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Facultad de Ciencias Actuariales
Un Juego Diferencial Estocástico de Reaseguro
David Solís Pacheco
UNIVERSIDAD ANÁHUAC
FACULTAD DE CIENCIAS ACTUARIALES
ANÁLISIS CUANTITATIVO DEL RIESGO
	
  
Este% trabajo% está% basado% en% [Zen10].% Muestra% un% juego%
diferencial%estocástico%entre%dos%compañías%de%seguros%que%
usan%una%estrategia%de%reaseguro%para%reducir%el%riesgo%de%
exposición.%%
Introducción%
%
El%proceso%de%riesgo%de%una%compañía%aseguradora%puede%
ser%descrito%por%el%modelo%CramerCLundberg%[KPW08]%
%
! ! = ! + !" − ! ! ! ≥ 0,%
%
donde%!%es% la% tasa% de% la% prima,%!%es% la% reserva% inicial,%
! ! = !!
! !
!!!
%es% la% perdida% total,%! ! %es% el% proceso% de%
Poisson% de% las% reclamaciones,% !! %es% una% secuencia% de%
variables% aleatorias% independientes% e% idénticamente%
distribuidas% que% representan% el% tamaño% de% las%
reclamaciones.%
%
! ! %satisface%el%siguiente%modelo%de%difusión%[KPW08]%
%
!" ! = !!!" + !!!" ! %
%
siendo%! ! %un%movimiento%browniano%
%
Para%disminuir%el%riesgo%de%exposición,%la%aseguradora%usa%
una% estrategia% de% reaseguro.% Un% reasegurador% paga% una%
cierta% fracción% de% la% reclamación.% Entonces,% la%
aproximación%al%modelo%de%difusión%para%la%aseguradora%es%
%
!" ! = ! −! 1 − ! ! ! !!" + ! ! !!!!" ! ,%
%
donde%! ∈ 0,1 %es%la%fracción%de%cada%reclamación%pagada%
por%la%aseguradora%y% 1 − ! !%es%la%tasa%a%la%cual%las%primas%
son%destinadas%al%reasegurador%[Zen10].%
%
Otra% aseguradora% también% escoge% una% estrategia% de%
reaseguro% para% reducir% su% riesgo% de% exposición.% Se%
considera% un% juego% diferencial% estocástico% de% suma% cero%
entre% las% dos% aseguradoras.% Una% compañía% trata% de%
maximizar%su%pago%esperado%mientras%simultáneamente%la%
otra% trata% de% minimizar% la% misma% cantidad.% Ambas%
compañías%compiten%realizando%decisiones%independientes%
sobre% la% estrategia% de% reaseguro.% Sus% decisiones% son%
completamente% observadas% por% ambas% compañías%
[SWB98].%%
Modelo.de.Reaseguro.con.Competencia.
%
Sea% Ω, ℱ, ℱ!, ! %un% espacio% de% probabilidad% con% filtración%
ℱ! %y% dos% movimientos% brownianos% !! ! %y% !! ! %
adaptados% a% ℱ! .% El% proceso% de% riesgo% de% las% dos%
aseguradoras%está%dado%por%
%
!!!
!!
! = !! −! 1 − !! ! !!! !!" + !! ! !!!!!!! ! ,%
%
donde%
!!! ≥ !!
!! > 0
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%
!! ! !!!, ! = 1,2%son% estrategias% admisibles% si%!! ! ∈
0,1 %están% ℱ! %adaptadas.% El% conjunto% de% todas% las%
estrategias%admisibles%está%denotado%por%ℋ.%
%
Ambas% compañías% invierten% en% un% activo% libre% de% riesgo%
cuya%dinámica%está%gobernada%por%
%
!" ! = !" ! !!",%
%
donde%!%es%la%tasa%libre%de%riesgos.%
%
El%capital%total%es%la%suma%del%capital%invertido%en%el%activo%
libre%de%riesgo%y%el%capital%del%negocio%de%seguros.%
%
!!!
!!
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%
%
donde%!!
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%
Una%compañía%tiene%mayor%capital%que%otra%(!! > !!),%la%
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%
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%
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%
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%
Para% una% función% no% negativa% ! ! ≥ 0 ,% una% función%
continua% acotada!! ! %y% una% función%! ! ,% se% define% la%
función%esperada%de%pago%
%
!!!,!! ! = !! ! !!!,!! ! !!"# − ! !!!,!! ! !!"
