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SUMATORIAS DoniaAlizandra Ruelas Acero donializ7@gmail.com
CONTENIDO ,[object Object]
Definición
Propiedades
 Sumatorias Notables
 Ejercicios Resueltos
  Ejercicios Propuestos
  Conclusiones
  Bibliografía,[object Object],[object Object]
El profesor se sentó en su silla a leer el periódico, confiaba en que tendría horas hasta que los niños sumaran todos los números. Sin embargo, el pequeño Gauss no tardó ni cinco minutos en ir hacia el profesor y darle el resultado: 5050.  ¿Cómo lo había hecho?
  Gauss tenía que sumar lo siguiente: 1+ 2+ 3 + 4+ 5 + 6 + 7 + 8... + 95+ 96 + 97 + 98 + 99 + 100 Se dio cuenta de que reordenar los elementos de esta suma, sumando siempre los simétricos, facilitaba enormemente las cosas, es decir: 1+100= 1012 + 99 = 101 3 + 98 = 101  4 + 97= 101  5 + 96= 101 ... 46+ 55= 101 47+ 54= 101 48 + 53= 10149 + 52= 10150+ 51= 101 50 veces 101, es decir 50x101= 5050
De donde se deduce la fórmula de la  sumatoria de los n primeros números. 𝑖=1𝑛 𝑖=1 + 2 + 3 + 4 +…+𝑛=𝑛𝑛+12   Conociendo esta fórmula podremos resolver el problema planteado a Gauss, que fue de sumar los 100 primero números. 𝑖=1100 𝑖=1 + 2 + 3 + 4 +…+100=100100+12   𝑖=1100 𝑖=1 + 2 + 3 + 4 +…+100=50(101)   𝑖=1100 𝑖=1 + 2 + 3 + 4 +…+100=5050  
[object Object],[object Object]
[object Object],[object Object]
P2. La sumatoria de una constante es igual al producto del número de sumandos por la constante. 𝑖=𝑎𝑛 𝑘=[𝑛−𝑎+1].𝑘   Ejemplo: Hallar la sumatoria de la siguiente expresión: 𝑖=5454=45−5+1.4=164  
P3. La sumatoria en el que el término general es una suma algebraica ésta se puede descomponer en sumatorias independientes. 𝑖=𝑎𝑛 (𝑘𝑖2+𝑘´𝑖)=𝑖=𝑎𝑛 𝑘𝑖2+𝑖=𝑎𝑛 𝑘´𝑖   Donde:  k y k´ son constantes. Ejemplo: 𝑖=𝑎𝑛 (2𝑖2+3𝑖)=𝑖=𝑎𝑛 2𝑖2+𝑖=𝑎𝑛 3𝑖  
P4. Una sumatoria cuyo índice inferior no es la unidad puede descomponerse de ésta manera: 𝑖=𝑎𝑛 𝑡𝑖=𝑖=1𝑛 𝑡𝑖−𝑖=1𝑎−1 𝑡𝑖   Donde:  a≠𝟏   Ejemplo: Hallar la sumatoria de la siguiente expresión: 𝑖=511𝑖=𝑖=111𝑖−𝑖=14𝑖  
[object Object],[object Object]
[object Object],𝑖=1𝑛 2𝑖=2+ 4 + 6 + 8 +…+𝟐𝒏=𝑛𝑛+1   Demostración: 𝑖=1𝑛 2𝑖=2+ 4 + 6 + 8 +…+𝟐𝒏   𝑖=1𝑛 2𝑖=2(1+ 2 + 3 + 4 +…+𝒏)   Factorización 𝑖=1𝑛 2𝑖=2  [n(n+1)2]   SN primeros N 𝑖=1𝑛 2𝑖=𝑛𝑛+1   lqqd
[object Object],𝑖=1𝑛 (2𝑖−1)=1 + 3 + 5 + 7 +…+(2𝑛−1)=𝑛2   Demostración: 𝑖=1𝑛 2𝑖−1=𝑖=1𝑛 2𝑖−𝑖=1𝑛 1    P3: 𝑖=1𝑛 2𝑖−1=[𝑛𝑛+1 − 𝑛−1+11]   SN #pares y P2: 𝑖=1𝑛 2𝑖−1=[𝑛𝑛+1 − 𝑛−1+11]   simplificación 𝑖=1𝑛 2𝑖−1=[𝑛2+𝑛−𝑛 ]   𝑖=1𝑛 2𝑖−1=𝑛2   lqqd
