1. Müəllim: Novruzova Xumar
RİKNƏ 4 (İSM-301302)
Mühazirə 1. Kəmiyyətlər arasında funksional asılılıq
Dəyişən kəmiyyətlər. Funksiya. Həqiqi dəyişənli funksiya. Funksiyanın təyin
oblastı və qiymətlər çoxluğu.
Müxtəlif ədədi qiymətlər ala bilən kəmiyyətlərə dəyişən kəmiyyətlər deyilir. Adətən,
riyaziyyatda dəyişən kəmiyyətlər x,y,z, ...ilə, sabit kəmiyyətlər isə a,b,c, ... ilə işarə
edilir. Dəyişmə xarakterinə görə dəyişən kəmiyyətlər əsasən iki qrupa bölünür:
1.Sonlu və ya hesabi qiymətlər ala bilən dəyişən kəmiyyətlər. Bunlara diskret tipli və
ya sadəcə, diskret də-yişən kəmiyyətlər deyilir. Məsələn, dəyişən kəmiyyəti ancaq
2,4,6,8,.. qiymətlərini ala bilirsə, o diskret dəyişən kəmiyyətdir. Diskret dəyişən
kəmiyyətə başqa bir misal natural 1,2,3,...., n, ...ədədlərini ala bilən dəyişən
kəmiyyətdir. Belə dəyişən kəmiyyətə<<tam qiymətli dəyişən >>deyilir və n ilə işarə
edilir.
2.Öz dəyişmə oblastındakı hər hansı x=x0 və x=x1 qiymətləri ilə bərabər, həmin
ədədlər arasında yerləşən bütün həqiqi ədədləri, yəni x0<x< x1 qiymətlərini ala bilən
dəyişən kəmiyyətlər. Belə dəyişən kəmiyyətlərə kəsilməz tipli dəyişən kəmiyyətlər
deyilir. Məsələn, (0,1) intervalındakı bütün qiymətləri ala bilən x kəmiyyəti kəsilməz
tipli dəyişən kəmiyyətdir. Dəyişən x kəmiyyətinin ala bildiyi bütün qiymətlər
çoxluğuna onun dəyişmə oblastı deyilir.
Tərif: Dəyişmə oblastları uyğun olaraq X vəY olan iki x və y dəyişən kəmiyyətini
götürək. Hər hansı f qayda və ya qanunu vasitəsilə dəyişən xkəmiyyətinin X dəyişmə
oblastındakı hər bir qiymətinə,dəyişən y kəmiyyətinin müəyyən bir qiymətini (Y
çoxluqundan) uyğun və ya qarşı qoymaq mümküdürsə, onda X çoxluqundan Y
çoxluğuna funksiya ( X çoxluğunun Y-ə inikası) verilmişdir deyilir və y=f(X) ilə
göstərilir. Funksiya bəzən Y=y(x) ,y=f(x) , y=φ(x) , y=F(x) və s. şəklində göstərilir.
Bu ifadələrdəki...hərflərin hansı qanun vəya qaydalar vasitəsilə x-in verilmiş
qiymətinə y-in uyğun qiymətinin qarşı qoyulmasını gös-tərir.
Bu halda x-ə sərbəst dəyişən və ya arqument, y-ə isə funksiyanın asılı dəyişəni və ya
qiyməti deyilir. X çoxluğu na funksiyanın təyin oblastı, Y çoxluğuna isə onun
qiymətləri çoxluğu deyilir.
Fərz edək ki,y=f(x) funksiyası [a,b] parçasında təyin olunmuşdur. Müstəvi üzərində
düzbucaqlı Oxy koordinant sistemi götürək və absis oxu üzərində [a,b] parçasını qeyd
edək. [a,b] parçasının hər hansı nöqtəsi x=x0 və ya N(x0) olsun. Bu nöqtədə y=f(x)
funksiyası y0=f(x0) qiymətini alır, N(x0) nöqtəsindən absis oxuna perpendikulyar
çəkək.
Bu perpendikulyar üzərində elə M nöqtəsi var ki, NM=f(x0) olur. Bundan sonra NM
düz xətt parçasının M nöqtəsini f(x) funksiyasının x=x0 nöqtəsindəki qiymətinin
həndəsi göstərilişi hesab edəcəyik. Bu qayda ilə f(x) funksiyasının [a,b] parçasının hər
bir nöqtəsindəki qiymətini həndəsi
olaraq göstərən nöqtəni tapa bilərik. y=f(x) funksiyasının [a,b] parçasındakı
qiymətlərini həndəsi göstərən bütün nöqtələrin həndəsi yeri həmin funksiyanın
həndəsi göstə-rilişi və ya [a,b] parçasında qrafiki adlanır. Başqa sözlə,
absisləri arqumentin qiymətləri, ordinatları isə funksiyanın arqumentin həmin
qiymətinə uyğun qiymətləri olan M(x,y) nöqtələrinin həndəsi yerinə y=f(x)
funksiyasının
2. qrafiki deyilir.
Aydındır ki, verilmiş funksiyanın qrafiki onun təyin oblastından asılı olaraq bütöv bir
xətt, hissə-hissəxətlər çoxluğu, izolə edilmiş nöqtələr çoxluğu və s. şəklində ola bilər.
Funksiyanın verilmə üsulları. y=f(x)funksiyası o zaman verilmis, məlum vətəyin
olunmuş hesab edilir ki: 1)funksiyanın təyin oblastı, yəni x arqumentinin ala bildiyi
qiymətlər çoxlugu göstərilsin ;
2) x-in hər bir qiymətinəy-in muəyyən bir qiymətini uyğun qoyma qanunu, yəni x və
y arasındakı uyğunluq qanunu göstərilsin;
3)Funksiya əsasən analtik üsulla, cədvəl şəklində,qrafiki üsulla və proqram vasitəsilə
verilir.
Verilmiş çoxluqda artan, azalmayan, artmayan və azalmayan funksiyalara monoton
funksiyalar deyilir.
3. Mühazirə 2. Kəmiyyətlər arasında düz və tərs mütənasib asılılıq
İbtidai siniflərdə düz mütənasib asılılıq ayrıca tədris mövzusu kimi
öyrənilmir. Lakin mətn məsələlərinin həlli zamanı şagirdlər kəmiyyətlər
arasında müxtəlif asılılıqların yaradılması tələbi ilə rastlaşırlar. Bir neçə
məsələ nümunələrini göstərək.
Məsələ: Tikiş emalatxanasında 24m parçadan 8 eyni kostyum
tikdilər. x sayda belə kostyum tikmək üçün nə qədər parça lazımdır?
Göründüyü kimi, məsələdə parçanın sərf olunması ilə onun miqdarı
arasında asılılığa baxılır. Bir kostyumun tikilməsinə 24:8=3 m parça tələb
olunduğundan x sayda kostyum tikilməsinə lazım olan parçanın miqdarı
y=3x asılılığı ilə ifadə olunar.
İki dəyişən kəmiyyət arasındakı funksional asılılıqların ən sadə və
ibtidai riyaziyyat kursu məsələlərində daha geniş istifadə olunan
növlərindən biri düz mütənasib asılılıqdır.
Aydındır ki, bir metrinin qiyməti 6000 manat olan çit parçanın iki
metrinin qiyməti (2∙6000) manat, üç metrinin qiyməti (3∙6000) manat və s.
olar. Hər saata bərabər miqdarda pambıq yığan maşın 4 saata 5 t pambıq
yığarsa, 3 saata 5·
4
3
t, 2 saata 5 ∙
4
2
t, 1 saata 5∙
4
1
t, 0,5 saata 5∙
4
5
,
0
=5 ∙
8
1
t
və s. pambıq yığar.
Bu kəmiyyətlərdən birinin dəyişməsi ilə o birinin necə dəyişdiyini
əyani görmək üçün cədvəllər tərtib edək.
Cədvəl 1
Parçanın
uzunluğu(m-lə)
1
2
3 4
Parçanın
dəyəri(man-la) 6000
12000 18000
24000
4. Cədvəl 2
Yığım
vaxtı (saatla) 4 3 2 1
0,5
Yığılan
pambıq(tonla) 5 3,75 2,5 1,25
0,625
Bu cədvəllərdən görünür ki, parçaya verilən pul (cədvəl 1) onun
uzunluğundan, yığılan pambığın miqdarı (cədvəl 2) vaxtdan asılı olaraq
dəyişir. Parçanın uzunluğu 2 dəfə artdıqda ona verilən pul da 2 dəfə, 3
dəfə artdıqda 3 dəfə və s. artır; yığım vaxtı
4
3
dəfə azaldıqda yığılan
pambığın miqdarı da
4
3
dəfə azalır.
Beləliklə, bu misallardan görünür ki, bir kəmiyyətin müəyyən dəfə
dəyişməsi başqa bir kəmiyyətin də həmin dəfə dəyişməsinə gətirir.
Bir kəmiyyət bir neçə dəfə dəyişdikdə digər kəmiyyət də həmin dəfə
dəyişərsə, belə kəmiyyətlərə düz mütənasib kəmiyyətlər deyilir.
Məsələ1. Düz xətt boyunca bərabər sürətlə hərəkət edən cisim
saniyədə 15m yol gedirsə, 2;3;4;5;6;7;8 saniyəyə nə qədər yol gedər?
Həlli. S=v∙t yol düsturunda v=15 m ∕san qəbul edək.
Cədvəl 3
Zaman(san
ilə)
1 2 3 4 5 6 7 8
Yol (m ilə) 15 30 45 60 75 90 105 120
Cədvəldə bir sütunda yazılan iki ədəd bu kəmiyyətlərin uyğun
qiymətləri adlanır.
Zamanın istənilən iki qiymətinin və gedilən yolun onlara uyğun
5. qiymətlərinin nisbətini tapaq. Məsələn:
6 : 2 = 3 90 : 30 = 3
Deməli, 6:2=90:30. Buradan belə bir nəticə alınır:
İki kəmiyyət düz mütənasibdirsə, onlardan birinin istənilən iki
qiymətinin nisbəti digərinin uyğun iki qiymətinin iki qiymətinin
nisbətinə bərabərdir.
İndi cədvəldəki uyğun qiymətlərin nisbətini tapaq:
15
8
120
.....
4
60
3
45
2
30
1
15
olar. Yəni bu kəmiyyətlərin uyğun qiymətlərinin nisbəti sabit olub 15-ə
bərabərdir.
Bu mühakiməyə əsasən düz mütənasib kəmiyyətlərin belə bir xassəsini
alırıq:
Düz mütənasib kəmiyyətlərin uyğun qiymətlərinin nisbəti sabitdir.
Bu sabitə mütənasiblik əmsalı deyilir.
Düz mütənasib kəmiyyətlərdən birinin qiymətini x ilə, digərinin
uyğun qiymətini y ilə, mütənasiblik əmsalını k ilə işarə etsək,
k
x
y
olar. Buradan da qismətin tərifinə görə alırıq ki, y=kx.
Alınan bərabərlik düz mütənasibliyin düsturu adlanır.
Məsələn, bərabərsurətli düzxətli hərəkətdə v surəti sabit olduğundan,
S=vt yol düsturu düz mütənasibliyin düsturudur.
Məsələ. 3 saata 27 ton buğda üyüdən dəyirman, həmin
məhsuldarlıqla 8 saata nə qədər buğda üyüdər?
Həlli. Tutaq ki, dəyirman 8 saata x ton buğda üyüdür. Məsələnin
qısa şərtini yazaq.
3 saat - 27 ton
8 saat - x ton
Məhsuldarlıq eyni olduğundan vaxt ilə üyüdülən buğdanın miqdarı
6. düz mütənasib kəmiyyətdir. Odur ki, düz mütənasibliyin xassəsinə görə
yaza bilərik:
x
27
8
3
Buradan, x= 72
3
27
8
Cavab: 72 ton.
Bir neçə tipik misala baxaq.
1) Saatda 80 km sabit surətlə hərəkət edən avtomobil zaman
müddətində s km yol qət etmişdirsə, onda t kəmiyyətinin hər bir
qiymətinə s kəmiyyətinin s= 80t düsturu vasitəsilə təyin olunan yeganə
qiyməti uyğundur. Beləliklə, s=80t düsturu t kəmiyyətindən düz
mütənasib asılı olan s funksiyasını verir.
2) Bir kiloqramının qiyməti 1000 man olan x kq malın y dəyəri
y=1000x düsturu ilə hesablanır. Burada y kəmiyyəti x kəmiyyətindən
düz mütənasiblik qanunu ilə asılı funksiya verir.
3) Kvadratın p perimetrinin onun a tərəfindən asılılığı düz mütənasib
asılılıq olub p=4a düsturu ilə verilir.
Bu misalların hər birində bir kəmiyyət (s ,y ,p) digər kəmiyyətdən (t,
x, a) elə asılıdır ki, 1) bu kəmiyyətdən biri müstəqil dəyişir, digəri isə
asılı (məcburən) dəyişir; 2) t, x, a dəyişənlərinin hər birinin uyğun bir
qiymətinə s, y, p dəyişənlərinin uyğun düsturla təyin olunan yeganə
qiyməti uyğundur. Deməli, göstərilən asılılıqların hər biri asılılıqdır (bir
funksiyanı verir) və həm də bu asılılıqların hər biri “düz mütənasib
asılılıq” adlanan özünəməxsus xarakterə malikdir.
Tərif. y=kx şəklində düsturla verilən funksiyaya düz mütənasib
asılılıq deyilir, burada k≠0 həqiqi ədəddir. y=kx düsturundan k
x
y
yazmaq olar. Bu münasibətə əsasən deyirlər ki, y dəyişəni x dəyişəni ilə
düz mütənasibdir, k isə mütənasiblik əmsalıdır. Doğrudan da, x1 ,x2 ,....xn
7. x dəyişəninin sonlu qiymətlər çoxluğu, y1 ,y2 ,....yn isə funksiyanın
uyğun qiymətlər çoxluğu olduqda, sonuncu münasibətə əsasən (x1,y1), (x2,
y2 ).....(xn ,yn) qiymətlər cütü üçün aşağıdakı bərabər nisbətlər alınır:
n
n
x
y
x
y
x
y
....
2
2
1
1
(burada x≠0, i=1,2,....n)
Bu bərabərliklər iki kəmiyyət arasında verilən düz mütənasib
asılılığın xarakterini daha dəqiq aydınlaşdırmağa imkan verir. Belə ki,
sonuncu bərabərliklərdən asanlıqla görünür ki, y dəyişəni x dəyişənindən
elə asılıdır ki, onlar necə dəyişirsə dəyişsin, onların nisbətləri
mütənasiblik əmsalı adlanan eyni bir k=const ədədinə bərabər olur.
y = kx düsturu ilə verilən asılılığın xarakterini təcrübi baxımdan
müəyyən etmək məqsədilə x və y dəyişənlərinin ixtiyari iki (x1, y1),
(x2 ,y2) qiymətlər cütünü aşağıdakı kimi yazaq:
y1=kx1 və y2=kx2
y>0 olduqda y-in x-dən düz mütənasib asılılığın xarakteri haqqında
aşağıdakı mühüm nəticə çıxır:
x dəyişəninin qiymətlərinin bir neçə dəfə (n dəfə) artması
(azalması) ilə y dəyişəninin də uyğun qiymətləri o qədər dəfə (n dəfə)
artırsa (azalırsa), onda y-in x-dən asılılığı düz mütənasib asılılıqdır.
Düz mütənasib asılılığın aşağıdakı xassələrini qeyd edək:
İxtiyari y=f(x) funksiyası üçün yuxarıda şərh etdiyimiz ümumi
xassələrin f(x)=kx düz mütənasib asılılıq üçün ödənildiyini araşdıraq.
1) f(x)=kx funksiyasının təyin oblastı D(f)=(-∞;+∞) və qiymətlər
çoxluğu E(f)=(- ∞;+∞ ) həqiqi ədədlər çoxluğudur.
2) f(x)=kx funksiyası k>0 olduqda bütün təyin oblastında artan
funksiyasıdır, yəni ¥x€ R üçün x -∞-dan +∞-a qədər artdıqda f(x) də -∞ -
dan +∞-a qədər sonsuz artan qiymətlər alır.
3) k<o olduqda f(x)=kx funksiyası bütün təyin oblastında azalandır,
yəni x r üçün x -∞-dan +∞-a qədər artan qiymətlər aldıqda f(x)=kx
8. funksiyasının qiymətləri -∞-dan -∞-a qədər sonsuz azalır. Məsələn,
asanlıqla yoxlamaq olar ki, f=2x funksiyası k=2>0 olduqda artan, y=-3x
funksiyası k= -3<0 olduqda isə azalandır. Bu təklifləri ümumi şəkildə
isbat edək.
