Conjuntos

1. Sección 1.6
Conjuntos
Tomado de Matemáticas Discretas y sus Aplicaciones. Rosen
Esteban Andrés Díaz Mina

2. Conjuntos
 Un conjunto es una estructura discreta que es
usados para modelar y resolver múltiples
problemas en muchas áreas del conocimiento, y
tiene una particular utilidad en Ciencias de la
Computación.
 Los conjuntos son usados para colocar objetos
juntos. Usualmente los objetos en un conjunto
tienen propiedades similares.

3.  Definición 1. Un conjunto es una colección no
ordenada de objetos.
 Definición 2. Los objetos en un conjunto son
también llamados los elementos o miembros del
conjunto. Un conjunto se dice que contiene
elementos.
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4.  Hay muchas formas para describir un conjunto.
Una manera es listar todos los miembros del
conjunto, cuando es posible.
 Ex2. El conjunto I de los enteros positivos impares
menores que 10 pueden ser expresado por
I = {1, 3, 5, 7, 9}
 Aunque los conjuntos son usualmente usados para
agrupar los elementos con propiedades comunes,
no hay nada que prevenga a un conjunto de tener
elementos no relacionados.
 Ex3. Por ejemplo: {2, Buenaventura, Pescado}.
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5.  Algunas veces la notación de corchete es usada
para describir un conjunto sin listar todos los
elementos. Algunos miembros son listados, y
entonces puntos suspensivos son usados cuando el
patrón de los elementos es obvio.
A = {1, 2, 3, …, 99}.
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6. A continuación se listan conjuntos de gran importancia
en las matemáticas discretas (esos conjuntos son
denotados usando letras en negrilla)
N = {0, 1, 2, 3, .....} el conjunto de los números naturales
Z = {......, -2, -1, 0, 1, 2, .....} el conjunto de los enteros
Z+= {1, 2, .....} el conjunto de los enteros positivos
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7. Definición 3. Dos conjuntos son iguales si y solamente
si ellos tienen los mismos elementos.
Ex4. El conjunto {1, 3, 3, 5, 5} es igual al conjunto {5, 3, 1}.
Note que ni el orden en que son listados los elementos ni si
estos son listados más de una vez importa.
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8.  Otra forma de describir un conjunto es usar la
notación del conjunto constructor (los elementos del
conjunto serán caracterizados por propiedades). Esta
notación es usada principalmente cuando es
imposible listar todos los elementos del conjunto
 Ex5: El conjunto de todos los números primos puede ser
escrito como:
P = { x |x es un numero primo}
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9.  Los conjuntos también pueden ser representados
gráficamente a través de los diagramas de Venn. En
estos, el conjunto universal U, el cual contiene todos
los elementos en consideración es representado por
un rectángulo.
 Dentro de este rectángulo, círculos u otras figuras
geométricas son usados para representar conjuntos.
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10. Escribimos a ∈ A para indicar que a es un
elemento del conjunto A.
La notación a ∉ A indica que a no es un miembro
del conjunto A.
Hay un conjunto especial que no tiene elementos,
el cual es llamado el conjunto vacío o conjunto
nulo y es denotado por ∅ (también puede ser
denotado por { }).
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11. Definición 4.
 Se dice que un conjunto A es un subconjunto de
B si y solo si cada elemento de A es también un
elemento de B. Se usa la notación A⊆B para
indicar que A es un subconjunto del conjunto B.
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12. Teorema 1
 Para cualquier conjunto S,
 ∅ ⊆S
 S ⊆S
 Una forma de mostrar que dos conjuntos
tienen los mismos elementos es mostrar que
cada conjunto es un subconjunto del otro.
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13. Definición 5
Sea S un conjunto. Si hay exactamente n elementos
distintos en S donde n es un entero no negativo,
decimos que S es un conjunto finito y que n es la
cardinalidad de S. La cardinalidad es denotada por |S|
Ex6. Sea S el conjunto de las letras en el alfabeto
Ingles.
Entonces |S| =26.
Ex7. Puesto que el conjunto nulo no tiene elementos.
Entonces |∅|= 0.
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