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Facultad de Actuaria
Valuación de Opciones Europeas con el Modelo de Heston
utilizando el Método de Diferencias Finitas
David Solís Pacheco
INTRODUCCIÓN
Los modelos de volatilidad estocástica relajan el
supuesto de volatilidad constante del modelo Black-
Scholes conduciendo a un marco más flexible para
explicar los precios de las opciones observados
empíricamente [Gat06] siendo el modelo de Heston uno
de los más populares. El modelo debe parte de su
popularidad a su formula semi-cerrada para opciones
europeas [Hes93].
En un proceso Heston se asume que la varianza es
estocástica y sigue un proceso CIR de reversión a la
media, que a su vez es una generalización de un
proceso Ornstein Uhlenbeck. Si St es el precio del
activo al tiempo t y vt es la correspondiente varianza del
rendimiento del activo al tiempo t, el modelo de Heston
se describe por las siguientes 2 ecuaciones
estocásticas:
En este modelo la varianza, vt del rendimiento del
activo es estocástica y está modelada como un proceso
CIR de regresión a la media con una velocidad
constante de regresión a la media k, y una varianza
constante de largo plazo θ. El precio del activo sigue
un movimiento browniano geométrico. Los procesos
estocásticos para la varianza y el activo, W1,t y W2,t
están correlacionados con un factor de correlación ρ.
Esta figura ilustra una malla no uniforme con parámetros NS=70, NV=50 y K=10. La malla
para el precio está representado por las líneas azules y la volatilidad por líneas rojas.
La malla para el precio es más fina alrededor del precio de ejercicio, y para la volatilidad
más fina conforme se acerca a cero.
Precio de una opción Call europea usando mallas
uniformes y no uniformes
MÉTODOS
Mallasuniformes
Usando los valores mínimos Smin = vmin = 0 se puede
construir una malla uniforme para (S, V, t)
Mallasnouniformes
En [IF10] se describe una malla no uniforme que es más
fina alrededor del precio de ejercicio K y alrededor de la
volatilidad spot v0 = 0.
La malla de tamaño NS + 1 para el precio es:
La malla de tamaño NV + 1 para la volatilidad es:
RESULTADOS
Para probar las ecuaciones se desarrolló un programa en
Matlab y se utilizaron los parámetros del Caso 1 de [IF10]
donde se quiere obtener el precio de la opción con K=100,
S=101.52 y volatilidad v=0.05412. Para este ejemplo, el
precio exacto usando la fórmula cerrada es 4.1078. Para
una malla uniforme de 40x40 con 20 pasos en el tiempo
el precio obtenido por el esquema explicito es 4.1679 --
no es una buena aproximación, aunque era el resultado
esperado dado el número de pasos utilizados. Los
precios obtenidos por los esquemas implícito y Crank
Nicolson son más precisos.
Para el caso no uniforme se utilizó una malla más
pequeña, 30x30 con 20 pasos, que produjo resultados
con una precisión similar pero utilizó menor tiempo de
cómputo.
REFERENCIAS
[CP99] Clarke, N., & Parrott, K. (1999). Multigrid for American option pricing
with stochastic volatility. Applied Mathematical Finance, 6(3), 177-195.
[FPS00] Fouque, J. P., Papanicolaou, G., Sircar, K. R. (2000). Derivatives in
financial markets with stochastic volatility. Cambridge University Press.
[Gat06] Gatheral, J. (2006). The Volatility Surface: A Practitioner's Guide.
John Wiley & Sons, Inc.
[Hes93] Heston, S. L. (1993). A closed-form solution for options with
stochastic volatility with applications to bonds and currency options. The
Review of Financial Studies 6(2), 327–343.
[IF10] In 'T Hout, K. J., & Foulon, S. S. (2010). ADI finite difference schemes
for option pricing in the Heston model with correlation. International Journal of
Numerical Analysis & Modeling, 7(2), 303-320.
[Kah07] Kahl, C. (2007). Modelling and simulation of stochastic volatility in
finance. Universal-Publishers.
[Klu02] Kluge, T. (2002). Pricing Derivatives in Stochastic Volatility Models
Using the Finite Difference Method. Diploma Thesis, Chemnitz University of
Technology, Chemnitz, Germany.	
  
	
  
AGRADECIMIENTOS
La motivación de este trabajo surgió gracias al Profesor Víctor Ibarra durante
las sesiones de la asignatura Modelación Computacional.
Malla no uniforme
PROPÓSITO
En este trabajo se aborda la solución numérica de la
ecuación diferencial parcial (PDE) del modelo de Heston
mediante métodos de diferencias finitas. Esta PDE es
una ecuación del tipo convección-difusión-reacción
bidimensional dependiente del tiempo, tiene la
característica de contener un término derivado mixto,
que proviene de la correlación entre los dos procesos
estocásticos subyacentes para el precio de los activos y
su varianza. A continuación se muestra la PDE del
modelo Heston:
UNIVERSIDAD ANÁHUAC
FACULTAD DE ACTUARIA
MAESTRÍA EN FINANZAS CUANTITATIVAS
	
  
Aproximacióndelasderivadasdeprimerordencon
diferenciascentrales
Diferenciascentralesparalasderivadasdesegundoorden
Derivadamixta
donde los coeficientes son
Precio Error Precio Error
Fórmula(Cerrada 4.1078 4.1078
Explícito 4.1679 0.0601 4.1577 0.0499
Implícito 4.1023 @0.0055 4.0901 @0.0177
Crank@Nicolson 4.1350 0.0272 4.1241 0.0163
Malla+uniforme
+40x40+con+20+pasos
Malla+no+uniforme
+30x30+con+20+pasos

