1. Integraci´n vectorial
o
Integrales curvil´
ıneas, de l´
ınea o de camino
Sean
C : [a, b] ⊂ IR −→ IR3
t −→ (x(t), y(t), z(t))
una curva regular parametrizada en IR3 y
f : IR3 −→ IR
(x, y, z) −→ f (x, y, z)
un campo escalar continuo, es decir, una funci´n continua de variable vectorial (o de varias
o
variables) con valores en el cuerpo de escalares IR.
Definici´n:
o
Se llama integral de l´
ınea de primera especie (o integral curvil´
ınea de primera especie) del campo
escalar f a lo largo de la curva C a la siguiente integral:
b
f dl = f (C(t) C (t) dt
C a
dx dy dz
donde C (t) = (x (t), y (t), z (t)) = , , denota el vector tangente a la curva en el
dt dt dt
punto C(t). Si la curva es cerrada, es decir, C(a) = C(b) la notaci´n es
o
f dl
C
Ejemplo:
Si f = 1, es decir, ∀(x, y, z) ∈ I 3 es f (x, y, z) = 1 entonces
R
b
f dl = C (t) dt
C a

2. representa la longitud de la curva.
Sean
C : [0, 2π] ⊂ IR −→ IR2
t −→ (R cos t, R sen t)
una parametrizaci´n positiva de la circunferencia de radio R > 0 centrada en el origen en IR2 , y
o
f : IR2 −→ IR
(x, y) −→ 1
un campo escalar constante, entonces
2π
f dl = R dt = 2πR
C 0
Sea ahora
F : IR3 −→ IR3
(x, y, z) −→ (F1 (x, y, z), F2 (x, y, z), F3 (x, y, z))
un campo vectorial continuo, es decir, una funci´n continua de variable vectorial (o de varias
o
variables) con valores en IR3 . En algunos textos, sobre todo de F´ ısica, los campos vectoriales
suelen denotarse por F .
Definici´n:
o
Se llama integral de l´
ınea de segunda especie (o integral curvil´
ınea de segunda especie) de F a lo
largo de la curva C a la integral:
b
F dl = F (C(t) · C (t) dt
C a
En notaci´n cl´sica se escribir´
o a ıa
F1 dx + F2 dy + F3 dz
C
Si la curva es cerrada, es decir, C(a) = C(b) la notaci´n es
o
F dl
C
y en este caso se habla de circulaci´n de F a lo largo de la curva cerrada C.
o
Ejemplo:
Si la fuerza es
F : IR2 −→ IR2
k k
(x, y) −→ √ ,√
2 2

3. F = kN F = kN
◦ ◦
45 45
0 s
Figura 1.1: Trabajo realizado por una fuerza constante de m´dulo “k” Newtons para trasladar
o
un cuerpo de masa “m” kg de un punto a otro a lo largo de un segmento de recta de longitud
“s” metros.
y la recta a lo largo de la cual se ejerce tiene la parametrizaci´n siguiente:
o
C : [0, 1] ⊂ IR −→ IR2
t −→ (st, 0)
entonces
1
W= F dl = F (C(t) · C (t) dt =
C 0
1 1 1
k k k k 1
√ ,√ · (s, 0) dt = √ s dt = √ st = k √ s = F s cos 45◦
0 2 2 0 2 2 0 2
que es la conocida f´rmula del trabajo de una fuerza constante a lo largo de una recta estudiada
o
en Bachillerato.
Definici´n:
o
Si el campo vectorial F es un gradiente, i.e., si existe un campo escalar f (denominado potencial)
∂f ∂f ∂f
tal que F = f = , , y se cumplen los requisitos de continuidad entonces F dl =
∂x ∂y ∂z C
b b b d
F (C(t) · C (t) dt = f (C(t)) · C (t) dt = (f ◦ C) dt = f (C(b)) − f (C(a))
a a a dt
Ejemplo:
Supongamos que tenemos una masa “M”situada en el origen; ´sta crea a su alrededor un campo
e
gravitatorio cuya expresi´n en un punto (x, y, z) de IR3 de acuerdo con la Ley de Gravitaci´n
o o
Universal de Newton viene dada por:
−GM r
E(x, y, z) =
r 3
Pues bien, si consideramos el campo opuesto −E resulta que es un gradiente y su funci´n
o
potencial es el campo escalar siguiente:
−GM
V (x, y, z) =
r
donde G es la constante de gravitaci´n universal y r = r(x, y, z) es el vector de posici´n del
o o
punto (x, y, z). Por tanto el trabajo que hay que realizar (venciendo la resitencia del campo)

