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Resolución de ecuaciones de primer grado
Índice <ul><li>Definiciones </li></ul><ul><li>Resolución de ecuaciones de primer grado sencillas </li></ul><ul><li>Resoluc...
Identidades y ecuaciones <ul><li>Una identidad es una igualdad que se cumple siempre. </li></ul><ul><li>Por ejemplo:  3a =...
Ecuaciones de primer grado segundo miembro primer miembro Una ecuación de primer grado es  una igualdad  formada por uno o...
Son ecuaciones de primer grado? NO SI NO
Resolución de ecuaciones de primer grado Ejemplo : <ul><li>2x +3 = 5 – x  </li></ul><ul><li>Pasamos  cambiando  de signo  ...
Mas ejemplos      3x  –  1  =  2 3x  =  2 + 1  =>  3x  =  3 =>  x  =  3/3  =>  x = 1 2x  –  5  =  x  +  2   2x - x  = 2 + ...
En definitiva... 5x  +  2x  –  3x  +  4x  –  6  +  8  –  3x  +  1   =  2x  –  5  +  4x  –  6  +  2   5x + 2x - 3x + 4x - 3...
Ecuaciones con paréntesis <ul><li>Quitamos los paréntesis con la regla del producto.  </li></ul>-  3  (  2x  +  1  )  + 5 ...
EJERCITEMOS <ul><li>1)  x + 2 = 5  Despejar la incógnita </li></ul><ul><li>x = 5 – 2 </li></ul><ul><li>x = 3 </li></ul><ul...
<ul><li>2)  -  4x  +  3  -  3x  +  2  =  5x  +  6 </li></ul>
<ul><li>3)  6x  –  5  =  7x  +  4 </li></ul>
<ul><li>4)  2 ( 6x  +  1  ) =  3x  –  5 </li></ul>
<ul><li>5) 6 +  3x  = 3( 2x  + 1) </li></ul>
<ul><li>6)  3 (- 2x  -  3 ) = - 6 ( 3x  -  2 ) </li></ul>
<ul><li>7)  x  +  2 ( 3x  -  6 ) =  2 ( x  +  3 ) -  6 (  x  +  1 ) </li></ul>
<ul><li>8) 2(x - 1) + 2(x + 1) = 6(x + 3) -5(2  - 7x) </li></ul>
<ul><li>9)  -3(3x+1+4x)=-9x-1 </li></ul>
<ul><li>10) 2(-x-1)-3(x-9)=2 </li></ul>
<ul><li>11) 2(x+1)+2(6x+5)+9(-3x-2)=4 </li></ul>
Ecuaciones con denominadores <ul><li>Caso: una fracción a la izquierda y otra a la derecha </li></ul>3 ( x – 1 )  =  2 ( 4...
Ecuaciones con denominadores <ul><li>Caso general :Más de una fracción a la izquierda y/o más de una fracción a la derecha...
¡Ejemplo importante! <ul><li>Si las fracciones contienen más de un número o incógnita,  </li></ul>Tendremos que colocar pa...
Y el ejemplo mas complicado... <ul><li>Si tenemos números que multiplican a paréntesis </li></ul>Multiplica Multiplica por...
Un ejemplo mas y ejercicios 1 ·  x – 2 ·  (4x – 5) = 3 ·  3x  x – 8x + 10 = 9x x – 8x –9x = -10  m.c.m. (6,3,2) = 6  ;   -...
Más ejercicios.... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
SIGAMOS EJERCITANDO <ul><li>1) 4x  +  6  =  2x  + 1 </li></ul>3
<ul><li>2)  6x  +  6 = 3x  -  23 </li></ul>2 3
<ul><li>3)  2 x+  3( x  -  5 )  = 2x </li></ul>3 2
<ul><li>4)  - 3x  +  2  + 5x =  2 </li></ul>4 2
<ul><li>5) 6x + -2(x – 3)  -  -2(x + 1)= 2  3x-  4x  +  4 </li></ul>5 6 2 ) (
Un aspecto a recordar <ul><li>Podemos dejar la incógnita a la derecha de la ecuación. ¡Y sigue estando bien!. </li></ul>Ej...