Doğrudan da, x arqumentinin x1<x2 münasibətini ödəyən iki ixtiyari
qiyməti üçün y2 −y1=k(x2-x1) fərqinin işarəsi k-nın işarəsindən asılıdır.
Onda k>0 olduqda y2-y1>0 və ya y2>y1 olur və funksiya artan, k<0
olduqda isə y2-y1<0 və ya y2<y1 olur və funksiyası azalan olur.
3) F(x)=kx funksiyası D(f)=(-∞;+∞) simmetrik oblastında tək
funksiyadır. Doğrudan da:
f(-x)=k(-x)=-kx=-f(x) münasibəti ¥ x € R üçün doğrudur.
1) f(x)=kx funksiyasının qrafiki koordinat başlanğıcından keçən düz
xətdir.
Düz mütənasib kəmiyyətlərə aid məsələ həlli
Kəmiyyətlərin mütənasibliyinə aid əldə edilən biliklərdən həyatda,
xüsusilə istehsalatda geniş istifadə olunur. Ona görə kəmiyyətlərin
mütənasibliyinə aid biliklərin tətbiqlərini, xüsusilə təcrübədə tətbiqlərini
şagirdlərə öyrətmək tələb olunur. Aparılan təcrübələr göstərir ki, bu işi
aşağıdakı qaydada təşkil etdikdə yaxşı nəticə əldə edilir.
Düz mütənasib kəmiyyətlərə aid aşağıdakı kimi məsələlər həll
etdirmək məsləhətdir.
Məsələ1. Təzə yığılmış yonca otunun 3m3
-nin çəkisi 180 kq-dir. Bu
otun 8m3
-nin çəkisi nə qədər olar?
Həlli: Vahidə gətirmə üsulu ilə.
1) 1 kubmetr otun çəkisi nə qədərdir?
180 :3=60 (kq)
2 ) 8 kubmetr otun çəkisi nə qədərdir?
480
8
60
(kq)
9. Tənasüb üsulu ilə:
3m3
– 180 kq
8m3
– x kq
Otun həcmi ilə çəkisi düz mütənasib olduğuna görə, otun kub
metrlərinin sayını göstərən iki ədədin nisbəti, çəkisini göstərən uyğun
iki ədədin nisbətinə bərabər olar.
x
180
8
3
3x=180∙8
x=480 (kq)
İki y və x kəmiyyətləri arasında düz mütənasib asılılıq varsa, onda
x-in (x1,x2) qiymətlər cütü ilə y-in uyğun (y1,y2) qiymətlər cütü tənasüb
təşkil edir. Bu xassənin tərsi də doğrudur. Həmçinin aşkardır ki, y
dəyişəni x dəyişənindən k əmsalı ilə düz mütənasib asılıdırsa, onda x
dəyişəni y dəyişənindən
k
1
əmsalı ilə düz mütənasib asılıdır, yəni (y=kx),
deməli x=
k
1
y. Bu təklif y=kx münasibətini
k
y
x 1
tənasübü şəklində yazmağa imkan verir.
Biri digərindən düz mütənasib asılı olan kəmiyyətlərin iki müxtəlif
qiymətlər cütlərinin tənasüb təşkil etməsi ibtidai riyaziyyat kursunda
dördüncü mütənasibin axtarılması adı ilə məlum olan xususi məsələ
tipinin həll üsulunun əsasında durur. Hər hansı kəmiyyətin qiymətini, bu
kəmiyyətlə düz mütənasüb olan digər kəmiyyətin bir qiymətinə və hər iki
kəmiyyətin bir cüt digər uyğun qiymətlərinə görə tapılmasını tələb edən
məsələlər qeyd etdiyimiz tipə aiddir. Bu tip bir neçə məsələ nümunəsinə
baxaq.
Məsələ. 2,8 kq ərzağı 3360 man ödənilmişsə, 8 kq belə ərzağa nə
qədər ödənilməlidir?
10. Bu məsələdə malın miqdarı və malın dəyəri kimi iki mütənasüb
kəmiyyət iştirak edir. Bu kəmiyyətlərin bir cür uyğun qiymətləri (2,8 kq
və 3360 man) və onların birinin bir qiyməti (8kq) verilir.Verilmiş
miqdara uyğun dəyər kəmiyyətini tapmaq tələb olunur. Beləliklə, üç
kəmiyyət verilir və elə bir dördüncü kəmiyyətin tapılması təiəb olunur ki,
bu üç kəmiyyətlə tənasüb təşkil etsin. Məsələnin üç həll üsuluna baxaq.
1. Ayrı-ayrı əməlləri icra etmə.
1) 2,8 kq üçün 3360 man ödənilmişsə, 1 kq üçün 3360:2,8 =1200
man ödənilər.
2) 1 kq–ın qiyməti 1200 (man) olduqda 8 kq-ın qiyməti 8
∙1200=9600 man olar.
2. Vahidə gətirmə. 2,8 kq-ın qiyməti 3360 man olduqda 8 kq-ın
qiyməti x olsun. Onda 1 kq-ın qiyməti
8
,
2
3360
olar. Onda 8 kq-ın qiyməti
9600
8
,
2
8
3360
man olar.
3. Tənasüb qurma. Dəyərin axtarılan qiymətinin 3360-a nisbəti 8:2,8
kimidir. Ona görə də x:3360 =8:2,8 tənasübünü yaxmaq olar. Buradan
9600
8
,
2
8
3360
x man tapılır. Həll üsullarını müqayisə etdikdə, asanlıqla
görünür ki, baxılan tip məsələlər üçün 2 və 3-cü üsullar səmərəlidir.
Məsələ. İki şəhərdən qarşı-qarşıya minik və yük maşınları çıxdı.
Minik maşını saatda 90 km/sürətlə hərəkət edərək yük maşını ilə
görüşənə qədər 180 km yol qət etdi. Yük maşınının sürəti saatda 45 km
olarsa, görüşənə qədər o, nə qədər yol getmiş olar?
Məsələdə avtomaşınların hərəkətindən söhbət gedir və bu hərəkət
sürət, zaman və məsafə kəmiyyətləri ilə xarakterizə olunur. Məsələnin
şərtinə görə, hərəkətin vaxtı eynidir, sürətlər və gedilən uyğun məsafələr
isə müxtəlif qiymətlər alır. Bu iki kəmiyyət arasındakı asılılıq s=vt
düsturu ilə ifadə olunur. Deməli, burada s və v düz mütənasib asılı
11. kəmiyyətlərdir.
Məsələni aşağıdakı üsulla həll edək. Bu üsul verilən məsələdə
mütənasiblik əmsalı olan t-nin axtarılmasını tələb edir. Lakin t-ni
bilavasitə axtarmağa ehtiyac yoxdur. S1 minik maşınının getdiyi yol, v1
isə onun sürəti, s2 yük maşınının getdiyi yol, v2 isə onun sürəti olduqda
t
v
s
v
s
2
2
1
1
olur və deməli, s2=
1
1
v
s
v2-dən s=(180:90)∙45=90 (km) yük
maşınının minik maşını ilə görüşənə qədər getdiyi yoldur.
Bu üsul da düz mütənasib asılılığın xassəsinə əsaslanır. Doğrudan
da, yük maşınının sürəti minik maşınının sürətindən iki dəfə az
olduğundan onun qət etdiyi yol da iki dəfə az olar.
Kəmiyyətlər arasında funksional asılılıqların sadə və məktəb kursu
məsələlərində geniş əks olunmuş növlərindən biri də tərs mütənasib
asılılıqdır. Bir-birindən asılı elə iki kəmiyyət var ki, onlardan biri bir
neçə dəfə artdıqda (azaldıqda) digəri də o qədər dəfə artır (azalır).
Bunu bir misal üzərində izah edək. İki məntəqə arasındakı məsafə
210 km-dir. Bu məsafəni avtomobil 20 km/saat sürətlə 10,5 saata, 25
km/saat sürətlə 8,4 saata, 30 km /saat sürətlə 7 saata, 35 km/saat sürətlə 6
saata, 40 km/saat sürətlə 5,25 saata gedər.
Sürətin dəyişməsi ilə getmə vaxtının necə dəyişməsini əyani
görmək üçün cədvəl tərtib edək.
Cədvəl 7
Sürət(kmsaatla)
20 25 30 35 40
Getmə
vaxtı(saatla)
10,5 8,4 7 6 5,25
Cədvəldən görünür ki, avtomobilin sürətinin bir neçə dəfə artması
ilə verilmiş məsafənin getmə vaxtı bir o qədər dəfə azalır. Doğrudan da,
12. əgər avtomobil sürətini 20 km/saatdan 25 km/saata qədər artırıbsa, surəti
20
25
= 1,25 dəfə artıb. Onda uyğun getmə vaxtları 10,5 saatdan 8,4 saata
qədər azalıb, yəni 25
,
1
4
,
8
5
,
10
dəfə azalıb. Eyni qayda ilə yoxlamaq olar ki,
avtomobilin sürəti 30 km/saatdan 40 km/saat-a qədər artıbsa, yəni
3
4
30
40
dəfə artıbsa, getmə vaxtı 7 saatdan 5,25 saata qədər azalıb, yəni
3
4
25
,
5
7
dəfə azalıb və s. Bu zaman deyilir ki, verilmiş yolu getmə sürəti ilə getmə
vaxtı tərs mütənasibdir.
Bir kəmiyyət bir neçə dəfə artdıqda (azaldıqda), digər kəmiyyət
həmin dəfə azalarsa (artarsa) bu kəmiyyətlər tərs mütənasib kəmiyyətlər
adlanır.
Məsələ 1. Əli 6000 manata dəftər almalıdır. Bir dəftərin qiyməti
onun vərəqlərinin sayından asılı olaraq, 250, 500, 750, 1000, 1500
manatadır. Əli bu dəftərlərin hər birindən neçəsini ala bilər?
Həlli. Aydındır ki, biri 250 manata olan dəftərdən
250
6000
=24 ədəd,
500 manata olan dəftərdən
500
6000
=12 ədəd, 750 manata olan dəftərdən
750
6000
= 8 ədəd, 1000 manata olan dəftərdən
1000
6000
= 6 ədəd, 1500 manata
olan dəftərdən
1500
6000
=4 ədəd almaq olar.
Məsələnin həllindən görünür ki, dəftərin qiyməti ilə sayı tərs
mütənasibdir.
Tərs mütənasib kəmiyyətlərin bir xassəsini izah etmək üçün həll
etdiyimiz məsələ əsasında aşağıdakı cədvəli tərtib edək.
Cədvəl 8
Bir dəftərin qiy- 250 750 500 1000 1500
13. məti(manatla)
Dəftərlərin sayı 24 8 12 6 4
Cədvəldən görünür ki, istənilən iki müxtəlif qiymətli dəftərin
qiymətinin nisbətini və uyğun sayların tərs nisbətini düzəltsək eyni ədəd
alırıq. Məsələn,1500:500=12:4=3; 1000:250=24:6=4
Bu nəticələrə əsasən, tərs mütənasib kəmiyyətlərin aşağıdakı
xassəsini söyləmək olar.
Tərs mütənasib olan iki kəmiyyətdən birinin istənilən iki
qiymətinin nisbəti digərinin uyğun qiymətlərinin tərs nisbətinə
bərabərdir.
Dəftərlərin cədvəldə göstərilən qiymətləri ilə uyğun sayların
hasilini düzəltsək aydındır ki, 250∙24
=500∙12=750∙8=1000∙6=1500∙4=6000 olar. Yəni dəftərin qiyməti ilə sayı
tərs mütənasib kəmiyyətlərdir, ancaq onların qiyməti ilə uyğun sayının
hasili sabit olub 6000-ə bərabərdir.
Buradan da tərs mütənasib kəmiyyətlərin aşağıdakı xassəsini alırıq.
Tərs mütənasib kəmiyyətlərin uyğun qiymətlərinin hasili sabitdir.
Bu sabitə mütənasiblik əmsalı deyilir. Tərs mütənasiblik
kəmiyyətlərdən birini x, digərini y, mütənasiblik əmsalını k ilə işarə
etsək, deyilən xassəyə əsasən
x·y=k
olar. Buradan da,
y=
x
k
, k≠0
alarıq. Alınan bərabərliyə tərs mütənasibliyin düsturu deyilir.
Adətən, tərs mütənasib olan kəmiyyətlərə tərs mütənasib asılı
kəmiyyətlər, y=
x
k
düsturuna isə bu asılılığın düsturu deyilir.
14. Məsələ 2. Keşlə stansiyasına gətirilmiş yükü daşımaq üçün hər biri
3,5 t yük götürən 20 yük maşını lazımdır. Həmin yükü daşımaq üçün hər
biri 5 t yük götürən neçə yük maşını lazım olar?
Həlli. Tutaq ki, həmin yükü daşımaq üçün hər biri 5 t yük götürən
x maşın lazımdır. Maşınların yükgötürmə qabiliyyəti bir neçə dəfə
artırıldıqda həmin yükü daşımaq üçün lazım olan maşınların sayı bir o
qədər dəfə azaldığından, maşınların yükgötürmə qabiliyyəti ilə sayı tərs
mütənasibdir. Deməli, x- in 20-yə nisbəti 5-in 3,5-ə tərs nisbətinə
bərabərdir:
20
x
=
5
5
,
3
Buradan x=
5
5
,
3
20
=14 alarıq.
Cavab: 14 maşın
İki kəmiyyət arasında tərs mütənasib asılılığın xarakterini aşkar
təsəvvür etmək üçün yenə də məsafə, zaman və surət kəmiyyətləri
arasındakı mümkün asılılıqlara müraciət edək.
Tutaq ki, turist saatda v km sürətlə t saat müddətində s km yol qət
etməlidir. Sürət və zaman müxtəlif ədədi qiymətlər aldıqda, qət edilən
məsafə isə sabit qaldıqda, sürətin hər bir qiymətinə zamanın yeganə
qiymətini uyğun qoyan funksiya verilmiş olur. Bu funksiya t=
v
s
düsturu
ilə verilir. Düsturdan göründüyü kimi, t zamanı v sürətindən tərs
mütənasiblik qanunu ilə asılıdır. Burada s=k (k= const), t=y, v=x kimi
işarələr qəbul etsək, y və x kəmiyyətləri arasındakı asılılığı y=
x
k
düsturu
ilə ifadə etmək olar.
Tərif. y =
x
k
şəklində düsturla verilən funksiyaya tərs mütənasib
asılılıq deyilir. Burada x arqument, k≠0 verilmiş sabit ədəddir.
Bu tərifdən xy=k yazmaq olar və buradan da göründüyü kimi, x-in
15. x1 qiymətinə y-in y1 qiyməti, x-in x2 qiymətinə y-in y2 qiyməti
uyğundursa, onda x1y1=x2 y2. Bu münasibətdən çıxır ki, bir-biri ilə tərs
mütənasib asılılıqla bağlı olan iki kəmiyyətin uyğun qiymətləri hasili
sabitdir. İbtidai riyaziyyat kursunda kəmiyyətlər arasında tərs mütənasib
asılılıq ayrıca mövzu kimi öyrənilmir. Lakin şagirdlər məsələlər həlli
prosesində bu asılılıqla tez-tez rastlaşırlar. Belə bir məsələ nümunəsinə
baxaq.
Məsələ: Sahədən hər birinin kütləsi 50kq olan 4 kisə kartof yığıldı.
Bu kartofu 20kq-lıq zənbillərə payladılar. Neçə zənbil lazım oldu?
Məsələdə yığılmış bütün kartofun kütləsi ilə bir zəncirin kütləsi və
zənbillərin sayı arasında asılılığa baxılır. İlkin kəmiyyət sabitdir və 50 ∙ 4
= 200 kq-dır. Digər iki kəmiyyət dəyişənlərdir və onlar arasında tərs
mütənasib asılılıq var. Belə ki, x bir zənbilin kütləsi, y isə zənbillərin sayı
olduqda y =
x
200
asılılığını yazmaq olar.
y=200:20=10 (zənbil)
f(x)=
x
k
funksiyasının bəzi konkret xassələrini göstərək.
1) f(x)=
x
k
funksiyası arqumentin x=0 qiymətindən başqa bütün
həqiqi qiymətlərində təyin olunmuşdur. Bu qiymətlər çoxluğunu D(f)=(-
∞;0) U (0;+∞) kimi işarə edək. Onda funksiyanın uyğun qiymətləri
çoxluğu da E(f)=(-∞;0)U(+∞;0) çoxluğu olur. f(x)=
x
k
funksiyası k>0
olduqda azalan funksiyadır. Belə ki, x-in qiymətləri -∞-dan 0-a qədər
artdıqda f(x)-in uyğun qiymətləri 0-dan -∞-a qədər azalır. x-in
qiymətləri 0-dan +∞-a qədər artdıqda isə, y-in qiymətləri +∞-dan 0-a
qədər azalır.
