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I.E.S. Élaios
Departamento de Física y Química
Física y Química 4º ESO: guía interactiva
para la resolución de ejercicios
FUERZAS Y MOVIMIENTO
Descripción del movimiento
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
Índice
 Ejercicio 1
 Ejercicio 2
 Ejercicio 3
 Ejercicio 4
 Ejercicio 5
 Ejercicio 6
 Ejercicio 7
 Ejercicio 8
 Ejercicio 9
 Ejercicio 10
 Ejercicio 11
 Ejercicio 12
 Ejercicio 13
 Ejercicio 14
 Ejercicio 15
 Ejercicio 16
 Ejercicio 17
 Ejercicio 18
 Ejercicio 19
 Ejercicio 20
 Ejercicio 21
 Ejercicio 22
 Ejercicio 23
 Ejercicio 24
 Ejercicio 25
 Ejercicio 26
 Ejercicio 27
 Posición, desplazamiento y distancia recorrida
 Velocidad media y aceleración media
 Gráficas x-t y v-t
 Movimiento rectilíneo uniforme
 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
 Caída libre y lanzamiento hacia arriba
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
Ayuda
En un movimiento rectilíneo, la posición (x) de un cuerpo se determina mediante su distancia
a otro cuerpo tomado arbitrariamente como sistema de referencia. En general, se utilizan los
signos + y – para diferenciar las posiciones situadas a la derecha y a la izquierda, respectiva-
mente, del sistema de referencia.
El desplazamiento (∆x) se determina restando a la posición final (xf) la posición inicial (xi):
(∆x) = xf – xi
El desplazamiento será positivo o negativo según el sentido del movimiento; en el primer caso
el móvil avanza de posiciones negativas a posiciones positivas; en el segundo caso, el móvil
se desplaza del lado positivo al lado negativo. Esto significa que el desplazamiento es una
magnitud vectorial, pues para su determinación se requiere un número, una dirección y un
sentido.
En el lenguaje ordinario, desplazamiento (∆x) es sinónimo de distancia recorrida (s), pero en
Física no siempre coinciden y esta es una de las dificultades añadidas que presenta el apren-
dizaje de las ciencias. Así, un ciclista que sale de su casa y que, al cabo de cierto tiempo,
vuelve al mismo sitio, tiene un desplazamiento cero, aunque su cansancio le indica que ha
recorrido unos cuantos kilómetros. El desplazamiento puede ser positivo, negativo o cero,
pero la distancia recorrida siempre es positiva y nunca cero si ha habido movimiento. La dis-
tancia recorrida se obtiene sumando todos los desplazamientos tomados en valor absoluto.
Sólo en los movimientos sin cambio de sentido coinciden el módulo del desplazamiento y la
distancia recorrida.
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
Ayuda
La velocidad media de un móvil es el desplazamiento realizado en la unidad de tiempo. Se
calcula dividiendo el desplazamiento (∆x) por el tiempo invertido (t):
t
x
vm
∆
=
En el S.I., la velocidad se mide en metros por segundo (m/s).
La aceleración media es la variación de la velocidad por unidad de tiempo. Se calcula divi-
diendo la variación de la velocidad (∆v) por el tiempo invertido (t):
t
v
am
∆
=
En el S.I., la aceleración se mide en metros por segundo cada segundo, esto es, en metros
por segundo al cuadrado (m/s²).
En una gráfica posición-tiempo (x-t) podemos analizar los cambios de velocidad por medio
de los cambios de pendiente de la recta tangente a la curva en cada uno de sus puntos.
En una gráfica velocidad-tiempo (v-t) podemos analizar los cambios de aceleración por me-
dio de los cambios de pendiente de la recta tangente a la curva en cada uno de sus puntos.
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
Ayuda
 Movimiento rectilíneo con velocidad constante (MRU)
Es el movimiento de un objeto que, en intervalos de tiempo iguales, realiza desplazamientos
iguales, es decir, su velocidad es constante. Este movimiento se califica como uniforme.
La gráfica x-t para este tipo de movimiento es una línea recta (pendiente constante). La
pendiente representa la velocidad del móvil.
La gráfica v-t, al ser la velocidad constante, será una recta horizontal.
 Movimiento rectilíneo con aceleración constante (MRUA)
Es el movimiento de un cuerpo que, en intervalos de tiempo iguales, experimenta variaciones
iguales de velocidad, esto es, su aceleración es constante. Este movimiento rectilíneo se llama
uniformemente acelerado.
La gráfica x-t para este tipo de movimiento es una línea curva (pendiente variable). Más
concretamente, dicha curva es una rama de parábola.
La gráfica v-t ahora es una línea recta (pendiente constante). La pendiente representa la
aceleración del móvil.
La gráfica a-t, al ser la aceleración constante, será una recta horizontal.
 Ecuaciones del movimiento MRU MRUA
Posición x = xo + vt x = xo + vot + ½ at2
Desplazamiento ∆x = vt ∆x = vot + ½ at2
Velocidad Constante v = vo + at
Aceleración Nula Constante
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
Ayuda
Para resolver los ejercicios de caída libre y, en general, cualquier ejercicio de Física, es
conveniente disponer de algún procedimiento o algoritmo de resolución. El que se
presenta a continuación no debe entenderse como un conjunto de pasos que hay que
seguir de manera estricta y rutinaria, sino como una serie de reglas orientativas:
 Dibujar un esquema detallado de la situación descrita en el enunciado del ejercicio.
 Elegir un sistema de referencia y establecer, de acuerdo con el mismo, las condiciones
iniciales. Esta elección es arbitraria: sólo depende del que está haciendo el ejercicio.
 Escribir las ecuaciones del MRUA para el caso particular que estamos estudiando.
 Hacer los cálculos pertinentes.
 Analizar los resultados obtenidos.
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
Calcula el desplazamiento realizado por una bola que se mueve sobre el carril mostrado en la figura:
a) al pasar del punto A al B;
b) al pasar del punto B al D;
c) al pasar del punto B al C;
d) al pasar del punto D al A.
1
0 10 cm 20 cm 30 cm 40 cm 50 cm
-50 cm -40 cm -30 cm -20 cm -10 cm
A D B C
# Recuerda la definición de desplazamiento.
cm80)50(30xxx ABAB =−−=−=∆a)
cm503020xxx BDBD −=−−=−=∆b)
cm203050xxx BCBC =−=−=∆c)
cm30)20(50xxx DADA −=−−−=−=∆d)
# Analiza los resultados obtenidos.
Vemos que el signo del desplazamiento (+ ó -)
está relacionado con el sentido del movimiento
(hacia la derecha o hacia la izquierda).
Esto nos indica que el desplazamiento es una
magnitud vectorial.
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
‚
Un profesor de guardia se mueve, arriba y abajo, a largo de un pasillo rectilíneo. A partir
del aula de 6º G, recorre 10 m hacia la derecha, 15 m hacia la izquierda y 8 m hacia la
derecha. Si la puerta de dicha aula se toma como sistema de referencia, halla el
desplazamiento total y la distancia recorrida por el profesor.