[object Object],𝑖=1𝑛 𝑖2=12+22+32+42+…+𝑛2=𝑛𝑛+1(2𝑛+1)6  
[object Object],𝑖=1𝑛 𝑖3=13+23+33+43+…+𝑛3=[𝑛𝑛+12]2  
[object Object],𝑖=1𝑛 𝑖4=14+24+34+44+…+𝑛4=𝑛𝑛+1(2𝑛+1)(3𝑛2+3𝑛−1)30  
[object Object],𝑖=1𝑛 𝑎𝑖=𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4+…+𝑎𝑛=𝑎𝑛+1−𝑎𝑎−1  
[object Object],[object Object]
b) 2+6+10+14+18…(10 términos) Resolución: 2+6+10+14+18…(10 términos) 𝒕𝟏=2   𝒕𝟐=6=2(3)   𝒕𝟑=10=2(5)   𝒕𝟒=14=2(7)   …   𝑖=1102(2𝑛−1)   2+6+10+14+18…(10 términos)  =
𝑥=130(3𝑥+2)   2. Hallar Resolución: 𝑥=1303𝑥+2  =𝑥=1303𝑥+𝑥=1302    :propiedad 3 𝑥=1303𝑥+2=3𝑥=130𝑥+𝑥=1302    :propiedad 2 𝑥=1303𝑥+2=3(3030+12)+[30−1+1].2   :S.N  y  :propiedad 2 𝑥=1303𝑥+2=3(465)+60   𝑥=1303𝑥+2=1455  
3. Calcular P , si P = 3 +24 + 81 + 192 +… + 8232 Resolución: 𝑃=3+24+81+192+ …+8232   :factorizando 𝑃=3(1+8+27+64+ …+2744)   𝑃=3(13+23+33+43+ …+143)   𝑃=3𝑥=114𝑥3   :S.N. cubos 𝑃=314(14+1)22   𝑃=37(15)2   𝑃=33075  
𝑥=1𝑛2𝑥=342   4. Hallar n:  Resolución: 𝑥=1𝑛2𝑥=342   :S.N. números pares 𝑛(𝑛+1)=342   𝑛2+𝑛−342=0   :Ec. De 2 grado (n-18)(n+19)=0   n-18=0   n=18  
5. Hallar S:  Si S = 4 + 7 +12 + 19 + . .. 15 términos Resolución: S = 4 + 7 +12 + 19 + . .. 15 términos 𝑆=𝑖=115(𝑛2+3)   :Propiedad 3 𝑆=𝑖=115𝑛2+𝑖=1153   :S.N. y Propiedad 2 𝑆=15(15+1)(2(15)+1)6+(15-1+1)3   𝑆=1240+45   𝑆=1285  
𝐸=0,01+0,03+0,05+ …+19,99   6. Calcular E:  Resolución: 𝐸=0,01+0,03+0,05+ …+19,99   :Decimal a fracción 𝐸=1100+3100+5100+…+1999100   :Factorizando 2n-1=1999   𝐸=1101+3+5+…+1999   2n=2000   n=1000   𝐸=11010002   E=100  
7. Se tiene:  𝑴𝑨𝑹=1+2+3+…+ 43   1 +2 +3 +…+ 𝑹𝑴    Encontrar el valor de:   Resolución: A:Encontremos el valor de 𝑅𝑀   1 +2 +3 +…+ 𝑹𝑴   B: Hallando 𝑀𝐴𝑅=1+2+3+…+ 43   1 +2 +3 +…+ 𝟔𝟗   𝑀𝐴𝑅=43(43+1)2   2n-1=69 n=35 𝑀𝐴𝑅=946   Aplicando S.N Números impares Por Tanto: M =9 A=4 R=6 1 +2 +3 +…+ 𝟔𝟗 = 352   1 +2 +3 +…+ 𝟔𝟗 = 𝟏𝟐𝟐𝟓  
8. Un ómnibus salió de su paradero inicial con 7     pasajeros, y en cada estación suben 2 pasajeros     más de lo que subieron en la  estación anterior.    Si al llegar a su paradero final se contaron  con 520    pasajeros. ¿En cuántas estaciones se detuvo el     ómnibus a recoger pasajeros? Resolución: Inicio:     1°     2°    3°         …   n°      Final    7          9      11     13               __        520 Total de pasajeros:  7 +9+11+13+…+n=520 𝑖=7𝑛2𝑛−1=520   𝑖=1𝑛2𝑛−1− 𝑖=162𝑛−1=520   𝑛2+ 62 = 520   𝑛= 22   𝑷𝒆𝒓𝒐 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒚𝒂 𝒕𝒆𝒏𝒊𝒂 𝟕 𝒑𝒂𝒔𝒂𝒋𝒆𝒓𝒐𝒔, 𝒆𝒍 𝒐𝒎𝒏𝒊𝒃𝒖𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒐 𝒆𝒏 𝟐𝟏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔  
