1. 1
DETERMINAÇÃO DOS CAMPOS 3D DE
TEMPERATURAS E DESLOCAMENTOS
EM ESTRUTURAS DE CONCRETO MASSA FRESCO,
COM ELEMENTOS FINITOS TETRAÉDRICOS
1 – INTRODUÇÃO (AOS CÁLCULOS TÉRMICOS)
Os aglomerantes são os principais os componentes de um concreto, destacando-se entre esses o cimento.
A água de amassamento do concreto hidrata o cimento por reação química transformando o conjunto
(cimento, água e agregados), inicialmente pastoso nos instantes iniciais - quando é denominado concreto
fresco - em um esqueleto de natureza sólida poucas horas mais tarde, quando então é denominado
concreto endurecido. Eis ai um fenômeno sobre o qual se deitam prosas e se articulam sinais com o
objetivo de prever-se o comportamento do concreto quando utilizado como um material de construção; e
pelo menos três períodos de vida podem ser destacados: as primeiras horas ou dias (concreto jovem), os
primeiros meses ou anos (maturidade) e a velhice.
O variar dos elementos componentes do concreto, em quantidade e natureza, altera-lhe
substancialmente as propriedades ao longo do tempo. Algumas dessas propriedades em geral são
desejáveis, como: resistência, impermeabilidade etc. que aumentam desde tenra idade e se prestam bem a
certas aplicações; outras em geral são indesejáveis, como: a dilatação térmica, decorrente da reação
(exotérmica) de hidratação do cimento e a retração hidráulica, decorrente da secagem do concreto
quando exposto a umidade abaixo da condição de saturação.
Concretos relativamente pobres em quantidade de cimento, mas usados em grandes volumes –
ditos concretos massa – têm larga aplicação na construção de barragens, em fundações de pontes, grandes
edifícios, cais de portos e outras obras. Outros concretos, relativamente ricos em quantidade de cimento e
aplicados em pequenos volumes para moldar corpos de pequenas dimensões (elementos estruturais) –
ditos concretos de alto desempenho – são utilizados em estruturas relativamente esbeltas. Em ambos os
casos pode ocorrer a fissuração do concreto como conseqüência da dilatação térmica.
De outro lado, concretos fabricados com agregados inadequados podem perder resistência ao
longo da vida, verificada de forma apreciada na maturidade e na velhice; é motivada pela reação vagarosa
dos sulfetos e outros compostos, presentes nesses agregados, com os álcalis constituintes do cimento; mas
desse fenômeno não nos ocuparemos aqui.
As barragens de concreto
As barragens de concreto, em geral devido à sua grande altura e volume, são moldadas em
“blocos” contíguos, havendo os “blocos do vertedouro”, os “blocos da tomada d’água”, os “blocos dos
muros de transição” etc. Tais blocos têm comumente a forma aproximada de um prisma de geratrizes
horizontais (paralelas ao eixo da barragem) com 10 a 20 m de comprimento e seção vertical em trapézio.
Esse trapézio (a seção da barragem) em geral é um trapézio retângulo, a distância entre seus lados
paralelos sendo dita a altura da barragem. Os blocos são moldados em camadas sucessivas sensivelmente
horizontais com até 2m de espessura (ou altura) podendo, em dado instante durante a construção, um
bloco estar mais alto que outro, seja este vizinho ou distante do primeiro, tudo dependendo do
planejamento de concretagens elaborado.
Do ponto de vista construtivo, as camadas são escolhidas, em geral e em princípio, um tanto
aleatoriamente, ao sabor do desejo do planejador e mais tarde, em função dos acontecimentos e
necessidades detectadas durante a construção, o que implica mudanças até freqüentes nos planos de
concretagem dos vários blocos.
Cada alteração de plano de concretagem acarreta um modo de manifestação das dilatações
térmicas e seus efeitos.

2. 2
Variação de temperatura durante a construção das barragens
O calor liberado durante a reação de hidratação do cimento (que ocorrerá durante alguns dias)
provoca aumento de temperatura na massa de concreto que se vai formando (para moldar o sólido
desejado). Assim, para dada massa de concreto já posto nas formas que moldam o sólido em construção
(operação denominada por vezes de cofragem), a temperatura variará de uma região para outra a todo
instante. De fato, porque parte do calor de reação poderá ser dissipado desigualmente na atmosfera seja
pelo ar, através das formas, por contato com concreto já existente e, geralmente, com a rocha de
fundação.
Nas barragens as chamadas camadas de concreto têm espessuras L não maiores que 2,5m e
volumes V entre 1.000 e 2.000m3
. A reação de hidratação do cimento já acontece no instante em que se
inicia a fabricação do concreto e em geral este é lançado nas formas em até 20 minutos durante os quais
se despreza, sem erro apreciável, o calor dissipado pelas caçambas dos transportadores. Em outras
palavras: no tocante a perda de calor, concreto fabricado é, praticamente, concreto lançado nas formas.
A operação de concretagem de uma camada – lançamento de V m3
de concreto nas formas – é
feita pelo lançamento de camadas sucessivas (sub-camadas) de espessura e de cerca de 20 a 30 cm e pode
demorar um tempo t em torno de 10 horas. Durante esse período boa quantidade Q do calor gerado pode
ser dissipada na atmosfera. Uma hipótese que pode ser adotada em um modelo para previsões de evolução
da temperatura, sem erro apreciável, consiste em admitir: 1 - que cada sub-camada de concreto seja
lançada instantaneamente, logo, sem perda alguma quantidade q de calor; 2 - que entre duas camadas
sucessivas ocorra um tempo de lançamento fictício durante o qual a mesma quantidade q de calor será
dissipada em condições próximas daquelas ocorridas durante o lançamento (e que são de simulação fácil).
Para V=1.500m3
com L=2,0m, por exemplo, t=8 horas, e=25cm e um bloco de 15mx50m com
750m2
de área, cada subcamada terá um volume de 187,5m3
que ficará exposto ao ar em torno de uma
hora até ser coberta pela sub-camada seguinte. Ao final da segunda hora após o início da concretagem da
primeira as condições de dissipação do calor ainda em geração na primeira camada são outras. E assim
sucessivamente até a última camada. A concretagem de uma segunda grande camada de, digamos,
L=1,7m sobre a primeira, poderá ocorrer algumas horas depois ou até alguns dias depois. Vê-se, por ai,
que o quadro "variação de temperatura" em um ponto qualquer de uma estrutura em construção pode ser
extremamente variável e só pode ser previsível depois de fixadas algumas das variáveis envolvidas.
Efeitos da variação da temperatura
Consideremos uma camada de concreto em execução e nela, a certa profundidade h, um cubo
imaginário (do mesmo concreto) com um par de faces horizontais. Esse cubo deve ter dimensões
adequadas de forma que suas propriedades sejam estatisticamente as mesmas do concreto em lançamento.
Inicialmente as tensões verticais (de compressão) sobre as faces consideradas, devidas exclusivamente ao
peso próprio do concreto, poderiam ser estimadas pela expressão h uma vez que o concreto ainda é bem
fluido. À medida que o concreto endurece (formando o esqueleto) e a temperatura cresce, as mencionadas
tensões aumentam de valor porque além do peso próprio do concreto (que não foi substancialmente
alterado) a expansão térmica atua empurrando o cubo para cima. O mesmo “empurrão” acontece em
qualquer direção. Em tenra idade o concreto apresenta pequeno módulo de elasticidade e grande fluência
(deformação sobre carga constante); a tensão de compressão que ocorre durante certo tempo, associada
com a temperatura em elevação, é pequena. Entretanto, quando a temperatura começar a diminuir (por
exemplo, por queda da temperatura exterior ao sólido), mesmo depois de o módulo ter aumentado e
atingido certo valor, poderão ocorrer tensões de tração. Estas tensões são as “tensões térmicas” - como
são chamadas ordinariamente as tensões de origem térmica – e devem ser controladas, pois se elevadas
acima da capacidade do concreto de resisti-las (por tração), provocam fissuras no interior do mesmo. É
fácil entender que tais fissuras podem comprometer seriamente, de alguma forma, o desempenho da
estrutura ao longo do tempo; por exemplo: provocando perda de resistência do concreto, diminuindo sua
impermeabilidade e facilitando a corrosão de armaduras.
Os métodos de dosagem dos concretos vêm sendo desenvolvidos desde a sua descoberta. O
combate ao fenômeno bem idoso da fissuração do concreto jovem, decorrente de tensões de origem
térmica, já vem sendo executado desde os anos 1930 pela adição de certas pozolanas (cinzas) à mistura.