2
‚
# Dibuja un esquema con el movimiento del profesor.
‚‚ ‚
6º G-10 m 5 m 10 m-5 m
# Calcula el desplazamiento total.
m30m3xxx if =−=−=∆
# Calcula la distancia recorrida.
s = 10 m + 15 m + 8 m = 33 m
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
3
a) Oímos por la radio que el AVE se ha detenido en el km 300 de su trazado ferroviario cerca de una
dolina aparecida recientemente. ¿Nos están informando de la distancia recorrida por el AVE antes
de pararse o del lugar exacto donde ha ocurrido el suceso?
b) El cuentakilómetros del autobús urbano Almozara-Cementerio aumenta en 8 km en el recorrido de
ida y 10 km en el recorrido de vuelta. Halla el desplazamiento del autobús y la distancia recorrida
en un trayecto completo.
# Antes de contestar al apartado a), ¿distingues entre posición, desplazamiento y
distancia recorrida?
Nos están informando de la posición en la que se encuentra el AVE,
independientemente de la distancia que haya podido recorrer.
# Contesta al apartado b).
El desplazamiento del autobús es cero, ya que vuelve al punto de partida.
La distancia recorrida es de 18 km (8 km a la ida más 10 km a la vuelta).
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
En algunos experimentos escolares, para estudiar el movimiento de un cuerpo se une al mismo una cinta
de papel que pasa por un cronovibrador. El cronovibrador deja una marca en el papel a intervalos de
tiempo iguales; como la cinta de papel está unida al móvil, el conjunto de marcas nos indica las
posiciones sucesivas del móvil. Más abajo se muestra una de esas cintas, en la que sabemos que el
tiempo transcurrido entre marca y marca es de 0,02 s y que la escala graduada puede estimar hasta 1
mm. Determina las posiciones del móvil y calcula su velocidad media en intervalos de 0,02 s.
4
t = 0 s
x = 0 cm
1 cm
Tiempo: t (s) Posición: x (m)
Desplazamiento:
∆x (m)
Velocidad media:
vm (m/s)
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
1,00
0,000
0,012
0,032
0,060
0,082
0,118
0,012
0,020
0,028
0,022
0,036
0,6
1,0
1,4
1,1
1,8
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
En los Campeonatos Mundiales de Atletismo de Tokio, celebrados en el verano de 1991,
el atleta Carl Lewis ganó la prueba de 100 m. La tabla siguiente muestra los tiempos de
Lewis cada 10 m. Completa la tabla y calcula la velocidad media cada 10 m de carrera.
¿En qué intervalo corrió más rápidamente?
5
Posición: x (m) Tiempo: t (s)
Variación
temporal: ∆t (s)
Velocidad media:
vm (m/s)
10 1,88
20 2,96
30 3,88
40 4,77
50 5,61
60 6,46
70 7,30
80 8,13
90 9,00
100 9,86
9,26
10,87
11,24
11,90
11,76
11,90
12,05
11,49
11,63
5,32
Se movió más deprisa
en el intervalo 70-80 m.
1,08
0,92
0,89
0,84
0,85
0,84
0,83
0,87
0,86
1,88
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
Durante un viaje a Teruel por una carretera rectilínea el cuentakilómetros de un coche
marca las velocidades indicadas más abajo. Calcula el valor de la aceleración media en
intervalos de 0,2 h. ¿En qué intervalo temporal la aceleración media es negativa? ¿Qué
significa?
2m
h
km
100
2,0
120100
2,0
)6,0(v)8,0(v
)h8,06,0(a −=
−
=
−
=→
2m
h
km
0
2,0
125125
2,0
)0,1(v)2,1(v
)h2,10,1(a =
−
=
−
=→
6
Tiempo:
t (h)
Velocidad:
v (km/h)
0,0 0
0,2 40
0,4 72
0,6 120
0,8 100
1,0 125
1,2 125
# Recuerda, antes de contestar, cómo se calcula la
aceleración media.
2m
h
km
200
2,0
040
2,0
)0(v)2,0(v
)h2,00(a =
−
=
−
=→
2m
h
km
160
2,0
4072
2,0
)2,0(v)4,0(v
)h4,02,0(a =
−
=
−
=→
2m
h
km
240
2,0
72120
2,0
)4,0(v)6,0(v
)h6,04,0(a =
−
=
−
=→
2m
h
km
125
2,0
100125
2,0
)8,0(v)0,1(v
)h0,18,0(a =
−
=
−
=→ Significa que en
dicho intervalo
el valor de la
velocidad ha
disminuido.
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
En una competición de atletismo, una estudiante del Instituto obtuvo, en el transcurso de
una carrera de 100 m, los resultados indicados en la siguiente gráfica posición-tiempo.
a) Determina en qué intervalo temporal la velocidad es menor.
b) ¿En qué intervalo espacial se mueve más deprisa?
7
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
t (s)
x (m)
# Recuerda cuál es el significado de la pendiente
de la tangente a la curva en un gráfico x-t y
contesta al apartado a).
I
II
III
IV
Si trazamos las tangentes a la curva en los
cuatro tramos que podemos distinguir en la
misma, vemos que tiene menos inclinación
(pendiente) la correspondiente al tramo I;
por tanto, en ese tramo, de 0 a 3 s, la velo-
cidad es menor.
# Contesta al apartado b).
La tangente del tramo III es la que tiene la
mayor pendiente; por consiguiente, de 8,4 a 9 s
es cuando la estudiante se mueve más rápi-
damente.
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
Indica de manera razonada cómo varía, a medida que transcurre el tiempo, la velocidad
de tres móviles cuyas gráficas posición-tiempo (x-t) se muestran a continuación.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 1 2 3 4 5 6
t (s)
x (m)
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 1 2 3 4 5 6
t (s)
x (m)
8
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0 1 2 3 4 5
t (s)
x (m)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0 1 2 3 4 5
t (s)
x (m)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 2 4 6 8 10 12
t (s)
x (m)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 2 4 6 8 10 12
t (s)
x (m)
Hemos trazado las tangentes a la
curva en los instantes 1, 2 y 3 s.
Vemos que sus pendientes son cada
vez mayores; por lo tanto, la
velocidad está aumentando.
En este caso, hemos trazado las
tangentes a la curva en los
instantes 0’1, 0’5 y 1 s. Vemos que
sus pendientes son cada vez
menores; por lo tanto, la velocidad
está disminuyendo.
Ahora la tangente a la “curva”
coincide con la propia recta. Como
su pendiente es constante, la
velocidad también es constante.
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
La siguiente gráfica velocidad-tiempo (v-t) corresponde al viaje a Teruel citado en un ejercicio anterior.
a) ¿En qué tramo la aceleración es máxima?
b) ¿Cuándo la aceleración es negativa?
c) ¿Existe algún tramo en el que la aceleración sea nula? ¿Cuál?
9
# Recuerda cuál es el significado de la pendiente
de la tangente a la curva en un gráfico v-t y
contesta al apartado a).
0
20
40
60
80
100
120
140
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6
t (h)
v (km/h)
I
II
III
IV
VI
Si trazamos las tangentes a la curva en los
seis tramos que podemos distinguir en la
misma, vemos que tiene más inclinación
(pendiente) la correspondiente al tramo III;
por tanto, en ese tramo, de 0,4 a 0,6 h, la
aceleración es máxima.
V
# Contesta al apartado b).
La aceleración será negativa cuando lo sea
la pendiente de la tangente; eso ocurre en el
tramo IV: de 0,6 a 0,8 h, aproximadamente.
# Contesta al apartado c).
La aceleración es nula en el tramo VI: de 1,2 a 1,4 h, ya que entonces
la tangente es horizontal y su pendiente nula.
