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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NAYARIT
INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA
Procesamiento Digital de Señales
M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca
UNIDAD 3
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
A veces un poco de intuición e ingenio conduce a una reducción
considerable en la complejidad, y a veces también a mejoras en su
velocidad.
– Roger Penrose, La mente nueva del emperador, 1996, México.
Procesamiento Digital de Señales
M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de
sistemas LTI
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Se han estudiado las herramientas para la transformada Z directa tanto de
señales como de sistemas. También se estudió la recuperación desde el
dominio 𝑍 siempre y cuando se conozca la expresión en 𝑍 y la 𝑅𝑂𝐶.
Se estudiará el uso de la función de transferencia para determinar la
respuesta del sistema a una señal de excitación. Se hará especial énfasis en
el uso de los polos y los ceros de los sistemas de ecuaciones en diferencias
de coeficientes constantes con condiciones iniciales arbitrarias.
Se conocerá una prueba para determinar la estabilidad de un sistema
basado en los coeficientes del polinomio del denominador de la función de
transferencia.
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 3
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 4
Ejemplo 3.5.1: Determine la convolución de dos secuencias de longitud
infinita ℎ 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑢 𝑛 y 𝑥 𝑛 = 𝐴 𝑢 𝑛 .
Respuesta: Para determinar la convolución utilizaremos la transformada 𝑧.
La transformada 𝑍 de cada secuencia es:
𝐻 𝑧 =
𝑛=0
∞
𝑎 𝑛 𝑧−𝑛 =
1
1 − 𝑎𝑧−1
, 𝑧 > 𝑎 ,
𝑋 𝑧 =
𝑛=0
∞
𝐴𝑧−𝑛 =
𝐴
1 − 𝑧−1
, 𝑧 > 1
Por tanto, la transformada 𝑍 de la convolución es
𝑌 𝑧 = 𝐻 𝑧 𝑋 𝑧 =
𝐴
1 − 𝑎𝑧−1 1 − 𝑧−1
=
𝐴𝑧2
𝑧 − 𝑎 𝑧 − 1
, 𝑧 > 1
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 5
Ejemplo 3.5.1:
Donde suponemos que 𝑎 < 1 de forma que la intersección de las 𝑅𝑂𝐶 es
𝑧 > 1.
Los polos y los ceros son
donde se puede ver que la 𝑅𝑂𝐶 es la intersección.
Im 𝑧
Re 𝑧
𝑅𝑂𝐶
𝑎 1
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 6
Ejemplo 3.5.1:
La secuencia 𝑦 𝑛 se puede obtener determinando la transformada 𝑍
inversa. La descomposición en fracciones simples de 𝑌 𝑧 es
𝑌 𝑧 =
𝐴
1 − 𝑎
1
1 − 𝑧−1
−
𝑎
1 − 𝑎𝑧−1
, 𝑧 > 1
Tomando la transformada inversa de cada termino se obtiene
𝑦 𝑛 =
𝐴
1 − 𝑎
1 − 𝑎 𝑛+1 𝑢 𝑛
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
De lo visto antes, consideramos que la función de transferencia esta dada
por
𝐻 𝑧 =
𝐵 𝑧
𝐴 𝑧
3.5.1
Donde 𝐴(𝑧) es el polinomio que determina los polos del sistema. La señal de
entrada, 𝑥(𝑛) tiene una transformada 𝑧 racional 𝑋(𝑧) de la forma
𝑋 𝑧 =
𝑁 𝑧
𝑄 𝑧
3.5.2
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 7
Respuesta de sistemas con funciones de transferencia racionales
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Entonces considerando que el sistema esta inicialmente en reposo, 𝑦(−1) =
𝑦(−2) = ⋯ = 𝑦(−𝑁) y uniendo (3.5.1) y (3.5.2), la TZ de la salida del sistema
tiene la forma
𝑌 𝑧 = 𝐻 𝑧 𝑋 𝑧 =
𝐵 𝑧 𝑁 𝑧
𝐴 𝑧 𝑄 𝑧
3.5.3
Los polos del sistema se denominan p1, p2,.., pN y los polos de la señal de
entrada son q1, q2,…,qL, donde los polos son diferentes, 𝑝 𝑘 ≠ 𝑞 𝑚 para todo k
=1,2,…, N y m = 1,2,…,L. Consideremos también que los polos y los ceros no se
cancelan. Entonces, la expansión en fracciones parciales de la salida es de la
forma
𝑌 𝑧 =
𝑘=1
𝑁
𝐴 𝑘
1 − 𝑝 𝑘 𝑧−1
+
𝑘=1
𝐿
𝑄 𝑘
1 − 𝑞 𝑘 𝑧−1
3.5.4
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 8
Respuesta de sistemas con funciones de transferencia racionales
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
La TZ-1 de Y(z) proporciona la señal de salida del sistema en la forma
𝑦 𝑛 =
𝑘=1
𝑁
𝐴 𝑘 𝑝 𝑘
𝑛
𝑢(𝑛) +
𝑘=1
𝐿
𝑄 𝑘 𝑞 𝑘
𝑛
𝑢(𝑛) 3.5.5
El primer sumatorio es la respuesta natural del sistema y es función
de los polos pk. Ak es influenciado por la señal de entrada.
El segundo sumatorio es la respuesta forzada del sistema y es
función de los polos qk de la señal de entrada. Qk es influenciada por
el sistema.
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 9
Respuesta de sistemas con funciones de transferencia racionales
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Si 𝑋(𝑧) y 𝐻(𝑧) tienen uno o mas polos en común o tienen polos
de orden múltiple, la expansión en fracciones parciales es de la
forma
1
1 − 𝑝𝑙 𝑧−1 𝑘
para 𝑘 = 1,2, … , 𝑚, donde 𝑚 es el orden del polo. La TZ-1
producirá en la salida términos de la forma
𝑛 𝑘−1 𝑝𝑙
𝑛
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 10
Respuesta de sistemas con funciones de transferencia racionales
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
La respuesta en estado nulo de un sistema se puede separar en dos
componentes, la respuesta natural y la respuesta forzada.
La respuesta natural de un sistema causal tiene la forma
𝑦𝑛𝑟 𝑛 =
𝑘=1
𝑁
𝐴 𝑘 𝑝 𝑘
𝑛 𝑢(𝑛) 3.5.6
Donde, {pk}, k=1,2,…,N son los polos del sistema y {Ak} son los factores de
escala.
La respuesta transitoria de la respuesta natural del sistema ocurre si |pk|<1
para todo k y en consecuencia ynr(n) decrece hasta cero cuando n tiende a
infinito.
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
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Respuesta transitoria y en régimen permanente
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
La respuesta forzada del sistema tiene la forma
𝑦𝑓𝑟 𝑛 =
𝑘=1
𝐿
𝑄 𝑘 𝑞 𝑘
𝑛 𝑢(𝑛) 3.5.7
Donde {qk}, k=1,2,…,L son los polos de la función forzada y {Qk} son los
factores de escala.
Si |𝑞 𝑘| < 1, entonces 𝑦 𝑓𝑟(𝑛) = 0 cuando 𝑛 tiende a infinito. Si x(n) es una
sinusoide, |𝑞 𝑘| = 1 entonces la respuesta forzada es también una sinusoide
que existe para todo 𝑛 > 0 y se le conoce como la respuesta en régimen
permanente del sistema.
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 12
Respuesta transitoria y en régimen permanente
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 13
Respuesta transitoria y en régimen permanente
Ejemplo 3.5.2: Determine las respuestas transitoria y en régimen
permanente del sistema caracterizado por la ecuación en diferencias
𝑦 𝑛 = 0.5𝑦 𝑛 − 1 + 𝑥 𝑛
Si la señal de entrada es 𝑥 𝑛 = 10 cos
𝜋𝑛
4
𝑢(𝑛). El sistema esta
inicialmente en reposo.
