2. SISTEMA DE ECUACIONES
Es la reunión de dos o más ecuaciones que deben satisfacerse
para los mismos valores de las incógnitas.
SOLUCIÓN DEL SISTEMA
Es el conjunto de valores numéricos o literales que satisfacen las ecuaciones.
Los sistemas de ecuaciones pueden ser Numéricos o Literales, según la
naturaleza de las ecuaciones que los constituyen.
Un sistema numérico es: Un sistema literal es:
7 x + 4 y = 13 ax + by = abc
 
 5 x − 2 y = 19 ax − by = 0
Cuando la solución de un sistema es única, es decir, existe un sólo
valor para cada incógnita, el sistema se llama Determinado. Por lo
general el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones.

3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Para la resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado
con dos incógnitas se aplican métodos de eliminación, que
consisten esencialmente en eliminar una de las incógnitas y
obtener una sola ecuación de una incógnita.
Los métodos de eliminación más usuales son:
•Método por Sustitución
•Método por Igualación
•Método por Reducción
•Método Gráfico
•Método por Determinantes

4. MÉTODO POR SUSTITUCIÓN
REGLA: Para la eliminación por Sustitución, se siguen los siguientes pasos:
1. Se despeja una de las incógnitas de una de las ecuaciones del
sistema.
2. Se sustituye este valor obtenido en la otra ecuación.
3. Se resuelva la ecuación de primer grado con una incógnita que
así se obtiene.
4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las ecuaciones
originales.
5. Se comprueba la solución, sustituyendo los valores obtenidos en
las ecuaciones dadas.

5. Ejemplo: Resolver por sustitución el sistema:  m + 3n = 6 ( 1)

5m − 2n = 13 ( 2 )
1°. Despejando “m” de la (1)
m + 3n = 6
4°. Sustituyendo “n” en (1)
m = 6 − 3n m + 3n = 6
2°. Sustituyendo “m” en la (2) m + 3 ( 1) = 6
5m − 2n = 13 m+3 = 6
5 ( 6 − 3n ) − 2n = 13 m = 6 −3
3°. Resolviendo la ecuación obtenida
m=3
5°. Comprobando los valores
5 ( 6 − 3n ) − 2n = 13
30 − 15n − 2n = 13 Ecuación (1) Ecuación (2)
−15n − 2n = 13 − 30 m + 3n = 6 5m − 2n = 13
−17 n = −17 3 + 3 ( 1) = 6 5 ( 3) − 2 ( 1) = 13
−17 3+3 = 6 15 − 2 = 13
n= 13 = 13
−17 6=6
n =1 R/ La solución del sistema es: m = 3 ∧ n = 1

6. MÉTODO POR IGUALACIÓN
REGLA: Para la eliminación por Igualación, se siguen los siguientes pasos:
1. Se despeja una de las incógnitas en cada una de las ecuaciones,
ésta debe ser la misma en ambas.
2. Se igualan los dos valores de las incógnitas así obtenidas.
3. Se resuelva la ecuación de primer grado con una incógnita que
así se obtiene.
4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las ecuaciones
originales.
5. Se comprueba la solución, sustituyendo los valores obtenidos en
las ecuaciones dadas.

7. Ejemplo: Resolver por igualación el sistema: 3 x − 2 y = 7 ( 1)

 5x + y = 3 ( 2)
1°. Despejando “x” en ambas ecuaciones
Ecuación (1) Ecuación (2) 4°. Sustituyendo “y” en (1)
3x − 2 y = 7 5x + y = 3 3x − 2 y = 7
3x = 7 + 2 y 5x = 3 − y 3x − 2 ( −2 ) = 7
7 + 2y 3− y 3x + 4 = 7
x= x=
3 5 3x = 7 − 4
2°. Igualando ambos despejes 3x = 3
7 + 2y 3− y x=
3
= 3
3 5
3°. Resolviendo la ecuación obtenida x =1
5°. Comprobando los valores
5( 7 + 2 y ) = 3( 3 − y )
35 + 10 y = 9 − 3 y Ecuación (1) Ecuación (2)
3x − 2 y = 7 5x + y = 3
10 y + 3 y = 9 − 35
3 ( 1) − 2 ( −2 ) = 7 5 ( 1) + ( −2 ) = 3
13 y = −26
3+ 4 = 7 5−2 = 3
−26
y= 7=7 3=3
13
y = −2 R/ La solución del sistema es: x = 1 ∧ y = −2

8. MÉTODO POR REDUCCIÓN
REGLA: Para la eliminación por Reducción, se siguen los siguientes pasos:
1. Determinamos que variable eliminar, luego el coeficiente de
dicha variable en la ecuación (1) se ha de multiplicar por la
ecuación (2), y el coeficiente de la variable a eliminar de la
ecuación (2) se multiplica por la ecuación (1). Procurando que
los coeficientes de la variable a eliminar tengan signos
contrarios.
2. Reducimos los términos y resolvemos la ecuación resultante.
3. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones
originales.
4. Se comprueba la solución, sustituyendo los valores obtenidos en
las ecuaciones dadas.