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
Un coche, que se está moviendo por una carretera rectilínea con una velocidad de 80 km/h, está dando
alcance a una motocicleta que se mueve en el mismo sentido a 40 km/h. Los dos móviles están
inicialmente separados una distancia de 60 km.
a) Escribe las ecuaciones posición-tiempo de ambos móviles.
b) Dibuja, en el mismo sistema de ejes, las dos gráficas x-t.
c) ¿En qué posición y en qué instante el coche alcanzará a la motocicleta?
10
# Elige un sistema de referencia
y contesta al apartado a).
Si tomamos como referencia la posición
inicial del coche, las ecuaciones son:
Coche: xC = 80t
Motocicleta: xM = 60 + 40t
# Contesta al apartado b).
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 0,5 1 1,5 2 2,5
t (h)
x(km)
Coche Motocicleta
# Contesta al apartado c).
Del análisis de las gráficas x-t se deduce
que el coche alcanza a la motocicleta en
la posición 120 km, 1,5 h después de que
el coche inicie su movimiento.
A este resultado también se llega resolviendo el sistema formado por
las ecuaciones: xC = 80t ; xM = 60 + 40t. Cuando el coche alcanza a la
motocicleta se cumple que xC = xM, es decir,
80t = 60 + 40t; 40t = 60; t = 60/40 = 1,5 h. Sustituyendo este valor
en una de las ecuaciones anteriores, se obtiene: xC = xM = 120 km.
I.E.S. Élaios
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Química
La posición, en función del tiempo, de un cuerpo que se mueve en línea recta está dada por la siguiente
gráfica.
a) ¿En qué intervalo de tiempo se desplazó el cuerpo en el sentido positivo del eje X, es decir, de
izquierda a derecha? ¿Y en el sentido negativo del eje X, esto es, de derecha a izquierda?
b) ¿En qué instantes, además del t = 0, pasa el móvil por la posición x = 0? ¿En qué sentido se está
moviendo en dichos instantes?
11
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
t (s)
x(m)
# Para contestar al apartado a) analiza los
cinco tramos de la gráfica x-t.
De 0 a 1 s: el valor de la posición está
aumentando; el cuerpo se mueve de
izquierda a derecha.
De 1 a 3 s: el cuerpo está parado en la
posición x = 10 m.
De 3 a 6 s: la posición pasa de x = 10 m
a x = -5 m; el cuerpo se mueve de
derecha a izquierda.
De 6 a 11 s: el cuerpo está parado en
la posición x = -5 m.
De 11 a 12 s: la posición pasa de x = -5 m
a x = 0; el cuerpo se mueve de izquierda
a derecha.# Contesta al apartado b).
El cuerpo pasa por x = 0 en los instantes
t = 5 s (de derecha a izquierda ) y t = 12 s
(de izquierda a derecha)
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240
t (s)
x(m)
Elabora la gráfica “posición-tiempo” correspondiente al movimiento descrito en la siguiente historieta:
Pedro sale de su casa en bicicleta en dirección al huerto del tío Jorge con el propósito de merendar gratis.
Manteniendo una velocidad constante de 6 m/s llega al huerto en 50 s; los siguientes 60 s los emplea en coger fruta.
Al sentirse sorprendido, toma de nuevo la bicicleta e inicia el movimiento de regreso con una velocidad constante
de 10 m/s e, intencionadamente, se pasa de su casa 100 m; deja la “bici” y se oculta tras unos matorrales, donde
permanece escondido 40 s. Al ver que no le persiguen, vuelve a su casa con una velocidad de 8 m/s.
12
# Analiza cada uno de los tramos y
realiza los cálculos pertinentes.
Durante los primeros 50 s la posi-
ción pasa de x = 0 a x = 300 m.
Permanece 60 s, hasta el instante
t = 110 s, en x = 300 m.
Recorre 400 m de “vuelta” a 10
m/s, por lo que invierte 40 s más,
hasta la posición x = -100 m.
Permanece 40 s, hasta el instante
t = 190 s, en x = -100 m.
Recorre los últimos 100 m, hasta
la posición x = 0, a 8 m/s, por lo
que invierte 12,5 s.
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
a) Describe los movimientos cuyas gráficas posición-tiempo se muestran a continuación.
La descripción debe ser cualitativa y cuantitativa.
b) Elabora las gráficas velocidad-tiempo asociadas a dichos movimientos.
13
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5
t (s)
x(m)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 1 2 3 4 5 6
t (s)
x(m)
El móvil se encuentra inicialmente en la
posición x = 0 y, durante 2,5 s, se mueve
a 10 m/s hasta llegar a la posición x = 25 m.
Después, durante 1 s, permanece en dicha
posición. Finalmente, durante 1 s más,
vuelve al punto de partida con una velocidad
de -25 m/s.
El móvil se encuentra inicialmente en la
posición x = 10 m y, durante 2 s, se mueve
a 5 m/s hasta llegar a la posición x = 20 m.
Cambia bruscamente su velocidad a 15 m/s,
velocidad que mantiene durante 1 s, hasta
la posición x = 35 m. Finalmente, permanece
en reposo en dicha posición.
# Contesta al apartado a).# Contesta al apartado b).
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 1 2 3 4 5
t (s)
v(m/s)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 1 2 3 4 5
t (s)v(m/s)
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
Un móvil, que se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme, ocupa las posiciones x1 = 5 m y x2 = 17 m
en los instantes t1 = 4 s y t2 = 10 s, respectivamente. Determina:
a) la velocidad del móvil;
b) la ecuación de la posición;
c) la posición en el instante t = 5 s.
14
# Contesta al apartado a).
Teniendo en cuenta que, en este movimiento,
la velocidad media coincide con la velocidad
instantánea,
sm2
6
12
410
517
t
x
vv m ==
−
−
=
∆
∆
==
# Contesta al apartado b).
La ecuación de la posición tiene la forma:
x = xo + vt, en la que hay que determinar
los valores de xo y de v. Como v = 2 m/s,
sólo hemos de calcular el valor de la posi-
ción inicial; para ello, se dispone de dos
parejas de datos. De la primera de ellas:
5 = xo + 2·4, xo = -3 m. Puedes compro-
bar que se obtiene el mismo resultado con
la otra pareja de datos. Por lo tanto, la
ecuación de la posición es:
x = -3 + 2t
# Contesta al apartado c).
Al sustituir en la ecuación de la posición el
valor del tiempo se obtiene: x = -3+2·5= 7 m.
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5 6
t (s)
x (m)
La gráfica x-t de un móvil es la que se muestra más abajo.
a) Determina las posiciones del móvil en los instantes t1 = 1 s y t2 = 4 s.
b) Calcula su velocidad.
c) Determina la ecuación de la posición.
15
# Contesta al apartado a).
La velocidad coincide con pendiente de la recta
en la gráfica x-t. Para su cálculo podemos utilizar
los puntos citados en el apartado anterior:
sm6
3
18
14
)4(14
t
x
v ==
−
−−
=
∆
∆
=
En la gráfica x-t observamos que, en los instantes
1 y 4 s, las posiciones son -4 m y 14 m, respecti-
vamente.
# Contesta al apartado b).
# Contesta al apartado c).
La ecuación de la posición tiene la forma: x = xo + vt, en la que hay que
determinar los valores de xo y de v. Como v = 6 m/s y el valor de la
posición inicial es: xo = -10 m, la ecuación de la posición es: x = -10 + 6t.
