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Modelo Black-Cox
Modelos Tiempo de
Primer Arribo (First-
passage time)
Universidad Anáhuac
Modelación Avanzada en Finanzas
David Solís
Definición
Riesgo de Crédito - La posibilidad que la
contraparte de un contrato no cumpla con las
obligaciones derivadas del mismo, causando por
tanto a sus acreedores una pérdida financiera.
Resulta irrelevante si la contraparte no puede o no
quiere honrar su obligación.
Modelos para Riesgo de Crédito
Existen dos amplias categorías de modelos que intentan
describir los procesos de incumplimiento:
n  Modelos Estructurales
n  Se basan en la evolución del valor de los activos
del emisor con relación a sus pasivos para
determinar el tiempo de incumplimiento.
n  Modelos de Intensidad o de Forma Reducida
n  Usan un proceso estocástico, donde se define un
proceso de salto que regula el paso de No
incumplimiento a incumplimiento, y el parámetro
relevante es la intensidad de incumplimiento (λ).
Sólo consideran el momento del incumplimiento
pero no la severidad del mismo.
Limitaciones del Modelo de Merton
Desde el punto de vista práctico, el enfoque clásico de
Merton tiene las siguientes limitaciones:
n  Postula una estructura simple de capital
n  El evento de incumplimiento es solo posible al
momento de la expiración de la deuda
n  La bancarrota no tiene costo
n  Los mercados son perfectos
n  La tasa de interés libre de riesgo es constante
n  Solo es aplicable a compañías que cotizan en
Bolsa
n  Empíricamente no es plausible
P
T
Modelo
de
Merton
FPM
Modelo Tiempo de Primera Llegada
El incumplimiento puede ocurrir antes del vencimiento del
bono (de hecho en cualquier momento), cuando el nivel del
valor de los activos toque la barrera (primer arribo)
Barrera
determinística
τ
Umbral de incumplimiento
El umbral de incumplimiento siempre es positivo. Hay varias
maneras de especificarlo:
Exógeno. Clausula de seguridad (safety covenants) que
permite a los tenedores del bono tomar control de la
compañía - Black & Cox (1976) y Longstaff &
Schwartz (1995)
n  Actúa como un mecanismo de protección contra
un rendimiento no satisfactorio de la compañía
Endógeno. Escogido por los accionistas para maximizar
el valor del capital - Leland (1994) y Leland & Toft (1996)
Proceso de negociación entre accionistas y tenedores
del bono cuando la compañía llega a un punto cerca del
desastre - Mella-Barral & Perraudin (1997), Fan &
Sundaresan (2000)
Modelo de Black-Cox
n  El incumplimiento se produce en el valor del
proceso V cuando llega a una barrera prefijada
n  El incumplimiento puede ocurrir en cualquier
momento, antes o en la fecha de vencimiento T
del bono
n  Con mayor precisión, el tiempo de
incumplimiento es igual a
τ = inf {t ∈ [0,T ] : Vt
< L}. (inf 0 = +∞)
El evento de incumplimento ocurre la primera vez en t ∈ [0,T ]
en la cuál el valor de la empresa Vt cae debajo del nivel L,
o el evento de incumplimiento no ocurre.