3. 3
Mais tarde passou-se a utilizar água gelada (até agregados refrigerados) para inibir a subida da
temperatura durante a hidratação, com isso conseguindo-se variação relativamente pequena de
temperatura e, conseqüentemente, tensões térmicas de tração suportáveis pelo concreto nessas idades.
Todas essas ações de combate aos efeitos térmicos, entretanto, podem ser bastante onerosas, o que pode
restringir o uso desse material de construção.
A aplicação dos concretos sem estudos preliminares pormenorizados, criteriosos e ajuizados
podem resultar em economias momentâneas ilusórias. O tempo mostrará as conseqüências fatídicas da
aventura adotada e serão reveladas, na melhor das hipóteses, pelos altos custos materiais dos reparos.
As bases dos cálculos térmicos
Um sólido em “estado de concretagem” é, pois, um campo transiente de temperaturas1
. Por
hipótese (que se verifica experimentalmente para as condições habituais) esse sólido é elástico a todo
instante, isto é, ele se comporta a todo instante como o sólido da Teoria da Elasticidade. Como seus
pontos se deslocam (desigualmente) no espaço, é também um campo de deslocamentos, logo um campo
de deformações e, portanto, sendo válida a lei de Hooke, um campo de tensões. Assim, o maior valor
principal de tração do tensor das tensões num ponto de tal sólido é que deverá ser utilizado para verificar
se ali poderá ocorrer ou não fissura. Esses campos podem e devem ser calculados com a finalidade de
prever situações; a esses cálculos dá-se o nome genérico de cálculos térmicos.
O problema dos cálculos térmicos é, a princípio, algo complexo, pois depende das condições de
trabalho do elemento estrutural em moldagem. Observe-se, entretanto, que, em geral, durante um tempo
relativamente grande pós concretagem, além das tensões térmicas atuam tensões apenas devidas ao peso
próprio do concreto (o sólido ainda não está desempenhando suas funções normais como a de resistir a
empuxo hidrostático e cargas diversas). Vê-se, assim, que o problema é mais simples uma vez que a
vertical é uma direção principal do tensor (instantâneo) das tensões em qualquer ponto. Além disso, como
em nenhum instante o sólido trabalha além do seu limite de elasticidade, podem somar-se
(algebricamente, em forma tensorial) as tensões decorrentes dos vários esforços solicitantes.
As barragens, entretanto, devido à sua grande altura e volume de concreto, são moldadas em
“blocos”, havendo os “blocos do vertedouro”, os “blocos da tomada d’água”, os “blocos dos muros de
transição” etc. Tais blocos têm comumente a forma aproximada de um prisma com quatro geratrizes
horizontais (paralelas ao eixo da barragem) com 10 a 20 m de comprimento e seção vertical em trapézio.
Esse trapézio (a seção da barragem) em geral é um trapézio retângulo, a distância entre seus lados
paralelos sendo dita a “altura” da barragem. Os blocos são moldados em camadas sucessivas
sensivelmente horizontais de até 2m de espessura (ou altura) podendo, em dado instante durante a
construção, um bloco estar mais alto que outro, seja este vizinho ou distante do primeiro, tudo
dependendo do planejamento de concretagens elaborado. Do ponto de vista construtivo, estas camadas
são escolhidas, em geral e em princípio, um tanto aleatoriamente, ao sabor do desejo do planejador e mais
tarde, em função dos acontecimentos e necessidades detectadas durante a construção, o que implica
mudanças até freqüentes nos planos de concretagem dos vários blocos. Essas alterações de curso de
concretagem, por implicarem diferentes condições de dissipação de calor, acarretam novos cálculos
térmicos que têm sempre as mesmas finalidades, a cada situação correspondendo um campo de
temperaturas, logo um campo de tensões.
Do ponto de vista dos cálculos previsores, há que se considerar a grande variabilidade na
geometria adota em um planejamento qualquer de concretagens. Assim, deve ser considerado que as
camadas possam ter espessuras diferentes, ter formas irregulares e podem ser executadas com concretos
diferentes; o que influi fortemente nos resultados finais. Uma camada pode apresentar todas as faces
planas, constituindo um tronco de prisma, ou um tronco de pirâmide; e/ou ter as faces curvas,
constituindo um tronco de cilindro (uma abertura de seção circular horizontal como um poço, ou vertical
como uma galeria), ou parte plana e parte curva (como uma galeria com paredes planas e teto cilíndrico).
Para além dos cálculos térmicos existe o problema da forma de apresentação dos resultados que
vise ao perfeito e rápido entendimento da solução encontrada. Para tal, a experiência mostra que é
interessante uma apresentação gráfica do campo de temperaturas que, por si só, já indica os pontos, ou
regiões, onde possam ocorrer as indesejáveis fissuras de origem térmica. O campo todo é visto com muita
1
Campo é qualquer região do espaço a cada ponto da qual está associada uma propriedade (seja esta escalar, vetorial ou tensorial de
ordem elevada). Se a propriedade varia com o tempo, o campo é transiente; se não, é estacionário, ou permanente.

4. 4
simplicidade com o traçado das linhas isotérmicas (caso de campo bidimensional, ou campo 2D) ou das
superfícies isotérmicas (caso de campos tridimensionais, ou 3D). A apresentação do caso 2D é
relativamente simples a atende um bom bocado de situações reais; a do caso 3D é mais complexa, porém
não tão freqüente quanto a primeira. O caso 1D consiste apenas do traçado do gráfico “temperatura versus
distância do ponto” onde é calculada a temperatura. Devem ser desenvolvidos alguns programas
computacionais para essa finalidade.
Essas informações têm efeito didático sensível muito embora, na prática, venha interessar mais
destacadamente o ponto (ou região) de maior temperatura e o valor desta. De fato, pois se o concreto
resistir aos esforços térmicos nessa região, oriundos de quedas de temperatura, certamente resistirá em
qualquer outra.
Do ponto de vista construtivo, por outro lado, é necessária certa velocidade de obtenção e de
apresentação dos resultados para a definição do rumo do novo plano de concretagens. Esse é um
problema computacional que merece atenção especial em vista da dinâmica do processo construtivo que
visa aumento de produção de concretagens e diminuição de custos.
Praticamente nada do que se pretende conseguir é possível sem: 1) – o perfeito entendimento
químico e físico do fenômeno térmico em consideração; 2) - a formulação matemática real do campo, ou
melhor, do sólido, com todas as suas particularidades, e das leis físicas regentes do fenômeno; aqui,
química, física e matemática serão unidas mais uma vez para a resolução de um problema real; 3) –
eficiência computacional, o que se consegue com as melhores linguagens de programação e
computadores adequadamente configurados.
Em vista das condições possíveis de exposição de uma camada de concreto, quais sejam: contato
com a rocha de fundação, com outra camada de concreto, contato com o ar e com a radiação solar, devem
ser estudadas e formuladas matematicamente as leis de transferência (ou troca) de calor por condução, por
convecção e por radiação. Mais tarde, estando cheio o reservatório, haverá ainda transferência de calor
por convecção entre o concreto da barragem e a água do reservatório, quando então novos campos
térmicos serão estabelecidos na mesma. Nessa época, entretanto, alem dos deslocamentos devidos à
variação de temperatura (deslocamentos esses já bem suaves) deverão ser considerados aqueles devidos
ao empuxo das águas e à sub-pressão.
Deste ponto em diante, ou seja, barragem com reservatório cheio, todos os campos (o térmico, o de
deslocamentos, o de deformações e o de tensões) deverão apresentar-se aproximadamente de acordo com
um quadro teoricamente previsível durante o desenvolvimento conceitual do projeto. Mas isso só será
verificado se a obra for instrumentada, isto é, munida de instrumentos nela previamente instalados em
“pontos” escolhidos adequadamente. Esses pontos são ditos pontos instrumentados. Os instrumentos vão
fornecer informações convertíveis em valores de temperatura e deformações em geral. As fórmulas da
Teoria da Elasticidade (ou Plasticidade etc) completarão as informações pelo cálculo de deslocamentos e
tensões naqueles pontos. É evidente que os pontos instrumentados pertencem a algumas camadas,
constam de um projeto de instrumentação e surgirão durante a construção. Por isso mesmo, esses
instrumentos poderão ser usados também para confirmar os cálculos realizados para aquela época da
construção. Os termômetros, particularmente, poderão confirmar as previsões dos cálculos térmicos.