2) f(x)=
x
k
funksiyası k<0 olduqda artan funksiyadır. Belə ki, x-
in qiymətləri -∞ - dan 0-a qədər artdıqda f(x)-in uyğun qiymətləri 0-dan
16. +∞ -a qədər artır. x-in qiymətləri 0-dan +∞ -a qədər artdıqda isə f(x)-in
uyğun qiymətləri -∞ -dan 0-a qədər artır.
Tərs mütənasibliyin qrafiki hiperbola adlanan əyridir. k>0 olduqda
bu əyri 1 və 3-cü rüblərdə yerləşir. k<0 olduqda isə bu əyri 2 və 4-cü
rüblərdə yerləşir. Tərs mütənasibliyin qrafikinin qurulmasının ən
səmərəli üsulu bu funksiyanın xassələrindən istifadə edilməsidir.
Tərs mütənasib kəmiyyətlərə dair məsələ həlli
Belə məsələ nümunələrinə baxaq.
Məsələ. Çadır tikmək üçün turistlər qrupuna eni 75 sm olan 8 m
parça verildi. Parçanın eni 80 sm olarsa, həmin çadır üçün neçə metr
parça lazımdır? Bu məsələdə sahələri eyni olan iki düzbucaqlının eni və
uzunu arasındakı asılılığa baxılır. Məsələnin həllinin 3 üsuluna baxaq.
1. Ayrı - ayrı əməllərin icra edilməsi üsulu.
1) Belə parçanın sahəsi 8 m · 0,75 m = 6 m2
olar.
2) Eni 80 sm olan belə parçanın uzunluğu 6 m2
: 0,8 m = 7,5 m
olar.
2. Vahidə gətirmə üsulu.
Verilmiş parçanın uzunluğu ilə eni tərs mütənasibdir. Ona görə də
eni 75sm=0,75m olan parçanın uzunluğu 8 m olduqda, onda eni 1 sm
olan parçadan eyni çadır tikmək üçün uzunu 75 dəfə çox olan parça
lazımdır. Eni 80 sm olduqda isə uzunu 80 dəfə az olan parça lazımdır.
Eni 80 sm olan parçanın axtarılan uzunluğu x m olsun. Eni 1 m
olan parçanın sahəsi 800 · 75 sm2
, eni 80 sm olan parçanın uzunluğu isə
x =
80
75
800
=750 sm=7,5 m olmalıdır.
3. Tənasübün tərtib edilməsi üsulu.
Parçanın uzunluğu ilə eni tərs mütənasib olduğundan x:8 =75:80
17. tənasübünü alırıq. Buradan da x=
80
75
800
=7,5 alınır.
Məsələ. Avtomobilin sürəti saatda 60 km, velosipedin surəti isə
ondan 5 dəfə azdır. Velosipedçi kənddən dəmiryol stansiyasına 2 saat
vaxt sərf etmişsə, avtomobil bu məsafəni nə qədər vaxta gedə bilər?
Bu məsələdə də sürət, vaxt və məsafə kimi üç kəmiyyətdən söhbət
gedir. Burada sürət və vaxt müxtəlif qiymətlər alır, məsafə isə sabitdir.
Sürət və zaman arasında t=
v
s
düsturu ilə verilmiş tərs mütənasib asılılıq
var. Məsələnin iki həll üsuluna baxaq.
I üsul. Mütənasiblik sabitinin tapılması üsulu.
Məsələdə əvvəlcə s= vt sabitinin tapılması tələb olunur.
1) 60: 5 = 12 (km/saat) (velosipedçinin sürəti)
2) 12· 2 = 24 (km) (tələb olunan məsafə)
3) 24 : 60 =
5
2
saat = 24 (dəq)
II üsul. Tənasübün tərtib edilməsi.
Kənddən stansiyaya qədər maşın x saat vaxt sərf etmişsə, onda
velosipedin sürəti 60:5=12 olar və x:2 =12 : 60 tənasübünü yaza bilərik.
Buradan x=
60
12
2
saat =
5
2
saat = 24 dəq.
Şagirlərə tərs mütənasib kəmiyyətlər haqqında anlayış verərkən
aşağıdakı kimi praktik məzmunlu məsələlərdən istifadə edilməlidir.
Məsələ. 12 ha sahənin kartofu yığılmalıdır. Kartof yığan maşın
fasiləsiz işləyərsə, həmin sahənin kartofunu 30 saata yığa bilər. Həmin
maşınlardan ikisi, üçü, dördü, beşi, altısı birlikdə işləsə, bu sahənin
kartofunu neçə saata yığıb qurtara bilər?
Müəllimin təklifi ilə şagirdlər maşınların sayının və kartofun
yığılıb qurtarması üçün sərf olunan vaxtın dəyişməsini göstərən aşağıdakı
cədvəli tərtib edirlər.
18. Cədvəl 9
Maşınların sayı
(ədədlə)
1 2 3 4 5 6
Kartofun yığılması
üçün sərf olunan
vaxt (saatla)
30 15 10 7,5 6 5
Cədvəldən aydın olur ki, maşınların sayı ilə kartofun yığılması
üçün sərf olunan vaxt tərs mütənasib kəmiyyətlərdir. Çünki, maşınların
sayını artırdıqda, kartofu daha tez yığmaq olar. Bu isə o deməkdir ki,
kartofun yığılmasına sərf olunan vaxt azalar. Bir kəmiyyətin (maşınların
sayının) artması ilə digər kəmiyyət (kartofun yığılmasına sərf olunan
vaxt) azalarsa, belə kəmiyyətlər tərs mütənasib kəmiyyyətlərdir. Ona görə
də aşağıdakı nisbətləri almış olarıq:
6
5
6
5
;
5
,
7
6
5
4
;
10
5
,
7
4
3
;
15
10
3
2
;
30
15
2
1
Bu məsələdə sabit qalan kəmiyyət aşagıdakı kimi tapılır:
1∙30=2∙15=3∙10=4∙7,5=5∙6=6∙5
Beləliklə, aydın olur ki, tərs mütənasib kəmiyyətlərin hasili sabitdir.
Tərs mütənasib kəmiyyətlərə aid başqa bir məsələyə baxaq.
Məsələ. Bağ və bostan düzbucaqlı şəklindədir və hər birinin sahəsi
eynidir. Bağın eni 20m-ə bərabər olub, bostanınkından 15 m azdır.
Bostanın uzunluğu isə 60 m-ə bərabərdir. Bağın uzunluğunu tapın.
Məsələdəki kəmiyyətlər arasında asılılığın xarakterini təyin edib,
iki müxtəlif üsulla həll edək. Düzbucaqlının sahəsi S=ab düsturu ilə
hesablanır. Məsələdə həm bağın, həm də bostanın sahələri bərabər
olduğundan, bağın eninin çox olması, onun uzunluğunun bostanın
19. uzunluğundan az olması deməkdir. Deməli, burada sahə sabitdir, uzunluq
və en isə tərs mütənasib kəmiyyətlərdir.
I üsul. Ayrı-ayrı əməlləri icra etmə üsulu:
1) 20+15=35 (m) (bostanın eni)
2) 60∙35=1500 (m) (bağın sahəsi)
3) 1500:20=75 (m) (bağın eni)
İki kəmiyyət arasında düz mütənasib asılılıqda olduğu kimi, tərs
mütənasib asılılıqda da tənasüb qurma üsulu ilə “dördüncü
mütənasibliyin axtarılması” tipli məsələlərin həllində vasitə kimi istifadə
edilir.
II üsul. Tənasüb qurma üsulu:
Bostanın eni 20+15=35m-ə bərabərdir. Onda tənasüb aşağıdakı
kimi olar:
60:x=20:35
20x=60∙35
x=(60∙35):20
x=75 (m)
Beləliklə, məsələləri müxtəlif üsullarla həll etmək daha səmərəli həll
üsulunun seçilməsi imkanını yaradır. Bu isə şagirdlərin yaradıcı və
müstəqil fəaliyyətlərinin artmasına səbəb olur.
20. Mühazirə 3
Nisbət və tənasüb anlayışı
1)Nisbət və onun xassələri. Nisbətin sadələşdirilməsi. Tutaq ki, a və b
iki həqiqi ədəd və ya bircins kəmiyyətdir. Praktik məsələlərdə, xüsusilə
riyaziyyatın ibtidai kursu məsələlərində iki ədədin müqayisə edilməsi
məsələlərinə tez-tez müraciət olunur. Buna ən tipik misal kəmiyyətlərin
ölçülməsi prosesini misal göstərmək olar.
Yada salaq ki, iki a və b ədədlərini(kəmiyyətlərini) müqayisə etmək a-nın
b-dən neçə dəfə böyük(a>b olduqda) və ya a-nın b-nin hansı hissəsi(a<b
olduqda) olmasını təyin etmək deməkdir. «Dəfə böyük» və ya «dəfə kiçik»
münasibətlərinə görə a və b ədədlərini müqayisə etmək üçün a ədədini b
ədədinə bölmək lazımdır, yəni a:b nisbətini(qismətini) tapmaq lazımdır.
Beləliklə, iki ədədin(kəmiyyətin) müqayisəsi nisbət adlanır. a və b ədədlərinin
nisbətini
b
a
şəklində də yazırlar. Burada a və b nisbətin hədləri adlanır.
tərifdən aşkardır ki,
b
a
nisbətinin qiyməti dedikdə, a:b əməlinin nəticəsi olan
qismət başa düşülür. Qisməti a:b=k kimi işarə etdikdə k yazılışında a nisbətin
birinci həddi(bölünən), b nisbətin ikinci həddi(bölən), k isə nisbətin
qiyməti(qismət) adlanır.
Nisbətin tərifinə, həmçinin bölünən, bölən və qismət arasındakı qarşılıqlı
əlaqələrə əsaslanaraq nisbətin aşağıdakı xassələrini göstərək.
1) Nisbətin birinci həddi(bölünən) onun ikinci həddi(bölən) ilə verilən
nisbətin(qismətin) hasilinə bərabərdir, yəni a=bk
2) Nisbətin ikinci həddi(bölən) onun birinci həddinin(bölənin) verilən
nisbətin qiymətinə olan nisbətinə bərabərdir, yəni b=
b
a
3) Nisbətin hədlərinin eyni bir natural ədədə vurulması və bölünməsi
nəticəsində nisbətin qiyməti dəyişmir, yəni
b
a
=
bm
am
və ya
b
a
=
m
b
m
a
:
:
, burada n𝜖N
Nisbətin üçüncü xassəsindən istifadə edərək onu sadələşdırmək olur,
yəni nisbətin qiymətini dəyişmədən onun hədlərini daha kiçik ədədlərlə əvəz
etmək olar. Məsələn,
1)144:96=3:2. Doğrudan da ƏBOB(144;96)=48 olduğundan
144:96=(144:48):(96:48)=3:2 alınır.
2)6sm:7sm=6:7
Beləliklə, aşağıdakı nəticə alınır:
21. Verilmiş nisbətin hədləri qarşılıqlı sadə ədədlər olmadıqda və ya kəsr
ədədlər olduqda, bu nisbəti ona bərabər olan və hədləri qarşılıqlı sadə olan
nisbətlə əvəz etmək olar.
2.Tənasüb anlayışı. Tənasübün əsas xassəsi. Tutaq ki, (10;2) və (30;6)
ədədlər cütü verilmişdir. Bu cütlərdən 10:2 və 30:6 nisbətlərini düzəldək.
10:2=5 və 30:6=5 olduğundan 10:2=30:6 münasibəti doğrudur. İki bərabər
nisbətdən düzələn belə münasibət tənasüb adlanır.
İxtiyari (a;b) və (c;d) ədədlər cütü üçün üçün a:b=k və c:d=k olduqda bu
cütlər tənasüb təşkil edir, yəni a:b=c:d münasibəti ödənilir.
Tərif.İki nisbətin bərabərliyinə tənasüb deyilir.
(a;b) və (c;d) cütləri tənasüb təşkil etdikdə a, b, c və d ədədlərinə tənasübün
hədləri deyilir. a:b=c:d və ya
b
a
=
d
c
tənasübündə a və d kənar hədlər, b və c
orta hədlər adlanır.
İxtiyari (a;b) və (c;d) ədədlər cütlərinin tənasüb təşkil edib etmədiyini iki
üsulla yoxlamaq olar.
1) a:b və c:d nisbətlərinin qiymətlərini ayrı-ayrılıqda tapıb, nəticələri
müqayisə etməklə;
2) a∙d və c∙b hasillərini tapıb, nəticələri müqayisə etməklə.
Birinci halda nisbətlər, ikinci halda isə uyğun hasillər bərabər olduqda
a:b=c:d münasibətinin tənasüb olduğunu hökm etmək olar. Məsələn,
(4,8;0,02) və (10,5;0,04375) cütlərinin tənasüb əmələ gətirib-gətirmədiyini
yoxlayaq:
1)4,8:0,02=480:2=240 və 10,5:0,04375=1050000:4375=240 olduğundan
4,8:0,02=
10,5:0,04375 münasibəti tənasübdür;
2)4,8∙0,04375=0,21 və 0,02∙10,5=0,021. Deməli, kənar hədlərin hasili orta
hədlərin hasilinə bərabərdir. Bu, o deməkdir ki, verilmiş cütlər tənasüb əmələ
gətirir.
Göstərək ki, (a;b) və (c;d) cütləri tənasüb təşkil edirsə, bu tənasübün
kənar hədlərinin hasili orta hədlərinin hasilinə bərabərdir.
Tutaq ki, a:b=c:d tənasübdür. Göstərək ki, a∙d=b∙c olar. Bu məqsədlə
tənasübün kər iki tərəfini b∙d hasilə vuraq və (a:b)∙bd=(c:d)∙bd doğru
bərabərliyini
b
abd
=
d
cbd
şəklində yazaq. İxtisardan sonra a∙d=c∙b alınır.
Beləliklə, tənasübün əsas xassəsi adlanan aşağıdakı xassəsi alınır.
Tənasübün kənar hədlərinin hasili onun orta hədlərinin hasilinə bərabərdir.
Bu mülahizənin tərsi də doğrudur, yəni əgər iki ədədin hasili, digər iki ədədin
hasilinə bərabərdirsə, onda bu ədədlərdən tənasüb düzəltmək olar.
22. Doğrudan da, tutaq ki, a∙d=c∙b doğrudur. Hər iki tərəfi b∙d hasilinə böldükdə
və ixtisardan sonra a:b=c:d və ya
b
a
=
d
c
alınır.
Nəticə. 1) Verilmiş dörd ədəddən ond avə ancaq onda tənasüb düzəltmək
olar ki, onlardan hər hansı ikisinin hasili digər ikisinin hasilinə bərabər olsun,
yəni (a:b=c:d) (a∙d=b∙c) münasibəti doğru olsun; 2)Tənasübün doğruluğunu
yoxlamaq üçün onun kənar hədləri ilə orta hədlərinin hasilərini tapıb, bu
hasilləri müqayisə etmək lazımdır.
3.Tənasübün hədlərinin yerinin dəyişdirilməsi. (a;b) və (c;d) ədədlər
cütünün hasilləri bərabər olduqda belə bir təbii sual meydana gəlir: a, b, c və d
ədədlərindən eyni bir a∙d=c∙b(1) şərtini öddəyən neçə tənasüb düzəltmək olar
Verilmiş şərti ödəyən ilk tənasüb a:b=c:d(2) tənasübü olsun. Bu tənasübdən
(1) şərtini pozmamaqla, hədlərin yerini dəyişməklə a:c=b:d(3) tənasübü alınır.
Həmin qayda ilə (3) tənasübündən (1) şərtini ödəyən c:a=d:b(4) və həmçinin
b:a=d:c(5) tənasübünü almaq olar. Beləliklə, aşağıdakı ekvivalentlik münasibəti
doğrudur:
c
d
a
b
b
d
a
c
d
b
c
a
d
c
b
a
:
:
:
:
:
:
:
:
(a∙d=b∙c)
Məsələn,
20
:
15
8
:
6
20
:
8
15
:
6
6
:
15
8
:
20
6
:
8
15
:
20
(20∙6=15∙8)
4.Tənasübün məchul həddinin tapılması. Praktik məsələlərdə və xüsusilə
riyaziyyatın ibtidai kursu məsələlərində tənasübü təşkil edən dörd ədəddən
ixtiyari üçü verildikdə dördüncü məchul ədədi tapmaq lazım gəlir. Bu zaman
tənasübün əsas xassəsindən istifadə edərək, onun məchul həddinin tapılması,
məchul vuruğun tapılmasına gətirilir.