Traducción a lenguaje algebraico <ul><li>Sea el número pedido la letra   X </li></ul><ul><li>El doble de un número  </li><...
Traducción a lenguaje algebraico I <ul><li>El  doble de un número  más  la cuarta parte del mismo número </li></ul><ul><li...
Resolución de problemas <ul><li>Identifica la incógnita </li></ul><ul><li>Plantea la ecuación. </li></ul><ul><li>Resuelve ...
Primer ejemplo 1) Identifica X: El número pedido 2) Plantea 3) Resuelve 4) Comprueba 18-12 = 6 ; 18/3 =6=> 6 = 6 5) Expres...
Segundo ejemplo 1) Identifica X: El número pedido 2) Plantea 3) Resuelve 4) Comprueba 8/2+20 =24 ; 3*8=24 =>24 = 24 5) Exp...
Tercer ejemplo 1) Identifica: Precio helado :  Precio cómic:  Precio videojuego 2) Plantea: 3) Resuelve: 4) Comprueba: 11+...
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  1. 1. Resolución de ecuaciones de primer grado
  2. 2. Índice <ul><li>Definiciones </li></ul><ul><li>Resolución de ecuaciones de primer grado sencillas </li></ul><ul><li>Resolución de ecuaciones con paréntesis </li></ul><ul><li>Resolución de ecuaciones con denominadores </li></ul><ul><li>Resolución de problemas </li></ul>
  3. 3. Identidades y ecuaciones <ul><li>Una identidad es una igualdad que se cumple siempre. </li></ul><ul><li>Por ejemplo: 3a = a + a + a se cumple para cualquier valor de a. </li></ul><ul><li>En cambio, una ecuación es una igualdad que sólo se cumple para algún o algunos valores . </li></ul><ul><li>Por ejemplo: a + 4 = 6 sólo se cumple para a =2 . </li></ul>
  4. 4. Ecuaciones de primer grado segundo miembro primer miembro Una ecuación de primer grado es una igualdad formada por uno o más polinomios de primer grado y en la que la variable es una letra llamada incógnita . Términos de la ecuación
  5. 5. Son ecuaciones de primer grado? NO SI NO
  6. 6. Resolución de ecuaciones de primer grado Ejemplo : <ul><li>2x +3 = 5 – x </li></ul><ul><li>Pasamos cambiando de signo 2x + x = 5 - 3 </li></ul><ul><li>Hacemos las operaciones con números enteros 3x=2 </li></ul><ul><li>El 3 pasa dividiendo x=2/3 </li></ul>
  7. 7. Mas ejemplos     3x – 1 = 2 3x = 2 + 1 => 3x = 3 => x = 3/3 => x = 1 2x – 5 = x + 2 2x - x = 2 + 5 => x = 7 7x – 6 + 6 = 5x + 3 + 6 7x - 5x = 6 + 3 + 6 - 6 2x = 6+3 => 2x = 9 => x = 9/2     8 –x = 4 + 2 - x = 4 + 2 - 8 =>- x = 6 - 8 =>- x =- 2 => x=2
  8. 8. En definitiva... 5x + 2x – 3x + 4x – 6 + 8 – 3x + 1 = 2x – 5 + 4x – 6 + 2 5x + 2x - 3x + 4x - 3x - 2x - 4x = - 5 - 6 + 2 + 6 - 8 - 1 11x - 12x = 8 - 20 -x = - 12 => x = 12 No olvides cambiar de signo la x cuando ésta sea negativa, CAMBIANDO DE SIGNO EL NÚMERO DE LA DERECHA