!
!
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!
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+! !!!,!! !!!,!! !!"! − ! !!!,!! ! !!"
!!!,!!
!
.
%
%
Por%convención,%!! ∙ ∶= ! ∙! !!!!,!! 0 = ! .%%
El#juego#diferencial#estocástico#consiste#en#que#el#jugador#1#
trata#de#maximizar#la#anterior#función#de#pago#y#el#jugador#
2#trata#de#minimizarla.#
#
! ! = sup
!!∈ℋ
inf
!!∈ℋ
!!!!,!! ! #denota#los#valores#inferiores,##
#
! ! = inf
!!∈ℋ
sup
!!∈ℋ
!!!!,!! ! #denota#los#valores#superiores.#
#
Si#! ! = ! ! ,#el#valor#del#juego#está#dado#por#! ! ≔
! ! = ! ! #
Equilibrio)de)Nash)y)Ecuaciones)Fleming6
Bellman6Issacs)
#
Para# cualquier#!! #admisible# escogida# por# el# jugador# 2,##
! !; !! = sup
!!∈ℋ
!!!,!! ! #es#la#función#de#pago#óptima#para#
el#jugador#1.#
#
Si#! !; !! ∈ !!
!, ! ∩ !!
!, ! ,#entonces#satisface#la#
siguiente#ecuación#HamiltonCJacobiCBellman#[FR75],#
[Kry08]#
#
sup
!!∈ !,!
!!!,!!! !; !! + ! ! − ! ! ! !; !! = 0,
! ∈ !, !
#
#
donde#!!!,!!#es#el#operador#diferencial#para#cualquier#
! ! ∈ !! !, ! ,#tenemos#que#
#
!!!,!!! ! ∶= ! + !!!!! − !!!!! + !" !!!
+
!!
!
2
!!
!
+
!!
!
2
!!
!
− !!!!!!!!! !!!!.
#
#
De# manera# similar,#! !; !! #es# la# función# de# pago# óptima#
del#jugador#2#respecto#a#cualquier#estrategia#admisible#!!#
escogida#por#el#jugador#1#
#
! !; !! = inf
!!∈ℋ
!!!,!! ! #
satisfaciendo#la#ecuación#HamiltonCJacobiCBellman#(HJB)#
#
inf
!!∈ !,!
!!!,!!! !; !! + ! ! − ! ! ! !; !! = 0,
! ∈ !, ! .
#
#
Un# par# de# estrategias,# !!
∗
, !!
∗
,# alcanza# un# equilibrio# de#
Nash# (un# punto# silla# para# el# juego)# si# las# siguientes#
desigualdades#son#satisfechas.#Para#toda#!!, !! ∈ ℋ#
#
!!!,!!
∗
! ≤ !!!
∗
,!!
∗
! ≤ !!!
∗
,!!, ! ∈ !, ! .#
#
Si#el#juego#tiene#un#punto#silla,#se#tiene#
#
! !; !!
∗
= ! !; !!
∗
#
y"el"valor"del"juego"! ! = !!!
∗
,!!
∗
! = ! !; !!
∗
= ! !; !!
∗
."
! ! "satisface"las"siguientes"ecuaciones"(Fleming7Bellman7
Issacs)"
"
sup
!!∈ !,!
!!!,!!
∗
! ! + ! ! − ! ! ! ! = 0
inf
!!∈ !,!
!!!
∗,!!! ! + ! ! − ! ! ! ! = 0
"
"
con"las"condiciones"de"frontera"
! ! = ! ! ! ! ! = ! ! "
"
La"demostración"se"encuentra"en"[Zen10]"tomando"como"
referencia"a"[Bro00]."
Conclusiones*
Se"muestra"un"juego"diferencial"estocástico"de"suma"cero"
entre" dos" compañías" de" seguros" que" compiten" en" sus"
procesos" de" riesgo" cuando" toman" decisiones" sobre" una"
estrategia"de"reaseguro."
