1. Árbol de Huffman
Estructura de Datos

2. Descripción del problema
n Tenemos un archivo de entrada.
n Asumiremos que el archivo está compuesto
de bytes (enteros de 8 bits sin signo).
n El problema consiste en codificar
(comprimir) el archivo de entrada utilizando el
menor número posible de bits.
n Existe un algoritmo que resuelve el problema,
y que es conocido como el algoritmo de
Huffman.
Estrutura de Datos 2009 - II - Renzo Loui Chavez 2
Caycho - 08200088

3. Solución del problema
Se podría decir que la solución se obtiene
aplicando cuatro fases:
1. Crear un vector de frecuencias de
aparición de cada byte en el archivo de
entrada.
2. Crear el árbol óptimo de codificación de
Huffman a partir del vector de frecuencias.
3. Crear una tabla de codificación a partir del
árbol de codificación.
4. La codificación propiamente dicha.
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Caycho - 08200088

4. Vector de frecuencias
n Necesitamos conocer la frecuencia de aparición de
cada byte en el archivo de entrada.
n Por tanto, tenemos que hacer una primera lectura del
archivo de entrada.
n El objetivo es crear un vector de la forma:
El índice es el
valor del byte
-1 0 1 2 … 97 98 … 255 256
6 25 0 … 3 5 … 5
6
El contenido es Sumamos 1
la frecuencia Datos 2009 - II - Renzo Loui Chavez
Estrutura de 4
Caycho - 08200088 Si leemos un 255 …

5. Árbol óptimo de codificación (1)
n Se crea utilizando el algoritmo de Huffman.
n Este algoritmo se puede clasificar como
algoritmo voraz.
n Las entradas del algoritmo son los bytes
presentes en el archivo de entrada.
n Trabaja con un conjunto de árboles. Es
decir, lo que se podría llamar un bosque.
n Nodo de un árbol de Huffman: índice
• Al enlace izquierdo se le asigna un valor 0 peso
• Al enlace derecho se le asigna un valor 1
0 1
Es lo que se llama un trie binario II(leido “trai”)
Estrutura de Datos 2009 - - Renzo Loui Chavez
Caycho - 08200088
5

6. Árbol óptimo de codificación (2)
n Los nodos hoja del árbol de Huffman serán los
bytes leídos en el archivo de entrada. En ese caso:
n índice = valor del byte (entre 0 y 255)
n peso = frecuencia del byte
n A partir del vector de frecuencias construimos un
bosque de árboles que sólo tienen un nodo. Cada
nodo representará a un byte, con su índice (valor) y
su peso (frecuencia).
n Un byte sólo está presente en este bosque inicial si
aparece en el archivo de entrada con una frecuencia
distinta de cero.
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7. Árbol óptimo de codificación (3)
n Nuestro “bosque” inicial podría consistir, por
ejemplo, en una lista de nodos.
índice = 97 índice = 32 índice = 9 índice = 72
peso = 10 peso = 8 peso = 10 peso = 3
n Ahora debemos extraer los dos nodos con
menor peso.
n Esto nos hace pensar que una lista no es la
mejor opción posible, pero comentaremos
esto más adelante.
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8. Árbol óptimo de codificación (4)
n A partir de los dos nodos con menor peso extraídos se
construye un nuevo nodo. Su peso será la suma de los pesos
de sus hijos.
n El índice es indiferente por ahora. Sólo es importante para la
construcción de la tabla de codificación. A partir de ahora
tomará los valores 256, 257, 258, etc.
índice = 97 índice = 9 índice = 256
peso = 10 peso = 10 peso = 11
índice = 72 índice = 32
El nodo así creado se debe peso = 3 peso = 8
introducir en el bosque para
realizar una nueva selección.
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9. Árbol óptimo de codificación (5)
n El proceso es iterativo:
índice = 256 índice = 257
peso = 11 peso = 20
índice = 72 índice = 32 índice = 97 índice = 9
peso = 3 peso = 8 peso = 10 peso = 10
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10. Árbol óptimo de codificación (6)
n Hasta que nos quedamos con un único nodo:
índice = 258
(Vacío)
peso = 31
índice = 256 índice = 257
peso = 11 peso = 20
índice = 72 índice = 32 índice = 97 índice = 9
peso = 3 peso = 8 peso = 10 peso = 10
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11. Árbol óptimo de codificación (7)
n En la siguiente extracción, el bosque queda vacío y obtenemos
el árbol de Huffman:
¿Codificación de 97?
(Vacío) índice = 257 10
peso = 31
0 1
índice = 255 índice = 256
peso = 11 peso = 20
0 1 0 1
índice = 72 índice = 32 índice = 97 índice = 9
peso = 3 peso = 8 peso = 10 peso = 10
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12. Árbol óptimo de codificación (8)
n Es posible que haya notado que son posibles
varios árboles de codificación.
n Todos son óptimos en el sentido de que
proporcionan una codificación con el menor
número de bits.
n La mejor estructura para almacenar los
nodos del bosque (conjunto de candidatos)
es una cola de prioridad, donde la prioridad
es el peso del nodo.
n Esto nos permite extraer el mínimo de una
manera eficaz.
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13. Árbol óptimo de codificación (9)
n El estudio de Huffman nos dice que si el
número de entradas es C, el número máximo
de nodos del árbol de codificación es 2C – 1.
n Esto nos permite utilizar como cola de
prioridad un montículo binario. Recordar
que un montículo binario se implementa con
un array.
n En nuestro caso C es, como máximo, igual a
256. El montículo binario puede tener un
tamaño seguro de (2 * 256 – 1).
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14. Tabla de codificación (1)
n La tabla de codificación es un paso
intermedio entre el árbol de codificación y la
verdadera codificación.
n Se construye para que la codificación sea
más sencilla y rápida.
n Sin embargo, para construirla es necesario
que cada nodo del árbol de Huffman pueda
referenciar a su padre, y que almacene
información sobre el tipo de hijo que es él
mismo (0 ó 1).
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15. Tabla de codificación (2)
n Un nodo de la tabla de codificación puede contener
la información siguiente:
peso indicePadre tipoHijo
n La tabla consiste en un array que sirve para indexar
nodos de codificación.
n El tamaño de este array nos lo indica el índice del
nodo raíz del árbol Huffman.
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16. Tabla de codificación (3)
n Se crear el array para indexar.
n El árbol se recorre en preorden.
n Y así hasta recorrer todo el árbol … 32 8 255 1
72 3 255 0
índice = 257
peso = 31
255 11 257 0
0 1
256
índice = 255 índice = 256
peso = 11 peso = 20 257 31 -1
0 1 0 1
índice = 72 índice = 32 índice = 97 índice = 9
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peso = 3 peso = 8 pesoCaycho - 08200088 peso = 10
= 10