4. para llevar una part´
ıcula de masa “m”de un punto C(a) = (x1 , y1 , z1 ) a otro C(b) = (x2 , y2 , z2 )
es
b
W= F dl = − m E dl = − m E(C(t)) · C (t) dt =
C C a
b 1 1
m V (C(t)) · C (t) dt = m (V (C(b)) − V (C(a))) = GmM −
a r1 r2
ya que la fuerza que se ejerce sobre la part´
ıcula durante la trayectoria es F = −m E.
Al producto de la masa por el potencial se le llama energ´ potencial y se denota por Ep = mV .
ıa
As´ el trabajo para trasladar la masa desde el primer punto hasta el segundo venciendo la
ı,
resitencia del campo coincide con la variaci´n de la energ´ potencial, i.e.,
o ıa
W = Ep (b) − Ep (a) = ∆Ep
Es obvio que el trabajo que realiza la fuerza que crea el campo es su opuesto, es decir, −∆Ep .
En el caso de pertenecer dichos puntos a la misma superficie equipotencial (conjunto de puntos
que tienen el mismo potencial) el trabajo que hay que realizar para mover la part´ ıcula es nulo
pues r1 = r2 .
Observamos que si el punto de partida se sit´a en el infinito ( r1 = ∞) entonces la expresi´n
u o
del trabajo es
GM m
W= F dl = − = mV (r2 ) = Ep (r2 )
C r2
As´ pueden definirse la energ´ potencial de una masa colocada en un punto como el trabajo que
ı, ıa
hay que realizar contra el campo para llevarla desde el infinito hasta el punto en que se encuentra
y el potencial en un punto como la eneg´ potencial que tiene la unidad de masa colocada en
ıa
dicho punto, o equivalentemente, el trabajo que hay que realizar venciendo la resitencia del
campo para trasladar la unidad de masa desde el infinito hasta el punto en cuesti´n. o
Integrales de superficie
Sean
Φ : D ⊂ IR2 −→ IR3
(u, v) −→ (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
la parametrizaci´n de una superficie regular S = Φ(D) en IR3 donde D es un dominio de IR2 , y
o
f : IR3 −→ IR
(x, y, z) −→ f (x, y, z)
un campo escalar continuo. La imagen por Φ de las rectas del plano v = v0 y u = u0 producen
unas curvas Φ(u) y Φ(v) respectivamente cuyos vectores tangentes en Φ(u0 , v0 ) son:
∂x(u0 , v0 ) ∂y(u0 , v0 ) ∂z(u0 , v0 )
Tu = , ,
∂u ∂u ∂u
∂x(u0 , v0 ) ∂y(u0 , v0 ) ∂z(u0 , v0 )
Tv = , ,
∂v ∂v ∂v

5. Φ
E
z
v = v0
r
© © ©
' $
u = u0
y
%
7 7
x
Figura 1.2: Parametrizaci´n de una superficie regular en IR3
o
y determinan lo que se denomina plano tangente a la superficie S en Φ(u0 , v0 ) siendo la ecuaci´n
o
de dicho plano la siguiente:
(x − x0 , y − y0 , z − z0 ) · (Tu × Tv ) = 0
Definici´n:
o
Se llama integral del campo escalar f sobre la superficie S a la integral doble siguiente:
f (x, y, z, ) dS = f (Φ(u, v)) · Tu × Tv du dv
S D
Ejemplo:
Si f = 1 es un campo escalar constante e igual a 1 la integral de superficie representa el ´rea
a
de la misma; por ejemplo, si se considera una esfera en IR3 de radio R centrada en el origen
parametrizada como sigue:
π π
Φ: − , × (0, 2π) ⊂ IR2 −→ IR3
2 2
(u, v) −→ (R cos u cos v, R cos u sen v, R sen u)
se tiene que
Tu = (−R sen u cos v, −R sen u sen v, R cos u) y
Tv = (−R cos u sen v, R cos u cos v, 0) luego
Tu × Tv = R2 cos u
Por tanto,
f (x, y, z, ) dS = R2 cos u du dv =
S ( −π , π )×(0,2π)
2 2
π π
2
2π 2 2π π
R2 cos u du dv = R2 v cos u du = 2πR2 sen u 2
−π
= 4 π R2
−π
0 −π 0 2
2 2
que es el ´rea de la superficie esf´rica de radio R.
a e
Definici´n:
o
Si ahora
F : IR3 −→ IR3
(x, y, z) −→ (F1 (x, y, z), F2 (x, y, z), F3 (x, y, z))