Una"empresa"trata"de"maximizar"una"función"de"pago"en"
función" de" la" diferencia" entre" sus" procesos" de" capital,"
mientras" que" la" otra" compañía" intenta" minimizar"
simultáneamente"la"misma"cantidad."
Adicionalmente"se"muestra"el"problema"para"un"función"de"
pago"general"y"proporciona"una"solución"a"las"ecuaciones"
de"Fleming7Bellman7Isaacs."
Referencias*
[Bro00]"Browne,"S."(2000)."Stochastic"differential"portfolio"
games."Journal(of(Applied(Probability,"37(1),"1267147.""
[FR75]"Fleming,"W.,"&"Rishel,"R."(1975)."Deterministic(and(
stochastic(optimal(control."Springer.""
[KPW08]" Klugman," S." A.," Panjer," H." H.," &" Willmot," G." E."
(2008)."Loss(models:(from(data(to(decisions,"Third"Edition."
John"Wiley"&"Sons."
[Kry08]"Krylov,"N."V."(2008)."Controlled(diffusion(processes."
Springer."
[SWB98]" Suijs," J.," De" Waegenaere," A.," &" Borm," P." (1998)."
Stochastic" cooperative" games" in" insurance." Insurance:(
Mathematics(and(Economics,"22(3),"2097228."
[Zen10]" Zeng," X." (2010)." A" stochastic" differential"
reinsurance" game." Journal( of( Applied( Probability," 47(2),"
3357349."
Agradecimientos*
La"motivación"de"este"trabajo"surgió"gracias"al"Dr."Daniel"
López" " Barrientos" durante" las" sesiones" de" la" " asignatura"
Análisis"Cuantitativo"del"Riesgo"I."

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Un Juego Diferencial Estocástico para Reaseguro

  • 1. Facultad de Ciencias Actuariales Un Juego Diferencial Estocástico de Reaseguro David Solís Pacheco UNIVERSIDAD ANÁHUAC FACULTAD DE CIENCIAS ACTUARIALES ANÁLISIS CUANTITATIVO DEL RIESGO   Este% trabajo% está% basado% en% [Zen10].% Muestra% un% juego% diferencial%estocástico%entre%dos%compañías%de%seguros%que% usan%una%estrategia%de%reaseguro%para%reducir%el%riesgo%de% exposición.%% Introducción% % El%proceso%de%riesgo%de%una%compañía%aseguradora%puede% ser%descrito%por%el%modelo%CramerCLundberg%[KPW08]% % ! ! = ! + !" − ! ! ! ≥ 0,% % donde%!%es% la% tasa% de% la% prima,%!%es% la% reserva% inicial,% ! ! = !! ! ! !!! %es% la% perdida% total,%! ! %es% el% proceso% de% Poisson% de% las% reclamaciones,% !! %es% una% secuencia% de% variables% aleatorias% independientes% e% idénticamente% distribuidas% que% representan% el% tamaño% de% las% reclamaciones.% % ! ! %satisface%el%siguiente%modelo%de%difusión%[KPW08]% % !" ! = !!!" + !!!" ! % % siendo%! ! %un%movimiento%browniano% % Para%disminuir%el%riesgo%de%exposición,%la%aseguradora%usa% una% estrategia% de% reaseguro.% Un% reasegurador% paga% una% cierta% fracción% de% la% reclamación.% Entonces,% la% aproximación%al%modelo%de%difusión%para%la%aseguradora%es% % !" ! = ! −! 1 − ! ! ! !!" + ! ! !!!!" ! ,% % donde%! ∈ 0,1 %es%la%fracción%de%cada%reclamación%pagada% por%la%aseguradora%y% 1 − ! !%es%la%tasa%a%la%cual%las%primas% son%destinadas%al%reasegurador%[Zen10].% % Otra% aseguradora% también% escoge% una% estrategia% de% reaseguro% para% reducir% su% riesgo% de% exposición.