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INSTITUTO NACIONAL DE SAN RAFAEL
ALUMNO: ELISEO BLADIMIR MANCIA GUERRA
MAESTRO: JOSE RIGOVERTO GUARDADO
ASIGNATURA: MATREMATICA
DRAGO: PRIMER AÑO DE BACHHILERRATO
SECCION: “B”
AÑO : 2018
TEMA
TEOREMAS DE PITAGORAS
EL TEOREMA DE PITÁGORAS
Antes de comenzar a hablar del Teorema de Pitágoras es interesante preguntarse ¿Quién es
Pitágoras? Pitágoras de Samos fue un filósofo y matemático griego nacido en el año 569 a.C.
considerado el primer matemático puro de la historia.
Contribuyo bastante en el avance de la matemática helénica, la geometría y aritmética.
Este filoso y matemático griego fue el creador del tan famoso Teorema de Pitágoras, que define
que en todo triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos.
Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto, es decir 90°.
El Teorema de Pitágoras es uno de los que cuenta con más demostraciones, utilizando métodos
diferentes, esto se debe a que en la edad media se exigía una nueva demostración del teorema
para alcanzar el grado de “Magister Matheseos”.
Si bien este teorema ha quedado demostrado matemáticamente en diferentes ocasiones, no
solo se quedó allí, el Teorema de Pitágoras tiene muchas aplicaciones en la vida real, en la
arquitectura y construcción por ejemplo es la aplicación más obvia de este teorema, pues
cuando se está trabajando con tejados en formas triangulares, este teorema se aplica cuando se
trabaja con triángulos rectángulos o triángulos con un ángulo de 90°.
FÓRMULA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
• El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de
la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la
proposición más conocida entre las que tienen nombre propio en la matemática
• El teorema de Pitágoras fue comprobado en el siglo VI a.C. por el filósofo y matemático griego
Pitágoras, pero se estima que pudo haber sido previo a su existencia, o demostrado bajo otra
denominación.
DEMOSTRACIÓN
• Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del
cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir:
• Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la figura
mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado
resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el área de este cuadrado menor puede
expresarse de la siguiente manera:
Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases
en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados
perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.
Aunque el descubrimiento del teorema de Pitágoras se dio hace una gran cantidad de años, no
deja de sorprendernos hasta el día de hoy ya que son cada vez más los campos de diversa índole
en los que, de alguna u otra forma, es necesario tener conocimiento del mencionado teorema.
• Pitágoras fue un filósofo y matemático de la antigua Grecia y entre la gran cantidad de
descubrimientos en estos dos importantes pilares del conocimiento destaca el teorema de
Pitágoras, también conocido como teoría de la hipotenusa.
• No podemos negar que no existe documentación válida que certifique que el desarrollo de
este trascendental teorema pertenece en su totalidad a Pitágoras pero lo cierto es que él y el
grupo de pitagóricos que dirigía fueron los que después de un arduo trabajo determinaron
esta propiedad exclusiva de los triángulos rectángulos.
• Para entender la definición del teorema de Pitágoras es necesario comprender dos
conceptos fundamentales de la teoría de triángulos rectángulos:
• Si comprendemos al cien por ciento estos dos conceptos básicos de los triángulos
rectángulos, no tendremos ningún problema al analizar la relación dada gracias la teorema de
Pitágoras. Así, tenemos que: “En todo triángulo rectángulo se cumple que la hipotenusa h
elevada a la potencia 2 es igual que la suma de la misma potencia en cada cateto c1 y c2“.
Esta expresión puede ser representada simbólicamente de la siguiente forma:
DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
• Si queremos entender cómo funciona el teorema de Pitágoras debemos comprender ciertos
conceptos matemáticos que tienen relación con el mismo y sin los cuales nos resultaría
complicado e incluso imposible el poder entender la demostración del teorema de Pitágoras.
• Entre los principales puntos a tener en cuenta antes de comprender la demostración del teorema
de Pitágoras están:
• Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (90°) entre sus ángulos internos y sólo
en estas figuras geométricas se puede aplicar el teorema de Pitágoras.
• Cada uno de los lados de un triángulo rectángulo tiene un nombre particular, así, el lado con
mayor longitud recibe el nombre de hipotenusa mientras que los lados restantes son llamados
catetos.
• Bajo estas premisas podemos citar al famoso teorema de Pitágoras que indica que “en
cualquier triángulo rectángulo se cumple que la hipotenusa elevada al cuadrado tiene el
mismo valor que la suma de los cuadrados de ambos catetos”.
• Para demostrar esta premisa usaremos un triángulo rectángulo como el de la imagen, en
donde llamaremos a y b a cada uno de los catetos y c a la hipotenusa. A partir de este
triángulo construiremos un cuadrado teniendo como lado a la suma de ambos catetos como
se ilustra a continuación:
• Vemos que la unión de las hipotenusas hace que tengamos un nuevo cuadrado con lado c; de esta
forma, el área del cuadrado de mayor dimensión también se puede expresar como la suma del área del
cuadrado ABCD con los 4 triángulos rectángulos que se aprecian en la figura. Entonces tendremos:
• (a + b)2 = c2 + 2ab
• Para simplificar esta expresión tendremos que desarrollar el binomio que implica a a y b.
