1. Di n ñàn h c t p ntquang.net Box: Toán
ð THI TUY N SINH ð I H C NĂM 2011
Môn : TOÁN ; Kh i: D
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 ñi m)
2x +1
Câu I (2,0 ñi m) Cho hàm s y =
x +1
1. Kh o sát s bi n thiên và v ñ th (C) c a hàm s ñã cho
2. Tìm k ñ ñư ng th ng y = kx + 2k +1 c t ñ th (C) t i hai ñi m phân bi t A, B sao cho
kho ng cách t A và B ñ n tr c hoành b ng nhau.
Câu II (2,0 ñi m)
s in2x + 2 cos x − sin x − 1
1. Gi i phương trình =0
tan x + 3
2. Gi i phương trình log 2 (8 − x 2 ) + log 1 ( 1 + x + 1 − x ) − 2 = 0 (x ∈ ¡ )
2
4x − 1
4
Câu III (1,0 ñi m) Tính tích phân I = ∫ dx
0 2x + 1 + 2
Câu IV (1,0 ñi m) Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông t i B, BA = 3a, BC = 4a;
·
m t ph ng (SBC) vuông góc v i m t ph ng (ABC). Bi t SB = 2a 3 và SBC = 300 . Tính th tích
kh i chóp S.ABC và kho ng cách t ñi m B ñ n m t ph ng (SAC) theo a.
2 x 3 − ( y + 2) x 2 + xy = m

Câu V (1,0 ñi m) Tìm m ñ h phương trình sau có nghi m  2 ( x, y ∈ ¡ )
 x + x − y = 1 − 2m

PH N RIÊNG (3,0 ñi m) : Thí sinh ch ñư c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c B)
Câu VI.a (2,0 ñi m)
1. Trong m t ph ng t a ñ Oxy, cho tam giác ABC có ñ nh B(-4; 1), tr ng tâm G(1; 1) và ñư ng
th ng ch a phân giác trong c a góc A có phương trình x − y − 1 = 0. Tìm t a ñ các ñ nh A và C.
x +1 y z − 3
2. Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho ñi m A(1; 2; 3) và ñư ng th ng d : = = .
2 1 −2
Vi t phương trình ñư ng th ng ∆ ñi qua ñi m A, vuông góc v i ñư ng th ng d và c t tr c Ox.
Câu VII.a (1,0 ñi m) Tìm s ph c z, bi t : z − (2 + 3i ) z = 1 − 9i
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 ñi m)
1. Trong m t ph ng t a ñ Oxy, cho ñi m A(1; 0) và ñư ng tròn (C) : x2 + y2 − 2x + 4y − 5 = 0.
Vi t phương trình ñư ng th ng ∆ c t (C) t i ñi m M và N sao cho tam giác AMN vuông cân t i A.
x −1 y − 3 z
2. Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho ñư ng th ng ∆ : = = và m t ph ng
2 4 1
(P) : 2x − y + 2z = 0. Vi t phương trình m t c u có tâm thu c ñư ng th ng ∆, bán kính b ng 1 và
ti p xúc v i m t ph ng (P).
2 x2 + 3x + 3
Câu VII.b (1,0 ñi m) Tìm giá tr nh nh t và giá tr l n nh t c a hàm s y = trên ño n
x +1
[0;2].
----- H t -----
ðáp án ñ thi tuy n sinh ñ i h c 2011 – Môn toán kh i A
Http://ntquang.net/forum © Do Not Copy

