<ul><li>ÁLGEBRA SUPERIOR </li></ul><ul><li>MATRICES Y DETERMINANTES  </li></ul><ul><li>ELABORADO Y REVISADO POR LOS PROFES...
MATRICES Y DETERMINANTES  Antecedentes de conocimientos, actitudes o habilidades <ul><li>Lectura comprensiva </li></ul><ul...
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MATRICES Y DETERMINANTES  5.1. Generalidades <ul><li>Orden de una matriz </li></ul><ul><li>Es la cantidad de filas y colum...
MATRICES Y DETERMINANTES  5.1. Generalidades <ul><li>Matriz Cuadrada </li></ul><ul><li>Es aquella matriz cuyo número de fi...
MATRICES Y DETERMINANTES  5.1. Generalidades <ul><li>Matriz Rectangular </li></ul><ul><li>Es aquella matriz cuyo número de...
MATRICES Y DETERMINANTES  5.1. Generalidades <ul><li>Diagonal Principal </li></ul><ul><li>Es la línea en que quedan ubicad...
MATRICES Y DETERMINANTES  5.1. Generalidades <ul><li>Diagonal Secundaria </li></ul><ul><li>Cualquier diagonal de una matri...
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MATRICES Y DETERMINANTES   5.2. Operaciones con Matrices <ul><li>Suma de dos matrices </li></ul><ul><li>Sean dos matrices ...
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MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices <ul><li>Producto de una matriz por un escalar </li></ul><ul><li>Sea...
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MATRICES Y DETERMINANTES    5.3. Matrices especiales   <ul><li>Matriz Opuesta o Negativa. </li></ul><ul><li>- [A]  </li></...
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MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales <ul><li>Matrices Conmutativas </li></ul><ul><li>Son aquellas matrices pa...
MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales <ul><li>Matriz Diagonal </li></ul><ul><li>Es una matriz cuadrada en la c...
MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales <ul><li>Matriz Escalar </li></ul><ul><li>Es una matriz cuadrada en la cu...
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MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales <ul><li>Ejemplo </li></ul><ul><li>Matriz Triangular Inferior </li></ul><...
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MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales <ul><li>Matriz Idempotente </li></ul><ul><li>Es una matriz Periódica  co...
MATRICES Y DETERMINANTES  5.4. Determinante <ul><li>Conceptos generales </li></ul><ul><li>Las matrices cuadradas tienen un...
MATRICES Y DETERMINANTES   5.4. Determinante <ul><li>Permutación de n elementos P= n! </li></ul><ul><li>Permutaciones de l...
MATRICES Y DETERMINANTES   5.4. Determinante <ul><li>Inversión </li></ul><ul><li>En una disposición cualquier cantidad de ...
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MATRICES Y DETERMINANTES   5.4. Determinante <ul><li>Definición de determinante de segundo orden usando las inversiones de...
MATRICES Y DETERMINANTES   5.4. Determinante <ul><li>Definición de determinante de tercer orden usando las inversiones de ...
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MATRICES Y DETERMINANTES   5.4. Determinante  <ul><li>Menor  </li></ul><ul><li>De un elemento de una Matriz de orden n, es...
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4.Determinante  <ul><li>Matriz de Menores </li></ul><ul><li>Es la matriz cuadrada cuyos element...
MATRICES Y DETERMINANTES   5.4. Determinante  <ul><li>Cofactor </li></ul><ul><li>Es un valor asociado a cada elemento de u...
MATRICES Y DETERMINANTES   5.4. Determinantes <ul><li>Matriz de Cofactores </li></ul><ul><li>Es la matriz cuadrada formada...
MATRICES Y DETERMINANTES  5.4. Determinantes <ul><li>Propiedades.... </li></ul><ul><li>1 Si se intercambian las filas por ...
MATRICES Y DETERMINANTES  5.4. Determinantes <ul><li>Propiedades.... </li></ul><ul><li>2 Si el valor de todos los elemento...
MATRICES Y DETERMINANTES  5.4. Determinantes <ul><li>Propiedades.... </li></ul><ul><li>3 Si se permutan dos líneas, el val...
MATRICES Y DETERMINANTES  5.4. Determinantes <ul><li>Propiedades.... </li></ul><ul><li>4 Si un determinante tiene dos líne...
MATRICES Y DETERMINANTES  5.4. Determinantes <ul><li>Propiedades.... </li></ul><ul><li>5 Si todos los elementos de una lín...
MATRICES Y DETERMINANTES  5.4. Determinantes <ul><li>Propiedades.... </li></ul><ul><li>6. Si todos los elementos de una lí...
MATRICES Y DETERMINANTES  5.4. Determinantes <ul><li>Propiedades </li></ul><ul><li>7. Si todos los elementos de una línea ...
MATRICES Y DETERMINANTES  5.4. Determinantes <ul><li>Cálculo de determinantes de orden superior, empleando cofactores </li...
MATRICES Y DETERMINANTES  5.4. Determinantes <ul><li>Cálculo de determinantes de orden superior, empleando cofactores </li...
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante <ul><li>Determinante de la matriz Identidad </li></ul><ul><li>El valor del dete...
