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Integral Definida
Sea f una función continua en [a,b] y tal que
f(x)≥0.
El área entre la gráfica de f, el eje OX, y las
abscisas x=a y x=b se llama integral definida de
la función f entre a y b, y se representa por el
símbolo:


  b

 a
      f ( x) dx
Aproximación al área bajo una curva
Si la función y=f(x) sólo toma valores no
negativos, ¿cómo calcularemos el área
entre la curva, eje OX y las abscisas x=a y
x=b?
Una idea útil consiste en dividir el intervalo
[a,b] en tramos y aproximar el área
mediante rectángulos con base en el eje OX
y altura el mínimo valor que toma en cada
tramo:
Aproximación al área bajo una curva
Aproximación al área bajo una curva
Si el intervalo [a,b] se divide en                           n   trozos,
obtendremos unos valores xi tales que:
             a=x0<x1<x2<∙∙∙∙∙<xn=b




               x1   x2   x3   .....................   xn-1
Aproximación al área bajo una curva
Si llamamos mi al valor mínimo que toma
la    función en   el  tramo     [xi-1, xi],
obtendremos que el valor del área coloreado
en verde es:
                                                               n
m1 ( x1  x0 )  m2 ( x2  x1 )      mn ( xn  xn 1 )   mi ( xi  xi 1 )  sinf
                                                              i 1



Evidentemente, el valor de este área es
menor que el área buscada. Es decir, hemos
encontrado    una   aproximación       por
defecto.
Aproximación al área bajo una curva

También       podemos
aproximarnos       por
exceso al área buscada
sin más que tomar
como altura de los
rectángulos  el   valor
máximo en cada tramo.
Aproximación al área bajo una curva
Si llamamos Mi al valor máximo que
toma la función en el tramo [xi-1, xi],
obtendremos que el valor del área
coloreada en azul es:
                                                                n
M1 ( x1  x0 )  M 2 ( x2  x1 )      M n ( xn  xn1 )   M i ( xi  xi 1 )  Ssup
                                                               i 1



 Por tanto, se cumple:
                                  b

                        sinf     
                                  a
                                      f ( x)dx  Ssup
Aproximación al área bajo una curva
Evidentemente, si tomamos unos
rectángulos más finos, es decir,
los puntos xi los tomamos cada
uno más cerca del siguiente, el
área obtenida se aproximará más
al área buscada.
Por tanto, en ese caso, dividimos
el intervalo [a,b] en más tramos.
Aproximación al área bajo una curva




         Se mejoran las aproximaciones
     dividiendo en más tramos el intervalo
Aproximación al área bajo una curva
Por tanto, parece que cuando n sea
cada vez más grande, tanto sinf como
Ssup se aproximan cada vez más al
valor del área buscada.
Por tanto, se cumple:
                 b

       lim sinf   f ( x)dx  lim Ssup
       n                   n  
                  a
Propiedades de la integral definida
1. Sea y=f(x) cualquier función,                a

   entonces se cumple que:        f ( x)dx  0 a




2. Sea y=f(x) cualquier función
   continua en [a,b], entonces se
   cumple que:                 b

   a)   Si f(x)>0, entonces:    f ( x)dx  0
                               a


                               b
   b)   Si f(x)<0, entonces:    f ( x)dx  0
                               a
Propiedades de la integral definida
3. Si c es un punto interior                del
   intervalo [a,b], se verifica:

      f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
      b            c              b

      a            a              c



                        y=f(x)



                   A1            A2
               a          c           b
Propiedades de la integral definida
5. La integral definida de la suma o
   diferencia de funciones es la suma o
   diferencia de las integrales definidas de
   ambas funciones:

      [ f ( x )  g( x )]dx         f ( x )dx   g( x )dx
      b                            b               b

      a                        a                   a


6. Si k es un número real, se verifica:


              kf ( x )dx  k  f ( x )dx
               b                        b

              a                        a
Propiedades de la integral definida
7. Si f y g son dos funciones tales que:
         f(x) ≤ g(x) en el intervalo [a , b]
   Entonces se verifica:

                f ( x )dx   g( x )dx
                b             b

               a             a


                                       y= g(x)




