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Suma de ángulos
Conceptos básicos Punto y línea   son términos no definidos en geometría. La huella que deja el lápíz al deslizarse pegado al borde de una regla es una   línea recta . La huella que deja el lápiz estando fijo en la escritura, da idea de lo que es un  punto . El geómetra griego Euclides (330 a. C. - 275 a.C.), decía: ¨Punto es lo que no tiene partes”. En realidad, Euclides se refería a punto como algo que no tiene largo ni ancho; o sea, una pequeña marca o señal sin dimensiones largo y ancho como la intersección de dos líneas. Los puntos se denotan con letras mayúsculas y las rectas con letras minúsculas cursivas, solas o con subíndices. ...   1 0 2 3 4 5 6 7 8    3  2 A B
Una línea recta tiene largo pero no tiene ancho. El largo de una línea recta no tiene fin; o sea, la línea recta es ilimitada. En los trazos se trabaja con partes de línea determinadas por dos puntos de ella, estas partes se llaman  segmentos  y a los puntos que los determinan se les llama  extremos  del segmento.  A los segmentos se les denota con las letras de sus extremos colocándoles una raya encima. Por ejemplo,  denota al segmento determinado por los puntos  A   y  B , los cuales son extremos del segmento. La notación  se lee “segmento  A ,  B” .  Cualquier punto de una línea recta, determina en ella, dos   rayos  o   semirrectas ; en cuyo caso al punto se le llama  extremo  del rayo o de la semirrecta.  A O B A A B C D O B O
Un  ángulo   es una figura geométrica formada por dos semirrectas que tienen un extremo común llamado  vértice  del ángulo. Las semirrectas que forman un ángulo, se llaman  lados   del ángulo.  A O B m  AOB   se lee “ángulo A, O, B”  m   se lee “ángulo m” A 135  O B 135  A O B
Los ángulos por su medida se clasifican en  agudos ,  rectos ,  llanos  o  colineales  y  entrantes .  Un ángulo  agudo   mide menos de 90 o Un ángulo  recto  mide 90 o Un ángulo  obtuso  mide más de 90 o Un ángulo  entrante  mide más de 180 o Un ángulo  llano  mide 180 o
Los ángulos por su posición en las figuras se clasifican en  adyacentes ,  opuestos por el vértice ,  alterno-internos ,  alterno-externos ,  correspondientes ,  colaterales-internos ,  y  colaterales-externos .  a c b d y n x m   son opuestos por el vértice    son alterno-internos    son correspondientes   son alterno-externos   son adyacentes   son colaterales-internos   son colaterales-externos
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes c b a Demostración: Porque forman un ángulo llano ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Por qué?
Paralelas Los rayos de luz que irradia un foco en los faros de un automóvil se reflejan como rayos  paralelos   desde el espejo curvo integrado a cada faro como se muestra en la figura adjunta  Foco Si el terreno es plano, las vías rectas del tren son  paralelas .  En regiones planas, dos rectas son  paralelas  si no se cortan.  En un curso formal de geometría euclidiana se demuestra la siguiente propiedad :  1  2
Los ángulos alterno-internos entre paralelas, tienen la misma medida. a b Usando esta propiedad dos y medio siglos A.C., el matemático y astrónomo griego Eratóstenes calculó el radio de la Tierra, con una aproximación asombrosa a la medida que se conoce hoy en día. Posiblemente Eratóstenes hizo una figura como la siguiente: entonces Si
En esto, considérese la longitud   de la circunferencia terrestre en donde  r  es la medida del radio de la Tierra. Los puntos  A  y  S  respectivamente denotan las posiciones de las ciudades Alejandría y Siena. Dado que la distancia entre Siena y Alejandría es aproximadamente igual a 804 km, entonces
Triángulos La figura geométrica formada por segmentos que sólo se tocan una sola vez  en sus extremos sin formar un nuevo segmento, es una  poligonal. Los segmentos se llaman  lados  y sus extremos se llaman  vértices  de la poligonal A B S E D C R Q P Y X W V U Poligonal abierta Poligonal cerrada No es poligonal
Las poligonales cerradas se llaman  polígonos . Los polígonos de tres lados se llaman  triángulos . Los de cuatro se llaman  cuadriláteros , los de cinco  pentágonos , los de seis  hexágonos , los de siete  eptágonos , los de ocho  octágonos , etc. Por costumbre, un polígono que tiene muchos lados se nombra indicando su número de lados, por ejemplo un polígono que tiene 9 lados, se nombra  polígono de nueve lados  . Y así sucesivamente. Un polígono es  regular  si sus lados son iguales entre sí; y si no, es  irregular . Los triángulos se clasifican en: El  isósceles   tiene dos lados congruentes El  equilátero   tiene sus tres lados congruentes El  escaleno   no tiene lados congruentes
