1. Tema : Ondas
Oscilaciones y Ondas
Fundamentos físicos de la ingeniería
Ingeniería Industrial
Primer Curso
1
Índice
Introducción
Función de onda
Ondas sinusoidales
Velocidad de las ondas mecánicas lineales
Onda en una cuerda: energía transmitida
Ondas de sonido
Efecto Doppler
Reflexión y transmisión de ondas
Superposición de ondas

2. Introducción: ondas
mecánicas
Onda: perturbación que viaja sin
transferencia de materia transmiten energía
Ondas en el agua, ondas de sonido…
Clasificación según el medio de propagación:
Mecánicas: perturbación de un medio.
Ondas en el agua, ondas sísmicas, de sonido, en una
cuerda…
Electromagnéticas: no requieren un medio.
Luz, rayos X, ondas de radio…
Ondas mecánicas
La formación y propagación de una onda
mecánica requiere:
Una fuente de perturbación
Ej: Piedra que cae en el agua
Un medio que pueda ser perturbado
Ej: El agua
Mecanismo físico de interacción entre partículas
del medio
Ej: Fuerzas de atracción-repulsión entre las moléculas
de agua
2

3. Ondas transversales y
longitudinales
Clasificación de las ondas según la dirección
del desplazamiento de las partículas del
medio:
Transversales: perpendicular a la dirección de
propagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en el
agua)
Ondas transversales y
longitudinales
Clasificación de las ondas según la dirección
del desplazamiento de las partículas del
medio:
Transversales: perpendicular a la dirección de
propagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en el
agua)
Longitudinales: paralela a
la dirección de propagación
(Ej: ondas de sonido,
ondas en un muelle)
3

4. Índice
Introducción
Función de onda
Ondas sinusoidales
Velocidad de las ondas mecánicas lineales
Onda en una cuerda: energía transmitida
Ondas de sonido
Efecto Doppler
Reflexión y transmisión de ondas
Superposición de ondas
Función de onda
Pulso que viaja en una cuerda:
4

5. Función de onda
Pulso que viaja en una cuerda:
y
y ( x, t = 0) = f ( x)
t =0 P v
xP x
y
vt y ( x, t ) = f ( x − vt )
t P′ Función de onda
x
xP′ = xP + vt → f ( xP′ − vt ) = f ( xP )
Función de onda
y ( x, t ) = f ( x ± vt )
Representa el valor de la coordenada y en
cualquier punto x en un instante t
El signo positivo indica onda viajando hacia x
decreciente (la izquierda en nuestro
diagrama)
Para un t0 fijo y(x,t0) forma de onda: función
que proporciona la forma geométrica del
pulso
5

6. Índice
Introducción
Función de onda
Ondas sinusoidales
Descripción y representación
Ecuación de onda lineal
Velocidad de las ondas mecánicas lineales
Onda en una cuerda: energía transmitida
Ondas de sonido
Efecto Doppler
Reflexión y transmisión de ondas
Superposición de ondas
6
Ondas sinusoidales
Unimos el extremo de una cuerda a un objeto
que describe un MAS (diapasón):
Tren de ondas sinusoidales o armónicas
Cada partícula de la cuerda describe un MAS
Todas las ondas pueden representarse
como suma de ondas armónicas
6

7. Ondas sinusoidales: longitud
de onda y amplitud
Longitud de onda (λ): distancia mínima entre
dos puntos con la misma posición (y) y
velocidad (vy):
y λ
λ A
x
Amplitud (A): máximo desplazamiento de
cada partícula respecto a su posición de
equilibrio
7
Ondas sinusoidales:
frecuencia y velocidad
Frecuencia ( f ): frecuencia del MAS de cada
partícula del medio: 1
f =
y T T
t
Velocidad de la onda: En un tiempo T la onda ha
recorrido una distancia λ:
λ
v= CUIDADO: No confundir v con vy
T
7

8. Ondas sinusoidales:
representación matemática
y
x
• En t=0: y ( x,0) = A sen ( kx + δ )
2π
k= Número de onda (m-1)
λ
δ Constante de fase
Función sinusoidal de amplitud A que se
repite cada λ y cuyo valor en x=0 es Asen(δ)
Ondas sinusoidales:
representación matemática
En un instante t:
y ( x, t ) = y ( x ± vt ,0) = A sen ( kx ± kvt + δ )
Signo +: onda que viaja hacia x decreciente
Signo -: onda que viaja hacia x creciente
Donde: 2π λ 2π
kv = = =ω Frecuencia angular
λ T T
Entonces:
y ( x, t ) = A sen(kx ± ωt + δ)
8

