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Suma de ángulos
Conceptos básicos Punto y línea   son términos no definidos en geometría. La huella que deja el lápíz al deslizarse pegado al borde de una regla es una   línea recta . La huella que deja el lápiz estando fijo en la escritura, da idea de lo que es un  punto . El geómetra griego Euclides (330 a. C. - 275 a.C.), decía: ¨Punto es lo que no tiene partes”. En realidad, Euclides se refería a punto como algo que no tiene largo ni ancho; o sea, una pequeña marca o señal sin dimensiones largo y ancho como la intersección de dos líneas. Los puntos se denotan con letras mayúsculas y las rectas con letras minúsculas cursivas, solas o con subíndices. ...   1 0 2 3 4 5 6 7 8    3  2 A B
Una línea recta tiene largo pero no tiene ancho. El largo de una línea recta no tiene fin; o sea, la línea recta es ilimitada. En los trazos se trabaja con partes de línea determinadas por dos puntos de ella, estas partes se llaman  segmentos  y a los puntos que los determinan se les llama  extremos  del segmento.  A los segmentos se les denota con las letras de sus extremos colocándoles una raya encima. Por ejemplo,  denota al segmento determinado por los puntos  A   y  B , los cuales son extremos del segmento. La notación  se lee “segmento  A ,  B” .  Cualquier punto de una línea recta, determina en ella, dos   rayos  o   semirrectas ; en cuyo caso al punto se le llama  extremo  del rayo o de la semirrecta.  A O B A A B C D O B O
Un  ángulo   es una figura geométrica formada por dos semirrectas que tienen un extremo común llamado  vértice  del ángulo. Las semirrectas que forman un ángulo, se llaman  lados   del ángulo.  A O B m  AOB   se lee “ángulo A, O, B”  m   se lee “ángulo m” A 135  O B 135  A O B
Los ángulos por su medida se clasifican en  agudos ,  rectos ,  llanos  o  colineales  y  entrantes .  Un ángulo  agudo   mide menos de 90 o Un ángulo  recto  mide 90 o Un ángulo  obtuso  mide más de 90 o Un ángulo  entrante  mide más de 180 o Un ángulo  llano  mide 180 o
Los ángulos por su posición en las figuras se clasifican en  adyacentes ,  opuestos por el vértice ,  alterno-internos ,  alterno-externos ,  correspondientes ,  colaterales-internos ,  y  colaterales-externos .  a c b d y n x m   son opuestos por el vértice    son alterno-internos    son correspondientes   son alterno-externos   son adyacentes   son colaterales-internos   son colaterales-externos
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes c b a Demostración: Porque forman un ángulo llano ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Por qué?
Paralelas Los rayos de luz que irradia un foco en los faros de un automóvil se reflejan como rayos  paralelos   desde el espejo curvo integrado a cada faro como se muestra en la figura adjunta  Foco Si el terreno es plano, las vías rectas del tren son  paralelas .  En regiones planas, dos rectas son  paralelas  si no se cortan.  En un curso formal de geometría euclidiana se demuestra la siguiente propiedad :  1  2
Los ángulos alterno-internos entre paralelas, tienen la misma medida. a b Usando esta propiedad dos y medio siglos A.C., el matemático y astrónomo griego Eratóstenes calculó el radio de la Tierra, con una aproximación asombrosa a la medida que se conoce hoy en día. Posiblemente Eratóstenes hizo una figura como la siguiente: entonces Si
En esto, considérese la longitud   de la circunferencia terrestre en donde  r  es la medida del radio de la Tierra. Los puntos  A  y  S  respectivamente denotan las posiciones de las ciudades Alejandría y Siena. Dado que la distancia entre Siena y Alejandría es aproximadamente igual a 804 km, entonces
Fin

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  • 2. Conceptos básicos Punto y línea son términos no definidos en geometría. La huella que deja el lápíz al deslizarse pegado al borde de una regla es una línea recta . La huella que deja el lápiz estando fijo en la escritura, da idea de lo que es un punto . El geómetra griego Euclides (330 a. C. - 275 a.C.), decía: ¨Punto es lo que no tiene partes”. En realidad, Euclides se refería a punto como algo que no tiene largo ni ancho; o sea, una pequeña marca o señal sin dimensiones largo y ancho como la intersección de dos líneas. Los puntos se denotan con letras mayúsculas y las rectas con letras minúsculas cursivas, solas o con subíndices. ...   1 0 2 3 4 5 6 7 8    3  2 A B
  • 3. Una línea recta tiene largo pero no tiene ancho. El largo de una línea recta no tiene fin; o sea, la línea recta es ilimitada. En los trazos se trabaja con partes de línea determinadas por dos puntos de ella, estas partes se llaman segmentos y a los puntos que los determinan se les llama extremos del segmento. A los segmentos se les denota con las letras de sus extremos colocándoles una raya encima. Por ejemplo, denota al segmento determinado por los puntos A y B , los cuales son extremos del segmento. La notación se lee “segmento A , B” . Cualquier punto de una línea recta, determina en ella, dos rayos o semirrectas ; en cuyo caso al punto se le llama extremo del rayo o de la semirrecta. A O B A A B C D O B O
  • 4. Un ángulo es una figura geométrica formada por dos semirrectas que tienen un extremo común llamado vértice del ángulo. Las semirrectas que forman un ángulo, se llaman lados del ángulo. A O B m  AOB se lee “ángulo A, O, B”  m se lee “ángulo m” A 135  O B 135  A O B
  • 5. Los ángulos por su medida se clasifican en agudos , rectos , llanos o colineales y entrantes . Un ángulo agudo mide menos de 90 o Un ángulo recto mide 90 o Un ángulo obtuso mide más de 90 o Un ángulo entrante mide más de 180 o Un ángulo llano mide 180 o
  • 6. Los ángulos por su posición en las figuras se clasifican en adyacentes , opuestos por el vértice , alterno-internos , alterno-externos , correspondientes , colaterales-internos , y colaterales-externos . a c b d y n x m son opuestos por el vértice son alterno-internos son correspondientes son alterno-externos son adyacentes son colaterales-internos son colaterales-externos
  • 7. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes c b a Demostración: Porque forman un ángulo llano ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Por qué?
  • 8. Paralelas Los rayos de luz que irradia un foco en los faros de un automóvil se reflejan como rayos paralelos desde el espejo curvo integrado a cada faro como se muestra en la figura adjunta Foco Si el terreno es plano, las vías rectas del tren son paralelas . En regiones planas, dos rectas son paralelas si no se cortan. En un curso formal de geometría euclidiana se demuestra la siguiente propiedad :  1  2
  • 9. Los ángulos alterno-internos entre paralelas, tienen la misma medida. a b Usando esta propiedad dos y medio siglos A.C., el matemático y astrónomo griego Eratóstenes calculó el radio de la Tierra, con una aproximación asombrosa a la medida que se conoce hoy en día. Posiblemente Eratóstenes hizo una figura como la siguiente: entonces Si
  • 10. En esto, considérese la longitud de la circunferencia terrestre en donde r es la medida del radio de la Tierra. Los puntos A y S respectivamente denotan las posiciones de las ciudades Alejandría y Siena. Dado que la distancia entre Siena y Alejandría es aproximadamente igual a 804 km, entonces
  • 11. Fin