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Producto Interno
De…nición 0.1. Sea V un espacio vectorial sobre el campo F; donde F es R (o C) : Un
producto interno sobre V es un mapeo que asigna a cada par de vectores ordenados u
y v en V un único escalar en F, el cuál lo denotamos como hu; vi : El espacio vectorial
V es llamado un espacio con producto interno si para todo vector u; v; w 2 V y todo
escalar 2 F cumple
1. Positividad hu; ui 0; la igualdad se da solo para el vector nulo
2. Homogeneidad h u; vi = hu; vi
3. Linealidad hu; v + wi = hu; vi + hu; wi
4. Simetría Hermitiana hu; vi = hv; ui
Proposición 0.1. hu; vi = hu; vi
Proof. De (4) tenemos que
hu; vi = h v; ui
de (2)
h v; ui = hv; ui
como ; hv; ui 2 F entonces
hv; ui
nuevamente de (4)
hu; vi
Proposición 0.2. Para todo vector u; v; w 2 V y todo escalar ; 2 F se tiene que
h u + v; wi = hu; wi + hv; wi
Proof. Es inmediato
1
Observación 0.1. Cuando el campo escalar F = R; el item (4) viene a ser
hu; vi = hv; ui
Ejemplos de Espacios vectoriales con producto interno
1. V = R2
con el producto interno
hu; vi = vT
u
como los vectores aqui vienen dados por
u =
"
u1
u2
#
; v =
"
v1
v2
#
entonces el producto interno es
hu; vi =
h
v1 v2
i
"
u1
u2
#
hu; vi = u1v1 + u2v2
esto es, el producto interno es el producto escalar entre vectores del plano.
El espacio vectorial V = Rn
con producto interno de…nido por el producto escalar
es llamado espacio euclideano n-dimensional.
2. V = C2
con el producto interno
hu; vi = v u = vT
u
como los vectores aqui vienen dados por
u =
"
z1
z2
#
; v =
"
w1
w2
#
donde zi; wi 2 C; entonces el producto interno es
hu; vi =
h
w1 w2
i
"
z1
z2
#
hu; vi = z1w1 + z2w2
2
3. V = Mmn (C) es un espacio producto interno con producto interno
hA; Bi = traza (B A)
Proof. Veamos que es un espacio producto interno
1.
hA; Ai = traza (A A) =
nX
i=1
(filaiA coli A) =
nX
i=1
filaiA
T
coli A
hA; Ai =
nX
i=1
mX
j=1
ajiaji
!
=
nX
i=1
mX
j=1
kajik2
!
0
Aqui
hA; Ai = 0 si y solo si A = 0
2.
h A; Bi = traza (B ( A)) = traza (B A)
h A; Bi = hA; Bi
3.
hA; B + Ci = traza ((B + C) A)
hA; B + Ci = traza (B A + C A)
hA; B + Ci = traza (B A) + traza (C A)
4.
hB; Ai = traza (A B)
hB; Ai = traza A B
hB; Ai = traza AT
B = traza AT
B
T
hB; Ai = traza B
T
A = traza (B A)
hB; Ai = hA; Bi
3
Longitud o norma de un vector
Sea v un vector en un espacio con producto interno V Se de…ne la norma o longitud
de un vector como
p
hv; vi y es denotado como kvk ; esto es
kvk =
p
hv; vi
la norma tiene las siguientes propiedades
1. kvk 0; para todo vector v 2 V . kvk = 0 si y solo si v = 0
2. k vk = j j kvk para todo vector v 2 V y para todo 2 Fç
3. ku + vk kuk + kvk
Ejemplo 0.1. Sea V = P el espacio de los polinomios de cualquier grado con producto
interno de…nido por
hp; qi =
Z 1
0
p (x) q (x) dx
hallar la norma del vector v = 1 x2
por de…nición
kvk2
= hv; vi
kvk2
=
Z 1
0
v (x) v (x) dx
kvk2
=
Z 1
0
1 x2
1 x2
dx
kvk2
=
Z 1
0
x4
2x2
+ 1 dx
kvk2
=
8
15
luego su norma es
kvk =
r
8
15
Ortogonalidad de vectores
De…nición 0.2. Sea V un espacio vectorial con producto interno, decimos que dos
vectores u; v 2 V son ortogonales si hu; vi = 0
Observación 0.2. El vector nulo es ortogonal a todos los vectores
Observación 0.3. Dos vectores u; v pueden ser ortogonales en un espacio vectorial
con cierto producto interno y no ser ortogonales en el mismo espacio con otro producto
interno.