5. 5
§02 – HIPÓTESES ADOTADAS.
- Ponto fixo e sistema global de referência.
A estrutura (total ou parcial) de um bloco de uma barragem deve ter pelo menos um ponto fixo (do
contrário poderia deslocar-se pelo espaço quando sujeita à ação de alguma força). Podemos adotar: esse
ponto O por origem de eixos, uma paralela ao eixo da barragem por eixo OZ ou OX3
, suposto retilíneo, e
por plano coordenado XY, ou X1
X2
, perpendicular a OZ (logo, um plano paralelo a uma seção plana da
barragem, com abscissa Z=X3
=constante2
). Os vetores unitários de base associados a esses eixos serão
denotados por iˆ ou 1ˆe , jˆ ou 2ˆe e kˆ ou 3ˆe . O sistema fixo de referência O-XYZ, ou O-X1
X2
X3 com
seus vetores de base ({ iˆ , jˆ , kˆ }, ou { 1ˆe , 2ˆe , 3ˆe }) será dito “sistema global de referência”.
- O corpo da barragem como um conjunto de elementos enumeráveis
Utilizaremos aqui o método dos elementos finitos (MEF) e a Mecânica do Contínuo (MC) para a
resolução do problema proposto. Esse método, aproximado por natureza, mas suficientemente exato para
os nossos propósitos práticos. Ele consiste em substituir o corpo “contínuo” de infinitos pontos da MC, na
sua configuração de referência (no instante inicial), em um corpo ainda contínuo, mas composto por
milhares de pequenos elementos (logo, enumeráveis) de dimensões e formas adequadas – aqui, tetraedros
com ângulos diedros em geral menores que 90
– ligados uns aos outros pelas faces. Esse problema –
também dito “de geração de malha” - será aqui considerado satisfatoriamente resolvido de antemão por
meio de algum programa dedicado a essa finalidade.
Com esse procedimento torna-se possível enumerar (a partir de 1) todos os vértices dos tetraedros,
ditos os nós da estrutura, bem como todos os elementos tetraédricos (elementos finitos) que a compõem.
Esses dois números em geral são grandes, mas depende da natureza do problema a resolver e de vários
outros fatores. Com isso, é possível obter-se uma lista de todos os elementos numerados seqüencialmente
e os números dos nós que os definem. É evidente, assim, que um nó dado ao acaso poderá pertencer a
vários elementos. Num dado instante durante a construção, cada elemento poderá estar vazio ou
preenchido com um concreto de certa composição (traço) lançado em época conhecida, logo com certa
idade na época em que se faz a análise. Essas primeiras observações sobre o corpo que está sendo
moldado em concreto – um bloco de uma barragem – já permitem vislumbrar a complexidade do
problema em apreço: a previsão do “comportamento mecatérmico3
” instantâneo (em qualquer instante)
desse bloco.
- Tetraedro e sistema local de referência.
Vamos considerar um elemento tetraédrico qualquer dentre aqueles todos que, em número finito,
compõem aproximadamente corpo da estrutura, tetraedro esse suposto
conhecido pelas coordenadas dos seus nós (na configuração de
referência) em relação ao sistema global de referência O-X1
X2
X3
ou O-
XYZ. Vamos denotar esses nós por 1, 2, 3 e 4 e imaginar esses números
dispostos nesta seqüência sobre uma circunferência e no sentido horário;
as seqüências 123, 234, 341 e 412 e suas cíclicas são ditas positivas; as
demais (321, 432, 341 e 214) e suas cíclicas, negativas. O tetraedro será
dito positivamente orientado (Figura 2.1) quando, olhando-se uma face –
um triângulo - desde o vértice oposto de índice par (ou ímpar), ao
imaginar-se o perímetro do triangulo percorrido no sentido horário, seus
vértices sejam encontrados em alguma seqüência cíclica positiva (ou negativa).
Elejamos, no instante t, o nó 4, por exemplo, de um tetraedro positivamente orientado, 4-123,
como origem de um sistema local (não ortogonal) de coordenadas cartesianas, 4-xyz ou 4-x1
x2
x3
, sendo
4x1
4x dirigido segundo 41, 4x2
4y segundo 42 e 4x3
4z segundo 43 (Figura 2.1). Os vetores de origem
em 4 e extremidades em 1, 2 e 3, denotados por r1, r2 e r3, serão adotados como vetores de base desse
sistema. O ponto genérico R, interior ao tetraedro 4-123 e de vetor posicional r poderá, então, ser escrito
na forma em função das suas coordenadas xi
em relação aos vetores da base local,
2
Não é difícil adotar um sistema adequado quando o eixo da estrutura é curvilíneo.
3
Contração de mecânico e térmico. Influências da temperatura na própria reação que a gera – implicando efeitos secundários no
comportamento do bloco - serão discutidas em publicações futuras.

6. 6
i
i
3
3
2
2
1
1
xxxxR4 rrrrr  4
, sendo, ainda, ii
x r.r , (i=1,2,3) (2.1),
os ri
constituindo os vetores recíprocos dos vetores da base local (ver Apêndice 1).
Escreveremos ainda, em relação à base global:
k
k
3
3
2
2
1
1
ˆXˆXˆXˆXˆZˆYˆXOR eeeekjiR  , (k=1,2,3) (2.1)1,
e
k
k
ˆXˆZˆYˆXOR ekjiR   , (=1,2,3,4; k=1,2,3) (2.1)2.
Então, observando-se que r
r ˆˆ ee  porque a base { 1ˆe , 2ˆe , 3ˆe } é ortonormada, tem-se:
j
j
rr
4
r
j
jrrrr
x)ˆ(XˆxˆO4ˆ)4RO4(ˆX .ree.re.e.eR.  (r,j=1,2,3).
Para r=1,2,3, podemos escrever, em forma matricial:


































3
2
1
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
3
4
3
2
4
2
1
4
1
x
x
x
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
XX
XX
XX
.
.re.re.re
.re.re.re
.re.re.re
, (2.1)3,
expressão pela qual podemos passar das coordenadas locais de um ponto para as coordenadas globais do
mesmo ponto. Sendo r
4
r
j
r
j XXˆ e.r , tem-se também:





































3
2
1
3
4
3
3
3
4
3
2
3
4
3
1
2
4
2
3
2
4
2
2
2
4
2
1
1
4
1
3
1
4
1
2
1
4
1
1
3
4
3
2
4
2
1
4
1
x
x
x
XXXXXX
XXXXXX
XXXXXX
XX
XX
XX
. , (2.1)4.
Modelos lineares para os campos.
- Ao ponto genérico R de um elemento qualquer de uma camada qualquer podem estar associadas
propriedades: escalares, como a temperatura T interessada; vetoriais, como o deslocamento u; diádicas,
como os tensores de tensões e deformações,  e e; triádicas etc. O corpo parcial da barragem (em
qualquer época) é, pois, campo transiente dessas grandezas supostas definidas por funções de n-ésima
classe, isto é, ela e suas n primeiras derivadas são funções unívocas e contínuas do ponto.
- Vamos adotar modelos lineares de variação das grandezas no interior do elemento genérico e
num instante qualquer. Isto significa que:
para o campo de temperatura: 4TT  r.a , (2.2),
com T=T4 para r=o e a vetor constante à determinar;
para o campo de deslocamentos: 44. u.ruru   , (2.3);
com u=u4 para r=o e  à determinar.
Assim, T e u são, respectivamente, as transformações lineares (TL) de r mediante as constantes à
determinar a e , no instante t.
§03 – CONSIDERAÇÕES GEOMÉTRICAS E TÉRMICAS.
Como o ponto genérico R é não exterior ao tetraedro 4-123, então, a todo instante, o volume (rrjrk)5
, para
j,k=1,2,3 e jk, é nulo se r tem extremidade sobre o lado jk, ou igual a seis vezes o volume V do tetraedro
se r=ri e ijk ou, ainda, é menor que (r1r2r3)=6V se r é interior ao triângulo 123. Por exemplo,
conforme (2.1), no instante t,
4
Expressões monômias contendo índices repetidos representam somas cujas parcelas são obtidas dando ao índice repetido todos os
valores do seu campo de variação previamente estabelecido.
5
Ver Apêndice I sobre “Vetores”.

7. 7
)(
)(
)(
x
321
32
321
321
rrr
rrr
rrr
rr
.r 

 ;
logo 0x1
1 porque o volume VR423=(rr2r3) do tetraedro de vértices (R,4,2,3) é menor que o volume
V=(r1r2r3) do tetraedro de arestas (4,1,2,3). Em resumo:
1
V
V
x0 R4231
 .
Como esses mesmos resultados são válidos para os outros dois tetraedros de vértices (R,4,3,1) e (R,4,1,2),
de volumes VR431=(rr3r1) e VR412=(rr1r2), respectivamente,
1x0 ii
 r.r , (i=1,2,3) (3.1)1,
sendo, ademais
1x0
3
1i
i
3
1i
i
 

rr. , (3.1)2,
pois:
VR423+VR431+VR412+VR123=V, (3.1)3.
Então, se pusermos, por definição, x4
=VR123/V, virá, em vista de (3.1)3:
1x
4
1



, (3.1)4.
Os números reais x
são denominadas em Geometria as coordenadas tetraédricas do ponto R.
Denotando-se por A
o vetor área da face (triangular) oposta ao vértice  do tetraedro, apontando
para o exterior do tetraedro (Figura 3.1, para =4), e lembrando que
2A1
=-r2r3, ..., escrevemos:
3V
i
i A
r  , (i=1,2,3) (3.1)5.
Sendo, ainda
1332212123
4
)()(21232 rrrrrrrrrrA  ,
resulta:
oAAAA  4321
, (3.1)6,
A soma das coordenadas tetraédricas instantâneas x
dos pontos da face 123 é igual a 1 porque em
(3.1)3 é VR123=0. Para os pontos interiores ao tetraedro, a soma (3.1)4 - sempre menor que 1, conforme
(3.1)2 - é igual à projeção de r sobre a normal à face 123.
Determinação das constantes nas leis lineares
Suponhamos conhecidas, para =1,2,3,4, as temperaturas T e os deslocamentos u nodais num
instante qualquer de evolução dos respectivos campos. Nesse instante, o vetor a e o diádico  são
determinados com facilidade. De fato, como (2.2) e (2.3) são válidas para todo r não exterior a 4-123,
podemos aplicá-las aos nós, sendo, então, no instante t:
4ii TT  r.a e 4ii ur.u  , para i=1,2,3, (3.2),
donde

8. 8
i
4i )TT( ra  e i
4i )( ruu  , (i=1,2,3), (3.3),
ou, considerando (3.1)5 e (3.1)6:

Aa T
3V
1
 , e 
 Au
3V
1
 (=1,2,3,4) (3.3)1.
Gradiente de temperaturas e deslocamentos
No instante t as superfícies isotérmicas no interior do tetraedro são planos paralelos, pois (2.2) dá
T0-T4=a.r=constante. A normal comum a esses planos tem a direção do vetor T que apontará no sentido
em que a temperatura cresce. Assim, por exemplo, se a todo instante T4, digamos, é maior que as demais,
então T, calculado num ponto P, apontará sempre para o semi-espaço (definido pelo plano isotérmico
que passa por P) em que se encontra o vértice 4.
Considerando ainda (2.2), lembrando que r e o 4T , tem-se:
aT , (3.4),
vetor esse – dito doravante, o vetor gradiente das temperaturas - que pode ser imaginado aplicado, por
exemplo, no centro de massa do tetraedro, com a finalidade de exibir a direção e o sentido do crescimento
da temperatura em cada elemento tetraédrico.
Sendo, ainda, para k=1,2,3,
4kkk4 TT)T(T  a.r.r ,
ou, simplificando a notação pela lembrança de que o campo de temperaturas é transiente:
)T(T
||
1
ˆˆ)T(T 4k
k
kk4 
r
ra.r. , (3.5).
Vê-se por (3.5) que a projeção do vetor gradiente de temperaturas na direção de uma aresta do tetraedro
concorrente em 4, é diretamente proporcional à diferença de temperatura dos nós correspondentes à aresta
e inversamente proporcional ao comprimento dessa aresta (o que é fisicamente intuitivo).
Analogamente, obtém-se o diádico gradiente de deslocamentos:
u , (3.6),
seus autovalores e autovetores (todos constantes no elemento) fornecendo os (mesmos) valores
extremados instantâneos dos deslocamentos nos pontos e as direções correspondentes em que estas
ocorrem. Como se tenha também, de (2.3), no elemento e no instante t,
)(
||
1
ˆˆ)( 4k
k
kk4 uu
r
r.r.uu   , (3.7),
vê-se que a projeção do diádico gradiente de deslocamentos na direção de uma aresta do tetraedro
concorrente em 4, é um vetor paralelo ao vetor diferença de deslocamentos dos nós correspondentes à
aresta por unidade de medida dessa aresta.
Em vista de (3.6) o tensor de deformações, , é o mesmo em todos os pontos do elemento, sendo
igual à parte simétrica de , sim. Os autovalores e os autovetores de sim darão os valores extremados das
deformações e as direções em que ocorrem.

9. 9
Distribuição de T e u num elemento
Considerando (3.1)1 escrevemos:
)TTT.(xTxTxT 3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1 rrrr  .
Vamos somar a parcela T4x4
a ambos os membros dessa expressão. No primeiro membro teremos a soma
x
T com =1,2,3,4. Vamos substituir no segundo membro x4
pela soma dos demais x e substituir essa
soma pela consideração de (3.1)2. Obtém-se:
)(TT)T.(Tx
3
1
i
44
i
iα
α



i
rr.rr para i=1,2,3, ou 4
i
4
i
iα
α
T)TT(Tx  rrr. .
Considerando que dentro dos parênteses está subentendida uma somatória em i podemos escrever:
4
i
4iα
α
T)TT(Tx  rr. . Finalmente, considerando (3.3) e em seguida (2.2) resulta, em relação ao
referencial local:


 TxT , =1,2,3,4, (3.6).
Similarmente ao caso das temperaturas, podemos deduzir:


 uu x , =1,2,3,4, (3.7).
Vê-se que as temperaturas e os deslocamentos seguem leis de distribuição análogas, (3.6) e (3.7),
respectivamente. As coordenadas tetraédricas (locais) x
do ponto genérico R do campo são funções de
interpolação quando estas grandezas devam ser expressas como funções lineares das temperaturas e
deslocamentos nodais. Elas definem os quinhões (percentuais porque a soma delas é igual a 1) com que
cada temperatura ou deslocamento nodal entra na composição de T ou u no ponto R.
*
§04 – BALANÇO DE ENERGIA.
O fluxo de calor pelo corpo da estrutura em construção varia com o elemento tetraédrico considerado e
com o tempo (§1). Em cada elemento:
1) - calor será gerado pela reação de hidratação do cimento;
2) - calor circulará por condução porque o concreto do elemento está em contato com o
concreto de outro elemento, circulará por convecção se alguma face do elemento estiver em contato com
algum fluido (ar e água, geralmente) e circulará por irradiação se o elemento estiver exposto ao sol;
3) - calor será retido no elemento, aumentando sua energia interna.
Como essas quantidades de calor postas em jogo são variáveis com o tempo, devemos considerar,
num instante qualquer, as taxas (quantidade de calor por unidade de tempo) com que esses diversos
calores deverão entrar num balanço instantâneo conduzido respeitando-se a lei da conservação da
energia. A realização desse balanço é um problema complexo do ponto de vista geométrico e será
resolvido a seguir. Do ponto de vista físico bastará utilizar as leis de transferência de calor estudadas na
Física, as quais serão revistas no parágrafo seguinte.
§04.01 - Uma geometria conveniente para o balanço
Consideremos um nó qualquer da estrutura, digamos o nó 4, e todos os P tetraedros que têm esse
nó comum; esses P tetraedros serão referidos doravante como os 4-tetraedros. Uma face de um desses
tetraedros poderá ser comum a algum outro ou pertencer à fronteira do corpo. Suporemos que por algum
procedimento computacional já tenhamos detectado os P tetraedros dos 4-tetraedros e dentre esses, os p
deles que tenham faces comuns e os P-p que tenham faces na fronteira do corpo.
Pretendemos encontrar geometricamente um hexaedro que, tendo apenas o nó 4 comum com o
tetraedro 4-123, tenha ¼ do seu volume.
Recordemos inicialmente que medianas de um tetraedro são os segmentos que ligam cada vértice
ao baricentro da face oposta e que bimedianas são os segmentos que ligam os pontos médios dos seus
lados opostos. Um tetraedro tem, pois, quatro medianas e três bimedianas. É sabido que todas as

10. 10
medianas e bimedianas de um tetraedro concorrem no seu baricentro G, o qual se encontra à meia
distância dos pontos médios dos lados opostos e aos ¾ das medianas a partir dos vértices (Figura 4.1).
Denotemos por ij o ponto médio do lado ij e por ijk o baricentro da face ijk (para i,j=1,2,3,4). Pode
demonstrar-se que o hexaedro (Figura 4.2) cujas faces são os quadriláteros (4,14,412,24), (4,24,234,31) e
(4,14,341,31) - com áreas equivalentes a 1/3 da área de cada face de 4-123 – e suas respectivas opostas:
(31,341,G,234), (14,412,G,341), (24,412,G,234), tem ¼ do volume V de 4-123 (ver Ap.2). Por serem
estas faces definidas por baricentros (de lados ou de faces do tetraedro), serão denominadas faces
baricêntricas do hexaedro. As três faces com G comum serão sempre internas ao tetraedro 4-123.
Procedendo-se da mesma forma com todos os tetraedros dos 4-tetraedros, seja 4 um nó de fronteira
ou não, teremos definido um poliedro, “envolvendo” o nó 4, cujas faces (quadriláteros) são os tercetos de
faces internas a cada um dos P tetraedros dos 4-tetraedros; e cujo volume é igual a ¼ da soma dos
volumes dos 4-tetraedros. Tal poliedro6
será referido como o 4-poliedro relativo ao nó 47
e terá 3P faces
quadriláteras no máximo. Este nó será interior ao seu poliedro se ele não pertencer à fronteira da
estrutura; ou será a interseção de três ou mais das faces do poliedro se ele pertencer à fronteira.
Por conseqüência da construção geométrica realizada, a cada nó da estrutura corresponderá um e
apenas um poliedro e o conjunto desses será equivalente a toda a estrutura. A soma dos volumes de todos
os poliedros e a soma das áreas de suas faces na fronteira será igual, respectivamente, ao volume de toda a
estrutura considerada e à área de toda a sua fronteira.
§04.02 – A equação do balanço de energia.
Consideremos as quantidades de calor postas em jogo relativamente ao tetraedro 4-123 (um do P
tetraedros definidores do 4-tetraedro).
A taxa de calor externo ao tetraedro 4-123 - calor que entra (vindo de fora do elemento), somada
com o gerado internamente – e a taxa de calor interno, ou calor nele armazenado, devem ser repartidas
em quatro partes iguais (pois são proporcionais ao volume), cabendo uma parte para cada hexaedro que o
compõe (ver §04.01). Logo, essas taxas de calor interno e externo, relativas ao poliedro que envolve o nó
4 são iguais a ¼ da soma das taxas dos calores que entram ou são gerados em cada um dos P tetraedro
com nó 4 comum.
Entretanto, cada taxa de calor que sai do 4-poliedro, cada uma relativa a um hexaedro,
corresponde à soma das taxas correspondentes relativas a cada face baricêntrica desse hexaedro,
existindo, pois, até 3P parcelas. No tetraedro 4-123 essas faces são: (34,341,G,234), (24,412,G,234) e
(14,412,G,341); e por serem sempre internas à estrutura, por elas o calor circulará de dentro para fora do
hexaedro, sendo necessário os cálculos das taxas correspondentes.
6
Não convexo, em geral, porque o plano do quadrilátero de uma face de um hexaedro pode não deixar os demais planos dos
quadriláteros das faces dos outros hexaedros em um mesmo semi-espaço.
7
A cada vértice do tetraedro corresponde um hexaedro com ¼ do volume do tetraedro.