                                       y= f(x)



                      a            b
Propiedades de la integral definida
8. Si y=f(x) es una función no continua en el
   intervalo [a,b], pero sin tener discontinuidades
   infinitas, entonces:


                f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx
                b             c                b

               a              a                c


                                  Donde c es un punto
                                  del    intervalo   [a,b]
                                  donde presenta una
                                  discontinuidad evitable
                                  o de salto finito.
La función área
Dada una función y=f(x) continua en [a,b],
definimos una nueva función y= F(x) como:


                  x
   F( x )    
              a
                      f ( t )dt


                                  a   x       b

F(x) es el área entre la gráfica de f(x), x=a y un
punto variable x.
Teorema fundamental del Cálculo
            integral
Sea y=f(x) una función continua en [a,b] y
F(x) la función definida por:
                             x
              F( x )    
                         a
                                 f ( t )dt


Entonces, se verifica que F(x) es una función
derivable en [a,b], y además:


           F ' ( x )  f ( x)
Regla de Barrow
Si y=f(x) es una función continua en [a,b] y
G(x) es una primitiva suya, entonces:
                      b

                       f ( x)dx  G(b)  G(a)
                      a


Reglas prácticas para calcular integrales definidas:


1. Buscamos una primitiva G(x)          2. Calculamos G(b) y G(a)
   de f(x), calculando la integral
   indefinida:                           Entonces:
                                         b

    G( x)   f ( x)dx                   f ( x)dx  G(b)  G(a)
                                         a
Cálculo de áreas mediante integrales
   Área del recinto limitado por la
    gráfica de una función negativa, el
    eje OX y las abscisas x=a y x=b.
    Si cambiamos de signo la
    función, obtenemos una
    región simétrica a la
    anterior, y por tanto, con
    la misma área.

    Entonces:



      A    f ( x )dx
                b

                a
Cálculo de áreas mediante integrales
 Área   del   recinto
  plano limitado por
  la gráfica de una
  función que toma
  valores positivos y
  negativos.
  En este caso, el área es la suma de las
                                                         f ( x )dx
                                                            c

  áreas de las distintas regiones del plano en
                                                 A1 
                                                            a
  la que se puede descomponer (A1, A2 y A3).
                                                 A2    f ( x )dx
                                                                d
  Para ello hay que calcular los puntos de
  corte c y d de la función con el eje OX.                      c

  Entonces:
                                                        
                                                            b
                                                 A3 
                A  A1  A2  A3                        d
                                                                f ( x )dx
Área entre dos funciones
¿Cómo calcular el área comprendida
entre las gráficas de dos funciones,
quedando la región entre ambas por
encima del eje OX?
                      Hay que calcular
                      los puntos de
                      corte a y b
                      entre      ambas
                      funciones.
Área entre dos funciones




                      f ( x )dx                           g( x )dx
                      b                                    b
              A1                                  A2 
Por tanto:            a                                   a




                               A  A1  A2
                                               b

                      f ( x)dx   g( x)dx   [ f ( x)  g( x)]dx
                      b            b
              A
                     a             a
                                               a
Área entre dos funciones
¿Cómo calcular el área
comprendida entre las
gráficas      de    dos
funciones que se cruzan
varias veces veces?
Está claro que el área es la
suma de las áreas de las
regiones en las que se puede
descomponer (A1 y A2).
                                 A1   [ f ( x )  g( x )]dx
                                        c
Para ello hay que calcular los         a
puntos de corte a, b y c entre
ambas funciones.