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante <ul><li>Determinante de la matriz Cero o Nula </li></ul><ul><li>El valor del de...
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante <ul><li>Determinante de la matriz Diagonal </li></ul><ul><li>El valor del deter...
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante <ul><li>Determinante de la matriz Escalar </li></ul><ul><li>El valor del determ...
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante <ul><li>Determinante de la matriz Triangular Superior </li></ul><ul><li>El valo...
MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante <ul><li>Determinante de la matriz Triangular Inferior </li></ul><ul><li>El valo...
MATRICES Y DETERMINANTES  5.4. Determinante <ul><li>Rango r de una matriz  </li></ul><ul><li>Para matrices cuadradas que [...
MATRICES Y DETERMINANTES  5.4. Determinante <ul><li>Rango  r  de una matriz  </li></ul><ul><li>Ejemplo: Calcular el rango ...
MATRICES Y DETERMINANTES  5.4. Determinante <ul><li>Matriz Singular </li></ul><ul><li>Es una matriz de orden n en la cual ...
MATRICES Y DETERMINANTES  5.4. Determinante <ul><li>Matriz No Singular </li></ul><ul><li>Aquella matriz de orden n en la c...
MATRICES Y DETERMINANTES   5.5. Matriz Inversa <ul><li>Matriz Inversa </li></ul><ul><li>Si  [A] y  [B] -1  son matrices cu...
MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa <ul><li>Matriz Adjunta   </li></ul><ul><li>Es aquella matriz que se forma de ...
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MATRICES Y DETERMINANTES  5.5. Matriz Inversa <ul><li>Matriz Inversa por medio de la Matriz Adjunta </li></ul><ul><li>Con ...
MATRICES Y DETERMINANTES  5.5.2. Matriz Inversa  <ul><li>Ejemplo </li></ul><ul><li>Calcular la Matriz inversa por medio de...
MATRICES Y DETERMINANTES  5.5. Matriz Inversa <ul><li>Transformaciones elementales en una matriz.... </li></ul><ul><li>Al ...
MATRICES Y DETERMINANTES  5.5. Matriz Inversa <ul><li>Transformaciones elementales en una matriz </li></ul><ul><li>4. La m...
MATRICES Y DETERMINANTES  5.5. Matriz Inversa <ul><li>Matrices Equivalentes </li></ul><ul><li>Dos matrices  [A] y [B] son ...
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MATRICES Y DETERMINANTES  5.5.3. Matriz Inversa <ul><li>Ejemplo Matriz Inversa por Transformaciones Elementales…. </li></u...
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Matrices Y Determinantes

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Matrices Y Determinantes

  1. 1. <ul><li>ÁLGEBRA SUPERIOR </li></ul><ul><li>MATRICES Y DETERMINANTES </li></ul><ul><li>ELABORADO Y REVISADO POR LOS PROFESORES DE LA MATERIA EN EL 2007 </li></ul><ul><li>Martha G. Canales Leyva Roc ío Patricia Rivas Llanas </li></ul><ul><li>Leticia Lizette Espinosa Fahl </li></ul><ul><li>Joaquín Gilberto Treviño Dávila </li></ul><ul><li>José Santos García </li></ul><ul><li>Claudio Hiram Carmona Jurado </li></ul><ul><li>Abraham Leonel López León </li></ul><ul><li>Carlos Alfonso Gameros Morales </li></ul><ul><li>Kluis Roberto Fernández Guillén </li></ul><ul><li>Arturo Córdova González </li></ul>
  2. 2. MATRICES Y DETERMINANTES Antecedentes de conocimientos, actitudes o habilidades <ul><li>Lectura comprensiva </li></ul><ul><li>Operaciones con quebrados </li></ul><ul><li>Cálculo de determinante de matrices de 2do y 3er orden </li></ul><ul><li>Números Complejos </li></ul><ul><li>Cálculo de permutaciones </li></ul>
  3. 3. MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades <ul><li>Definición: </li></ul><ul><li>Es un arreglo de elementos dispuestos en “m” filas y “n” columnas. </li></ul><ul><li>El nombre de la matriz se escribe con letra mayúscula entre paréntesis rectangulares (corchetes). </li></ul><ul><li>La cantidad de las filas y de columnasde una matriz, se indican como subíndice despúes del nombre de la matriz. El primer índice corresponde a las filas y el segundo a las columnas. </li></ul><ul><li>Ejemplo : </li></ul><ul><li> [B] m,n </li></ul><ul><li>Los elementos de una matriz también se presentan entre paréntesis rectangulares (corchetes). </li></ul>[B] 4,3 =
  4. 4. MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades <ul><li>Orden de una matriz </li></ul><ul><li>Es la cantidad de filas y columnas de la matriz . </li></ul><ul><li>Se lee: matriz de orden m por n </li></ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li> [B] m,n </li></ul><ul><li>Matriz de 4 por 3 </li></ul>[B] 4,3 =
  5. 5. MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades <ul><li>Matriz Cuadrada </li></ul><ul><li>Es aquella matriz cuyo número de filas es igual al número de columnas. </li></ul><ul><li>Ejemplo [B] 3,3 </li></ul><ul><li> 1 -4 5 </li></ul><ul><li>-2 4 0 </li></ul><ul><li>4 5 2 </li></ul><ul><li>Se lee matriz de tercer orden </li></ul>