2. Di n ñàn h c t p ntquang.net Box: Toán
BÀI GI I G I Ý
Câu I :
1. Kh o sát và v ñ th (C)
D = R {-1}
1
y/ = >0v im ix∈D
( x + 1) 2
lim− y = +∞ và lim+ y = −∞ ⇒ x = -1 là TCð
x →−1 x →−1
lim y = 2 ⇒ y = 2 là TCN
x →±∞
BBT :
x -∞ -1 +∞
y/ + +
y +∞ 2
2 -∞
Hàm s ñ ng bi n trên t ng kho ng xác ñ nh, không có c c tr .
ð th hàm s : y
2
-1 O x
2. Pt hoành ñ giao ñi m :
2x +1
= kx + 2k + 1
x +1
⇔ kx2 + (3k - 1)x + 2k = 0 (x = -1 không là nghi m)
Ycbt : ⇔ k ≠ 0 và ∆ = k2 - 6k + 1 > 0 ⇔ k < 3 − 2 2 ∨ k > 3 + 2 2 và k ≠ 0 (*)
Kho ng cách t A và B ñ n Ox b ng nhau
 kx A = kxB (loai ) 1 − 3k
⇔ yA=yB ⇔ kx A + 2k + 1 = kxB + 2k + 1 ⇔  ⇔ k( ) + 4k + 2 = 0
 k ( x A + xB ) + 4 k + 2 = 0 k
⇔ k = – 3 (th a ñk (*) ). V y YCBT ⇔ k = – 3
Câu II :
sin 2 x + 2 cos x − sin x − 1
1) = 0 ñk : tg x ≠ − 3 ; cosx ≠ 0
tan x + 3
Pt ⇔ sin2x + 2cosx − sinx − 1 = 0 ⇔ 2sinxcosx + 2cosx − (sinx + 1) = 0
⇔ 2cosx (sinx + 1) − (sinx + 1)= 0 ⇔ (2cosx − 1)(sinx + 1) = 0
ðáp án ñ thi tuy n sinh ñ i h c 2011 – Môn toán kh i A
Http://ntquang.net/forum © Do Not Copy

3. Di n ñàn h c t p ntquang.net Box: Toán
 π

cos x =
1  x = ± 3 + k 2π π
⇔ 2 ⇔ so ñk ta có nghi m c a pt : x = + k 2π (k ∈ Z)
  π 3
sin x = −1  x = − + k 2π
 2
2) log 2 (8 − x 2 ) − log 2 ( 1 + x + 1 − x) = 2 (x ∈ [-1;1])
⇔ log 2 (8 − x 2 ) = 2 + log 2 ( 1 + x + 1 − x) ⇔ 8 − x2 = 4( 1 + x + 1 − x ) (*)
ð t t = 1+ x + 1− x
(*) thành (t −2)2 (t2 + 4t + 8) = 0
⇔ t = 2 ⇔ 1+ x + 1− x = 2 ⇔ x = 0 (nh n)
Câu III :
4x −1
4
I= ∫ dx
0 2x +1 + 2
ð tt= 2 x + 1 + 2 => (t - 2)dt = dx
(2t 2 − 8t + 5)(t − 2)
5 5
10 34 3
=> I = ∫ dt = ∫ (2t 2 − 12t + 21 − )dt = + 10 ln
3
t 3
t 3 5
Câu IV :
G i H là hình chi u c a S xu ng BC.
Vì (SBC) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)
Ta có SH = a 3
1 1 1 S
Th tích kh i (SABC) = SVABC .SH = ( 3a.4a).a 3 = 2a 3 3
3 3 2
Ta có : Tam giác SAC vuông t i S B H
C
vì SA = a 21 ; SC = 2a; AC = 5a. I
Di n tích ∆(SAC) = a 2 21 J
3V 3.2a 3 3 6a A
d(B,(SAC)) = SABC = 2 =
S ∆SAC a 21 7
Câu V :
( x 2 − x)(2 x − y ) = m  1
u = x − x (dk u ≥ − )
2

H  2 ð t  4
( x − x) + (2 x − y ) = 1 − 2m
  v = 2 x − y (v ∈ ¡ )

v = 1 − 2 m − u
u + v = 1 − 2m v = (1 − 2m) − u 
H thành :  ⇔ 2 ⇔  −u 2 + u
uv = m  −u + u = m(2u + 1)  = m (1)
 2u + 1
−u 2 + u 1 −2u 2 − 2u + 1 / −1 − 3 −1 + 3
ð t f(u) = , u ≥ − ; f/(u) = ;f (u)=0 ⇔ u = (lo i) hay u =
2u + 1 4 (2u + 1) 2
2 2
1 −1 + 3
u − +∞
4 2
f/(u) + 0 −
2− 3
f(u)
2
5
− –∞
8
ðáp án ñ thi tuy n sinh ñ i h c 2011 – Môn toán kh i A
Http://ntquang.net/forum © Do Not Copy