Tutaq ki, (x;b) və (c;d) ədədlər cütü tənasüb təşkil edir və x həddi məchuldur.
İki hala baxaq:
1) Tutaq ki, x həddi kənar həddir, yəni tənasüb x:b=c:d şəklindədir. Bu halda
əsas xassəyə görə x∙d=c∙b yazmaq olar. Bu bərabərlikdəndə məchul x
vuruğunu tapırıq:
23. x=
d
bc
.
Beləliklə, aşağıdakı qayda alınır.
Qayda 1. Tənasübün məchul kənar həddini tapmaq üçün orta hədlərin
hasilini məlum kənar həddə bölmək lazımdır.
2) Tutaq ki, x həddi orta həddir, yəni tənasüb a:b=x:d şəklində verilib. Bu
halda əsas xassəyə görə a∙d=b∙x yazmaq olar və buradan da, x=
b
ad
alırıq.
Qayda 2. Tənasübün məchul orta həddini tapmaq üçün məlum kənar hədlərin
hasilini məlum orta həddə bölmək lazımdır.
5.Törəmə tənasüblər. Bərabər nisbətlər və onların xassələri. Tənasübün
praktik məsələlərdə son dərəcə faydalı olan xüsusiyyətlərindən biri də onunla
cəlbedicidir ki, bir tənasüb verildikdə bu tənasübdən bir sıra yeni, hədləri
verilmiş tənasübün hədlərindən fərqlı olan tənasüb almaq olar. Bu yeni
tənasüblər verilmiş tənasübün törəmə tənasübləri adlanır. Bu tənasüblərdən
tətbiq olunan bir neçəsinə baxaq.
Tutaq ki, a:b=c:d və ya
b
a
=
d
c
tənasübü verilib. Sonuncu bərabərliyin hər
iki tərəfinə vahid əlavə etdikdə
b
b
a
=
d
d
c
(1) törəmə tənasübü alınır, yəni
birinci nisbətin hədlər cəminin özünün ikinci həddinə nisbəti, ikinci nisbətin
hədlər cəminin özünün ikinci həddinə nisbəti kimidir.
İndi verilmiş nisbətin sağ və sol tərəflərindən vahid çıxsaq, onda
b
b
a
=
d
d
c
(2) törəmə tənasübü alınır, yəni birinci nisbətin hədlər fərqinin özünün
ikinci həddinə nisbəti, ikinci nisbətin hədlər fərqinin özünün ikinci həddinə
nisbəti kimidir.
(1) və (2) bərabərliklərini tərəf tərəfə böldükdə
b
a
b
a
=
d
c
d
c
(3) törəmə
tənasübünü alırıq.
Beləliklə, birinci nisbətin hədlər cəminin onun hədlər fərqinə nisbəti, ikinci
nisbətin hədlər cəminin onun hədlər fərqinə nisbəti kimidir.
(2) törəmə tənasübündə hədlərin (tənasübün əsas xassəsini saxlamaqla)
yerini dəyişdikdə
b
a
b
a
=
d
c
d
c
(3') tənasübü alınır, yəni birinci nisbətin
24. hədlər fərqinin onun hədlər cəminə nisbəti, ikinci nisbətin hədlər
fərqinin onun hədlər cəminə nisbəti kimidir.
Eyni qayda ilə (3)-dən
d
c
b
a
=
d
c
b
a
(3'') tənasübü alınır, yəni, birinci
nisbətin hədlər cəminin ikinci nisbətin hədlər cəminə nisbəti, onların uyğun
hədlər fərqinin nisbəti kimidir.
Baxılan törəmə tənasübləri daha ümumi olan aşağıdakı törəmə tənasübün
xüsusi hallarıdır:
(
b
a
=
d
c
) (
bq
ap
bn
am
=
dq
cp
dn
cm
).
Burada m, n, p və q elə ədədlərdir ki, kəsr sıfra çevrilmir.
Bir neçə xüsusi tip tənasüblərə baxaq:
1)
b
a
=
c
b
və ya
a
b
=
d
c
tənasübü kəsilməz tənasüb adlanır. Bu tənasübün əsas
xassəsi b2=
ac şəklindədir.
2)
d
c
b
a
=
d
a
tənasübü harmonik tənasüb adlanır.
3)
d
b
b
a
=
d
a
tənasübü kəsilməz harmonik tənasüb adlanır.
Tənasüb anlayışı ilə sıx bağlı olan anlayışlardan biri də bərabər
nisbətlər adlanan bərabər kəsrlərdir.
𝑎1
𝑏1
=
𝑎2
𝑏2
=.......=
𝑎𝑛
𝑏𝑛
şəklində bərabərliklər zənciri bərabər nisbətlər adlanır.
Bərabər nisbətlərin çox mühüm tətbiq sahələri olan aşağıdakı xassələrini
isbat edək.
𝑎1
𝑏1
=
𝑎2
𝑏2
=.......=
𝑎𝑛
𝑏𝑛
bərabər nisbətlərin birinci hədlər cəminin onların ikinci
hədlər cəminə nisbəti
𝑎𝑖
𝑏𝑖
(i=1,2,...,n) nisbəti kimidir.
İsbatı. Tutaq ki,
𝑎1
𝑏1
=
𝑎2
𝑏2
=.......=
𝑎𝑛
𝑏𝑛
bərabər nisbətləri verilir. Nisbətlərin
qiymətini k ilə işarə etsək, yəni
𝑎𝑖
𝑏𝑖
=k(i=1,2,...,n) olsun. Onda verilmiş
bərabərlikdən aşağıdakı bərabərliklər alınır:
a1=b1∙k
25. a2=b2∙k
.............
an=bn∙k
Bu bərabərlikləri tərəf-tərəfə toplasaq, a1+a2+....+an=k(b1+b2+....+bn) alarıq.
Buradan da
𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎𝑛
𝑏1+𝑏2+⋯+𝑏𝑛
= k=
𝑎𝑖
𝑏𝑖
(i=1,2,...,n) alırıq.
Qeyd edək ki, bu münasibət aşağıdakı daha ümumi eyniliyin xüsusi halıdır.
𝑎𝑚1+𝑎𝑚2+⋯+𝑎𝑚𝑛
𝑏𝑚1+𝑏𝑚2+⋯+𝑏𝑚𝑛
=
𝑎𝑖
𝑏𝑖
(i=1,2,...,n), burada m1,m2......mn məxrəci sıfıra
çevirməyən ixtiyari həqiqi ədədlərdir.
26. qiyməti, ədədi bərabərlik və onun xassələri, ədədi bərabərsizlik, dəyişəni olan ifadə,
ifadələrin eyni çevrilməsi
Riyazi dil süni dildir. Riyazi dilin inkişafının əsas mərhələlərini aşağıdakı kimi
göstərmək olar.
1. Natural ədədlərin və kəsrlərin işarə edilməsi mərhələsi
2. Cəbri simvolikanın yaranması mərhələsi
3. Diferensial və inteqral hesabının yaranması mərhələsi
4. Müasir riyaziyyatın simvolikasınn yarnması mərhələsi
Məktəb riyaziyyat kursunda istifadə olunan işarələri aşağıdakı kimi qruplaşdırmaq
olar.
1. sabitlər
2. dəyişənlər
3. funksional hərflər
4. predikat hərfləri
5. durğu işarələri
Əməl işarələri və mötərizələrin köməyi ilə təşkil olunmuş ifadəyə ədədi ifadə deyilir.
Əməl qaydalarını gözləməklə ədədi ifadədə göstərilən əməllərin yerinə yetirilməsi
nəticəsində alınan ədədə həmin ədədi ifadənin qiyməti deyilir. Əməl işarələri və
mötərizələrin köməyi ilə ədədlər və dəyişənlərdən təşkil olunmuş ifadəyə dəyişəni
olan ifadə deyilir.
Məsələ: Kərimin oxuduğu kitabların sayı Dilarənin oxuduğu kitabların sayından
4 ədəd çoxdur. Kərimin oxuduğu kitabların sayma uyğun ifadə yazın.
Biz Kərimin Dilarədən 4 kitab çox oxuduğunu bilirik. Dilarənin oxuduğu
kitabların sayını isə bilmirik. Bu sayı dəyişən qəbul edərək n-lə işarə edək. Bu
halda, Kərimin oxuduğu kitabların sayı n + 4 olur. Bu ifadənin qiyməti n
dəyişəninin qiymətindən asılı olaraq dəyişir. Məsələn, n = 8 olduqda n + 4
ifadəsinin qiyməti 8 + 4 = 12-dir.
Məsələ. A + B = 10 olarsa, AB425 beşrəqəmli ədədində A və B-nin yerinə elə
rəqəmlər yazın ki, a) ən böyük ədəd; b) ən kiçik ədəd alınsın. Bu ədədlərin
fərqini tapın.
Mağaza sahibi bir çanta üçün s manat ödəmişdir. O, çantaları alış qiymətinə 1
manat mağaza xərclərini və n manat mağaza gəlirini əlavə etməklə satır. Bir
çantanın satış qiymətini göstərən ifadəni yazın. s = 24 manat, n = 5 manat olarsa,
bir çantanın qiymətini tapın.
n - 7 + 10 ifadəsinə uyğun məsələ yazın. n = 28 olduqda ifadənin qiymətini tapın.
Dəyişənlərin mümkün qiymətlərində doğru olan bərabərliyə eynilik deyilir.
Eyniliyi isbat etmək üçün onun sol tərəfindəki ifadəni sağ tərəfindəki ifadəyə və
ya sağ tərəfindəki ifadəni sol tərəfindəki ifadəyə çevirmək, yaxud hər iki tərəfin
eyni bir ifadəyə eyniliklə bərabər olduğunu göstərmək lazımdır.
Bir ifadənin ona bərabər digər ifadəyə çevrilməsi eynilik çevrilməsi adlanır.
Dəyişənin istənilən mümkün qiymətlərində uyğun qiymətləri bərabər olan
ifadələrə eyniliklə bərabər ifadələr deyilir.
Mühazirə 4. Ədədi ifadə və dəyişəni olan ifadə
Riyazi dilin əlifbası, ədədi ifadə, ədədi ifadənin
27. Ədəd və dəyişənlərin vasitəsi toplama, çıxma, vurma, bölmə əməllərinin iştirakı ilə düzəlmiş ifadələrə
cəbri ifadələr deyilir.
Əgər cəbri ifadədə dəyişənə bölmə yoxdursa, ifadə tam ifadədir. Tam ifadə həm birhədli, həm də
çoxhədli ola bilər.
Əgər cəbri ifadədə dəyişənə bölmə varsa, ifadə kəsr – rasional ifadə adlanır.
Birhədli – ədəd, dəyişən və ədədlə dəyişənlərin hasilindən (hasildə dəyişənlərin natural üstlü
qüvvətləri, sıfırda daxil olmaqla, nəzərdə tutulur) ibarət ifadədir.
Ümumi şəkildə kxm
yn
zp
standart şəklə gətirilmiş birhədlidirsə, k– əmsal adlanır və (n+m+p)– cəminə
isə birhədlinin qüvvəti (dərəcəsi) deyilir və n, m, p – natural ədədlərdir. {0;1;2;3;…}.
Çoxhədli – birhədlilərin cəbri cəminə deyilir.
Çoxhədlinin dərəcəsi ondakı ən yüksək dərəcəli birhədlinin dərəcəsinə bərabərdir.
Bir dərəcəli bir dəyişənli çoxhədlini P(x)=ax+b , iki dərəcəli bir dəyişənli
çoxhədlini P(x)=ax2
+bx+c kimi yazırıq. Burada a, b, c bu çoxhədlinin əmsallarıdır və c- yə həm
də sərbəst hədd deyilir.
Qeyd. P(x)- n dərəcəli, Q(x)- m dərəcəli çoxhədli olsun (n>m)
a) P(x)± Q(x) çoxhədlisinin dərəcəsi n dərəcəli
b) P(x)· Q(x) çoxhədlisinin dərəcəsi n+m
c) P(x)/Q(x) - nisbəti çoxhədlidirsə, dərəcəsi n-m olar. ( Q_m (x)≠0).
28. Mühazirə 5
Birdəyişənli tənliklər.
ax = b şəklində verilmiş tənliyə birdəyişənli standart xətti tənlik deyilir. Burada
a ≠ 0. Bu tənliyin kökü x = b : a olur.
1. Tənliyin hər iki tərəfinə eyni ifadəni əlavə etmək və ya çıxmaq olar.
2. Tənliyin hər iki tərəfini sıfırdan fərqli hər hansı bir ədədə vurmaq və ya
bölmək olar.
Eynilik çevrilmələri ilə standart xətti tənliyə gətirilə bilən tənliyə xətti tənlik
deyilir. Məsələn: ax + b = cx + d xətti tənlikdir.
Standart xətti tənliyin həllinin varlıq şərtləri:
1. a ≠ 0 olarsa, yeganə x = b : a həlli vardır;
2. a = 0, b ≠ 0 olarsa, həll yoxdur: x = Ø;
3. a = 0, b = 0 olarsa, sonsuz sayda həlli var.
Xətti tənliklər sistemi mövzusunun elementləri hələ orta məktəbdə tədris olunmağa başlayır.
a11x+a12y=b1
a12x+a22y=b2
Orta məktəbdə belə sistemin həlli üçün təklif olunan üsullardan biri cəbri toplama üsulu adlanan
üsuldur.
Bir sıra praktik məsələlərlə əlaqədar daha mürəkkəb xətti tənliklər sistemi meydana çıxır. Belə
sistemlərdə dəyişənlərin və tənliklərin sayı müxtəlif və böyük ədədlər ola bilər.
Tərif 1. Əgər (1) xətti tənliklər sistemində bütün sərbəst hədlər sıfra bərabər olarsa, onda belə sistem
bircins xətti tənliklər sistemi adlanır. Bircins olmayan sistemə qeyri-bircins sistem deyilir. Qeyri-
bircins (1) sistemində sərbəst hədlərin sıfırla əvəz olunması nəticəsində alınan sistemə (1)-ə uyğun
bircins xətti tənliklər sistemi deyilir.
Tərif 2. Həllər çoxluğu boş olmayan sistem uyuşan sistem (və ya birgə sistem), həlli olmayan sistem
isə uyuşmayan sistem adlanır.
Tərif 3. Əgər (1) və (2) sistemlərinin həllər çoxluğu eyni olarsa, onlara eynigüclü sistemlər deyilir və
belə yazılır (1)~(2). Əgər (1) sisteminin hər bir həlli (2) sisteminin də həlli olarsa, onda (2) sistemi (1)
sisteminin nəticəsi adlanır.
Qeyd edək ki, bütün xətti tənliklər sistemləri çoxluğunda (yəni məchullu və dəyişənli
sistemlər çoxluğnda) eynigüclülük münasibəti ekvivalentlik münasibətidir:
Qeyd edək ki, ixtiyari iki uyuşmayan sistem eynigüclüdür.
29. Tərif 4. Əgər (1) sisteminin yeganə həlli varsa, ona müəyyən sistem deyilir. Əks halda uyuşan sistem
qeyri-müəyyən sistem adlanır.
Muhazirə 6
Birdəyişənli bərabərsizlik. Birdəyişənli bərabərsizliklərin
eynigüclülüyü
1.Birdəyişənli bərabərsizlik anlayışı. Bir dəyişəndən asılı 3x+4>10-x,
x2
+7x<4, (x+2)(3x-2)>0 şəklində riyazi təkliflərin birdəyişənli
bərabərsizlik olması məktəb kursundan məlumdur.Birdəyişənli
bərabərsizliyə ümumi şəkildə aşağıdakı kimi tərif vermək olar.
Tərif: f(x) və g(x) təyin oblastları X çoxluğu olan x X dəyişənindən
asılı iki ifadə olduqda f(x)>g(x) (f(x)≥g(x)) və ya f(x)<g(x) (f(x)≤g(x))
şəklində riyazi təkliflərə birdəyişənli bərabərsizlik deyilir.
Aşkardır ki, bir dəyişəndən asılı hər bir bərabərsizlik biryerli predikatdır
və x-ın verilmiş konkret qiymətində mülahizəyə çevrilir. x dəyişəninin X
çoxluğundan olan və verilmiş bərabərsizliyi doğru mülahizəyə çevirən
qiymətlər çoxluğuna bərabərsizliyin həllər çoxluğu (biryerli predikatın
doğruluq çoxluğu) deyilir.
Bərabərsizliyi həll etmək, onun həllər çoxluğunu tapmaq deməkdir.
