciones de varias variables
Ejemplo: Bosqueje la gráfica de las siguientes
funciones
a) f (x, y)  2  x  2y ; b) 2 2 f (x, y)  4  x  y
Solución a) Graficamos la ecuación z  2  x  2y que
corresponde a un plano, con intersecciones con los
ejes x, y y z en 2,1 y 2 respectivamente.
b) Graficamos la ecuación 2 2 z  4  x  y , ella es la
mitad de la esfera 4 2 2 2 x  y  z  con coordenada
z positiva
Sea f una función de dos variables. La gráfica de la función f es el conjunto de todos los puntos de la forma )
(x, y,z donde ) z  f (x, y y ) (x, y) Dom( f .
Una función de valor real, f, de x, y, z, ... es una regla para obtener un nuevo
numero, que se escribe como f(x, y, z, ...), a partir de los valores de una secuencia
de variables independientes (x, y, z, ...).
La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos
variables independientes, una función de valor real de tres variables si hay tres
variables independientes, y así sucesivamente.
Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se pueden
representar en forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma
algebraica (por medio de una formula), y en forma gráfica (por medio de una
gráfica).
Dominio de funciones de varias variables
El proceso para encontrar el dominio es similar a el caso de funciones de dos variables, pero ahora
se debe encontrar en función de la relación entre las variables del argumento. Es decir, el dominio
depende de como interactuan estas variables. Por ejemplo
Esta función es muy simple. El dominio es el conjunto de valores de x y de y tal que ambas
variables pueden tomar cualquier valor de los números reales, puesto que la función f jamás se
indefinirá. La manera formal de escribirlo es:
Ejemplo:
El últimovariables. En estos caso, el dominio es una gráfica tridim dominio que se puede graficar es el de
una función de cuatro ensional. Por ejemplo
El dominio se encuentra de la misma forma. Aunque la función tenga tres variables en su argumento,
existe un conjunto de valores que probablemente indefinan a f. La raíz cuadrada del denominador no
puede ser igual a 0. Así mismo, su argumento no puede ser negativo. Por la conjunción de ambas
condiciones se tiene que el dominio es:
Geometría en el espacio
La geometria del espacio (también llamada geometria espacial) es la rama de la
geometria que se encarga del estudio de las figuras geométricas voluminosas que ocupan
un lugar en el espacio; estudia las propiedades y medidas de las figuras geométricas en
el espacio tridimensional o espacio euclídeo. Entre estas figuras, también llamadas
sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera, el prisma, los
poliedros regulares (los sólidos platónicos, convexos, y los sólidos de Kepler-Poinsot, no
convexos) y otros poliedros.
Es el conjunto de puntos del espacio cuya distancia de cada uno a un
punto fijo ( llamado, centro) es la misma. Es usual decir que esta distancia
es el radio R.
Usando coordenadas cartesianas: sean el centro C (x0, y0, z0), P(x, y, z) un
punto cualquiera de la superficie esférica y el radio R. Entonces la
ecuación es
(x - x0)2 + (y - y0 )2 + ( z - z0 )2 = R2
Superficie esférica.
La superficie cilíndrica está conformada por rectas paralelas,
denominadas generatrices, las cuales contienen los puntos de una curva
plana, denominada directriz del cilindro. La superficie lateral cilíndrica se
obtiene mediante el giro de una recta alrededor de un eje.
Superficie cilíndrica.
x2 + y2 = R2 (superficie cilíndrica de revolución; las
secciones transversales al eje z son circulares)
Superficie cilíndrica
Ecuación de la superficie cónica:
(superficie cilindroide; las secciones transversales al eje z
son elipses -de semiejes a, b-)
Paraboloide.
Ecuación del paraboloide
z = x2 + y2 (paraboloide de revolución)-las secciones transversales al eje OZ son
circulares.
z = m x2 + n y2 (paraboloide general) las secciones transversales al eje OZ son
elípticas
Elipsoide
Ecuación del elipsoide (centrada en el origen O):
(a, b, c son los semi-ejes de las secciones elípticas)
Hiperboloide
Hiperboloide (una hoja)
Si b = c se trata de un hiperboloide de revolución
.
Hiperboloide (dos hojas)
Conclusión
Las coordenadas son grupos de números que describen una posición a lo largo de una línea,
en una superficie o en el espacio.
Las coordenadas cartesianas o rectangulares son un sistema de coordenadas formado por dos
ejes en el plano, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen, en el plano las
coordenadas cartesianas x e y se denominan respectivamente abcisa y ordenada, en lo que
respecta a coordenadas cilíndricas se origina del hecho de que la gráfica r = c es un cilindro
circular recto. Las coordenadas cilíndricas se utilizan con frecuencia en aquellos problemas
reales en los que existe un eje de simetría.