4
Ejemplo 0.2. Sea V = P2 [R] con producto interno de…nido por
hp (x) ; q (x)i =
Z 1
1
p (x) q (x) dx
los vectores
p (x) = x; q (x) = 1 x2
son ortogonales pues
hp (x) ; q (x)i =
Z 1
1
x 1 x2
dx = 0
sin embargo V = P2 [R] con producto interno de…nido por
hp (x) ; q (x)i =
Z 1
0
p (x) q (x) dx
no son ortogonales, pues
hp (x) ; q (x)i =
Z 1
0
x 1 x2
dx =
1
4
Proposición 0.3. Dos vectores ortogonales no nulos son linealmente independientes
Proof. Sean u; v 2 V vectores ortogonales no nulos, planteamos la ecuación
u + v = 0
aplicamos el producto interno
h u + v; ui = h0; ui
entonces
hu; ui + hv; ui = 0
como u; v son ortogonales entonces hv; ui = 0; luego
hu; ui = 0 ! kuk2
= 0 si y solo si = 0
por tanto v = 0, como v es un vector no nulo, entonces = 0; esto prueba que dos
vectores ortogonales no nulos son linealmente independientes.
De…nición 0.3. Un conjunto S V es un conjunto ortogonal si
u es ortogonal a v; para todo vector u; v 2 V
5
De…nición 0.4. Un conjunto S V es un conjunto ortonormal si
1. S es un conjunto ortogonal
2. kuk = 1 para todo vector u 2 V
Proceso de Ortonormalización de Gram-Schmidt
Sea S = fv1; v2; ; vmg un subconjunto de vectores linealmente independientes, con
S V un espacio vectorial, entonces el span (S) es un espacio vectorial, luego S es una
base de span (S), el obejtivo es hallar una base B del subespacio span (S) de tal modo
que B sea un conjunto ortonormal, el siguiente procedimiento consigue este proposito.
1. Elección del primer vector unitario
u1 =
v1
kv1k
=
v1
p
hv1; v1i
2. Elección del segundo vector ortogonal a u1
v0
2 = v2 hv2; u1i u1
Este vector es ortogonal a u1; puesto que
hv0
2; u1i = hv2 hv2; u1i u1; u1i
hv0
2; u1i = hv2; u1i hv2; u1i hu1; u1i
hv0
2; u1i = hv2; u1i hv2; u1i = 0
3. Elección del segundo vector ortonormal a u1
u2 =
v0
2
kv0
2k
=
v0
2
hv0
2; v0
2i
hasta aqui tenemos que el conjunto fu1; u2g es ortonormal
4. Continuación del proceso
fu1; u2; ; ukg es un conjunto ortonormal
hallaremos el siguiente vector v0
k+1 ortogonal todo este conjunto,
v0
k+1 = vk+1 hvk+1; u1i u1 hvk+1; u2i u2 hvk+1; uki uk
6
luego el conjunto
u1; u2; ; uk; v0
k+1 es un conjunto ortogonal
entonces hacemos
uk+1 =
v0
k+1
v0
k+1
=
v0
k+1
v0
k+1; v0
k+1
por tanto el conjunto
fu1; u2; ; uk; uk+1g es un conjunto ortonormal
hacemos esto para k = 3 hasta k = m
Ejemplo 0.3. Sea V = M22 un espacio vectorial producto interno de…nido por
hA; Bi = traza BT
A
Encuentre una base ortonormal para el subespacio H M22; donde
H = gen
(
v1 =
"
1 1
1 1
#
; v2 =
"
1 1
2 4
#
; v3 =
"
1 2
4 3
#)
Primero hacemos entonces
w1 = v1 =
"
1 1
1 1
#
ahora hallamos la norma de w1
kw1k2
= hw1; w1i
kw1k2
=
*"
1 1
1 1
#
;
"
1 1
1 1
#+
kw1k2
= traza
"
1 1
1 1
# "
1 1
1 1
#!
kw1k2
= traza
"
2 2
2 2
#!
= 4
por tanto
kw1k = 2
7
tenemos entonces
u1 =
w1
kw1k
=
1
2
"
1 1
1 1
#
=
"
1
2
1
2
1
2
1
2
#
ahora hallamos el vector w2 ortogonal a u1
w2 = v2 hv2; u1i u1
calculamos hv2; w1i
hv2; u1i = traza uT
1 v2
hv2; w1i = traza
"
1
2
1
2
1
2
1
2
# "
1 1
2 4
#!
hv2; w1i = traza
"
3
2
5
2
3
2
5
2
#!