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  • 1. Facultad de Actuaria Valuación de Opciones Europeas con el Modelo de Heston utilizando el Método de Diferencias Finitas David Solís Pacheco INTRODUCCIÓN Los modelos de volatilidad estocástica relajan el supuesto de volatilidad constante del modelo Black- Scholes conduciendo a un marco más flexible para explicar los precios de las opciones observados empíricamente [Gat06] siendo el modelo de Heston uno de los más populares. El modelo debe parte de su popularidad a su formula semi-cerrada para opciones europeas [Hes93]. En un proceso Heston se asume que la varianza es estocástica y sigue un proceso CIR de reversión a la media, que a su vez es una generalización de un proceso Ornstein Uhlenbeck. Si St es el precio del activo al tiempo t y vt es la correspondiente varianza del rendimiento del activo al tiempo t, el modelo de Heston se describe por las siguientes 2 ecuaciones estocásticas: En este modelo la varianza, vt del rendimiento del activo es estocástica y está modelada como un proceso CIR de regresión a la media con una velocidad constante de regresión a la media k, y una varianza constante de largo plazo θ. El precio del activo sigue un movimiento browniano geométrico. Los procesos estocásticos para la varianza y el activo, W1,t y W2,t están correlacionados con un factor de correlación ρ. Esta figura ilustra una malla no uniforme con parámetros NS=70, NV=50 y K=10. La malla para el precio está representado por las líneas azules y la volatilidad por líneas rojas. La malla para el precio es más fina alrededor del precio de ejercicio, y para la volatilidad más fina conforme se acerca a cero. Precio de una opción Call europea usando mallas uniformes y no uniformes MÉTODOS Mallasuniformes Usando los valores mínimos Smin = vmin = 0 se puede construir una malla uniforme para (S, V, t) Mallasnouniformes En [IF10] se describe una malla no uniforme que es más fina alrededor del precio de ejercicio K y alrededor de la volatilidad spot v0 = 0. La malla de tamaño NS + 1 para el precio es: La malla de tamaño NV + 1 para la volatilidad es: RESULTADOS Para probar las ecuaciones se desarrolló un programa en Matlab y se utilizaron los parámetros del Caso 1 de [IF10] donde se quiere obtener el precio de la opción con K=100, S=101.52 y volatilidad v=0.05412. Para este ejemplo, el precio exacto usando la fórmula cerrada es 4.1078. Para una malla uniforme de 40x40 con 20 pasos en el tiempo el precio obtenido por el esquema explicito es 4.1679 -- no es una buena aproximación, aunque era el resultado esperado dado el número de pasos utilizados. Los precios obtenidos por los esquemas implícito y Crank Nicolson son más precisos. Para el caso no uniforme se utilizó una malla más pequeña, 30x30 con 20 pasos, que produjo resultados con una precisión similar pero utilizó menor tiempo de cómputo. REFERENCIAS [CP99] Clarke, N., & Parrott, K. (1999). Multigrid for American option pricing with stochastic volatility. Applied Mathematical Finance, 6(3), 177-195. [FPS00] Fouque, J. P., Papanicolaou, G., Sircar, K. R. (2000). Derivatives in financial markets with stochastic volatility. Cambridge University Press. [Gat06] Gatheral, J. (2006). The Volatility Surface: A Practitioner's Guide. John Wiley & Sons, Inc. [Hes93] Heston, S. L. (1993). A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bonds and currency options. The Review of Financial Studies 6(2), 327–343. [IF10] In 'T Hout, K. J., & Foulon, S. S. (2010). ADI finite difference schemes for option pricing in the Heston model with correlation. International Journal of Numerical Analysis & Modeling, 7(2), 303-320. [Kah07] Kahl, C. (2007). Modelling and simulation of stochastic volatility in finance. Universal-Publishers. [Klu02] Kluge, T. (2002). Pricing Derivatives in Stochastic Volatility Models Using the Finite Difference Method. Diploma Thesis, Chemnitz University of Technology, Chemnitz, Germany.     AGRADECIMIENTOS La motivación de este trabajo surgió gracias al Profesor Víctor Ibarra durante las sesiones de la asignatura Modelación Computacional. Malla no uniforme PROPÓSITO En este trabajo se aborda la solución numérica de la ecuación diferencial parcial (PDE) del modelo de Heston mediante métodos de diferencias finitas. Esta PDE es una ecuación del tipo convección-difusión-reacción bidimensional dependiente del tiempo, tiene la característica de contener un término derivado mixto, que proviene de la correlación entre los dos procesos estocásticos subyacentes para el precio de los activos y su varianza. A continuación se muestra la PDE del modelo Heston: UNIVERSIDAD ANÁHUAC FACULTAD DE ACTUARIA MAESTRÍA EN FINANZAS CUANTITATIVAS   Aproximacióndelasderivadasdeprimerordencon diferenciascentrales Diferenciascentralesparalasderivadasdesegundoorden Derivadamixta donde los coeficientes son Precio Error Precio Error Fórmula(Cerrada 4.1078 4.1078 Explícito 4.1679 0.0601 4.1577 0.0499 Implícito 4.1023 @0.0055 4.0901 @0.0177 Crank@Nicolson 4.1350 0.0272 4.1241 0.0163 Malla+uniforme +40x40+con+20+pasos Malla+no+uniforme +30x30+con+20+pasos