Birdəyişənli bərabərsizliyin həllər çoxluğu boş çoxluq ola bilər. Bu halda
deyirlər ki, verilmiş bərabərsizliyin həlli yoxdur. Bərabərsizliyin həllər
çoxluğu bütün R həqiqi ədədlər çoxluğu ola bilər və ya R çoxluğunun
sonlu ya da sonsuz altçoxluqları ola bilər. Bu altçoxluqları ədədi
çoxluqlar da adlandırırlar. İxtiyari birdəyişənli bərabərsizliyin həllər
çoxluğu ola bilən ədədi aralıqları aşağıdakı kimi təsvir etmək olar.
1) x daxildir (-∞;∞) bütün həqiqi ədədlər çoxluğu, həndəsi təsviri
bütün ədəd oxudur.
O
x
2) x< a (x≤ a, a sonlu ədəddir) və ya (-∞;a) ((-∞;a]) açıq (qapalı) şüa,
həndəsi mənası isə ədəd oxunun sol alt hissəsidir.
O
a a<0 x
3) x>a (x≥a, a sonlu ədəddir) və ya (a;+∞) ([a;+∞)) açıq (qapalı)
şüa, həndəsi mənası isə ədəd oxunun sağ alt hissəsidir.
O
a x
a>0
30. 4) a<x<b (a≤x≤b) açıq(qapalı) sonlu aralıq, həndəsi mənası isə ədəd
oxunun sonlu alt hissəsidir (parçasıdır).
O
a b x
Məktəb riyaziyyat kursunda birdəyişəndən asılı müxtəlif tip
bərabərsizliklərə baxılır. Burada bizi yalnız birdəyişəndən asılı xətti
(birdərəcəli) bərabərsizliklər marqlandırır. Birməchullu xətti tənliklərdə
olduğu kimi belə bərabərsizliklərin həllinin əsasında eynigüclülük
anlayışı və eynigüclülük haqqında əsas teoremlər durur.
Tərif: f1(x)>g1(x) və f2(x)>g2(x) bərabərsizliklərinin həllər çoxluqları
üst-üstə düşürsə, bu bərabərsizliklərə eynigüclü bərabərsizliklər deyilir.
Məsələn, 2x+7>10 və 2x>3 bərabərsizliklərinin həllər çoxluğu eyni bir
(
3
2
;+∞) çoxluğudur və deməli, onlar eynigüclüdür.
Hər bir bərabərsizlik predikat olduğundan, onların konyuksiyası və
dizyunksiyasından danışmaq olar. Məsələn, ixtiyari a ədədinin iki
bərabərsizliyin (3x+8>1)^(2x+5<15) konyuksiyasını ödəməsi o deməkdir
ki, ixtiyari a ədədi həm 3x+8>1, həm də 2x+5<15 bərabərsizliyini ödəyir.
Bu şərti ödəyən ədəd, məsələn, a=4 ədədi ola bilər.
Məktəb kursunda iki bərabərsizliyin konyuksiyası onların sistemi kimi
başa düşülür və verilmiş bərabərsizliklərin konyuksiyası şəklində yazılır.
{
3𝑥 + 8 > 1
2𝑥 + 5 < 15
İki və daha artıq bərabərsizliklərin dizyunksiyası isə ixtiyari a ədədinin
müəyyən qiymətində o zaman doğru olar ki, a ədədi bu bərabərsizliklərin
heç olmasa birini ödəsin. Məsələn, a= -2 ədədi (2x>8)˅(3x< -3)
dizyunksiya münasibətini ödəyir. x=0 ədədi verilmiş bərabərsizliklərin
dizyunksiyasını ödəmir. Çünki x=0 onların heç birinin həllər çoxluğuna
daxil deyil.
İki bərabərsizliyin dizyunksiyası münasibəti bərabərsizliklərin
dizyunksiyasının həllər çoxluğu komponentlərin həllər çoxluqlarının
kəsişməsi, dizyunksiyanın həllər çoxluğu isə komponentlərin həllər
çoxluqlarının birləşməsi kimi tapılır.
Birdəyişənli bərabərsizliklərin eynigüclülüyü haqqında teoremlər.
Teorem 1. f(x)>g(x) X çoxluğunda təyin olunmuş bərabərsizlik, h(x) isə
X çoxluğunda təyin olunmuş dəyişəni olan ifadə olduqda, f(x)>g(x) və
f(x)+h(x)>g(x)+h(x) bərabərsizlikləri eynigüclüdür.
Teorem 2. f(x)>g(x) X çoxluğunda təyin olunmuş bərabərsizlik, h(x) isə X
çoxluğunda təyin olunmuş və x X qiymətlərində müsbət qiymət alan x
dəyişənindən asılı ifadə olduqda, f(x)>g(x) ilə f(x)·h(x)>g(x)·h(x)
bərabərsizliyi eynigüclüdür.
31. Teorem 3. f(x)>g(x) X çoxluğunda təyin olunmuş bərabərsizlik, h(x) isə
X çoxluğunda təyin olunmuş və x-ın bütün x X qiymətlərində h(x)<0
olan ifadə olduqda, f(x)>g(x) və f(x)·h(x)<g(x)·h(x) bərabərsizlikləri,
həmçinin f(x)>g(x) və
𝑓(𝑥)
ℎ(𝑥)
<
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
bərabərsizlikləri eynigüclüdür.
Mühazirə 7.
HƏNDƏSƏNİN YARANMA TARİXİ.
HƏNDƏSİ ANLAYIŞLAR.
Həndəsənin yaranma tarixinə dair qısa məlumat.
Həndəsə ən qədim elmlərdən biri olub, digər təbiət
elmləri kimi o da insanların gündəlik praktik
fəaliyyətlərinin ehtiyacları nəticəsində meydana
gəlmişdir. Çünki həndəsə özünün inkişafının ilkin
mərhələsində əsasən insanların praktik məqsədlərinə
xidmət etmişdir. Belə ki, həndəsənin yaranması torpaq
sahələrinin ölçülməsi bölgüsü, yolların salınması, evlərin
tikintisi və digər quruculuq işləri üçün zəruri olan
cürbəcür ölçmə işləri ilə bağlı olmuşdur. Təsadüfi
deyildir ki, yunan dilindən tərcümədə həndəsə
"geometriya" adlanır və "yer ölçmə" (geo-yer, metriya-
ölçmə) mənasını verir.
Mühüm praktik məsələlərin həlli üçün vacib olan çoxlu
sayda həndəsi biliklərə və qaydalara qədim yunan
"papiruslarında" və Vavilyon əlyazmalarında rast gəlmək
olar.
Qədim misirlilər düzbucaqlı, trapesiya, üçbucaq və s.
fiqurların sahələrini ölçməyi bilirdilər. Ən sadə həndəsi
məlumatlar daxil olan ilk əsər bizə qədim Misirdən gəlib
çatmışdır. Bu əsər eramızdan əvvəl XVII əsrə təsadüf
edir. Həmin əsərdə bəzi müstəvi fiqurların sahələrinin və
həndəsi cisimlərin həcmlərinin hesablanması qaydaları
verilmişdir. Bu qaydaların doğruluğu onların məntiqi
isbatı verilmədən sırf təcrübi yolla alınmışdır.
32. Həndəsənin riyazi elm kimi formalaşması çox gec baş
vermiş və bu formalaşma qədim yunan alimləri Fales
(eramızdan əvvəl 625-547), Pifaqor (eramızdan əvvəl
580-500), Demokrit (eramızdan əvvəl 480-370), Evklid
(eramızdan əvvəl III əsr) və başqalarının adı ilə bağlıdır.
Evklid məşhur "Başlanğıclar" əsərində o dövrün məlum
olan əsas həndəsi məlumatları sistemləşdirmişdir.
"Başlanğıclar" əsərinin başlıca məziyyəti orada
həndəsənin qurulmasına aksiomatik yanaşmanın inkişaf
etdirilməsidir.
Həndəsənin müxtəlif problemlərinin sonrakı tədqiqləri
istiqamətindəki mühüm xidmətlər Arximedə (eramızdan
əvvəl 287-212), Apolloni (eramızdan əvvəl III əsr),
N.Tusi (1201-1274) və digər alimlərə məxsusdur.
Həndəsənin inkişafında keyfiyyətcə yeni mərhələ xeyli
gec-çoxlu əsrlər keçdikdən sonra yalnız XVII əsrdə
başlandı. Bu da həmin dövrə qədər cəbr sahəsində əldə
edilmiş nailiyyətlərlə bağlı olmuşdur. Görkəmli fransız
riyaziyyatçısı və filosofu R.Dekart (1556-1650) həndəsi
problemlərin həllinə tamamilə yeni yanaşma təklif etdi.
O, özünün "Həndəsə" kitabında (1637) koordinat metodu
adlandırılan metod daxil etdi və bununla da cəbr və
həndəsə arasında aşkar əlaqə yaratmış oldu. Bu metod
çoxlu həndəsi məsələləri cəbri aparatın köməyi ilə həll
etməyə imkan yaratdı.
Həndəsənin sonrakı inkişafında Evklidin
"Başlanğıclar"ında beşinci postulat adlandırılan aksiom
çox mühüm rol oynadı. Paralel düz xətlər aksiomu kimi
də işlənən bu aksiomun ən sadə şərhi belədir: "Müstəvi
üzərində verilmiş düz xəttə mənsub olmayan nöqtədən
həmin düz xəttə paralel olan yalnız bir düz xətt
keçirtmək olar". Bu postulatın isbatına uzun illər boyu
çoxlu sayda alimlərin qüvvəsi cəlb olundu. Bu cəhdlər
33. qəbul edilmiş aksiomlar sisteminin sayını minimuma
endirmək istəyi ilə bağlı idi. Alimlər elə düşünürdülər ki,
digər aksiomlara əsaslanaraq paralellər aksiomunu
teorem kimi isbat etmək olar. XVIII əsrin sonlarında
artıq bəzi alimlərdə paralellər aksiomunu isbat etməyin
qeyri-mümkün olması fikri formalaşmışdı.
Bu problemin həlli rus alimi N.İ.Lobaçevski (1792-
1856) tərəfindən tapıldı. Lobaçevski həmin aksiomu
əksini fərz etmə üsulu ilə isbat etməyə cəhd etdi. O, fərz
etdi ki, verilmiş düz xətt üzərində olmayan nöqtədən
həmin düz xəttə bu düz xətti kəsməyən bir neçə düz xətt
çəkmək olar. Bununla da o, əksini fərz etmə metoduna
xas olan elə bir təklifin alınmasını gözləyirdi ki, bu təklif
məlum aksiomlarla və ya onların köməyi ilə isbat olunan
teoremlərlə ziddiyyət təşkil etsin. Lakin belə olmadı.
Lobaçevski nəinki ziddiyyətlə rastlaşmadı, hətta bu
fərziyyə nəticəsində yeni bir nəticəyə gəldi. "Evklid
həndəsəsindən fərqli elə bir həndəsə qurmaq olar ki,
həmin həndəsədə irəli sürülən fərziyyə heç bir ziddiyyətə
gətirmir və bu fərziyyə doğru mülahizə olur. Yəni elə bir
həndəsə qurmaq olar ki, paralellər aksiomunun əksi
doğru olar". Lobaçevski yeni bir həndəsə qurması
haqqında açıqlamanı 1826-cı ildə verdi. Lobaçevski ilə
analoji nəticəyə macar riyaziyyatçısı Y.Boyyai (1802-
1860) gəldi, lakin o, öz nəticəsini bir qədər gec-1832-ci
ildə çap etdi. Lobaçevskinin kəşfi elmin inkişafına çox
böyük təkan verdi. Riyaziyyatın XIX əsrdəki coşqun
inkişafı həndəsə sahəsində görkəmli kəşflərin edilməsinə
gətirdi. Görkəmli alman riyaziyyatçısı B.Riman (1826-
1866) tərəfindən Evklid və Lobaçevski həndəsələrini
ümumiləşdirən yeni həndəsə yaradıldı.
Aşkardır ki, Evklid və Lobaçevski həndəsələri bir-birilə
ziddiyyət təşkil etmir. Bunun əsas səbəbi isə bu
34. həndəsələr üçün qəbul edilmiş aksiomlar sisteminin
ziddiyyətsizliyi, tamlığı və qeyri-asılılığı xassələrinə
malik olmasıdır.
Qəbul edilmiş aksiomlar sisteminə verilən bu tələblərlə
bağlı problemlər "Həndəsə əsasları" adlanan tədris
fənnində öyrənilir. Saydığımız bu kimi problemlərin
həllində görkəmli alman riyaziyyatçısı D.Hilbertin
(1862-1943) əvəzsiz xidmətləri olmuşdur. Hal-hazırda
həndəsə elminin "Qeyri-Evklid həndəsə" (məsələn,
Lobaçevski həndəsəsi), "Proyektiv həndəsə", "Tərsimi
həndəsə", "Analitik həndəsə", "Diferensial həndəsə" kimi
müstəqil sahələri yaranmışdır. Bu fənlərin heç birisi
məktəbdə öyrənilməsə də, onların hər birinin məktəb
həndəsə kursu ilə bu və ya digər dərəcədə əlaqəsi var.
Həndəsənin anlayışları haqqında qısa məlumat.
Həndəsənin məntiqi elm kimi formalaşması həndəsənin
anlayışlar sisteminin daxil edilməsindən əhəmiyyətli
dərəcədə asılı olmuşdur. Anlayışı təyin etmək həmin
anlayışın əhatə etdiyi obyektlər sinfini dəqiq ayırmaq
deməkdir. Bunun üçün isə təyin olunan anlayışın bütün
əsas xassələrini bilmək və verilmiş obyektin bütün bu
xassələrə malik olub-olmadığını yoxlamaq lazımdır. Biz
obyekt haqqında anlayışın tərifini qurmaq qaydasını
öyrənmişik. Bilirik ki, əsas qayda anlayışın tərifini cins
və növ fərqini göstərmək yolu ilə verməkdir. Məsələn,
kvadratı qonşu tərəfləri bərabər olan (növ fərqi)
düzbucaqlı (ən yaxın cins) kimi təyin edirik. Göstərilən
qaydaya əsaslanaraq qurulan həndəsi anlayışların təriflər
sistemində hər dəfə tərifini vermək lazım gələn
anlayışdan əvvəlkinə (ən yaxın cins anlayışına) qayıtmaq
zəruri olur və bu proses bizi hansısa addımda ilkin (tərif
verilməyən) anlayışlara gətirir. Belə ki, tərifini vermək
tələb olunan anlayış (məsələn, kvadrat) digəri vasitəsilə,
35. daha geniş anlayış (məsələn, düzbucaqlı) vasitəsilə təyin
olunur. Düzbucaqlı isə öz növbəsində daha geniş anlayış
(məsələn, paralelloqram, dördbucaqlı və ya çoxbucaqlı)
vasitəsilə təyin oluna bilir. Belə ardıcıl təriflər zəncirini
sonsuz davam etdirmək mümkün deyil. Çünki bu proses
son nəticədə onunla başa çatır ki, biz daha geniş və
ümumi olan elə anlayışlara gəlib çıxırıq və onlar üçün
artıq ən yaxın cins anlayışı göstərmək mümkün deyil.
Belə anlayışları əsas (ilkin və ya tərif verilməyən)
anlayışlar adlandırırlar. Həndəsə kursunda "nöqtə", "düz
xətt", "bir nöqtədən digərinə qədər olan məsafə",
"müstəvi" (stereometriya kursunda) anlayışları əsas
anlayışlar kimi ayrılmışdır. Bu xüsusi seçilmiş həndəsi
anlayışlardan başqa bütün riyaziyyat üçün ümumi olan
"çoxluq", "ədəd" və s. ilkin anlayışlardan da həndəsədə
geniş istifadə edilir.
Təhsilin aşağı mərhələlərində (ibtidai siniflərdə) ilkin
anlayışlar kimi qəbul edilən anlayışların sayı nisbi
xarakter daşıyır. Belə ki, şagirdlər sinfdən-sinfə keçdikcə,
yəni onların həndəsi bilikləri artdıqca onlar üçün ilk
anlayışlar sistemi də dəyişir. Məsələn, ibtidai siniflərdə
tərif vermək mümkün olan çoxlu sayda anlayışlar tərifsiz
qəbul edilir və ilk anlayışlar sisteminə daxil edilir. Məhz
düz xətt parçası, çoxbucaqlı, bucaq, düzbucaqlı və s.
anlayışlar tərif verilməyən anlayışlar kimi qəbul edilir.
Artıq yuxarı siniflərdə bu anlayışların tərifi verilir və son
nəticədə həndəsə kursunun mütləq ilkin anlayışları olan
nöqtə, düz xətt, məsafə və müstəvi anlayışları qalır.
