JOI春季ステップアップセミナー 2021 講義スライド

1. アルゴリズムを学ぶとどんな世界が広がるか～グラフを中心として～ NTT データ数理システム大槻兼資 (ペンネーム：けんちょん) 2021/3/27 @JOI春季ステップアップセミナー 1

2. • 積極的に声やチャットで喋ってもらえたら嬉しいです最初に 2 • 「ちゃんと理解しなきゃ」と堅くならずに、気楽に • アルゴリズム、競プロを楽しもう！

3. • 2014年：東京大学大学院情報理工学系研究科数理情報学専攻修士課程修了自己紹介 (本業編) • 2015年～：NTT データ数理システム • 専門は数理工学全般 • アルゴリズム • 探索, ネットワーク, etc… • 数理最適化 • シフトスケジューリングなど • 機械学習 • チャットボットなど http://www.dis.uniroma1.it/challenge9/download.shtml 3

4. 4 自己紹介 (趣味編) (3月27日) (7 の形) (1234567890 で「コ」) • 虫食算作り • コミケなどにも出店 • 競技プログラミング

5. 自己紹介 (趣味編) (全部虫食い) (たのしい) (将棋: 美濃囲い) • 虫食算作り • コミケなどにも出店 • 競技プログラミング

6. 6 アルゴリズムとは • ある問題を解くための方法、手順のこと • それを実装したものがプログラム「うまくやるための手順書」というイメージ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E7%8B%AC

7. 7 アルゴリズムの身近な例 • 料理のレシピ • ゲームの攻略法 • 英単語の辞書での調べ方 • 3 の倍数の判定方法 / 99

8. 8 アルゴリズム本に込めた想い • アルゴリズムは、実際の問題解決に活かしてナンボ • 「～法」の知識の紹介だけでは終わらない • 「具体的な問題の解き方」を詳しく解説

9. 9 アルゴリズム本に込めた想い設計技法・本の最初に設計技法を特集・本の全体で設計技法を使用第 1 章アルゴリズムとは第 2 章計算量とオーダー記法第 3 章全探索第 4 章再帰と分割統治法第 5 章動的計画法第 6 章二分探索法第 7 章貪欲法第 8 章配列、連結リストハッシュテーブル第 9 章スタックとキュー第 10 章グラフと木第 11 章 Union-Find 第 12 章ソート第 13 章グラフ探索第 14 章最短路問題第 15 章最小全域木問題第 16 章ネットワークフロー第 17 章 P と NP 第 18 章難問対策データ構造グラフ

10. 10 アルゴリズム本に込めた想い設計技法赤字の章が今回の話に関係第 1 章アルゴリズムとは第 2 章計算量とオーダー記法第 3 章全探索第 4 章再帰と分割統治法第 5 章動的計画法第 6 章二分探索法第 7 章貪欲法第 8 章配列、連結リストハッシュテーブル第 9 章スタックとキュー第 10 章グラフと木第 11 章 Union-Find 第 12 章ソート第 13 章グラフ探索第 14 章最短路問題第 15 章最小全域木問題第 16 章ネットワークフロー第 17 章 P と NP 第 18 章難問対策データ構造グラフ

11. 11 本格的な例：幅優先探索 • 迷路の最短路を求めよう！ • スタート (S) からゴール (G) への最短経路は？

12. 12 幅優先探索 • まず S から 1 手で行けるマスに「1」と書く

13. 13 幅優先探索 • 次に「1」から 1 手で行けるマスに「2」と書く

14. 14 幅優先探索 • 「2」から 1 手で行けるマスに「3」と書く

27. 27 幅優先探索 • 「15」から 1 手で行けるマスに「16」と書く • これでゴール！！！

28. 28 幅優先探索 • ゴールから、「数値が 1 ずつ下がっていくように」遡っていくと、最短経路が得られる

29. 29 幅優先探索の実応用 • カーナビ • 電車の乗り換え案内 • パズル (15-パズルなど) の最小手数

30. 30 今日の話 • アルゴリズムとは (ここまで終わった) • アルゴリズムを学んで広がる世界 (グラフも) • グラフ探索：深さ優先探索と幅優先探索 • 数学のすすめ