Respuesta: El sistema es causal. Primero se obtiene la TZ del sistema
𝑌 𝑧 =
1
2
𝑧−1
𝑌 𝑧 + 𝑋(𝑧)
Se factoriza Y(z)
𝑌 𝑧 1 −
1
2
𝑧−1 = 𝑋(𝑧)
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 14
Respuesta transitoria y en régimen permanente
Ejemplo 3.5.2:
Y la función de transferencia es
𝐻 𝑧 =
𝑌 𝑧
𝑋 𝑧
=
1
1 −
1
2
𝑧−1
El sistema tiene un polo en 𝑧 = ½. La TZ de la señal de entrada es
cos 𝜔0 𝑛 u n
𝑍 1 − 𝑧−1
cos 𝜔0
1 − 2𝑧−1 cos 𝜔0 + 𝑧−2
Y como cos
𝜋
4
= 1/ 2, entonces
𝑋 𝑧 =
10 1 −
1
2
𝑧−1
1 − 2𝑧−1 + 𝑧−2
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 15
Respuesta transitoria y en régimen permanente
Ejemplo 3.5.2:
Entonces
𝑌 𝑧 = 𝐻 𝑧 𝑋(𝑧)
=
10 1 −
1
2
𝑧−1
1 −
1
2
𝑧−1 1 − 𝑒
𝑗
𝜋
4 𝑧−1 1 − 𝑒
−𝑗
𝜋
4 𝑧−1
=
−1.907
1 − 0.5𝑧−1
+
6.78𝑒−𝑗28.7°
1 − 𝑒 𝑗
𝜋
4 𝑧−1
+
6.78𝑒 𝑗28.7°
1 − 𝑒−𝑗
𝜋
4 𝑧−1
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 16
Respuesta transitoria y en régimen permanente
Ejemplo 3.5.2:
La respuesta natural o transitoria esta dada por los polos de la función de
transferencia, p1 = 0.5
𝑦𝑛𝑟 𝑛 = 1.907 0.5 𝑛 𝑢 𝑛
Y la respuesta forzada o de régimen permanente esta dada por polos de la
señal de entrada
𝑦𝑓𝑟 𝑛 = 6.78𝑒−𝑗28.7°
𝑒 𝑗
𝜋𝑛
4 + 6.78𝑒 𝑗28.7°
𝑒−𝑗
𝜋𝑛
4 𝑢(𝑛)
= 13.56𝑐𝑜𝑠
𝜋
4
𝑛 − 28.7° 𝑢(𝑛)
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 17
Respuesta transitoria y en régimen permanente
Ejemplo 3.5.2:
Señal de entrada:
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 18
Respuesta transitoria y en régimen permanente
Ejemplo 3.5.2:
Respuesta natural o transitoria Respuesta en forzada o en régimen
permanente
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
En el dominio del tiempo discreto, un sistema LTI causal es aquel que
satisface la condición
ℎ 𝑛 = 0, 𝑛 < 0 3.5.8
En el dominio de Z, un sistema LTI causal es aquel que cumple la condición:
Un sistema lineal invariante en el tiempo es causal si y sólo si la ROC de la
función de transferencia es el exterior de un circulo 𝑟 < ∞, incluyendo el
punto 𝑧 = ∞
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 19
Causalidad
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
En el dominio del tiempo discreto un sistema LTI es estable si se cumple
𝑛=−∞
∞
ℎ(𝑛) < ∞ 3.5.9
En el dominio de 𝑍, un sistema lineal invariante en el tiempo tiene estabilidad
BIBO si y sólo si la ROC de la función de transferencia incluye la
circunferencia unidad.
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 20
Estabilidad
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Un sistema LTI causal y estable debe tener una función de transferencia que
converja para |𝑧| > 𝑟 < 1. Además, la 𝑅𝑂𝐶 no puede contener ningún polo de
𝐻(𝑧).
Un sistema causal lineal invariante en el tiempo es estable BIBO si y sólo si
todos los polos de 𝐻(𝑧) se encuentran dentro de la circunferencia unidad.
Las condiciones para la causalidad y la estabilidad son diferentes y una NO
implica a la otra.
• Un sistema causal puede ser estable o inestable
• Un sistema no causal puede ser estable o inestable
• Un sistema inestable, puede ser causal o no causal
• Un sistema estable, puede ser causal o no causal
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 21
Causalidad y Estabilidad
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Ejemplo 3.5.2: Un sistema lineal invariante en el tiempo está caracterizado
por la función de transferencia
𝐻 𝑧 =
3 − 4𝑧−1
1 − 3.5𝑧−1 + 1.5𝑧−2
=
1
1 −
1
2
𝑧−1
+
2
1 − 3𝑧−1
Especifique la región de convergencia (ROC) y determine ℎ(𝑛) para las
condiciones siguientes:
a) El sistema es estable
b) El sistema es causal
c) El sistema es anticausal
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 22
Causalidad y Estabilidad
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 23
Causalidad y Estabilidad
Ejemplo 3.5.3:
Solución: El sistema tiene polos en 𝑧 =
1
2
y 𝑧 = 3.
a) Puesto que el sistema es estable, su 𝑅𝑂𝐶 debe incluir la circunferencia
unidad y por tanto
1
2
< 𝑧 < 3. En consecuencia, ℎ 𝑛 es no causal y está
dada por
ℎ 𝑛 =
1
2
𝑛
𝜇 𝑛 − 2 3 𝑛
𝜇 −𝑛 − 1
b) Puesto que el sistema es causal, su ROC es 𝑧 > 3. En este caso
ℎ 𝑛 =
1
2
𝑛
𝜇 𝑛 + 2 3 𝑛
𝜇 𝑛
Este sistema es inestable.
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 24
Causalidad y Estabilidad
Ejemplo 3.5.3:
Solución: El sistema tiene polos en 𝑧 =
1
2
y 𝑧 = 3.
c) Si el sistema es anticausal, su ROC es 𝑧 < 0.5. Por tanto
ℎ 𝑛 = −
1
2
𝑛
+ 2 3 𝑛 𝜇 −𝑛 − 1
En este caso, el sistema es inestable.
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Cuando una TZ tiene un polo que se encuentra en la misma posición que un
cero, estas se cancelan.
• Cuando la cancelación del polo-cero se produce en la función de
transferencia, se dice que el orden del sistema se reduce una unidad.
• Cuando la cancelación polo-cero se produce en el productos de la función
de transferencia con la señal, se dice que el polo del sistema queda
suprimido por el cero de la señal.
En consecuencias, se pueden suprimir polos tanto en la señal como en el
sistema.
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 25
Cancelaciones polo-cero
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 26
Cancelaciones polo-cero
Ejemplo 3.5.4: Determine la respuesta al impulso unitario del sistema
caracterizado por la ecuación en diferencias
𝑦 𝑛 = 2.5𝑦 𝑛 − 1 − 𝑦 𝑛 − 2 + 𝑥 𝑛 − 5𝑥 𝑛 − 1 + 6𝑥 𝑛 − 2
Solución: La función de transferencia es
𝐻 𝑧 =
1 − 5𝑧−1 + 6𝑧−2
1 − 2.5𝑧−1 + 𝑧−2
=
1 − 5𝑧−1 + 6𝑧−2
1 −
1
2
𝑧−1 1 − 2𝑧−1
El sistema tiene polos en 𝑝1 = 2 y 𝑝2 =
1
2
.