                                 A2   [ g( x )  f ( x )]dx
                                        b

     A  A1  A2                        c
Área entre dos funciones
¿Cómo calcular el
área comprendida
entre las gráficas
de dos funciones
que    se   cruzan,
quedando la región
comprendida entre
ambas, una parte
por encima del eje
OX y otra debajo?
Área entre dos funciones
Una idea para resolver el
cálculo    del   área   es
trasladar la región hacia
arriba hasta que quede
por encima del eje OX.
Esto      se      consigue
sumándole       a   ambas
funciones una constante
k suficientemente grande
para que y=f(x)+k e
y=g(x)+k sean positivas
en el intervalo [a,b]
Área entre dos funciones
Entonces, el área será:


             [ g( x)  k ]  [ f ( x)  k ]dx
             b
       A
             a
Quitando paréntesis, obtenemos que:


               g( x)  k        f ( x)  k dx
                 b
       A
                 a
Entonces, podemos simplificar la constante k, y
por tanto:

                       g( x)    f ( x)dx
               b
            A
                     a

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Integral definida

  • 1.
  • 2. Integral Definida Sea f una función continua en [a,b] y tal que f(x)≥0. El área entre la gráfica de f, el eje OX, y las abscisas x=a y x=b se llama integral definida de la función f entre a y b, y se representa por el símbolo: b a f ( x) dx
  • 3. Aproximación al área bajo una curva Si la función y=f(x) sólo toma valores no negativos, ¿cómo calcularemos el área entre la curva, eje OX y las abscisas x=a y x=b? Una idea útil consiste en dividir el intervalo [a,b] en tramos y aproximar el área mediante rectángulos con base en el eje OX y altura el mínimo valor que toma en cada tramo:
  • 4. Aproximación al área bajo una curva
  • 5. Aproximación al área bajo una curva Si el intervalo [a,b] se divide en n trozos, obtendremos unos valores xi tales que: a=x0<x1<x2<∙∙∙∙∙<xn=b x1 x2 x3 ..................... xn-1
  • 6. Aproximación al área bajo una curva Si llamamos mi al valor mínimo que toma la función en el tramo [xi-1, xi], obtendremos que el valor del área coloreado en verde es: n m1 ( x1  x0 )  m2 ( x2  x1 )      mn ( xn  xn 1 )   mi ( xi  xi 1 )  sinf i 1 Evidentemente, el valor de este área es menor que el área buscada. Es decir, hemos encontrado una aproximación por defecto.
  • 7. Aproximación al área bajo una curva También podemos aproximarnos por exceso al área buscada sin más que tomar como altura de los rectángulos el valor máximo en cada tramo.
  • 8. Aproximación al área bajo una curva Si llamamos Mi al valor máximo que toma la función en el tramo [xi-1, xi], obtendremos que el valor del área coloreada en azul es: n M1 ( x1  x0 )  M 2 ( x2  x1 )      M n ( xn  xn1 )   M i ( xi  xi 1 )  Ssup i 1 Por tanto, se cumple: b sinf   a f ( x)dx  Ssup
  • 9. Aproximación al área bajo una curva Evidentemente, si tomamos unos rectángulos más finos, es decir, los puntos xi los tomamos cada uno más cerca del siguiente, el área obtenida se aproximará más al área buscada. Por tanto, en ese caso, dividimos el intervalo [a,b] en más tramos.
  • 10. Aproximación al área bajo una curva Se mejoran las aproximaciones dividiendo en más tramos el intervalo
  • 11. Aproximación al área bajo una curva Por tanto, parece que cuando n sea cada vez más grande, tanto sinf como Ssup se aproximan cada vez más al valor del área buscada. Por tanto, se cumple: b lim sinf   f ( x)dx  lim Ssup n   n   a
  • 12. Propiedades de la integral definida 1. Sea y=f(x) cualquier función, a entonces se cumple que:  f ( x)dx  0 a 2. Sea y=f(x) cualquier función continua en [a,b], entonces se cumple que: b a) Si f(x)>0, entonces:  f ( x)dx  0 a b b) Si f(x)<0, entonces:  f ( x)dx  0 a
  • 13. Propiedades de la integral definida 3. Si c es un punto interior del intervalo [a,b], se verifica:  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx b c b a a c y=f(x) A1 A2 a c b
