1.
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON RADICALES
Son
Ecuaciones que tienen raíces y se las resuelve según el número de radicales que tenga
SI TIENEN UN RADICAL SI TIENEN 2 RADICALES SI TIENEN 3 RADICALES
2 x–2 +1=5 = 52 =
2 x–2 = 5-1 =5- (2 X – 3)2 =( X+2+
(2 x–2 )2 = (4)2 = (5 4(X-3)=X+2+2 2
X -4X-12 +X-6
4(x -2) = 16X +1= 25-10 + 4 X -12= 2X -4 +2 X2 -4X -12
X–2=4 10 X-4 = 20 2X – 8=2 X2 – 4X -12
X = 6 X- 4 =2 (X – 4)2 = ( X2 -4X -12)2
(X – 4) = (2)2 X2 -8X +16 =X2 -4X -12
X–4=4 -4X = -28
X=8 X=7

2.
Ecuaciones de segundo grado
Se llaman así a todas las ecuaciones de la forma a x2 + b x +c = 0
INCOMPLETAS COMPLETAS
a x2 + bx = 0a x2 + b x + c =0
a x2 + c = 0
a x2 = 0

3.
ECUACIONES INCOMPLETAS
Se llaman ecuaciones incompletas cuando les falta b c o ambas
Ejemplos:
3x2 + 5 = 0
X2 + 6 x = 0
Ejemplo:
Primer caso de la forma:a x2 + c = 0 X2 = - c
=
x=
Ejemplo
Segundo caso de la forma: a x2 + bx = 0 4 y2 + 3 y =0
y (4y + 3) = 0
y = 0 y= - 3/4
CASOS
Ejemplo:
Tercer caso de la forma: a x2 = 0 x2 = 0 /0
X2 =0
= 0
X= 0 X1 = X2 = 0

4.
1.- por descomposición de factores
2.-completar RESOLUCIÓN DE 3.- formula general
el trinomioECUACIONES COMPLETAS
4.-graficamente

5.
2.-Por descomposición de factores
Expresamos la ecuación igualada en la forma a a x2 + b x + c =0; factoramos e igualamos cada
factor a cero
EJEMPLOS
6y2 -6 = 5y x2 - 7x + 1 =0
6y2 – 6 -5y=0 12b2 12ab ab
36
6y2 -5y -6 =0 a2x2 – 7abx + 12 b2 = 0
(6y – 9) (6y + 4) 12a 2b2
3 2 a2x2 – 7abx + 12 b2 = 0
(2y -3) (3y + 2)=0 (ax -4b) (ax -3b) = 0
y = ; y= ax= 4b ax= 3b
x = 4b x = 3b
aa
2.-MÉTODO DE COMPLETAR EL TRINOMIO
Para aplicar este método e valor de a debe ser 1
Consiste en dividir el coeficiente del 2 do término para (2), el resultado elevo al cuadrado
y es el término que me falta para completar el trinomio cuadrado perfecto.
Este resultado lo sumamos a los dos lados, en el primer miembro factoramos el trinomio
cuadrado perfecto y en el segundo miembro sumamos algebraicamente, sacamos la raíz
cuadrada a ambos miembros y despejamos la incógnita.

6.
JSi a es diferente de 1 primero dividimos para a y luego completamos el trinomio
EJEMPLOS:
x2 +x + 1 = 0
x2 + x + 1 = - 1 + 1
4 4
1 2= 2 =
x+1 2 = -3
4 4
x+1 2 = -3
4 4
X --
2
X= -
2
X=-1
2
3.-POR LA FÓRMULA GENERAL
Toda ecuación a x2 + bx + c= 0podemos resolverla por la fórmula:

7.
EJEMPLO:
( X + 1) (X+ 2) (X + 3) = x (x+4) (x +5)
(x2 +3x +2= ( x -3) = x ( x2 +9x +20)
X2 +3 x2 +3x2 +9x +2x +6= x2 + 9 x2 +20x
3x2 +9x -6 =0
X2 + 3x -2 =0
a= 1
b=3
c= -2
X= (3)2 -4 (1) ( -2)
2a
X=-
2a
X= - 3
2a

8.
4.- Gráficamente
Para resolver una ecuación de segundo grado la transformamos en función de segundo grado
quitándole el cero y poniéndole y.
a x2 + bx + c= 0 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
y =a x2 + bx + c FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO
1.- primero calculamos el vértice es decir el punto máximo o mínimo para lo cual utilizaremos la
siguiente fórmula.
U (X, Y)
X=
Y=
U= ); f
fx = ax2 +bx +c
2. Graficamos el valor de x si es exacto o medimos los 2 valores de x el valor de y es el mismo,
contamos desde el valor de x la misma distancia y formamos una tabla de valores
reemplazándolos los valores de x en la función de segundo grado.
Si no es exacta contamos de igual manera pero reemplazamos cada valor correctamente
directamente para interpolar es decir para buscar los juntos que le faltan medimos desde el eje de
simetría para el lado contrario
EJEMPLO:

9.
X2 -3x + 7 = 0
Y= X2 -3x + 7
a= 1 ; b= 3 c= 7
x= ) =
y= -3(
=
= U( )
X Y
1 5
0 5
-1 7
2 7
4 11
3 11
ECUACIONES FRACCIONARIAS
Son ecuaciones que tienen denominador
Para resolver una ecuación fraccionaria factorizamos los denominadores damos un mínimo común
denominador y resolvemos la ecuación restante.