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
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Cancelaciones polo-cero
Ejemplo 3.5.4:
Por lo tanto la respuesta al impulso unitario es
𝑌 𝑧 = 𝐻 𝑧 𝑋 𝑧 =
1 − 5𝑧−1 + 6𝑧−2
1 −
1
2
𝑧−1 (1 − 2𝑧−1)
= 𝑧
𝐴
𝑧 −
1
2
+
𝐵
𝑧 − 2
Evaluando las constantes en 𝑧 = 2 y 𝑧 =
1
2
tenemos que
𝐴 =
5
2
, 𝐵 = 0
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
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Cancelaciones polo-cero
Ejemplo 3.5.4:
El hecho de que 𝐵 = 0 índica que existe un cero en 𝑧 = 2 que cancela el
polo en 𝑧 = 2. En realidad existen ceros en 𝑧 = 2 y 𝑧 = 3. De la ecuación
del numerados se obtiene
1
𝑧2
𝑧2 − 5𝑧 + 6 =
1
𝑧2
𝑧 − 2 𝑧 − 3
Entonces 𝐻 𝑧 se reduce a
𝐻 𝑧 =
1 − 3𝑧−1
1 −
1
2
𝑧−1
=
𝑧 − 3
𝑧 −
1
2
= 1 −
2.5𝑧−1
1 −
1
2
𝑧−1
y por tanto
ℎ 𝑛 = 𝛿 𝑛 − 2.5
1
2
𝑛−1
𝜇 𝑛 − 1
Haciendo la
división entre
ambos
binomios
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 29
Cancelaciones polo-cero
Ejemplo 3.5.4:
Para encontrar la ecuación en diferencias
𝐻 𝑧 =
𝑌 𝑧
𝑋 𝑧
=
1 − 3𝑧−1
1 −
1
2
𝑧−1
𝑌 𝑧 1 −
1
2
𝑧−1 = 𝑋 𝑧 1 − 3𝑧−1
𝑌 𝑧 −
1
2
𝑧−1
𝑌 𝑧 = 𝑋 𝑧 − 3𝑧−1
𝑋 𝑧
En el dominio de 𝑛
𝑦 𝑛 −
1
2
𝑦 𝑛 − 1 = 𝑥 𝑛 − 3𝑥 𝑛 − 1
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
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Cancelaciones polo-cero
Ejemplo 3.5.4:
Despejando para 𝑦(𝑛)
𝑦 𝑛 =
1
2
𝑦 𝑛 − 1 + 𝑥 𝑛 − 3𝑥(𝑛 − 1)
Aunque el sistema original es BIBO debido a la cancelación polo-cero, en
una implementación práctica de este sistema de segundo orden, podemos
tener una inestabilidad debida a la cancelación imperfecta del polo y del
cero.
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 31
Cancelaciones polo-cero
Ejemplo 3.5.5: Determine la respuesta del sistema
𝑦 𝑛 =
5
6
𝑦 𝑛 − 1 −
1
6
𝑦 𝑛 − 2 + 𝑥 𝑛
A la señal de entrada
𝑥 𝑛 = 𝛿 𝑛 −
1
3
𝛿 𝑛 − 1
Solución: La función de transferencia es
𝐻 𝑧 =
1
1 −
5
6
𝑧−1 +
1
6
𝑧−2
=
1
1 −
1
2 𝑧−1 1 −
1
3 𝑧−1
El sistema tiene dos polos, uno en 𝑧 = 1/2 y en 𝑧 = 1/3. La transformada 𝑍 de
la señal de entrada es
𝑋 𝑧 = 1 −
1
3
𝑧−1
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 32
Cancelaciones polo-cero
Ejemplo 3.5.5:
En este caso, la señal de entrada contiene un cero en 𝑧 = 1/3 que cancela
el polo en 𝑧 = 1/3. En consecuencia
𝑌 𝑧 = 𝐻 𝑧 𝑋 𝑧 =
1
1 −
1
2
𝑧−1
Por lo tanto, la respuesta del sistema es
𝑦 𝑛 =
1
2
𝑛
𝑢 𝑛
El modo 1/3 𝑛 se suprime de la salida como un resultado de la
cancelación polo-cero.
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Una señal de entrada esta acotada si sus polos son iguales o menores a la
unidad, 𝑞 𝑘 ≤ 1 para todo 𝑘. Sin embargo, la posición de los polos sobre la
circunferencia unidad, no aseguran la estabilidad de un sistema, si este a su
vez, tiene polos sobre la circunferencia unidad, en la misma posición.
Para asegurar que un sistema es estable BIBO, sus polos deben estar
estrictamente dentro de la circunferencia unidad, de tal manera, que una
señal acotada, producirá una salida acotada.
Los polos de orden múltiple dan lugar a una secuencia de la forma
𝐴 𝑘 𝑛 𝑏 𝑝 𝑘
𝑛 𝑢 𝑛 , 0 ≤ 𝑏 ≤ 𝑚 − 1
Donde 𝑚 es el orden del polo. Si el polo esta dentro de la secuencia unidad,
la salida decrecerá mientras 𝑛 → ∞.
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 33
Estabilidad de los sistemas LTI
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 34
Estabilidad de los sistemas LTI
Ejemplo 3.5.6: Determine la respuesta al impulsos del sistema causal
descrito por la ecuación en diferencias
𝑦 𝑛 = 𝑦 𝑛 − 1 + 𝑥 𝑛
Solución: La función de transferencia del sistema es
𝐻 𝑧 =
1
1 − 𝑧−1
Observe que el sistema contiene un polo sobre la circunferencia unidad en
𝑧 = 1. La transformada 𝑧 de la señal de entrada 𝑥 𝑛 = 𝑢 𝑛 es
𝑋 𝑧 =
1
1 − 𝑧−1
que también tiene un polo en 𝑧 = 1.
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 35
Estabilidad de los sistemas LTI
Ejemplo 3.5.6:
Por tanto, la señal de salida tiene la transformada
𝑌 𝑧 = 𝐻 𝑧 𝑋 𝑧 =
1
1 − 𝑧−1 2
que tiene un polo doble en 𝑧 = 1.
La transformada 𝑍 inversa de 𝑌 𝑧 es
𝑦 𝑛 = 𝑛 + 1 𝑢 𝑛
la cual es una señal en rampa. Por tanto, 𝑦 𝑛 no está acotada, incluso
cuando la entrada está acotada. Por tanto, el sistema es inestable.
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
En el caso de los sistemas de segundo orden descrito por la ecuación en
diferencias
𝑦 𝑛 = −𝑎1 𝑦 𝑛 − 1 − 𝑎2 𝑦 𝑛 − 2 + 𝑏0 𝑥 𝑛 3.5.10
La función de transferencia es
𝐻 𝑧 =
𝑌 𝑧
𝑋 𝑧
=
𝑏0
1 + 𝑎1 𝑧−1 + 𝑎2 𝑧−2
=
𝑏0 𝑧2
𝑧2 + 𝑎1 𝑧 + 𝑎2
3.5.11
El sistema tiene dos ceros en el origen y los polos en
𝑝1, 𝑝2 = −
𝑎1
2
±
𝑎1
2
− 4𝑎2
4
3.5.12
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 36
Estabilidad de los sistemas LTI
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
El sistema es estable BIBO si los polos se encuentran dentro de la
circunferencia unidad, 𝑝1 < 1 y 𝑝2 < 1. Estas condiciones pueden estar
relacionadas con los coeficientes de los valores 𝑎1 y 𝑎2. La ecuación de una
raíz cuadrática satisfacen las siguientes relaciones
𝑎1 = − 𝑝1 + 𝑝2 3.5.13
𝑎2 = 𝑝1 𝑝2 3.5.14
Entonces para que el sistema sea estable, las condiciones de 𝑎1 y 𝑎2 que
deben cumplirse son
𝑎2 = 𝑝1 𝑝2 = 𝑝1 𝑝2 < 1 3.5.15
𝑎1 < 1 + 𝑎2 3.5.16
Un sistema de dos polos es estable si y solo si los coeficientes 𝑎1 y 𝑎2
satisfacen (3.5.15) y (3.5.16).
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 37
Estabilidad de los sistemas LTI
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Las condiciones de estabilidad dadas por (3.5.15) y (3.15.16) definen una
región en el plano de coeficientes 𝑎1, 𝑎2 que tiene forma triangular, como se
muestra en la figura.
El sistema es estable si y solo si el punto 𝑎1, 𝑎2 se encuentra dentro del
triángulo, el cual denominamos triangulo de estabilidad.
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 38
Estabilidad de los sistemas LTI
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Los polos del sistema pueden ser reales o complejos conjugados,
dependiendo del valor del discriminante Δ = 𝑎1
2
− 4𝑎2. La parábola 𝑎2 = 𝑎1
2
/4
divide el triángulo de estabilidad en dos regiones.
• La región por debajo de la parábola 𝑎1
2
> 4𝑎2 corresponde a dos polos
reales y distintos.
• Los puntos sobre la parábola 𝑎1
2
= 4𝑎2 producen polos reales e iguales
(dobles).
• Los puntos por encima de la parábola corresponden a los polos complejos
conjugados.