Los triángulos tienen la propiedad de ser  indeformables , por ello se les usa en la industria para dar consistencia a las estructuras de edificios, puentes, aviones, torres, etc.  Los triángulos se denotan con el símbolo  seguido de las tres letras de los vértices. Y se lee:  triángulo A, B, C. El triángulo adjunto se denota así: A C B
En todo triángulo, la suma de sus ángulos interiores es igual a 180 o . a c b n m Trazo auxiliar: Para demostrar esta propiedad, por el vértice opuesto a la base del triángulo, trace una paralela a la base y observe que se forman los ángulo  m  y  n  respectivamente alterno-internos con los ángulos  a  y  c  en la base del triángulo. Demostración: Por construcción los ángulos  a  y  m , y los ángulos  c  y  n  son alterno-internos entre paralelas, entonces: Pero los ángulos  m ,  b  y  n  forman un ángulo llano, entonces: Sustituyendo a  m  y  n  por  a  y  c  respectivamente se tiene:
Un polígono es  convexo  si el segmento que une a cualesquiera dos puntos en el interior del polígono, está totalmente en el interior; y si no, es  cóncavo . Es  convexo Es  cóncavo En un polígono convexo, al unir un vértice con los vértices restantes que no está unido,  ¿cuántos triángulos se forman?  Observe:
La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de  n   lados, es igual a ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un cuadrilátero convexo? Si  n  es el número de lados del polígono y  N  es el número de triángulos que se forman al unir un vértice con los vértices restantes del polígono, se obtiene la siguiente tabla. 2 4 2 6 2 3 5 2 4 n N Se observa que la diferencia  es constante. O sea, para cada valor de  n  , se tiene que   . De donde  . Además la suma de los ángulos interiores de los triángulos formados, es igual a la suma de los ángulos interiores del polígono. Por tanto:
¿Cuánto suman los ángulos interiores de un hexágono convexo? ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un hexágono regular? A D C B Si mide lo mismo que y , calcule la medida de todos los ángulos de la figura que sigue.
En la figura que sigue   son bisectrices y  Calcule la medida de todos los ángulos de la figura. La  bisectriz  de un ángulo es el rayo o semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos de igual medida. K C E D B A
Fin

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  • 2. Conceptos básicos Punto y línea son términos no definidos en geometría. La huella que deja el lápíz al deslizarse pegado al borde de una regla es una línea recta . La huella que deja el lápiz estando fijo en la escritura, da idea de lo que es un punto . El geómetra griego Euclides (330 a. C. - 275 a.C.), decía: ¨Punto es lo que no tiene partes”. En realidad, Euclides se refería a punto como algo que no tiene largo ni ancho; o sea, una pequeña marca o señal sin dimensiones largo y ancho como la intersección de dos líneas. Los puntos se denotan con letras mayúsculas y las rectas con letras minúsculas cursivas, solas o con subíndices. ...   1 0 2 3 4 5 6 7 8    3  2 A B
  • 3. Una línea recta tiene largo pero no tiene ancho. El largo de una línea recta no tiene fin; o sea, la línea recta es ilimitada. En los trazos se trabaja con partes de línea determinadas por dos puntos de ella, estas partes se llaman segmentos y a los puntos que los determinan se les llama extremos del segmento. A los segmentos se les denota con las letras de sus extremos colocándoles una raya encima. Por ejemplo, denota al segmento determinado por los puntos A y B , los cuales son extremos del segmento. La notación se lee “segmento A , B” . Cualquier punto de una línea recta, determina en ella, dos rayos o semirrectas ; en cuyo caso al punto se le llama extremo del rayo o de la semirrecta. A O B A A B C D O B O
  • 4. Un ángulo es una figura geométrica formada por dos semirrectas que tienen un extremo común llamado vértice del ángulo. Las semirrectas que forman un ángulo, se llaman lados del ángulo. A O B m  AOB se lee “ángulo A, O, B”  m se lee “ángulo m” A 135  O B 135  A O B
  • 5. Los ángulos por su medida se clasifican en agudos , rectos , llanos o colineales y entrantes . Un ángulo agudo mide menos de 90 o Un ángulo recto mide 90 o Un ángulo obtuso mide más de 90 o Un ángulo entrante mide más de 180 o Un ángulo llano mide 180 o
  • 6. Los ángulos por su posición en las figuras se clasifican en adyacentes , opuestos por el vértice , alterno-internos , alterno-externos , correspondientes , colaterales-internos , y colaterales-externos . a c b d y n x m son opuestos por el vértice son alterno-internos son correspondientes son alterno-externos son adyacentes son colaterales-internos son colaterales-externos
  • 7. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes c b a Demostración: Porque forman un ángulo llano ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Por qué?