9. Ondas sinusoidales: resumen
y ( x, t ) = A sen(kx ± ωt + δ)
• Amplitud: A
2π
• Longitud de onda: λ k= número de onda
λ
• Frecuencia:
1 2π
f = ω= = 2πf frecuencia angular
T T
λ ω
•Velocidad de la onda: v = = λ f =
T k
Ecuación de onda lineal
y ( x, t ) = A sen(kx ± ωt + δ)
∂y
vy = = ±ωA cos( kx ± ωt + δ) 1 ∂2 y 1 ∂2 y
∂t = 2 2
k ∂x
2 2
ω ∂t
∂2 y
a y = 2 = −ω2 A sen(kx ± ωt + δ)
∂t ∂2 y k 2 ∂2 y
=
∂y ∂x 2 ω2 ∂t 2
= kA cos(kx ± ωt + δ)
∂x
∂2 y ∂2 y 1 ∂2 y
= −k 2 A sen(kx ± ωt + δ) =
∂x 2 ∂x 2 v 2 ∂t 2
9

10. Ecuación de onda lineal
∂2 y 1 ∂2 y
= 2 2
∂x 2
v ∂t
Ecuación diferencial que cumple una
perturbación que se propaga como una onda
lineal
Ondas armónicas son una posible solución
Solución general: onda viajera
y ( x, t ) = f ( x ± vt )
Ecuación de onda lineal
∂2 y 1 ∂2 y y ( x, t ) = f ( x ± vt )
= Es solución de la ecuación de ondas
∂x 2 v 2 ∂t 2 lineal
• Demostración: Fase: φ = x ± vt
∂y ∂f ∂φ ∂f ∂ 2 y ∂ 2 f ∂φ ∂ 2 f
= = = 2 = 2
∂x ∂φ ∂x ∂φ ∂x 2
∂φ ∂x ∂φ
∂y ∂f ∂φ ∂f ∂2 y ∂ 2 f ∂φ 2 ∂ f
2
= = ±v = ±v 2 =v
∂t ∂φ ∂t ∂φ ∂t 2 ∂φ ∂t ∂φ2
10

11. Índice
Introducción
Función de onda
Ondas sinusoidales
Velocidad de las ondas mecánicas lineales
Onda en una cuerda
Onda de sonido
Onda en una cuerda: energía transmitida
Ondas de sonido
Efecto Doppler
Reflexión y transmisión de ondas
Superposición de ondas
Velocidad de las ondas
Las ondas mecánicas con amplitudes
pequeñas frente a λ pueden considerarse
lineales: cumplen ecuación de ondas lineal.
Ondas mecánicas lineales:
Su velocidad depende solamente de las
propiedades del medio a través del que se
mueven
Ondas de diferente frecuencia se propagan con la
misma velocidad
11

12. Velocidad de las ondas: onda
en una cuerda
Si aumentamos la fuerza de restitución (tensión de
la cuerda, Ft ) la onda viaja a mayor velocidad
Si usamos una cuerda con mayor densidad de
masa la onda viaja más lenta
Ft dm
v= μ= → densidad de masa lineal
μ dL
Para una cuerda homogénea:
m m
μ=
L L
12
Velocidad de las ondas: ondas
sonoras
Para muchos tipos de ondas mecánicas se
cumple:
(propiedad elástica del medio)
v=
(propiedad inercial del medio)
Ondas de sonido en un fluido
ΔP
B Módulo de compresibilidad: B = −
v= ΔV V
ρ Densidad de masa

13. Velocidad de las ondas: ondas
sonoras
Medio v (m/s)
Hidrógeno (0º C) 1286
B
v= Aire (20º C) 343
En un gas:
ρ Aire (0º C) 331
B
Agua (20ºC) 1482 ∝T
Agua (0º C) 1402
ρ
Aplicación: Calculo aproximado de la distancia un relámpago
c = 3 × 108 m/s >> v Desprecio el retraso de la luz
km x
v ≈ 0.33 km/s d = vt = 0.33 x s = km
s 3
13
Velocidad de las ondas:
observaciones
La frecuencia de la onda la determina el
agente causante de la misma
La velocidad de la onda depende del medio
v
La longitud de onda se obtiene de: λ =
f
Ejemplo: sonar de los delfines f ≈ 10 Hz
5
Agua a 20º C
v 1482 m/s
λ= = ≈ 1.5 cm
f 10 1/s
5
14