9.   Un obrero ha ahorrado este mes S/. 178 soles y tiene con esto S/. 1410                                en la caja de ahorros, habiendo economizado cada mes S/ 12                                        más que el mes anterior.¿ Cuánto ahorro el primer mes? Resolución:     1°            2°             3°              …         n°   Mes          Mes          Mes                      1° Mes actual       pasado     antepasado             de ahorro    178   +    166    +     154    + … +(190-12n)            = 1410 𝑖=1𝑛190−12𝑖=1410   190𝑛−6𝑛2−6𝑛 = 520   6𝑛2−184 – 520 = 0   𝑖=1𝑛190− 12𝑖=1𝑛𝑖=1410   3𝑛2−92 -  260 = 0   (3n+8)(n-15) = 0   𝑛= 15   190𝑛−12 𝑛(𝑛+1)2= 520   𝑬𝒍 𝟏° 𝒎𝒆𝒔  𝒂𝒉𝒐𝒓𝒓𝒐:𝟏𝟗𝟎−𝟏𝟐𝟏𝟓=𝟏𝟎  
10. Se contrata a un obrero para cavar en busca de fósiles      prometiéndole pagar una suma por el primer fósil que encuentre y que luego se le irá duplicando dicha suma para Cada nuevo fósil encontrado. Si encuentra 12 fósiles y recibe S/. 12285 ¿Cuánto le pagaron por el octavo fósil encontrado? Resolución:     1°          2°            3°           4°               5°            6°           7°             8°      ….    12°   Fósil       FósilFósilFósilFósilFósilFósilFósilFósil x   +    2x     +     4x      +    8x     +  16x     +  32 x    + 64 x   + 128x +…+  = 12285 x( 20+ 21+ 22+ 23 + 24 + 25 + 26 + 27+ 28 + 29 + 210 +211) = 12285   𝑥+ 𝑥𝑖=1112𝑖=12285   x+𝑥[212−22−1]= 12285   4095𝑥=12285   𝑥=3   Por 𝐞𝐥 𝟖° 𝒇ó𝒔𝒊𝒍 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒕𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒍𝒆 𝒑𝒂𝒈𝒂𝒓𝒐𝒏:𝟏𝟐𝟖𝟑=𝟑𝟖𝟒  
[object Object],[object Object]
𝑥=130(7𝑥+2𝑥+6)   2. Hallar Resolución:
3. Calcular P , si P = 7 +10 + 14 + 19 +… + 78 Resolución:
𝑥=1𝑛3𝑥=741   4. Hallar n:  Resolución:
5. Hallar S:  Si S = 4 + 7 +12 + 19 + . .. 30 términos Resolución:
𝐺=0,02+0,04+0,06+ …+22,22   6. Calcular G:  Resolución:
7. Se tiene:  𝑬𝑻𝑪=1+3+5+…+ 43   1 +3 +5 +…+ 𝑻𝑬    Encontrar el valor de:   Resolución:
[object Object],[object Object]
Las propiedades de las sumatorias facilitan en la resolución de problemas.