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
El tío Juan sale de su pueblo, a las 8 horas de la mañana, con una velocidad constante de
9 km/h. Dos horas después, y del mismo pueblo, su cuñado sale con una velocidad
constante de 11 km/h con el propósito de alcanzarlo. ¿A qué hora y a qué distancia del
pueblo lo logrará?
16
# Lo primero que puedes hacer es transformar la diferencia en el tiempo que tienen los dos
movimientos en una diferencia espacial. Al mismo tiempo debes elegir un sistema de
referencia y escribir las ecuaciones de la posición de los dos “atletas”.
Cuando el cuñado inicia su movimiento, a las 10 horas de la mañana, el tío Juan ha recorrido ya
18 km. Si tomamos como referencia el pueblo y suponemos que el tiempo empieza a contar a
las 10 h, las ecuaciones de la posición son:
Tío Juan: xJ = 18 + 9t
Cuñado: xC = 11t
# Realiza ahora los cálculos pertinentes.
Cuando el cuñado alcanza al tío Juan se cumple que sus posiciones coinciden: xJ = xC; por lo
tanto, 18 + 9t = 11t; 18 = 2t y t = 18/2 = 9 horas. El encuentro tiene lugar 9 horas después de
haber salido el cuñado, es decir, a las 7 horas de la tarde.
Para hallar la distancia al pueblo, sustituimos el valor de t en cualquiera de las ecuaciones de la
posición: xJ = xC = 99 km.
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
La gráfica representa la posición, en función del tiempo, de los cuerpos A y B que llevan movimientos
rectilíneos.
a) Describe de la forma más completa posible –esto es, incluyendo datos numéricos- cada uno de los
movimientos.
b) Indica en qué instante ambos cuerpos coinciden en la misma posición. Utiliza dos procedimientos:
algebraico y gráfico.
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
0 2 4 6 8 10
t (s)
x(m)
Móvil A Móvil B
17
# Contesta al apartado a).
El cuerpo A, que se encuentra inicialmente en la
posición -25 m, se está moviendo con una velocidad
de 12,5 m/s (pendiente de la recta azul).
El cuerpo B, inicialmente situado en la posición
40 m, lleva una velocidad de -3,75 m/s (pendiente
de la recta magenta).
# Contesta al apartado b).
Se cumple que: xA = -25 + 12,5t y xB = 40 – 3,75t.
Coinciden en la misma posición cuando xA = xB, es
decir, -25 + 12,5t = 40 – 3,75t; 16,25t = 65; t = 4 s.
Llevando este resultado a cualquiera de las ecuaciones
de la posición, se obtiene que x = 25 m.
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
En la figura observamos la gráfica posición-tiempo de un ciclista que se mueve en línea recta.
a) Describe cómo varía la velocidad del ciclista a medida que transcurre el tiempo.
b) ¿En qué intervalos de tiempo el movimiento es uniforme?
c) Halla la velocidad máxima alcanzada por el ciclista.
18
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5
t (h)
x (km) # Contesta al apartado a).
Durante el cuarto de hora inicial, al ser la gráfica x-t
una curva, vemos que la velocidad está aumentando.
En el siguiente cuarto de hora, al ser la gráfica x-t
una recta, la velocidad permanece constante. En la
siguiente media hora el ciclista está en reposo. En el
último cuarto hora el ciclista vuelve al punto de par-
tida: durante 0,1 h con una velocidad constante y
durante 0,15 h con otra velocidad también constante.
# Contesta al apartado b).
El movimiento es uniforme en los intervalos:
de 0,25 h a 0,5 h, de 1 h a 1,1 h y de 1,1 h
a 1,25 h.
# Contesta al apartado c).
La velocidad será máxima en los instantes en los que
la pendiente de la tangente a la gráfica también lo sea.
Eso ocurre en el intervalo de 1,1 h a 1,25 h, donde la
pendiente vale:
s/m
3
50
1,125,1
5,20
t
x
v
−
=
−
−
=
∆
∆
=
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
En el estudio experimental de un movimiento rectilíneo se ha obtenido los resultados abajo indicados.
a) Dibuja la gráfica velocidad-tiempo. ¿Se trata de un movimiento uniformemente acelerado? ¿Por qué?
b) Determina, mediante las ecuaciones del movimiento, el desplazamiento realizado por el móvil a los 7 s
de iniciado el movimiento.
19
t (s) v (m/s)
0 -12
2 -2
4 8
6 18
8 28
10 38
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
t (s)
v (m/s)
# Contesta al apartado a).
Se trata de un movimiento
uniformemente acelerado
ya que la velocidad es di-
rectamente proporcional al
tiempo y la gráfica v-t es
una recta.
Vemos que vo = -12 m/s y
que la aceleración (pendiente
de la recta) es:
a = 50/10 = 5 m/s²;
# Contesta al apartado b).
La ecuación del desplazamiento es: ∆x = vot + ½ at². Para t = 7 s, ∆x = -12·7 + ½ 5·49 = 38,5 m.
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
La gráfica v-t de la figura se refiere al movimiento de un cuerpo desde que se puso en
marcha el cronómetro hasta que fue parado, instante en el que marcaba 10 s. Halla el
desplazamiento del cuerpo en esos 10 s.
20
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
t (s)
v (m/s) # Analiza cuántos movimientos podemos distinguir
en la gráfica v-t.
De 0 a 4 s: movimiento rectilíneo uniforme con
v = 15 m/s.
De 4 s a 5 s: movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado con vo = 15 m/s y a = -15 m/s².
De 5 s a 10 s: movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado con vo = 0 y a = 2 m/s².
# Calcula ahora los desplazamientos en cada uno de los
tramos de la gráfica v-t.
∆x1 = vt = 15·4 = 60 m
∆x2 = vot +1/2 at² = 15·1 + ½ (-15)·1 = 7,5 m
∆x3 = vot +1/2 at² = 0 + ½ 2·5² = 25 m
El desplazamiento total es la suma de estos tres
desplazamientos parciales: 92,5 m.
El desplazamiento también puede
calcularse como el “área bajo la curva”
en una gráfica v-t. En este caso, el
valor del desplazamiento coincide con
la suma de las áreas de un trapecio
(67,5 m) y de un triángulo (25 m).
5,6715
2
54
A1 =⋅
+
=
25
2
105
A2 =
⋅
=
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6 7
t (h)
v (km/h)
La siguiente gráfica velocidad-tiempo describe el movimiento rectilíneo de un ciclista.
Interprétala. Halla el desplazamiento y la distancia recorrida en 6 h.
21
# Analiza en qué tramos el movimiento es uniforme (MRU)
y en cuáles es uniformemente acelerado (MRUA).
MRU  de 0,5 h a 1,5 h: v = 10 km/h
de 3 h a 5,5 h: v = -5 km/h
MRUA  de 0 a 0,5 h: vo= 0 y a = 20 km/h²
de 1,5 h a 3 h: vo = 10 km/h y a = -10 km/h²
(en el instante t = 2,5 h, el
ciclista invierte el sentido del
movimiento)
de 5,5 h s 6 h: vo = -5 km/h y a = 10 km/h²
# Calcula ahora los desplazamientos en cada uno de los
tramos de la gráfica v-t.