Black & Cox considera
una barrera
dependiente del tiempo,
por simplicidad
asumimos un umbral
constante L > 0
Bono Corporativo
n  El bono corporativo es definido con las siguientes
consideraciones al incumplimiento:
n  L es pagado al tiempo de vencimiento T si no
ocurrió un incumplimiento
n  Si el incumplimiento ocurre entre τ < T, el
monto de recuperación βVτ = βL, donde β es
una constante en [0, 1], es pagado al tiempo τ
n  De manera similar al modelo de Merton, se
asume que la tasa de interés de corto plazo es
determinística a la constante positiva r
Valuación Neutral al Riesgo
n  Para cualquier t < T, el precio D(t, T) del bono
corporativo tiene la siguiente representación
probabilística:
la cuál es válida en {τ > t}
n  D(t, T) = u(Vt, t) para alguna función de precio u
D(t ,T ) = LE
P*
(e−r (T −t )
Ι{τ≥T }
| Ft )
+ βLE
P*
(e−r (τ−t )
Ι{t <τ <T }
| Ft )
Incumplimiento
al vencimiento
Incumplimiento al
primer arribo
Valuación Neutral al Riesgo
n  Después del incumplimiento – esto es, en {τ ≤ t},
tenemos:
n  Para evaluar la esperanza condicional, basta con
usar la distribución de la probabilidad condicional
P∗(τ ≤ s | Ft) del primer arribo del proceso V a la
barrera L, para s ≥ t
D(t ,T ) = 0
Tiempo de Primer Arribo
n  El valor del proceso V obedece la SDE:
n  Para cada t < s ≤ T, en el evento {t < τ},
dVt =Vt r −κ( )dt +σdWt( )
Con coeficiente κ constante y σ > 0
P*
{τ ≤ s Ft
}= N
ln
L
Vt
−v(s −t )
σ s −t
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
+
L
Vt
#
$
%%
&
'
((
2b
N
ln
L
Vt
+v(s −t )
σ s −t
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
Donde b =
v
σ 2
=
r −κ −
1
2
σ 2
σ 2
Esta expresión representa la
distribución de probabilidad
condicional para una barrera
constante
Caso de no Recuperación
Sea κ = 0 y D0(t, T) el valor de la reclamación que
paga L al tiempo T si T < τ y cero en otro caso, esto
es, el bono con recuperación cero:
D0
(t ,T ) = e−r (T −t )
LP*
τ ≥ T | Ft( )
Proposición Sea v = r −
1
2
σ 2
D0
t, T( ) = LB t, T( ) N h1
Vt
, T - t( )( ) -
L
V
"
#
$
%
&
'
2v
N h2
Vt
, T - t( )( )
(
)
*
*
+
,
-
-
h1
(Vt
,T −t ) =
ln(Vt
L)+ν(T −t )
σ T −t
h2
(Vt
,T −t ) =
ln(L Vt
)+ν(T −t )
σ T −t
Formula Black-Cox: Caso General
n  En el modelo Black-Cox, el incumplimiento
ocurre al tiempo del primer arribo del valor del
proceso V a una barrera deterministica
n  Con mayor precisión, el tiempo de
incumplimiento es igual a:
n  Escribimos
τ = inf{t ∈ [0,T ):Vt ≤ Ke-γ(T -t )
}
Para alguna constante K ≤ L
v (t ) = Ke-γ(T -t )
A partir de aquí se
considera una barrera
dependiente del tiempo
Bono Corporativo
n  El bono corporativo es definido como la siguiente
reclamación de incumplimiento:
n  De manera similar al modelo de Merton, se
asume que la tasa de interés a corto plazo es
determinística e igual a la constante positiva r
n  Postulamos que v(t) ≤ LB(t, T)
X = L, C ≡ 0, Z ≡ β2
V, X = β1
VT
Ι{τ ≥T }
, τ = τ ∧ ˆτ
Donde β1
,β2
son constantes
en [0,1] y el tiempo temprano
de incumplimiento τ es igual a
τ = inf{t ∈ [0,T):Vt
<v (t )}
y ˆτ es el tiempo de incumpliento de Merton: ˆτ = TΙ{Vt <L}
+∞ Ι{Vt ≥L}
Ke-γ(T -t )
≤ Le-r (T -t )
∀t ∈ [0,T ]
Proceso de
recuperación
Recuperación