14. Índice
Introducción
Función de onda
Ondas sinusoidales
Velocidad de las ondas mecánicas lineales
Onda en una cuerda: energía transmitida
Ondas de sonido
Efecto Doppler
Reflexión y transmisión de ondas
Superposición de ondas
Onda en una cuerda: energía
transmitida
Una onda que se propaga en un medio
transporta energía:
Un trozo de corcho sube y baja en el agua
Un pulso en una cuerda puede levantar una masa
Vamos a suponer una onda sinusoidal en
una cuerda
Vamos a calcular el trabajo realizado por la
fuerza que un segmento de cuerda realiza
sobre el vecino
15

15. Onda en una cuerda: energía
transmitida
y ( x, t ) = A sen(kx − ωt )
Potencia:
P = Ft ⋅ vt = − Ft vt sen θ
Ondas lineales A<<λ θ << → sen θ ≈ θ ≈ tan θ
∂y ∂y Válido para cualquier
P = − Ft vt tan θ = − Ft forma de onda
∂t ∂x
P = − Ft [ kA cos(kx − ωt ) ][ − Aω cos(kx − ωt ) ]
v 2μ ω P ( x, t ) = μvω2 A2 cos 2 (kx − ωt )
v
Onda en una cuerda: energía
transmitida
Potencia promedio:
T T
1 1
Pm = ∫ P( x, t )dt =μvω2 A2 ∫ cos 2 (kx − ωt ) dt
T0 T0
1
=
2
1
Pm = μvω2 A2
2
Es la mitad de la potencia instantánea máxima
Pm ∝ A2 , ω2 : general para ondas sinusoidales
16

16. Onda en una cuerda: energía
transmitida
Energía media que fluye por un punto en un
intervalo de tiempo:
La energía viaja a la
velocidad de la onda
Δx
Em = Pm Δt = Pm
v
1
Em = μω2 A2 Δx
2
Índice
Introducción
Función de onda
Ondas sinusoidales
Velocidad de las ondas mecánicas lineales
Onda en una cuerda: energía transmitida
Ondas de sonido
Onda de desplazamiento y onda de presión
Efecto Doppler
Reflexión y transmisión de ondas
Superposición de ondas
16

17. Ondas de sonido
Ondas longitudinales
Ondas sonoras armónicas: desplazamiento
de las moléculas respecto a su posición de
equilibrio:
s ( x, t ) = s0 sen(kx − ωt )
El desplazamiento de las moléculas provoca
variaciones de la densidad y presión del aire:
onda de presión y onda de densidad
Ondas de sonido
Desplazamiento respecto al
equilibrio
Movimiento de las partículas
un instante T/4 antes
Posición de las partículas
• s=0: partícula en su posición de equilibrio (x1 y x3)
• s>0: desplazamiento a la derecha de la posición de
equilibrio
• s<0: desplazamiento a la izquierda de la posición
de equilibrio
17

18. Ondas de sonido
Desplazamiento respecto al
equilibrio
movimiento de las partículas
un instante T/4 antes
Posición de las partículas
Densidad del aire
La onda de densidad está
desfasada 90º respecto a la
onda de desplazamiento
Ondas de sonido
Desplazamiento respecto al
equilibrio
movimiento de las partículas
un instante T/4 antes
Posición de las partículas
Densidad del aire
Onda de presión
π
p ( x, t ) = p0 sen(kx − ωt − )
2
18

19. Ondas de sonido
Relación entre las amplitudes de presión y de
desplazamiento
p0 = ρvωs0
⎧ρ → densidad de equilibrio
⎪
Donde: ⎨v → velocidad de la onda
⎪ωs → velocidad longitudinal máxima
⎩ 0
19
Ondas de sonido: aplicación
Frecuencias de sonido audible para el hombre:
20 Hz – 20000 Hz
Frecuencias mayores: ultrasonidos
Frecuencias menores: infrasonidos
Máxima amplitud de presión que el oído humano
puede tolerar: 28 Pa
¿De qué orden es la amplitud de desplazamiento
máxima que puede soportar el oído humano?
p0 28 Pa
s0 = = = 11 μm
vρω ( 343 m/s ) (1.21 kg/m ) 2π 1000 Hz
3

