Dokumen tersebut membahas tentang persamaan diferensial biasa (PDB), yang didefinisikan sebagai persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi satu peubah bebas yang tidak diketahui. PDB dibedakan berdasarkan orde dan derajat turunan tertinggi yang terlibat. Ada beberapa jenis PDB dan cara penyelesaiannya, seperti PDB dengan variabel terpisah, PDB dengan koefisien fungsi homogen, dan PDB linear.

1. Kalkulus2-unpad
1
Persamaan Diferensial Biasa

2. Definisi
 Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah suatu persamaan
yang memuat satu atau lebih turunan fungsi satu peubah
bebas yang tidak diketahui.
 Jika fungsi terdiri dari lebih dari satu peubah bebas,
dikatakan Persamaan diferensial Parsial (PDP).
 Orde : Turunan tertinggi dari fungsi yang terlibat dalam
persamaan diferensial
 Derajat : Pangkat dari turunan tertinggi fungsi yang terlibat
dalam persamaan
Kalkulus2-unpad
2Kalkulus2-unpad

3. Contoh
Kalkulus2-unpad 3
, ( )
dN
kN N N t
dt
= =(1)
(2)
(3) , orde 2 derajat 1
, orde 2 derajat 1(4)
, orde 1 derajat 1
, orde 1 derajat 10sin2' =+ xy
xexyyey xx
cossin''' =++
223
2cos''' yxxyyx =+

4. Solusi
Fungsi y = f (x) disebut solusi PDB jika fungsi y = f (x)
disubtitusikan ke PDB menghasilkan kesamaan yang
berlaku untuk semua nilai x (diperoleh persamaan
identitas).
Solusi Umum dan Solusi Khusus
Jika fungsi y = f (x) memuat konstanta sembarang
maka solusi disebut Solusi Umum, sebaliknya disebut
Solusi Khusus.
Kalkulus2-unpad
4

5. Contoh
(1) y = cos x + c  solusi umum dari PD
karena
(2) y = cos x + 6  solusi khusus dari PD
karena
Kalkulus2-unpad
5
0sin' =+ xy
0sinsinsin)'(cos =+−=++ xxxcx
0sin' =+ xy
0sinsinsin)'6(cos =+−=++ xxxx

6. PDB Orde 1
 1. PDB dengan variabel terpisah
 2. PDB dengan koefisien fungsi homogen
 3. PDB Linear
Kalkulus2-unpad
6

7. 1. PDB dengan variabel terpisah
Kalkulus2-unpad
7
Bentuk Umum PDB dengan variabel terpisah :
( ) ( )g y dy f x dx=
Penyelesaian : Integralkan kedua ruas
( ) ( )g y dy f x dx=∫ ∫
Contoh : 1. Tentukan Solusi mum PD 3dy
x
dx
=
Jawab :
3 3dy
x dy x dx
dx
= ⇒ = 3
dy x dx=∫ ∫
41
4
y x C= +

8. Kalkulus2-unpad 8
Jawab:
ln
dy
x x y
dx
⇒ =
xx
dx
y
dy
ln
=
∫∫ =
xx
dx
y
dy
ln
( )ln ln lny x C= +
( )ln ln lny C x= ( )lny C x⇒ =
Jadi solusi umum PD tersebut adalah ( )lny C x=
2. Tentukan SU dari ( ln ) 'x x y y=
( ln ) 'x x y y=

9. Kalkulus2-unpad 9
Jawab:
y
ex
dx
dy −
= 3
dxx
e
dy
y
3
=−
∫∫ = dxxdyey 3
cxey
+= 4
4
1






+= cxy 4
4
1
ln






+= c4
)2(
4
1
ln0
Jadi solusi khusus PD tersebut
adalah
41
ln 3
4
y x
 
= − ÷
 
Diketahui y(2) = 0, sehingga
341 −=→+= cc
3. Tentukan Solusi Khusus dari 3
' ; (2) 0y
y x e y−
= =
3
' y
y x e−
=