Las transformaciones convierten datos entre distintos sistemas de coordenadas geográficas o
entre diferentes sistemas de coordenadas verticales a través de formulas explicitas para ello.
En la geometría del espacio podemos estudiar las figuras geométricas voluminosas que ocupan
un lugar en el espacio; estudia las propiedades y medidas de las figuras geométricas en el
espacio tridimensional.
https://navarrof.orgfree.com/Docencia/MatematicasIV/UT1/sistemas_de_coordenadas.htm#:~:text=
Las%20coordenadas%20cartesianas%20o%20rectangulares,se%20cortan%20en%20el%20origen.
&text=Los%20ejes%20dividen%20el%20espacio,alternan%20de%20positivo%20a%20negativo.
https://sites.google.com/site/profangelrodriguez/home/unidad/tema-1-1
https://pro.arcgis.com/es/pro-app/help/mapping/properties/coordinate-systems-and-projections.htm
https://blog.rtve.es/masqueparabolas/2017/03/los-tipos-de-simetr%C3%ADa.html
http://www.ciencias.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/maria_victoria/funciones
_varias_variables2011.pdf
https://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm8.html#top
http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/geometr2.htm
https://es.wikipedia.org/wiki/Cilindro#:~:text=La%20superficie%20cil%C3%ADndrica%20est%C3%A1
%20conformada,recta%20alrededor%20de%20un%20eje.
Bibliografía
Anexo
https://www.youtube.com/watch?v=7gzePeOvzG4&pbjreload=101
https://www.youtube.com/watch?v=hMlcvLz6YFE
https://www.youtube.com/watch?v=zge35wTSH1o

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  • 1. República Bolivariana de Venezuela. Ministerio del poder Popular para la Educación. I.U.P. Santiago Mariño. EXTENSIÓN BARCELONA EDO. ANZOÁTEGUI ESCUELA: INGENIERÍA MANTENIMIENTO MECÁNICO MATERIA: matemática 3 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Profesor (a): Pedro Beltrán Alumno Algara, Diego CI 2730544
  • 2. Introducción Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, se cumplen la misma definición de función, con la diferencia que una variable dependiente estará regida por más de una variables independiente. A continuación se presenta lo relacionado con el Sistema de coordenadas en el Espacio, en donde representaremos los diferentes sistemas de coordenadas entre las cuales están las Cartesianas, Cilíndricas y Esféricas. También indicaremos las transformaciones entre los diferentes sistemas de coordenadas, las definiciones y planteamientos de Simetría, las Funciones de varias variables y como determinamos el Dominio de funciones de varias variables. Es importante indicar que existen diferentes Geometría en el espacio, en donde se representan las figuras geométricas en la Superficie esférica, Superficie cilíndrica, la representación en Paraboloide, Elipsoide y la Hiperboloide.
  • 3.  Sistema de coordenadas en el Espacio. o Coordenadas Cartesianas. o Coordenadas Cilíndricas. o Coordenadas Esféricas.  Transformación entre los diferentes sistemas de coordenadas. Mapa de contorno o curva de nivel. o Simetría. o Funciones de varias variables. o Dominio de funciones de varias variables.  Geometría en el espacio. o Superficie esférica. o Superficie cilíndrica. o Paraboloide. o Elipsoide. o Hiperboloide
  • 4. Coordenadas cartesianas. Las coordenadas son grupos de números que describen una posición a lo largo de una línea, en una superficie o en el espacio Sistemas de coordenadas en el espacio Las coordenadas cartesianas o rectangulares son un sistema de coordenadas esta con formado por dos ejes en el plano, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen, en el plano las coordenadas cartesianas x e y se denominan respectivamente abcisa y ordenada. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo. Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.