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 39
Estabilidad de los sistemas LTI
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Polos reales y distintos 𝒂 𝟏
𝟐
> 𝟒𝒂 𝟐 . Dado que 𝑝1 y 𝑝2 son reales y 𝑝1 ≠ 𝑝2, la
función de transferencia puede expresarse de la forma
𝐻 𝑧 =
𝐴1
1 − 𝑝1 𝑧−1
+
𝐴2
1 − 𝑝2 𝑧−1
3.5.17
donde
𝐴1 =
𝑏0 𝑝1
𝑝1 − 𝑝2
, 𝐴2 =
−𝑏0 𝑝2
𝑝1 − 𝑝2
3.5.18
Por tanto, la respuesta al impulso es
ℎ 𝑛 =
𝑏0
𝑝1 − 𝑝2
𝑝1
𝑛+1
− 𝑝2
𝑛+1
𝑢 𝑛 3.5.19
Por tanto, la respuesta al impulso es la diferencia de dos secuencias
exponenciales decrecientes.
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 40
Estabilidad de los sistemas LTI
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
La figura muestra la respuesta típica para ℎ 𝑛 cuando los polos son
diferentes.
Grafica para ℎ 𝑛 con 𝑝1 = 0.5, 𝑝2 = 0.75, 𝑏0 = 1.
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 41
Estabilidad de los sistemas LTI
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Polos reales e iguales 𝒂 𝟏
𝟐
= 𝟒𝒂 𝟐 . En este caso, 𝑝1 = 𝑝2 = 𝑝 = −𝑎1/2. La
función de transferencia es
𝐻 𝑧 =
𝑏0
1 − 𝑝𝑧−1 2
3.5.20
y por tanto, la respuesta al impulso unitario del sistema es
ℎ 𝑛 = 𝑏0 𝑛 + 1 𝑝 𝑛 𝑢 𝑛 3.5.21
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 42
Estabilidad de los sistemas LTI
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
ℎ 𝑛 es el producto de una rampa por una exponencial decreciente real. La
gráfica de ℎ 𝑛 se muestra en la figura.
Gráfica de ℎ 𝑛 con 𝑝 =
3
4
, 𝑏0 = 1.
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 43
Estabilidad de los sistemas LTI
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Polos complejos conjugados 𝑎1
2
< 4𝑎2 . Puesto que los polos son complejos
conjugados, la función de transferencia puede descomponerse en factores y
expresarse como sigue
𝐻 𝑧 =
𝐴
1 − 𝑝𝑧−1
+
𝐴∗
1 − 𝑝∗ 𝑧−1
=
𝐴
1 − 𝑟𝑒 𝑗𝜔0 𝑧−1
+
𝐴∗
1 − 𝑟𝑒−𝑗𝜔0 𝑧−1
3.5.22
donde 𝑝 = 𝑟𝑒 𝑗𝜔
y 0 < 𝜔0 < 𝜋. Observe que cuando los polos son complejos
conjugados, los parámetros 𝑎1 y 𝑎2 están relacionados con 𝑟 y 𝜔0 según
𝑎1 = −2𝑟 cos 𝜔0
𝑎2 = 𝑟2
y
𝐴 =
𝑏0 𝑝
𝑝 − 𝑝∗
=
𝑏0 𝑟𝑒 𝑗𝜔0
𝑟 𝑒 𝑗𝜔0 − 𝑒−𝑗𝜔0
=
𝑏0 𝑒 𝑗𝜔0
𝑗2 sin 𝜔0
3.5.23
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 44
Estabilidad de los sistemas LTI
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Por lo tanto, la respuesta al impulso de un sistema con polos complejos
conjugados es
ℎ 𝑛 =
𝑏0 𝑟 𝑛
sin 𝜔0
𝑒 𝑗 𝑛+1 𝜔0 − 𝑒−𝑗 𝑛+1 𝜔0
2𝑗
𝑢 𝑛
=
𝑏0 𝑟 𝑛
sin 𝜔0
sin 𝑛 + 1 𝜔0 𝑢 𝑛 3.5.24
ℎ 𝑛 presenta un comportamiento oscilatorio con una envolvente que
decrece exponencialmente cuando 𝑟 < 1. El ángulo de 𝜔0 de los polos
determina la frecuencia de oscilación y la distancia 𝑟 de los polos respecto
del origen determina la velocidad de decrecimiento. Cuando 𝑟 es próximo a
la unidad, el decrecimiento es lento. Cuando 𝑟 es próximo al origen, el
decrecimiento es rápido.
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 45
Estabilidad de los sistemas LTI
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Grafica de ℎ 𝑛 con 𝑏0 = 1, 𝜔0 = 𝜋/4, 𝑟 = 0.9.
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 46
Estabilidad de los sistemas LTI
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
1) a) Dibuje el patrón de polos y ceros de la señal
𝑥1 𝑛 = 𝑟 𝑛 sin 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛 , 0 < 𝑟 < 1
b) Calcule la transformada z 𝑋2 𝑧 , que se corresponde con el patrón
de polos y ceros determinado en el apartado (a).
c) Compare 𝑋1 𝑧 con 𝑋2 𝑧 . ¿Son idénticas? Si no lo son, indique un
método para deducir 𝑋1 𝑧 a partir del patrón de polos y ceros.
2) Determine la señal 𝑥 𝑛 cuya transformada 𝑍 es
𝑋 𝑧 = 𝑒 𝑧 + 𝑒1/𝑧, 𝑧 ≠ 0
3) Demuestre que la secuencia de Fibonacci puede interpretarse como la
respuesta al impulso del sistema descrito por la ecuación en
diferencias 𝑦 𝑛 = 𝑦 𝑛 − 1 + 𝑦 𝑛 − 2 + 𝑥 𝑛 . A continuación,
determine ℎ 𝑛 utilizando la transformada 𝑍.
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 47
Ejercicios de la sección
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
4) Calcule la respuesta al estado nulo para las siguientes parejas de
funciones del sistema y señales de entrada.
a) ℎ 𝑛 =
1
3
𝑛
𝑢 𝑛 , 𝑥 𝑛 =
1
2
𝑛
cos
𝜋
3
𝑛 𝑢 𝑛
b) ℎ 𝑛 =
1
2
𝑛
𝑢 𝑛 , 𝑥 𝑛 =
1
3
𝑛
𝑢 𝑛 +
1
2
−𝑛
𝑢 −𝑛 − 1
c) 𝑦 𝑛 = −0.1y 𝑛 − 1 + 0.2𝑦 𝑛 − 2 + 𝑥 𝑛 + 𝑥 𝑛 − 1 , 𝑥 𝑛 =
1
3
𝑛
𝑢 𝑛
d) 𝑦 𝑛 = −𝑦 𝑛 − 2 + 10𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛 = 10 cos
𝜋
2
𝑛 𝑢 𝑛
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 48
Ejercicios de la sección
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
4) Calcule la respuesta del sistema
𝑦 𝑛 = 0.7𝑦 𝑛 − 1 − 0.12𝑦 𝑛 − 2 + 𝑥 𝑛 − 1 + 𝑥 𝑛 − 2
a la entrada 𝑥 𝑛 = 𝑛𝑢 𝑛 . ¿Es estable este sistema?
5) Determine la región de estabilidad del sistema causal
𝐻 𝑧 =
1
1 + 𝑎1 𝑧−1 + 𝑎2 𝑧−2
calculando sus polos y restringiéndolos al interior de la circunferencia
unidad.
f) Determine la respuesta para el estado nulo del sistema
𝑦 𝑛 =
1
2
𝑦 𝑛 − 1 + 4𝑥 𝑛 + 3𝑥 𝑛 − 1
a la entrada
𝑥 𝑛 = 𝑒 𝑗𝜔0 𝑛
𝑢 𝑛
¿Cuál es la respuesta en régimen permanente del sistema?
3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 49
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Seccion 3.5 Análisis en el dominio Z de sistemas LTI

  • 1. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NAYARIT INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA Procesamiento Digital de Señales M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca UNIDAD 3 Transformada 𝑍 y sus aplicaciones A veces un poco de intuición e ingenio conduce a una reducción considerable en la complejidad, y a veces también a mejoras en su velocidad. – Roger Penrose, La mente nueva del emperador, 1996, México.