17. Codificación
n La codificación a partir de la tabla de codificación es casi
inmediata. Es necesaria una segunda lectura del archivo.
¿Codificación de 32?
32 8 255 1 0
1
72 3 255 0
Por tanto, la codificación es …
255 11 257 0
256 0 1
fin
257 31 -1
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18. Complejidad
n Estudiemos la complejidad del algoritmo que
crea el árbol de Huffman, que es el que nos
interesa por ser voraz.
n La extracción en una cola de prioridad tiene
una complejidad O(logn).
n Por tanto, la complejidad de todo el
algoritmo, que es iterativo, será O(n logn).
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19. Algoritmo de Huffman (Pseudocódigo)
(1)
n {Precondición: C es el conjunto de caracteres
y f es el vector de frecuencias}.
n {Poscondición: z es el árbol de un código
libre de prefijos óptimo para (C,f)}.
C
z
f
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20. Algoritmo de Huffman
(Pseudocódigo) (2)
Función Huffman(C:conjunto;f:vectFrec) devuelve árbol
//variables Q:colaPrioridades; i,fx,fy,fz: entero; z,x,y: árbol
Inicio
creaVacía(Q);
para todox en C hacer
inserta(Q,<x,f[x]>)
fpara;
para i:=1 hasta|C|-1 hacer
<x,fx>:=primero(Q); borra(Q);
<y,fy>:=primero(Q); borra(Q);
fz:=fx+fy;
z:=creaÁrbol(raíz=>fz,hijoIzq=>x;hijoDer=>y);
inserta(Q,<z,fz>)
fpara;
<z,fz>:=primero(Q); borra(Q)
devuelve z
fin
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21. Consideraciones finales
n Para conseguir la decodificación es
necesario almacenar en el archivo codificado
más información que los bits de los códigos.
n Evidentemente nos interesa que esa
información ocupe el menor espacio posible.
n Enlace a la aplicación Aqui
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22. Bibliografía
n Estructuras de datos en Java
Mark Allen Weiss
Editorial: Addison-Wesley
n Técnicas de Diseño de Algoritmos
Rosa Guerequeta y Antonio Vallecillo
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23. Integrantes
n Renzo Loui Chávez Caycho 08200088
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