∆xI = vot +1/2 at² = 0 + ½ (20)·0,5² = 2,5 km
∆xII = vt = 10·1 = 10 km
∆xIII = vot +1/2 at² = 10·1,5 + ½ (-10)·1,5² = 3,75 km
∆xIV = vt = -5·2,5 = -12,5 km
∆xV = vot +1/2 at² = -5·0,5 + ½ (10)·0,5² = -1,25 km
El desplazamiento total es la suma de estos cinco
desplazamientos parciales: 2,5 km.
II
III
IV V
I
# Determina la distancia recorrida.
El ciclista se mueve hacia la derecha durante
2,5 h y hacia la izquierda durante las 3,5 h
restantes. En dichos intervalos de tiempo
recorre 17,5 km y 15 km, respectivamente;
en total, 32,5 km.
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
Un motorista de tráfico circula con una velocidad de 20 m/s y observa que un conductor comete una
infracción. Sale en su persecución, para lo cual acelera con un ritmo constante de 0,5 m/s².
a) ¿Cuánto tiempo empleará el motorista en alcanzar una velocidad de 30 m/s?
b) Halla el desplazamiento del motorista en ese tiempo.
A partir de la ecuación de la velocidad podemos escribir:
s20t 5,0
2030
a
vv o
=== −−
22
# Recuerda las ecuaciones de este movimiento y contesta al apartado a).
# Contesta al apartado b).
m5004005,0
2
1
2020²at
2
1
tvx o =⋅+⋅=+=∆
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
Desde lo alto de un campanario de 20 m de altura, se lanza verticalmente hacia arriba un objeto con una
rapidez de 40 m/s. Se supone despreciable el rozamiento con el aire.
a) Calcula la posición y la velocidad del objeto en el instante t = 6 s.
b) ¿Qué altura máxima alcanza el objeto? ¿Qué tiempo emplea en lograrla?
c) Halla la velocidad del objeto cuando vuelve a pasar por el punto de lanzamiento y el tiempo total
empleado.
23
# Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento.
Y
X
yo = 20 m
vo = 40 m/s
a = -9,8 m/s2
De acuerdo con el sistema de
referencia, las magnitudes vecto-
riales que apuntan hacia arriba se
toman con signo + y las que se-
ñalan hacia abajo con signo -. Las
ecuaciones asociadas a este lan-
zamiento son, entonces:
v = 40 – 9,8t
y = 20 + 40t - 4,9t2
# Contesta al apartado a).
Sustituyendo en las ecuaciones del
movimiento t por 6,
v(6) = 40 -9,8·6 = -18,8 m/s
y(6) = 20 + 40·6 - 4,9·36 = 83,6 m
El signo – del primer resultado
indica que el objeto está bajando y
el valor de la posición significa que
se encuentra por encima del punto
de lanzamiento.
# Contesta al apartado b).
Cuando se alcanza la altura máxima
se cumple que la velocidad es nula,
cosa que sucede en un instante tal
que: 0 = 40 – 9,8t; t = 40/9,8 = 4,08 s;
por lo tanto,
ymax = 20 + 40·4,08 – 4,9·4,082
= 101,6 m
# Contesta al apartado c).
El punto de lanzamiento cumple la condición de que y = 20 m, por lo que:
20 = 20 + 40t – 4,9t2
; 0 = 40t – 4,9t2
; 0 = t(40 -4,9t), ecuación que tiene
dos soluciones: la evidente t = 0 y la que interesa ahora: t = 40/4,9 = 8,16 s.
La velocidad en dicho instante es: v = 40 – 9,8·8,16 = -40 m/s. Se concluye
que cuando el objeto vuelve al punto de lanzamiento se mueve con una velo-
cidad de intensidad idéntica a la inicial, aunque de sentido contrario. También
vemos que el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada.
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
Se deja caer una piedra desde la boca de un pozo. Llega al fondo con una velocidad de
14,7 m/s de intensidad.
a) ¿Cuál es la profundidad del pozo?
b) ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en llegar al fondo del pozo?
24
# Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento.
De acuerdo con el sistema de
referencia, las magnitudes vecto-
riales que apuntan hacia arriba se
toman con signo + y las que se-
ñalan hacia abajo con signo -. Las
ecuaciones asociadas a este lan-
zamiento son, entonces:
v = -9,8t
y = yo - 4,9t2
Y
X
yo = ?
vo = 0
a = -9,8 m/s2
v = -14,7 m/s
# De acuerdo con la información
disponible, analiza qué apartado
debes contestar primero.
De la ecuación de la velocidad deducimos que:
-14,7 = -9,8t; t = 14,7/9,8 = 1,5 s, que es el
tiempo que tarda la piedra en llegar al fondo del
pozo.
En ese instante la posición de la piedra es y = 0;
por lo tanto, en la ecuación de la posición pode-
mos escribir: 0 = yo – 4,9·1,52
= yo – 11, por lo
que la profundidad del pozo es: yo = 11 m.
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
a) Desde una altura de 45 m, respecto al suelo, se deja caer un libro de Física y Química. Se considera
despreciable la influencia del aire. Halla la velocidad con que el libro llegará al suelo. ¿Cuánto tiempo
invertirá en dicho recorrido?
b) Repite el ejercicio suponiendo que el libro es lanzado verticalmente hacia abajo con una velocidad
inicial de 15 m/s.
25
# Dibuja un esquema, escribe las ecuaciones
del movimiento y contesta al apartado a).
# Dibuja un esquema, escribe las ecuaciones
del movimiento y contesta al apartado b).
De acuerdo con el sistema de
referencia, las magnitudes
vectoriales que apuntan
hacia arriba se toman con
signo + y las que señalan
hacia abajo con signo -. Las
ecuaciones asociadas a este
lanzamiento son, entonces:
v = -9,8t
y = 45 - 4,9t2
Y
a = -9,8 m/s2
X
yo = 45 m
vo = 0
v = ?
t = ?
Cuando el libro llega al suelo se cumple que y = 0, es decir,
0 = 45 – 4,9t2
;
La velocidad del libro en ese instante es:
v = -9,8·3 = -29,4 m/s
s3
9,4
45
t ==
De acuerdo con el sistema de
referencia, las magnitudes
vectoriales que apuntan
hacia arriba se toman con
signo + y las que señalan
hacia abajo con signo -. Las
ecuaciones asociadas a este
lanzamiento son, entonces:
v = -15 - 9,8t
y = 45 -15t - 4,9t2
a = -9,8 m/s2
X
yo = 45 m
vo = -15 m/s
v = ?
t = ?
Y
Cuando el libro llega al suelo se cumple que y = 0, es decir,
0 = 45 – 15t - 4,9t2
, ecuación de 2º grado completa, cuyas
soluciones son:
La velocidad del libro en el instante válido es:
v = -15 - 9,8·1,87 = -33,3 m/s


−
=
−
±
=
−
⋅−⋅−±
=
87,1
93,4
8,9
3,3315
8,9
45)9,4(422515
t
¡Comenta los resultados!
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
Desde una altura h se lanza verticalmente hacia abajo un cuerpo con una rapidez inicial
de 5 m/s, invirtiéndose 6 s en llegar al suelo. Calcula el valor de h y la rapidez máxima
que alcanzará el cuerpo.
26
# Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento.