  6. 6. MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades <ul><li>Matriz Rectangular </li></ul><ul><li>Es aquella matriz cuyo número de filas es diferente al número de columnas. </li></ul><ul><li>Ejemplo [B] 3,4 </li></ul><ul><li> 1 -4 5 3 </li></ul><ul><li>-2 4 0 -2 </li></ul><ul><li>4 5 2 6 </li></ul>
  7. 7. MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades <ul><li>Diagonal Principal </li></ul><ul><li>Es la línea en que quedan ubicados los elementos a 11 , a 22 ,a 33 ,a 44 ... (número de columna = número de la fila) de la matriz. </li></ul><ul><li>La Diagonal principal. </li></ul><ul><li>Ejemplos: </li></ul><ul><li>Elementos de la diagonal principal: </li></ul><ul><li>5, -7 y 7 </li></ul>
  8. 8. MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades <ul><li>Diagonal Secundaria </li></ul><ul><li>Cualquier diagonal de una matriz, que no sea la Diagonal Principal. </li></ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>Elementos de la diagonal secundaria indicada: </li></ul><ul><li>0, 8, -4 </li></ul>
  9. 9. MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades <ul><li>Traza </li></ul><ul><li>De una matriz cuadrada, es la suma algebraica de los valores de los elementos de la diagonal principal. </li></ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>La traza de la matriz es traza = 5 –7 +7 = 5 </li></ul>
  10. 10. MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices <ul><li>Suma de dos matrices </li></ul><ul><li>Sean dos matrices conformables para la suma (mismo orden), se define la suma como: </li></ul><ul><li>[C] m,n = [A] m,n + [B] m,n </li></ul><ul><li>La matriz [C] tendrá el mismo o rden de [A] ó [B]. </li></ul><ul><li>Cada elemento de C es la suma del correspondiente elemento de [A] y [B] </li></ul><ul><li>c i,j = a i,j + b i,j </li></ul><ul><li>Para i = 1,2 .....m y j = 1,2 ......n </li></ul><ul><li>+ = </li></ul>
  11. 11. MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices <ul><li>Resta de dos matrices </li></ul><ul><li>Sean dos matrices conformables para la resta (mismo orden), se define la resta como: </li></ul><ul><li>[C] m,n = [A] m,n - [B] m,n </li></ul><ul><li>La matriz [C] tendrá el mismo o rden de [A] ó [B]. </li></ul><ul><li>Cada elemento de C es la resta algebraica de los correspondientes elementos de [A] y [B] </li></ul><ul><li> c i,j = a i,j - b i,j </li></ul><ul><li>Para i = 1,2 .....m y j = 1,2 ......n </li></ul><ul><li>Ejemplo </li></ul><ul><li>- = </li></ul>
  12. 12. MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices <ul><li>Propiedades de la Suma y Resta Matricial </li></ul><ul><li>Sean tres matrices conformables para la suma y k un escalar </li></ul><ul><li>[A] m,n , [B] m,n , [C] m,n </li></ul><ul><li>[A] + [B] = [B] + [A] Ley Conmutativa </li></ul><ul><li>[A] +( [B] + [C] ) = ( [A] + [B] )+ [C] Ley Asociativa </li></ul><ul><li>k ( [A] + [B] ) = k [A] + k [B] = ( [A] + [B] )k Ley Distributiva de un escalar por la izquierda o derecha en la suma </li></ul><ul><li>Existe una matriz [C] tal que [A] + [C] = [B] </li></ul>
  13. 13. MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices <ul><li>Producto de una matriz por un escalar </li></ul><ul><li>Sea k un escalar y la matriz [A] m,n, se define la muliplicación de una matriz por un escalar como </li></ul><ul><li>[C] m,n = k [A] m,n </li></ul><ul><li>En donde c i,j = k a i,j (i=1,2,3....m; j=1,2,3...n) </li></ul><ul><li>Ejemplo </li></ul><ul><li>[C] = 3 [A] </li></ul><ul><li>3 = </li></ul>
  14. 14. MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices <ul><li>Producto de dos matrices </li></ul><ul><li>Dos matrices se dice ser conformables para la multiplicación si: </li></ul><ul><li>[A] ma,na [B] mb,nb </li></ul><ul><li>El número de columnas de [A] es igual al número de filas de [B] </li></ul><ul><li>El producto de dos matrices es </li></ul><ul><li>[C] ma,nb = [A] ma,n x [B] mb,nb </li></ul><ul><li>Con </li></ul><ul><li>c i,j =  k=1 a i,k x b k,j </li></ul><ul><li>(i=1,2,3....ma; j=1,2,3...na) </li></ul>= na
  15. 15. MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices <ul><li>x = </li></ul><ul><li>Ejemplo </li></ul><ul><li>[C] ma,nb = [A] ma,na x [B] mb,nb </li></ul><ul><li>Son conformables para la multiplicación ya que na = mb </li></ul>