11. 11
Assim, um “balanço de energia térmica”, a ser verificado em cada tetraedro, deve também ser
verificado para cada hexaedro de um nó, a saber:
quantidade de calor gerado no hexaedro(por hidratação do cimento), na unidade de tempo
+
quantidade q de calor que entra num hexaedro através de suas faces baricêntricas, por condução
(proveniente de tetraedros vizinhos), na unidade de tempo
=
quantidade de calor q + Δq que sai do hexaedro através das faces baricêntricas, por condução ou radiação,
na unidade de tempo
+
variação de energia interna da massa de concreto no hexaedro, na unidade de tempo.
§04.01 – Energia gerada pelo concreto.
Se Qh é a quantidade de calor gerada exclusivamente pela hidratação de certa massa  de cimento
ao longo de certo tempo, qh= Qh/ é a quantidade de calor gerada pela hidratação de uma massa unitária
do mesmo cimento, em outro tempo, sendo evidente que qh depende apenas da natureza do cimento e do
tempo (mas não do ponto, pois o fenômeno é idêntico em todos os pontos). Havendo geração de calor, há
também variação de temperatura.
A quantidade de calor necessária para elevar-se de 1C, em processo adiabático, a temperatura de
uma massa unitária de um cimento, entendido este como um corpo termicamente homogêneo, é o seu
“calor específico”, c; logo, dqh=c dT e a taxa de calor necessária será
t
T(t)
c
t
(t)qh





,
justificando-se a derivada parcial pela observação já feita de que o fenômeno é idêntico em todos os
pontos da massa.
O ensaio dito “ensaio de calor de hidratação” permite determinar a função
t
(t)qh


. Para elevar-
se adiabaticamente de TC certa massa  de cimento, a taxa de calor necessária
t
(t)Qh


será:
)
t
T(t)
c(
t
T(t)
c
t
Q(t)








,
sendo adequado, e até conveniente, escrever-se o último membro naquela forma. De fato, porque a
determinação da expressão entre parênteses pode ser conseguida experimentalmente pelo chamado
“ensaio de elevação adiabática de temperatura” da massa , escrevendo-se, para lembrar isto:
t
T(t)
t
Tad





.
Assim,
t
)t(T
c
t
Q(t) ad





, (4.1).
A quantia tTad  , por representar a variação (aumento) de temperatura do concreto com o tempo
(em processo adiabático), é dita elevação adiabática da temperatura do concreto.
§04.02 – Energia armazenada no concreto (variação de energia interna).
A energia (quantidade de calor) necessária para elevar de TC a temperatura (interna) de uma
massa elementar dm de concreto é dm c T; logo a taxa dessa energia, isso é, a taxa de variação da energia

12. 12
calorífica interna intenE desse elemento é dm c dT/dt. Como T não varia com o ponto na massa dm, é
conveniente a representação da taxa de calor por tTcdm  . Como dm= dV, resulta:
dV
t
T
cE int.en


 , (4.3).
§04.03 – Transferência de calor por condução.
Esta é a transferência de calor entre o maciço de concreto (termicamente isotrópico) e algum corpo
(outro corpo de concreto, a rocha de fundação da estrutura), sem movimento relativo de massas. No ponto
corrente R da superfície S de contato entre os corpos, é válido escrever-se (lei diferencial de Fourier):
dSˆTkdq n. , (4.4),
onde K o coeficiente (constante) de condutividade térmica do concreto (em cal/m.s.C) (ver Ap. I) e dq a
quantidade de calor (em cal) que atravessa a área elementar dS (em m2
) perpendicular ao vetor unitário
nˆ , na unidade de tempo (s).
É sabido que T é um vetor que aponta para o sentido do crescimento da temperatura em R e
dSˆn é o vetor área no ponto, ortogonal a S. Como o calor flui dos pontos de temperatura mais alta para
aqueles de temperaturas mais baixas, o ângulo dos mencionados vetores deve ser sempre obtuso; o que
justifica o sinal negativo da lei (4.4) para que seja dq>0.
§04.04 – Transferência de calor por convecção.
É a transferência de calor entre o maciço de concreto e o(s) fluido(s) que o envolvam (água e/ou
ar). Escreve-se, para o ponto R do maciço em contato:
)T-(TdShdq c  , (4.5),
sendo:
hc = coeficiente de transferência de calor do concreto, por convecção (em cal/m2
C),
(ver Ap.I),
dS = área ( em m2
) da superfície do maciço de concreto, à volta de R, pela qual flui a
quantidade de calor dq (em cal);
T = temperatura (em C) da superfície do maciço em R;
T = temperatura do meio que circunda o maciço em R.
§04.05 – Transferência de calor por radiação.
É o processo de emissão, pelo concreto do maciço, no ponto R, de energia radiante, cuja
quantidade e qualidade dependem de sua temperatura:
)T(TdSdq 44
 , (Boltzmann) (4.6),
sendo:
dq = quantidade de calor (em cal) emitida pelo concreto na unidade de tempo (em s);
 = constante de Boltzmann;
 = emissividade da superfície do concreto (ver Ap.I);
dS = área da superfície do maciço (em m2
), à volta de R, pela qual flui a quantidade de
calor dq;
T = temperatura absoluta da superfície do maciço à volta de R (=273,18+C);
T = temperatura absoluta do ambiente que envolve o maciço, em R.
§04.06 – Equação do balanço para os nós do tetraedro.
Balanço para um poliedro (que envolve um nó)

13. 13
Mostraremos agora que para a determinação do campo de temperaturas no corpo da estrutura, é
conveniente conhecer-se o que se passa termicamente em torno de cada nó da estrutura, por recorrência a
um balanço de energia aplicado a cada poliedro que envolve esse nó. Vamos considerar o nó 4 como um
nó genérico da estrutura, bem como o tetraedro 4-123 do 4-poliedro.
Os P tetraedros do 4-tetraedro terão Q pares de faces comuns com 4123 se 4 não pertencer à
fronteira da estrutura. Ao efetuar-se o balanço de energia no poliedro relativo ao nó 4, dever-se-á
considerar fluxo por condução pelas faces baricêntricas de cada hexaedro que o compõe, e fluxo por
condução e radiação se 4 pertencer à fronteira, pois nesse caso alguma face do poliedro será coincidente
com parte da fronteira da estrutura.
Assim, se no elemento hexaédrico e, pertencente ao tetraedro e de volume Ve, a temperatura no
ponto genérico é Te, devemos escrever (lembrando que seu volume é igual a ¼Ve):
e
e
eeee
e
ae
ee
V
t
T
cρ
4
1
)hexaedrodofacesastodasdeárea(.Tk
V
t
T
cρ
4
1






 e
, com e=1,2,...,P, (4.7),
e somar membro a membro as equações relativas a todos os hexaedros para obter a equação final do
balanço. Como os vetores área das faces dos hexaedros, internas ao poliedro, se destroem aos pares (por
serem vetores opostos) a somatória indicada no segundo membro de (4.7) fica reduzida à soma dos
vetores área das faces baricêntricas dos hexaedros, ou seja:




 P
1e
e
P
1e
e
e q
t
F
4
1
, (4.7)1,
com
Fe=eVece=mece e aeee TT  , (4.7)2,
e
 )decasbaricêntrifacesárea.(Tkq ee4e e , (4.7)3.
O escalar q4e é a quantidade de calor que sai do hexaedro e pelas faces baricêntricas, por condução, na
unidade de tempo.
*
Convém observar, considerando (4.7)3, que no segundo membro de (4.7)1 estão estabelecidas duas
somas: uma (em e) para todos os elementos e outra (soma dos vetores área) em cada elemento. Impõe-se,
assim, no momento, o cálculo da soma dos vetores área dessas faces, ou seja, das faces: (34,341,G,234),
(24,412,G,234) e (14,412,G,341) do tetraedro 4123 cuja expressão poderá ser aplicada a qualquer
hexaedro e. Temos:
- vetor área da face (14,412,G,341)= )14341()14412(341,14412,14  .
Sendo:
)(
3
1
412 421 rrr  , )(
2
1
14 14 rr  , e )(
3
1
341 431 rrr  ,
com r4=o (o nó 4 foi tomado como origem do sistema local), resultam:
)(
3
1
412 21 rr  , 1
2
1
14 r , )(
3
1
341 31 rr  ,
logo,
21
3
1
6
1
14412 rr  e 31
3
1
6
1
14341 rr  .
Assim:

14. 14
área da face (14,412,G,341)=  )
3
1
6
1
()
3
1
6
1
( 3121 rrrr
)2(
18
)(
)2(
18
1 321321
211332 rrr
rrr
rrrrrr  .
Expressões análogas podem ser obtidas para as duas outras faces; tem-se:
área da face (24,412,G,234)= )2(
18
)( 321321
rrr
rrr

e
área da face (34,341,G,234)= )2(
18
)( 321321
rrr
rrr
 .
A soma dos vetores área é, então:
  i321
18
)(4
areas r
rrr
,
donde, considerando (3.1)5,:
4
9
4
areas A  , (4.8).
Aplicando esse resultado para o elemento e, escrevemos:
)
9
4
.(kq e
4
ee4e Aa , (4.9),
A4
e sendo o vetor área da face oposta ao nó 4 do tetraedro e.
*
Lembrando (3.4) e a expressão de a dada pela primeira das igualdades (3.3)1, a expressão (4.7)1
pode, agora, ser escrita em função dos 4P vetores áreas das faces dos 4-tetraedros (ou elementos), dos
volumes desses tetraedros e das temperaturas dos seus vértices (nós), na forma:
 
 





 P
1e
4
e
4
1
ee
e
e
P
1e
e
e ]).T(
V
k
[
27
16
t
F AA , (e=1,2,...,P) (4.10).
ou, em forma matricial:
   



































4e
3e
2e
1e
24
e
3
e
4
e
2
e
4
e
1
e
4
e
P
1e e
e
P
P21
T
T
T
T
)(
V
k
27
16
t
F...FF .A.AA.AA.AA. , (4.11).
*
Por outro lado, lembrando (3.1)5 e a primeira das igualdades (3.3) que desenvolvida torna-se
e4
i
i
eei
i
ee T)(T  rra ,
escrevemos (4.09) na forma
]T)()T.[(Vk
3
4
q e4
2
3
1i
i
eei
3
1i
i
e
i
eee4e 

 rrr , (4.12).

