1. Teoria Haosului

2. Ce este teoria haosului?
• Teoria haosului (sau teoria sistemelor complexe) este
o ramură a matematicii și fizicii moderne care descrie
comportamentul anumitor sisteme dinamice
neliniare, acelor sisteme care prezintă fenomenul de
instabilitate numit sensibilitate față de condițiile
inițiale, motiv pentru care comportamentul lor pe
termen relativ lung (deși se conformează legilor
deterministe) este imprevizibil, adică aparent haotic
(de unde și denumirea teoriei).

3. Introducere in teoria haosului
• Numele de Teorie a Haosului vine de la faptul ca în
sistemele descrise de aceasta există o dezordine
aparentă. Teoria haosului este un domeniu de studiu
în matematică, fizică, economie și filozofie și se
ocupă cu studierea comportamentului sistemelor
dinamice care sunt foarte sensibile față de conditiile
inițiale. Aceasta sensibilitate mai este numita și
"efectul fluturelui". Mici modificări ale condițiilor
inițiale (cum ar fi rotunjirea numerelor cu care se
lucrează) au ca efect rezultate haotice, facând ca
anticiparea efectelor pe termen lung sa fie imposibilă.

4. Fenomene
• Sistemele complexe sunt sistemele care contin atata de multe
elemente in miscare incat e nevoie de un calculator care sa calculeze
toate posibilitatile de interactiune. Acesta e motivul pentru care
Teoria Haosului nu avea cum sa apara inainte de sfarsitul secolului
al XX-lea. Mai exista un alt motiv pentru care aceasta teorie a
aparut atat de recent, acel motiv e Revolutia Mecanicii Cuantice si
felul in care a terminat Era Deterministica. Pana la aparitia
mecanicii cuantice oamenii credeau ca fenomenele sunt cauzate de
alte fenomene si ca tot ce se duce in sus trebuie sa vina in jos, si
numai prin descoperirea si etichetarea fiecarei particule din Univers
am putea sa cunoastem tot ce urma sa se intample. Sisteme intregi
de gandire au fost bazate pe aceasta idee si din nefericire inca sunt.
Atunci cand Sigmund Freud a inventat psihanaliza, el a pornit de la
ideea ca problemele mentale sunt rezultatul unor traume din trecut.
Regresia permitea pacientului sa isi strabata amintirile, sa gaseasca
si sa infrunte problema. Toata aceasta idee se baza pe o cauza si un
efect liniar. Teoria Haosului ne arata ca natura lucreaza dupa
anumite tipare care sunt suma mai multor impulsuri marunte.

5. Fenomene
• In 1960. Edward Lorentz a creat un model meteorologic pe unul din
calculatoarele Universitatii din Massachusetts. Modelul meteorologic al lui
Lorentz era compus dintr-o serie larga de formule complexe. Colegii si
studentii au ramas uimiti in fata modelului, deoarece acesta nu parea sa
repete nici o secventa, era cat se poate de asemanator cu vremea reala. Unii
oameni chiar au sperat ca daca vor fi introduse niste date meteorologice
, care sa fie in concordanta cu vremea de afara, modelul s-ar transforma
intr-un adevarat profet. Intr-o zi, Lorentz a schimbat modul de lucru al
modelului. A lasat programul sa ruleze anumiti parametri in baza carora sa
genereze un anumit tipar meteorologic pentru a putea sa observe mai bine
finalitatea procesului. Dar in loc sa lase programul sa ruleze cu setarile
initiale si sa calculeze rezultatul, Lorentz a decis sa opreasca si apoi sa
porneasca programul de la jumatatea secventei de rulare prin introducerea
valorilor pe care programul le calculase mai devreme si l-e tiparise. Dar
imprimanta putea sa tipareasca doar ultimele 3 zecimale. Deci in loc sa
introduca exact aceleasi numere cu 6 zecimale calculate de masina (care
tineau loc de vant, soare, etc.), Lorentz a introdus numere cu doar 3
zecimale. Aceasta inexactitate aparent minora a fost amplificata si a dat
peste cap intreg sistemul. Aceasta exactitate este foarte importanta.

6. Edward Lorentz

7. “Efectul de fluture”
• Acest efect se mai numeste si “efectul fluture” si se refera la
diferenta dintre punctele de pornire ale celor doua curbe din
grafic care e atat de mica incat poate fi comparata cu bataia
aripilor unui fluture. “Miscarea aripilor unui fluture azi poate
produce o mica schimbare a atmosferei. Din aceasta cauza si
de-a lungul unei anumite perioade de timp, atmosfera se va
schimba. Peste o luna poate, o tornada care trebuia sa
loveasca coasta Indoneziei nu va mai aparea. Sau din
contra, tocmai din aceasta cauza va aparea.” Acest fenomen
este cunoscut mai ales pentru dependenta sa de conditiile
initiale. Cea mai mica schimbare a conditiilor initiale duce la
rezultate complet diferite. Aceasta schimbare poate proveni de
la zgomot experimental sau de fond, lipsa de acuratete a
instrumentelor, etc. Acest gen de probleme sunt imposibil de
evitat, chiar si in cel mai performat si dotat laborator existent

9. Teoria haosului in natura
• Un exemplu de sistem complet dependent de conditiile initiale e
aruncarea unei monede. Exista doua variabile in aruncarea unei
monede: cat de repede loveste pamantul si cat de repede se roteste.
Teoretic, este posibil sa controlam aceste variabile, astfel reusind sa
stabilim ce fata va cadea in sus. Practic, e imposibil de controlat in
mod exact viteza de rotatie a monedei si inaltimea la care e
aruncata. Este posibil sa stabilim o medie ai acestor parametri, dar e
imposibil ca in baza lor sa facem estimari exacte asupra rezultatului
final. Aceasta problema poate fi regasita in biologie la estimarea
populatiilor biologice. Ecuatia ar fi simpla daca acele populatii doar
ar creste, dar efectul pradatorilor si a rezervei limitate de hrana
schimba totul. Atractorii Sistemele complexe par uneori prea
haotice pentru a mai putea recunoaste in ele un tipar. Dar prin
folosirea unor anumite tehnici, o gama larga de parametri pot fi
concentrati intr-un singur punct de pe un grafic.