20. Índice
Introducción
Función de onda
Ondas sinusoidales
Velocidad de las ondas mecánicas lineales
Onda en una cuerda: energía transmitida
Ondas de sonido
Efecto Doppler
Reflexión y transmisión de ondas
Superposición de ondas
Efecto Doppler
Cambio en la percepción del sonido cuando existe
movimiento relativo entre emisor y receptor
Ejemplo: Sirena de ambulancia o de coche de policía
Debe su nombre al físico austriaco Christian J.
Doppler (1803-1853)
Causa: diferencia entre la frecuencia percibida por
el receptor ( fr ) y la emitida por la fuente ( ff )
Efecto asociado a todo tipo de ondas
20

21. Efecto Doppler
• Cuando el receptor y la fuente se acercan los
frentes de onda se juntan: fr > ff
• Cuando el receptor y la fuente se alejan los frentes
de onda se separan: fr < ff
Efecto Doppler
Fuente y receptor estáticos
• Tiempo emisión entre 1 λ
frentes de onda: T f = =
ff v
• Velocidad de los frentes
F R
de onda: v
v
λ • Distancia entre frentes: λ
λ
• Tiempo entre frentes: Tr =
v
• Frecuencia recibida:
fr =
1 v
= fr = f f
Tr λ 21

22. Efecto Doppler
Receptor en movimiento
λ
• Tiempo entre frentes: Tr =
v + vr
• Frecuencia recibida:
v + vr v + vr
F v R fr = fr = f f
λ v
λ vr
• R se acerca a F ( vr > 0 ): f r > f f
• R se aleja de F ( vr < 0 ): f r < f f
• Si vr = 0 : f r = f f
Efecto Doppler
Fuente en movimiento
• Velocidad de los frentes: v
• Distancia entre frentes:
λr = λ − v f Tf
F′ F v f v R
• Frecuencia recibida:
v f Tf λr v v
fr = = ff
λ − v f Tf v − vf
Si F se aleja de R: v f < 0
22

23. Efecto Doppler: ecuación
general
Si receptor y fuente están en movimiento:
v + vr
fr = f f
v − vf
Cuando F se mueve hacia R: vf > 0, en caso
contrario vf < 0
Cuando R se mueve hacia F: vr > 0, en caso
contrario vr < 0
Las velocidades vf y vr se miden respecto al aire
Efecto Doppler: ondas de
choque
v + vr
fr = f f
v − vf
Si v f = v ⇒ f r = ∞
Esta ecuación no sirve para vr ≥ v ó v f ≥ v
Si v f > v las ondas
se concentran tras el
foco y forman una
onda de choque
23

24. Efecto Doppler: ondas de
choque
Efecto Doppler: ondas de
choque
Tangente común de
todos los frentes de
onda
Cono de Mach
θ Estampido
Ángulo de Mach sónico
24

25. Efecto Doppler: ondas de
choque
• Δt: tiempo desde la
emisión del frente de
ondas en P
• Espacio recorrido
por el avión: vf Δt
vf Δt • Espacio recorrido
P por el frente de ondas:
θ vΔt
vΔt vΔt v
sen θ = =
v f Δt v f
vf
Número de Mach
v
Efecto Doppler: ondas de
choque
25

26. Efecto Doppler: ondas de
choque
Vehículo THRUST SSC superando el récord de
velocidad terrestre (Mach 1,020)
Efecto Doppler: ondas de
choque
Bala desplazándose con un número de Mach 2,45
26

27. Índice
Introducción
Función de onda
Ondas sinusoidales
Velocidad de las ondas mecánicas lineales
Onda en una cuerda: energía transmitida
Ondas de sonido
Efecto Doppler
Reflexión y transmisión de ondas
Reflexión total
Transmisión
Superposición de ondas
Reflexión y transmisión de
ondas
Hasta ahora hemos estudiado la transmisión
de ondas en un medio infinito
Vamos a analizar lo que ocurre cuando una
onda alcanza la frontera entre dos medios.
Fenómenos relacionados:
Reflexión: onda que regresa
Ejemplo: eco
Transmisión: onda se propaga a través del
nuevo medio
Ejemplo: luz en el agua
27