10.
EJEMPLO:

11.
ECUACIONES LITERALES
Son aquellas que tienen como valores (a, b,c)
Para resolver estas ecuaciones expresamos en la forma a x2 + bx + c= 0, es decir igualamos a cero y
resolvemos por factoreo o por la fórmula general.
EJEMPLO:
ECUACIONES DE 2DO GRADO CON RADICALES
Se procede de acuerdo al número de radicales que tenga y se resuelve la ecuación de segundo
grado por cualquier método.
EJEMPLOS
– 5 =0

12.
( = 53
X2 +20x -125=0
(x +25) (x-5) =0
X= -25 ; x= 5
=
( =(
2+ = 12- x
( = (10 - x
X-4 = 100-20x + x2
x2 -21x +104 =0
(x-13) (x-6) =0
X= 13 ; x= 6
ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
Son ecuaciones cuyo exponente es mayor que 2 o fraccionaria también pueden ser
negativas.
Las ecuaciones de grado superior se resuelve según su forma y el número de raíces o
soluciones es igual al máximo exponente de la incógnita.
A estas ecuaciones también se las llama ecuaciones reducible a segundo grado

13.
1.-ECUACIONES QUE SE REDUCEN A SEGUNDO GRADO:
Los resolvemos utilizando ecuaciones de segundo grado podemos hacerla directa o
utilizando una variable.
Ejemplo:
2.-Ecuaciones bicuadradas
La ecuación bicuadrada es una ecuación de cuarto grado y es de la forma + bx2 +c =0;
Para resolverlos utilizamos factoreo e igualamos cada factor a cero.
Ejemplos:
= 21 –x2
-21 -9= 0

14.
-30= 0
+6) ( -5 ) =0
= (-6)2 ; = (5)2
=36
X=
3.-Ecuaciones binomias.-
Son ecuaciones de la forma para resolverlas se puede resolver por factoreo
cuando al factorizar se obtienen las raíces es decir se puede factorar completamente.
EJEMPLOS:
X3 =27
X3 -27=0
(X- 3)(
X= 3

15.
;
x4-256=0
(x2 +16) (x2-16)=0
X2=-16 ; x2=16
X=
4.-Ecuaciones binómicas no factorables:
Cuando no se pueden factorar completamente utilizamos el teorema de MOIVRE
EJEMPLO:
X5+32=0
X5=32 BUSCAMOS LAS 5 RAÍCES DE -32
-32=-32+0i
a=-32 O= arc tan
b=0 O= arc tan
r= O = 1800
r=
r=32

16.
X=32 cis 1800; n= 5
X= )
X= 2cis (360 +k .720)
K=0
X1= 2cis (360 +k .720)
X1= 2(cos 360 + I sen 360)
X1= 161+1,18i
K=1
X2= 2cis(360 +1 .720)
X2= 2(cos108 + isen 108)
X2= -0,62+1,90i
K=2
X3= 2cis (360 +2 .720)
X3= 2(cos180 +isen 180)
X3=-2
K=3
X4= 2cis (360 +3 .720)
X4= 2 (cos252 + isen252)
X4= -0,62-1,90i
K=4

17.
X5=2cis (360 +5 .720)
X5= 2(cos324 + isen 324)
X5= 1,61 – 1,18i
5.-ECUACIONES TRINOMIAS:
Tienen 3 términos y son de exponente 6 u 8 y se resuelven por factoreo
EJEMPLO:
X8-97 X4+1296= 0
( X4-81) ( X4-16) =0
(X2+9) ( X2-9) (X2+4) ( X2-4)= 0
X2= -9 ;X2= 9 ; X2= -4 ; X 2= 4
X=
ECUACIONES RECÍPROCAS:
Se llaman así aquellas ecuaciones que no alteran si se reemplaza x por
JTambién podemos darnos cuenta que es recíproca cuando los términos equidistantes de
la ecuación ordenada son iguales, el valor absoluto
4x4 -17x3 +17x -4= 0
RESOLUCIÓN:las ecuaciones recíprocas se reducen según el número de términos que
tenga. Si el número de términos es impar agrupamos los términos equidistantes, factoramos
factor común solo el número dividimos para x2 y utilizamos una variable auxiliar de paso u= x +1/x
4x4 -17x3 +17x -4= 0
X

18.
4x4 -17x3 +17x -4= 0
ECUACIONES BINÓMICAS QUE TIENEN UN NÚMERO PARA DE TÉRMINOS:
Agrupamos los términos equidistantes y factoramos todo lo que haya, resolvemos la ecuación
resultante y obtenemos el resultado.
EJEMPLO:
4x4 -17x3 +17x -4= 0
4(X4- 1) -17X( X2 -1) = 0
4(X4+1) ( X2 -1) -17X( X2-1)=0
(X2-1) (4X2 +4 -17X)=0
X2=1 4X2 -17X+4=0
X
(X-4) (4X -1)=0
X=4 ; X=
ECUACIONES QUE SE REDUCEN A SEGUNDO GRADO:
Se forma una ecuación ax2n +b xn + c= 0
au2n + bun + c =0
EJEMPLO:

19.
au2n + bun + c =0
=0
ECUACIONES IRRACIONALES:
Son las ecuaciones con radicales que estudiamos anteriormente y se lo resuelve según el
número de radicales que tenga
EJEMPLO:

20.
=7
= (7 –
= (X+52)2
196(2X+8) =X2 +104X +2704
X2-288X+1136=0
(X-284) (X- 4)
X=284 ; X=4X