2. PROPORCIONALIDAD
La proporcionalidad es una relación o razón entre magnitudes mediales.
Directa e Inversa.
Para comprender el concepto de proporcionalidad, directa o inversa, debemos comenzar por
comprender el concepto de razón.
Razón y proporción numérica.
Razón entre dos números
Siempre que hablemos de razón entre dos números nos estaremos refiriendo al cociente (el
resultado de dividirlos) entre ellos.
Entonces:
Razón entre dos números a y b es el cociente
entre
Por ejemplo, la razón entre 10 y 2 es 5,
ya que
Y la razón entre los números
0,15 y 0,3 es
Proporción numérica
Ahora, cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre sí, para ver cómo se
comportan entre ellas, estaremos hablando de una proporción numérica.
Entonces:
Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la
misma que entre c y d.
Es decir
Se lee “a es a b como c es a d”

3. Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la misma
que la razón entre 8 y 20.
Es decir
En la
proporción
hay cuatro términos; a y d se llaman extremos, c y b se
llaman medios.
La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el
producto de los extremos es igual al de los medios.
Así, en la proporción anterior
Se cumple que el producto de los extremos nos da 2 x 20 = 40 y el producto de los medios
nos da 5 x 8 = 40
Comprendido el concepto de proporción como una relación entre números o magnitudes,
ahora veremos que esa relación puede darse en dos sentidos:
Las dos magnitudes pueden subir o bajar (aumentar o disminuir) o bien si una de las
magnitudes sube la otra bajo y viceversa.

4. Si ocurre, como en el primer caso, que las dos magnitudes que se comparan o relacionan
pueden subir o bajar en igual cantidad, hablaremos de Magnitudes directamente
proporcionales.
Si ocurre como en el segundo caso, en que si una magnitud sube la otra baja en la misma
cantidad, hablaremos de Magnitudes inversamente proporcionales.
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera
corresponde doble, triple... cantidad de la segunda, entonces se dice que esas
magnitudes son directamente proporcionales.
Ejemplo
Un saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?
Un cargamento de papas pesa 520 kg ¿Cuántos sacos de 20 kg se podrán hacer?
Número de sacos 1 2 3 ... 26 ...
Peso en kg 20 40 60 ... 520 ...
Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20
Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20
Observa que
Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales.
La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20.
Esta manera de funcionar de las proporciones nos permite adentrarnos en lo que
llamaremos Regla de tres y que nos servirá para resolver un gran cantidad de problemas
matemáticos.

5. Otras propiedades de proporcionalidad
Sean:
1.-
2.-
3.-
4.-
5.- Si

6. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Ejemplo 1
En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar
contendrán 5.200 gramos de sal?
Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc.
Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente proporcionales.
Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y formamos
la siguiente tabla:
Litros de agua 50 x
Gramos de sal 1.300 5.200
Se verifica la proporción:
Y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de extremos (en
palabras simples, se multiplican los números en forma cruzada) resulta:
50 por 5.200 = 1.300 por x
Es decir
En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:
Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el
nombre de regla de tres simple directa.
Ejemplo 2
Un automóvil gasta 5 litros de gasolina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros,
¿cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil?

7. Luego, con 6 litros el automóvil recorrerá 120 km
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA.
Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente
proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una
cantidad dada de la otra magnitud.
La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las
relaciones:
De más menos.
De menos más.
Ejercicios.-
1.- Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito.
¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto?
Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos litros por minuto tardará
más en llenar el depósito.
18 l/min 14 h
7 l/min x h
2.- 3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 6 obreros?
Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos
horas.
3 obreros 12 h
6 obreros x h

8. MAGNITUDES QUE SON DIRECTAMENTE PROPORCIONAL.
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de
ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número.
Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando:
A más corresponde más.
A menos corresponde menos.
Son magnitudes directamente proporcionales, el peso de un producto y su precio.
Ejercicios:
1.- Si 1 kg de tomates cuesta 1 $, 2 kg costarán 2 $ y ½ kg costará 50 centavos.
Es decir: A más kilógramos de tomate más dólares. A menos kilógramos de tomate menos
dólares.
También son directamente proporcionales:
El espacio recorrido por un móvil y el tiempo empleado.
El volumen de un cuerpo y su peso.
La longitud de los lados de un polígono y su área.
FRACIONES.
La fracción es un número, que se obtiene de dividir una totalidad en partes iguales. Por
ejemplo cuando decimos un cuarto de hora o una cuarta parte de la torta, estamos
dividiendo la hora y la torta en cuatro partes y consideramos una de ellas. Sabemos que no
es lo mismo un cuarto de hora que cuarta torta, pero se "calculan" de la misma manera:
dividiendo la totalidad (una hora o una torta) en 4 partes iguales y tomando una de ellas.
Multiplicación de Fracciones
En la multiplicación de fracciones, las fracciones homogéneas y heterogéneas se
multiplican de la misma forma:
Ejemplo: 2 · 3 = 6 = 2 · 3 _ = 1
3 4 12 3 · 2 ·2 2

9. División de Fracciones
En la división de fracciones, siempre se cambia a multiplicación y la segunda fracción
cambia a su recíproco.
Ejemplo:
3 ÷ 4 = 3 · 3 = 9
5 3 5 4 20
Ejemplo:
3 ÷ 1 = 3 · 2 = 6
7 2 7 1 7
Suma de Fracciones A
Objetivo:
 Suma y resta de fracciones
 Comparación de fracciones utilizando las reglas de proporción
Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente.
Veamos: Sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar podemos
seguir la siguiente regla:
a + c = ad + bc (se multiplica cruzado y los productos de suman)
b d bd (se multiplican los denominadores)
Suma de Fracciones B
Para sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que existen 2 tipos de fracciones:
1. Fracciones homogéneas ( 1, 3, 5 )
4 4 4
2. Fracciones heterogeneas ( 1, 2, 3 )
3 5 7