  • 2. Procesamiento Digital de Señales M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI
  • 3. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Se han estudiado las herramientas para la transformada Z directa tanto de señales como de sistemas. También se estudió la recuperación desde el dominio 𝑍 siempre y cuando se conozca la expresión en 𝑍 y la 𝑅𝑂𝐶. Se estudiará el uso de la función de transferencia para determinar la respuesta del sistema a una señal de excitación. Se hará especial énfasis en el uso de los polos y los ceros de los sistemas de ecuaciones en diferencias de coeficientes constantes con condiciones iniciales arbitrarias. Se conocerá una prueba para determinar la estabilidad de un sistema basado en los coeficientes del polinomio del denominador de la función de transferencia. 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 3
  • 4. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 4 Ejemplo 3.5.1: Determine la convolución de dos secuencias de longitud infinita ℎ 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑢 𝑛 y 𝑥 𝑛 = 𝐴 𝑢 𝑛 . Respuesta: Para determinar la convolución utilizaremos la transformada 𝑧. La transformada 𝑍 de cada secuencia es: 𝐻 𝑧 = 𝑛=0 ∞ 𝑎 𝑛 𝑧−𝑛 = 1 1 − 𝑎𝑧−1 , 𝑧 > 𝑎 , 𝑋 𝑧 = 𝑛=0 ∞ 𝐴𝑧−𝑛 = 𝐴 1 − 𝑧−1 , 𝑧 > 1 Por tanto, la transformada 𝑍 de la convolución es 𝑌 𝑧 = 𝐻 𝑧 𝑋 𝑧 = 𝐴 1 − 𝑎𝑧−1 1 − 𝑧−1 = 𝐴𝑧2 𝑧 − 𝑎 𝑧 − 1 , 𝑧 > 1
  • 5. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 5 Ejemplo 3.5.1: Donde suponemos que 𝑎 < 1 de forma que la intersección de las 𝑅𝑂𝐶 es 𝑧 > 1. Los polos y los ceros son donde se puede ver que la 𝑅𝑂𝐶 es la intersección. Im 𝑧 Re 𝑧 𝑅𝑂𝐶 𝑎 1
  • 6. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 6 Ejemplo 3.5.1: La secuencia 𝑦 𝑛 se puede obtener determinando la transformada 𝑍 inversa. La descomposición en fracciones simples de 𝑌 𝑧 es 𝑌 𝑧 = 𝐴 1 − 𝑎 1 1 − 𝑧−1 − 𝑎 1 − 𝑎𝑧−1 , 𝑧 > 1 Tomando la transformada inversa de cada termino se obtiene 𝑦 𝑛 = 𝐴 1 − 𝑎 1 − 𝑎 𝑛+1 𝑢 𝑛
  • 7. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones De lo visto antes, consideramos que la función de transferencia esta dada por 𝐻 𝑧 = 𝐵 𝑧 𝐴 𝑧 3.5.1 Donde 𝐴(𝑧) es el polinomio que determina los polos del sistema. La señal de entrada, 𝑥(𝑛) tiene una transformada 𝑧 racional 𝑋(𝑧) de la forma 𝑋 𝑧 = 𝑁 𝑧 𝑄 𝑧 3.5.2 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 7 Respuesta de sistemas con funciones de transferencia racionales
  • 8. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Entonces considerando que el sistema esta inicialmente en reposo, 𝑦(−1) = 𝑦(−2) = ⋯ = 𝑦(−𝑁) y uniendo (3.5.1) y (3.5.2), la TZ de la salida del sistema tiene la forma 𝑌 𝑧 = 𝐻 𝑧 𝑋 𝑧 = 𝐵 𝑧 𝑁 𝑧 𝐴 𝑧 𝑄 𝑧 3.5.3 Los polos del sistema se denominan p1, p2,.., pN y los polos de la señal de entrada son q1, q2,…,qL, donde los polos son diferentes, 𝑝 𝑘 ≠ 𝑞 𝑚 para todo k =1,2,…, N y m = 1,2,…,L. Consideremos también que los polos y los ceros no se cancelan. Entonces, la expansión en fracciones parciales de la salida es de la forma 𝑌 𝑧 = 𝑘=1 𝑁 𝐴 𝑘 1 − 𝑝 𝑘 𝑧−1 + 𝑘=1 𝐿 𝑄 𝑘 1 − 𝑞 𝑘 𝑧−1 3.5.4 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 8 Respuesta de sistemas con funciones de transferencia racionales
  • 9. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones La TZ-1 de Y(z) proporciona la señal de salida del sistema en la forma 𝑦 𝑛 = 𝑘=1 𝑁 𝐴 𝑘 𝑝 𝑘 𝑛 𝑢(𝑛) + 𝑘=1 𝐿 𝑄 𝑘 𝑞 𝑘 𝑛 𝑢(𝑛) 3.5.5 El primer sumatorio es la respuesta natural del sistema y es función de los polos pk. Ak es influenciado por la señal de entrada. El segundo sumatorio es la respuesta forzada del sistema y es función de los polos qk de la señal de entrada. Qk es influenciada por el sistema. 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 9 Respuesta de sistemas con funciones de transferencia racionales
  • 10. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Si 𝑋(𝑧) y 𝐻(𝑧) tienen uno o mas polos en común o tienen polos de orden múltiple, la expansión en fracciones parciales es de la forma 1 1 − 𝑝𝑙 𝑧−1 𝑘 para 𝑘 = 1,2, … , 𝑚, donde 𝑚 es el orden del polo. La TZ-1 producirá en la salida términos de la forma 𝑛 𝑘−1 𝑝𝑙 𝑛 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 10 Respuesta de sistemas con funciones de transferencia racionales
  • 11. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones La respuesta en estado nulo de un sistema se puede separar en dos componentes, la respuesta natural y la respuesta forzada. La respuesta natural de un sistema causal tiene la forma 𝑦𝑛𝑟 𝑛 = 𝑘=1 𝑁 𝐴 𝑘 𝑝 𝑘 𝑛 𝑢(𝑛) 3.5.6 Donde, {pk}, k=1,2,…,N son los polos del sistema y {Ak} son los factores de escala. La respuesta transitoria de la respuesta natural del sistema ocurre si |pk|<1 para todo k y en consecuencia ynr(n) decrece hasta cero cuando n tiende a infinito. 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 11 Respuesta transitoria y en régimen permanente
  • 12. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones La respuesta forzada del sistema tiene la forma 𝑦𝑓𝑟 𝑛 = 𝑘=1 𝐿 𝑄 𝑘 𝑞 𝑘 𝑛 𝑢(𝑛) 3.5.7 Donde {qk}, k=1,2,…,L son los polos de la función forzada y {Qk} son los factores de escala. Si |𝑞 𝑘| < 1, entonces 𝑦 𝑓𝑟(𝑛) = 0 cuando 𝑛 tiende a infinito. Si x(n) es una sinusoide, |𝑞 𝑘| = 1 entonces la respuesta forzada es también una sinusoide que existe para todo 𝑛 > 0 y se le conoce como la respuesta en régimen permanente del sistema. 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 12 Respuesta transitoria y en régimen permanente
  • 13. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 13 Respuesta transitoria y en régimen permanente Ejemplo 3.5.2: Determine las respuestas transitoria y en régimen permanente del sistema caracterizado por la ecuación en diferencias 𝑦 𝑛 = 0.5𝑦 𝑛 − 1 + 𝑥 𝑛 Si la señal de entrada es 𝑥 𝑛 = 10 cos 𝜋𝑛 4 𝑢(𝑛). El sistema esta inicialmente en reposo. Respuesta: El sistema es causal. Primero se obtiene la TZ del sistema 𝑌 𝑧 = 1 2 𝑧−1 𝑌 𝑧 + 𝑋(𝑧) Se factoriza Y(z) 𝑌 𝑧 1 − 1 2 𝑧−1 = 𝑋(𝑧)
  • 14. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 14 Respuesta transitoria y en régimen permanente Ejemplo 3.5.2: Y la función de transferencia es 𝐻 𝑧 = 𝑌 𝑧 𝑋 𝑧 = 1 1 − 1 2 𝑧−1 El sistema tiene un polo en 𝑧 = ½. La TZ de la señal de entrada es cos 𝜔0 𝑛 u n 𝑍 1 − 𝑧−1 cos 𝜔0 1 − 2𝑧−1 cos 𝜔0 + 𝑧−2 Y como cos 𝜋 4 = 1/ 2, entonces 𝑋 𝑧 = 10 1 − 1 2 𝑧−1 1 − 2𝑧−1 + 𝑧−2