10. Latihan
Kalkulus2-unpad
10
2
' (1 )(1 )y x y= + +
'sin 2 cos2y x y x=
4
'
( 3)
y
y
x y
=
−
3 2
( 1) 0x dx y dy+ + =
3 1
' 2( 3) , (0)
4
x
e y x y y= + =
' 4 1 cos2 , ( ) 1
4
y y x y
π
= + = −
2 3
' (1 2 )(1 2 )y y x x= + + +
(1 ) 0, (0) 1x xdy
e e y y
dx
+ + = =
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini

11. Fungsi homogen
Fungsi A(x,y) disebut fungsi homogen dengan derajat n, jika
A(kx,ky) = kn
A(x,y), k konstanta sembarang.
Contoh :
Periksa apakah fungsi berikut homogen atau tidak !
1. A(x,y) = x + y
A(kx,ky) = kx + ky
= k (x + y) = k A(x,y)
A(x,y) = x + y , fungsi homogen derajat 1
2. A(x,y) = y2
+ xy
A(kx,ky) = k2
y2
+ kx ky
= k2
(y2
+xy) = k2
A(x,y)
A(x,y) = y2
+ xy , fungsi homogen derajat 2
Kalkulus2-unpad
11

12. 2. PD dengan koefisien fungsi homogen
PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk
Kalkulus2-unpad
12
( , )
'
( , )
A x y
y
B x y
=
dengan A,B fungsi homogen dengan derajat yang sama
disebut PDB dengan koefisien fungsi homogen.
Penyelesaian : gunakan subtitusi y = ux, u = u(x)
' 'y u x u= +
dy du
x u
dx dx
= +
dengan
dy xdu udx= +

13. Contoh
Tentukan solusi umum PD berikut
Kalkulus2-unpad
13
( ) ' 0x y xy+ − =1.
Jawab:
Misalkan y = ux, sehingga dy = xdu+udx
x
yx
dx
dy +
=






+=
x
y
dx
dy
1  u
dx
dxudux
+=
+
1  ( )dxudxudux +=+ 1 
dxdux =  x
dx
du =  ∫∫ =
x
dx
du  cxu += ln 
cx
x
y
+= ln  xcxxy += ln
Jadi solusi umum dari PD di atas adalah xcxxy += ln

14. Kalkulus2-unpad
14
2.
Jawab:
Misalkan
'
2 2
y x
y
x y
= −
2
1 1
'
2 2 2
u u
xu u
u u
−
+ = − = 
2
( 1)
'
2
u
xu
u
− +
=
2
( 1)
2
u
x du dx
u
− +
=  
2
ln | 1| ln | |u x c+ = − + 
2
2
ln 1 ln
y c
x x
 
+ = ÷
 

2 2
y x cx+ =
' 0
2 2
y x
y
x y
− + =
' 'y ux y xu u= ⇒ = +
2
1
'
2
u
xu u
u
−
= −
2
2
1
u dx
du
u x
= −
+
SU:
2
2 2
( )
2 4
c c
x y− + =
∫∫ −=
+ x
dx
du
u
u
1
2
2

15. Latihan
Kalkulus2-unpad
15
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini
xy
yx
dx
dy
2
3 22
+
=
2
2
2
x
xyy
dx
dy +
=
yx
yx
dx
dy
−
+
=
3
2
22
x
yxyx
dx
dy ++
=
yx
yx
dx
dy
+
+
−=
2
34
yx
xy
dx
dy
−
−
=
2
34
2y dx – x dy = 0

16. 3. PDB Linear
Kalkulus2-unpad 16
PDB orde satu disebut linear jika dapat ditulis dalam bentuk :
' ( ) ( )y P x y r x+ =
Penyelesaian :
∫ dxxP
e
)(
( ) ( ) ( )
' ( ) ( )
P x dx P x dx P x dx
y e P x ye r x e∫ ∫ ∫+ =
( ) ( )
( )' ( )
P x dx P x dx
ye r x e∫ ∫=
diperoleh:
Integralkan kedua ruas terhadap x
( ) ( )
( )
P x dx P x dx
ye e r x dx c∫ ∫= +∫
Solusi Umum PDB linear :
Kalikan dengan faktor integral
( ) ; ( )h h
y e e r x dx c h P x dx−  = + =
 ∫ ∫