31. 31 今日の話 • アルゴリズムを学んで広がる世界 (グラフも)

32. 32 アルゴリズムを学ぶ動機は様々 • 競技プログラミングで勝ちたい！ • コンピュータサイエンスの重要な一分野として学んでおきたい • ソフトウェアエンジニアとしてステップアップしたい • 就職で有利にしたい！どんな人にもオススメ！！

33. 33 アルゴリズムで身に付く力 • 問題を理解する力 (理解力) • ロジカルに考える力 (思考力) • コーディング力 (技術力) • アルゴリズムを説明する力 (説明力) • 何かを楽しんで主体的に学んだ経験そのもの一生モノのスキル

34. 34 アルゴリズムと IT 技術 • AI や量子コンピュータなどの、分野の流行に依らない一生モノのスキル • むしろ AI を学ぶための強力な下地となる • さまざまな分野で、問題解決に寄与する • サービス, インフラ, 物流, 製造, 公共, ヘルスケア, etc… • 世の中に溢れるライブラリなどの速度性能向上の勘所をつかんだり、より上手に応用したりできるようになる

35. 35 アルゴリズムによる問題解決数理モデル化 AtCoder みたいな問題解解釈・意思決定アルゴリズム

36. 36 数理モデル化の例：グラフ • 物事の関係性を「丸」と「線」を用いて表したもの • コンピュータサイエンスのあらゆる領域で使われる頂点辺

37. 37 • 辺に「向き」があることもある (有向グラフ) 数理モデル化の例：グラフ

38. • あれもこれも実はグラフ！ • さまざまな分野の問題をグラフに関する問題として見通よく汎用的に扱える！ 38 数理モデル化の精神数理モデル化の例：グラフ

39. 例(1)：友人関係 • 頂点：人間 39 • 辺：友人関係タスク例 A さんの友達の友達が何人いるか求める (グラフのデータ構造, 10 章)

40. 例(2)：鉄道路線図 • 頂点：駅 40 • 辺：線路タスク例 A 駅から B 駅への最短経路を求める (Dijkstra 法, 14 章)

41. 例(3)：数独ソルバー • 頂点：局面 41 • 辺：局面遷移タスク例数独の解を求める (深さ優先探索, 13 章) 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 2 3 2 2 1 1 3 2 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 2 3 1 2 3 2 3 2 2 1 1 2 3 2 2 1 1 3 2 3 2 2 1 1 3 2 3 2 2 1 1 3 1 2 3

42. 例(4)：8パズルの最小手数 • 頂点：局面 42 • 辺：局面遷移タスク例 8パズルの最小手数を求める (幅優先探索, 13 章) 2 7 3 4 1 5 8 6 2 7 3 4 1 5 8 6 2 7 3 4 1 5 8 6 2 7 3 4 1 5 8 6 2 7 3 4 1 5 8 6 2 7 3 4 1 5 8 6 2 7 3 4 1 5 8 6 2 7 3 4 1 5 8 6 2 7 3 4 1 5 8 6 2 7 3 4 1 5 8 6 2 7 3 4 1 5 8 6 2 7 3 4 1 5 8 6 2 7 3 4 1 5 8 6 1 8 3 2 4 5 7 6 1 8 3 7 4 5 2 6 3 8 5 4 1 2 7 6 3 7 5 4 1 6 2 8 目標配置初期配置

43. 例(5)：タスクの依存関係 • 頂点：タスク 43 • 辺：依存関係タスク例タスクの適切な順序を決定する (トポロジカルソート, 13 章) 皿洗い食事帰宅歯磨き風呂就寝

44. 例(6)：電気回路 • 頂点：素子 44 • 辺：導線タスク例有向グラフ (電流の向き考慮) の有向閉路を検出 (深さ優先探索, 13 章)

45. 例(7)：家系図 • 頂点：家族 45 • 辺：血縁関係タスク例 A さんと B さんの最近の共通祖先を求める (LCA)