= 4
entonces
w2 =
"
1 1
2 4
#
4
"
1
2
1
2
1
2
1
2
#
w2 =
"
1 1
0 2
#
seguidamente hallamos su norma
kw2k2
= hw2; w2i = traza wT
2 w2
kw2k2
= traza
"
1 0
1 2
# "
1 1
0 2
#!
kw2k2
= traza
"
1 1
1 5
#!
= 6
luego tenemos kw2k =
p
6 y por tanto
u2 =
1
p
6
"
1 1
0 2
#
Por ultimo hallamos el vector w3 ortogonal al conjunto fu1; u2g
w3 = v3 hv3; u1i u1 hv3; u2i u2
8
calculamos entonces hv3; u1i y hv3; u2i
hv3; u1i = traza uT
1 v3
hv3; u1i = traza
"
1
2
1
2
1
2
1
2
# "
1 2
4 3
#!
hv3; u1i = traza
"
3
2
1
2
3
2
1
2
#!
= 2
y
hv3; u2i = traza uT
2 v3
hv3; u2i = traza
"
1
6
p
6 0
1
6
p
6 1
3
p
6
# "
1 2
4 3
#!
hv3; u2i = traza
"
1
6
p
6 1
3
p
6
3
2
p
6 4
3
p
6
#!
=
3
2
p
6
luego
w3 =
"
1 2
4 3
#
( 2)
"
1
2
1
2
1
2
1
2
#
3
2
p
6
1
p
6
"
1 1
0 2
#
w3 =
"
1
2
3
2
3 1
#
hallamos la norma de w3
kw3k2
= hw3; w3i
kw3k2
=
*"
1
2
3
2
3 1
#
;
"
1
2
3
2
3 1
#+
kw3k2
= traza
"
1
2
3
3
2
1
# "
1
2
3
2
3 1
#!
kw3k2
= traza
"
37
4
9
4
9
4
13
4
#!
=
25
2
por tanto
kw3k =
5
p
2
luego
u3 =
p
2
5
"
1
2
3
2
3 1
#
=
"
1
10
p
2 3
10
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2
3
5
p
2 1
5
p
2
#
9
Por tanto el conjunto fu1; u2; u3g es una base ortonormal del subespacio H
Matriz ortogonal
De…nición 0.5. Una matriz cuadrada Q se dice que es ortogonal si
1. Q es invertible
2. Q 1
= QT
La construcción de una matriz ortogonal esta basado en el siguiente teorema
Teorema 0.4. Una matriz Q = (q1; q2; ; qn) es ortogonal si y solo si el conjunto
fq1; q2; ; qng es un conjunto ortonormal.
Nota: q1; q2; ; qn son las columnas de la matriz Q
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  • 1. Producto Interno De…nición 0.1. Sea V un espacio vectorial sobre el campo F; donde F es R (o C) : Un producto interno sobre V es un mapeo que asigna a cada par de vectores ordenados u y v en V un único escalar en F, el cuál lo denotamos como hu; vi : El espacio vectorial V es llamado un espacio con producto interno si para todo vector u; v; w 2 V y todo escalar 2 F cumple 1. Positividad hu; ui 0; la igualdad se da solo para el vector nulo 2. Homogeneidad h u; vi = hu; vi 3. Linealidad hu; v + wi = hu; vi + hu; wi 4. Simetría Hermitiana hu; vi = hv; ui Proposición 0.1. hu; vi = hu; vi Proof. De (4) tenemos que hu; vi = h v; ui de (2) h v; ui = hv; ui como ; hv; ui 2 F entonces hv; ui nuevamente de (4) hu; vi Proposición 0.2. Para todo vector u; v; w 2 V y todo escalar ; 2 F se tiene que h u + v; wi = hu; wi + hv; wi Proof. Es inmediato 1
  • 2. Observación 0.1. Cuando el campo escalar F = R; el item (4) viene a ser hu; vi = hv; ui Ejemplos de Espacios vectoriales con producto interno 1. V = R2 con el producto interno hu; vi = vT u como los vectores aqui vienen dados por u = " u1 u2 # ; v = " v1 v2 # entonces el producto interno es hu; vi = h v1 v2 i " u1 u2 # hu; vi = u1v1 + u2v2 esto es, el producto interno es el producto escalar entre vectores del plano. El espacio vectorial V = Rn con producto interno de…nido por el producto escalar es llamado espacio euclideano n-dimensional. 2. V = C2 con el producto interno hu; vi = v u = vT u como los vectores aqui vienen dados por u = " z1 z2 # ; v = " w1 w2 # donde zi; wi 2 C; entonces el producto interno es hu; vi = h w1 w2 i " z1 z2 # hu; vi = z1w1 + z2w2 2