17. Contoh
Kalkulus2-unpad
17
Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini
Jawab:
x
exy
x
y 22
' =−
( )( )h h
y e e r x dx c−
= +∫
Jadi solusi umumnya adalah
22
xcexy x
+=
3
1. ' 2 x
xy y x e− =
(sesuaikan dengan bentuk umum)
2 2
( ) ( ) 2lnP x h x dx x
x x
= − ⇒ = − = −∫
( )2 x
x e dx c= +∫
( )∫ += −
cdxexee xxx 2)ln(ln
.
22

18. Kalkulus2-unpad 18
Jawab:
( ) 1 ( ) 1P x h x dx x= ⇒ = =∫
( )( )h h
y e e r x dx c−
= +∫
( )2
( 1)x x
e e x dx c−
= + +∫
( )( )2
1 2( 1)x x x
e x e x e dx−
= + − +∫
( ) ( ) x
cexxy −
+++−+= 2121
2
( )( )2
1 2( 1) 2x x x x
e x e x e e c−
= + − + + +
2
1 x
y x ce−
⇒ = + +
2
2. ' ( 1) ; (0) 3y y x y+ = + =
(0) 3 2y c= ⇒ =
(dengan integral parsial)
Sehingga SK :
2
1 2 x
y x e−
= + +

19. Latihan
Selesaikan persamaan diferensial di bawah ini:
Kalkulus2-unpad
19
( )
22
4. ' 1
1
y
y x
x
+ = +
+
3. ' tan secy y x x+ =
1. ' 2 x
y y e−
+ =
2
2. ( 1) ' 1x y y x+ + = −
( )6. ' 1 , (1) 0x
xy x y e y−
+ + = =
2
7. ' 2y y x+ =
5. sin ' 2 cos sin 2 , 2
6
x y y x x y
π 
+ = = ÷
 
2
8. ' 2 sinhx y xy x+ =
2
9. ' 3 ; (0) 1x
y e y y= − =

20. Trayektori Ortogonal
 Trayektori Ortogonal adalah keluarga kurva yang
ortogonal atau tegak lurus terhadap keluarga
kurva lain.
 Cara untuk mendapatkan trayektori ortogonal dari
suatu kurva adalah sebagai berikut:
 Turunkan secara implisit f(x,y) = c terhadap x,
nyatakan parameter c dalam x dan y.
 Karena tegak lurus maka trayektori Ortogonal (TO)
harus memenuhi:
Kalkulus2-unpad
20
1
'
( , )x
y
D f x y
= −
 Trayektori Ortogonal dari f(x,y) = c, didapatkan
dengan mencari solusi dari 1
'
( , )x
y
D f x y
= −

21. Contoh
Kalkulus2-unpad
21
2
cxy =Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva
Jawab:
Langkah-langkah menentukan TO :
1.
2
cxy =
2
;
y
c
x
=Turunkan terhadap x
2. TO akan memenuhi PD
cxy 2'=






= 2
2'
x
y
xy  x
y
y 2'=
1
'
2 / 2
x
y
y x y
= − = −

22. 3. TO dari adalah solusi dari PD berikut:
Kalkulus2-unpad
22
2
2
( )
2
ellips
x
y c+ = ⇒
'
2
x
y
y
= −
y
x
dx
dy
2
−=
∫ ∫−= xdxydy2 c
x
y +−=
2
2
2
2
cxy =


Jadi Trayektori Ortogonal dari parabola 2
cxy =
adalah )(
2
2
2
ellipscy
x
⇒=+
x
y

23. Latihan
Kalkulus2-unpad
23
Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva
berikut :
2 2 2
x y c+ = y x c= +
2 2 2
x y c− =
5.
2.
1.
6.
3. y cx=
2 2
4x y c+ =
2x
y ce−
=
3
y cx=xy c=4.
7.
8.