10. Ce este un atractor straniu
• Imaginati-va un oras cu 10.000 de locuitori, pentru a-i acomoda pe
toti, orasul e nevoit sa construiasca 1 supermarket, 2 piscine, o biblioteca si
o biserica. Sa presupunem ca aceasta configuratie multumeste pe toata
lumea. Dar o companie va deschide o fabrica de inghetata in acest oras si va
pune la dispozitie 10.000 de locuri de munca care vor atrage alti oameni.
Orasul trebuie sa se extinda rapid pentru a reusi sa ii acomodeze pe toti cei
20.000 de locuitori. Alte constructii vor fi adaugate la cele initiale, pana in
clipa in care se va ajunge la un echilibru. Acest echilibru se numeste
atractor. Acum sa spunem ca in loc de a adauga 10.000 de oameni, 3.000 se
vor muta si 7.000 vor ramane. Supermarket-ul are nevoie de cel putin
8.000 de clienti pentru a putea functiona. Asa ca se va inchide iar oamenii
raman fara magazin. Cererea creste si o alta companie deschide un magazin
in zona, sperand ca noul magazin va atrage noi oameni. Si asa si este, dar
oamenii deja au hotarat ca pleaca iar noul magazin nu le schimba planurile.
Magazinul e deschis timp de un an dupa care da faliment. Oamenii se
muta, cererea creste, alt magazin deschis, oamenii se muta si iar nu sunt
suficienti, magazinul se inchide iar si tot asa. Aceasta situatie reprezinta si
ea un fel de echilibru, un echilibru dinamic. Echilibrul dinamic se numeste
atractor straniu.

11. Diferenta dintre atractori
• Diferenta dintre cei doi atractori e faptul ca atractorul
reprezinta o stare finala a sistemului, in timp ce
atractorul straniu reprezinta o traiectorie pe care ruleaza
sistemul de la o situatie la alta fara a ajunge la o
finalitate. Descoperirea atractorilor explica multe, dar cel
mai interesant fenomen descoperit de Teoria Haosului
este Auto-Similaritatea. Un fulg de zapada este compus
din molecule de apa. Aceste molecule nu au un sistem
nervos sau A.D.N. care sa le spuna ce sa faca. Cum de
stiu aceste molecule unde sa se duca si ce sa faca ca sa
formeze o stea cu sase colturi? Si de ce sunt diferite de
fiecare data? De unde stie molecula, ce formeaza unul
din colturile fulgului, ce model o sa urmeze celelalte
molecule, din alte colturi ale fulgului?

12. Exemple de sisteme haotice
• Un alt matematician, Helge von Koch, a creat o constructie
matematica numita Curba lui Koch. Pentru a crea curba lui
Koch, imaginati-va un triunghi echilateral. Acuma adaugati pe
fiecare latura un alt triunghi echilateral si continuati sa
adaugati pe fiecare din laturile triunghiurilor un alt triunghi
echilateral, ceea ce rezulta e o curba Koch. Orice parte a
ei, marita, arata exact ca originalul. Aceasta e o figura
autosimilara. Curba lui Koch prezinta un paradox interesant.
De fiecare data cand un nou triunghi este adaugat la figura
centrala, lungimea liniei creste. Dar aria interioara a curbei lui
Koch ramane mai mica decat aria unui cerc desenat in jurul
triunghiului original. In esenta, este o linie de o lungime
infinita ce inconjoara o zona finita. Pentru a putea depasi
aceasta dificultate, matematicienii au inventat dimensiunile
fractale.

13. Fractalii
• Cuvantul fractal provine din cuvantul fractional. Un
fractal este “o figura geometrica fragmentata sau franta
care poate fi divizata in parti, astfel incat fiecare dintre
acestea sa fie (cel putin aproximativ) o copie miniaturala
a intregului”. Dimensiunea fractala a curbei lui Koch e de
1.26. O dimensiune fractionala e imposibil de
perceput, dar are sens. In comparatie cu cu o simpla linie
sau curba, care au o singura dimensiune, curba Koch e
bruta si incretita. De aceea ea ocupa spatiu mai usor, dar
nu il poate umple asemenea unui patrat cu doua
dimensiuni, deoarece nu are arie. Prin urmare
dimensiunea curbei Koch e undeva intre cele doua.
Termenul de fractal a ajuns sa descrie orice imagine care
prezinta atributul de auto-similaritate.

16. Haosul inconjurator
• Studii mai aprofundate ale haosului, facute de Lorenz si de
alti savanti, au dus la descoperirea faptului ca, la scara
larga, sistemele haotice ordoneaza structuri si tipare. Asa a
aparut geometria fractala, care descrie sistemele haotice
intalnite in natura; aceasta abordare a permis identificarea
importantei proceselor recursive in natura.
• De atunci, structuri fractale au fost descoperite in multe
intamplari ale vietii: de la dinamica popoarelor, la traiectoria
asteroizilor in sistemul solar sau la cea a satelitilor
artificiali, de la turbulentele din jurul unui submarin sau ale
unui avion, la evolutia Bursei. Chiar si inima omului
functioneaza dupa un tipar haotic: intervalul dintre bataile
inimii nu ramane constant, ci depinde de activitatea depusa
de fiecare om in parte si de nivelul de stres la care acesta este
supus.