Evklid aksiomları. B.e.ə. III əsrdə yunan alimi Evklid tərəfindən əsası qoyulan
Evklid həndəsəsi mütləq həndəsə aksiomları və Evklidin paralellik aksiomu əsasında
qurulan həndəsədir. Evklid həndəsəsinin aksiomlar sistemi nöqtə, düz xətt, müstəvi
anlayışlarına və hərəkət, üzərində olma, arasında olma (nöqtə düz xətt və ya müstəvi
üzərindədir, nöqtə digər iki nöqtə arasındadır) münasibətlərinə əsaslanır və beş qrupa
bölünür:
36. I qrup. Rabitə aksiomları.1) İki nöqtədən keçən düz xətt var və yeganədir. 2)
Hər bir düz xətt üzərində yerləşən heç olmasa iki nöqtə var. Bir düz xətt üzərində
olmayan ən azı üç nöqtə var. 3) Bir düz xətt üzərində olmayan ixtiyari üç nöqtədən
keçən müstəvi var və yeganədir. Hər bir müstəviyə aid olan nöqtə var. 4) Düz xəttin
iki nöqtəsi müstəvi üzərindədirsə, onun hər bir nöqtəsi həmin müstəvi üzərindədir. 5)
İki müstəvinin bir ortaq nöqtəsi varsa, onların daha bir ortaq nöqtəsi də vardır. 6) Bir
müstəvi üzərində olmayan ən azı dörd nöqtə var.
II qrup. Tərtib aksiomları. 1) B nöqtəsi A ilə C nöqtələri arasındadırsa, bu
nöqtələr düz xəttin müxtəlif üç nöqtəsidir və B nöqtəsi həm də C ilə A nöqtələri
arasındadır. 2) İxtiyari iki A və B nöqtələri üçün elə C nöqtəsi var ki, B nöqtəsi A ilə C
nöqtələri arasındadır. 3) Düz xəttin ixtiyari üç nöqtəsindən yalnız biri digər ikisi
arasındadır. 4) Üçbucağın heç bir təpə nöqtəsindən keçməyən düz xətt bu üçbucağın
bir tərəfini daxili nöqtədə kəsirsə, onun o biri tərəflərindən birini də daxili nöqtədə
kəsir (bu aksiom Tusi-Paş aksiomu da adlanır).
III qrup. Hərəkət aksiomları. 1) Hərəkət nöqtələrin düz xəttə və müstəviyə
aidliyini saxlayaraq, nöqtəni nöqtəyə, düz xətti düz xəttə, müstəvini müstəviyə qarşı
qoyur. 2) Ardıcıl iki hərəkətin nəticəsi də hərəkətdir; hər hərəkətin tərsi var. 3) A, A/
nöqtələri və başlanğıcları bu nöqtələr olan a, a/
şüalarının yerləşdiyi düz xətlərlə
hüdudlanmış a, a/
yarımmüstəviləri verildikdə, A nöqtəsini A/
-ə, a şüasını a/
şüasına
və a yarımmüstəvisini a/
yarımmüstəvisinə köçürən hərəkət var və yeganədir.
IV qrup. Kəsilməzlik aksiomları. 1) Arximed aksiomu: ixtiyari a və b parçaları
üçün a<b olduqda, elə natural n ədədi var ki, na>b. 2) Düz xətt üzərində hər biri
özündən sonra gələn parçanı daxilinə alan parçaların sonsuz ardıcıllığı verilmişsə,
həmin düz xətt üzərində ardıcıllığın bütün parçalarına daxil olan yeganə nöqtə var.
V qrup. Paralellik aksiomu. a düz xətti və onun üzərində olmayan A nöqtəsi
verilmişsə, onların təyin etdiyi müstəvi üzərində A nöqtəsindən a düz xətti ilə
kəsişməyən yalnız bir düz xətt keçirmək olar.
Evklidin “Əsaslar” kitabında dördbucaqlıların bəzi növlərinin tərifi, o cümlədən
paralellik aksiomu müasir həndəsə kursunda qəbul edilmiş təriflərdən ciddi şəkildə
fərqlidir. Bunlardan bir neçəsini qeyd edək.
V postulat. (paralellik
aksiomu) İki düz xətt üçüncü
düz xətlə kəsişdikdə, onda həmin
düz xətlər bir-birilə kəsən düz
xətlə əmələ gətirdiyi daxili
birtərəfli bucaqların cəmi iki düz
bucağın cəmindən kiçik olan tərəfdə kəsişər.
(şək.5)
Şək.5
37. Mühazirə 8
Nöqtə, düz xətt, parça, şüa, bucaq
1.Həndəsə fiqur anlayışı. Həndəsə elminin yaranması haqqında qısa
tarixi xülasəni nəzərdən keçirərkən qeyd etdik ki, həndəsə insanların
praktik ehtiyacları nəticəsində meydana gəlmiş və öz inkişafının ilkin
mərhələlərində onların praktik məqsədlərinə xidmət
etmişdir.Sonralar həndəsə, həndəsi fiqurların xassələrini öyrənən
müstəqil elm kimi formalaşmışdır. Ona görə də həndəsə həndəsi
fiqurların xassələri haqqında elm kimi səciyyələndirilir.
Məktəb riyaziyyat kursunda müxtəlif həndəsi fiqurlarla tanış
olmuşuq və nöqtə, düz xətt, parça, şüa, çevrə və s. fiqurlar haqqında
məlumatımız var. Həmçinin bu fiqurların müstəvi üzərindəki
vəziyyəti haqqında, parçaların xətkeşlə, bucaqların transportirlə
ölçülməsi haqqında təsəvvürümüz var. Lakin bunlar həndəsə
haqqında ən sadə və ilkin təsəvvürlərdir. Həndəsə fənni ilə yaxından
tanış olmaq üçün həndəsi fiqurlar haqqında bir qədər geniş və dərin
biliyə malik olmaq lazımdır
Tərif. İxtiyarı boş olmayan nöqtəlr çoxluğuna həndəsi fiqur deyilir.
Bu tərifə əsasən ayrılıqda götürülmüş bir nöqtə, həmçinin düz xətt,
müstəvi və s. ən sadə həndəsi fiqurlardır. Nöqtələri latın qrafikasının
A, B , C, D ,.. kimi böyük hərfləri, düz xətləri isə latın qrafikasının a,
b, c, d,...kimi kiçik hərfləri ilə işarə etmək qəbul olunmuşdur. Hər bir
düz xətt iki nöqtəsi ilə tamamilə təyin oluna bildiyindən düz xətti iki
nöqtə ilə də işarə edirlər. Məsələn, ixtiyari iki nöqtəsi A və B olan düz
xətti həm AB düz xətti, həm də a düz xətti kimi işarə etmək və
oxumaq olar (şəkil 1)
A B (şəkil
1)
Şüa, parça, bucaq. Verilmiş a düz xəttinin ixtiyari O nöqtəsi düz xəttin
bütün nöqtələr çoxluğunun iki hissəyə (altçoxluğa) bölür. Bu
hissələrdən biri düz xəttin O nöqtəsinə nəzərən sağda yerləşən bütün
nöqtələrdən ibarət altçoxluq, digəri isə O nöqtəsinə nəzərən solda
yerləşən bütün nöqtələrdən ibarət altçoxluqdur. O nöqtəsinin özü bu
altçoxluqlardan heç birinə aid edilmir və bu altçoxluqların sərhədi
hesab olunur.
Tərif. Verilmiş düz xəttin ixtiyari O nöqtəsindən bir tərəfdə yerləşən
və O nöqtəsindən fərqli bütün nöqtələri çoxluğuna O nöqtəsindən
çıxan şüa deyilir.
38. Tərifə görə hər bir nöqtə düz xətti iki şüaya ayırır və O nöqtəsi bu
şüaların ortaq başlanğıcı adlanır. Şüa da düz xətt kimi latın
əlifbasının kiçik hərfi, ya da birinci nöqtə şüanın başlanğıc nöqtəsi,
ikinci nöqtə isə bu şüanın başlanğıc nöqtədən fərqli ixtiyari nöqtəsi
olan iki böyük latın hərfi ilə məsələn, (OA şüası) işarə edilir (şəkil 2).
Aşkardır ki,düz xətti iki şüaya ayıran nöqtə bu şüalardan birinə aid
edildikdə, onda həmin şüa başlanğıc nöqtəsini özündə saxlayan şüa
və ya qapalı şüa adlanır (şəkil 3a). Bunu 0 kimi də yazırlar. Bu halda
digər şüa sərhədi özündə saxlamayan şüa və ya açıq şüa adlanır (şəkil
3b). Biz şüa dedikdə başlanğıc nöqtəsi şüanın özünə məxsus olmayan
(açıq) şüa başa düşəciyik.
.O . A O . .B
a) Şəkil 3. b)
Tərif. Bir nöqtənin (başlanğıc nöqtəsi) və bu nöqtədən
çıxan iki şüanın birləşməsindən alınan həndəsi fiqura
bucaq deyilir.
Şüaların çıxdığı ümumi başlanğıc nöqtə bucağın təpəsi,
şüaların özləri isə bucağın tərəfləri adlanır. Təpə nöqtəsi O
olan, tərəfləri isə OA və OB şüaları (h və k şüaları) olan
bucağı AOB və ya (hk) kimi işarə edəciyik
Tərif. Tərəflərindən biri digərinin uzantısı olan (tərəfləri
bir düz xətt üzərində yerləşən) bucağa açıq bucaq deyilir.
Hər bir bucaq bütün müstəvini iki hissəyə bölür.
Bu hissələrdən biri müstəvinin bucağın tərəfləri arasında
yerləşən bütün nöqtələr çöoxluğundan, digəri isə tərəflərin xaricində
yerləşən nöqtələr çoxluğundan ibarətdir. Bucağın təpəsi və tərəfləri
bu hissələrin heç birinə aid edilmir və bu iki hissənin (müstəvinin
bütün nöqtələri çoxluğunun iki altçoxluqlarının) sərhəd nöqtələri
çoxluğunu təşkil edir. Birinci hissə (altçoxluq) bucağın daxili oblastı,
ikinci hissə (altçoxluq) isə bucağın xarici oblastı adlanır
Bu mülahizələri nəzərə almaqla, bucağın tərifini praktik tələbləri
nəzərə almaqla daha dəqiq olaraq aşağıdakı kimi söyləmək olar.
Tərif. Bir nöqtədən çıxan iki şüanın ortaq başlanğıc nöqtəsi və daxili
O A
39. oblastı ilə birləş-məsindən alınan fiqura bucaq deyilir.
Tərif. Düz xəttin verilmiş iki nöqtəsindən və bu nöqtələr arasında
yerləşən bütün nöqtələr çoxluğundan ibarət altçoxluğuna parça
deyilir.
Verilmiş nöqtələrə isə parçanın ucları deyilir.
Uc nöqtələri A və B olan düz xətt parçası AB
və ya BA kimi işarə edilir (şəkil 8).
Şəkil 8.
Tərifə görə
AB parçası həm A nöqtəsini, həm B nöqtəsini,
həm də A ilə B arasında yerləşən bütün nöqtələri özündə saxlayır.
A
B
40. Mühazirə 9
Müstəvi üzərində iki düz xəttin qarşılıqlı vəziyyəti.
Perpendikulyar düz xətlər
1.Iki düz xəttin qarşılıqlı vəziyyəti. Iki düz xətt bir-birinə nəzərən eyni
bir müstəvi üzərində müxtəlif qarşılıqlı vəziyyətlərdə yerləşə bilərlər.
Eyni bir müstəvi üzərində ixtiyari iki a və b düz xətləri aşağıdakı
mümkün münasibətdə ola bilərlər.
1) Iki düz xətt kəsişə bilər.
Iki düz xətt yeganə ortaq nöqtəyə malik olduqda belə düz xətlərə kəsişən
düz xətlər deyilir. Həmin ortaq nöqtəyə isə kəsişmə nöqtəsi deyilir.
"Iki düz xətt O nöqtəsində kəsişir" mülahizəsi simvolik olaraq aşağıdakı
kimi yazılır:
(O ∈ a və O ∈ b ) ⟹ a ∙ b ≡ O (şəkil 25a)).
2) Iki düz xətt heç bir ortaq nöqtəyə malik olmaya bilər. a və b düz
xətlərinin ortaq nöqtəyə malik olmadığını simvolik olaraq a ∙ b ≡ ∅ kimi
yazırıq (şəkil 25b).
𝑎
a
O b
b
3) Iki düz xətt üst - üstə düşə bilər. Sonsuz sayda ortaq nöqtələrə malik
iki düz xəttə üst - üstə düşən düz xətlər deyilir. Bunu simvolik olaraq a ≡
b kimi yazırlar.
Aşkardır ki, iki düz xətt iki ortaq nöqtəyə malik olarsa, onda bu düz xətlər
sonsuz sayda ortaq nöqtələrə malikdir. Bu mülahizəni simvolik olaraq
belə yazarıq:
(A ∈ a və A ∈ b, B ∈ a və B ∈ b) ⟹ ( a ≡ b).
2) və 3) hallarında a və b düz xətləri arasındakı münasibət paralellik
münasibəti adlanır. Başqa sözlə, bir müstəvi üzərində olub heç bir ortaq
nöqtəsi olmayan və ya üst - üstə düşən düz xətlərə paralel düz xətlər
deyilir. Paralellik münasibəti ” ‖” simvolu ilə işarə edilir və a ‖ b kimi
yazırlar.
Tərifi simvolik olaraq belə yazmaq olar:
( a × b = ∅ və ya a ≡ b) ⟹ ( a ‖‖ b )
2. Qonşu və qarşılıqlı bucaqlar. Düz xətlə şüa və ya iki qarşılıqlı
kəsişən düz xətlər açıq olmayan iki və ya dörd əmələ gətirir. Praktik
əhəmiyyətini və mühüm xassələrini nəzərə alaraq bu bucaqlara xüsusi
adlar verilmişdir.
41. 1) Qonşu bucaqlar. Ab düz xəttinə mənsub ixtiyari O nöqtəsindən çıxan
OC şüasını çəkək. Ortaq təpəsi O nöqtəsi olan iki bucaq alırıq.
C
A O B
Qurmadan göründüyü kimi açıq bucağın təpəsindən çıxıb onun daxili
oblastından keçən OC şüası açıq bucağı iki ∠BOC və ∠AOC hissələrinə
bölür. Alınan bucaqların mühüm xüsusiyyəti ondadır ki, onlardan biri
digərinin açıq bucağa tamamlayıcısıdır. OC ortaq tərəfdir. Ortaq olmayan
OB və OA tərəfləri isə açıq bucağın tərəfləri olduğundan bir düz xətt
üzərində yerləşirlər. Bu xüsusiyyətə malik bucaqlara qonşu bucaqlar adı
verilmişdir.
Tərif. Bir tərəfi ortaq, digər iki tərəfdən biri digərinin uzantısı olan
bucaqlara qonşu bucaqlar deyilir.
Qonşu bucaqların mühüm xarakterik xassəsini şərh edək. "Qonşu
bucaqların cəmi 180°-yə bərabərdir."Doğrudan da, OB və OA şüaları açıq
bucaq əmələ gətirdiyindən,
∠AOB + ∠BOC = ∠AOC = 180° yazmaq olar.
2) Qarşılıqlı bucaqlar. Iki kəsişən AB və CD düz xətlərinə baxaq. AB ×
CD ≡ O olduqda, ortaq təpəsi O nöqtəsində olan dörd bucaq alırıq. Bu
bucaqların mühüm xüsusiyyəti ondadır ki, ixtiyari bucaqlar cütündən
birinin tərəfləri digərinin uyğun tərəflərinin uzantısıdır. Məsələn, ∠DOB
və ∠COA cütlərini götürək. OC şüası OD -nin, OA şüası OB -nin
uzantısıdır. ∠BOC və ∠AOD cütləri də eyni xüsusiyyətə malikdir. Belə
bucaqlar cütünə qarşılıqlı bucaqlar adı verilmişdir.
C B
A O D
Tərif. Bir bucağın tərəfləri digərinin tərəflərinin uzantısı olarsa, belə
bucaqlara qarşılıqlı bucaqlar deyilir.
42. 3. Perpendikulyar düz xətlər. Iki qarşılıqlı kəsişən düz xətt götürək.
Aşkardır ki, bu düz xətlər 4 açıq olmayan bucaq əmələ gətirirlər. Bu
bucaqlardan biri 90°olduqda qonşu və qarşılıqlı bucaqların
xassələrinə görə digər bucaqlar da düz bucaq olacaqlar.
Tərif. Iki düz xətt kəsişərək dörd düz bucaq əmələ gətirirsə, belə düz
xətlərə qarşılıqlı perpendikulyar düz xətlər deyilir.