  16. 16. MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices <ul><li>Leyes de la suma y la Multiplicación </li></ul><ul><li>Sean tres matrices [A] [B] [C] conformables para la suma y multiplicación </li></ul><ul><li>Primera Ley Distributiva </li></ul><ul><li>[A]( [B] + [C] ) = [A] [B] + [A] [C] Segunda Ley Distributiva </li></ul><ul><li>([A] + [B]) [C] = [A] [C] + [B] [C] </li></ul><ul><li>Ley Asociativa </li></ul><ul><li>[A] ( [B] [C] ) = ( [A] [B] ) [C] </li></ul><ul><li>En general </li></ul><ul><li>1) [A] [B] [B] [A] </li></ul><ul><li>2) [A] [B] = [0] </li></ul><ul><li>No necesariamente </li></ul><ul><li>[A] = [0] o [B] = [0] </li></ul><ul><li>3) [A] [B] = [A] [C] </li></ul><ul><li>No necesariamente </li></ul><ul><li>[B] = [C] </li></ul>
  17. 17. MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices <ul><li>Matriz Transpuesta </li></ul><ul><li>Sea la matriz [A] ma,na , la matriz transpuesta se define como: </li></ul><ul><li>[A] mb,nb en donde a i, j = a j, i Para i = 1,2 .....ma j = 1,2 ......na </li></ul><ul><li>mb = na y nb = ma </li></ul><ul><li>También se denotar como [A]’ </li></ul><ul><li>[A] = [A] = </li></ul><ul><li> </li></ul>T T T
  18. 18. MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices <ul><li>Propiedades de la Matriz Transpuesta </li></ul><ul><li>Sean las matrices [A] [B] </li></ul><ul><li>con sus respectivas transpuestas [A]’ [B]’ y k un escalar </li></ul><ul><li>i) [A’]’= [A] </li></ul><ul><li>ii) (k [A])’ = k [A]’ </li></ul><ul><li>La transpuesta de la suma de dos matrices es la suma de sus transpuestas </li></ul><ul><li>( [A]+ [B] )’ = [A]’ + [B]’ </li></ul><ul><li>La transpuesta del producto de dos matrices es el producto en orden inverso de sus transpuestas. </li></ul><ul><li>( [A] [B] )’ = [B]’ [A]’ </li></ul>
  19. 19. MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales <ul><li>Matriz Identidad [  ] o Unidad </li></ul><ul><li>Es una matriz cuadrada cuyo valor de los elementos de la diagonal principal es uno y valor cero en todos los demás elementos. </li></ul><ul><li>[   ] = </li></ul>
  20. 20. MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales <ul><li>Matriz Cero o Nula </li></ul><ul><li>Es una matriz cuadrada en la cual el valor de todos los elementos es cero . </li></ul>Ejemplo [ 0 ] = [ 0 ] =
  21. 21. MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales <ul><li>Matriz Opuesta o Negativa. </li></ul><ul><li>- [A] </li></ul><ul><li>Se obtiene de la matriz [A] multiplicando cada elemento por el escalar -1 </li></ul>Ejemplo Sea la matriz [A] = -1 [A] =
  22. 22. MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales <ul><li>Matrices Iguales </li></ul><ul><li>Son aquellas que tienen el mismo orden y cada elemento de una es igual al correspondiente elemento de la otra. </li></ul><ul><li>[A] = [B] a i,j = b i,j para i =1,2,3.... m j =1, 2,3... n </li></ul><ul><li>Ejemplo </li></ul>=
  23. 23. MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales <ul><li>Matrices Conmutativas </li></ul><ul><li>Son aquellas matrices para las cuales se cumple : </li></ul><ul><li>Sean [A] y [B] matrices cuadradas tales que </li></ul><ul><li>[A] x [B] = [B] x [A] </li></ul><ul><li>= </li></ul>
  24. 24. MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales <ul><li>Matriz Diagonal </li></ul><ul><li>Es una matriz cuadrada en la cual el valor de todos los elementos son cero excepto en la diagonal. </li></ul><ul><li>[ F ] = </li></ul>B
  25. 25. MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales <ul><li>Matriz Escalar </li></ul><ul><li>Es una matriz cuadrada en la cual el valor de todos los elementos son cero excepto en la diagonal principal, que tienen el mismo valor. </li></ul><ul><li>a 11 =a 22 =a 33 =a 44 = k donde k es un escalar </li></ul>B= B B = -4 [ I ]
  26. 26. MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales <ul><li>Matriz Triangular Superior </li></ul><ul><li>Es una matriz cuadrada cuyos elementos en la parte superior de la diagonal principal y en ella, el valor es diferente de cero. </li></ul><ul><li>El valor de los elementos abajo de la diagonal principal es cero </li></ul><ul><li>a i j = 0 para i > j </li></ul><ul><li>Ejemplo </li></ul>
  27. 27. MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales <ul><li>Ejemplo </li></ul><ul><li>Matriz Triangular Inferior </li></ul><ul><li>Es una matriz cuadrada cuyos elementos en la parte inferior de la diagonal principal y en ella, el valor es diferente de cero. </li></ul><ul><li>El valor de los elementos arriba de la diagonal principal es cero. </li></ul><ul><li>a i j = 0 para i < j </li></ul>
  28. 28. MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales <ul><li>Matrices simétricas </li></ul><ul><li>Aquellas que cumplen con: </li></ul><ul><li>[A]’ = [A]. </li></ul><ul><li>Propiedad </li></ul><ul><li>Si [A] es una matriz cuadrada </li></ul><ul><li>[A] + [A]’ es simétrica </li></ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>la matriz [A] es simétrica ya que: </li></ul>[A] ’ = [A] =