% Se% considera% un% juego% diferencial% estocástico% de% suma% cero% entre% las% dos% aseguradoras.% Una% compañía% trata% de% maximizar%su%pago%esperado%mientras%simultáneamente%la% otra% trata% de% minimizar% la% misma% cantidad.% Ambas% compañías%compiten%realizando%decisiones%independientes% sobre% la% estrategia% de% reaseguro.% Sus% decisiones% son% completamente% observadas% por% ambas% compañías% [SWB98].%% Modelo.de.Reaseguro.con.Competencia. % Sea% Ω, ℱ, ℱ!, ! %un% espacio% de% probabilidad% con% filtración% ℱ! %y% dos% movimientos% brownianos% !! ! %y% !! ! % adaptados% a% ℱ! .% El% proceso% de% riesgo% de% las% dos% aseguradoras%está%dado%por% % !!! !! ! = !! −! 1 − !! ! !!! !!" + !! ! !!!!!!! ! ,% % donde% !!! ≥ !! !! > 0 ! = 1,2!, ! !! ! !! ! = !",% % !! ! !!!, ! = 1,2%son% estrategias% admisibles% si%!! ! ∈ 0,1 %están% ℱ! %adaptadas.% El% conjunto% de% todas% las% estrategias%admisibles%está%denotado%por%ℋ.% % Ambas% compañías% invierten% en% un% activo% libre% de% riesgo% cuya%dinámica%está%gobernada%por% % !" ! = !" ! !!",% % donde%!%es%la%tasa%libre%de%riesgos.% % El%capital%total%es%la%suma%del%capital%invertido%en%el%activo% libre%de%riesgo%y%el%capital%del%negocio%de%seguros.% % !!! !! ! = !! !! ! !!"# + !! −! 1 − !! ! !!! !!" +!! ! !!!!!!! ! , % % donde%!! !! 0 = !! > 0.% % Una%compañía%tiene%mayor%capital%que%otra%(!! > !!),%la% meta%del%jugador%1%es%conservar%su%ventaja,%es%decir,% maximizar%la%función%de%pago%de%la%diferencia%!! !! − !! !! % hasta%una%fecha%!%(!! !! ! = 0).%Simultáneamente,%el% jugador%2%trata%de%minimizar%la%misma%función%de%pago.% % Sea%!!!,!! ! ∶= !! !! ! − !! !! ! ,%de%tal%manera%que% % !!!!,!! ! = ! + !! ! !!! − !! ! !!! + !!!!,!! ! !" +!! ! !!!!!!! ! − !! ! !!!!!!! ! , % % donde%%! ∶= !!! − !! − !!! − !! %% y% !!!,!! 0 = ! ∶= !! − !! > 0% % !! !!,!! ! ≔ !"# ! > 0 ∶!!!!,!! ! = ! %es%el%primer%tiempo% de%llegada%al%punto%!%bajo%las%estrategias%!! ∶= !! ! !!!%y% !! ∶= !! ! !!!% % !!!,!! ! ≔ !"# !! !!,!! , !! !!,!! %es% el% primer% tiempo% de% salida%del%intervalo !, ! %donde%!, ! ∈ ℝ%con%! > !.% % Para% una% función% no% negativa% ! ! ≥ 0 ,% una% función% continua% acotada!! ! %y% una% función%! ! ,% se% define% la% función%esperada%de%pago% % !!!,!! ! = !! ! !!!,!! ! !!"# − ! !!!,!! ! !!" ! ! !!!,!! ! !!" +! !!!,!! !!!,!! !!"! − ! !!!,!! ! !!" !!!,!! ! . % % Por%convención,%!! ∙ ∶= ! ∙! !!!!,!! 0 = ! .%% El#juego#diferencial#estocástico#consiste#en#que#el#jugador#1# trata#de#maximizar#la#anterior#función#de#pago#y#el#jugador# 2#trata#de#minimizarla.# # ! ! = sup !!∈ℋ inf !!∈ℋ !!!!,!! ! #denota#los#valores#inferiores,## # ! ! = inf !!∈ℋ sup !!∈ℋ !!!!,!! ! #denota#los#valores#superiores.# # Si#! ! = ! ! ,#el#valor#del#juego#está#dado#por#! ! ≔ ! ! = ! ! # Equilibrio)de)Nash)y)Ecuaciones)Fleming6 Bellman6Issacs) # Para# cualquier#!! #admisible# escogida# por# el# jugador# 2,## ! !; !! = sup !!