vectores

1. Se considera una magnitud física a todo aquello susceptible a ser
medido. Es todo lo que se puede medir.
Las magnitudes físicas se clasifican en:
a. Por su origen:
 Fundamentales:
Son aquellas magnitudes consideradas bases para las
magnitudes derivadas. Pueden ser:
 ABSOLUTAS:
Son aquellas que están en función de la LONGITUD, MASA,
TIEMPO.
MAGNITUD SIMBOLO
LONGITUD L
MASA M
TIEMPO T
 TECNICAS:
Son aquellas que están en función de la LONGITUD, FUERZA Y
TIEMPO.
MAGNITUD SIMBOLO
LONGITUD L
FUERZA F
TIEMPO T
NOTA 1
Como vemos en las magnitudes
fundamentales técnicas no se encuentra
definida la masa, sino la fuerza. Por lo tanto
la masa se pone en función de la fuerza.
EJEMPLOS:
 La densidad en el sistema absoluto:
[𝑫𝒆𝒏𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅] =
[𝑴𝒂𝒔𝒂]
[𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏]
=
𝑴
𝑳 𝟑
= 𝑴𝑳−𝟑
 La densidad en el sistema técnico:
[𝑫𝒆𝒏𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅] =
[𝑴𝒂𝒔𝒂]
[𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏]
=
𝑴
𝑳 𝟑
=
𝑭𝑳−𝟏
𝑻 𝟐
𝑳 𝟑
= 𝑭𝑳−𝟒
𝑻 𝟐
¡Amigos!
Un ejemplo de magnitud es cuando
medimos el largo, el ancho y el alto
de una mesa.
ANÁLISIS DIMENSIONAL
MAGNITUDES FÍSICAS
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 = 𝑀𝑎𝑠𝑎 𝑥 𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛
[𝐹] = 𝑀𝐿𝑇−2
𝑀 = 𝐹𝐿−1
𝑇2

2.  Derivadas :
Son aquellas que se derivan de las magnitudes
fundamentales.
b. Por su naturaleza:
 Escalares:
Son aquellas magnitudes que poseen un valor numérico y
una unidad de medida. Por ejemplo tiempo, masa, rapidez y
espacio recorrido.
4 KG
Valor
numerico
Unidad de
medida
 Vectoriales:
Son aquellas magnitudes que poseen un valor numérico,
una unidad de medida y una dirección. Ejemplo fuerza,
velocidad, aceleración y desplazamiento.
4 N , 37º
Valor
numerico
Unidad de
medida
Direccion
NOTA 2
¡AMIGOS!
A veces solemos confundir el espacio recorrido con el
desplazamiento.
¡No te preocupes! Para esto hacemos el siguiente ejemplo.
10
m
10
m
4 m
A C
B
Espacio recorrido = AB+BC = 20m
Desplazamiento = une el punto inicial con el punto final = 4m
También podemos concluir que en el espacio recorrido
importa la trayectoria mientras que en el desplazamiento no.
MUCHO OJO….
Si el niño va de regreso el desplazamiento es cero. Miremos la
explicación.
4mIda
Vuelta 4m
= 4m - 4m=0
Ejemplo de magnitudes
derivadas son: la
presión, la velocidad y
la fuerza, etc.

3. Un vector es un ente matemático que sirve para expresar o
representar magnitudes vectoriales. Se representa por medio de
una flecha.
Tiene los siguientes elementos.
Punto de
origen
Direccion
Sentido
M
odulo

 OPERACIÓNES CON VECTORES
a) SUMA DE VECTORES
Dos o más vectores se pueden sumar siempre y cuando tengan la
misma unidad de medida. Al resultado se le conoce como vector
resultante. Ejemplo:
1V
4V
3V2V
Para sumar vectores, vamos a escoger cualquier vector y partimos
de él .Juntamos sentido con origen uno después de otro.
1V
4V
3V
2V
R
Donde:
R: Resultante
NOTA 3
Para sumar dos vectores que tienen el mismo origen, se construye
un paralelogramo, trazando por el extremo de cada vector su
paralela.
Geométricamente el modulo del vector resultante se obtiene
trazando la diagonal del paralelogramo desde el origen de los
vectores.
O

DIAGONAL
A
B
ANÁLISIS VECTORIAL
VECTOR
1 2 3 4R V V V V   
ur uur uur uur

4. El modulo del vector resultante se le conoce como LEY DE
COSENOS se determina así:
𝑅 = √ 𝐴2 + 𝐵2 + 2𝐴𝐵 cos 𝜃
Cuando un vector se descompone en dos vectores formando
un ángulo de 90º, entonces se denomina descomposición
rectangular.
0
y
x
A