  • 14. Propiedades de la integral definida 5. La integral definida de la suma o diferencia de funciones es la suma o diferencia de las integrales definidas de ambas funciones:  [ f ( x )  g( x )]dx   f ( x )dx   g( x )dx b b b a a a 6. Si k es un número real, se verifica:  kf ( x )dx  k  f ( x )dx b b a a
  • 15. Propiedades de la integral definida 7. Si f y g son dos funciones tales que: f(x) ≤ g(x) en el intervalo [a , b] Entonces se verifica:  f ( x )dx   g( x )dx b b a a y= g(x) y= f(x) a b
  • 16. Propiedades de la integral definida 8. Si y=f(x) es una función no continua en el intervalo [a,b], pero sin tener discontinuidades infinitas, entonces:  f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx b c b a a c Donde c es un punto del intervalo [a,b] donde presenta una discontinuidad evitable o de salto finito.
  • 17. La función área Dada una función y=f(x) continua en [a,b], definimos una nueva función y= F(x) como: x F( x )   a f ( t )dt a x b F(x) es el área entre la gráfica de f(x), x=a y un punto variable x.
  • 18. Teorema fundamental del Cálculo integral Sea y=f(x) una función continua en [a,b] y F(x) la función definida por: x F( x )   a f ( t )dt Entonces, se verifica que F(x) es una función derivable en [a,b], y además: F ' ( x )  f ( x)
  • 19. Regla de Barrow Si y=f(x) es una función continua en [a,b] y G(x) es una primitiva suya, entonces: b  f ( x)dx  G(b)  G(a) a Reglas prácticas para calcular integrales definidas: 1. Buscamos una primitiva G(x) 2. Calculamos G(b) y G(a) de f(x), calculando la integral indefinida: Entonces: b G( x)   f ( x)dx  f ( x)dx  G(b)  G(a) a
  • 20. Cálculo de áreas mediante integrales  Área del recinto limitado por la gráfica de una función negativa, el eje OX y las abscisas x=a y x=b. Si cambiamos de signo la función, obtenemos una región simétrica a la anterior, y por tanto, con la misma área. Entonces: A    f ( x )dx b a
  • 21. Cálculo de áreas mediante integrales  Área del recinto plano limitado por la gráfica de una función que toma valores positivos y negativos. En este caso, el área es la suma de las  f ( x )dx c áreas de las distintas regiones del plano en A1  a la que se puede descomponer (A1, A2 y A3). A2    f ( x )dx d Para ello hay que calcular los puntos de corte c y d de la función con el eje OX. c Entonces:  b A3  A  A1  A2  A3 d f ( x )dx
  • 22. Área entre dos funciones ¿Cómo calcular el área comprendida entre las gráficas de dos funciones, quedando la región entre ambas por encima del eje OX? Hay que calcular los puntos de corte a y b entre ambas funciones.
  • 23. Área entre dos funciones  f ( x )dx  g( x )dx b b A1  A2  Por tanto: a a A  A1  A2 b  f ( x)dx   g( x)dx   [ f ( x)  g( x)]dx b b A a a a
  • 24. Área entre dos funciones ¿Cómo calcular el área comprendida entre las gráficas de dos funciones que se cruzan varias veces veces? Está claro que el área es la suma de las áreas de las regiones en las que se puede descomponer (A1 y A2). A1   [ f ( x )  g( x )]dx c Para ello hay que calcular los a puntos de corte a, b y c entre ambas funciones. A2   [ g( x )  f ( x )]dx b A  A1  A2 c
  • 25. Área entre dos funciones ¿Cómo calcular el área comprendida entre las gráficas de dos funciones que se cruzan, quedando la región comprendida entre ambas, una parte por encima del eje OX y otra debajo?
  • 26. Área entre dos funciones Una idea para resolver el cálculo del área es trasladar la región hacia arriba hasta que quede por encima del eje OX. Esto se consigue sumándole a ambas funciones una constante k suficientemente grande para que y=f(x)+k e y=g(x)+k sean positivas en el intervalo [a,b]
  • 27. Área entre dos funciones Entonces, el área será:  [ g( x)  k ]  [ f ( x)  k ]dx b A a Quitando paréntesis, obtenemos que:   g( x)  k  f ( x)  k dx b A a Entonces, podemos simplificar la constante k, y por tanto:   g( x)  f ( x)dx b A a