AB və CD düz xətlərinin perpendikulyarlığı ⊥ simvolu ilə işarə edilir və
AB ⊥ CD kimi yazılır və "AB düz xətti CD düz xəttinə
perpendikulyardır" kimi oxunur.
A
B a
Teorem. Verilmiş düz xətt üzərində olmayan nöqtədən bu düz xəttə
perpendikulyar olan yalnız bir düz xətt çəkmək olar.
4. Düz xətlərin paralellik əlamətləri. Iki düz xəttin paralel olub -
olmadığını bilavasitə yoxlamaq müəyyən çətinliklərlə bağlı olmaqla
yanaşı, həm də məntiqi baxımdan qeyri - ciddi olur. Ona görə də düz
xətlərin paralelliyi üçün bir neçə əlamət müəyyən edilmişdir.
Teorem. Eyni bir düz xəttə perpendikulyar olan iki düz xətt bir - birinə
paraleldir.
Isbatı: Tutaq ki, a, b və c düz xətləri müstəvi üzərində a ⊥ c və b ⊥ c
münasibətindədirlər. Fərz edək ki, a ⊥ c və b ⊥ c şərtləri daxilində a
düz xətti b düz xəttinə paralel deyil. Onda bu düz xətlər hər hansı M
nöqtəsində kəsişir, yəni a × b ≡ M. Onda M ∈ a və M ∈ b olar. Alırıq
ki, c düz xətti xaricindəki M nöqtəsindən bu düz xəttə iki perpendikulyar
çəkilmişdir. Bu isə perpendikulyarlığın yeganəliyi haqqında təklifə ziddir.
Teorem 1. Iki düz xətt üçüncü düz xətlə kəsişdikdə əmələ gələn çarpaz
bucaqlar bərabər olarsa, onda bu iki düz xətt paraleldir.
Teorem 2. Iki düz xətt üçüncü düz xətlə kəsişdikdə uyğun bucaqlar
bərabər olarsa, onda bu düz xətlər paraleldir.
Teorem 3. Iki düz üçüncü ilə kəsişdikdə birtərəfli bucaqların cəmi 180
bərabər olarsa, onda bu düz xətlər paraleldir.
43. Mühazirə 10. Çevrə və dairə
Həndəsi fiqur anlayışını daxil edərkən göstərdik ki, həndəsi fiqur
ixtiyari nöqtələr çoxluğudur. Konkret həndəsi fiquru əmələ gətirən
nöqtələr, onların hamısı üçün ümumi olan xassəyə malik olur. Doğrudan
da, müstəvinin (həmçinin fəzanın) baxılan həndəsi fiquru əmələ gətirən
nöqtələrin konkret olaraq hansı ümumi xassələri ödədiyindn asılı olaraq
bu həndəsi fiqurun tipi müəyyən olunur. Bu baxımdan çevrə və dairə
anlayışları daha çox xarakterikdir.
1.Çevrə və onun elementləri.
Tərif.Müstəvinin verilmiş nöqtəsindən verilmiş məsafədə olan bütün
nöqtələr çoxluğundan ibarət həndəsi fiqura çevrə deyilir.
Verilmiş nöqtə “O” nöqtəsi çevrənin mərkəzi adlanır. Çevrəyə
mənsub olan ixtiyari M nöqtəsindən mərkəzə qədər olan məsafə
çevrənin radiusu adlanır. Radiusu r kimi işarə edəciyik.
Çevrənin iki nöqtəsini birləşdirən düz xətt
parçasına vətər deyilir. Məsələn, EF
vətərdir. Mərkəzdən keçən vətərə
diametr deyilir. Məsələn, AB
diametrdir. Aşkardır ki, diametrin
uzunluğu radiusun uzunluğunun
iki mislinə bərabərdir, yəni
AB=2OM və ya AB=2r. Çevrənin O
mərkəzi hər bir diametrin orta
nöqtəsidir. Çevrənin ixtiyari iki nöqtəsi onu iki hissəyə bölür.
Bu hissələrin hər birinə çevrənin qövsü deyilir. Məsələn, AMB qövsü,
ANB qövsü. Onlarin hər biri A və B nöqtələri ilə məhduddur.
Ümumiyyətlə, bütöv çevrə də qövs hesab olunur. Bu mənada, çevrə ən
böyük qövs adlanır.
Müstəvi üzərində çevrə ilə düz xətt arasında üç mümkün münasibət
ola bilər.
1) Çevrə ilə düz xəttin heç bir ortaq nöqtəsi olmaya bilər. Bu halda
düz xət çevrənin xaricindədir.
2) Çevrə ilə düz xəttin iki ortaq nöqtəsi ola bilər. Bu halda düz xət
çevrəni kəsir. Çevrə ilə iki ortaq iki nöqtəsi olan düz xəttə çevrənin
kəsəni deyilir.
B
M
O
A
E
F
.
N
.
B
. A
O
. M
44. 3) Çevrə ilə düz xəttin yeganə ortaq nöqtəsi ola bilər. Bu halda düz
xət çevrənin toxunanı adlanır. Çevrə ilə yalnız bir ortaq nöqtəsi
olan düz xəttə çevrəyə toxunan düz xət deyilir.
Nəhayət, qeyd edək ki, vətərə perpendikulyar olan diametr vətəri yarıya
bölür. Çevrəyə toxunan düz xət toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radiusa
perpendikulyardır.
2. Dairə və onun hissələri. Hər bir çevrə bütün müstəvi nöqtələrini iki
altçoxluğa ayrılır. Bu altçoxluqlardan biri çevrə qövsü ilə məhdud olan
müstəvi nöqtələri çoxluğu, digəri isə çevrənin xaricində yerləşən müstəvi
nöqtələri çoxluğu. Çevrə əyrisinə mənsub olan
nöqtələr çoxluğu isə bu alt çoxluqların heç
birisinə aid edilmir.
Müstəvinin çevrə ilə məhdud olan bütün nöqtələr çoxluğuna
çevrənin oblastı, müstəvinin çevrə xaricində yerləşən bütün nöqtələr
çoxluğu çevrənin xarici oblastı adlanır.
Tərif. Çevrə özünün daxili oblastı ilə birlikdə dairə adlanır.
Bu çevrənin mərkəzi dairənin mərkəzi, radiusu uyğun dairənin
də radiusu, diametri isə dairənin diametri adlanır. Çevrənin özü isə
dairənin sərhədi və ya bir qayda olaraq dairənin çevrəsi adlanır.
Bu tərifdə asanlıqla görünür ki, çevrə kimi dairə də müəyyən xassələri
ödəyən nöqtələr çoxluğudur və dairəni konkret xasssələri ödəyən
nöqtələr çoxluğu kimi xarakterizə etmək olar.
Tutaq ki, X müstəvinin ixtiyari
nöqtəsidir. Çevrnin daxili
oblastı adlandırdığımız müstəvinin bütün
nöqtələri « verilmiş O nöqtəsindən
məsafəsi verilmiş OM=r məsafədən kiçik
olmaq» xassəsinə malikdir. Deməli, XO <
r münasibətini ödəyir. Çevrəyə mənsub
olan hər bir
nöqtə, çevrənin tərifindən göründüyü kimi, XO=r xassəsinə malikdir.
Çevrənin xarici oblastına mənsub olan hər bir X nötəsi isə « XO < r»
xassəsini ödəyir.
.
a
.
.
O
.
. .
a
b
r
.M
O
r
c
.A
.
.O
.
B C
.O
.X
.M
.N
.
.
. Z
E
K
.y
45. Mühazirə 11
Üçbucaq və onun elementləri
Müstəvi üzərində bir düz xətt üzərində yerləşməyən üç nöqtə və onları
cüt-cüt birləşdirən üç düz xətt parçası götürək.Asanlıqla görünür ki,
minimal sayda təpələri (tərəfləri) olan ABC qapalı sınıq xətti alınar.
Şəkil 40.
Minimal (n=3) sayda təpələri olan qapalı sınıq xəttin müstəvisinin bu
sınıq xətlə məhdud olan bütün nöqtələr çoxluğu ilə (daxili oblastı
ilə)birləşməsindən alınan fiqur üçbucaq adlanır. Deməli, üçbucaq
minimal n=3 sayda bucaqlara (tərəflərə) malik qabarıq n bucaqlının ən
sadə növüdür.ABC qapalı sınıq xəttini əmələ gətirən AB, BC, AC düz
xətt parçaları üçbucağın tərəfləri, bu qapalı sınıq xəttin A, B, C təpələri
isə üçbucağın təpələri adlanır.Tərəfləri AB, BC, və AC olan üçbucaq
∆ABC (və ya ∆BCA, ∆𝐶𝐴𝐵) kimi işarə edilir və ABC üçbucağı kimi
oxunur.∠𝐴𝐵𝐶, ∠BCA və ∠CAB
bucaqları üçbucağın daxili bucaqlarını bir hərflə, məsələn , ∠A, ∠B , ∠C
olan ABC üçbucağının tərəflərinin uzunluqlarını a, b və c kimi uyğun
kiçik hərflərlə işarə edirlər.Onda P=a+b+c uzunluq kəmiyyəti üçbucağın
perimetrini, P=
𝑎+𝑏+𝑐
2
isə yarımperimetrini göstərir.İxtiyari ABC
üçbucağının ∠𝐴, ∠B, ∠C bucaqları və a, b, c tərəfləri onun əsas elementi
adlanır. Əsas elementlərdən başqa üçbucağın köməkçi elementləri hesab
olunan bəzi elementlərini göstərək.
Üçbucağın təpə nöqtəsini qarşıdakı tərəfin orta nöqtəsi ilə birləşdirən
düz xətt parçasına üçbucağın medianı deyilir(şəkil 41). Tərifə görə
A
B
C
A
A
B
C
M
Şəkil 41
46. AM=MC olduqda BM parçası mediandır. Aşkardır ki, üçbucağın 3
medianı var.
Üçbucağın ixtiyari bucağının tənböləninin bu bucaq təpəsindən qarşıdakı
tərəflə kəsişmə nöqtəsinə qədər olan parçası üçbucağın tənböləni
adlanır(şəkil42a). Tərifə görə ∠ABK =∠KBC olduqda BK parçası
∠ABC- nin tənbölənidir.ixtiyari üçbucağın üç tənböləni var.
Üçbucağın təpə nöqtəsindən qarşıdakı tərəfi özündə saxlayan düz
xəttə çəkilən perpendikulyar düz xətt parçasına üçbucağın hündürlüyü
deyilir(şəkil 42b).Tərifə görə BN ⊥ AC olduqda BN parçası
hündürlükdür.Bu halda AC tərəfi üçbucağın oturacağı adlanır.Aşkardır ki,
üçbucağın 3 oturacağı var.
Üçbucağın medianları, tənbölənləri və hündürlükləri aşağıdakı maraqlı
xassəyə malikdir.
Ixtiyari üçbucaqda medianlar bir nöqtədə kəsişirlər(şəkil 43a).
Ixtiyari üçbucaqda tənbölənlər bir nöqtədə kəsişirlər(şəkil43b)
Ixtiyari üçbucaqda hündürlüklər (və ya onların uzunluqları) bir nöqtədə
kəsişirlər(şəkil 43 v,q), buradakı AN2, CN3, BN1 hündürlüklərdir.
a) b) v)
q )
şəkil 43
Üçbucağın daxili və xarici bucaqları haqqında təkliflər.Üçbucağın
daxili və xarici bucaqları ilə bağlı mühüm təklifi isbat edək.
Teorem. İxtiyari üçbucaqda daxili bucaqların cəmi 180˚ -dir.
Isbatı. Isbat üçün ABC üçbucağının B təpəsindən AC oturacağından
paralel olan a düz xətti keçirək (şəkil44).Üçbucağın B təpəsində a düz
xəttinə nəzərən bir altyarımüstəvidə üçbucağın B daxili bucağı ilə
birlikdə həmin iki bucaq açıq bucaq əmələ gətirir.∠B=∠2 və
ona qonşu olan bucaqları ∠1 və ∠3 kimi işarə edək. Onda
∠1+∠2+∠3=180˚ yazmaq olar. a‖AC şərtindən ∠1=∠C və
∠3=∠A, çünki çarpaz bucaqlardır. Onda ∠1 və ∠3 əvəzinə
∠C və ∠A götürdükdə ∠A+∠B+∠C=180˚ alarıq.
Teorem. Üçbucağın hər hansı daxili bucağına qonşu olan xaricı bucaq,
özünə qonşu olmayan daxili bucaqların cəminə bərabərdir.
A K
A M C
B
A
m
n
n
9
0
0
9
9
9
9
9
0
Type equation here.
i
4
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
n
m
m
m
K1 C
B
K2
M2
M
3
K
3
A
N1
C
N2
B
N
A N1
B
C
N2
N
3
1
2
3
Şəkil 42
A
B
Şəkil 44
ə
C
47. Isbatı. ∠BCE ACB bucağına nəzərən xarici bucaq olsun. ∠ACB və
∠BCE qonşu olduğundan (şəkil 45)
∠ACB+∠BCE=180˚ və ya ∠BCE=180˚- ∠ACB (1)
həmçinin ∠A+∠B+∠ACB=180˚ münasibətindən
∠A+∠B=180˚- ∠ACB (2) olar. (1) və (2) bərabərliklərini
müqaisə etdikdə ∠BCE=∠A +∠B alarıq.
Üçbucağın tərəflərinə və bucaqlarına görə siniflərə bölünməsi. Bütün
üçbucaqlar çoxluğu bucaqlarına görə üç sinfə bölünür.
1) İtibucaqlı üçbucaqlar sinfi. Bucaqlarının üçü də iti bucaq olan
üçbucağa itibucaqlı üçbucaq deyilir. Tərifə görə :
{
∠𝐴 ˂ 90˚
∠𝐵 ˂ 90˚
∠𝐶 ˂90˚
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180˚
Olduqda ∆ABC itibucaqlı üçbucaq adlanır (şəkil 46a)
2) Düzbucaqlı üçbucaqlar sinfi. Bucaqlarının biri d=90˚-li bucağa
bərabər olan bucağa düzbucaqlı üçbucaq deyilir. Tərifə görə
{
∠𝐴˂90˚
∠𝐵˂90˚
∠𝐶 = 90˚
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180˚
olduqda ∆ABC düzbucaqlı üçbucaq adlanır(şəkil 46b)
Düzbucaqlı üçbucaqda düz bucaq qarşısında duran tərəf hipetonuz,
düz bucağı əmələ gətirən tərəflər isə katetlər adlanır.Aşkardır
ki,düzbucaqlı üçbucaqda digər iki A və B bucaqları hökmən iti
bucaqdır və
∠A+∠B=90˚.
3) Korbucaqlı üçbucaqlar sinfi. Bucaqlarından biri düz bucaqdan böyük,
açıq bucaqdan kiçik olan üçbucağa korbucaqlı üçbucaq deyilir.Tərifə
görə
{
∠A˂90˚
∠B˂90˚
∠C˃90˚
∠A+∠B+∠C=180˚
A
B
C
Şəkil 46 a)
A
B
C
katet
katet
Şəkil 46 b
A
B
C
Şəkil
v)
48. olduqda ∆ABC korbucaqlı üçbucaq adlanır.(şəkil 46 v). Aşkardır ki,
korbucaqlı üçbucağın iki iti bucağı ∠A+∠B˂90˚ şərtini ödəyir.
Bütün üçbucaqlar çoxluğu tərəflərinə görə də üç sinfə bölünür.
1)Müxtəlif tərəfli üçbucaqlar. Bütün tərəflərinin eyni uzunluq
vahidində uzunluqları müxtəlif olan üçbucaqlara müxtəlif tərəfli
üçbucaqlar deyilir(şəkil 47)
Tutaq ki, eyni uzunluq vahidi ilə ölçüldükdə ABC üçbucağının
tərəfləri uyğun olaraq a, b, c müsbət ədədləri ilə ifadə olunur.
Onda tərifə görə a≠b≠c.
2)Bərabəryanlı üçbucaq. Iki tərəfi bir-birinəbərabər, üçüncü tərəfi isə
bu iki tərəfdən fərqli olan üçbucağa bərabəryanlı üçbucaq deyilir.
Tərifə görə a=b ≠ 𝑐 . Bərabər tərəflərə yan tərəflər, yan tərəflər
arasındakı bucağa təpə bucağı, bu bucağın təpəsi bərabəryanlı
üçbucağın təpəsi, bu təpə qarşısındakı tərəf isə üçbucağın oturacağı
adlanır.(şəkil48)
3) Bərabərtərəfli üçbucaqlar. Eyni uzunluq vahidində tərəflərinin
üçünün də uzunluqları bərabər olan üçbucağa bərabər tərəfli
üçbucaqlar deyilir.Tərifə görə, tərəflərinin uzunluqları eyni uzunluq
vahidində a,b,c müsbət ədələr ilə ifadə olunmuşsa, onda a=b=c
münasibəti doğrudur.
