CONSERVACIÓN Y PRESERVACIÓN DE LOS DOCUMENTOS.pptx
5 espacios producto_interno
1. Producto Interno
De…nición 0.1. Sea V un espacio vectorial sobre el campo F; donde F es R (o C) : Un
producto interno sobre V es un mapeo que asigna a cada par de vectores ordenados u
y v en V un único escalar en F, el cuál lo denotamos como hu; vi : El espacio vectorial
V es llamado un espacio con producto interno si para todo vector u; v; w 2 V y todo
escalar 2 F cumple
1. Positividad hu; ui 0; la igualdad se da solo para el vector nulo
2. Homogeneidad h u; vi = hu; vi
3. Linealidad hu; v + wi = hu; vi + hu; wi
4. Simetría Hermitiana hu; vi = hv; ui
Proposición 0.1. hu; vi = hu; vi
Proof. De (4) tenemos que
hu; vi = h v; ui
de (2)
h v; ui = hv; ui
como ; hv; ui 2 F entonces
hv; ui
nuevamente de (4)
hu; vi
Proposición 0.2. Para todo vector u; v; w 2 V y todo escalar ; 2 F se tiene que
h u + v; wi = hu; wi + hv; wi
Proof. Es inmediato
1
2. Observación 0.1. Cuando el campo escalar F = R; el item (4) viene a ser
hu; vi = hv; ui
Ejemplos de Espacios vectoriales con producto interno
1. V = R2
con el producto interno
hu; vi = vT
u
como los vectores aqui vienen dados por
u =
"
u1
u2
#
; v =
"
v1
v2
#
entonces el producto interno es
hu; vi =
h
v1 v2
i
"
u1
u2
#
hu; vi = u1v1 + u2v2
esto es, el producto interno es el producto escalar entre vectores del plano.
El espacio vectorial V = Rn
con producto interno de…nido por el producto escalar
es llamado espacio euclideano n-dimensional.
2. V = C2
con el producto interno
hu; vi = v u = vT
u
como los vectores aqui vienen dados por
u =
"
z1
z2
#
; v =
"
w1
w2
#
donde zi; wi 2 C; entonces el producto interno es
hu; vi =
h
w1 w2
i
"
z1
z2
#
hu; vi = z1w1 + z2w2
2
3. 3. V = Mmn (C) es un espacio producto interno con producto interno
hA; Bi = traza (B A)
Proof. Veamos que es un espacio producto interno
1.
hA; Ai = traza (A A) =
nX
i=1
(filaiA coli A) =
nX
i=1
filaiA
T
coli A
hA; Ai =
nX
i=1
mX
j=1
ajiaji
!
=
nX
i=1
mX
j=1
kajik2
!
0
Aqui
hA; Ai = 0 si y solo si A = 0
2.
h A; Bi = traza (B ( A)) = traza (B A)
h A; Bi = hA; Bi
3.
hA; B + Ci = traza ((B + C) A)
hA; B + Ci = traza (B A + C A)
hA; B + Ci = traza (B A) + traza (C A)
4.
hB; Ai = traza (A B)
hB; Ai = traza A B
hB; Ai = traza AT
B = traza AT
B
T
hB; Ai = traza B
T
A = traza (B A)
hB; Ai = hA; Bi
3
4. Longitud o norma de un vector
Sea v un vector en un espacio con producto interno V Se de…ne la norma o longitud
de un vector como
p
hv; vi y es denotado como kvk ; esto es
kvk =
p
hv; vi
la norma tiene las siguientes propiedades
1. kvk 0; para todo vector v 2 V . kvk = 0 si y solo si v = 0
2. k vk = j j kvk para todo vector v 2 V y para todo 2 Fç
3. ku + vk kuk + kvk
Ejemplo 0.1. Sea V = P el espacio de los polinomios de cualquier grado con producto
interno de…nido por
hp; qi =
Z 1
0
p (x) q (x) dx
hallar la norma del vector v = 1 x2
por de…nición
kvk2
= hv; vi
kvk2
=
Z 1
0
v (x) v (x) dx
kvk2
=
Z 1
0
1 x2
1 x2
dx
kvk2
=
Z 1
0
x4
2x2
+ 1 dx
kvk2
=
8
15
luego su norma es
kvk =
r
8
15
Ortogonalidad de vectores
De…nición 0.2. Sea V un espacio vectorial con producto interno, decimos que dos
vectores u; v 2 V son ortogonales si hu; vi = 0
Observación 0.2. El vector nulo es ortogonal a todos los vectores
Observación 0.3. Dos vectores u; v pueden ser ortogonales en un espacio vectorial
con cierto producto interno y no ser ortogonales en el mismo espacio con otro producto
interno.
4
5. Ejemplo 0.2. Sea V = P2 [R] con producto interno de…nido por
hp (x) ; q (x)i =
Z 1
1
p (x) q (x) dx
los vectores
p (x) = x; q (x) = 1 x2
son ortogonales pues
hp (x) ; q (x)i =
Z 1
1
x 1 x2
dx = 0
sin embargo V = P2 [R] con producto interno de…nido por
hp (x) ; q (x)i =
Z 1
0
p (x) q (x) dx
no son ortogonales, pues
hp (x) ; q (x)i =
Z 1
0
x 1 x2
dx =
1
4
Proposición 0.3. Dos vectores ortogonales no nulos son linealmente independientes
Proof. Sean u; v 2 V vectores ortogonales no nulos, planteamos la ecuación
u + v = 0
aplicamos el producto interno
h u + v; ui = h0; ui
entonces
hu; ui + hv; ui = 0
como u; v son ortogonales entonces hv; ui = 0; luego
hu; ui = 0 ! kuk2
= 0 si y solo si = 0
por tanto v = 0, como v es un vector no nulo, entonces = 0; esto prueba que dos
vectores ortogonales no nulos son linealmente independientes.