  29. 29. MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales <ul><li>Matriz Antisimétrica o Hemisimétrica </li></ul><ul><li>Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta (o negativa) de su transpuesta. </li></ul><ul><li>Necesariamente los elementos de la diagonal principal tienen el valor de cero. </li></ul><ul><li>[A] = - 1 [A]’ </li></ul><ul><li>Ejemplo </li></ul><ul><li>La matriz [A] es antisim étrica ya que: </li></ul>-1 [A] ’ = [A] =
  30. 30. MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales <ul><li>Matriz Periódica </li></ul><ul><li>Aquella matriz [A] para la cual [A] k+1 = [A] </li></ul><ul><li>Donde k es un entero positivo </li></ul><ul><li>Se dice que la matriz es de un periodo k </li></ul>[A]x [A] = [A ] [A] = Ejemplo: [A] es peri ó dica, con periodo 1
  31. 31. MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales <ul><li>Matriz Idempotente </li></ul><ul><li>Es una matriz Periódica con período 1 </li></ul><ul><li>Ejemplo </li></ul>[A]x [A] = [A ] [A] =
  32. 32. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante <ul><li>Conceptos generales </li></ul><ul><li>Las matrices cuadradas tienen un valor asociado denominado determinante. </li></ul><ul><li>Se denota por </li></ul><ul><li>|A| ó  </li></ul><ul><li>El valor del determinante se puede calcular por medio de varios m étodos. </li></ul>
  33. 33. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante <ul><li>Permutación de n elementos P= n! </li></ul><ul><li>Permutaciones de los elementos 1 y 2 </li></ul><ul><li>P = 2! = 2 y son 12, 21 </li></ul><ul><li>Permutaciones de los elementos 1, 2 y 3 </li></ul><ul><li>P = 3!= 6 y son 123 132 213 231 312 321 </li></ul><ul><li>Permutaciones de los elementos 1,2,3 y 4 </li></ul><ul><li>P= 4! = 24 considerar las siguientes 1234 2134 3124 4123 </li></ul><ul><li>1324 2314 3214 4213 </li></ul>
  34. 34. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante <ul><li>Inversión </li></ul><ul><li>En una disposición cualquier cantidad de dígitos, es una inversión cuando un dígito se encuentra a la izquierda de otro dígito menor. </li></ul><ul><li>Inversion par, es cuando la cantidad de las inversiones es un número par, de otra forma de llama inversión impar. </li></ul><ul><li>Ejemplo: De la siguiente disposición de dígitos se tiene que hay 6 inversiones </li></ul><ul><li>4 3 1 6 2 </li></ul><ul><li>El 4 es mayor que 3 1 y 2 </li></ul><ul><li>El 3 es mayor que 1 y 2 </li></ul><ul><li>El 6 es mayor que el 2 </li></ul>
  35. 35. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante <ul><li>Definición de determinante usando las inversiones de una permutación </li></ul><ul><li>|A | =  r  j1 j2 ...... Jn a 1 j1 a 2 j2 ..... a n jn </li></ul><ul><li>Es la suma de </li></ul><ul><li>las Permutaciones r= n! j1 j2 ...... Jn de los enteros 1,2,3 .... N </li></ul><ul><li> j1 j2 ...... Jn = +1 o bien –1 según la permutación tenga inversion par o impar </li></ul><ul><li>a 1 j1 a 2 j2 ..... a n jn es un producto de n de los elementos elegidos de manera que solo exista un elemento de cada fila y de cada columna </li></ul>
  36. 36. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante <ul><li>Definición de determinante de segundo orden usando las inversiones de una permutación </li></ul><ul><li> |A| =  12 a 11 a 22 +  21 a 12 a 21  21 permutacion impar </li></ul><ul><li>  12 permutacion par </li></ul><ul><li>= a 11 a 22 - a 12 a 21 </li></ul><ul><li>a 11 a 12 </li></ul><ul><li>a 21 a 22 </li></ul>
  37. 37. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante <ul><li>Definición de determinante de tercer orden usando las inversiones de una permutación..... </li></ul><ul><li> |A| =  123 a 11 a 22 a 33 +  132 a 11 a 23 a 32 +  213 a 12 a 21 a 33 +  231 a 12 a 23 a 31 +  312 a 13 a 21 a 32 +  321 a 13 a 22 a 31 </li></ul><ul><li>Permutaciones par  123  231  312 </li></ul><ul><li>Permutaciones impares  132  213  321 </li></ul><ul><li>Re acomodando queda </li></ul><ul><li>|A| =a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 -( a 13 a 22 a 31 + a 23 a 32 a 11 +a 33 a 12 a 21 ) </li></ul><ul><li>a 11 a 12 a 13 </li></ul><ul><li>a 21 a 22 a 23 </li></ul><ul><li>a 31 a 32 a 33 </li></ul>
  38. 38. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante <ul><li>Definición de determinante de tercer orden usando las inversiones de una permutación </li></ul><ul><li>Y también queda: </li></ul><ul><li> |A| = a 11 (a 22 a 33 - a 23 a 32 ) - a 12 (a 21 a 33 - a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 a 32 - a 22 a 31 ) </li></ul><ul><li>= a 11 - a 12 +a 13 </li></ul>