Asegura que el pago en el
tiempo incumplimiento al
tenedor del bono no exceda
el face value
Recordatorio
Donde W es un movimiento browniano estándar de
una dimensión bajo P*
Denotamos
Por simplificación escribimos σ en lugar de σV
dVt =Vt r −κ( )dt +σv dWt( )
υ = r-κ-
1
2
σV
2
,
m = υ −γ = r-κ-γ-
1
2
σV
2
b = mσV
−2
Tiempo de Primer Arribo
n  Para cada t < s ≤ T y x ≥ L, se cumple la
siguiente igualdad en el evento {t < τ}
n  La expresión anterior se deduce de las
propiedades del movimiento browniano (en
particular, el principio de reflexión)
P*
{Vs
≥ x,τ ≥ s Ft
}= N
ln Vt
x( )+v(s −t )
σv
s −t
#
$
%
%
&
'
(
(
−
L
Vt
#
$
%%
&
'
((
2b
N
ln L2
−ln xVt( )+v(s −t )
σv
s −t
#
$
%
%
&
'
(
(
Donde v = r −κ −
1
2
σv
2
y b =ν /σV
2
Lema Básico – Distribución conjunta
Sea σ > 0 y ν ∈ R. Además Xt = νt + σWt para cada
t ∈ R+ donde W es un movimiento browniano bajo
Q
Q{τ ≥ s}= Q{inf
0≤u≤s
Yu
≥ 0}=Q{inf
0≤u≤s
X u
≥ − y0
},
donde X u
=νu +σWu
*
( Y0
= y0
+νt +σWt
)
Lema Para cada x < 0
Q{inf
0≤u≤s
X u
≥ x}= N
−x +νs
σ s
$
%
&
'
(
)−e−2νσ −2
x
N
x +νs
σ s
$
%
&
'
(
)
y para cada x > 0
Q{τ < s}=1−Q{inf
0≤u≤s
X u
≥ x}=1− N
−x +νs
σ s
$
%
&
'
(
)+e−2νσ −2
x
N
x +νs
σ s
$
%
&
'
(
)
∴1− N (x) = N (−x)( ) = N
x −νs
σ s
$
%
&
'
(
)+e−2νσ −2
x
N
x +νs
σ s
$
%
&
'
(
)
x=− y0
Formula Black-Cox
Se asume que m2
+ 2σ 2
(r-γ) > 0.
El precio del proceso D(t, T) = u(Vt
, t) de un bono susceptible a
incumplimiento, en {τ > t},
D(t, T ) = LB (t, T ) N h1
Vt
, T - t( )( ) - Rt
2b
N h2
Vt
, T - t( )( ){ }
+ β1
Vt
e-κ (T -t )
N h3
Vt
, T - t( )( )- N h4
Vt
, T - t( )( ){ }
+ β1
Vt
e-κ (T -t )
Rt
2 a+2
N h5
Vt
, T - t( )( )- N h6
Vt
, T - t( )( ){ }
+ β2
Vt
Rt
θ+ζ
N h7
Vt
, T - t( )( )- Rt
θ−ζ
N h8
Vt
, T - t( )( ){ }
donde Rt
=v (t ) /Vt
, θ = b +1 , ζ =σ -2
m2
+ 2σ 2
(r -γ)
Formula Black-Cox - Continuación
h1
(Vt ,T −t ) =
ln(Vt / L)+ν(T −t )
σ T −t
,
h2
(Vt ,T −t ) =
lnv 2
(t )−ln(LVt )+ν(T −t )
σ T −t
,
h3
(Vt ,T −t ) =
ln(L /Vt )−(ν +σ 2
)(T −t )
σ T −t
,
h4
(Vt ,T −t ) =
ln(K /Vt )−(ν +σ 2
)(T −t )
σ T −t
,
h5
(Vt ,T −t ) =
lnv 2
(t )−ln(LVt )+(ν +σ 2
)(T −t )
σ T −t
,
h6
(Vt ,T −t ) =
lnv 2
(t )−ln(KVt )+(ν +σ 2
)(T −t )
σ T −t
,
h7,8
(Vt ,T −t ) =
ln(v (t ) /Vt )+ζσ 2
(T −t )
σ T −t
Implementación en R
Limitaciones del Modelo Black-Cox
Hereda algunas limitaciones del enfoque original de
Merton:
n  Postula una estructura simple de capital
n  Los mercados son perfectos
n  La tasa de interés libre de riesgo es constante
n  Solo es aplicable a compañías que cotizan en
Bolsa
n  Empíricamente no es plausible
Para mayor información
Riesgo de Crédito
La fuente principal fue Bielecki & Rutkowski
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Modelos Tiempo de Primer Arribo (First-passage time)

  • 1. Modelo Black-Cox Modelos Tiempo de Primer Arribo (First- passage time) Universidad Anáhuac Modelación Avanzada en Finanzas David Solís
  • 2. Definición Riesgo de Crédito - La posibilidad que la contraparte de un contrato no cumpla con las obligaciones derivadas del mismo, causando por tanto a sus acreedores una pérdida financiera. Resulta irrelevante si la contraparte no puede o no quiere honrar su obligación.