24. PDB Orde II
Bentuk umum :
s(x)y″ + p(x)y′ + g(x)y = r(x)
s(x),p(x), g(x) disebut koefisien.
Jika r(x) = 0, maka Persamaan Diferensial
diatas disebut homogen, sebaliknya disebut
non homogen.
24
Kalkulus2-unpad
24

25. 1.PDB Orde Dua Homogen
dengan koefisien Konstan
Bentuk Umum : 0''' =++ cybyay
dimana a, b,c konstanta sembarang.
Solusi Umum:
•Jika y1 dan y2 solusi PD (i) dan y1, y2 bebas linear,
maka y1 dan y2 disebut solusi basis PD (i)
• y1 dan y2 disebut bebas linear jika
0
'' 21
21
≠=
yy
yy
W , W= Wronskian
(i)
Kalkulus2-unpad
25

26. •Jika 21 , yy solusi basis, maka
Solusi Umum PD (i) disebut solusi homogen,
yaitu :
2211 yCyCy +=
C1, C2 konstanta.
Kalkulus2-unpad
26

27. Solusi Homogen
0''' =++ cybyay
Kalkulus2-unpad
27
Pandang (i)
Misalkan
x
ey λ
= solusi PD (i)
xx
eyey λλ
λλ 2
'';' ==
Substitusikan ke (i), didapat
02
=++ xxx
ceebea λλλ
λλ 0)( 2
=++⇔ cbae x
λλλ
0≠
harus = 0

28. 02
=++ cba λλ disebut persamaan karakteristik (PK)
Ada 3 kemungkinan akar dari PK :
1. Dua akar real berbeda (Diskriminan > 0)
2. Akar real kembar (Diskriminan = 0)
3. Akar kompleks konjugate (Diskriminan < 0)
21 λλ ≠
21 λλ =
iβαλ ±=12
Kalkulus2-unpad
28

29. 1. Jika 21 λλ ≠ maka
xx
eyey 21
21 dan λλ
== solusi basis
xx
xx
ee
ee
W
21
21
21
λλ
λλ
λλ
=
)( 12
)( 21
λλλλ
−= + x
e
xx
ee )(
1
)(
2
2121 λλλλ
λλ ++
−=
0≠
Kalkulus2-unpad
29
0≠
Jadi y1 dan y2 bebas linear
Sehingga solusi umum PD homogen :
xx
eCeCy 21
21
λλ
+=

30. Contoh soal
Kalkulus2-unpad
30
Tentukan solusi umum dari PD 06''' =−+ yyy
Jawab:
PK : 062
=−+ λλ
0)2)(3( =−+ λλ
x
x
ey
ey
2
22
3
11
2
3
=→=
=→−= −
λ
λ
Solusi Umum :
xx
eCeCy 2
2
3
1 += −

31. 2. Jika λλλ == 21 maka
xx
xeyey λλ
== 21 dan solusi basis
xxx
xx
exee
xee
W λλλ
λλ
λλ +
=
xxx
xexee λλλ
λλ 222
−+=
xxxx
xexeee λλλλ
λλ 2
)( −+=
Kalkulus2-unpad
31
Jadi y1 dan y2 bebas linear
Sehingga solusi umum PD homogen :
1 2
x x
y C e C xeλ λ
= +
02
≠= x
e λ

32. Contoh soal
Kalkulus2-unpad
32
Tentukan solusi umum dari PD 09'6'' =++ yyy
Jawab:
PK : 0962
=++ λλ
0)3( 2
=+λ
x
x
xey
ey
3
22
3
11
3
3
−
−
=→−=
=→−=
λ
λ
Solusi Umum : xx
xeCeCy 3
2
3
1
−−
+=

33. 3. Jika iβαλ +=1
)sin(cos)(
1
1
xixeeeeeY xixxxix
ββαβαβαλ
+==== +
Sehingga solusi umum PD homogen :
1 2( cos sin )x
y e C x C xα
β β= +
dan 1; 2
2 −=−= iiβαλ
)sin(cos)(
2
2
xixeeeeeY xixxxix
ββαβαβαλ
−==== −−
Kalkulus2-unpad
33
maka
Misal xeYYy x
βα
cos)(
2
1
211 =+=
xeYY
i
y x
βα
sin)(
2
1
212 =−=
21 , yy bebas linear

34. Contoh soal
Kalkulus2-unpad
34
Tentukan solusi umum dari PD 010'2'' =+− yyy
Jawab: PK : 01022
=+− λλ
i3136
2
1
1
2
4042
12 ±=−±=
−±
=λ
xeyi
xeyi
x
x
3sin31
3cos31
22
11
=→−=
=→+=
λ
λ
Solusi Umum : )3sin3cos( 21 xCxCey x
+=

