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Distribución Binomial Negativa y Geométrica

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Distribuciones Binomial negativa y geométrica
MSc Edgar Madrid Cuello.
Dpto de Matemática, UNISUCRE
Estadística I
2018
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones Binomial negativa y geométrica 2018 1 / 11
¾cuál es la probabilidad de tener que repetir el experimento n veces para
obtener de manera exacta k éxitos?.
Es decir, ahora el número de éxitos permanece constante en tanto que el
número de repeticiones X es una variable aleatoria.
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones Binomial negativa y geométrica 2018 2 / 11
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¾cuál es la probabilidad de tener que repetir el experimento n veces para
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Es decir, ahora el número de éxitos permanece constante en tanto que el
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Denición (Distibución binomial negativa y geométrica)
Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución binomial negativa
parámetros k y p, si su función de densidad está dada por :
f(x) =
x−1
k−1 pk(1 − p)x−k si x = k, k + 1, . . .
0 e.c.o.c
En el caso especial k = 1, se dice que la v.a tiene distribución geométrica
de parámetro p (ver 1, Pág. 126)
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones Binomial negativa y geométrica 2018 3 / 11
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Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución binomial negativa
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f(x) =
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En el caso especial k = 1, se dice que la v.a tiene distribución geométrica
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Distribución Binomial Negativa y Geométrica

  • 1. Distribuciones Binomial negativa y geométrica MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística I 2018 MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones Binomial negativa y geométrica 2018 1 / 11
  • 2. ¾cuál es la probabilidad de tener que repetir el experimento n veces para obtener de manera exacta k éxitos?. Es decir, ahora el número de éxitos permanece constante en tanto que el número de repeticiones X es una variable aleatoria. MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones Binomial negativa y geométrica 2018 2 / 11
  • 3. ¾cuál es la probabilidad de tener que repetir el experimento n veces para obtener de manera exacta k éxitos?. Es decir, ahora el número de éxitos permanece constante en tanto que el número de repeticiones X es una variable aleatoria. MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones Binomial negativa y geométrica 2018 2 / 11
  • 4. ¾cuál es la probabilidad de tener que repetir el experimento n veces para obtener de manera exacta k éxitos?. Es decir, ahora el número de éxitos permanece constante en tanto que el número de repeticiones X es una variable aleatoria. MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones Binomial negativa y geométrica 2018 2 / 11
  • 5. Denición (Distibución binomial negativa y geométrica) Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución binomial negativa parámetros k y p, si su función de densidad está dada por : f(x) = x−1 k−1 pk(1 − p)x−k si x = k, k + 1, . . . 0 e.c.o.c En el caso especial k = 1, se dice que la v.a tiene distribución geométrica de parámetro p (ver 1, Pág. 126) MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones Binomial negativa y geométrica 2018 3 / 11
  • 6. Denición (Distibución binomial negativa y geométrica) Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución binomial negativa parámetros k y p, si su función de densidad está dada por : f(x) = x−1 k−1 pk(1 − p)x−k si x = k, k + 1, . . . 0 e.c.o.c En el caso especial k = 1, se dice que la v.a tiene distribución geométrica de parámetro p (ver 1, Pág. 126) MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones Binomial negativa y geométrica 2018 3 / 11
  • 7. 4 6 8 10 12 0.050.100.15 Número de ensayos Probabilidad q q q q q q q q q q Figure: 1 Función de probabilidad de una distribución binomial negativa con parámetros k = 3 y p = 1 2 MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones Binomial negativa y geométrica 2018 4 / 11
  • 8. Ejemplo Los empleados de una empresa que manufactura aislamientos están siendo examinados en busca de indicios de asbesto en sus pulmones. La empresa ha sido requerida para enviar tres empleados que tengan indicios positivos de asbesto a un centro médico para realizarles exámenes adicionales. Si 40% de los empleados tienen indicios positivos de asbesto en sus pulmones, encuentre la probabilidad de que diez empleados deban ser examinados para hallar tres positivos. (ver 5, ejercicio 3.90) MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones Binomial negativa y geométrica 2018 5 / 11