15. 15
Assim, podemos escrever a equação (4.07)1 de equilíbrio em função dos vetores recíprocos das bases
locais dos 4-tetraedros na forma
 



 P
1e
e4
i
2i
eei
i
e
i
*
eee
P
1e
e
e ]T)(T).[(Vk
3
16
t
F rrr ,
ou, em forma matricial:
   






































 P
1e
4e
3e
2e
1e
i
2i
e
i
i
e
3
e
i
i
e
2
e
i
i
e
1
eee
P
2
1
P21
T
T
T
T
)(...Vk
3
16
...t
F...FF .rrrrrrr. , (4.13).
Caso particular
Se todos os elementos tetraédricos são preenchidos com o mesmo concreto as equações (4.11)1 e
(4.13) ficam reduzidas a
   

































 P
1e
4e
3e
2e
1e
24
e
3
e
4
e
2
e
4
e
1
e
4
e
e
2
P
P21
T
T
T
T
)(
V
1
h
27
16
t
V...VV .A.AA.AA.AA. , (4.14).
e
   






































 P
1e
4e
3e
2e
1e
i
2i
e
i
i
e
3
e
i
i
e
2
e
i
i
e
1
ee
2
P
2
1
P21
T
T
T
T
)(...Vh
3
16
...t
V...VV .rrrrrrr. , (4.15).
em que
c
k
h2

 , (4.16).
§04.06 – Equação do balanço de calor para todos os nós.
Os quinhões de calor de todos os nós
A igualdade (4.7)1 aplica-se a qualquer nó da estrutura e seu segundo membro foi reduzido ao
segundo membro da expressão (4.11), ou ao segundo membro da (4.14). Vamos representar esses
segundos membros por Q1, Q2, ..., QN em que N é o número total de nós da estrutura. Vale dizer que para
o nó de índice w, envolvido por um poliedro cujas faces são definidas por P tetraedros o segundo membro
de (4.14) é escrito na forma
w
P
1e
4e
3e
2e
1e
i
2i
e
i
i
e
3
e
i
i
e
2
e
i
i
e
1
eee Q
T
T
T
T
)(...Vk
3
16





















 

.rrrrrrr , (4.17),
e que o conjunto de todas essas igualdades pode ser escrita de forma única pela expressão matricial

16. 16













































































































N
k
j
i
w
1
NNNkNjNiNmN1
kNkkkjkikmk1
jNjkjjjijmj1
iNikijiiimi1
wNwkwjwiwww1
1N1k1j1i1m11
N
k
j
i
w
1
T
...
T
...
T
...
T
...
T
...
T
.
C...C...C...C...C...C
........................
C...C...C...C...C...C
........................
C...C...C...C...C...C
........................
C...C...C...C...C...C
..................
C...C...C...C...C...C
..................
C...C...C...C...C...C
Q
...
Q
...
Q
...
Q
...
Q
...
Q
, (4.18),
cujas matrizes têm o significado que passamos a expor.
O elemento genérico Qw da matriz coluna do primeiro membro
representa a quantidade de calor que sai pelas faces do seu w-poliedro.
Os elementos da matriz coluna do segundo membro são as temperaturas
dos nós da estrutura. Para mostrar como são constituídos os elementos
Crs da matriz quadrada NxN são necessárias várias considerações.
*
Inicialmente vamos aplicar a equação (4.17) para o caso de um nó
w interior à estrutura em que os w-tetraedros estejam definidos pelos nós
i, j, k, l (Figura 4.4), sendo: o de número 1, w-ijk, o de número 2, w-jkl, o
de número 3, w-kli e o de número 4, w-lij. É prudente observar-se que o tetraedro ijkl não é um elemento
tetraédrico.
As temperaturas serão:
T11=Ti, T21=Tj, T31=Tk, T41=Tw, para o elemento 1,
T12=Tj, T22=Tk, T32=Tl, T42=Tw, para o elemento 2,
T13=Tk, T23=Tl, T33=Ti, T43=Tw, para o elemento 3,
T14=Ti, T24=Tj, T34=Tk, T44=Tw, para o elemento 4.
Observa-se que as temperaturas nodais que participarão da escrita da equação de equilíbrio relativa ao w-
poliedro são as correspondentes a cada um dos nós dos w-tetraedros, quais sejam: Ti, Tj, Tk, Tl e Tw. As
constantes k dos concretos correspondentes a cada tetraedro serão denotadas por: kijk para o tetraedro 1,
kjkl para o tetraedro 2, kkli para o tetraedro 3 e klij para o tetraedro 4; os volumes dos tetraedros
correspondentes serão denotados por Vijk para o tetraedro 1 etc.. Tem-se, então, de (4.17):
 

















w
l
k
j
i
wwwwww
T
T
T
T
T
.JHGML
3
16
Q , (4.19),
com:
 

3
1
lij
i
4lijlij
3
1
kli
i
3klikli
3
1
ijk
i
1ijkijkw VkVkVkL r.rr.rr.r ,
 

3
1
lij
j
4lijlij
3
1
jkl
j
2jkljkl
3
1
ijk
j
1ijkijkw VkVkVkM r.rr.rr.r ,
 

3
1
kli
k
3klikli
3
1
jkl
k
2jkljkl
3
1
ijk
k
1ijkijkw VkVkVkG r.rr.rr.r ,

17. 17
 

3
1
lij
l
4lijlij
3
1
kli
l
3klikli
3
1
jkl
l
2jkljklw VkVkVkH r.rr.rr.r ,
2
3
1
lijlijlij
2
3
1
jkljkljkl
3
1
2
ijkijkijkw )(Vk)(Vk)(VkJ  
 rrr .
A inserção desses resultados para o nó w em (4.18) agora é simples; tem-se:













































































































N
k
j
i
w
1
wkwjwiwww1
N
k
j
i
w
1
T
...
T
...
T
...
T
...
T
...
T
.
0...0...0...0...0...0
........................
0...0...0...0...0...0
........................
0...0...0...0...0...0
........................
0...0...0...0...0...0
..................
0...G...M...J...J...H
..................
0...0...0...0...0...0
Q
...
Q
...
Q
...
Q
...
Q
...
Q
, (4.20),
devendo notar-se que: 1) - tendo sido w o primeiro nó a considerar no balanço térmico, apenas os
elementos dos postos wl, ww, wi, wj e wk da matriz [C] são diferentes de zero; 2) - cada um desses
elementos é uma soma de quatro parcelas porque temos quatro tetraedros a considerar, mas uma das
parcelas é nula necessariamente (o que se contata facilmente pelo cálculo de Qw com (4.17)).
À medida que efetuamos o balanço de energia (por aplicação de (4.14)) para o poliedro de cada nó
da estrutura, nos postos da matriz [C] vão se acumulando valores (positivos ou negativos, dados por
parcelas do mesmo tipo que as de Lw, Mw etc.) tudo dependendo de cada nó, dos vértices dos tetraedros
que lhes correspondem e dos concretos que os preenchem.
A matriz [C] especificada, embora dependa fortemente da geometria da discretização, é
denominada simplesmente de matriz de condutividade térmica da estrutura.
Consideração da troca de calor por convecção e radiação
Existirão novas parcelas nas expressões de Mw, Gw, ..., caso uma face de algum w-tetraedro seja
uma porção da fronteira da estrutura e caso haja possibilidade de troca de calor por ela. Suponhamos, para
exemplificar, que na Figura 4.4 a face ijk esteja em contato com algum fluido e/ou exposta à radiação
solar, logo havendo trocas de calor.
Devemos integrar (4.5) e (4.6), considerando a lei linear (2.2).
)STdST(hq 123
123
cconv   e )STdST(q 123
4
123
4
rad   .
A distribuição de T pela face 123 é linear, isso é, o segmento ortogonal ao plano 123 conduzido
pelo ponto genérico R (extremidade do vetor r) e com medida T pertence ao plano  que contem as
extremidades dos segmentos ortogonais a 123 conduzidos por 1, 2 e 3 com as medidas T1, T2 e T3,
respectivamente. Assim, a 123
dST representa o volume do tronco de prisma de base 123 e face oposta ,
ou seja
TSdST 123
123
 com )TTT(
3
1
T 321  , (4.20).
Logo,
)TT(Shq 123cconv  , (4.21).
Da mesma forma poderemos escrever:

18. 18
)TT(Sq 44
123rad  , (4.22),
em que 4
T é a media das quartas potências das temperaturas T1, T2 e T3.
Como se vê, por algum procedimento computacional se deverão conhecer quais faces de quais
elementos tetraédricos são fronteira da estrutura para que se possa, por meio de (4.21) e (4.22), calcular as
correspondentes quantidades de calor cedidas aos meios.
Na construção de barragens (no Brasil, com seu clima predominantemente tropical) as quantidades
de calor cedidas por convecção por uma estrutura, e recebidas por irradiação, em geral são pequenas
quando comparadas com as cedidas por condução; nesse caso podem ser desprezadas. Em algumas
situações desprezam-se apenas as quantidades de calor absorvidas por radiação.
*
Um só concreto
Em muitas aplicações um só tipo de concreto ocupa todos os elementos tetraédricos; o que acarreta
apenas uma pequena simplificação às expressões. De fato, todos os concretos têm o mesmo k, mas isto é
muito pouco porque os elementos tetraédricos da estrutura não foram alterados. Para o exemplo
apresentado, relativo à Figura 4.4, as expressões de Lw, Mw ...em (4.19) serão as seguintes, nada muito
mais simples que as anteriores:
)VVk(VL
3
1
lij
i
4lij
3
1
kli
i
3kli
3
1
ijk
i
1ijkw  
 r.rr.rr.r ,
)VVk(VM
3
1
lij
j
4lij
3
1
jkl
j
2jkl
3
1
ijk
j
1ijkw  
 r.rr.rr.r , etc..
Isto permite que concluamos serem os problemas térmicos muito mais complexos e trabalhosos do ponto
de vista geométrico do que do ponto de vista físico, pois em geral os elementos tetraédricos definidores
da estrutura são diferentes (embora parecidos).
*
Consideração do membro transiente
A equação (4.13) é válida para o 4-poliedro que é definido por P tetraedros. A mesma equação é
aplicável com as devidas mudanças para um w-poliedro qualquer, sendo, porém, P=P(w). Seja  a
variável que conta os nós da estrutura e  a que conta os seus elementos tetraédricos, o que
representaremos por:
N1  e E1  ,
sendo, evidentemente N o número total de nós da estrutura e E o numero total de elementos tetraédricos
da mesma. Por meio de algum procedimento computacional deveremos conhecer os nós que definem o
elemento .
Em vista desses critérios de numeração, vamos definir a seguinte variável:




 

,elementodonóénãose0,
elemento;dessenóése,elementodocm
F
b
e com ela montar a matriz NxE de elemento genérico F. Vamos denominar essa matriz de matriz mc da
estrutura e com ela escrever o primeiro membro de (4.13) para toda a estrutura. Tem-se, então:

19. 19





































































E
w
2
1
NENwN2N1
wEwww2w1
2E2w2221
1E1w1211
N
w
2
1
...
...
t
F...F...FF
.........
F...F...FF
.........
F...F...FF
F...F...FF
Q
...
Q
...
Q
Q
. , (4.21).
Equação final
Resulta para equação final do balanço de energia para toda a estrutura e expressão
[C].{T}}
t
F].{[ 


, (4.22),
em que [F] é a matriz NxE dos mc da estrutura (que contempla massas de concretos nos tetraedros de
volume V e seus calores específicos), [C] é a matriz, quadrada de ordem N, de condutividade térmica da
estrutura (que contempla as condutividades térmicas dos concretos utilizados, dos meios com que a
estrutura esta em contato e a geometria dos tetraedros), }
t
{


é a coluna das taxas de variação da
temperatura em relação à temperatura adiabática de cada elemento e {T} é coluna das temperaturas
nodais.

20. 20
APÊNDICE 1
VETORES RECÍPROCOS
Sejam a, b, ...vetores e A, B ... escalares. Suporemos conhecidas as operações de adição de
vetores, multiplicação de vetor por escalar e as multiplicações escalar, vetorial e mista de vetores; e estas
serão denotadas, respectivamente, por: a+b, Aa, a.b, ab e (abc).
O produto vetorial ab é um vetor cujo módulo é igual à área do paralelogramo construído sobre
os vetores a e b. Assim, imaginados os vetores aplicados coinicialmente num mesmo ponto, o módulo de
ab é igual ao dobro da área do triângulo cujos vértices são esse ponto comum e suas extremidades.
Se a, b e c são vetores não coplanares, então quando aplicados coinicialmente num mesmo ponto
do espaço, esse ponto e suas extremidades definem um tetraedro – dito tetraedro associado ao terno -
cujo volume V é tal que 6V)( abc . Logo, a condição necessária e suficiente para que três vetores a, b e
c sejam não coplanares é que o produto misto deles seja diferente de zero: 0)( abc .
Chamam-se vetores recíprocos do terno a, b e c de vetores não coplanares, e se os denotam por a*
,
b*
e c*
, os vetores:
)(abc
cb
a


)(abc
ac
b


)(abc
ba
c


.
Esses vetores gozam das seguintes propriedades:
1. 
aa , 1. 
bb , 1. 
cc
e
0..  
caba , 0..  
cbab , 0..  
bcac ,
das quais podemos deduzir, ainda:
1))(( 
cbaabc
Dessas duas propriedades podemos deduzir que se a*
, b*
e c*
é o terno recíproco de a, b e c, então a, b e c
é o terno recíproco de a*
, b*
e c*
, pois
)( 



cba
cb
a
)( 



cba
ac
b
)( 



cba
ba
c ;
ou seja, qualquer terno é recíproco do outro. Diz-se que a*
e a são homólogos, bem como b*
e b e c*
e c.
O ângulo definido por vetores homólogos é sempre agudo (bastando isso para que eles sejam diferentes
em geral).
Os vetores
cbA 
2
1
, acB 
2
1
e baC 
2
1
são denominados os vetores área das faces que definem no tetraedro e apontam para o exterior do
mesmo. Então:
3V
A
a 
,
3V
B
b 
e
3V
C
c 
,
isto é, os vetores recíprocos de um terno são paralelos aos vetores área das faces do tetraedro associado a
esse terno.

21. 21
Denotando-se por D o vetor área da face oposta ao vértice comum ao terno a, b e c, pode
comprovar-se que:
0 DCBA ,
isto é: é nula a soma dos vetores área das faces de um tetraedro.
Todos os ternos de vetores não coplanares são linearmente independentes, isso é, não existe
nenhuma combinação linear entre eles, do tipo Xa+Yb+Zc=o, sem que X, Y e Z sejam simultaneamente
não nulos; o que significa que (abc)0. Vetores linearmente independentes servem de referência para
quaisquer outros vetores do espaço; são ditos, por isso, vetores de base. Nesse sentido, qualquer vetor do
espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de base. Pode ser comprovado que:

 ccvbbvaavccvbbvaavvabccbav ).().().().().().(:0)(com,,, ,
mas

 avav .. , 
 bvbv .. e 
 cvcv .. .
A expressão acima é denominada a decomposição cartesiana de v na base a, b, c e os escalares v.a*
, v.b*
e v.c*
as coordenadas cartesianas contravariantes do vetor v em relação à base a, b, c. Da mesma forma,
v.a, v.b e v.c são as coordenadas cartesianas covariantes do vetor v em relação à base a*
, b*
, c*
.
Sejam u, v e w vetores quaisquer (coplanares ou não) cujas decomposições cartesianas na base a,
b e c e sua recíproca a*
, b*
e c*
são:

 cbacbau cba
cba
UUUUUU ,

 cbacbav cba
cba
VVVVVV

 cbacbaW cba
cba
WWWWWW .
Então:
cba
cba
cba
cba
VVV
UUU)(
VVV
UUU)(
cba
cba
cba
abcvu 


e
cba
cba
cba
cbA
cba
cba
WWW
VVV
UUU
)(
WWW
VVV
UUU
)()( 
 cbaabcuvw
Quando os vetores de base a, b e c são vetores unitários e ortogonais entre si, a base que lhes
corresponde é dita ortonormada; e estas são denotadas em geral por iˆ , jˆ e kˆ sendo 1)ˆˆˆ( kji . As bases
ortonormadas são idênticas às suas recíprocas e as coordenadas covariantes e contravariantes de qualquer
vetor são idênticas. Então, pondo:
kjiu ˆUˆUˆU 321  , kjiv ˆVˆVˆV 321  e kjiw ˆWˆWˆW 321 
vem
321
321
VVV
UUU
ˆˆˆ kji
vu  e
321
321
321
WWW
VVV
UUU
)( uvw .