  • 5. En el plano hay otra forma de expresar la posición de un punto, que son las coordenadas polares. En este sistema se indica la distancia del origen de coordenadas al punto, r, y el ángulo que forma esa recta con el eje x, q. En el espacio 3D, la posición de un punto en coordenadas cartesianas, vendrá dada por un trío ordenado de números que nos indicarán los valores de x, y y z, Los planos de referencia XY (z=0) XZ (y=0) e YZ (x=0) dividen el espacio en 8 octantes en los que como en el caso anterior los signos de las componentes cambian de positivo a negativo según sean los valores de las tres coordenadas
  • 6. Coordenadas cilíndricas y esféricas El nombre de coordenadas cilíndricas se origina del hecho de que la gráfica r = c es un cilindro circular recto. Las coordenadas cilíndricas se utilizan con frecuencia en aquellos problemas reales en los que existe un eje de simetría. En el sistema de coordenadas cilíndricas un punto P del espacio se representa por un trio ordenado (r, ϴ , z), tal que: - (r, ϴ ) es una representación polar de la proyección de P en el plano XY. - z es la distancia de (r, ϴ ) a P. r puede tomar los valores desde 0 a ∞. Los valores de q estarán entre 0 y 2 ∏. En el sistema de coordenadas esféricas un punto P del espacio se representa por un trío ordenado (ρ, ϴ,Ф) donde: ρ es la distancia orientada desde O hasta P, (valores de ρ ≥ 0). ϴ es el mismo ángulo que el usado en coordenadas cilíndricas, (0 < Ɵ < 2 ∏ ). Ф es el ángulo entre el eje z y el segmento O- r, (0 ≤ Ф ≤ ∏).
  • 7. Resumiendo: CARTESIANAS CILÍNDRICAS ESFÉRICAS Coordenadas (x, y, z) (r, Ɵ, z) (ρ, ϴ,Ф) Valores posibles (-∞ a ∞) 0<r<∞,0<Ɵ<2∏,-∞≤z≤∞ 0<r<∞,0<Ɵ<2∏,0<Ф<∏ Fórmulas para la transformación de coordenadas Cilíndricas a cartesianas Esféricas a cartesianas Cartesianas a cilíndricas Cartesianas a esféricas x= r cosq x= r senf cosq r= (x2+y2)1/2 r= (x2+y2+z2)1/2 y= r senq y= r senf senq q=arctg(y/x) f=arccos(z/(x2+y2+z2)1/2) z= z z= r cosq z= z q=arctg(y/x)
  • 8. Coordenadas cilíndricas Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje. Coordenadas esféricas El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.
  • 9. Transformación entre los diferentes sistemas de coordenadas.Mapa de contorno o curva de nivel Transformaciones Las transformaciones convierten datos entre distintos sistemas de coordenadas geográficas o entre diferentes sistemas de coordenadas verticales. Transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas.
  • 10. Transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas. Transformación de coordenadas cartesianas a esféricas
  • 11. Transformación de coordenadas esféricas a cartesianas
  • 12. Simetría. Simetría es cuando una figura se vuelve exactamente igual que otra si la volteas o la giras. La forma más simple de simetría es la simetría de "Reflexión"  Simetría esférica. La simetría de rotación, cuando giras algo y sigue siendo igual.  Simetría axial. También conocida como simetría "cilíndrica". Mantiene las formas según un eje, como en el barro que dibujaban con las manos en la escena sexy-amorosa de Ghost...  Simetría especular. La simetría que ocurre en el espejo, la izquierda es la derecha, la derecha es la izquierda, lo cerca es lejos, y Mercedes Milá no usa argumentos Ad Hominem para justificar su ignorancia...  Simetría traslacional. La última, la que desplaza un objeto tal cual y se mantiene igual. Como el Día de la Marmota Realidad consiste en medir lo que es similar, entender los sucesos que se repiten.
  • 13. Funciones de varias variables Ejemplo: Bosqueje la gráfica de las siguientes funciones a) f (x, y)  2  x  2y ; b) 2 2 f (x, y)  4  x  y Solución a) Graficamos la ecuación z  2  x  2y que corresponde a un plano, con intersecciones con los ejes x, y y z en 2,1 y 2 respectivamente. b) Graficamos la ecuación 2 2 z  4  x  y , ella es la mitad de la esfera 4 2 2 2 x  y  z  con coordenada z positiva Sea f una función de dos variables. La gráfica de la función f es el conjunto de todos los puntos de la forma ) (x, y,z donde ) z  f (x, y y ) (x, y) Dom( f .
  • 14. Una función de valor real, f, de x, y, z, ... es una regla para obtener un nuevo numero, que se escribe como f(x, y, z, ...), a partir de los valores de una secuencia de variables independientes (x, y, z, ...). La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables independientes, una función de valor real de tres variables si hay tres variables independientes, y así sucesivamente. Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se pueden representar en forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de una formula), y en forma gráfica (por medio de una gráfica).