9. Ejemplo: Resolver por reducción el sistema: 6 x + 7 y = 17 ( 1)

 5 x + 9 y = 11 ( 2)
Vamos a eliminar la variable “x” y notemos que los signos de los
coeficientes de dicha variable son iguales, por tanto hemos de
multiplicar una de las ecuaciones por un coeficiente negativo.
1°. Multiplicando ambas ecuaciones 2°. Reduciendo términos
por ( −5 ) 6 x + 7 y = 17 ⇒ −30 x − 35 y = −85 − 30x − 35 y = −85
por ( 6 ) 5 x + 9 y = 11 ⇒ 30 x + 54 y = 66 30 x + 54 y = 66
19 y = −19
3°. Sustituyendo “y” en (1)
6 x + 7 y = 17 −19
y=
19
6 x + 7 ( −1) = 17
y = −1
6 x − 7 = 17
4°. Comprobando los valores
6 x = 17 + 7
6 x = 24 Ecuación (1) Ecuación (2)
24 6 x + 7 y = 17 5 x + 9 y = 11
x=
6 6 ( 4 ) + 7 ( −1) = 17 5 ( 4 ) + 9 ( −1) = 11
x=4 24 − 7 = 17 20 − 9 = 11
17 = 7 11 = 11
R/ La solución del sistema es: x = 4 ∧ y = −1

10. MÉTODO GRÁFICO
Resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas, consiste en hallar el punto de intersección de las gráficas
de Las ecuaciones lineales, para ello es necesario graficar las dos
ecuaciones en un mismo sistema de coordenadas cartesianas.
• Se despeja la variable “y” en cada una de las ecuaciones, y
luego se elabora una tabla, asignándole valores a “x”.
• Se grafican ambas ecuaciones en un mismo plano cartesiano.
• Se observa el punto de intersección de ambas gráficas.
• Se comprueba la solución, sustituyendo los valores del punto de
intersección observado en las ecuaciones dadas.

11. Ejemplo: Resolver gráficamente el sistema:  x − y = −3 ( 1)

1°. Tabulando ambas ecuaciones
3 x + 2 y = −4 ( 2 )
Despejando “y” en (1) Despejando “y” en (2)
x − y = −3 3 x + 2 y = −4
− y = −3 − x 2 y = −4 − 3 x
y = 3+ x −4 − 3 x
y=
2
x y = 3+ x y ( x, y ) x y=
−4 − 3 x
y ( x, y )
2
0 y = 3+ 0 3 ( 0, 3) −4 − 3 ( 0 )
0 y=
2
−2 ( 0, − 2)
1 y = 3 +1 4 ( 1, 4 )
−4 − 3 ( 1) 7  7
1 y= − 1, − 
2 2  2
2 y = 3+ 2 5 ( 2, 5 )
−4 − 3 ( 2 )
2 y=
2
−5 ( 2, − 5)

12. 2°. Graficando ambas ecuaciones en un mismo sistema
7 3°. Observando el gráfico,
y
6
notamos que la intersección
5
se da en el punto ( −2, 1)
4
3
2 En dicho punto, x = − 2 ∧ y = 1
1
x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-1 4°. Comprobando los valores
-2 Ecuación (1) Ecuación (2)
-3 x − y = −3 3x + 2 y = −4
-4 −2 − 1 = −3 3 ( −2 ) + 2 ( 1) = −4
-5 −3 = −3 −6 + 2 = −4
-6 −4 = −4
-7
R/ La solución del sistema es: x = −2 ∧ y = 1

13. MÉTODO POR DETERMINANTES
REGLA:
• El valor de cada incógnita del sistema de dos ecuaciones de
primer grado con dos incógnitas, es una fracción que tiene por
denominador el determinante formado por los coeficientes de las
incógnitas “x” e “y”, llamado Determinante del Sistema, y por
numerador el determinante que se obtiene al sustituir en el
determinante del sistema la columna de los coeficientes de la
incógnita buscada los términos independientes de las ecuaciones
dadas.
• Se comprueba la solución, sustituyendo los valores obtenidos en
las ecuaciones dadas.

14. 4 x + 9 y = 3 ( 1)
Ejemplo: Resolver por determinantes el sistema: 
3 x + 7 y = 2 ( 2 )
1°. Calculando valores para cada variable
2°. Comprobando los valores
3 9 Ecuación (1) Ecuación (2)
x=
2 7
=
( 3) ( 7 ) − ( 2 ) ( 9 ) = 21 − 18 = 3 = 3 4x + 9 y = 3 3x + 7 y = 2
4 9 ( 4 ) ( 7 ) − ( 3) ( 9 ) 28 − 27 1 4 ( 3) + 9 ( −1) = 3 3 ( 3) + 7 ( −1) = 2
3 7 12 − 9 = 3 9−7 = 2
3=3 2=2
4 3
y=
3 2
=
( 4 ) ( 2 ) − ( 3) ( 3) = 8 − 9 = −1 = −1
4 9 ( 4 ) ( 7 ) − ( 3) ( 9 ) 28 − 27 1
3 7
R/ La solución del sistema es: x = 3 ∧ y = −1

15. GUÍA DE EJERCICIOS
Resolver utilizando el método de Sustitución los siguientes sistemas
 x + 2 y = 12  5x − y = 9 5 x − 3 y = 22
  
 3x + y = 16  2x + 4 y = 8  2x + y = 0
Resolver utilizando el método de Igualación los siguientes sistemas
 x + 3y = 6  x+ y =5 4n + 3m = 8
  
5 x − 2 y = 13 2 x + y = 8 8m − 9n = −77
Resolver utilizando el método de Reducción los siguientes sistemas
 x + 3 y = −4 x + y = 0 2 x + 2 y = 10
  
 x + 2 y = −3  5 x = y + 18  x − 2 y = −4
Resolver utilizando el método Gráfico los siguientes sistemas
x − y = 1 5 x − 3 y = 0 x − 2 y = 3
  
x + y = 7  7 x − y = −16  x = y +1
Resolver utilizando el método por Determinates los siguientes sistemas
 3x + 8 y = 38 4 x − 26 = y  2x + 3y = 8
  
7 x − 2 y = 6  5 y − 31 = −3 x  2 x + 2 y = 10