35. Latihan
Kalkulus2-unpad
35
1. Tentukan Solusi Umum dari
04'5''. =++ yyya
0'2''. =+− yyyb
05'2''. =++ yyyc
2. Tentukan Solusi khusus dari
04''. =+ yyd
2
)2(',)2(;03'4''4.
e
yeyyyya −=−=−=−−
0)
2
(',3)0(;02'2''. =−==+−
π
yyyyyb

36. Persamaan Differensial
non homogen dengan koefisien konstan
Bentuk umum:
ay″ + by′ + cy = r(x)
dengan r(x) ≠ 0
Solusi total : y = yh + yp
dimana yh = solusi PD homogen
yp = solusi PD non homogen
Kalkulus2-unpad
36
Menentukan yp
1. Metoda koefisien tak tentu
2. Metoda variasi parameter

37. 1. Metoda koefisien tak tentu
No r(x) yp
1.
2.
3.
4.
Kalkulus2-unpad
37
Pilih yp yang sesuai dengan r(x), substitusikan ke PD (*)
a. Kasus khusus
x
Keα x
Ceα
0
1
1 ... KxKxK n
n
n
n +++ −
− 0
1
1 ... AxAxA n
n
n
n +++ −
−
,cos xK ω xK ωsin xBxA ωω sincos +
,cos xKe x
ωα
)sincos( xBxAe x
ωωα
+xKe x
ωα
sin

38. Contoh
Kalkulus2-unpad
38
1.Tentukan Solusi Umum dari
Jawab:
Persamaan karakteristiknya:
Jadi solusi homogennya adalah
x
eyyy 4
2'3'' =+−
0232
=+− λλ
0)1)(2( =−− λλ
1;2 == λλ
xx
h eCeCy 2
2
1 +=
Selanjutnya tentukan
ph yyy +=Solusi Umum :
py

39. Pilih
x
p Cey 4
=
x
p Cey 4
4'=
x
p Cey 4
16'' =
Substitusikan ke PD soal
xxxx
eCeCeCe 4444
24.316 =+−
xx
eCCCe 44
)21216( =+−
6/116 =→= CC
Jadi
x
p ey 4
6
1
=
Sehingga SU :
xxx
eeCeCy 4
2
2
1
6
1
++=
Kalkulus2-unpad
39

40. b. Jika r(x) merupakan solusi basis PD homogen, maka
kalikan yp dengan x (atau x2, jika akar PK PD
Homogen kembar).
Contoh : Tentukan Solusi Umum dari '' 3 ' 2 x
y y y e− + =
Jawab :
PK PD homogen : 2
3 2 0λ λ− + =
( 2)( 1) 0λ λ− − =
1 22 ; 1λ λ= =
Sehingga
2
1 2
x x
hy C e C e= +
x
ey 2
1 =
x
ey =2
Kalkulus2-unpad
40

41. Karena r(x)=solusi basis, pilih x
py Cxe=
' ( )x x
py C e xe→ = +
'' ( ) (2 )x x x x x
py C e e xe C e xe= + + = +
Substitusi ke soal,
(2 ) 3 ( ) 2x x x x x x
C e xe C e xe Cxe e+ − + + =
(2 3 3 2 )x x
e C Cx C Cx Cx e+ − − + =
1 1C C− = → = −
Jadi
x
py xe= −
Sehingga Solusi Umum:
2
1 2
x x x
h py y C e C e xe+ = + −
Kalkulus2-unpad
41

42. Contoh : Tentukan Solusi Umum dari '' 2 ' x
y y y e− + =
Jawab : PK PD homogen :
2
2 1 0λ λ− + =
2
( 1) 0λ − =
1 2 1λ λ= =
Sehingga
1 2
x x
hy C e C xe= +
Pilih
2 x
py Cx e=
2
2
'' (2 2 2 )
(2 4 )
x x x x
p
x x x
y C e xe xe x e
C e xe x e
= + + +
= + +
)2(' 2 xx
p exxeCy +=→
Kalkulus2-unpad
42