De acuerdo con el sistema de referencia,
las magnitudes vectoriales que apuntan hacia
arriba se toman con signo + y las que señalan
hacia abajo con signo -. Las ecuaciones
asociadas a este lanzamiento son, entonces:
v = -5 - 9,8t
y = h - 5t - 4,9t2
a = -9,8 m/s2
X
yo = h = ?
vo = -5 m/s
v = ?
t = 6 s
Y
Debes perder el miedo a las
expresiones algebraicas y
trabajar con “letricas” como
si fuesen números. Fíjate en
las condiciones que cumple
la posición del cuerpo cuando
t = 6 s.
Cuando t = 6 s, se cumple que y = 0; llevando estas condiciones a la ecuación
de la posición, tenemos: 0 = h – 5·6 – 4,9·36; h = 206,4 m.
La rapidez máxima se alcanza cuando el cuerpo llega al suelo; por lo tanto,
la velocidad es: v = -5 -9,8·6 = -63,8 m/s. La rapidez vale: 63,8 m/s.
I.E.S. Élaios
Departamento de Física y
Química
a) Galileo lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una rapidez inicial de 29,4 m/s
¿Qué altura alcanzará (la piedra)?
b) ¿Experimentará la piedra el mismo desplazamiento en el primer segundo de subida
que en el último segundo? ¿Por qué?
27
# Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento.
De acuerdo con el sistema de referencia,
las magnitudes vectoriales que apuntan hacia
arriba se toman con signo + y las que señalan
hacia abajo con signo -. Las ecuaciones
asociadas a este lanzamiento son, entonces:
v = 29,4 - 9,8t
y = 29,4t - 4,9t2
a = -9,8 m/s2
Y
X
yo = 0
vo = 29,4 m/s
v = 0
y = h = ?
# Contesta al apartado a).
Calculamos, en primer lugar, el tiempo
invertido por la piedra en subir.
En el punto más alto se cumple que
v = 0; por lo tanto, 0 = 29,4 - 9,8t;
t = 29,4/9,8 = 3 s.
Sustituyendo este valor en la ecuación
de la posición, tenemos:
h = 29,4·3 – 4,9·9 = 44,1 m
# Contesta al apartado b).
Debido a que, a medida que la piedra asciende, se está moviendo más lentamente,
el desplazamiento en el primer segundo será mayor que en el último segundo de
subida. En cualquier caso, se puede comprobar esto mediante los cálculos adecuados.
• En el primer segundo: ∆y(de 0 a 1 s) = y(1) = 29,4·1 – 4,9·1 = 24,5 m
• En el último segundo el desplazamiento será la diferencia entre las posiciones de la
piedra en los instantes 3 s y 2 s:
∆y(de 2 s a 3 s) = y(3) – y(2) = 44,1 – (29,4·2 – 4,9·4) = 44,1 – 39,2 = 4,9 m

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Guía Fuerzas y Movimiento 4o ESO

  • 1. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química Física y Química 4º ESO: guía interactiva para la resolución de ejercicios FUERZAS Y MOVIMIENTO Descripción del movimiento
  • 2. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química Índice  Ejercicio 1  Ejercicio 2  Ejercicio 3  Ejercicio 4  Ejercicio 5  Ejercicio 6  Ejercicio 7  Ejercicio 8  Ejercicio 9  Ejercicio 10  Ejercicio 11  Ejercicio 12  Ejercicio 13  Ejercicio 14  Ejercicio 15  Ejercicio 16  Ejercicio 17  Ejercicio 18  Ejercicio 19  Ejercicio 20  Ejercicio 21  Ejercicio 22  Ejercicio 23  Ejercicio 24  Ejercicio 25  Ejercicio 26  Ejercicio 27  Posición, desplazamiento y distancia recorrida  Velocidad media y aceleración media  Gráficas x-t y v-t  Movimiento rectilíneo uniforme  Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado  Caída libre y lanzamiento hacia arriba
  • 3. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química Ayuda En un movimiento rectilíneo, la posición (x) de un cuerpo se determina mediante su distancia a otro cuerpo tomado arbitrariamente como sistema de referencia. En general, se utilizan los signos + y – para diferenciar las posiciones situadas a la derecha y a la izquierda, respectiva- mente, del sistema de referencia. El desplazamiento (∆x) se determina restando a la posición final (xf) la posición inicial (xi): (∆x) = xf – xi El desplazamiento será positivo o negativo según el sentido del movimiento; en el primer caso el móvil avanza de posiciones negativas a posiciones positivas; en el segundo caso, el móvil se desplaza del lado positivo al lado negativo. Esto significa que el desplazamiento es una magnitud vectorial, pues para su determinación se requiere un número, una dirección y un sentido. En el lenguaje ordinario, desplazamiento (∆x) es sinónimo de distancia recorrida (s), pero en Física no siempre coinciden y esta es una de las dificultades añadidas que presenta el apren- dizaje de las ciencias. Así, un ciclista que sale de su casa y que, al cabo de cierto tiempo, vuelve al mismo sitio, tiene un desplazamiento cero, aunque su cansancio le indica que ha recorrido unos cuantos kilómetros. El desplazamiento puede ser positivo, negativo o cero, pero la distancia recorrida siempre es positiva y nunca cero si ha habido movimiento. La dis- tancia recorrida se obtiene sumando todos los desplazamientos tomados en valor absoluto. Sólo en los movimientos sin cambio de sentido coinciden el módulo del desplazamiento y la distancia recorrida.
  • 4. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química Ayuda La velocidad media de un móvil es el desplazamiento realizado en la unidad de tiempo. Se calcula dividiendo el desplazamiento (∆x) por el tiempo invertido (t): t x vm ∆ = En el S.I., la velocidad se mide en metros por segundo (m/s). La aceleración media es la variación de la velocidad por unidad de tiempo. Se calcula divi- diendo la variación de la velocidad (∆v) por el tiempo invertido (t): t v am ∆ = En el S.I., la aceleración se mide en metros por segundo cada segundo, esto es, en metros por segundo al cuadrado (m/s²). En una gráfica posición-tiempo (x-t) podemos analizar los cambios de velocidad por medio de los cambios de pendiente de la recta tangente a la curva en cada uno de sus puntos. En una gráfica velocidad-tiempo (v-t) podemos analizar los cambios de aceleración por me- dio de los cambios de pendiente de la recta tangente a la curva en cada uno de sus puntos.
  • 5. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química Ayuda  Movimiento rectilíneo con velocidad constante (MRU) Es el movimiento de un objeto que, en intervalos de tiempo iguales, realiza desplazamientos iguales, es decir, su velocidad es constante. Este movimiento se califica como uniforme. La gráfica x-t para este tipo de movimiento es una línea recta (pendiente constante). La pendiente representa la velocidad del móvil. La gráfica v-t, al ser la velocidad constante, será una recta horizontal.  Movimiento rectilíneo con aceleración constante (MRUA) Es el movimiento de un cuerpo que, en intervalos de tiempo iguales, experimenta variaciones iguales de velocidad, esto es, su aceleración es constante. Este movimiento rectilíneo se llama uniformemente acelerado. La gráfica x-t para este tipo de movimiento es una línea curva (pendiente variable). Más concretamente, dicha curva es una rama de parábola. La gráfica v-t ahora es una línea recta (pendiente constante). La pendiente representa la aceleración del móvil. La gráfica a-t, al ser la aceleración constante, será una recta horizontal.  Ecuaciones del movimiento MRU MRUA Posición x = xo + vt x = xo + vot + ½ at2 Desplazamiento ∆x = vt ∆x = vot + ½ at2 Velocidad Constante v = vo + at Aceleración Nula Constante
  • 6. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química Ayuda Para resolver los ejercicios de caída libre y, en general, cualquier ejercicio de Física, es conveniente disponer de algún procedimiento o algoritmo de resolución. El que se presenta a continuación no debe entenderse como un conjunto de pasos que hay que seguir de manera estricta y rutinaria, sino como una serie de reglas orientativas:  Dibujar un esquema detallado de la situación descrita en el enunciado del ejercicio.  Elegir un sistema de referencia y establecer, de acuerdo con el mismo, las condiciones iniciales. Esta elección es arbitraria: sólo depende del que está haciendo el ejercicio.  Escribir las ecuaciones del MRUA para el caso particular que estamos estudiando.  Hacer los cálculos pertinentes.  Analizar los resultados obtenidos.
