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Series infinitas

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Series infinitas

  1. 1. SERIES INFINITAS Prof. Emma Yendis 1
  2. 2. SERIES INFINITAS Conocimientos Previos Necesarios Prof. Emma YendisSuma y Producto de Fracciones, Métodos deIntegración, Integración Impropia y Cálculode Límites en el Infinito. 2
  3. 3. SERIES INFINITAS• Si Un es una sucesión y Sn= u1+ u2+ u3+…+ un entonces Sn es una sucesión de sumas parciales denominadas series infinitas.• Y se denota por:• Los números Prof. Emma Yendis son los términos de la serie infinita. 3
  4. 4. SERIES INFINITAS• Suma de una serie infinita: Considere queDenota una serie infinita dada, para la cualSn es la sucesión de sumas parciales. Siexiste y es igual a S, la serie es convergente y Ses la suma. De lo contrario, la serie diverge y notiene suma. Prof. Emma Yendis 4
  5. 5. SERIES INFINITAS• Serie Armónica: Es una serie infinita de la siguiente forma:• Teorema: La Serie Armónica es divergente.• Serie Geométrica: Prof. Emma Yendis 5
  6. 6. SERIES INFINITAS• La serie geométrica es una serie infinita en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante. Donde a es un número y r es la constante o razón de la serie.• Teorema: La serie geométrica converge a la suma si |r|< 1, y diverge si |r|< 1 o Prof. Emma Yendis |r|= 1 6
  7. 7. SERIES INFINITAS• EJEMPLOS:a) La serie geométrica: Prof. Emma Yendis 7
  8. 8. SERIES INFINITASb) La serie geométrica:c) La serie geométrica: Prof. Emma Yendis 8
  9. 9. SERIES INFINITAS Criterios de ConvergenciaI. Criterio del término general para la Divergencia:Si la Sucesión no converge a 0, la seriees divergente. Ejemplos: (a) Para la serie: Prof. Emma Yendis 9
  10. 10. SERIES INFINITAS Criterios de Convergencia (b) Para la serie:Se puede aplicar regla de L’HopitalComo la sucesión no converge a 0, entonces, la Prof. Emma Yendisserie diverge.NOTA: En los casos en los que el límite converge a cero, no quiere decir que lasucesión converge, simplemente el criterio no se aplica en esos casos y hay que usarotro criterio. 10
  11. 11. SERIES INFINITAS Criterios de ConvergenciaII. Criterio de la integral: Condiciones para aplicar el criterio. La función sucesión debe ser:i. Continua.ii. Decreciente.iii. De valores positivos. Prof. Emma YendisEntonces, la serie será convergente si existe , pero si es igual adiverge. 11
  12. 12. SERIES INFINITAS Criterios de Convergencia Ejemplos: (a)Determine si la serie es convergente o divergente aplicando criterio de la integral: (*) 0 0 Prof. Emma Yendis(*) Esta integral se halla por método de integración por partes, y ha sido desarrollada en 12clase anteriormente, revise sus apuntes.
  13. 13. SERIES INFINITAS Criterios de ConvergenciaEjemplos:(b)Determine si la serie es convergente odivergente aplicando criterio de la integral: (*) Prof. Emma Yendis(*) Esta integral se halla usando método de sustitución, donde u=Ln(x) ydu=1/x dx 13
  14. 14. SERIES INFINITAS Criterios de ConvergenciaIII. Criterio de la Razón o Cociente: Sea una serie con términos positivos y suponga que . Entonces:a) La serie converge si p<1.b) La serie diverge si p>1 o infinito.c) El criterio no es concluyente si p=1. Prof. Emma Yendis 14
  15. 15. SERIES INFINITAS Criterios de ConvergenciaEjemplos: Investigue la convergencia de lassiguientes series aplicando criterio de la razón:(a) Prof. Emma Yendis 15
  16. 16. SERIES INFINITAS Criterios de Convergencia(b) Prof. Emma Yendis 16
  17. 17. SERIES INFINITAS Tabla Resumen de Criterios de Convergencia Prof. Emma YendisFuente: Larson y otros. 17
  18. 18. SERIES INFINITAS Tabla Resumen de Criterios de Convergencia Prof. Emma YendisFuente: Larson y otros. 18
  19. 19. BIBLIOGRAFÍA• Larson, R. y otros. Cálculo y Geometría Analítica. Volumen I. 6ta. Edición. – Capítulo 8, Pág. 633-673• Leithold, L. El Cálculo. 7ma. Edición. −Capítulo 8, Pág. 659-696• Thomas, G. Cálculo, Varias Variables. Undécima Prof. Emma YendisEdición. −Capítulo 11, Pág. 761-792 19

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