22. 22
APÊNDICE 2
TETRAEDRO DE VOLUME ¼ DO VOLUME DE OUTRO

23. 23
Cálculo cartesiano dos vetores recíprocos de cada tetraedro.
Vamos listar os vértices de cada tetraedro em que foi subdividido o corpo da estrutura e adotar
arbitrariamente um desses vértices como referência (em cada tetraedro). Ordenemos os outros três
vértices numa seqüência tal que o triedro definido por eles seja positivo. Seja então w-123 o elemento
tetraédrico genérico com um sistema local de origem w; os vetores da base direta local serão r1, r2 e r3.
Denotemos por Rv (v=1,2,...,N) o vetor posicional do nó de índice
v da estrutura (ou de todos os elementos tetraédricos) e ponhamos:
kjiR ˆZˆYˆX v3v2v1v  ,
em relação ao referencial global. Em relação ao sistema local (de origem
w):
kjiRRr w
ˆ)ZZ(ˆ)YY(ˆ)XX( wiwiwiii  , (i=1,2,3),
ou, pondo
iwwi XXX  , iwwi YYY  e iwwi ZZZ  para i,=1,2,3 com iw
kjir ˆZˆYˆX iwiwiwi  , (i=1,2,3).
O produto misto (rirjrk) é numericamente igual ao volume do paralelepípedo construído sobre os
vetores; e este é igual a 6 vezes o volume do tetraedro w-ijk, como temos acentuado. Então:
V6
1ZYX
1ZYX
1ZYX
1ZYX
ZYX
ZYX
ZYX
)(
www
kkk
jjj
iii
kwkwkw
jwjwjw
iwiwiw
kji rrr .
Com a ordenação adotada para os vértices do tetraedro, o produto misto (rirjrk) é positivo
necessariamente.
Sabendo-se que
)( kji
kji
rrr
rr
r

 ,
)( kji
ikj
rrr
rr
r


)( kji
jik
rrr
rr
r

 ,
vem:
i
kwkwkw
jwjwjwkj 2
ZYX
ZYX
ˆˆˆ
A
kji
rr  ,
j
iwiwiw
kwkwkwik 2
ZYX
ZYX
ˆˆˆ
A
kji
rr  , k
jwjwjw
iwiwiwji 2
ZYX
ZYX
ˆˆˆ
A
kji
rr  .
Pondo, ainda:
kjiA ˆAˆAˆA s3s2s1s
 (s=i,j,k),
resultam:
kwkw
jwjwi1
ZY
ZY
2
1
A  ,
kwkw
jwjwi2
ZX
ZX
2
1
A  e
kwkw
jwjwi3
YX
YX
2
1
A  .

24. 24
iwiw
kwkwj1
ZY
ZY
2
1
A  ,
iwiw
kwkwj2
ZX
ZX
2
1
A  e
iwiw
kwkwj3
YX
YX
2
1
A  .
jwjw
iwiwk1
ZY
ZY
2
1
A  ,
jwjw
iwiwk2
ZX
ZX
2
1
A  e
jwjw
iwiwk3
YX
YX
2
1
A  .
e, por conseqüência,
k1j1i1w1
AAAA  , k2j2i2w2
AAAA  e k3j3i3w3
AAAA  .
É conveniente observar-se que, em vista de (4.7)3, de (3.3)1 e (3.1)5, o valor do quinhão q4e de
calor cabível ao vértice m do tetraedro m-123 depende apenas do concreto que o preenche, das áreas de
suas faces e dos ângulos diedros que a face 123 define com as outras três.
§05 – CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS NODAIS.
Consideremos o tetraedro genérico de número e , 4-123, pertencente ao conjunto dos P tetraedros
com nó 4 comum. Por hipótese são conhecidas as temperaturas nos seus nós no instante inicial: T40, T10
..., quando suas arestas têm comprimentos conhecidos (as coordenadas iniciais dos nós são conhecidas).
Num instante qualquer t as temperaturas nesses nós, T4, T1, ... são calculadas como exposto
anteriormente, pretendendo-se agora calcular os novos comprimentos das arestas e suas novas direções no
espaço.
Vamos denotar por a , para (,=1,2,3,4) e , os vetores arestas iniciais de 4-123 com sentido
do vértice  para o vértice . Dentre os vetores a , três quaisquer concorrentes num mesmo vértice são
independentes. Mas observando que   aa , vê-se que ao se adotar por terno de vetores de base
qualquer um dentre os concorrentes num vértice, digamos a41, a42, e a43, os outros três vetores – no caso,
a12, a23 e a31 - são coplanares na face oposta a este vértice. Então:
0))(( 434241
123123 aaaaaa , ou, 0
0
0
0
42
12
41
12
43
31
41
31
43
23
42
23

.aa.aa
.aa.aa
.aa.aa
.
Algum recurso computacional nos permite conhecer, dentre os P tetraedros com nó 4 comum,
quais aqueles que têm a aresta a também comum. Entre o instante inicial e o instante t, a aresta a foi
transformada em a e esta transformação será operada por uma superposição de dois estágios.
Num primeiro estágio, o comprimento de a variou de uma quantidade igual ao produto da
média  dos coeficientes de dilatação térmica dos concretos que preenchem os tetraedros que têm a
comum, pela variação de temperatura dos nós que a definem: )TT(   a . O vetor d=a, para
certo  e certo , representa a variação de comprimento da aresta a na sua própria direção, por unidade
de variação de temperatura entre os vértices, o que permite escrever a variação de comprimento de a na
forma )TT(  d . Neste estágio, cada um dos nós,  e , foi deslocado da metade da variação do
comprimento na direção de a .
Num segundo estágio deveremos considerar os deslocamentos que  e  sofreram como nós
pertencentes a arestas de outros tetraedros, tal como considerado anteriormente. Esta é uma forma
aproximada de definir a posição de cada vértice no espaço e no instante t: considerar que as arestas
concorrentes nesse vértice sofreram as mencionadas variações de comprimento nas suas próprias direções
e somar os vetores correspondentes. Assim, denotando por 4 o vetor deslocamento no instante t do nó 4,
escrevemos:
)TT()TT()TT(2 4334422441144  ddd , (5.01).

25. 25
Expressões análogas a (5.01) podem ser escritas para os deslocamentos dos demais nós, já expressos em
função dos vetores da base local e dos vetores arestas da face oposta à origem local. Tem-se,:
4114311321121 )TT()TT()TT(2 ddd   ,
)TT()TT()TT(2 2112244223322  ddd ,
e
)TT()TT()TT(2 3223311334433  ddd .
Lembrando que d=-d podemos escrever:
1414131312121 )TT()TT()TT(2 ddd  ,
)TT()TT()TT(2 2112242423232  ddd ,
)TT()TT()TT(2 3223311334343  ddd ,
e
)TT()TT()TT(2 4334422441144  ddd .
Tem-se, então, para expressão da matriz coluna dos vetores deslocamentos dos vértices do
elemento tetraédrico em apreço:
}T].{[}{ eee A , (5.02),
com













4
3
2
1
e 2}{




 ,













4
3
2
1
e
T
T
T
T
}T{ , (5.03),
e

















342414342414
343423132313
242324231212
141312141312
e ][
dddddd
dddddd
dddddd
dddddd
A , (5.04).
A matriz 4x4 [Ae] é degenerada, pois a soma dos vetores de qualquer coluna é igual a zero, bem
como a soma dos vetores de qualquer linha. Por ser d=a, o vetor da quarta linha e quarta coluna é o
oposto da soma dos produtos dos vetores arestas concorrentes em 4 pelas médias dos coeficientes de
dilatação e eles associados; os demais elementos da diagonal principal têm igual interpretação.
*
Ainda a título de aplicação devemos estender a expressão (5.01) para o nó w da Figura 4.4; e o
faremos como habitualmente, aplicando (5.01) para cada elemento tetraédrico com nó w comum. Esse
vetor é a soma dos 4 vetores seguintes, cada um relativo a um tetraedro:
- para w-ijk: ])TT()TT()TT[(
2
1
wkwkwjwjwiwiwijk ddd 
- para w-jkl: ])TT()TT()TT[(
2
1
wlwlwkwkwjwjwjkl ddd 
- para w-kli: ])TT()TT()TT[(
2
1
wiwiwlwlwkwkwkli ddd 
- para w-lij: ])TT()TT()TT[(
2
1
wjwjwiwiwlwlwlij ddd  .

26. 26
Somando esses vetores, e expressando essa soma em forma matricial, vem:
 

















w
l
k
j
i
wlwkwjwiwlwkwjwiw
T
T
T
T
T
)(
2
3
.dddddddd .
Devemos agora escrever as expressões dos vetores deslocamentos de todos os nós que definem o
w-tetraedro da Figura 4.4, pela aplicação de (5.02) para cada tetraedro. Teremos:
- para o tetraedro w-ijk:











































w
k
j
i
kwjwiwkwjwiw
kwkwjkikjkik
jwjkjwjkijij
iwikijiwikij
w
k
j
i
T
T
T
T
.2
dddddd
dddddd
dddddd
dddddd




;
- para o tetraedro w-jkl:











































w
l
k
j
lwkwjwlwkwjw
lwlwkljlkljl
kwklkwkljkjk
jwjljkjwjljk
w
l
k
j
T
T
T
T
.2
dddddd
dddddd
dddddd
dddddd




;
- para o tetraedro w-kli:









































w
i
l
k
iwlwkwiwlwkw
iwiwlikiliki
lwlilwliklkl
kwkiklkwkikl
w
i
l
k
T
T
T
T
.2
dddddd
dddddd
dddddd
dddddd




,
- para o tetraedro w-lij:











































w
j
i
l
jwiwlwjwiwlw
jwjwijljijlj
iwijiwijlili
lwljlilwljli
w
j
i
l
T
T
T
T
.2
dddddd
dddddd
dddddd
dddddd




,
Vamos denotar por d, para =i,j,k,l,w, a soma dos vetores com origem no nó  e extremidade
nos demais nós, isso é:
iwilikiji ddddd  , jwjljkjij ddddd  , etc.
Então, por superposição dos efeitos, as quatro expressões matriciais escritas podem ser resumidas na
única seguinte:



























































w
l
k
j
i
wlwlwkwjwiw
lwlwlkljlil
kwklkwkjkik
jwjljkjwjij
iwilikijiwi
w
l
k
j
i
T
T
T
T
T
33d333
3d2222
32222
32222
32222
2 .
ddddd
ddddd
dddddd
dddddd
dddddd





, (5.05).

27. 27