Las sumatorias notables, son sumatorias ya calculadas que nos permiten resolver problemas.,[object Object],[object Object]
Razonamiento Matemático.(2009). Razonamiento Matemático. Editorial Lumbrras. Lima – Perú
Recursos tic para la educación. (2010). Recursos. Recuperado 1 de Setiembre, 2011. de  http://recursostic.educacion.es/,[object Object]

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Sumatorias i

  • 1. SUMATORIAS DoniaAlizandra Ruelas Acero donializ7@gmail.com
  • 2.
  • 7. Ejercicios Propuestos
  • 9.
  • 10. El profesor se sentó en su silla a leer el periódico, confiaba en que tendría horas hasta que los niños sumaran todos los números. Sin embargo, el pequeño Gauss no tardó ni cinco minutos en ir hacia el profesor y darle el resultado: 5050. ¿Cómo lo había hecho?
  • 11. Gauss tenía que sumar lo siguiente: 1+ 2+ 3 + 4+ 5 + 6 + 7 + 8... + 95+ 96 + 97 + 98 + 99 + 100 Se dio cuenta de que reordenar los elementos de esta suma, sumando siempre los simétricos, facilitaba enormemente las cosas, es decir: 1+100= 1012 + 99 = 101 3 + 98 = 101 4 + 97= 101 5 + 96= 101 ... 46+ 55= 101 47+ 54= 101 48 + 53= 10149 + 52= 10150+ 51= 101 50 veces 101, es decir 50x101= 5050
  • 12. De donde se deduce la fórmula de la sumatoria de los n primeros números. 𝑖=1𝑛 𝑖=1 + 2 + 3 + 4 +…+𝑛=𝑛𝑛+12   Conociendo esta fórmula podremos resolver el problema planteado a Gauss, que fue de sumar los 100 primero números. 𝑖=1100 𝑖=1 + 2 + 3 + 4 +…+100=100100+12   𝑖=1100 𝑖=1 + 2 + 3 + 4 +…+100=50(101)   𝑖=1100 𝑖=1 + 2 + 3 + 4 +…+100=5050  
  • 13.
  • 14.
  • 15. P2. La sumatoria de una constante es igual al producto del número de sumandos por la constante. 𝑖=𝑎𝑛 𝑘=[𝑛−𝑎+1].𝑘   Ejemplo: Hallar la sumatoria de la siguiente expresión: 𝑖=5454=45−5+1.4=164  
  • 16. P3. La sumatoria en el que el término general es una suma algebraica ésta se puede descomponer en sumatorias independientes. 𝑖=𝑎𝑛 (𝑘𝑖2+𝑘´𝑖)=𝑖=𝑎𝑛 𝑘𝑖2+𝑖=𝑎𝑛 𝑘´𝑖   Donde: k y k´ son constantes. Ejemplo: 𝑖=𝑎𝑛 (2𝑖2+3𝑖)=𝑖=𝑎𝑛 2𝑖2+𝑖=𝑎𝑛 3𝑖  
  • 17. P4. Una sumatoria cuyo índice inferior no es la unidad puede descomponerse de ésta manera: 𝑖=𝑎𝑛 𝑡𝑖=𝑖=1𝑛 𝑡𝑖−𝑖=1𝑎−1 𝑡𝑖   Donde: a≠𝟏   Ejemplo: Hallar la sumatoria de la siguiente expresión: 𝑖=511𝑖=𝑖=111𝑖−𝑖=14𝑖  
  • 18.