4. Di n ñàn h c t p ntquang.net Box: Toán
 1  2− 3
V y h có nghi m ⇔ (1) có nghi m thu c  − ; +∞  ⇔ m ≤
 4  2
Câu VIa :
uuuu 3 uuu
r r 7 
1. G i M là trung ñi m c a AC, ta có BM = BG ⇔ M  ;1
2 2 
G i N là ñi m ñ i x ng c a B qua phân giác trong ∆ c a góc A và H là giao ñi m c a ∆ v i
ñư ng th ng BN.
ðư ng th ng BN có phương trình : x + y + 3 = 0
x + y + 3 = 0
=> T a ñ H là nghi m c a h phương trình :  ⇒ H (−1; −2)
x − y −1 = 0
 xN = 2 xH − xB = 2
H là trung ñi m c a BN ⇔  ⇒ N (2; −5)
 y N = 2 y H − y B = −5
ðư ng th ng AC qua 2 ñi m M, N nên có pt : 4x – y – 13 = 0
A là giao ñi m c a ñư ng th ng ∆ và ñư ng th ng AC nên t a ñ A là nghi m
4 x − y − 13 = 0
c ah :  ⇒ A(4;3)
x − y −1 = 0
 xC = 2 xM − x A = 3
M là trung ñi m c a AC ⇔  ⇒ C (3; −1)
 yC = 2 yM − y A = −1
uuuu
r
2. G i M là giao ñi m c a ñư ng th ng ∆ v i Ox ⇒ M (m; 0; 0) ⇒ AM = (m – 1; -2; -3)
uuuu uu
r r uuuu
r
AM ⊥ d ⇔ AM . ad = 0 ⇔ m = -1 ⇒ AM = (-2; -2; -3)
x −1 y − 2 z − 3
V y pt ∆ là = =
2 2 3
Câu VII.a :
G i z = a + bi (a, b ∈ R). Khi ñó z − (2 + 3i) z = 1 – 9i ⇔ a + bi – (2 + 3i)(a –bi) = 1 – 9i
− a − 3b = 1 a = 2
⇔ –(a + 3b) + (3b –3a)i = 1 –9i ⇔  ⇔
3b − 3a = −9 b = −1
V y z = 2 –i
Câu VI.b :
1. ðư ng tròn (C) có tâm I (1; -2), R = 10
uur
AI (0; −2) . Vì I và A cách ñ u M, N nên MN ⊥ AI, v y pt MN có d ng : y = b
MN = 2 d A/ MN = 2 b
d I / MN = b + 2
2
 MN 
d 2
+
I / MN  = R ⇔ b + 2b − 3 = 0 ⇒ b = 1 v b = −3
2 2
 2 
V y Pt : ∆1 : y = 1 ; ∆2 : y = − 3
 x = 1 + 2t

2. Phương trình tham s ñư ng th ng ∆  y = 3 + 4t
z = t

I ∈ (∆) ⇔ I (1 + 2t; 3 + 4t; t)
2(1 + 2t ) − (3 + 4t ) + 2t
d (I, P) = = 1 ⇔ t = 2 hay t = -1
3
ðáp án ñ thi tuy n sinh ñ i h c 2011 – Môn toán kh i A
Http://ntquang.net/forum © Do Not Copy

5. Di n ñàn h c t p ntquang.net Box: Toán
⇒ I1 (5; 11; 2) ⇒ Pt m t c u (S) : (x – 5)2 + (y – 11)2 + (z – 2)2 = 1
⇒ I2 (-1; -1; -1) ⇒ Pt m t c u (S) : (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 1
Câu VII.b :
2 x2 + 4 x
Ta có : y/ =
( x + 1) 2
y/ = 0 ⇔ x = 0 v x = – 2 (lo i)
17
mà y(0) = 3 và y(2) =
3
17
V y GTLN là và GTNN là 3
3
ðáp án ñ thi tuy n sinh ñ i h c 2011 – Môn toán kh i A
Http://ntquang.net/forum © Do Not Copy