  • 8. Paralelas Los rayos de luz que irradia un foco en los faros de un automóvil se reflejan como rayos paralelos desde el espejo curvo integrado a cada faro como se muestra en la figura adjunta Foco Si el terreno es plano, las vías rectas del tren son paralelas . En regiones planas, dos rectas son paralelas si no se cortan. En un curso formal de geometría euclidiana se demuestra la siguiente propiedad :  1  2
  • 9. Los ángulos alterno-internos entre paralelas, tienen la misma medida. a b Usando esta propiedad dos y medio siglos A.C., el matemático y astrónomo griego Eratóstenes calculó el radio de la Tierra, con una aproximación asombrosa a la medida que se conoce hoy en día. Posiblemente Eratóstenes hizo una figura como la siguiente: entonces Si
  • 10. En esto, considérese la longitud de la circunferencia terrestre en donde r es la medida del radio de la Tierra. Los puntos A y S respectivamente denotan las posiciones de las ciudades Alejandría y Siena. Dado que la distancia entre Siena y Alejandría es aproximadamente igual a 804 km, entonces
  • 11. Triángulos La figura geométrica formada por segmentos que sólo se tocan una sola vez en sus extremos sin formar un nuevo segmento, es una poligonal. Los segmentos se llaman lados y sus extremos se llaman vértices de la poligonal A B S E D C R Q P Y X W V U Poligonal abierta Poligonal cerrada No es poligonal
  • 12. Las poligonales cerradas se llaman polígonos . Los polígonos de tres lados se llaman triángulos . Los de cuatro se llaman cuadriláteros , los de cinco pentágonos , los de seis hexágonos , los de siete eptágonos , los de ocho octágonos , etc. Por costumbre, un polígono que tiene muchos lados se nombra indicando su número de lados, por ejemplo un polígono que tiene 9 lados, se nombra polígono de nueve lados . Y así sucesivamente. Un polígono es regular si sus lados son iguales entre sí; y si no, es irregular . Los triángulos se clasifican en: El isósceles tiene dos lados congruentes El equilátero tiene sus tres lados congruentes El escaleno no tiene lados congruentes
  • 13. Los triángulos tienen la propiedad de ser indeformables , por ello se les usa en la industria para dar consistencia a las estructuras de edificios, puentes, aviones, torres, etc. Los triángulos se denotan con el símbolo seguido de las tres letras de los vértices. Y se lee: triángulo A, B, C. El triángulo adjunto se denota así: A C B
  • 14. En todo triángulo, la suma de sus ángulos interiores es igual a 180 o . a c b n m Trazo auxiliar: Para demostrar esta propiedad, por el vértice opuesto a la base del triángulo, trace una paralela a la base y observe que se forman los ángulo m y n respectivamente alterno-internos con los ángulos a y c en la base del triángulo. Demostración: Por construcción los ángulos a y m , y los ángulos c y n son alterno-internos entre paralelas, entonces: Pero los ángulos m , b y n forman un ángulo llano, entonces: Sustituyendo a m y n por a y c respectivamente se tiene:
  • 15. Un polígono es convexo si el segmento que une a cualesquiera dos puntos en el interior del polígono, está totalmente en el interior; y si no, es cóncavo . Es convexo Es cóncavo En un polígono convexo, al unir un vértice con los vértices restantes que no está unido, ¿cuántos triángulos se forman? Observe:
  • 16. La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados, es igual a ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un cuadrilátero convexo? Si n es el número de lados del polígono y N es el número de triángulos que se forman al unir un vértice con los vértices restantes del polígono, se obtiene la siguiente tabla. 2 4 2 6 2 3 5 2 4 n N Se observa que la diferencia es constante. O sea, para cada valor de n , se tiene que . De donde . Además la suma de los ángulos interiores de los triángulos formados, es igual a la suma de los ángulos interiores del polígono. Por tanto:
  • 17. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un hexágono convexo? ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un hexágono regular? A D C B Si mide lo mismo que y , calcule la medida de todos los ángulos de la figura que sigue.
  • 18. En la figura que sigue son bisectrices y Calcule la medida de todos los ángulos de la figura. La bisectriz de un ángulo es el rayo o semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos de igual medida. K C E D B A
  • 19. Fin