43. Substitusi ke soal
2 2 2
(2 4 ) 2 (2 )x x x x x x x
C e xe x e C xe x e Cx e e+ + − + + =
2 2 2
(2 4 4 2 )x x
e C Cx Cx Cx Cx Cx e+ + − − + =
2 1 1/ 2C C= → =
Jadi
21
2
x
py x e=
Sehingga Solusi Umum :
2
1 2
1
2
x x x
h py y y C e C xe x e= + = + +
Kalkulus2-unpad
43

44. c. Jika r(x) merupakan penjumlahan dari 2 bentuk r(x)
pada kasus a), maka yp juga merupakan jumlah 2
bentuk yp yang bersesuaian.
Contoh : Tentukan Solusi Umum dari '' ' 2 x
y y y e x− − = +
Jawab : PK PD homogen :
2
2 0λ λ− − =
( 1)( 2) 0λ λ+ − =
1 21 ; 2λ λ= − =
Sehingga
2
1 2
x x
hy C e C e−
= +
Kalkulus2-unpad
44

45. Karena ( ) x
r x e x= +
' , ''x x
p py Ce A y Ce= + =
Substitusi ke soal
2 2 2x x x x
Ce Ce A Ce Ax B e x− − − − − = +
2 2 2x x
Ce Ax A B e x− − − − = +
Dengan menyamakan koefisien diperoleh:
1/ 2 ; 1/ 2 ; 1/ 4C A B= − = − =
Jadi
1 1 1
2 2 4
x
py e x= − − +
Sehingga solusi umum :
2
1 2
1 1 1
2 2 4
x x x
y C e C e e x−
= + − − +
x
py Ce Ax B⇒ = + +
Kalkulus2-unpad
45

46. Kalkulus2-unpad
46
LatihanLatihan
2
2
2
. '' 3' 2 cos
. '' 9 2
. '' 3 ' 4 3 2
. '' 3 ' 4
. '' 4 2sin
. '' 4 2cos2
. '' 2' 3 2
. '' 4 ' 4 9cosh
x
a y y x
b y y x
c y y y x
d y y y e
e y y x
f y y x
g y x
h y y y x
− + =
− = +
− − = +
− − =
+ =
+ =
+ = +
+ + =
1. Tentukan Solusi umum dar PD berikut
2
2
2
3
3 3
2
. '' 4 ' 4
. '' 3 ' 4 3 2
. '' 9 sin3
. '' ' 3
. '' 6 ' 9 18cos3
. '' 2 ' 3 8 cos2
. '' 4 ' 3 8
. '' 4 8
x
x
x
x
x x
i y y y e
j y y y x
k y y x e
l y y e x
m y y y x
n y y y e x
o y y y e e
p y y x
−
− + =
+ − = +
+ = +
+ = +
+ + =
− − = +
− + = +
+ =

47. 2
2
4 3
2
. '' ' 2 3 ; (0) 0 , '(0) 2
. '' 4 ' 3 10 ; (0) 1 , '(0) 3
. '' 3 ' 2 ; (0) 1 , '(0) 2
. '' 4 4sin ; (0) 4 , '(0) 0
. '' 5 ' 6 ; (0) 1 , '(0) 0
. '' ' 2 10sin ; ( ) 3 , '( ) 1
2 2
x
x
x x
x
a y y y e y y
b y y y e y y
c y y y e e y y
d y y x y y
e y y y e y y
f y y y x y y
π π
−
− − = = = −
− + = = = −
− + = + = =
− = = =
− + = = =
− − = = − = −
2. Tentukan Solusi Khusus dari PD berikut
Kalkulus2-unpad
47

48. Kalkulus2-unpad
48
2. Metoda Variasi2. Metoda Variasi
ParameterParameter
Metoda ini digunakan untuk memecahkan
persamaan-persamaan yang tidak dapat diselesaikan
dengan metoda koefisien tak tentu.
(1)
Misalkan 1 2
1 2,
py uy vy
y y
= +
solusi basis PD homogen
(2)
)(''' xrcybyy =++