A.Sen
A.Cos
LA LEY DE SENOS:
O

RESULTANTE
A
B




𝜶 + 𝜷 = 𝜽
𝐴
sen 𝛽
=
𝐵
sen 𝛼
=
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
sen 𝜃
b) DIFERENCIA DE VECTORES.
La diferencia de dos vectores que tienen el mismo origen se
consigue uniendo los extremos de los vectores.
O

A
B
D
De la suma de vectores:
B+D=A
D=A-B
El modulo del vector diferencia de determina aplicando la LEY DE
COSENOS.
𝑅 = √ 𝐴2 + 𝐵2 − 2𝐴𝐵 cos 𝜃
C) PRODUCTO DE DOS VECTORES
 PRODUCTO ESCALAR
Cuando se multiplica un escalar por un vector, el vector resultante
es otro vector de igual dirección.
El vector se puede
descomponer en la
cantidad que uno desee
como máximo y en dos
vectores como minino.
¡IMPORTANTE!
El modulo del vector resultante es igual al
módulo del vector diferencia

5. Se representa: A B 
ur ur
número
Ejemplo:
 
 
3,8,4
2,5,7
A
B


ur
ur
   3,8,4 2,5,7
3 2 8 5 4 7
74
A B
A B x x x
A B

  

ur ur
g g
ur ur
g
ur ur
g
Por definición:
2 2 2 2 2 2
os
74 3 8 4 2 5 7 os
os 0.88
28.35
A B A B C
C
C





     

 o
ur ur ur ur
g
 PRODUCTO VECTORIAL
El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección
es perpendicular a los dos vectores.
Se representa: A X B Vector
ur ur
Ejemplo:
   3,8,4 2,5,7A B 
ur ur
$ $
3 8 4
2 5 7
i j k
AX B 
$
ur ur
$ $8 4 3 4 3 8
5 7 2 7 2 5
AX B i j k  
ur ur
$
   $  $8 7 5 4 3 7 2 4 3 5 2 8AX B x x i x x j x x k     
ur ur
$
$ $36 13AX B i j k  
ur ur
$
 36, 13, 1AX B   
ur ur
38.29AX B 
ur ur
Por definición:
2 2 2 2 2 2
38.29 3 8 4 2 5 7
0.45
27.38
A B A B sen
Sen
Sen





    

 o
ur ur ur ur
g
g
 VECTOR UNITARIO
Es aquel vector que presenta como característica que su modulo
es igual a 1.
$ 1u 
Se define como:
$ Vector
u
Modulo


6. O
A
Au
NOTA 4
Si dos vectores son paralelos / /A B
ur ur
se cumple:
A B

µ µ
A Bu u
El vector unitario de A es igual al vector unitario de B
 EN EL PLANO CARTESIANO
y
x
i
-j
-i
j
Ejemplo:
Si el vector A tiene como módulo 20 cm y de dirección 37º .Hallar
el vector A.
X YA A A 
ur uur uur
$16 12A i j 
ur
$
 16,12A 
ur
…. El vector A
 Hallar su módulo.
2 2
16 12A  
ur
20A 
ur
 Hallar el vector unitario de A.
µ
A
A
u
A

ur
ur
µ  16,12
20
Au 
µ 16 12
,
20 20
Au
 
  
 
µ 4 3
,
5 5
Au
 
  
 
µ
A
A
u
A

ur
ur
LA ÚNICA INFORMACIÓN QUE
DA UN VECTOR UNITARIO ES LA
DIRECCIÓN DEL VECTOR.

7.  COSENOS DIRECTORES
Son los cosenos de los ángulos que forma el vector a con el eje x y
el eje y.
0
y
x
A
X
Y
µ  ,A x yu Cos Cos 
Ejemplo:
0
y
x
A
37
53
µ  37 , 53Au Cos Cos o o
µ 4 3
,
5 5
Au
 
  
 
Recordemos:
$ 1u 
2 2
1x yCos Cos  
2 2
1x yCos Cos  
 VECTORES UNITARIOS EN EL ESPACIO
z
y
j
-k
-j
k -i
-i
x
 COSENOS DIRECTORES EN EL ESPACIO
Son los cosenos de los ángulos que forma el vector a con el eje x ,
el eje y pero también con el eje z.
0
z
y
y
x
x
z
A
µ  , ,A x y zu Cos Cos Cos  
2 2 2
1x y zCos Cos Cos    

8.  CÁLCULO DE UN VECTOR ENTRE DOS PUNTOS
0
y
x
AB
 8,12A
 3,5B
AB A B 
uuur
   8,12 3,5AB  
uuur
 8 3,12 5AB   
uuur
 5,7AB 
uuur
$5 ,7AB i j
uuur
$