46. 例(8)：化学式 • 頂点：原子 46 • 辺：原子の結合タスク例 CnH2n+2 の異性体の個数を数え上げる (形式的冪級数) O OH

47. 例(9)：しりとり • 頂点：文字 47 • 辺：単語タスク例すべての単語を用いたしりとりを見つける (Euler 路) d DNA の部分系列の集まりから全体を復元する問題などに応用あり g dog m gram good dim a and arm t tea team

48. 例(10)：マッチング • 頂点：「男」と「女」 48 • 辺：恋愛対象タスク例最大で何組のペアを作れるかを求める (二部マッチング, 16 章) 極めて多彩な応用あり

49. • あれもこれも実はグラフ！ • さまざまな分野の問題をグラフに関する問題として見通よく汎用的に扱える！ 49 数理モデル化の精神グラフのすごさ (再掲)

50. 50 今日の話 • グラフ探索：深さ優先探索と幅優先探索

51. 51 グラフ探索の考え方 0 1 4 2 3 5 7 6 • グラフの各頂点を順に探索して行きたい 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 2 3 2 2 1 1 3 2 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 2 3 1 2 3 2 3 2 2 1 1 2 3 2 2 1 1 3 2 3 2 2 1 1 3 2 3 2 2 1 1 3 1 2 3 探索しないと頂点集合が判明しない 8

52. 52 グラフ探索の考え方 0 1 4 2 3 5 7 6 • まずは頂点 0 を訪問 8

53. 53 グラフ探索の考え方 0 1 4 2 3 5 7 6 • todo リスト更新 todo リスト頂点 1 頂点 4 頂点 2 頂点 0 から直接行ける頂点を「あとで読む」という意味を込めて todo リストに赤：訪問済み橙：todo 8

54. 54 グラフ探索の考え方 0 1 4 2 3 5 7 6 • todo リストから頂点 1 を取り出す赤：訪問済み橙：todo 8 todo リスト頂点 4 頂点 2

55. 55 グラフ探索の考え方 0 1 4 2 3 8 5 7 6 • todo リスト更新 todo リスト頂点 4 頂点 2 赤：訪問済み橙：todo 頂点 3 頂点 8 頂点 1 から直接行ける頂点 3, 8 を todo リストに追加

56. 56 グラフ探索の考え方 0 1 4 2 3 8 5 7 6 • 次の探索は？？赤：訪問済み橙：todo どちらを優先して取り出す？・最初に追加された頂点 4, 2 ・最後に追加された頂点 3, 8 todo リスト頂点 4 頂点 2 頂点 3 頂点 8

57. 57 グラフ探索の考え方 0 1 4 2 3 8 5 7 6 赤：訪問済み橙：todo どちらを優先して取り出す？・最初に追加された頂点 4, 2 ・最後に追加された頂点 3, 8 todo リスト頂点 4 頂点 2 頂点 3 頂点 8 深さ優先探索幅優先探索

58. 58 グラフ探索の考え方 0 1 4 2 3 8 5 7 6 赤：訪問済み橙：todo todo リスト頂点 4 頂点 2 頂点 3 頂点 8 深さ優先探索幅優先探索：猪突猛進に突き進む：近いところから全体を舐めながら

59. 59 幅優先探索赤：訪問済み橙：todo • todo リストはキュー 0 1 4 2 3 5 7 6 8 • todo リストに頂点 0 をセットしておく todo 0 0

60. 60 幅優先探索赤：訪問済み橙：todo 0 1 4 2 3 5 7 6 8 • 頂点 0 を取り出す • 頂点 1, 4, 2 を新たにキューに追加する todo 1 4 2 0 1 1 1

61. 61 幅優先探索赤：訪問済み橙：todo 0 1 4 2 3 5 7 6 8 • 頂点 1 を取り出す • 頂点 3, 8 を新たにキューに追加する todo 4 2 3 8 0 1 1 1 2 2

62. 62 幅優先探索赤：訪問済み橙：todo 0 1 4 2 3 5 7 6 8 • 頂点 4 を取り出す • 新たな追加頂点はなし todo 2 3 8 0 1 1 1 2 2