Bərabəryanlı üçbucağın xassələri.
Bərabəryanlı üçbucaqlar sinfinin bəzi xarakterik xassələrinə baxaq.
Xassə1. Bərabəryanlı üçbucağın oturacağına bitişik bucaqları
bərabərdir.
Isbatı. ∆ ABC bərabəryanlı olsun,yəni AB=AC.İsbat edək ki,
∠B=∠C. AD parçası ABC üçbucaöının tənböləni olsun.(şəkil
50).ABD və ACD üçbucaqlarıbirinci əlamətə görə bərabərdirlər.
(AB=AC, AD ortaqdır,∠1=∠2). Bu bərabərlikdən də ∠B=∠C
alınır.
Xassə 2. Bərabəryanlı üçbucaqda təpə bucağının tənböləni üçbucağın
həm medianı, həm də hündürlüyüdür.
İsbatı. ABC üçbucağı oturacağı BC olan bərabəryanlı
üçbucaq olsun(şəkil50).AD tənbölən olsun.ABD və ACD
üçbucaqlarının bərabərliyindən alınır ki, BD=DC və
∠3=∠4. BD=DC bərabərliyi göstərir ki, D nöqtəsi BC
A
B
c
b
Şəkil 47
A
B
C
c a
b
Şəkil 48
A
B
c
b
Şəkil 49
A
B
1
3 4
Şəkil 50
49. tərəfinin orta nöqtəsidir və AD parçası ABC üçbucağının medianı olur.∠3
və ∠4 qonşu olduğundan, hər birisi düz bucaq olur. Deməli, AD parçası
∆ABC hündürlüyü olur.
Bu xassələrdən asanlıqla aşağıdakı aşkar nəticələr çıxır.
Bərabəryanlı üçbucağın oturacağına endirilən hündürlük həm median,
1. həm də tənböləndir.
2. Bərabəryanlı üçbucağın oturacağına çəkilmiş median həm
hündürlük, həm də tənböləndir.
Üçbucağın tərəfəri və tərəfləri ilə bucaqları arasında münasibətlər.
Məlumdur ki, bütün üçbucaqlar çoxluğu bucaqlarına və tərəflərinə
görə siniflərə bölünür.İxtiyari üçbucaqlar, üçbucaqlar çoxluğunun
bölündüyü altsiniflərin hansına mənsub olmasından asılı olmayaraq
aşağıdakı təkliflər şəklində şərh olunan xassələri ödəyir:
Teorem. Ixtiyari üçbucaqda 1) böyük tərəf qarşısında böyük bucaq
durur;2)tərsinə, böyük bucaq qarşısında böyük tərəf durur.
Isbatı. 1) tutaq ki,ABC üçbucağında (şəkil 51a) AB tərəfi AC
tərəfindən böyükdür. Göstərək ki, ∠C ˃ ∠B. AB tərəfi üzərində AC
tərəfinə bərabər olan AD parçasını ayıraq (şəkil.51b). AD˂ AB
olduğundan, D nöqtəsi A və B nöqtələri arasında yerləşir. Deməli, 1
bucağı C bucağının hissəsidir. Onda ∠C ˃ ∠1. 2 bucağı ADC
bərabəryanlı üçbucağın oturacaq bucaqlarıdır və deməli, ∠1=∠2 olar.
Beləliklən, ∠C ˃∠1, ∠1=∠2, ∠2˃∠B münasibətlərindən ∠C˃∠B.
a) b)
2) Tutaq ki, ABC üçbucağında ∠C ˃∠B. İsbat edək ki, AB ˃ AC .Fərz
edək ki, AB˃AC münasibəti doğru deyil. Onda ya AB=AC, ya da
AB˂AC. Birinci halda, ABC bərabəryanlı olur və deməli, ∠C=∠B. İkinci
halda isə ∠C˂∠B (böyük tərəf qarşısında böyük bucaq durur).Hər iki hal
şərtə ziddir. Deməli, ∠C˃∠B şərtindən AB ˃ AC alınır.
Teoremdən aşağıdakı mühüm nəticələr çıxır.
Nəticə 1. Bərabərtərəfli üçbucağın bütün bucaqları bərabərdir və hər
birisi 60˚-dir.
D
A B
C
B A
C
D 1
2
Şəkil 51
50. Doğrudan da, tərəflərin bərabərliyindən bucaqların
bərabərliyi çıxır, bucaqların cəmi isə 180˚ olduğundan,
hər bir bucaq 180˚: 3=60˚ olur.
Nəticə2. Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuz katetlərin hər
birindən böyükdür.
Nəticə 3. Üçbucağın iki bucağı bərabər olarsa, belə üçbucaq
bərabəryanlıdır.
Bu nəticə bərabəryanlı üçbucağın əlaməti də adlanır.
Indi ixtiyari üçbucaq üçün məcburən ödənilən və üçbucağın tərəfləri
arasındakı münasibət adlanan təklifə baxaq.
Teorem. 1) ixtiyari üçbucaqda iki tərəfin cəmi üçüncü tərəfdən
böyükdür.2) ixtiyari üçbucaqda iki tərəfin fərqi üçüncü tərəfdən
kiçikdir
İsbatı. 1) İsbat edək ki, ixtiyari ABC üçbucağında AB˂AC+CB. AC
tərəfinin uzantısı üzərində CB tərəfinə bərabər CD parçasını
ayıraq(şəkil 52). BCD bərabəryanlı üçbucağında ∠1=∠2 və ABD
üçbucağında ∠ABD˃∠1 olar. Deməli, ∠ABD ˃∠2. Üçbucaqda böyük
bucaq qarşısında böyük tərəf durduğundan AB˂AD . Lakin
AD=AC+CD=AC+CB olduğundan AB˂AC+CB alırıq.
Nəticə. Bir düz xətt üzərində yerləşməyən üç A, B, C nöqtələri
üçün
𝐴𝐵˂𝐴𝐶 + 𝐶𝐵
𝐴𝐶˂𝐴𝐵 + 𝐵𝐶
𝐵𝐶˂𝐵𝐴 + 𝐴𝐶
] bərabərsizlikləri doğrudur.
Bu bərabərsizliklər üçbucaq bərabərsizlikləri adlanır və onların çox
mühüm praktik əhəmiyyəti var. Bu bərabərsizliklər praktiki olaraq
onu göstərir ki, uzunluqları a, b, c olan üç parçadan yalnız o zaman
üçbucaq qurmaq olar ki, a˂b+c, b˂a+c və c˂a+b münasibətləri doğru
olsun.
2) Teoremin ikinci hissəsinin doğruluğu birinci hissənin
doğruluğundan alınır.
Düzbucaqlı üçbucaqların bəzi xassələri. Düzbucaqlı üçbucaqlar
üçün xarakterik olan bir neçə praktik məzmunlu xassələrə baxaq:
1) Düzbucaqlı üçbucağın iki iti bucağının cəmi 90˚-yə bərabərdir.
Bu xassənin doğruluğu üçbucağın daxili bucaqları haqqında təklifdən
çıxır.
B
A D
C
1
z
z
1
2
Şəkil 52
B
D
B
C
30
˚
A D C
A
51. Şəkil 53 a) şəkil 53
b)
2) Düzbucaqlı üçbucaqda 30˚-li iti bucaq qarşısındakı katet
hipotenuzun yarısına bərabərdir. Bucaqları ∠A=90˚, ∠B= 30˚ və
∠C=60˚ (şəkil53a) olan ABC düzbucaqlı üçbucağına baxaq.İsbat
edək ki, AC=
1
2
BC. ABC üçbucağına ona bərabər olan Abd
üçbucağına ona bərabər olan ABD üçbucağını qoşaq(şəkil53b).
Alınan BCD üçbucağında ∠B=∠D=60˚, ona görə də DC=BC.
AC=
1
2
DC olduğundan, AC=
1
2
BC.
3) Düzbucaqlı üçbucaqda katet hipotenuzun yarısına bərabər olarsa,
onda bu katet qarşısındakı bucaq 30˚-yə bərabərdir.
AC katet, BC hipetonuz olduqda ABC düzbucaqlı üçbucağını götürək
və AC=
1
2
BC olsun. İsbat edək ki, ∠ABC=30˚ (şəkil53)
b) ABC üçbucağına ona bərabər olan ABD üçbucağını qoşaq. Onda
BCD bərabərtərfli üçbucağı alınır. Bu üçbucağın hər bir bucağı 60˚
olduğundan, xüsusi halda, ∠DBC=60˚. ∠DBC=2. ∠ ABC olduğundan
∠ABC=30˚ olar.
Muhazirə 12
Qabarıq dördbucaqlılar. Onların növləri və əsas xassələri
1.İxtiyari qabarıq n- bucaqlının daxili bucaqlarının cəmi.İxtiyari
qabarıq n bucaqlı götürək. Bu n bucaqlının ixtiyari daxili nöqtəsinin onun
təpələri ilə birləşdirək. Bu zaman çoxbucaqlı ortaq təpəli n sayda
üçbucaqlara ayrılır. Aşkardır ki, bu üçbucaqların hər birinin daxili
bucaqlarının cəmi 180 ° - dir. Bütün üçbucaqların daxili bucaqlarının
birlikdə cəmi 180 ° * n olar. Bu üçbucaqların oturacaqlarına bitişik bütün
bucaqların cəmi çoxbucaqlının daxili bucaqlarının cəminə bərabər
olduğundan onu tapmaq üçün 180 ° * n ədədindən tam bucağa bərabər
olan təpə bucaqlarının cəmini çıxmaq kifayətdir.
Beləliklə qabarıq n bucaqlının daxili bucaqlarının cəmi üçün
180 ° * n - 360° = 180° * (n – 2) düsturunu alırıq. Xüsusi halda n = 4
olduqda ixtiyari qabarıq dördbucaqlı alınır.
52. Şəkil 54 a)
B C
A D
Şəkil 54 b)
Aşkardır ki, hər bir qabarıq dördbucaqlının 4 təpəsi, 4 tərəfi və 4 daxili
bucaqları, 2 diaqonalı (AC və BD) var.
Qonşu olmayan iki tərəfə qarşı tərəflər deyilir, iki təpəyə isə qarşı təpələr
deyilir. Qabarıq 4 bucaqlının hər bir diaqonalı onu iki üçbucağa
ayırdığından qabarıq 4 bucaqlının daxili bucaqlarının cəmi 2 * 180 ° =
360° olur. Bunu n = 4 olduqda n bucaqlı üçün daxili bucaqların cəmi
düsturundan da almaq olar. Doğrudan da n = 4 olduqda 180° * ( 4 – 2 ) =
180° * 2 = 360°
Beləliklə, ixtiyari qabarıq dördbucaqlının daxili bucaqlarının cəmi 360 ° -
dir.
2. Paraleloqram və onun xassələri.Qabarıq dördbucaqlıların mühüm
növlərindən biri paraleloqramdır.
Tərif. Qarşı tərəfləri cüt – cüt paralel olan dördbucaqlıya paraleloqram
deyilir.
Tərifə görə ABCD qabarıq dördbucaqlısının tərəfləri AB ║CD və BC ║
AD münasibətlərini ödədikdə ABCD paraleloqramdır.
D
Paraleloqramı ixtiyari qabarıq dördbucaqlıdan fərqləndirən bir neçə
xarakterik xassələrə baxaq.
Xassə 1. Paraleloqramın qarşı tərəfləri və qarşı bucaqları bərabərdir.
ABCD paraleloqramı verilsin. Xassəni simvolik olaraq aşağıdakı kimi
yazaq.
![Müəllim: Novruzova Xumar
RİKNƏ 4 (İSM-301302)
Mühazirə 1. Kəmiyyətlər arasında funksional asılılıq
Dəyişən kəmiyyətlər. Funksiya. Həqiqi dəyişənli funksiya. Funksiyanın təyin
oblastı və qiymətlər çoxluğu.
Müxtəlif ədədi qiymətlər ala bilən kəmiyyətlərə dəyişən kəmiyyətlər deyilir. Adətən,
riyaziyyatda dəyişən kəmiyyətlər x,y,z, ...ilə, sabit kəmiyyətlər isə a,b,c, ... ilə işarə
edilir. Dəyişmə xarakterinə görə dəyişən kəmiyyətlər əsasən iki qrupa bölünür:
1.Sonlu və ya hesabi qiymətlər ala bilən dəyişən kəmiyyətlər. Bunlara diskret tipli və
ya sadəcə, diskret də-yişən kəmiyyətlər deyilir. Məsələn, dəyişən kəmiyyəti ancaq
2,4,6,8,.. qiymətlərini ala bilirsə, o diskret dəyişən kəmiyyətdir. Diskret dəyişən
kəmiyyətə başqa bir misal natural 1,2,3,...., n, ...ədədlərini ala bilən dəyişən
kəmiyyətdir. Belə dəyişən kəmiyyətə<<tam qiymətli dəyişən >>deyilir və n ilə işarə
edilir.
2.Öz dəyişmə oblastındakı hər hansı x=x0 və x=x1 qiymətləri ilə bərabər, həmin
ədədlər arasında yerləşən bütün həqiqi ədədləri, yəni x0<x< x1 qiymətlərini ala bilən
dəyişən kəmiyyətlər. Belə dəyişən kəmiyyətlərə kəsilməz tipli dəyişən kəmiyyətlər
deyilir. Məsələn, (0,1) intervalındakı bütün qiymətləri ala bilən x kəmiyyəti kəsilməz
tipli dəyişən kəmiyyətdir. Dəyişən x kəmiyyətinin ala bildiyi bütün qiymətlər
çoxluğuna onun dəyişmə oblastı deyilir.
Tərif: Dəyişmə oblastları uyğun olaraq X vəY olan iki x və y dəyişən kəmiyyətini
götürək. Hər hansı f qayda və ya qanunu vasitəsilə dəyişən xkəmiyyətinin X dəyişmə
oblastındakı hər bir qiymətinə,dəyişən y kəmiyyətinin müəyyən bir qiymətini (Y
çoxluqundan) uyğun və ya qarşı qoymaq mümküdürsə, onda X çoxluqundan Y
çoxluğuna funksiya ( X çoxluğunun Y-ə inikası) verilmişdir deyilir və y=f(X) ilə
göstərilir. Funksiya bəzən Y=y(x) ,y=f(x) , y=φ(x) , y=F(x) və s. şəklində göstərilir.
Bu ifadələrdəki...hərflərin hansı qanun vəya qaydalar vasitəsilə x-in verilmiş
qiymətinə y-in uyğun qiymətinin qarşı qoyulmasını gös-tərir.
Bu halda x-ə sərbəst dəyişən və ya arqument, y-ə isə funksiyanın asılı dəyişəni və ya
qiyməti deyilir. X çoxluğu na funksiyanın təyin oblastı, Y çoxluğuna isə onun
qiymətləri çoxluğu deyilir.
Fərz edək ki,y=f(x) funksiyası [a,b] parçasında təyin olunmuşdur. Müstəvi üzərində
düzbucaqlı Oxy koordinant sistemi götürək və absis oxu üzərində [a,b] parçasını qeyd
edək. [a,b] parçasının hər hansı nöqtəsi x=x0 və ya N(x0) olsun. Bu nöqtədə y=f(x)
funksiyası y0=f(x0) qiymətini alır, N(x0) nöqtəsindən absis oxuna perpendikulyar
çəkək.
Bu perpendikulyar üzərində elə M nöqtəsi var ki, NM=f(x0) olur. Bundan sonra NM
düz xətt parçasının M nöqtəsini f(x) funksiyasının x=x0 nöqtəsindəki qiymətinin
həndəsi göstərilişi hesab edəcəyik. Bu qayda ilə f(x) funksiyasının [a,b] parçasının hər
bir nöqtəsindəki qiymətini həndəsi
olaraq göstərən nöqtəni tapa bilərik. y=f(x) funksiyasının [a,b] parçasındakı
qiymətlərini həndəsi göstərən bütün nöqtələrin həndəsi yeri həmin funksiyanın
həndəsi göstə-rilişi və ya [a,b] parçasında qrafiki adlanır. Başqa sözlə,
absisləri arqumentin qiymətləri, ordinatları isə funksiyanın arqumentin həmin
qiymətinə uyğun qiymətləri olan M(x,y) nöqtələrinin həndəsi yerinə y=f(x)
funksiyasının](https://image.slidesharecdn.com/rikne4muhazire-230405155240-7e5f904b/85/RIKNE4-muhazire-docx-1-320.jpg)