∈ℋ !!!,!! ! #es#la#función#de#pago#óptima#para# el#jugador#1.# # Si#! !; !! ∈ !! !, ! ∩ !! !, ! ,#entonces#satisface#la# siguiente#ecuación#HamiltonCJacobiCBellman#[FR75],# [Kry08]# # sup !!∈ !,! !!!,!!! !; !! + ! ! − ! ! ! !; !! = 0, ! ∈ !, ! # # donde#!!!,!!#es#el#operador#diferencial#para#cualquier# ! ! ∈ !! !, ! ,#tenemos#que# # !!!,!!! ! ∶= ! + !!!!! − !!!!! + !" !!! + !! ! 2 !! ! + !! ! 2 !! ! − !!!!!!!!! !!!!. # # De# manera# similar,#! !; !! #es# la# función# de# pago# óptima# del#jugador#2#respecto#a#cualquier#estrategia#admisible#!!# escogida#por#el#jugador#1# # ! !; !! = inf !!∈ℋ !!!,!! ! # satisfaciendo#la#ecuación#HamiltonCJacobiCBellman#(HJB)# # inf !!∈ !,! !!!,!!! !; !! + ! ! − ! ! ! !; !! = 0, ! ∈ !, ! . # # Un# par# de# estrategias,# !! ∗ , !! ∗ ,# alcanza# un# equilibrio# de# Nash# (un# punto# silla# para# el# juego)# si# las# siguientes# desigualdades#son#satisfechas.#Para#toda#!!, !! ∈ ℋ# # !!!,!! ∗ ! ≤ !!! ∗ ,!! ∗ ! ≤ !!! ∗ ,!!, ! ∈ !, ! .# # Si#el#juego#tiene#un#punto#silla,#se#tiene# # ! !; !! ∗ = ! !; !! ∗ # y"el"valor"del"juego"! ! = !!! ∗ ,!! ∗ ! = ! !; !! ∗ = ! !; !! ∗ ." ! ! "satisface"las"siguientes"ecuaciones"(Fleming7Bellman7 Issacs)" " sup !!∈ !,! !!!,!! ∗ ! ! + ! ! − ! ! ! ! = 0 inf !!∈ !,! !!! ∗,!!! ! + ! ! − ! ! ! ! = 0 " " con"las"condiciones"de"frontera" ! ! = ! ! ! ! ! = ! ! " " La"demostración"se"encuentra"en"[Zen10]"tomando"como" referencia"a"[Bro00]." Conclusiones* Se"muestra"un"juego"diferencial"estocástico"de"suma"cero" entre" dos" compañías" de" seguros" que" compiten" en" sus" procesos" de" riesgo" cuando" toman" decisiones" sobre" una" estrategia"de"reaseguro." Una"empresa"trata"de"maximizar"una"función"de"pago"en" función" de" la" diferencia" entre" sus" procesos" de" capital," mientras" que" la" otra" compañía" intenta" minimizar" simultáneamente"la"misma"cantidad." Adicionalmente"se"muestra"el"problema"para"un"función"de" pago"general"y"proporciona"una"solución"a"las"ecuaciones" de"Fleming7Bellman7Isaacs." Referencias* [Bro00]"Browne,"S."(2000)."Stochastic"differential"portfolio" games."Journal(of(Applied(Probability,"37(1),"1267147."" [FR75]"Fleming,"W.,"&"Rishel,"R."(1975)."Deterministic(and( stochastic(optimal(control."Springer."" [KPW08]" Klugman," S." A.," Panjer," H." H.," &" Willmot," G." E." (2008)."Loss(models:(from(data(to(decisions,"Third"Edition." John"Wiley"&"Sons." [Kry08]"Krylov,"N."V."(2008)."Controlled(diffusion(processes." Springer." [SWB98]" Suijs," J.," De" Waegenaere," A.," &" Borm," P." (1998)." Stochastic" cooperative" games" in" insurance." Insurance:( Mathematics(and(Economics,"22(3),"2097228." [Zen10]" Zeng," X." (2010)." A" stochastic" differential" reinsurance" game." Journal( of( Applied( Probability," 47(2)," 3357349." Agradecimientos* La"motivación"de"este"trabajo"surgió"gracias"al"Dr."Daniel" López" " Barrientos" durante" las" sesiones" de" la" " asignatura" Análisis"Cuantitativo"del"Riesgo"I."