63. 63 幅優先探索赤：訪問済み橙：todo 0 1 4 2 3 5 7 6 8 • 頂点 2 を取り出す todo 3 8 0 1 1 1 2 2 • 頂点 5 を新たにキューに追加する 2 5

64. 64 幅優先探索赤：訪問済み橙：todo 0 1 4 2 3 5 7 6 8 • 頂点 3 を取り出す todo 8 0 1 1 1 2 2 • 頂点 7 を新たにキューに追加する 2 5 7 3

65. 65 幅優先探索赤：訪問済み橙：todo 0 1 4 2 3 5 7 6 8 • 頂点 8 を取り出す todo 0 1 1 1 2 2 2 5 7 • 新たな追加頂点はなし 3

66. 66 幅優先探索赤：訪問済み橙：todo 0 1 4 2 3 5 7 6 8 • 頂点 5 を取り出す todo 0 1 1 1 2 2 2 7 • 頂点 6 を新たにキューに追加する 6 3 3

67. 67 幅優先探索赤：訪問済み橙：todo 0 1 4 2 3 5 7 6 8 • 頂点 7 を取り出す todo 0 1 1 1 2 2 2 6 3 3 • 新たな追加頂点はなし

68. 68 幅優先探索赤：訪問済み橙：todo 0 1 4 2 3 5 7 6 8 • 頂点 6 を取り出す todo 0 1 1 1 2 2 2 3 3 • 新たな追加頂点はなし todo がキューになったので終了

69. 69 幅優先探索赤：訪問済み橙：todo 0 1 4 2 3 5 7 6 8 • 始点に近いところから舐めるように探索 0 1 1 1 2 2 2 3 3 距離 1 • 距離 1 を探索 • 距離 2 を探索距離 2 距離 3 • 距離 3 を探索

70. 70 幅優先探索赤：訪問済み橙：todo 0 1 4 2 3 5 7 6 8 todo 0 1 1 1 2 2 2 3 3 vector<int> dist(N, -1); queue<int> todo; // 初期条件 dist[0] = 0; todo.push(0); // BFS while (!todo.empty()) { int v = todo.front(); todo.pop(); for (int x : G[v]) { if (dist[x] != -1) continue; dist[x] = dist[v] + 1; todo.push(x); } }

71. 71 幅優先探索赤：訪問済み橙：todo 0 1 4 2 3 5 7 6 8 todo 0 1 1 1 2 2 2 3 3 vector<int> dist(N, -1); queue<int> todo; // 初期条件 dist[0] = 0; todo.push(0); // BFS while (!todo.empty()) { int v = todo.front(); todo.pop(); for (int x : G[v]) { if (dist[x] != -1) continue; dist[x] = dist[v] + 1; todo.push(x); } } dist 値

72. 72 幅優先探索赤：訪問済み橙：todo 0 1 4 2 3 5 7 6 8 todo 0 1 1 1 2 2 2 3 3 vector<int> dist(N, -1); queue<int> todo; // 初期条件 dist[0] = 0; todo.push(0); // BFS while (!todo.empty()) { int v = todo.front(); todo.pop(); for (int x : G[v]) { if (dist[x] != -1) continue; dist[x] = dist[v] + 1; todo.push(x); } } todo リストから頂点 v を取り出す処理 dist 値

73. 73 幅優先探索赤：訪問済み橙：todo 0 1 4 2 3 5 7 6 8 todo 0 1 1 1 2 2 2 3 3 vector<int> dist(N, -1); queue<int> todo; // 初期条件 dist[0] = 0; todo.push(0); // BFS while (!todo.empty()) { int v = todo.front(); todo.pop(); for (int x : G[v]) { if (dist[x] != -1) continue; dist[x] = dist[v] + 1; todo.push(x); } } 頂点 v と隣接している頂点を todo リストに入れる処理 dist 値