  • 9. Ejemplo Los empleados de una empresa que manufactura aislamientos están siendo examinados en busca de indicios de asbesto en sus pulmones. La empresa ha sido requerida para enviar tres empleados que tengan indicios positivos de asbesto a un centro médico para realizarles exámenes adicionales. Si 40% de los empleados tienen indicios positivos de asbesto en sus pulmones, encuentre la probabilidad de que diez empleados deban ser examinados para hallar tres positivos. (ver 5, ejercicio 3.90) MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones Binomial negativa y geométrica 2018 5 / 11
  • 10. Ejemplo Los empleados de una empresa que manufactura aislamientos están siendo examinados en busca de indicios de asbesto en sus pulmones. La empresa ha sido requerida para enviar tres empleados que tengan indicios positivos de asbesto a un centro médico para realizarles exámenes adicionales. Si 40% de los empleados tienen indicios positivos de asbesto en sus pulmones, encuentre la probabilidad de que diez empleados deban ser examinados para hallar tres positivos. (ver 5, ejercicio 3.90) MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones Binomial negativa y geométrica 2018 5 / 11
  • 11. Teorema (propiedades de la distribución binomial negativa) Si X es una variable aleatoria con distribución binomial negativa de parámetros k y p, entonces: 1 µX = E X = k p 2 σ2 X = V X = k(1 − p) p2 Ejemplo Consulte el Ejercicio 3.90. Si cada examen cuesta $20, encuentre el valor y la varianza esperados del costo total de realizar los exámenes necesarios para hallar los tres positivos. (ver 5, ejercicio 3.91) MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones Binomial negativa y geométrica 2018 6 / 11
  • 12. Teorema (propiedades de la distribución binomial negativa) Si X es una variable aleatoria con distribución binomial negativa de parámetros k y p, entonces: 1 µX = E X = k p 2 σ2 X = V X = k(1 − p) p2 Ejemplo Consulte el Ejercicio 3.90. Si cada examen cuesta $20, encuentre el valor y la varianza esperados del costo total de realizar los exámenes necesarios para hallar los tres positivos. (ver 5, ejercicio 3.91) MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones Binomial negativa y geométrica 2018 6 / 11
  • 13. Ejemplo Determinar el número esperado y la varianza del número de veces que es necesario lanzar un dado corriente hasta que el resultado 1 ocurra 4 veces. MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones Binomial negativa y geométrica 2018 7 / 11
  • 14. Teorema (propiedades de la distribución geométrica) Si X es una variable aleatoria con distribución geométrica de parámetro p, entonces: 1 µX = E X = 1 p 2 σ2 X = V ar X = (1 − p) p2 MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones Binomial negativa y geométrica 2018 8 / 11
  • 15. Teorema (propiedades de la distribución geométrica) Si X es una variable aleatoria con distribución geométrica de parámetro p, entonces: 1 µX = E X = 1 p 2 σ2 X = V ar X = (1 − p) p2 MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones Binomial negativa y geométrica 2018 8 / 11
  • 16. Ejemplo De un grupo de 50 esquizofrénicos, 12 padecen alteraciones cerebrales. Seleccionados varios de ellos, calcule la probabilidad de que el tercero con alteración cerebral se encuentre en la 10a consulta de historiales. MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones Binomial negativa y geométrica 2018 9 / 11
  • 17. Ejercicio En un experimento de percepción auditiva, la detección de una señal sobre un fondo de ruido tiene una distribución binomial negativa, con p = 0.3. (donde p es la probabilidad de detención del ruido). Si el experimento termina con la quinta detección correcta. Calcular la probabilidad de que se necesiten menos de 7 ensayos. MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones Binomial negativa y geométrica 2018 10 / 11
  • 18. Bibliográa [1] Blanco, L. Probabilidad, Universidad Nacional de Colombia , Bogotá D.C. 2010 [2] Devore, J.L. Probabilidad y estadistica para Ingenieria y ciencias, Cengage Learning, 7a edición, Mexico, D.F., 2008 [3] Lind, D. and Marchal, W. y Wathen, S., Estadística Aplicada a los negocios y a la economía. Mc Graw Hill, Mexico, D.F., 2012. [4] Llinás, H. Guía resumida de Estadística Aplicada. Uninorte, Barranquilla, 2012. [5] Wackerly, D., Mendenhall, W., Scheaer, R. Estadística matemáticas con aplicaciones.CENGAGE Learning, Mexico, D.F., 2013. MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones Binomial negativa y geométrica 2018 11 / 11