• a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
• Ahora, eliminaremos el término 2ab en ambos lados de la ecuación:
• a2 + b2 = c2
• Con lo que queda demostrado el teorema de Pitágoras.

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  • 1. INSTITUTO NACIONAL DE SAN RAFAEL ALUMNO: ELISEO BLADIMIR MANCIA GUERRA MAESTRO: JOSE RIGOVERTO GUARDADO ASIGNATURA: MATREMATICA DRAGO: PRIMER AÑO DE BACHHILERRATO SECCION: “B” AÑO : 2018
  • 3. EL TEOREMA DE PITÁGORAS Antes de comenzar a hablar del Teorema de Pitágoras es interesante preguntarse ¿Quién es Pitágoras? Pitágoras de Samos fue un filósofo y matemático griego nacido en el año 569 a.C. considerado el primer matemático puro de la historia. Contribuyo bastante en el avance de la matemática helénica, la geometría y aritmética. Este filoso y matemático griego fue el creador del tan famoso Teorema de Pitágoras, que define que en todo triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto, es decir 90°.
  • 4. El Teorema de Pitágoras es uno de los que cuenta con más demostraciones, utilizando métodos diferentes, esto se debe a que en la edad media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de “Magister Matheseos”. Si bien este teorema ha quedado demostrado matemáticamente en diferentes ocasiones, no solo se quedó allí, el Teorema de Pitágoras tiene muchas aplicaciones en la vida real, en la arquitectura y construcción por ejemplo es la aplicación más obvia de este teorema, pues cuando se está trabajando con tejados en formas triangulares, este teorema se aplica cuando se trabaja con triángulos rectángulos o triángulos con un ángulo de 90°.
  • 5. FÓRMULA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
  • 6. • El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida entre las que tienen nombre propio en la matemática • El teorema de Pitágoras fue comprobado en el siglo VI a.C. por el filósofo y matemático griego Pitágoras, pero se estima que pudo haber sido previo a su existencia, o demostrado bajo otra denominación.
  • 7. DEMOSTRACIÓN • Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir: • Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:
  • 8.
  • 9. Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes. Aunque el descubrimiento del teorema de Pitágoras se dio hace una gran cantidad de años, no deja de sorprendernos hasta el día de hoy ya que son cada vez más los campos de diversa índole en los que, de alguna u otra forma, es necesario tener conocimiento del mencionado teorema.
  • 10. • Pitágoras fue un filósofo y matemático de la antigua Grecia y entre la gran cantidad de descubrimientos en estos dos importantes pilares del conocimiento destaca el teorema de Pitágoras, también conocido como teoría de la hipotenusa. • No podemos negar que no existe documentación válida que certifique que el desarrollo de este trascendental teorema pertenece en su totalidad a Pitágoras pero lo cierto es que él y el grupo de pitagóricos que dirigía fueron los que después de un arduo trabajo determinaron esta propiedad exclusiva de los triángulos rectángulos.
  • 11. • Para entender la definición del teorema de Pitágoras es necesario comprender dos conceptos fundamentales de la teoría de triángulos rectángulos: • Si comprendemos al cien por ciento estos dos conceptos básicos de los triángulos rectángulos, no tendremos ningún problema al analizar la relación dada gracias la teorema de Pitágoras. Así, tenemos que: “En todo triángulo rectángulo se cumple que la hipotenusa h elevada a la potencia 2 es igual que la suma de la misma potencia en cada cateto c1 y c2“. Esta expresión puede ser representada simbólicamente de la siguiente forma:
  • 12. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS • Si queremos entender cómo funciona el teorema de Pitágoras debemos comprender ciertos conceptos matemáticos que tienen relación con el mismo y sin los cuales nos resultaría complicado e incluso imposible el poder entender la demostración del teorema de Pitágoras. • Entre los principales puntos a tener en cuenta antes de comprender la demostración del teorema de Pitágoras están: • Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (90°) entre sus ángulos internos y sólo en estas figuras geométricas se puede aplicar el teorema de Pitágoras. • Cada uno de los lados de un triángulo rectángulo tiene un nombre particular, así, el lado con mayor longitud recibe el nombre de hipotenusa mientras que los lados restantes son llamados catetos.
  • 13. • Bajo estas premisas podemos citar al famoso teorema de Pitágoras que indica que “en cualquier triángulo rectángulo se cumple que la hipotenusa elevada al cuadrado tiene el mismo valor que la suma de los cuadrados de ambos catetos”. • Para demostrar esta premisa usaremos un triángulo rectángulo como el de la imagen, en donde llamaremos a y b a cada uno de los catetos y c a la hipotenusa. A partir de este triángulo construiremos un cuadrado teniendo como lado a la suma de ambos catetos como se ilustra a continuación:
  • 14.
  • 15. • Vemos que la unión de las hipotenusas hace que tengamos un nuevo cuadrado con lado c; de esta forma, el área del cuadrado de mayor dimensión también se puede expresar como la suma del área del cuadrado ABCD con los 4 triángulos rectángulos que se aprecian en la figura. Entonces tendremos: • (a + b)2 = c2 + 2ab • Para simplificar esta expresión tendremos que desarrollar el binomio que implica a a y b. • a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab • Ahora, eliminaremos el término 2ab en ambos lados de la ecuación: • a2 + b2 = c2 • Con lo que queda demostrado el teorema de Pitágoras.