  • 19.
  • 20.
  • 21.
  • 22.
  • 23.
  • 24.
  • 25.
  • 26. b) 2+6+10+14+18…(10 términos) Resolución: 2+6+10+14+18…(10 términos) 𝒕𝟏=2   𝒕𝟐=6=2(3)   𝒕𝟑=10=2(5)   𝒕𝟒=14=2(7)   …   𝑖=1102(2𝑛−1)   2+6+10+14+18…(10 términos) =
  • 27. 𝑥=130(3𝑥+2)   2. Hallar Resolución: 𝑥=1303𝑥+2  =𝑥=1303𝑥+𝑥=1302    :propiedad 3 𝑥=1303𝑥+2=3𝑥=130𝑥+𝑥=1302    :propiedad 2 𝑥=1303𝑥+2=3(3030+12)+[30−1+1].2   :S.N y :propiedad 2 𝑥=1303𝑥+2=3(465)+60   𝑥=1303𝑥+2=1455  
  • 28. 3. Calcular P , si P = 3 +24 + 81 + 192 +… + 8232 Resolución: 𝑃=3+24+81+192+ …+8232   :factorizando 𝑃=3(1+8+27+64+ …+2744)   𝑃=3(13+23+33+43+ …+143)   𝑃=3𝑥=114𝑥3   :S.N. cubos 𝑃=314(14+1)22   𝑃=37(15)2   𝑃=33075  
  • 29. 𝑥=1𝑛2𝑥=342   4. Hallar n: Resolución: 𝑥=1𝑛2𝑥=342   :S.N. números pares 𝑛(𝑛+1)=342   𝑛2+𝑛−342=0   :Ec. De 2 grado (n-18)(n+19)=0   n-18=0   n=18  
  • 30. 5. Hallar S: Si S = 4 + 7 +12 + 19 + . .. 15 términos Resolución: S = 4 + 7 +12 + 19 + . .. 15 términos 𝑆=𝑖=115(𝑛2+3)   :Propiedad 3 𝑆=𝑖=115𝑛2+𝑖=1153   :S.N. y Propiedad 2 𝑆=15(15+1)(2(15)+1)6+(15-1+1)3   𝑆=1240+45   𝑆=1285  
  • 31. 𝐸=0,01+0,03+0,05+ …+19,99   6. Calcular E: Resolución: 𝐸=0,01+0,03+0,05+ …+19,99   :Decimal a fracción 𝐸=1100+3100+5100+…+1999100   :Factorizando 2n-1=1999   𝐸=1101+3+5+…+1999   2n=2000   n=1000   𝐸=11010002   E=100  
  • 32. 7. Se tiene: 𝑴𝑨𝑹=1+2+3+…+ 43   1 +2 +3 +…+ 𝑹𝑴   Encontrar el valor de: Resolución: A:Encontremos el valor de 𝑅𝑀   1 +2 +3 +…+ 𝑹𝑴   B: Hallando 𝑀𝐴𝑅=1+2+3+…+ 43   1 +2 +3 +…+ 𝟔𝟗   𝑀𝐴𝑅=43(43+1)2   2n-1=69 n=35 𝑀𝐴𝑅=946   Aplicando S.N Números impares Por Tanto: M =9 A=4 R=6 1 +2 +3 +…+ 𝟔𝟗 = 352   1 +2 +3 +…+ 𝟔𝟗 = 𝟏𝟐𝟐𝟓  
  • 33. 8. Un ómnibus salió de su paradero inicial con 7 pasajeros, y en cada estación suben 2 pasajeros más de lo que subieron en la estación anterior. Si al llegar a su paradero final se contaron con 520 pasajeros. ¿En cuántas estaciones se detuvo el ómnibus a recoger pasajeros? Resolución: Inicio: 1° 2° 3° … n° Final 7 9 11 13 __ 520 Total de pasajeros: 7 +9+11+13+…+n=520 𝑖=7𝑛2𝑛−1=520   𝑖=1𝑛2𝑛−1− 𝑖=162𝑛−1=520   𝑛2+ 62 = 520   𝑛= 22   𝑷𝒆𝒓𝒐 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒚𝒂 𝒕𝒆𝒏𝒊𝒂 𝟕 𝒑𝒂𝒔𝒂𝒋𝒆𝒓𝒐𝒔, 𝒆𝒍 𝒐𝒎𝒏𝒊𝒃𝒖𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒐 𝒆𝒏 𝟐𝟏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔  