  39. 39. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante <ul><li>Menor </li></ul><ul><li>De un elemento de una Matriz de orden n, es el valor del determinante de orden n-1 formado al suprimir la fila y la columna de ese elemento . </li></ul><ul><li>Se representa por | M i j | </li></ul><ul><li>Ejemplo: Sea la matriz </li></ul><ul><li>El menor del elemento a 11 </li></ul><ul><li>|M 11 | = = - 9 +8 =-1 </li></ul>
  40. 40. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4.Determinante <ul><li>Matriz de Menores </li></ul><ul><li>Es la matriz cuadrada cuyos elementos con los menores de cada uno de los elementos. </li></ul><ul><li>Ejemplo </li></ul>[ M ] = [ M ] = =
  41. 41. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante <ul><li>Cofactor </li></ul><ul><li>Es un valor asociado a cada elemento de una matriz cuadrada y es: </li></ul><ul><li> i,j = ( - 1 ) i+j |M| i,j </li></ul><ul><li>Donde | M i,j | es el menor del elemento a i,j </li></ul><ul><li>Y el signo dependerá de la suma de i +j: </li></ul><ul><li> será + si la suma es par ó - si la suma es impar </li></ul><ul><li>Signos por el lugar que ocupa el elemento </li></ul><ul><li>+ - + - + - . . . . . </li></ul><ul><li>- + - + - . . . . . </li></ul><ul><li>+ - + - + - . . . . </li></ul><ul><li>- + - + - . . . . . </li></ul>
  42. 42. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes <ul><li>Matriz de Cofactores </li></ul><ul><li>Es la matriz cuadrada formada por los cofactores de cada uno de sus elementos. </li></ul><ul><li>Ejemplo </li></ul>[ A ] = - Con [M] = Aplicando los signos correspondientes a cada elemento: Cofactores [A] =
  43. 43. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes <ul><li>Propiedades.... </li></ul><ul><li>1 Si se intercambian las filas por las columnas en un determinante, el valor del determinante no se modifica. </li></ul><ul><li>Por lo anterior se hará la referencia como línea la fila o columna. </li></ul>
  44. 44. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes <ul><li>Propiedades.... </li></ul><ul><li>2 Si el valor de todos los elementos de una línea son nulos, el determinante vale cero. </li></ul>
  45. 45. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes <ul><li>Propiedades.... </li></ul><ul><li>3 Si se permutan dos líneas, el valor del determinante cambia de signo. </li></ul>
  46. 46. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes <ul><li>Propiedades.... </li></ul><ul><li>4 Si un determinante tiene dos líneas iguales, el valor del determinante es cero. </li></ul>
  47. 47. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes <ul><li>Propiedades.... </li></ul><ul><li>5 Si todos los elementos de una línea se multiplican por un mismo número “q”, el valor del determinante resultará multiplicado por “q”. </li></ul>
  48. 48. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes <ul><li>Propiedades.... </li></ul><ul><li>6. Si todos los elementos de una línea son la suma de dos (o más) términos el determinante es igual a la suma de dos (o mas) determinantes. </li></ul>
  49. 49. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes <ul><li>Propiedades </li></ul><ul><li>7. Si todos los elementos de una línea se suman con los elementos correspondientes de otra línea multiplicados por un numero k, el valor del determinante no varía. </li></ul>
  50. 50. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes <ul><li>Cálculo de determinantes de orden superior, empleando cofactores </li></ul><ul><li>Es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea multiplicados cada uno por su respectivo adjunto. </li></ul><ul><li>Sea un determinante de orden n: </li></ul><ul><li>1 Seleccionar una línea </li></ul><ul><li>2 Multiplicar cada elemento de la línea seleccionada, por su correspondiente cofactor. </li></ul><ul><li>3 Se realizar las operaciones, y se reduce debido al paso 1, el orden del determinante a n-1 </li></ul><ul><li>4 Aplicar repetitivamente los pasos 1 y 2 hasta reducir en un determinante de segundo orden. </li></ul>
  51. 51. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes <ul><li>Cálculo de determinantes de orden superior, empleando cofactores </li></ul><ul><li>Ejemplo: C alcular |G| de la matriz [G] = </li></ul><ul><li>1.- Seleccionar una línea, tercera columna </li></ul><ul><li>2.- Multiplicar cada elemento de la línea seleccionada, por su correspondiente cofactor. </li></ul><ul><li>= 3 - 0 +5 = 3(-72) –0 + 5(14) = -2 </li></ul><ul><li>3.- Se realizar las operaciones, y se reduce debido al paso 1, el orden del determinante a n-1 </li></ul><ul><li> |G| = -2 </li></ul>