  • 3. 3. V = Mmn (C) es un espacio producto interno con producto interno hA; Bi = traza (B A) Proof. Veamos que es un espacio producto interno 1. hA; Ai = traza (A A) = nX i=1 (filaiA coli A) = nX i=1 filaiA T coli A hA; Ai = nX i=1 mX j=1 ajiaji ! = nX i=1 mX j=1 kajik2 ! 0 Aqui hA; Ai = 0 si y solo si A = 0 2. h A; Bi = traza (B ( A)) = traza (B A) h A; Bi = hA; Bi 3. hA; B + Ci = traza ((B + C) A) hA; B + Ci = traza (B A + C A) hA; B + Ci = traza (B A) + traza (C A) 4. hB; Ai = traza (A B) hB; Ai = traza A B hB; Ai = traza AT B = traza AT B T hB; Ai = traza B T A = traza (B A) hB; Ai = hA; Bi 3
  • 4. Longitud o norma de un vector Sea v un vector en un espacio con producto interno V Se de…ne la norma o longitud de un vector como p hv; vi y es denotado como kvk ; esto es kvk = p hv; vi la norma tiene las siguientes propiedades 1. kvk 0; para todo vector v 2 V . kvk = 0 si y solo si v = 0 2. k vk = j j kvk para todo vector v 2 V y para todo 2 Fç 3. ku + vk kuk + kvk Ejemplo 0.1. Sea V = P el espacio de los polinomios de cualquier grado con producto interno de…nido por hp; qi = Z 1 0 p (x) q (x) dx hallar la norma del vector v = 1 x2 por de…nición kvk2 = hv; vi kvk2 = Z 1 0 v (x) v (x) dx kvk2 = Z 1 0 1 x2 1 x2 dx kvk2 = Z 1 0 x4 2x2 + 1 dx kvk2 = 8 15 luego su norma es kvk = r 8 15 Ortogonalidad de vectores De…nición 0.2. Sea V un espacio vectorial con producto interno, decimos que dos vectores u; v 2 V son ortogonales si hu; vi = 0 Observación 0.2. El vector nulo es ortogonal a todos los vectores Observación 0.3. Dos vectores u; v pueden ser ortogonales en un espacio vectorial con cierto producto interno y no ser ortogonales en el mismo espacio con otro producto interno. 4
  • 5. Ejemplo 0.2. Sea V = P2 [R] con producto interno de…nido por hp (x) ; q (x)i = Z 1 1 p (x) q (x) dx los vectores p (x) = x; q (x) = 1 x2 son ortogonales pues hp (x) ; q (x)i = Z 1 1 x 1 x2 dx = 0 sin embargo V = P2 [R] con producto interno de…nido por hp (x) ; q (x)i = Z 1 0 p (x) q (x) dx no son ortogonales, pues hp (x) ; q (x)i = Z 1 0 x 1 x2 dx = 1 4 Proposición 0.3. Dos vectores ortogonales no nulos son linealmente independientes Proof. Sean u; v 2 V vectores ortogonales no nulos, planteamos la ecuación u + v = 0 aplicamos el producto interno h u + v; ui = h0; ui entonces hu; ui + hv; ui = 0 como u; v son ortogonales entonces hv; ui = 0; luego hu; ui = 0 ! kuk2 = 0 si y solo si = 0 por tanto v = 0, como v es un vector no nulo, entonces = 0; esto prueba que dos vectores ortogonales no nulos son linealmente independientes. De…nición 0.3. Un conjunto S V es un conjunto ortogonal si u es ortogonal a v; para todo vector u; v 2 V 5