  • 34. 9. Un obrero ha ahorrado este mes S/. 178 soles y tiene con esto S/. 1410 en la caja de ahorros, habiendo economizado cada mes S/ 12 más que el mes anterior.¿ Cuánto ahorro el primer mes? Resolución: 1° 2° 3° … n° Mes Mes Mes 1° Mes actual pasado antepasado de ahorro 178 + 166 + 154 + … +(190-12n) = 1410 𝑖=1𝑛190−12𝑖=1410   190𝑛−6𝑛2−6𝑛 = 520   6𝑛2−184 – 520 = 0   𝑖=1𝑛190− 12𝑖=1𝑛𝑖=1410   3𝑛2−92 - 260 = 0   (3n+8)(n-15) = 0   𝑛= 15   190𝑛−12 𝑛(𝑛+1)2= 520   𝑬𝒍 𝟏° 𝒎𝒆𝒔  𝒂𝒉𝒐𝒓𝒓𝒐:𝟏𝟗𝟎−𝟏𝟐𝟏𝟓=𝟏𝟎  
  • 35. 10. Se contrata a un obrero para cavar en busca de fósiles prometiéndole pagar una suma por el primer fósil que encuentre y que luego se le irá duplicando dicha suma para Cada nuevo fósil encontrado. Si encuentra 12 fósiles y recibe S/. 12285 ¿Cuánto le pagaron por el octavo fósil encontrado? Resolución: 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° …. 12° Fósil FósilFósilFósilFósilFósilFósilFósilFósil x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32 x + 64 x + 128x +…+ = 12285 x( 20+ 21+ 22+ 23 + 24 + 25 + 26 + 27+ 28 + 29 + 210 +211) = 12285   𝑥+ 𝑥𝑖=1112𝑖=12285   x+𝑥[212−22−1]= 12285   4095𝑥=12285   𝑥=3   Por 𝐞𝐥 𝟖° 𝒇ó𝒔𝒊𝒍 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒕𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒍𝒆 𝒑𝒂𝒈𝒂𝒓𝒐𝒏:𝟏𝟐𝟖𝟑=𝟑𝟖𝟒  
  • 36.
  • 37. 𝑥=130(7𝑥+2𝑥+6)   2. Hallar Resolución:
  • 38. 3. Calcular P , si P = 7 +10 + 14 + 19 +… + 78 Resolución:
  • 39. 𝑥=1𝑛3𝑥=741   4. Hallar n: Resolución:
  • 40. 5. Hallar S: Si S = 4 + 7 +12 + 19 + . .. 30 términos Resolución:
  • 41. 𝐺=0,02+0,04+0,06+ …+22,22   6. Calcular G: Resolución:
  • 42. 7. Se tiene: 𝑬𝑻𝑪=1+3+5+…+ 43   1 +3 +5 +…+ 𝑻𝑬   Encontrar el valor de: Resolución:
  • 43.
  • 44. Las propiedades de las sumatorias facilitan en la resolución de problemas.
  • 45.
  • 46. Razonamiento Matemático.(2009). Razonamiento Matemático. Editorial Lumbrras. Lima – Perú
  • 47.