  • 15. Dominio de funciones de varias variables El proceso para encontrar el dominio es similar a el caso de funciones de dos variables, pero ahora se debe encontrar en función de la relación entre las variables del argumento. Es decir, el dominio depende de como interactuan estas variables. Por ejemplo Esta función es muy simple. El dominio es el conjunto de valores de x y de y tal que ambas variables pueden tomar cualquier valor de los números reales, puesto que la función f jamás se indefinirá. La manera formal de escribirlo es:
  • 16. Ejemplo: El últimovariables. En estos caso, el dominio es una gráfica tridim dominio que se puede graficar es el de una función de cuatro ensional. Por ejemplo El dominio se encuentra de la misma forma. Aunque la función tenga tres variables en su argumento, existe un conjunto de valores que probablemente indefinan a f. La raíz cuadrada del denominador no puede ser igual a 0. Así mismo, su argumento no puede ser negativo. Por la conjunción de ambas condiciones se tiene que el dominio es:
  • 17. Geometría en el espacio La geometria del espacio (también llamada geometria espacial) es la rama de la geometria que se encarga del estudio de las figuras geométricas voluminosas que ocupan un lugar en el espacio; estudia las propiedades y medidas de las figuras geométricas en el espacio tridimensional o espacio euclídeo. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera, el prisma, los poliedros regulares (los sólidos platónicos, convexos, y los sólidos de Kepler-Poinsot, no convexos) y otros poliedros.
  • 18. Es el conjunto de puntos del espacio cuya distancia de cada uno a un punto fijo ( llamado, centro) es la misma. Es usual decir que esta distancia es el radio R. Usando coordenadas cartesianas: sean el centro C (x0, y0, z0), P(x, y, z) un punto cualquiera de la superficie esférica y el radio R. Entonces la ecuación es (x - x0)2 + (y - y0 )2 + ( z - z0 )2 = R2 Superficie esférica.
  • 19. La superficie cilíndrica está conformada por rectas paralelas, denominadas generatrices, las cuales contienen los puntos de una curva plana, denominada directriz del cilindro. La superficie lateral cilíndrica se obtiene mediante el giro de una recta alrededor de un eje. Superficie cilíndrica.
  • 20. x2 + y2 = R2 (superficie cilíndrica de revolución; las secciones transversales al eje z son circulares) Superficie cilíndrica Ecuación de la superficie cónica: (superficie cilindroide; las secciones transversales al eje z son elipses -de semiejes a, b-)
  • 21. Paraboloide. Ecuación del paraboloide z = x2 + y2 (paraboloide de revolución)-las secciones transversales al eje OZ son circulares. z = m x2 + n y2 (paraboloide general) las secciones transversales al eje OZ son elípticas
  • 22. Elipsoide Ecuación del elipsoide (centrada en el origen O): (a, b, c son los semi-ejes de las secciones elípticas)
  • 23. Hiperboloide Hiperboloide (una hoja) Si b = c se trata de un hiperboloide de revolución . Hiperboloide (dos hojas)
  • 24. Conclusión Las coordenadas son grupos de números que describen una posición a lo largo de una línea, en una superficie o en el espacio. Las coordenadas cartesianas o rectangulares son un sistema de coordenadas formado por dos ejes en el plano, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen, en el plano las coordenadas cartesianas x e y se denominan respectivamente abcisa y ordenada, en lo que respecta a coordenadas cilíndricas se origina del hecho de que la gráfica r = c es un cilindro circular recto. Las coordenadas cilíndricas se utilizan con frecuencia en aquellos problemas reales en los que existe un eje de simetría. Las transformaciones convierten datos entre distintos sistemas de coordenadas geográficas o entre diferentes sistemas de coordenadas verticales a través de formulas explicitas para ello. En la geometría del espacio podemos estudiar las figuras geométricas voluminosas que ocupan un lugar en el espacio; estudia las propiedades y medidas de las figuras geométricas en el espacio tridimensional.
  • 25. https://navarrof.orgfree.com/Docencia/MatematicasIV/UT1/sistemas_de_coordenadas.htm#:~:text= Las%20coordenadas%20cartesianas%20o%20rectangulares,se%20cortan%20en%20el%20origen. &text=Los%20ejes%20dividen%20el%20espacio,alternan%20de%20positivo%20a%20negativo. https://sites.google.com/site/profangelrodriguez/home/unidad/tema-1-1 https://pro.arcgis.com/es/pro-app/help/mapping/properties/coordinate-systems-and-projections.htm https://blog.rtve.es/masqueparabolas/2017/03/los-tipos-de-simetr%C3%ADa.html http://www.ciencias.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/maria_victoria/funciones _varias_variables2011.pdf https://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm8.html#top http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/geometr2.htm https://es.wikipedia.org/wiki/Cilindro#:~:text=La%20superficie%20cil%C3%ADndrica%20est%C3%A1 %20conformada,recta%20alrededor%20de%20un%20eje. Bibliografía