6. es un campo vectorial , se llama integral de superficie del campo vectorial F a la integral doble:
F dS = F (Φ(u, v)) · (Tu × Tv ) du dv
S D
Ejemplo:
Qr
Si E(x, y, z) = representa el campo el´ctrico en un punto (x, y, z) creado por
e
4 πε0 r 3
una carga el´ctrica puntual positiva Q situada en el origen de IR3 podemos calcular el flujo que
e
atraviesa una esfera de radio R centrada en O como sigue:
Φ= E dS = E(Φ(u, v)) · (Tu × Tv ) du dv =
S D
1 Q
3
Φ(u, v) · (Tu × Tv ) du dv =
D 4 πε0 R
1 Q 1 Q Q
Tu × Tv du dv = 4πR2 =
4 πε0 R2 D 4 πε0 R2 ε0
que es la conocida Ley de Gauss del flujo electrost´tico que se estudia en Bachillerato, siendo
a
ε0 la permitividad el´ctrica del vac´ y Φ la parametrizaci´n de la esfera de radio R utilizada
e ıo, o
en el ejemplo anterior; como es de suponer se demuestra que todos estos resultados son inde-
pendientes (salvo el signo) de la parametrizaci´n utilizada.
o
Definici´n:
o
Sea
F : IR3 −→ IR3
(x, y, z) −→ (F1 (x, y, z), F2 (x, y, z), F3 (x, y, z))
un campo vectorial con derivadas parciales en todos los puntos; se denomina rotacional de F al
campo vectorial siguiente:
∂F3 ∂F2 ∂F1 ∂F3 ∂F2 ∂F1
rot F = − , − , −
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
y se denomina divergencia de F al campo escalar siguiente:
∂F1 ∂F2 ∂F3
div F = + +
∂x ∂y ∂z
El rotacional y la divergencia aparecen en la formulaci´n de los resultados m´s importantes de la
o a
teor´ de la integraci´n vectorial, los teoremas de Stokes y de Gauss. Por otra parte estos campos
ıa o
∂ ∂ ∂
se pueden expresar de forma muy sencilla conviniendo considerar el operador = , ,
∂x ∂y ∂z
como un vector. As´ tenemos:
ı
ı  k
∂ ∂ ∂
rot F = ∧F =
∂x ∂y ∂z
F1 F2 F3

7. y
∂ ∂ ∂
div F = ·F = , , · (F1 , F2 , F3 )
∂x ∂y ∂z
Recordemos que el gradiente de un campo escalar f es el resultado de aplicar dicho operador
a f , es decir
∂f ∂f ∂f
grad f = f = , ,
∂x ∂y ∂z
Hay que insistir en que esto no es sino un recurso mnemot´cnico; la expresi´n de los campos
e o
rotacional y divergencia a partir del operador facilita y simplifica el c´lculo, sin embargo, para
a
evitar operaciones carentes de sentido se debe tener siempre presente el convenio anteriormente
citado.
Teorema (de Stokes):
Sea S = Φ(D) una superficie parametrizada en IR3 y Φ una parametrizaci´n de la misma. Si
o
2
la frontera de D ⊂ I es una curva cerrada y regular C = C(I) parametrizada en el intervalo
R
I = [a, b] , si Γ es el borde de la superficie S y F es un campo vectorial, y se cumplen ciertas
hip´tesis de diferenciabilidad en las que no se va a entrar entonces:
o
rot F dS = F dl
S Γ
Teorema (de Gauss o de la divergencia)
Sea M una regi´n de IR3 que cumple ciertas hip´tesis en las que no entraremos; si su frontera
o o
es una superficie S que verifica ciertas condiciones y F = (F1 , F2 , F3 ) es un campo vectorial
definido en un abierto que contenga a M entonces:
div F dx dy dz = F dS
M S
donde la primera integral es una integral triple (de Riemann) en IR3 y la segunda es una integral
de superficie (que ya se ha definido).