  52. 52. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante <ul><li>Determinante de la matriz Identidad </li></ul><ul><li>El valor del determinante de la matriz Idenidad tiene el valor de 1. </li></ul><ul><li>    </li></ul><ul><li>Calcular el determinante de: </li></ul><ul><li>   </li></ul>
  53. 53. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante <ul><li>Determinante de la matriz Cero o Nula </li></ul><ul><li>El valor del determinante de la matriz Cero o Nula tiene el valor de 0. </li></ul><ul><li>|0| =    </li></ul><ul><li>Calcular el determinante de: </li></ul><ul><li> |0|  </li></ul>
  54. 54. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante <ul><li>Determinante de la matriz Diagonal </li></ul><ul><li>El valor del determinante de la matriz Diagonal es el valor del producto algebraico de los valores de los elementos de la diagonal principal. </li></ul><ul><li>|H| =  H  h 11 h 22 h 33 h 44...... </li></ul><ul><li>Calcular el determinante de: </li></ul><ul><li> H ] =  </li></ul><ul><li>|H| =  H  </li></ul>
  55. 55. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante <ul><li>Determinante de la matriz Escalar </li></ul><ul><li>El valor del determinante de la matriz Escalar es igual a (k) n donde n es el orden de la matriz Escalar y k el valor de la diagonal principal. </li></ul><ul><li>Calcular el determinante de: </li></ul><ul><li>[S ] = </li></ul><ul><li>|S| =  S  (2) n = (2) 3 = 8 </li></ul>
  56. 56. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante <ul><li>Determinante de la matriz Triangular Superior </li></ul><ul><li>El valor del determinante de la matriz Triangular Superior es igual al producto algebraico de los valores de los elementos de su diagonal principal. </li></ul><ul><li>|K| =  K  k 11 k 22 k 33 k 44...... </li></ul><ul><li>Calcular el determinante de: </li></ul><ul><li> [K ] =  </li></ul><ul><li>|K| =  k  </li></ul>
  57. 57. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante <ul><li>Determinante de la matriz Triangular Inferior </li></ul><ul><li>El valor del determinante de la matriz Triangular Inferior es igual al producto algebraico de los valores de los elementos de su diagonal principal. </li></ul><ul><li>|K| =  K  k 11 k 22 k 33 k 44...... </li></ul><ul><li>Calcular el determinante de: </li></ul><ul><li> [K ] =  </li></ul><ul><li>|K| =  k  </li></ul>
  58. 58. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante <ul><li>Rango r de una matriz </li></ul><ul><li>Para matrices cuadradas que [A]  [0] </li></ul><ul><li>Es el orden del determinante de valor diferente de cero, el orden de ese determinante debe ser el de mayor orden de la matriz  A] </li></ul><ul><li>La matriz cero [0] tiene r = 0 </li></ul><ul><li>Ejemplo </li></ul>[A] = r= 3 ya que |A| 0
  59. 59. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante <ul><li>Rango r de una matriz </li></ul><ul><li>Ejemplo: Calcular el rango de </li></ul><ul><li>El rango r no es 3 (orden de [A]) ya que |A| = 0 </li></ul><ul><li>Entonces se procede a revisar si por lo menos uno de los 9 determiantes de segundo orden tiene valor diferente a cero. </li></ul><ul><li>Y el menor de a 11 = = -32 y el orden es 2 </li></ul><ul><li>Por lo tanto el rango de  A]  es r =2 </li></ul>[A] =
  60. 60. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante <ul><li>Matriz Singular </li></ul><ul><li>Es una matriz de orden n en la cual se cumple que: </li></ul><ul><li>r < n </li></ul><ul><li>Ejemplo: De la matriz </li></ul><ul><li>Determinar si la matriz es singular </li></ul><ul><li>Como |A| = 0 y a 21 =  y el orden es 2 </li></ul><ul><li>Entonces r = 2 por lo que 2 < 3 </li></ul><ul><li>La matriz es Singular </li></ul>[A]=
  61. 61. MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante <ul><li>Matriz No Singular </li></ul><ul><li>Aquella matriz de orden n en la cual se cumple que: </li></ul><ul><li>r = n </li></ul><ul><li>El rango de la matriz es igual al orden de la matriz </li></ul><ul><li>Ejemplo: De la matriz [A]= </li></ul><ul><li>Determinar si la matriz es no singular </li></ul><ul><li>Como |A|  0 Entonces r = 3 entonces 3 = 3 </li></ul><ul><li>La matriz es No Singular </li></ul>
  62. 62. MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa <ul><li>Matriz Inversa </li></ul><ul><li>Si [A] y [B] -1 son matrices cuadradas, conformables para la multiplicaci ó n, la matriz Inversa [B] -1 es aquella que cumple con: </li></ul><ul><li>[A] x [B] -1 = [B] -1 [A] = [  ] </li></ul><ul><li>A la matriz [B] -1 se le llama matriz Inversa de [A] </li></ul><ul><li>Ejemplo de matrices Inversas: </li></ul>x =