De…nición 0.3. Un conjunto S V es un conjunto ortogonal si
u es ortogonal a v; para todo vector u; v 2 V
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6. De…nición 0.4. Un conjunto S V es un conjunto ortonormal si
1. S es un conjunto ortogonal
2. kuk = 1 para todo vector u 2 V
Proceso de Ortonormalización de Gram-Schmidt
Sea S = fv1; v2; ; vmg un subconjunto de vectores linealmente independientes, con
S V un espacio vectorial, entonces el span (S) es un espacio vectorial, luego S es una
base de span (S), el obejtivo es hallar una base B del subespacio span (S) de tal modo
que B sea un conjunto ortonormal, el siguiente procedimiento consigue este proposito.
1. Elección del primer vector unitario
u1 =
v1
kv1k
=
v1
p
hv1; v1i
2. Elección del segundo vector ortogonal a u1
v0
2 = v2 hv2; u1i u1
Este vector es ortogonal a u1; puesto que
hv0
2; u1i = hv2 hv2; u1i u1; u1i
hv0
2; u1i = hv2; u1i hv2; u1i hu1; u1i
hv0
2; u1i = hv2; u1i hv2; u1i = 0
3. Elección del segundo vector ortonormal a u1
u2 =
v0
2
kv0
2k
=
v0
2
hv0
2; v0
2i
hasta aqui tenemos que el conjunto fu1; u2g es ortonormal
4. Continuación del proceso
fu1; u2; ; ukg es un conjunto ortonormal
hallaremos el siguiente vector v0
k+1 ortogonal todo este conjunto,
v0
k+1 = vk+1 hvk+1; u1i u1 hvk+1; u2i u2 hvk+1; uki uk
6
7. luego el conjunto
u1; u2; ; uk; v0
k+1 es un conjunto ortogonal
entonces hacemos
uk+1 =
v0
k+1
v0
k+1
=
v0
k+1
v0
k+1; v0
k+1
por tanto el conjunto
fu1; u2; ; uk; uk+1g es un conjunto ortonormal
hacemos esto para k = 3 hasta k = m
Ejemplo 0.3. Sea V = M22 un espacio vectorial producto interno de…nido por
hA; Bi = traza BT
A
Encuentre una base ortonormal para el subespacio H M22; donde
H = gen
(
v1 =
"
1 1
1 1
#
; v2 =
"
1 1
2 4
#
; v3 =
"
1 2
4 3
#)
Primero hacemos entonces
w1 = v1 =
"
1 1
1 1
#
ahora hallamos la norma de w1
kw1k2
= hw1; w1i
kw1k2
=
*"
1 1
1 1
#
;
"
1 1
1 1
#+
kw1k2
= traza
"
1 1
1 1
# "
1 1
1 1
#!
kw1k2
= traza
"
2 2
2 2
#!
= 4
por tanto
kw1k = 2
7
9. calculamos entonces hv3; u1i y hv3; u2i
hv3; u1i = traza uT
1 v3
hv3; u1i = traza
"
1
2
1
2
1
2
1
2
# "
1 2
4 3
#!
hv3; u1i = traza
"
3
2
1
2
3
2
1
2
#!
= 2
y
hv3; u2i = traza uT
2 v3
hv3; u2i = traza
"
1
6
p
6 0
1
6
p
6 1
3
p
6
# "
1 2
4 3
#!
hv3; u2i = traza
"
1
6
p
6 1
3
p
6
3
2
p
6 4
3
p
6
#!
=
3
2
p
6
luego
w3 =
"
1 2
4 3
#
( 2)
"
1
2
1
2
1
2
1
2
#
3
2
p
6
1
p
6
"
1 1
0 2
#
w3 =
"
1
2
3
2
3 1
#
hallamos la norma de w3
kw3k2
= hw3; w3i
kw3k2
=
*"
1
2
3
2
3 1
#
;
"
1
2
3
2
3 1
#+
kw3k2
= traza
"
1
2
3
3
2
1
# "
1
2
3
2
3 1
#!
kw3k2
= traza
"
37
4
9
4
9
4
13
4
#!
=
25
2
por tanto
kw3k =
5
p
2
luego
u3 =
p
2
5
"
1
2
3
2
3 1
#
=
"
1
10
p
2 3
10
p
2
3
5
p
2 1
5
p
2
#
9
10. Por tanto el conjunto fu1; u2; u3g es una base ortonormal del subespacio H
Matriz ortogonal
De…nición 0.5. Una matriz cuadrada Q se dice que es ortogonal si
1. Q es invertible
2. Q 1
= QT
La construcción de una matriz ortogonal esta basado en el siguiente teorema
Teorema 0.4. Una matriz Q = (q1; q2; ; qn) es ortogonal si y solo si el conjunto
fq1; q2; ; qng es un conjunto ortonormal.
Nota: q1; q2; ; qn son las columnas de la matriz Q
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