  • 7. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química Calcula el desplazamiento realizado por una bola que se mueve sobre el carril mostrado en la figura: a) al pasar del punto A al B; b) al pasar del punto B al D; c) al pasar del punto B al C; d) al pasar del punto D al A. 1 0 10 cm 20 cm 30 cm 40 cm 50 cm -50 cm -40 cm -30 cm -20 cm -10 cm A D B C # Recuerda la definición de desplazamiento. cm80)50(30xxx ABAB =−−=−=∆a) cm503020xxx BDBD −=−−=−=∆b) cm203050xxx BCBC =−=−=∆c) cm30)20(50xxx DADA −=−−−=−=∆d) # Analiza los resultados obtenidos. Vemos que el signo del desplazamiento (+ ó -) está relacionado con el sentido del movimiento (hacia la derecha o hacia la izquierda). Esto nos indica que el desplazamiento es una magnitud vectorial.
  • 8. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química ‚ Un profesor de guardia se mueve, arriba y abajo, a largo de un pasillo rectilíneo. A partir del aula de 6º G, recorre 10 m hacia la derecha, 15 m hacia la izquierda y 8 m hacia la derecha. Si la puerta de dicha aula se toma como sistema de referencia, halla el desplazamiento total y la distancia recorrida por el profesor. 2 ‚ # Dibuja un esquema con el movimiento del profesor. ‚‚ ‚ 6º G-10 m 5 m 10 m-5 m # Calcula el desplazamiento total. m30m3xxx if =−=−=∆ # Calcula la distancia recorrida. s = 10 m + 15 m + 8 m = 33 m
  • 9. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química 3 a) Oímos por la radio que el AVE se ha detenido en el km 300 de su trazado ferroviario cerca de una dolina aparecida recientemente. ¿Nos están informando de la distancia recorrida por el AVE antes de pararse o del lugar exacto donde ha ocurrido el suceso? b) El cuentakilómetros del autobús urbano Almozara-Cementerio aumenta en 8 km en el recorrido de ida y 10 km en el recorrido de vuelta. Halla el desplazamiento del autobús y la distancia recorrida en un trayecto completo. # Antes de contestar al apartado a), ¿distingues entre posición, desplazamiento y distancia recorrida? Nos están informando de la posición en la que se encuentra el AVE, independientemente de la distancia que haya podido recorrer. # Contesta al apartado b). El desplazamiento del autobús es cero, ya que vuelve al punto de partida. La distancia recorrida es de 18 km (8 km a la ida más 10 km a la vuelta).
  • 10. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química En algunos experimentos escolares, para estudiar el movimiento de un cuerpo se une al mismo una cinta de papel que pasa por un cronovibrador. El cronovibrador deja una marca en el papel a intervalos de tiempo iguales; como la cinta de papel está unida al móvil, el conjunto de marcas nos indica las posiciones sucesivas del móvil. Más abajo se muestra una de esas cintas, en la que sabemos que el tiempo transcurrido entre marca y marca es de 0,02 s y que la escala graduada puede estimar hasta 1 mm. Determina las posiciones del móvil y calcula su velocidad media en intervalos de 0,02 s. 4 t = 0 s x = 0 cm 1 cm Tiempo: t (s) Posición: x (m) Desplazamiento: ∆x (m) Velocidad media: vm (m/s) 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 1,00 0,000 0,012 0,032 0,060 0,082 0,118 0,012 0,020 0,028 0,022 0,036 0,6 1,0 1,4 1,1 1,8
  • 11. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química En los Campeonatos Mundiales de Atletismo de Tokio, celebrados en el verano de 1991, el atleta Carl Lewis ganó la prueba de 100 m. La tabla siguiente muestra los tiempos de Lewis cada 10 m. Completa la tabla y calcula la velocidad media cada 10 m de carrera. ¿En qué intervalo corrió más rápidamente? 5 Posición: x (m) Tiempo: t (s) Variación temporal: ∆t (s) Velocidad media: vm (m/s) 10 1,88 20 2,96 30 3,88 40 4,77 50 5,61 60 6,46 70 7,30 80 8,13 90 9,00 100 9,86 9,26 10,87 11,24 11,90 11,76 11,90 12,05 11,49 11,63 5,32 Se movió más deprisa en el intervalo 70-80 m. 1,08 0,92 0,89 0,84 0,85 0,84 0,83 0,87 0,86 1,88
  • 12. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química Durante un viaje a Teruel por una carretera rectilínea el cuentakilómetros de un coche marca las velocidades indicadas más abajo. Calcula el valor de la aceleración media en intervalos de 0,2 h. ¿En qué intervalo temporal la aceleración media es negativa? ¿Qué significa? 2m h km 100 2,0 120100 2,0 )6,0(v)8,0(v )h8,06,0(a −= − = − =→ 2m h km 0 2,0 125125 2,0 )0,1(v)2,1(v )h2,10,1(a = − = − =→ 6 Tiempo: t (h) Velocidad: v (km/h) 0,0 0 0,2 40 0,4 72 0,6 120 0,8 100 1,0 125 1,2 125 # Recuerda, antes de contestar, cómo se calcula la aceleración media. 2m h km 200 2,0 040 2,0 )0(v)2,0(v )h2,00(a = − = − =→ 2m h km 160 2,0 4072 2,0 )2,0(v)4,0(v )h4,02,0(a = − = − =→ 2m h km 240 2,0 72120 2,0 )4,0(v)6,0(v )h6,04,0(a = − = − =→ 2m h km 125 2,0 100125 2,0 )8,0(v)0,1(v )h0,18,0(a = − = − =→ Significa que en dicho intervalo el valor de la velocidad ha disminuido.
  • 13. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química En una competición de atletismo, una estudiante del Instituto obtuvo, en el transcurso de una carrera de 100 m, los resultados indicados en la siguiente gráfica posición-tiempo. a) Determina en qué intervalo temporal la velocidad es menor. b) ¿En qué intervalo espacial se mueve más deprisa? 7 0 20 40 60 80 100 120 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t (s) x (m) # Recuerda cuál es el significado de la pendiente de la tangente a la curva en un gráfico x-t y contesta al apartado a). I II III IV Si trazamos las tangentes a la curva en los cuatro tramos que podemos distinguir en la misma, vemos que tiene menos inclinación (pendiente) la correspondiente al tramo I; por tanto, en ese tramo, de 0 a 3 s, la velo- cidad es menor. # Contesta al apartado b). La tangente del tramo III es la que tiene la mayor pendiente; por consiguiente, de 8,4 a 9 s es cuando la estudiante se mueve más rápi- damente.