74. 74 幅優先探索赤：訪問済み橙：todo 0 1 4 2 3 5 7 6 8 todo 0 1 1 1 2 2 2 3 3 vector<int> dist(N, -1); queue<int> todo; // 初期条件 dist[0] = 0; todo.push(0); // BFS while (!todo.empty()) { int v = todo.front(); todo.pop(); for (int x : G[v]) { if (dist[x] != -1) continue; dist[x] = dist[v] + 1; todo.push(x); } } 頂点 v と隣接している頂点を todo リストに入れる処理 dist 値探索済みの頂点はスキップする

75. 75 幅優先探索の実応用 (再掲) • カーナビ • 電車の乗り換え案内 • パズル (15-パズルなど) の最小手数

76. 76 深さ優先探索 • 数独ソルバーを作ることを考える https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E7%8B%AC

77. 77 深さ優先探索 • 数独を解く過程もグラフで表せる！ 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 2 3 2 2 1 1 3 2 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 2 3 1 2 3 2 3 2 2 1 1 2 3 2 2 1 1 3 2 3 2 2 1 1 3 2 3 2 2 1 1 3 1 2 3 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E7%8B%AC

78. 78 深さ優先探索の動き • 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る 2 3 2 2 1 1

79. 79 深さ優先探索の動き 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 • 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る

80. 80 深さ優先探索の動き 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 3 2 2 1 1 • 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る

81. 81 深さ優先探索の動き 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 3 2 2 1 1 • 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る

82. 82 深さ優先探索の動き • 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 2 3 2 2 1 1

83. 83 深さ優先探索の動き • 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 2 3 2 2 1 1

84. 84 深さ優先探索の動き • 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 1 1

85. 85 深さ優先探索の動き • 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 1 1 1 2 1 2 3 2 2 1 1

86. 86 深さ優先探索の動き • 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 1 1 1 2 1 2 3 2 2 1 1

87. 87 深さ優先探索の動き • 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 3 2 2 1 1

88. 88 深さ優先探索の動き • 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 3 2 2 1 1

89. 89 深さ優先探索の動き • 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 2 3 1 2 3 2 3 2 2 1 1

90. 90 深さ優先探索の動き • 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 2 3 1 2 3 2 3 2 2 1 1

91. 91 深さ優先探索の動き • 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 2 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 2 3 1 2 3 2 3 2 2 1 1

92. 92 深さ優先探索の動き • 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 2 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 2 3 1 2 3 2 3 2 2 1 1

93. 93 深さ優先探索の動き • 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 2 3 2 2 1 1 3 2 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 2 3 1 2 3 2 3 2 2 1 1

94. 94 深さ優先探索の動き • 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 2 3 2 2 1 1 3 2 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 2 3 1 2 3 2 3 2 2 1 1 2 3 2 2 1 1 3 1

95. 95 深さ優先探索の動き • 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 2 3 2 2 1 1 3 2 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 2 3 1 2 3 2 3 2 2 1 1 2 3 2 2 1 1 3 1

96. 96 深さ優先探索の動き • 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 2 3 2 2 1 1 3 2 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 2 3 1 2 3 2 3 2 2 1 1 2 3 2 2 1 1 3 2 3 2 2 1 1 3 1 2

97. 97 深さ優先探索の動き • 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 2 3 2 2 1 1 3 2 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 2 3 1 2 3 2 3 2 2 1 1 2 3 2 2 1 1 3 2 3 2 2 1 1 3 1 2

98. 98 深さ優先探索の動き • 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 2 3 2 2 1 1 3 2 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 2 3 1 2 3 2 3 2 2 1 1 2 3 2 2 1 1 3 2 3 2 2 1 1 3 2 3 2 2 1 1 3 1 2 3

99. 99 深さ優先探索の動き • 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 2 3 2 2 1 1 3 2 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 2 3 1 2 3 2 3 2 2 1 1 2 3 2 2 1 1 3 2 3 2 2 1 1 3 2 3 2 2 1 1 3 1 2 3

100. 100 深さ優先探索の動き • 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 2 3 2 2 1 1 3 2 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 1 1 2 2 3 1 2 3 2 3 2 2 1 1 2 3 2 2 1 1 3 2 3 2 2 1 1 3 2 3 2 2 1 1 3 1 2 3 終了！