10. Las fracciones homogéneas son las fracciones que tienen el mismo denominador; y las
fracciones heterogeneas son las fracciones que tienen diferentes denominadores.
Ejemplo de suma de fracciones homogéneas:
1 + 3 = 4 <Son fracciones homogéneas ya que
5 5 5 tienen el mismo denominador. Las
fracciones homogéneas, en suma, se
suman los numeradores y el
denominador se queda igual.>
2 + 3 = 5
7 7 7
Ejemplo de suma de fracciones heterogéneas:
1 +1
4 2 <Aquí es diferente, las fracciones son
heterogéneas; los denominadores son
diferentes.>
Para sumar fracciones heterogéneas:
1. Se multiplican los denominadores.
2. Se multiplica cruzado y se coloca en el numerador.
3. Se suman los productos para obtener el numerador.
1 + 1
4 2
Paso 1 : 1 + 1 = ___ <Se multiplicaron los denominadores 4 · 2 = 8>
4 2 8
Paso 2 : 1 + 1 = (2 ·1) + (4 · 1) < Se multiplicó cruzado>
4 2 8

11. Paso 3: 2 + 4 = 6 < Se suman los productos para obtener el numerador.>
8 8
Paso 4: 6 ÷ 2 = 3 < Se simplifica la fracción si es posible.>
8 2 4
Resta de Fracciones
En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones; pero en
este caso hay que restar.
Ejemplo 1:
5 - 1 = 4 Resta de Fracciones Homogéneas
9 9 9
Ejemplo 2:
2 - 1 = ( 2 · 2) - (3 · 1) = 4 - 3 = 1
3 2 6 6 6
INECUACIONES
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan
por uno de estos signos:
< menor que 2x − 1 < 7
≤ menor o igual que 2x − 1 ≤ 7
> mayor que 2x − 1 > 7
≥ mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7
La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica.
La solución de la inecuación se expresa mediante:
1. Una representación gráfica.
2. Un intervalo.

12. 2x − 1 < 7
2x < 8 x < 4
(-∞, 4)
2x − 1 ≤ 7
2x ≤ 8 x ≤ 4
(-∞, 4]
2x − 1 > 7
2x > 8 x > 4
(4, ∞)
2x − 1 ≥ 7
2x ≥ 8 x ≥ 4
[4, ∞)

13. Inecuaciones equivalentes
1.- Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo
número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.
3x + 4 < 5 3x + 4 − 4 < 5 − 4 3x < 1
2.- Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo
número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.
2x < 6 2x : 2 < 6 : 2 x < 3
3.- Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo
número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.
−x < 5 (−x) · (−1) > 5 · (−1) x > −5
4.- Si restamos dos desigualdades de sentido contrario la desigualdad tiene el sentido
de la desigualdad minuendo.
12 > 8 ‒ 8 ˂ 10 = -4 ˂ 2
5.- En toda desigualdad si los dos miembros tienen el mismo signo, podemos elevar
una misma potencia impar o extraer la raíz impar, sin cambiar el sentido de la
desigualdad.
83 ˂ 103 = 512 ˂ 1000
6.- Una desigualdad con términos positivos, al elevar ambos miembros a una
´potencia, se mantiene el mismo sentido.
(8)2 < (10)2 = 64 < 100
7.- Si dividimos dos desigualdades de sentido contrario, la desigualdad resultante tiene
el sentido de la desigualdad dividendo.
8 < 10 / 4 > 2 = 2 < 5

14. 8.- Si una desigualdad presenta el mismo signo en ambos miembros al dividir los
miembros cambia el sentido de la desigualdad.
8/2 < 10/2 = 2/8 > 2/10
9.- Si el producto de dos cantidades es mayor que (0), entonces ambas cantidades son
positivas, o ambas cantidades son negativas.
8 x 2 = 16 16 > 0 ; -8 x -2 = 16 16 > 0
10.- Si el producto de dos cantidades es menor que (0), entonces una de ellas es negativa.
-8 x 2 = -16 -16 < 0
REGLAS DE TRANSPOCISION
1.- En toda desigualdad al transportar términos de un miembro a otro, estos cambian
de signo.
8 > 2 = -2 < 8 ; 3x + 5 – x < 2x + 4 -3 → 3x – x – 2x < 4 – 3 – 5
2.- Todo factor o divisor positivo puede pasar de un miembro a otro de la desigualdad al
dividir o multiplicar, conservando el sentido de la desigualdad.
2x + 3 < 5x – 2 → 3 + 2 < 5x – 2x → 5 < 3x → 5/3 < x
3.- Todo factor o divisor negativo puede pasar de un miembro a otra de la desigualdad, al
dividir o multiplicar cambia el sentido de la desigualdad.
-8x < 24 → x > 24/-8
4.- En toda desigualdad al cambiar de signo a todos los términos, el sentido de la desigualdad
cambia.
-2x < 18 → 2x > -18
5.- En toda desigualdad al cambiar el orden de los miembros, cambia el sentido de la
desigualdad.
2 < 4 → 4 > 2

15. NOTACION DE CONJUNTO
X < 7 → (-∞ , 7) R = {x/x < 7}
X > 7 → (7 , + ∞) R = {x/x > 7}
X ≤ 7 → (-∞ , 7] R = {x/x ≤ 7}
X ≥ 7 → [7 , +∞) R = {x/x ≥ 7}