  9. 9. Ecuaciones con paréntesis <ul><li>Quitamos los paréntesis con la regla del producto. </li></ul>- 3 ( 2x + 1 ) + 5 ·( - x + 6 ) = 7 - 6x – 3 – 5x + 30 = 7 - 6x – 5x = 7 - 30 + 3 - 11x = -20 =>
  10. 10. EJERCITEMOS <ul><li>1) x + 2 = 5 Despejar la incógnita </li></ul><ul><li>x = 5 – 2 </li></ul><ul><li>x = 3 </li></ul><ul><li>2) - 4x + 3 - 3x + 2 = 5x + 6 </li></ul><ul><li>3) 6x – 5 = 7x + 4 </li></ul><ul><li>4) 2(6x + 1 ) = 3x – 5 </li></ul><ul><li>5) 6 + 3x = 3(2x + 1) </li></ul><ul><li>6) 3(-2x - 3) = -6(3x - 2) </li></ul><ul><li>7) x + 2(3x - 6) = 2(x + 3) - 6( x + 1) </li></ul><ul><li>8) 2(x - 1) + 2(x + 1) = 6(x + 3) -5(2 - 7x) </li></ul><ul><li>9) -3(3x+1+4x)=-9x-1 </li></ul><ul><li>10) 2(-x-1)-3(x-9)=2 </li></ul><ul><li>11) 2(x+1)+2(6x+5)+9(-3x-2)=4 </li></ul>
  11. 11. <ul><li>2) - 4x + 3 - 3x + 2 = 5x + 6 </li></ul>
  12. 12. <ul><li>3) 6x – 5 = 7x + 4 </li></ul>
  13. 13. <ul><li>4) 2 ( 6x + 1 ) = 3x – 5 </li></ul>
  14. 14. <ul><li>5) 6 + 3x = 3( 2x + 1) </li></ul>
  15. 15. <ul><li>6) 3 (- 2x - 3 ) = - 6 ( 3x - 2 ) </li></ul>
  16. 16. <ul><li>7) x + 2 ( 3x - 6 ) = 2 ( x + 3 ) - 6 ( x + 1 ) </li></ul>
  17. 17. <ul><li>8) 2(x - 1) + 2(x + 1) = 6(x + 3) -5(2 - 7x) </li></ul>
  18. 18. <ul><li>9) -3(3x+1+4x)=-9x-1 </li></ul>
  19. 19. <ul><li>10) 2(-x-1)-3(x-9)=2 </li></ul>
  20. 20. <ul><li>11) 2(x+1)+2(6x+5)+9(-3x-2)=4 </li></ul>
  21. 21. Ecuaciones con denominadores <ul><li>Caso: una fracción a la izquierda y otra a la derecha </li></ul>3 ( x – 1 ) = 2 ( 4x – 5 ) 3x - 3 = 8x - 10 => 3x-8x = -10+3 -5x = -7 => x=7/5 <ul><ul><li>Podemos multiplicar en cruz de esta manera </li></ul></ul><ul><ul><li>Y resolvemos como hasta ahora </li></ul></ul>
  22. 22. Ecuaciones con denominadores <ul><li>Caso general :Más de una fracción a la izquierda y/o más de una fracción a la derecha </li></ul><ul><ul><li>Multiplicamos TODA la ecuación por el M.C.M. de los denominadores </li></ul></ul><ul><ul><li>Primero dividimos y después multiplicamos </li></ul></ul>m.c.m. ( 6, 4 ) = 2 2 ● 3 = 12 6 = 2 ● 3 4 = 2 ● 2 = 2 2
  23. 23. ¡Ejemplo importante! <ul><li>Si las fracciones contienen más de un número o incógnita, </li></ul>Tendremos que colocar paréntesis y aplicar la regla del producto. 1 ● x – 2 ● (4x – 5) = 3 ● 3x x – 8x + 10 = 9x - 16x = -10 => - 7x – 9x = -10
  24. 24. Y el ejemplo mas complicado... <ul><li>Si tenemos números que multiplican a paréntesis </li></ul>Multiplica Multiplica por el M.C.M. Quita los denominadores 9x + 18x – 40x = 10 + 25 – 18 – 30
  25. 25. Un ejemplo mas y ejercicios 1 · x – 2 · (4x – 5) = 3 · 3x x – 8x + 10 = 9x x – 8x –9x = -10 m.c.m. (6,3,2) = 6 ; - 16x = -10 ¡¡¡NO OLVIDES COLOCAR PARÉNTESIS!!! Ejercicios:
  26. 26. Más ejercicios.... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