101. 101 深さ優先探索と再帰関数 • 深さ優先探索の実装は、再帰関数が便利 2 3 2 2 1 1 3 2 3 2 2 1 1 2 3 2 2 1 1 3 2 3 2 2 1 1 3 2 3 2 2 1 1 3 1 2 3 終了！ void dfs(State &cur) { if (cur が終了状態) { // 解を格納するなど return; } // 次の状態を順に試す for (cur に対する操作全体) { cur を変形する dfs(cur); // 再帰呼び出し cur を戻す } }

102. 102 深さ優先探索の実応用 • 数独ソルバー • https://github.com/drken1215/sudoku • 虫食算ソルバーも同様に作れる • コンピュータ将棋 AI の探索ルーチン • makeﬁle などのビルドシステム • 動的計画法にもつながる • ネットワークの輸送経路の確保 http://www.dis.uniroma1.it/challenge9/download.shtml

103. 深さ優先探索のポイント • 「目の付け所」がとても大事！ • 探索順序を工夫したり…探索不要なところを見出したり • 数独なら、選択肢が少なそうなマスから順に考えるなど加藤徹作、大駒誠一, 武純也, 丸尾学著『虫食算パズル700選』問 698

104. 深さ優先探索と幅優先探索の比較深さ優先探索のメリット • 枝刈りなどによって探索効率を上げられる余地が大きい • 帰りがけ順 (再帰関数を抜ける直前) にさまざまな処理をしたい場合など (DP が代表的) 幅優先探索のメリット • 最小手数を求めたい場合など • 探索範囲自体は広いものの、求めたい解が始点のすぐ近くにあることがわかっている場合など

105. 105 今日の話 • 数学のすすめ

106. 106 アルゴリズムによる問題解決数理モデル化 AtCoder みたいな問題解解釈・意思決定アルゴリズム

107. 107 数学を学ぼう！ • さまざまな分野のさまざまな問題が、数理モデル化によって汎用的に解ける！！！ • 何をするにも強力な下地になる • 例：あれもこれも実はグラフ！

108. 108 ちょっとした例：区間分割 DP 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 • 系列データをいくつかの区間に分ける • 区間分割の仕方を最適化したい

109. 109 i 個 j 個 dp[i] ← 最初の i 個をいくつかの区間に区切る方法の「良さ」の最大値 (i 個目のところで一旦区切るとする) dp[i] = min(dp[i], dp[j] + f(j, i)) 区間分割を扱う DP (5.6 章)

110. 110 http://chasen.naist.jp/chaki/t/2009-09-30/doc/mecab-cabocha-nlp-seminar-2009.pdf 僕は君を愛している僕　は　君　を　愛し　て　いる単語ごとに区切る例(1)：分かち書き

111. 111 例(2)：発電計画問題 • 発電の on と off のタイミングを最適化する on off on off • 需要供給バランスの考慮などもあって、各区間のコスト関数 f(i, j) はとても複雑なものになる • 「～時間以上連続稼働」といった制約も考慮

112. 112 例(3)：パネルのグループ分けさまざまな長さのパネルがたくさん並んでいるそれをいい感じにグループ分けしたい

113. 113 例(4)：タイムスケジューリング • お客さまを順に回る配送 (配送順序は固定) • 「何時から何時の間に届けてほしい」 • 「～分間に 1 回は休憩が必要」という制約もある → どこで休憩をとるかを最適化休憩場所ごとに区切る

114. 114 数学は分野横断的！ • さまざまな分野の問題が、数理モデル化によって本質的に同じ問題になったりなる！ • 競プロの数学パズルは、まさにそういう問題たちグラフ DP 機械学習 ○○手法電気機械化学生物経済 ○○

115. 115 全体のまとめ • アルゴリズムは何をするにも重要な基礎、どんな人にもオススメ！ • アルゴリズムは問題解決に生かしてナンボ • さまざまな問題が、数理モデル化によって見通しよく扱える！ • あれもこれも実はグラフ • アルゴリズムは楽しい！！

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