  • 15. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 15 Respuesta transitoria y en régimen permanente Ejemplo 3.5.2: Entonces 𝑌 𝑧 = 𝐻 𝑧 𝑋(𝑧) = 10 1 − 1 2 𝑧−1 1 − 1 2 𝑧−1 1 − 𝑒 𝑗 𝜋 4 𝑧−1 1 − 𝑒 −𝑗 𝜋 4 𝑧−1 = −1.907 1 − 0.5𝑧−1 + 6.78𝑒−𝑗28.7° 1 − 𝑒 𝑗 𝜋 4 𝑧−1 + 6.78𝑒 𝑗28.7° 1 − 𝑒−𝑗 𝜋 4 𝑧−1
  • 16. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 16 Respuesta transitoria y en régimen permanente Ejemplo 3.5.2: La respuesta natural o transitoria esta dada por los polos de la función de transferencia, p1 = 0.5 𝑦𝑛𝑟 𝑛 = 1.907 0.5 𝑛 𝑢 𝑛 Y la respuesta forzada o de régimen permanente esta dada por polos de la señal de entrada 𝑦𝑓𝑟 𝑛 = 6.78𝑒−𝑗28.7° 𝑒 𝑗 𝜋𝑛 4 + 6.78𝑒 𝑗28.7° 𝑒−𝑗 𝜋𝑛 4 𝑢(𝑛) = 13.56𝑐𝑜𝑠 𝜋 4 𝑛 − 28.7° 𝑢(𝑛)
  • 17. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 17 Respuesta transitoria y en régimen permanente Ejemplo 3.5.2: Señal de entrada:
  • 18. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 18 Respuesta transitoria y en régimen permanente Ejemplo 3.5.2: Respuesta natural o transitoria Respuesta en forzada o en régimen permanente
  • 19. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones En el dominio del tiempo discreto, un sistema LTI causal es aquel que satisface la condición ℎ 𝑛 = 0, 𝑛 < 0 3.5.8 En el dominio de Z, un sistema LTI causal es aquel que cumple la condición: Un sistema lineal invariante en el tiempo es causal si y sólo si la ROC de la función de transferencia es el exterior de un circulo 𝑟 < ∞, incluyendo el punto 𝑧 = ∞ 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 19 Causalidad
  • 20. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones En el dominio del tiempo discreto un sistema LTI es estable si se cumple 𝑛=−∞ ∞ ℎ(𝑛) < ∞ 3.5.9 En el dominio de 𝑍, un sistema lineal invariante en el tiempo tiene estabilidad BIBO si y sólo si la ROC de la función de transferencia incluye la circunferencia unidad. 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 20 Estabilidad
  • 21. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Un sistema LTI causal y estable debe tener una función de transferencia que converja para |𝑧| > 𝑟 < 1. Además, la 𝑅𝑂𝐶 no puede contener ningún polo de 𝐻(𝑧). Un sistema causal lineal invariante en el tiempo es estable BIBO si y sólo si todos los polos de 𝐻(𝑧) se encuentran dentro de la circunferencia unidad. Las condiciones para la causalidad y la estabilidad son diferentes y una NO implica a la otra. • Un sistema causal puede ser estable o inestable • Un sistema no causal puede ser estable o inestable • Un sistema inestable, puede ser causal o no causal • Un sistema estable, puede ser causal o no causal 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 21 Causalidad y Estabilidad
  • 22. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Ejemplo 3.5.2: Un sistema lineal invariante en el tiempo está caracterizado por la función de transferencia 𝐻 𝑧 = 3 − 4𝑧−1 1 − 3.5𝑧−1 + 1.5𝑧−2 = 1 1 − 1 2 𝑧−1 + 2 1 − 3𝑧−1 Especifique la región de convergencia (ROC) y determine ℎ(𝑛) para las condiciones siguientes: a) El sistema es estable b) El sistema es causal c) El sistema es anticausal 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 22 Causalidad y Estabilidad
  • 23. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 23 Causalidad y Estabilidad Ejemplo 3.5.3: Solución: El sistema tiene polos en 𝑧 = 1 2 y 𝑧 = 3. a) Puesto que el sistema es estable, su 𝑅𝑂𝐶 debe incluir la circunferencia unidad y por tanto 1 2 < 𝑧 < 3. En consecuencia, ℎ 𝑛 es no causal y está dada por ℎ 𝑛 = 1 2 𝑛 𝜇 𝑛 − 2 3 𝑛 𝜇 −𝑛 − 1 b) Puesto que el sistema es causal, su ROC es 𝑧 > 3. En este caso ℎ 𝑛 = 1 2 𝑛 𝜇 𝑛 + 2 3 𝑛 𝜇 𝑛 Este sistema es inestable.
  • 24. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 24 Causalidad y Estabilidad Ejemplo 3.5.3: Solución: El sistema tiene polos en 𝑧 = 1 2 y 𝑧 = 3. c) Si el sistema es anticausal, su ROC es 𝑧 < 0.5. Por tanto ℎ 𝑛 = − 1 2 𝑛 + 2 3 𝑛 𝜇 −𝑛 − 1 En este caso, el sistema es inestable.
  • 25. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Cuando una TZ tiene un polo que se encuentra en la misma posición que un cero, estas se cancelan. • Cuando la cancelación del polo-cero se produce en la función de transferencia, se dice que el orden del sistema se reduce una unidad. • Cuando la cancelación polo-cero se produce en el productos de la función de transferencia con la señal, se dice que el polo del sistema queda suprimido por el cero de la señal. En consecuencias, se pueden suprimir polos tanto en la señal como en el sistema. 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 25 Cancelaciones polo-cero
  • 26. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 26 Cancelaciones polo-cero Ejemplo 3.5.4: Determine la respuesta al impulso unitario del sistema caracterizado por la ecuación en diferencias 𝑦 𝑛 = 2.5𝑦 𝑛 − 1 − 𝑦 𝑛 − 2 + 𝑥 𝑛 − 5𝑥 𝑛 − 1 + 6𝑥 𝑛 − 2 Solución: La función de transferencia es 𝐻 𝑧 = 1 − 5𝑧−1 + 6𝑧−2 1 − 2.5𝑧−1 + 𝑧−2 = 1 − 5𝑧−1 + 6𝑧−2 1 − 1 2 𝑧−1 1 − 2𝑧−1 El sistema tiene polos en 𝑝1 = 2 y 𝑝2 = 1 2 .
  • 27. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 27 Cancelaciones polo-cero Ejemplo 3.5.4: Por lo tanto la respuesta al impulso unitario es 𝑌 𝑧 = 𝐻 𝑧 𝑋 𝑧 = 1 − 5𝑧−1 + 6𝑧−2 1 − 1 2 𝑧−1 (1 − 2𝑧−1) = 𝑧 𝐴 𝑧 − 1 2 + 𝐵 𝑧 − 2 Evaluando las constantes en 𝑧 = 2 y 𝑧 = 1 2 tenemos que 𝐴 = 5 2 , 𝐵 = 0
  • 28. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 28 Cancelaciones polo-cero Ejemplo 3.5.4: El hecho de que 𝐵 = 0 índica que existe un cero en 𝑧 = 2 que cancela el polo en 𝑧 = 2. En realidad existen ceros en 𝑧 = 2 y 𝑧 = 3. De la ecuación del numerados se obtiene 1 𝑧2 𝑧2 − 5𝑧 + 6 = 1 𝑧2 𝑧 − 2 𝑧 − 3 Entonces 𝐻 𝑧 se reduce a 𝐻 𝑧 = 1 − 3𝑧−1 1 − 1 2 𝑧−1 = 𝑧 − 3 𝑧 − 1 2 = 1 − 2.5𝑧−1 1 − 1 2 𝑧−1 y por tanto ℎ 𝑛 = 𝛿 𝑛 − 2.5 1 2 𝑛−1 𝜇 𝑛 − 1 Haciendo la división entre ambos binomios
  • 29. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 29 Cancelaciones polo-cero Ejemplo 3.5.4: Para encontrar la ecuación en diferencias 𝐻 𝑧 = 𝑌 𝑧 𝑋 𝑧 = 1 − 3𝑧−1 1 − 1 2 𝑧−1 𝑌 𝑧 1 − 1 2 𝑧−1 = 𝑋 𝑧 1 − 3𝑧−1 𝑌 𝑧 − 1 2 𝑧−1 𝑌 𝑧 = 𝑋 𝑧 − 3𝑧−1 𝑋 𝑧 En el dominio de 𝑛 𝑦 𝑛 − 1 2 𝑦 𝑛 − 1 = 𝑥 𝑛 − 3𝑥 𝑛 − 1
  • 30. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 30 Cancelaciones polo-cero Ejemplo 3.5.4: Despejando para 𝑦(𝑛) 𝑦 𝑛 = 1 2 𝑦 𝑛 − 1 + 𝑥 𝑛 − 3𝑥(𝑛 − 1) Aunque el sistema original es BIBO debido a la cancelación polo-cero, en una implementación práctica de este sistema de segundo orden, podemos tener una inestabilidad debida a la cancelación imperfecta del polo y del cero.