  63. 63. MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa <ul><li>Matriz Adjunta </li></ul><ul><li>Es aquella matriz que se forma de una matriz cuadrada . </li></ul><ul><li>La manera de construirla es la siguiente: </li></ul><ul><li>Construir la matriz de cofactores. cofactores [M] </li></ul><ul><li>Transponer la matriz de cofactores. ( cofactores [M] ) T </li></ul><ul><li>adj [A] = ( cofactores [M] ) T </li></ul>
  64. 64. MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa <ul><li>Matriz Adjunta </li></ul><ul><li>Ejemplo </li></ul><ul><li>Sea una matriz [A])= </li></ul><ul><li>Con su correspondiente matriz de cofactores </li></ul><ul><li>cofactores [M] = </li></ul><ul><li>Entonces adj [A] = </li></ul>
  65. 65. MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa <ul><li>Propiedades de la Matriz Adjunta </li></ul><ul><li>[A] x adj [A] = (| A |) [  </li></ul><ul><li>Ejemplo </li></ul><ul><li>Sea [A]= |A| = - 2 y adj [A] = </li></ul><ul><li>Entonces: </li></ul><ul><li>x </li></ul>= ( -2)
  66. 66. MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa <ul><li>Propiedades de la Matriz Adjunta </li></ul><ul><li>La Matriz Adjunta de un producto matricial es igual al producto de las adjuntas de las matrices </li></ul><ul><li>adj ( [A] x [B] ) = adj [B] x adj [A] </li></ul>
  67. 67. MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa <ul><li>Matriz Inversa por medio de la Matriz Adjunta </li></ul><ul><li>Con base en el concepto de Matriz Adjunta se tiene que </li></ul><ul><li>[A] x adj [A] = | A | [  ] </li></ul><ul><li>Si [A] es no singular entonces | A |=0 despejando: </li></ul><ul><li>[A] = [  ] </li></ul><ul><li>Entonces [A] –1 = </li></ul>
  68. 68. MATRICES Y DETERMINANTES 5.5.2. Matriz Inversa <ul><li>Ejemplo </li></ul><ul><li>Calcular la Matriz inversa por medio de la matriz adjunta </li></ul><ul><li>Sea [A] = y la Adj [A] = y |A| = - 2 </li></ul><ul><li>Entonces [A] –1 =(-1/2) </li></ul>
  69. 69. MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa <ul><li>Transformaciones elementales en una matriz.... </li></ul><ul><li>Al realizarse las transformaciones elementales en una matriz, no se cambia el valor del orden ni del rango de la matriz. </li></ul><ul><li>Se k un escalar diferente a 0 </li></ul><ul><li>1. El intercambio de filas. Ejemplo intercambiar los elementos de la fila uno por los elementos de la fila tres. </li></ul><ul><li>2. El intercambio de columnas. Mismo concepto de las filas. </li></ul><ul><li>3. La multiplicación de cada elemento de una fila por un escalar k . </li></ul>
  70. 70. MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa <ul><li>Transformaciones elementales en una matriz </li></ul><ul><li>4. La multiplicación de cada elemento de una columna por un escalar k. </li></ul><ul><li>5. La suma a los elementos de una fila de k veces los correspondientes elementos de otra fila. </li></ul><ul><li>6. La suma a los elementos de una columna de k veces los correspondientes elementos de otra columna. </li></ul>
  71. 71. MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa <ul><li>Matrices Equivalentes </li></ul><ul><li>Dos matrices [A] y [B] son equivalentes, si una puede ser obtenida de la otra por una secuencia de transformaciones elementales. </li></ul><ul><li>Se denotan como [A]  [B] </li></ul><ul><li>Ambas matrices tienen el mismo orden y el mismo rango </li></ul>
  72. 72. MATRICES Y DETERMINANTES 5.5.3. Matriz Inversa <ul><li>Matriz Inversa por medio de Transformaciones elementales </li></ul><ul><li>Pasos: </li></ul><ul><li>A la matriz [A] cuadrada, de orden m se le agrega en la parte derecha la matriz identidad, de orden m . </li></ul><ul><li>[ [ A ] [  ] ] quedando una matriz aumentada </li></ul><ul><li>2. Por medio de transformaciones elementales, se obtiene la matriz identidad [  ] en el lugar en que estaba la matriz [A]. </li></ul><ul><li>Y en el lugar en que estaba la matriz [  ] queda la matriz inversa </li></ul><ul><li>[ [  ] [ A ] -1 ] </li></ul>
  73. 73. MATRICES Y DETERMINANTES 5.5.3. Matriz Inversa <ul><li>Ejemplo Matriz Inversa por Transformaciones Elementales…. </li></ul><ul><li>Sea [A] = </li></ul><ul><li>1. Se forma la matriz aumentada [ [ A ] [  ] ] = </li></ul><ul><li>2 Se realizan las transformaciones elementales para obtener [  ] </li></ul><ul><li>Se intercambian los renglones 1 y 2  </li></ul><ul><li>2da fila = 2da fila + 3 1era fila  </li></ul>
  74. 74. MATRICES Y DETERMINANTES 5.5.3. Matriz Inversa <ul><li>Ejemplo Matriz Inversa por Transformaciones Elementales…. </li></ul><ul><li>2 da fila = (-1/7) 2da fila  </li></ul><ul><li>1a fila = 1a fila –4 2da fila  </li></ul><ul><li>[ A ] -1 = </li></ul>
  75. 75. MATRICES Y DETERMINANTES Bibliografía

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