28. Reflexión y transmisión de
ondas
Reflexión total: onda en una cuerda
Cuerda con extremo fijo
Pulso reflejado con la misma forma que el pulso
incidente, pero invertido
Reflexión y transmisión de
ondas
Reflexión total: onda en una cuerda
Cuerda con extremo libre
Pulso reflejado con la misma forma que el incidente
28

29. Reflexión y transmisión de
ondas
Reflexión-transmisión: onda en una cuerda
Cuerda pesada
unida a otra más
ligera
Onda reflejada
no se invierte
Cuerda ligera
unida a otra más
pesada
Onda reflejada es
invertida
Reflexión y transmisión de
ondas
Una onda se verá parcialmente transmitida y
parcialmente reflejada en la superficie de
separación entre dos medios en los cuales
su velocidad sea diferente
Si las velocidades son parecidas: transmisión es
dominante
Ejemplo: oído interno de los peces
Si las velocidades son muy diferentes: reflexión
es dominante
Ejemplo: radiocomunicación
29

30. Índice
Introducción
Función de onda
Ondas sinusoidales
Velocidad de las ondas mecánicas lineales
Onda en una cuerda: energía transmitida
Ondas de sonido
Efecto Doppler
Reflexión y transmisión de ondas
Superposición de ondas
Principio de superposición
Interferencia de ondas armónicas
30
Superposición de ondas
En un medio puede propagarse varias
perturbaciones simultáneamente
Ejemplo: varias personas hablando a la vez
Principio de superposición:
Cuando dos o más ondas se combinan en
un determinado punto la perturbación
resultante es la suma de las perturbaciones
provocadas por cada onda
Se deduce de la linealidad de la ecuación de
ondas

31. Superposición de ondas
Consecuencia del Principio de Superposición: dos
ondas pueden pasar la una a través de la otra sin
ser destruidas ni modificadas
Interferencia: fenómeno ondulatorio que se presenta
cuando dos o más ondas se superponen
31
Superposición de ondas:
interferencia de ondas armónicas
y1 = A sen(kx − ωt )
y2 = A sen( kx − ωt + δ)
y1 + y2 = 2 A cos( δ )sen(kx − ωt + δ )
2 2
( Donde hemos usado: sen a + sen b = 2cos( a −b )sen( a +b ) )
2 2
Onda resultante con la misma f y λ
La amplitud depende de δ (diferencia de fase)
31

32. Superposición de ondas:
interferencia de ondas armónicas
y1 + y2 = 2 A cos( δ )sen(kx − ωt + δ )
2 2
A′ Onda resultante
Onda 2
Si δ=0, cos(δ/2)=1 y A’=2A;
interferencia constructiva
Onda 1
Onda 2 Onda resultante
Si δ=π, cos(δ/2)=0 y A’=0;
interferencia destructiva
Onda 1
Resumen del tema (I)
Onda: perturbación que se propaga sin transmisión de materia.
La ondas mecánicas son las que requieren de un medio
material para propagarse.
Una forma de onda que se propaga sin deformarse se
denomina onda lineal, tiene la ecuación f(x±vt) y es solución de
la ecuación de ondas lineal.
La ondas sinusoidales son una solución particular de la
ecuación de ondas lineal.
La velocidad de una onda lineal sólo depende del medio en
que se propaga, pero no de su frecuencia.
La energía transmitida por una onda aumenta con el cuadrado
de su amplitud y de su frecuencia.
32

33. Resumen del tema (II)
El efecto Doppler:
Es un cambio en la frecuencia de la onda percibida respecto a la
emitida
Se produce en todos los tipos de onda cuando existe movimiento
relativo entre el emisor y el receptor
Cuando una onda atraviesa la superficie de separación entre dos
medios en los cuales se propaga a diferente velocidad aparecen
los fenómenos de reflexión y transmisión.
El principio de superposición para ondas lineales:
Es una consecuencia de la linealidad de la ecuación de ondas
Establece que cuando dos o más ondas se combinan en un
determinado punto la perturbación resultante es la suma de las
perturbaciones provocadas por cada onda
Se denomina interferencia al fenómeno que se produce cuando
se superponen dos o más ondas.
33