  • 31. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 31 Cancelaciones polo-cero Ejemplo 3.5.5: Determine la respuesta del sistema 𝑦 𝑛 = 5 6 𝑦 𝑛 − 1 − 1 6 𝑦 𝑛 − 2 + 𝑥 𝑛 A la señal de entrada 𝑥 𝑛 = 𝛿 𝑛 − 1 3 𝛿 𝑛 − 1 Solución: La función de transferencia es 𝐻 𝑧 = 1 1 − 5 6 𝑧−1 + 1 6 𝑧−2 = 1 1 − 1 2 𝑧−1 1 − 1 3 𝑧−1 El sistema tiene dos polos, uno en 𝑧 = 1/2 y en 𝑧 = 1/3. La transformada 𝑍 de la señal de entrada es 𝑋 𝑧 = 1 − 1 3 𝑧−1
  • 32. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 32 Cancelaciones polo-cero Ejemplo 3.5.5: En este caso, la señal de entrada contiene un cero en 𝑧 = 1/3 que cancela el polo en 𝑧 = 1/3. En consecuencia 𝑌 𝑧 = 𝐻 𝑧 𝑋 𝑧 = 1 1 − 1 2 𝑧−1 Por lo tanto, la respuesta del sistema es 𝑦 𝑛 = 1 2 𝑛 𝑢 𝑛 El modo 1/3 𝑛 se suprime de la salida como un resultado de la cancelación polo-cero.
  • 33. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Una señal de entrada esta acotada si sus polos son iguales o menores a la unidad, 𝑞 𝑘 ≤ 1 para todo 𝑘. Sin embargo, la posición de los polos sobre la circunferencia unidad, no aseguran la estabilidad de un sistema, si este a su vez, tiene polos sobre la circunferencia unidad, en la misma posición. Para asegurar que un sistema es estable BIBO, sus polos deben estar estrictamente dentro de la circunferencia unidad, de tal manera, que una señal acotada, producirá una salida acotada. Los polos de orden múltiple dan lugar a una secuencia de la forma 𝐴 𝑘 𝑛 𝑏 𝑝 𝑘 𝑛 𝑢 𝑛 , 0 ≤ 𝑏 ≤ 𝑚 − 1 Donde 𝑚 es el orden del polo. Si el polo esta dentro de la secuencia unidad, la salida decrecerá mientras 𝑛 → ∞. 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 33 Estabilidad de los sistemas LTI
  • 34. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 34 Estabilidad de los sistemas LTI Ejemplo 3.5.6: Determine la respuesta al impulsos del sistema causal descrito por la ecuación en diferencias 𝑦 𝑛 = 𝑦 𝑛 − 1 + 𝑥 𝑛 Solución: La función de transferencia del sistema es 𝐻 𝑧 = 1 1 − 𝑧−1 Observe que el sistema contiene un polo sobre la circunferencia unidad en 𝑧 = 1. La transformada 𝑧 de la señal de entrada 𝑥 𝑛 = 𝑢 𝑛 es 𝑋 𝑧 = 1 1 − 𝑧−1 que también tiene un polo en 𝑧 = 1.
  • 35. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 35 Estabilidad de los sistemas LTI Ejemplo 3.5.6: Por tanto, la señal de salida tiene la transformada 𝑌 𝑧 = 𝐻 𝑧 𝑋 𝑧 = 1 1 − 𝑧−1 2 que tiene un polo doble en 𝑧 = 1. La transformada 𝑍 inversa de 𝑌 𝑧 es 𝑦 𝑛 = 𝑛 + 1 𝑢 𝑛 la cual es una señal en rampa. Por tanto, 𝑦 𝑛 no está acotada, incluso cuando la entrada está acotada. Por tanto, el sistema es inestable.
  • 36. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones En el caso de los sistemas de segundo orden descrito por la ecuación en diferencias 𝑦 𝑛 = −𝑎1 𝑦 𝑛 − 1 − 𝑎2 𝑦 𝑛 − 2 + 𝑏0 𝑥 𝑛 3.5.10 La función de transferencia es 𝐻 𝑧 = 𝑌 𝑧 𝑋 𝑧 = 𝑏0 1 + 𝑎1 𝑧−1 + 𝑎2 𝑧−2 = 𝑏0 𝑧2 𝑧2 + 𝑎1 𝑧 + 𝑎2 3.5.11 El sistema tiene dos ceros en el origen y los polos en 𝑝1, 𝑝2 = − 𝑎1 2 ± 𝑎1 2 − 4𝑎2 4 3.5.12 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 36 Estabilidad de los sistemas LTI
  • 37. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones El sistema es estable BIBO si los polos se encuentran dentro de la circunferencia unidad, 𝑝1 < 1 y 𝑝2 < 1. Estas condiciones pueden estar relacionadas con los coeficientes de los valores 𝑎1 y 𝑎2. La ecuación de una raíz cuadrática satisfacen las siguientes relaciones 𝑎1 = − 𝑝1 + 𝑝2 3.5.13 𝑎2 = 𝑝1 𝑝2 3.5.14 Entonces para que el sistema sea estable, las condiciones de 𝑎1 y 𝑎2 que deben cumplirse son 𝑎2 = 𝑝1 𝑝2 = 𝑝1 𝑝2 < 1 3.5.15 𝑎1 < 1 + 𝑎2 3.5.16 Un sistema de dos polos es estable si y solo si los coeficientes 𝑎1 y 𝑎2 satisfacen (3.5.15) y (3.5.16). 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 37 Estabilidad de los sistemas LTI
  • 38. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Las condiciones de estabilidad dadas por (3.5.15) y (3.15.16) definen una región en el plano de coeficientes 𝑎1, 𝑎2 que tiene forma triangular, como se muestra en la figura. El sistema es estable si y solo si el punto 𝑎1, 𝑎2 se encuentra dentro del triángulo, el cual denominamos triangulo de estabilidad. 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 38 Estabilidad de los sistemas LTI
  • 39. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Los polos del sistema pueden ser reales o complejos conjugados, dependiendo del valor del discriminante Δ = 𝑎1 2 − 4𝑎2. La parábola 𝑎2 = 𝑎1 2 /4 divide el triángulo de estabilidad en dos regiones. • La región por debajo de la parábola 𝑎1 2 > 4𝑎2 corresponde a dos polos reales y distintos. • Los puntos sobre la parábola 𝑎1 2 = 4𝑎2 producen polos reales e iguales (dobles). • Los puntos por encima de la parábola corresponden a los polos complejos conjugados. 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 39 Estabilidad de los sistemas LTI
  • 40. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Polos reales y distintos 𝒂 𝟏 𝟐 > 𝟒𝒂 𝟐 . Dado que 𝑝1 y 𝑝2 son reales y 𝑝1 ≠ 𝑝2, la función de transferencia puede expresarse de la forma 𝐻 𝑧 = 𝐴1 1 − 𝑝1 𝑧−1 + 𝐴2 1 − 𝑝2 𝑧−1 3.5.17 donde 𝐴1 = 𝑏0 𝑝1 𝑝1 − 𝑝2 , 𝐴2 = −𝑏0 𝑝2 𝑝1 − 𝑝2 3.5.18 Por tanto, la respuesta al impulso es ℎ 𝑛 = 𝑏0 𝑝1 − 𝑝2 𝑝1 𝑛+1 − 𝑝2 𝑛+1 𝑢 𝑛 3.5.19 Por tanto, la respuesta al impulso es la diferencia de dos secuencias exponenciales decrecientes. 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 40 Estabilidad de los sistemas LTI
