A hipérbole é uma curva plana definida pela diferença das distâncias de um ponto a dois focos fixos. Possui elementos como semi-eixos real e imaginário, focos, semidistância e distância focal. Sua equação geral relaciona essas grandezas e permite representá-la algebraicamente.

1. Hipérbole
Aula - 12

2. Definição
Hipérbole
1 2( , ) ( , ) 2d P F d P F a 
P(x,y)
F2F1
0
c
a a
x

3. Elementos
Hipérbole
semi-eixo real: a
semi-eixo imaginário: b
F1 A1
B1
O  A2 F2
B2
b
c c
y
x

4. Eixo real: , contém os focos.
Elementos
Hipérbole
Semidistância focal: c
Distância focal: 2c
1 2 2A A a
Eixo imaginário: 1 2 2 ( 0)B B b b  2 2 2
a b c 
Excentricidade
c
e
a

1c a e  

5. Equações
Hipérbole
P(x,y)
F2F1
0
c
a a
x

6. Equações
Hipérbole
Focos:    1 2, 0 , , 0F c F c
1 2( , ) ( , ) 2d P F d P F a  
   
2 22 2
2x c y x c y a      
2 2
2 2
1
x y
a b
 
P(x,y)
F2F1
0
c
a a
x

7. Equações
F2
A2
A1
F1
c
a
2 2
2 2
1
y x
a b
 

8. Hipérbole equilátera
F1
0
c
F2
b a
a b

9. Retas assíntotas
Hipérbole
F1 F2
aa
b b
a a
b
y
x

10. Retas assíntotas
Hipérbole
Eixo horizontal:
b
m
a
 
b
y x
a
  
Eixo vertical:
a
m
b
 
a
y x
b
  
F1 F2
aa
b b
a a
b
y
x

11. Exemplo
Determinar a equação da hipérbole de focos
e e vértices e .
 1 5,0F
 2 5,0F   1 3,0V  2 3,0V 

12. Solução
e 1 5,0F  2 5,0F  5c 
2 2
2 2
1
x y
a b
 
 1 3,0V  2 3,0V e 3a 

13. Solução
2 2 2
c a b= + 2 2 2
5 3 bÞ = + 2
25 9bÞ = -
2
16 4b b= Þ =
2 2
2 2
1
x y
a b
- =
2 2
1
9 16
x y
Þ - =

14. Exemplo
Determinar a equação da hipérbole de focos ,
e sabendo-se que o
comprimento do eixo real é 6 unidades.
( )1 0, 4F ( )2 0, 4F -

15. Solução
e( )1 0, 4F ( )2 0, 4F - 4c 
2 2
2 2
1
y x
a b
- = 2 6a = 3a 
2 2 2
c a b= + 2 2 2
4 3 +b  2
16 – 9b = 2
7b =
2 2
1
9 7
y x
- =

16. Exemplo
Determinar o centro, as medidas do eixo real e
do eixo imaginário, a excentricidade e os focos
da hipérbole 2 2
– 16x y =

17. Solução
2 2
– 16 :16x y =
2 2
1
16 16
x y
- =  C 0, 0
Eixo real: 1 2 2A A a= 2= 2 4= × 8=
Eixo imaginário: 1 2: 2B B b= 2 4= × 8=

18. Solução
4a b= = Hipérbole equilátera
Excentricidade:
c
e
a
=
2 2 2
c a b= + 2 2 2
4 4c   32c  4 2=
4 2
4
e  2

19. Solução
Focos ( )1 0 0,F x c y- e ( )2 0 0,F x c y+
( )1 4 2,0F = - ( )2 4 2,0F =e

20. Exemplo
Determinar a excentricidade e a equação das
assíntotas da hipérbole de equação 2 2
4 – 16.x y =

21. Solução
2 2
4 16x y- =
2 2
4 16
16 16 16
x y
  
2 2
1
4 16
x y
  
2
4 2a a  
2
16 4b b  
2 2 2
c a b= + 2
4 16c   2
20c 
20c = 2 5c 

22. Solução
c
e
a
=
2 5
2
e  5e 
b
y x
a
=
4
2
y x  2y x 
b
y x
a
= -
4
2
y x   2y x  

23. Centro fora da origem
y
a
0
F1 A1 C A2 F2
hh-c h+c
x
P(x,y)
k
( ) ( )
2 2
2 2
1
x h y k
a b
- -
- =
( , )C h k

24. Centro fora da origem
y
k+c
k
k-c
o h x
P(x,y)
F2
A2
C
A1
F1
( , )C h k
( ) ( )
2 2
2 2
1
y k x h
a b
- -
- =

25. Exemplo
Determine a equação da hipérbole de vértices
1(1, 2)A - e sabendo que é um2 (5, 2)A - (6, 2)F -
Focos.

26. Solução
o
y
1 3 5 6
-2
A1 C A2
x
F
(3, 2)C -
1( , )a d C A= 2=
( , )c d C F= 3=

27. Solução
( ) ( )
2 2
2 2
1
x h y k
a b
- -
- = (3, 2)C - 2a =
2 2 2
c a b= + 2
9 4 b  
2
5b =
( ) ( )
2 2
3 2
1
4 5
x y- +
- =

28. Solução
2 2 2
c a b= +
2
9 4 b= +
2
5b =
( ) ( )
2 2
3 2
1
4 5
x y- +
- =

29. Exemplo
Determine a equação da hipérbole de vértices
( 4,0)A  Passando por (8,2)P

30. Solução
5
0
-5
-2
A1
-4 2 4-10 -8 -6 6 8 10 12
P
A2

31. Solução
4a = 2
16a 
2 2
2 2
1
x y
a b
- =
2 2
2 2
8 2
1
4 b
- =
2
64 4
1
16 b
- =
2
4
4 1
b
- =
2 4
3
b =
2 2
1
416
3
x y
- =

32. Solução
2
23
1
16 4
x
y- =
2 2
12 16 0x y- - =
2 2
1
416
3
x y
- =

33. Solução
Determine a equação da hipérbole equilátera de
focos e1( 1, 5)F - - 2 (5, 5)F -

34. Solução
Hipérbole equilátera a b 
2 2 2
c a b= + 2 2
2c a 
2
2
2
c
a 
( , )C h k é o ponto médio entre os focos
5 ( 1)
2
h
+ -
= 2=
( 5) ( 5)
2
k
- + -
= 5= -
1( 1, 5)F - - 2 (5, 5)F -

35. Solução
1( , )c d F C= 3=
2 9
2
a =
( ) ( )
2 2
2 5
1
9 9
2 2
x y- +
- =
( ) ( )
2 2 9
2 5
2
x y- - + =

36. Solução
2 2 9
4 4 ( 10 25)
2
x x y y- + - + + = ( 2)´
2 2
2 8 8 2 20 50 9 0x x y y- + - - - - =
2 2
2 2 8 20 51 0x y x y- - - - =
( ) ( )
2 2 9
2 5
2
x y- - + =

37. Obrigado!