  • 3. Modelos para Riesgo de Crédito Existen dos amplias categorías de modelos que intentan describir los procesos de incumplimiento: n  Modelos Estructurales n  Se basan en la evolución del valor de los activos del emisor con relación a sus pasivos para determinar el tiempo de incumplimiento. n  Modelos de Intensidad o de Forma Reducida n  Usan un proceso estocástico, donde se define un proceso de salto que regula el paso de No incumplimiento a incumplimiento, y el parámetro relevante es la intensidad de incumplimiento (λ). Sólo consideran el momento del incumplimiento pero no la severidad del mismo.
  • 4. Limitaciones del Modelo de Merton Desde el punto de vista práctico, el enfoque clásico de Merton tiene las siguientes limitaciones: n  Postula una estructura simple de capital n  El evento de incumplimiento es solo posible al momento de la expiración de la deuda n  La bancarrota no tiene costo n  Los mercados son perfectos n  La tasa de interés libre de riesgo es constante n  Solo es aplicable a compañías que cotizan en Bolsa n  Empíricamente no es plausible
  • 5. P T Modelo de Merton FPM Modelo Tiempo de Primera Llegada El incumplimiento puede ocurrir antes del vencimiento del bono (de hecho en cualquier momento), cuando el nivel del valor de los activos toque la barrera (primer arribo) Barrera determinística τ
  • 6. Umbral de incumplimiento El umbral de incumplimiento siempre es positivo. Hay varias maneras de especificarlo: Exógeno. Clausula de seguridad (safety covenants) que permite a los tenedores del bono tomar control de la compañía - Black & Cox (1976) y Longstaff & Schwartz (1995) n  Actúa como un mecanismo de protección contra un rendimiento no satisfactorio de la compañía Endógeno. Escogido por los accionistas para maximizar el valor del capital - Leland (1994) y Leland & Toft (1996) Proceso de negociación entre accionistas y tenedores del bono cuando la compañía llega a un punto cerca del desastre - Mella-Barral & Perraudin (1997), Fan & Sundaresan (2000)
  • 7. Modelo de Black-Cox n  El incumplimiento se produce en el valor del proceso V cuando llega a una barrera prefijada n  El incumplimiento puede ocurrir en cualquier momento, antes o en la fecha de vencimiento T del bono n  Con mayor precisión, el tiempo de incumplimiento es igual a τ = inf {t ∈ [0,T ] : Vt < L}. (inf 0 = +∞) El evento de incumplimento ocurre la primera vez en t ∈ [0,T ] en la cuál el valor de la empresa Vt cae debajo del nivel L, o el evento de incumplimiento no ocurre. Black & Cox considera una barrera dependiente del tiempo, por simplicidad asumimos un umbral constante L > 0
