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Aplicações do Homomorfismocubo de rubik,[object Object],Professor Edinei Reis,[object Object]
Problema – Resolver o Cubo de Rubik ou Cubo Mágico,[object Object],Podemos utilizar a teoria dos grupos para resolver o Cubo de Rubik.,[object Object],,[object Object]
Notação de Singmaster,[object Object],[object Object]
U – Up
F - Front
R - Right
D - Down
B - Back
L - Left ,[object Object]
Rotações do Cubo,[object Object],São permutações do conjunto dos “cubinhos”.,[object Object],Executar rotações sucessivamente corresponde a compor essas permutações.,[object Object],RU-1 e U-1R não correspondem ao mesmo rearranjo do cubo, já que a composição de funções não é, em geral, comutativa.,[object Object]
Rotações do Cubo,[object Object],RU-1: ,[object Object],R =>,[object Object],U-1 =>,[object Object],U-1R: ,[object Object],U-1=>,[object Object],R =>,[object Object],Permutação é uma bijeção, de um conjunto finito nele mesmo.,[object Object]
Permutações,[object Object],O conjunto de todas as permutações das facetas do Cubo  de Rubik é um grupo, bem grande e complexo (mas não é infinito).,[object Object],O conjunto de todas as permutações das facetas do Cubo de Rubik forma um grupo R chamado Grupo de Rubik.,[object Object]
Permutações – Ciclos,[object Object],Um ciclo pode ser pensado como uma série de transições de estado que acaba  por retornar ao estado inicial.,[object Object],S1 -> S2 -> ... -> Sn -> S1,[object Object],Aplicação de ciclos no cubo,[object Object],Macro S = L2F2 => Software Rubik,[object Object]
Curiosidade,[object Object],O tamanho deste grupo R é de 4 x 1019 elementos. E existe uma afirmação interessante antes de ser conhecido este número:,[object Object],“A Companhia de Brinquedos Ideal afirmava na caixa do Cubo Mágico original que ele poderia atingir mais de três bilhões de possíveis configurações. Isto é o mesmo que o McDonald’s orgulhosamente anunciar que eles já venderam mais de 120 hamburgers”.,[object Object],J. A. Paulos, Innumeracy,[object Object]
O grupo Zn,[object Object],[object Object]
Zn é um grupo cíclico. Temos, por exemplo, Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, que é um grupo cíclico finito.,[object Object]
Homomorfismo de Grupos,[object Object],Uma função y: G  H é um homomorfismo de grupos se y(1) = 1 e para todo g, h  G, y(g  h) = y(g)  y(h).,[object Object],Vimos também que se y é bijetora (isto é injetora e sobrejetora), dizemos que y é uma isomorfismo () de grupos.,[object Object]
Homomorfismo no Cubo de Rubik,[object Object],Seja a função y: Z6 R definida por y(k) = (FFLL)k é um homomorfismo injetor de grupos.,[object Object],Sua imagem é o subgrupo H = F2L2. Portanto HZ6. ,[object Object]
Homomorfismo no Cubo de Rubik,[object Object],Ao aplicarmos a macro y(k) = (FFLL)k, observamos que o Grupo de Rubik com k = 6 é homomorfo a Z6.,[object Object],Ou seja, se executarmos a macro FFLL ou F2L2 seis vezes, o cubo volta ao seu estado original.,[object Object],As macros F2U2, D2R2, L2B2 são similares à função y(k) = (FFLL)k, também com k = 6.,[object Object]
Homomorfismo no cubo de Rubik,[object Object],As macros L2R2B2L2D2R2 e ,[object Object],	R-1UR-1BRU-1R-1LU-1L-1UB-1RR também com k = 6, volta o cubo ao seu estado original.,[object Object],Podemos utilizar o software RUBIK para fazer as iterações e descobrir a ordem de uma macro.,[object Object]
Homomorfismo no cubo de Rubik,[object Object],Por exemplo, a macro F tem ordem 4 e, a macro B2F2R2 também tem ordem 4, ou seja, o grupo de Rubik com a função y(k) = (F) ou g(k) = (B2F2R2) com k = 4 é homomorfo a Z4.,[object Object]
Outra aplicação dos homomorfismos de grupos no cubo de Rubik,[object Object],Grupo das Fatias F:,[object Object]
Grupo das Fatias F:,[object Object],O grupo das fatias F é o subgrupo de R gerado pelos movimentos F*, D* e R*, ou seja: ,[object Object],F = F*; D*; R*,[object Object]

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