  27. 27. SIGAMOS EJERCITANDO <ul><li>1) 4x + 6 = 2x + 1 </li></ul>3
  28. 28. <ul><li>2) 6x + 6 = 3x - 23 </li></ul>2 3
  29. 29. <ul><li>3) 2 x+ 3( x - 5 ) = 2x </li></ul>3 2
  30. 30. <ul><li>4) - 3x + 2 + 5x = 2 </li></ul>4 2
  31. 31. <ul><li>5) 6x + -2(x – 3) - -2(x + 1)= 2 3x- 4x + 4 </li></ul>5 6 2 ) (
  32. 32. Un aspecto a recordar <ul><li>Podemos dejar la incógnita a la derecha de la ecuación. ¡Y sigue estando bien!. </li></ul>Ejemplo: x -5 = 6x => -5 = 6x-x => -5 = 5x => -1 = x <ul><li>Lo que pasa es que podemos dar la vuelta a la igualdad así : </li></ul>x = -1 <ul><li>¿Sabes por qué? </li></ul>-1 = x => -x = 1=> x = -1 Ejercicio: 6 = x => x = 6 -3 = -x => -x = -3 => x=3
  33. 33. Traducción a lenguaje algebraico <ul><li>Sea el número pedido la letra X </li></ul><ul><li>El doble de un número </li></ul><ul><li>El triple de un número </li></ul><ul><li>El quíntuplo de un número </li></ul><ul><li>La mitad de un número </li></ul><ul><li>La séptima parte de un número </li></ul>2X 3X 5X X/2 X/7
  34. 34. Traducción a lenguaje algebraico I <ul><li>El doble de un número más la cuarta parte del mismo número </li></ul><ul><li>El cuádruplo de un número menos la mitad del triple de éste número es ocho </li></ul><ul><li>La suma de dos números consecutivos </li></ul><ul><li>Si yo tengo X años, dentro de tres años tendré, el doble de los que yo tuve hace 15 años </li></ul>2x + 4x - = 8 X + X+1 X+3 = 2( X – 15 )
  35. 35. Resolución de problemas <ul><li>Identifica la incógnita </li></ul><ul><li>Plantea la ecuación. </li></ul><ul><li>Resuelve la ecuación. </li></ul><ul><li>Comprueba la solución. </li></ul><ul><li>Expresa con palabras la solución. </li></ul>
  36. 36. Primer ejemplo 1) Identifica X: El número pedido 2) Plantea 3) Resuelve 4) Comprueba 18-12 = 6 ; 18/3 =6=> 6 = 6 5) Expresa El número pedido es el 18 Si restamos 12 a un número, se obtiene la tercera parte. ¿Cuál es el número?
  37. 37. Segundo ejemplo 1) Identifica X: El número pedido 2) Plantea 3) Resuelve 4) Comprueba 8/2+20 =24 ; 3*8=24 =>24 = 24 5) Expresa El número pedido es el 24 x/2 20 3x A) x/2+20=3x B) x/2=3x-20 ? Calcular la mitad de un número que es 20 unidades menor que su triple.
  38. 38. Tercer ejemplo 1) Identifica: Precio helado : Precio cómic: Precio videojuego 2) Plantea: 3) Resuelve: 4) Comprueba: 11+2,2+1,1=14,3 5) Expresa: El videojuego costaba 11€, el cómic 2,20€, y el helado 1,10€ 2x 5·2 x = 10x x Por un video juego, un comic y un helado, Andrés ha pagado 14,30 €. El video juego es cinco veces mas caro que el comic, y este cuesta el doble que el helado. ¿Cuál era el precio de cada artículo?
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