  • 8. Bono Corporativo n  El bono corporativo es definido con las siguientes consideraciones al incumplimiento: n  L es pagado al tiempo de vencimiento T si no ocurrió un incumplimiento n  Si el incumplimiento ocurre entre τ < T, el monto de recuperación βVτ = βL, donde β es una constante en [0, 1], es pagado al tiempo τ n  De manera similar al modelo de Merton, se asume que la tasa de interés de corto plazo es determinística a la constante positiva r
  • 9. Valuación Neutral al Riesgo n  Para cualquier t < T, el precio D(t, T) del bono corporativo tiene la siguiente representación probabilística: la cuál es válida en {τ > t} n  D(t, T) = u(Vt, t) para alguna función de precio u D(t ,T ) = LE P* (e−r (T −t ) Ι{τ≥T } | Ft ) + βLE P* (e−r (τ−t ) Ι{t <τ <T } | Ft ) Incumplimiento al vencimiento Incumplimiento al primer arribo
  • 10. Valuación Neutral al Riesgo n  Después del incumplimiento – esto es, en {τ ≤ t}, tenemos: n  Para evaluar la esperanza condicional, basta con usar la distribución de la probabilidad condicional P∗(τ ≤ s | Ft) del primer arribo del proceso V a la barrera L, para s ≥ t D(t ,T ) = 0
  • 11. Tiempo de Primer Arribo n  El valor del proceso V obedece la SDE: n  Para cada t < s ≤ T, en el evento {t < τ}, dVt =Vt r −κ( )dt +σdWt( ) Con coeficiente κ constante y σ > 0 P* {τ ≤ s Ft }= N ln L Vt −v(s −t ) σ s −t # $ % % % % & ' ( ( ( ( + L Vt # $ %% & ' (( 2b N ln L Vt +v(s −t ) σ s −t # $ % % % % & ' ( ( ( ( Donde b = v σ 2 = r −κ − 1 2 σ 2 σ 2 Esta expresión representa la distribución de probabilidad condicional para una barrera constante
  • 12. Caso de no Recuperación Sea κ = 0 y D0(t, T) el valor de la reclamación que paga L al tiempo T si T < τ y cero en otro caso, esto es, el bono con recuperación cero: D0 (t ,T ) = e−r (T −t ) LP* τ ≥ T | Ft( ) Proposición Sea v = r − 1 2 σ 2 D0 t, T( ) = LB t, T( ) N h1 Vt , T - t( )( ) - L V " # $ % & ' 2v N h2 Vt , T - t( )( ) ( ) * * + , - - h1 (Vt ,T −t ) = ln(Vt L)+ν(T −t ) σ T −t h2 (Vt ,T −t ) = ln(L Vt )+ν(T −t ) σ T −t
  • 13. Formula Black-Cox: Caso General n  En el modelo Black-Cox, el incumplimiento ocurre al tiempo del primer arribo del valor del proceso V a una barrera deterministica n  Con mayor precisión, el tiempo de incumplimiento es igual a: n  Escribimos τ = inf{t ∈ [0,T ):Vt ≤ Ke-γ(T -t ) } Para alguna constante K ≤ L v (t ) = Ke-γ(T -t ) A partir de aquí se considera una barrera dependiente del tiempo
  • 14. Bono Corporativo n  El bono corporativo es definido como la siguiente reclamación de incumplimiento: n  De manera similar al modelo de Merton, se asume que la tasa de interés a corto plazo es determinística e igual a la constante positiva r n  Postulamos que v(t) ≤ LB(t, T) X = L, C ≡ 0, Z ≡ β2 V, X = β1 VT Ι{τ ≥T } , τ = τ ∧ ˆτ Donde β1 ,β2 son constantes en [0,1] y el tiempo temprano de incumplimiento τ es igual a τ = inf{t ∈ [0,T):Vt <v (t )} y ˆτ es el tiempo de incumpliento de Merton: ˆτ = TΙ{Vt <L} +∞ Ι{Vt ≥L} Ke-γ(T -t ) ≤ Le-r (T -t ) ∀t ∈ [0,T ] Proceso de recuperación Recuperación Asegura que el pago en el tiempo incumplimiento al tenedor del bono no exceda el face value