  • 41. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones La figura muestra la respuesta típica para ℎ 𝑛 cuando los polos son diferentes. Grafica para ℎ 𝑛 con 𝑝1 = 0.5, 𝑝2 = 0.75, 𝑏0 = 1. 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 41 Estabilidad de los sistemas LTI
  • 42. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Polos reales e iguales 𝒂 𝟏 𝟐 = 𝟒𝒂 𝟐 . En este caso, 𝑝1 = 𝑝2 = 𝑝 = −𝑎1/2. La función de transferencia es 𝐻 𝑧 = 𝑏0 1 − 𝑝𝑧−1 2 3.5.20 y por tanto, la respuesta al impulso unitario del sistema es ℎ 𝑛 = 𝑏0 𝑛 + 1 𝑝 𝑛 𝑢 𝑛 3.5.21 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 42 Estabilidad de los sistemas LTI
  • 43. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones ℎ 𝑛 es el producto de una rampa por una exponencial decreciente real. La gráfica de ℎ 𝑛 se muestra en la figura. Gráfica de ℎ 𝑛 con 𝑝 = 3 4 , 𝑏0 = 1. 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 43 Estabilidad de los sistemas LTI
  • 44. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Polos complejos conjugados 𝑎1 2 < 4𝑎2 . Puesto que los polos son complejos conjugados, la función de transferencia puede descomponerse en factores y expresarse como sigue 𝐻 𝑧 = 𝐴 1 − 𝑝𝑧−1 + 𝐴∗ 1 − 𝑝∗ 𝑧−1 = 𝐴 1 − 𝑟𝑒 𝑗𝜔0 𝑧−1 + 𝐴∗ 1 − 𝑟𝑒−𝑗𝜔0 𝑧−1 3.5.22 donde 𝑝 = 𝑟𝑒 𝑗𝜔 y 0 < 𝜔0 < 𝜋. Observe que cuando los polos son complejos conjugados, los parámetros 𝑎1 y 𝑎2 están relacionados con 𝑟 y 𝜔0 según 𝑎1 = −2𝑟 cos 𝜔0 𝑎2 = 𝑟2 y 𝐴 = 𝑏0 𝑝 𝑝 − 𝑝∗ = 𝑏0 𝑟𝑒 𝑗𝜔0 𝑟 𝑒 𝑗𝜔0 − 𝑒−𝑗𝜔0 = 𝑏0 𝑒 𝑗𝜔0 𝑗2 sin 𝜔0 3.5.23 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 44 Estabilidad de los sistemas LTI
  • 45. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Por lo tanto, la respuesta al impulso de un sistema con polos complejos conjugados es ℎ 𝑛 = 𝑏0 𝑟 𝑛 sin 𝜔0 𝑒 𝑗 𝑛+1 𝜔0 − 𝑒−𝑗 𝑛+1 𝜔0 2𝑗 𝑢 𝑛 = 𝑏0 𝑟 𝑛 sin 𝜔0 sin 𝑛 + 1 𝜔0 𝑢 𝑛 3.5.24 ℎ 𝑛 presenta un comportamiento oscilatorio con una envolvente que decrece exponencialmente cuando 𝑟 < 1. El ángulo de 𝜔0 de los polos determina la frecuencia de oscilación y la distancia 𝑟 de los polos respecto del origen determina la velocidad de decrecimiento. Cuando 𝑟 es próximo a la unidad, el decrecimiento es lento. Cuando 𝑟 es próximo al origen, el decrecimiento es rápido. 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 45 Estabilidad de los sistemas LTI
  • 46. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Grafica de ℎ 𝑛 con 𝑏0 = 1, 𝜔0 = 𝜋/4, 𝑟 = 0.9. 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 46 Estabilidad de los sistemas LTI
  • 47. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 1) a) Dibuje el patrón de polos y ceros de la señal 𝑥1 𝑛 = 𝑟 𝑛 sin 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛 , 0 < 𝑟 < 1 b) Calcule la transformada z 𝑋2 𝑧 , que se corresponde con el patrón de polos y ceros determinado en el apartado (a). c) Compare 𝑋1 𝑧 con 𝑋2 𝑧 . ¿Son idénticas? Si no lo son, indique un método para deducir 𝑋1 𝑧 a partir del patrón de polos y ceros. 2) Determine la señal 𝑥 𝑛 cuya transformada 𝑍 es 𝑋 𝑧 = 𝑒 𝑧 + 𝑒1/𝑧, 𝑧 ≠ 0 3) Demuestre que la secuencia de Fibonacci puede interpretarse como la respuesta al impulso del sistema descrito por la ecuación en diferencias 𝑦 𝑛 = 𝑦 𝑛 − 1 + 𝑦 𝑛 − 2 + 𝑥 𝑛 . A continuación, determine ℎ 𝑛 utilizando la transformada 𝑍. 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 47 Ejercicios de la sección
  • 48. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 4) Calcule la respuesta al estado nulo para las siguientes parejas de funciones del sistema y señales de entrada. a) ℎ 𝑛 = 1 3 𝑛 𝑢 𝑛 , 𝑥 𝑛 = 1 2 𝑛 cos 𝜋 3 𝑛 𝑢 𝑛 b) ℎ 𝑛 = 1 2 𝑛 𝑢 𝑛 , 𝑥 𝑛 = 1 3 𝑛 𝑢 𝑛 + 1 2 −𝑛 𝑢 −𝑛 − 1 c) 𝑦 𝑛 = −0.1y 𝑛 − 1 + 0.2𝑦 𝑛 − 2 + 𝑥 𝑛 + 𝑥 𝑛 − 1 , 𝑥 𝑛 = 1 3 𝑛 𝑢 𝑛 d) 𝑦 𝑛 = −𝑦 𝑛 − 2 + 10𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛 = 10 cos 𝜋 2 𝑛 𝑢 𝑛 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 48 Ejercicios de la sección
  • 49. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 4) Calcule la respuesta del sistema 𝑦 𝑛 = 0.7𝑦 𝑛 − 1 − 0.12𝑦 𝑛 − 2 + 𝑥 𝑛 − 1 + 𝑥 𝑛 − 2 a la entrada 𝑥 𝑛 = 𝑛𝑢 𝑛 . ¿Es estable este sistema? 5) Determine la región de estabilidad del sistema causal 𝐻 𝑧 = 1 1 + 𝑎1 𝑧−1 + 𝑎2 𝑧−2 calculando sus polos y restringiéndolos al interior de la circunferencia unidad. f) Determine la respuesta para el estado nulo del sistema 𝑦 𝑛 = 1 2 𝑦 𝑛 − 1 + 4𝑥 𝑛 + 3𝑥 𝑛 − 1 a la entrada 𝑥 𝑛 = 𝑒 𝑗𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛 ¿Cuál es la respuesta en régimen permanente del sistema? 3.5 Análisis en el dominio 𝑍 de sistemas LTI Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 49 Ejercicios de la sección

Notas del editor

  1. 3
  2. 7
  3. 8
  4. 9
  5. 10
  6. 11
  7. 12
  8. 13
  9. 14
  10. 15
  11. 16
  12. 17
  13. 18
  14. 19
  15. 20
  16. 21
  17. 22
  18. 23
  19. 24
  20. 25
  21. 26
  22. 27
  23. 28
  24. 29
  25. 30
  26. 31
  27. 32
  28. 33
  29. 34
  30. 35
  31. 36
  32. 37
  33. 38
  34. 39
  35. 40
  36. 41
  37. 42
  38. 43
  39. 44
  40. 45
  41. 46
  42. 47
  43. 48
  44. 49