  • 6. De…nición 0.4. Un conjunto S V es un conjunto ortonormal si 1. S es un conjunto ortogonal 2. kuk = 1 para todo vector u 2 V Proceso de Ortonormalización de Gram-Schmidt Sea S = fv1; v2; ; vmg un subconjunto de vectores linealmente independientes, con S V un espacio vectorial, entonces el span (S) es un espacio vectorial, luego S es una base de span (S), el obejtivo es hallar una base B del subespacio span (S) de tal modo que B sea un conjunto ortonormal, el siguiente procedimiento consigue este proposito. 1. Elección del primer vector unitario u1 = v1 kv1k = v1 p hv1; v1i 2. Elección del segundo vector ortogonal a u1 v0 2 = v2 hv2; u1i u1 Este vector es ortogonal a u1; puesto que hv0 2; u1i = hv2 hv2; u1i u1; u1i hv0 2; u1i = hv2; u1i hv2; u1i hu1; u1i hv0 2; u1i = hv2; u1i hv2; u1i = 0 3. Elección del segundo vector ortonormal a u1 u2 = v0 2 kv0 2k = v0 2 hv0 2; v0 2i hasta aqui tenemos que el conjunto fu1; u2g es ortonormal 4. Continuación del proceso fu1; u2; ; ukg es un conjunto ortonormal hallaremos el siguiente vector v0 k+1 ortogonal todo este conjunto, v0 k+1 = vk+1 hvk+1; u1i u1 hvk+1; u2i u2 hvk+1; uki uk 6
  • 7. luego el conjunto u1; u2; ; uk; v0 k+1 es un conjunto ortogonal entonces hacemos uk+1 = v0 k+1 v0 k+1 = v0 k+1 v0 k+1; v0 k+1 por tanto el conjunto fu1; u2; ; uk; uk+1g es un conjunto ortonormal hacemos esto para k = 3 hasta k = m Ejemplo 0.3. Sea V = M22 un espacio vectorial producto interno de…nido por hA; Bi = traza BT A Encuentre una base ortonormal para el subespacio H M22; donde H = gen ( v1 = " 1 1 1 1 # ; v2 = " 1 1 2 4 # ; v3 = " 1 2 4 3 #) Primero hacemos entonces w1 = v1 = " 1 1 1 1 # ahora hallamos la norma de w1 kw1k2 = hw1; w1i kw1k2 = *" 1 1 1 1 # ; " 1 1 1 1 #+ kw1k2 = traza " 1 1 1 1 # " 1 1 1 1 #! kw1k2 = traza " 2 2 2 2 #! = 4 por tanto kw1k = 2 7
  • 8. tenemos entonces u1 = w1 kw1k = 1 2 " 1 1 1 1 # = " 1 2 1 2 1 2 1 2 # ahora hallamos el vector w2 ortogonal a u1 w2 = v2 hv2; u1i u1 calculamos hv2; w1i hv2; u1i = traza uT 1 v2 hv2; w1i = traza " 1 2 1 2 1 2 1 2 # " 1 1 2 4 #! hv2; w1i = traza " 3 2 5 2 3 2 5 2 #! = 4 entonces w2 = " 1 1 2 4 # 4 " 1 2 1 2 1 2 1 2 # w2 = " 1 1 0 2 # seguidamente hallamos su norma kw2k2 = hw2; w2i = traza wT 2 w2 kw2k2 = traza " 1 0 1 2 # " 1 1 0 2 #! kw2k2 = traza " 1 1 1 5 #! = 6 luego tenemos kw2k = p 6 y por tanto u2 = 1 p 6 " 1 1 0 2 # Por ultimo hallamos el vector w3 ortogonal al conjunto fu1; u2g w3 = v3 hv3; u1i u1 hv3; u2i u2 8
  • 9. calculamos entonces hv3; u1i y hv3; u2i hv3; u1i = traza uT 1 v3 hv3; u1i = traza " 1 2 1 2 1 2 1 2 # " 1 2 4 3 #! hv3; u1i = traza " 3 2 1 2 3 2 1 2 #! = 2 y hv3; u2i = traza uT 2 v3 hv3; u2i = traza " 1 6 p 6 0 1 6 p 6 1 3 p 6 # " 1 2 4 3 #! hv3; u2i = traza " 1 6 p 6 1 3 p 6 3 2 p 6 4 3 p 6 #! = 3 2 p 6 luego w3 = " 1 2 4 3 # ( 2) " 1 2 1 2 1 2 1 2 # 3 2 p 6 1 p 6 " 1 1 0 2 # w3 = " 1 2 3 2 3 1 # hallamos la norma de w3 kw3k2 = hw3; w3i kw3k2 = *" 1 2 3 2 3 1 # ; " 1 2 3 2 3 1 #+ kw3k2 = traza " 1 2 3 3 2 1 # " 1 2 3 2 3 1 #! kw3k2 = traza " 37 4 9 4 9 4 13 4 #! = 25 2 por tanto kw3k = 5 p 2 luego u3 = p 2 5 " 1 2 3 2 3 1 # = " 1 10 p 2 3 10 p 2 3 5 p 2 1 5 p 2 # 9
  • 10. Por tanto el conjunto fu1; u2; u3g es una base ortonormal del subespacio H Matriz ortogonal De…nición 0.5. Una matriz cuadrada Q se dice que es ortogonal si 1. Q es invertible 2. Q 1 = QT La construcción de una matriz ortogonal esta basado en el siguiente teorema Teorema 0.4. Una matriz Q = (q1; q2; ; qn) es ortogonal si y solo si el conjunto fq1; q2; ; qng es un conjunto ortonormal. Nota: q1; q2; ; qn son las columnas de la matriz Q 10