  • 15. Recordatorio Donde W es un movimiento browniano estándar de una dimensión bajo P* Denotamos Por simplificación escribimos σ en lugar de σV dVt =Vt r −κ( )dt +σv dWt( ) υ = r-κ- 1 2 σV 2 , m = υ −γ = r-κ-γ- 1 2 σV 2 b = mσV −2
  • 16. Tiempo de Primer Arribo n  Para cada t < s ≤ T y x ≥ L, se cumple la siguiente igualdad en el evento {t < τ} n  La expresión anterior se deduce de las propiedades del movimiento browniano (en particular, el principio de reflexión) P* {Vs ≥ x,τ ≥ s Ft }= N ln Vt x( )+v(s −t ) σv s −t # $ % % & ' ( ( − L Vt # $ %% & ' (( 2b N ln L2 −ln xVt( )+v(s −t ) σv s −t # $ % % & ' ( ( Donde v = r −κ − 1 2 σv 2 y b =ν /σV 2
  • 17. Lema Básico – Distribución conjunta Sea σ > 0 y ν ∈ R. Además Xt = νt + σWt para cada t ∈ R+ donde W es un movimiento browniano bajo Q Q{τ ≥ s}= Q{inf 0≤u≤s Yu ≥ 0}=Q{inf 0≤u≤s X u ≥ − y0 }, donde X u =νu +σWu * ( Y0 = y0 +νt +σWt ) Lema Para cada x < 0 Q{inf 0≤u≤s X u ≥ x}= N −x +νs σ s $ % & ' ( )−e−2νσ −2 x N x +νs σ s $ % & ' ( ) y para cada x > 0 Q{τ < s}=1−Q{inf 0≤u≤s X u ≥ x}=1− N −x +νs σ s $ % & ' ( )+e−2νσ −2 x N x +νs σ s $ % & ' ( ) ∴1− N (x) = N (−x)( ) = N x −νs σ s $ % & ' ( )+e−2νσ −2 x N x +νs σ s $ % & ' ( ) x=− y0
  • 18. Formula Black-Cox Se asume que m2 + 2σ 2 (r-γ) > 0. El precio del proceso D(t, T) = u(Vt , t) de un bono susceptible a incumplimiento, en {τ > t}, D(t, T ) = LB (t, T ) N h1 Vt , T - t( )( ) - Rt 2b N h2 Vt , T - t( )( ){ } + β1 Vt e-κ (T -t ) N h3 Vt , T - t( )( )- N h4 Vt , T - t( )( ){ } + β1 Vt e-κ (T -t ) Rt 2 a+2 N h5 Vt , T - t( )( )- N h6 Vt , T - t( )( ){ } + β2 Vt Rt θ+ζ N h7 Vt , T - t( )( )- Rt θ−ζ N h8 Vt , T - t( )( ){ } donde Rt =v (t ) /Vt , θ = b +1 , ζ =σ -2 m2 + 2σ 2 (r -γ)
  • 19. Formula Black-Cox - Continuación h1 (Vt ,T −t ) = ln(Vt / L)+ν(T −t ) σ T −t , h2 (Vt ,T −t ) = lnv 2 (t )−ln(LVt )+ν(T −t ) σ T −t , h3 (Vt ,T −t ) = ln(L /Vt )−(ν +σ 2 )(T −t ) σ T −t , h4 (Vt ,T −t ) = ln(K /Vt )−(ν +σ 2 )(T −t ) σ T −t , h5 (Vt ,T −t ) = lnv 2 (t )−ln(LVt )+(ν +σ 2 )(T −t ) σ T −t , h6 (Vt ,T −t ) = lnv 2 (t )−ln(KVt )+(ν +σ 2 )(T −t ) σ T −t , h7,8 (Vt ,T −t ) = ln(v (t ) /Vt )+ζσ 2 (T −t ) σ T −t
  • 21. Limitaciones del Modelo Black-Cox Hereda algunas limitaciones del enfoque original de Merton: n  Postula una estructura simple de capital n  Los mercados son perfectos n  La tasa de interés libre de riesgo es constante n  Solo es aplicable a compañías que cotizan en Bolsa n  Empíricamente no es plausible
  • 22. Para mayor información Riesgo de Crédito La fuente principal fue Bielecki & Rutkowski Matemáticas Financieras y Cálculo Estocástico