49. Pilih 1 2' ' 0u y v y+ =
Sehingga 1 2' ' 'py uy vy= +
1 1 2 2'' ' ' '' ' ' ''py u y uy v y vy= + + +
Substitusikan (2),(4),(5) ke (1)
(4)
(5)
(3)
)()(
)''()''''''''(
21
212211
xrvyuyc
vyuybvyyvuyyu
=+
++++++
Kalkulus2-unpad
49
''''' 2211 vyyvuyyuyp +++=

50. Jadi 1 2' ' ' ' ( )u y v y r x+ =
Dari (3) dan (6) tentukan u dan v
1 2
1 2
' ' 0
' ' ' ' ( )
u y v y
u y v y r x
+ =
+ =
(6)
++++++ )'''()'''( 222111
cybyyvcybyyu )()'''' 21 xryvyu =+
=0 =0
Kalkulus2-unpad
50

51. 1
1 1
1 2
1 2
0
' ( ) ( )
' ,
' '
y
y r x y r x
v v dx
y y W
y y
= ⇒ = ∫ '' 21
21
yy
yy
W =
2
2 2
1 2
1 2
0
( ) ' ( )
'
' '
y
r x y y r x
u u dx
y y W
y y
= ⇒ = −∫
Dengan aturan Cramer diperoleh
Kalkulus2-unpad
51

52. 3
12
'' 2 '
x
e
y y y
x
− + =
Contoh
1. Tentukan solsi umum dari PD
2
'' 2 ' 0 ( 1) 0y y y λ− + = → − =
Jawab: PD homogen :
12 1 21 ;x x
y e y xeλ = → = =
1 2( ) x
hy C C x e= +
x x
x x x
e xe
W
e e xe
=
+
2
( )x x x x
e e xe xe= + −
2x
e=
Kalkulus2-unpad
52

53. 1 2py uy vy= +
2 ( )y r x
u dx
W
= −∫ 2 3
.12
.
x x
x
xe e
dx
e x
= −∫
2
1 12
12 dx
x x
= − =∫
2 3
.12
.
x x
x
e e
dx
e x
= ∫
3 2
1 6
12 dx
x x
= = −∫
Kalkulus2-unpad
53
dx
W
xry
v ∫=
)(1

54. 2
12 6 12 6 6x x x x x
py e xe e e e
x x x x x
= − = − =
Sehingga solusi umum
1 2
6
( )
h p
x x
y y y
C C x e e
x
= +
= + +
Kalkulus2-unpad
54

55. Jawab: Persamaan karakteristiknya:
Jadi solusi homogennya adalah
Untuk yp dipilih
2. '' tany y x+ =
2
1 21 0 ;i iλ λ λ+ = → = = −
1 2cos sinhy C x C x= +
1 2py uy vy= +
cos sin
1
sin cos
x x
x x
= =
−
1 2cos ; siny x y x= =
1 2
1 2' '
y y
W
y y
=
Kalkulus2-unpad
55

56. ∫−= dx
xx
u
1
tansin
∫−= dx
x
x
cos
sin2
∫
−
−= dx
x
x
cos
cos1 2
∫ −−= dxxx )cos(sec
∫∫ +−= dxxdxx cossec
xxx sintansecln ++−=
∫= dx
xx
v
1
tancos
∫= dxxsin xcos−=
Kalkulus2-unpad
56

57. Sehingga didapat
( ) xxxxxxxyp cossincossincostansecln −++−=
Jadi solusi umum PD tersebut
( ) xxx costansecln +−=
( )1 2cos sin ln sec tan cos
h py y y
y C x C x x x x
= +
= + − +
Kalkulus2-unpad
57

58. Kalkulus2-unpad
58
LatihanLatihan
2
2
. '' csc
2
. '' 4 ' 5
sin
. '' 2 ' sin
. '' cot
. '' 9 sin
x
x
x
a y y x
e
b y y y
x
c y y y e x
d y y x
e y y x e
+ =
− + =
− + =
+ =
+ = +
1. Tentukan solusi umum dari PD berikut

59. '' 4 ' 20 23sin 15cos ;
(0) 0 , '(0) 1
y y y x x
y y
+ + = −
= = −
2. Tentukan solusi khusus dari
Kalkulus2-unpad
59