8. EJERCICIOS
Ejercicios sobre derivadas direccionales y gradientes de cam-
pos escalares
1. Dado el campo z = f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy
a) Determinar su gradiente en los puntos P0 (−1, 0) y P1 (1, −1).
b) Hallar la derivada direccional en dichos puntos en una direcci´n que forme un ´ngulo
o a
de 30◦ con el eje OX.
c) Hallar su derivada direccional en la direcci´n del eje OX
o
2. Un foco calor´
ıfico est´ situado en el origen de coordenadas de un placa met´lica. La
a a
1
temperatura T en cualquier punto P (x, y) viene dada por la expresi´n T (x, y) = 2
o .
x + y2
Calcular:
a) la temperatura en los puntos P1 (2, 0) y P2 (2, 3),
b) el conjunto de puntos isotermos,
c) la direcci´n en la que la variaci´n de la temperatura es m´xima,
o o a
d ) estudiar el sentido en que aumenta la temperatura y dibujar algunas curvas de nivel,
e) la variaci´n de la temperatura en la direcci´n que forma un ´ngulo de 30◦ con el eje
o o a
OX.
3. Dado el campo escalar definido por la funci´n
o
u(x, y, z) = (x + y)2 + z 2 − xy + 2z
y partiendo del punto P0 (−1, 2, 3), determinar en qu´ direcci´n var´ m´s r´pidamente
e o ıa a a
dicha funci´n y hallar en el origen su derivada direccional en la direcci´n que forma ´ngulos
o o a
de 60◦ con el eje OZ, 90◦ con el eje OX y 30◦ con el eje OY .
4. Dada la funci´n u(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 calcular en el punto P (1, 0, 0) la derivada direc-
o
cional seg´n el vector v = (1, 1, 1). Calcular tambi´n el gradiente y sus proyecciones.
u e

9. 5. Calcular las constantes a, b, c para que la derivada direccional de la funci´n f (x, y, z) =
o
axy 2 + byz + cx3 z 2 en el punto P (1, 2, −1) tenga un valor m´ximo de 64 y est´ en el sentido
a e
positivo del eje OZ.
6. Dada la funci´n
o
x2 y
z(x, y) =
x2 + y 2 − xy
a) Obtener el gradiente en el punto P (2, −1).
b) Obtener la ecuaci´n de la curva de nivel que pasa por el punto P (2, −1), comprobando
o
que el vector gradiente es ortogonal a la recta tangente en ese punto.
7. Calcular la derivada de la funci´n z(x, y) = x2 − xy + y 2 en el punto P (1, 1) en la direcci´n
o o
que forma un ´ngulo α con la parte positiva del eje OX. ¿En qu´ direcci´n se verifica que:
a e o
a) la derivada alcanza su valor m´ximo?
a
b) la derivada es cero?
Calcular dicha derivada en la direcci´n del vector u = 6i + 8j
o
8. Hallar la derivada de la funci´n z(x, y) = L(x2 +y 2 ) en el punto P0 (x0 , y0 ) y en la direcci´n
o o
que es perpendicular a la curva de nivel que pasa por ese punto.
9. Hallar la magnitud y la direcci´n del gradiente de la funci´n
o o
1
u(x, y, z) =
x2 + y2 + z2
en el punto P0 (x0 , y0 ).
10. Calcular la derivada de la funci´n u(x, y, z) = xy 2 z 3 en el punto M (3, 2, 1) y en la direcci´n
o o
−→
del vector M N siendo N (5, 4, 2)
11. Calcular la derivada del campo escalar
z
u(x, y, z) = arc sen
x2 + y2
−→
en el punto M (1, 1, 1) y en la direcci´n del vector M N siendo N (3, 2, 3).
o
12. Calcular la magnitud y determinar la direcci´n del gradiente del campo u(x, y, z) = xyz
o
en el punto M (2, 1, 1).
x y z
13. Calcular la derivada del campo u(x, y, z) = + + en la direcci´n v = 6i + 3j − 6k en
o
2 3 6
el punto P0 (x0 , y0 , z0 ).

10. Ejercicios sobre integrales de l´
ınea
√
1. Evaluar (x3 − y 3 )dy siendo C el semic´
ırculo y = 1 − x2 recorrido en sentido positivo
C
3π
(antihorario).
8
1
2. Calcular xy 2 dx + x2 y dy siendo C la par´bola y = x2 desde (0, 0) hasta (−1, 1).
a
C 2
3. Calcular y 2 dx + x2 dy donde C es el tri´ngulo de v´rtices (1, 0), (0, 0) y (1, 1) orientado
a e
C
1
en sentido positivo.
3
4. Calcular las siguientes integrales a lo largo de los caminos rectos que unen los puntos
extremos:
(2,2) 8
a) y 2 dx
(0,0) 3
(1,2) 3
b) y dx −
(2,1) 2
(2,1)
c) y 2 dx 0
(1,1)