  • 14. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química Indica de manera razonada cómo varía, a medida que transcurre el tiempo, la velocidad de tres móviles cuyas gráficas posición-tiempo (x-t) se muestran a continuación. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 1 2 3 4 5 6 t (s) x (m) -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 1 2 3 4 5 6 t (s) x (m) 8 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 0 1 2 3 4 5 t (s) x (m) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 0 1 2 3 4 5 t (s) x (m) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 2 4 6 8 10 12 t (s) x (m) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 2 4 6 8 10 12 t (s) x (m) Hemos trazado las tangentes a la curva en los instantes 1, 2 y 3 s. Vemos que sus pendientes son cada vez mayores; por lo tanto, la velocidad está aumentando. En este caso, hemos trazado las tangentes a la curva en los instantes 0’1, 0’5 y 1 s. Vemos que sus pendientes son cada vez menores; por lo tanto, la velocidad está disminuyendo. Ahora la tangente a la “curva” coincide con la propia recta. Como su pendiente es constante, la velocidad también es constante.
  • 15. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química La siguiente gráfica velocidad-tiempo (v-t) corresponde al viaje a Teruel citado en un ejercicio anterior. a) ¿En qué tramo la aceleración es máxima? b) ¿Cuándo la aceleración es negativa? c) ¿Existe algún tramo en el que la aceleración sea nula? ¿Cuál? 9 # Recuerda cuál es el significado de la pendiente de la tangente a la curva en un gráfico v-t y contesta al apartado a). 0 20 40 60 80 100 120 140 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 t (h) v (km/h) I II III IV VI Si trazamos las tangentes a la curva en los seis tramos que podemos distinguir en la misma, vemos que tiene más inclinación (pendiente) la correspondiente al tramo III; por tanto, en ese tramo, de 0,4 a 0,6 h, la aceleración es máxima. V # Contesta al apartado b). La aceleración será negativa cuando lo sea la pendiente de la tangente; eso ocurre en el tramo IV: de 0,6 a 0,8 h, aproximadamente. # Contesta al apartado c). La aceleración es nula en el tramo VI: de 1,2 a 1,4 h, ya que entonces la tangente es horizontal y su pendiente nula.
  • 16. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química Un coche, que se está moviendo por una carretera rectilínea con una velocidad de 80 km/h, está dando alcance a una motocicleta que se mueve en el mismo sentido a 40 km/h. Los dos móviles están inicialmente separados una distancia de 60 km. a) Escribe las ecuaciones posición-tiempo de ambos móviles. b) Dibuja, en el mismo sistema de ejes, las dos gráficas x-t. c) ¿En qué posición y en qué instante el coche alcanzará a la motocicleta? 10 # Elige un sistema de referencia y contesta al apartado a). Si tomamos como referencia la posición inicial del coche, las ecuaciones son: Coche: xC = 80t Motocicleta: xM = 60 + 40t # Contesta al apartado b). 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0 0,5 1 1,5 2 2,5 t (h) x(km) Coche Motocicleta # Contesta al apartado c). Del análisis de las gráficas x-t se deduce que el coche alcanza a la motocicleta en la posición 120 km, 1,5 h después de que el coche inicie su movimiento. A este resultado también se llega resolviendo el sistema formado por las ecuaciones: xC = 80t ; xM = 60 + 40t. Cuando el coche alcanza a la motocicleta se cumple que xC = xM, es decir, 80t = 60 + 40t; 40t = 60; t = 60/40 = 1,5 h. Sustituyendo este valor en una de las ecuaciones anteriores, se obtiene: xC = xM = 120 km.
  • 17. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química La posición, en función del tiempo, de un cuerpo que se mueve en línea recta está dada por la siguiente gráfica. a) ¿En qué intervalo de tiempo se desplazó el cuerpo en el sentido positivo del eje X, es decir, de izquierda a derecha? ¿Y en el sentido negativo del eje X, esto es, de derecha a izquierda? b) ¿En qué instantes, además del t = 0, pasa el móvil por la posición x = 0? ¿En qué sentido se está moviendo en dichos instantes? 11 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 t (s) x(m) # Para contestar al apartado a) analiza los cinco tramos de la gráfica x-t. De 0 a 1 s: el valor de la posición está aumentando; el cuerpo se mueve de izquierda a derecha. De 1 a 3 s: el cuerpo está parado en la posición x = 10 m. De 3 a 6 s: la posición pasa de x = 10 m a x = -5 m; el cuerpo se mueve de derecha a izquierda. De 6 a 11 s: el cuerpo está parado en la posición x = -5 m. De 11 a 12 s: la posición pasa de x = -5 m a x = 0; el cuerpo se mueve de izquierda a derecha.# Contesta al apartado b). El cuerpo pasa por x = 0 en los instantes t = 5 s (de derecha a izquierda ) y t = 12 s (de izquierda a derecha)
  • 18. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 300 350 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 t (s) x(m) Elabora la gráfica “posición-tiempo” correspondiente al movimiento descrito en la siguiente historieta: Pedro sale de su casa en bicicleta en dirección al huerto del tío Jorge con el propósito de merendar gratis. Manteniendo una velocidad constante de 6 m/s llega al huerto en 50 s; los siguientes 60 s los emplea en coger fruta. Al sentirse sorprendido, toma de nuevo la bicicleta e inicia el movimiento de regreso con una velocidad constante de 10 m/s e, intencionadamente, se pasa de su casa 100 m; deja la “bici” y se oculta tras unos matorrales, donde permanece escondido 40 s. Al ver que no le persiguen, vuelve a su casa con una velocidad de 8 m/s. 12 # Analiza cada uno de los tramos y realiza los cálculos pertinentes. Durante los primeros 50 s la posi- ción pasa de x = 0 a x = 300 m. Permanece 60 s, hasta el instante t = 110 s, en x = 300 m. Recorre 400 m de “vuelta” a 10 m/s, por lo que invierte 40 s más, hasta la posición x = -100 m. Permanece 40 s, hasta el instante t = 190 s, en x = -100 m. Recorre los últimos 100 m, hasta la posición x = 0, a 8 m/s, por lo que invierte 12,5 s.
  • 19. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química a) Describe los movimientos cuyas gráficas posición-tiempo se muestran a continuación. La descripción debe ser cualitativa y cuantitativa. b) Elabora las gráficas velocidad-tiempo asociadas a dichos movimientos. 13 0 5 10 15 20 25 30 0 1 2 3 4 5 t (s) x(m) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 1 2 3 4 5 6 t (s) x(m) El móvil se encuentra inicialmente en la posición x = 0 y, durante 2,5 s, se mueve a 10 m/s hasta llegar a la posición x = 25 m. Después, durante 1 s, permanece en dicha posición. Finalmente, durante 1 s más, vuelve al punto de partida con una velocidad de -25 m/s. El móvil se encuentra inicialmente en la posición x = 10 m y, durante 2 s, se mueve a 5 m/s hasta llegar a la posición x = 20 m. Cambia bruscamente su velocidad a 15 m/s, velocidad que mantiene durante 1 s, hasta la posición x = 35 m. Finalmente, permanece en reposo en dicha posición. # Contesta al apartado a).# Contesta al apartado b). -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 0 1 2 3 4 5 t (s) v(m/s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 1 2 3 4 5 t (s)v(m/s)
  • 20. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química Un móvil, que se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme, ocupa las posiciones x1 = 5 m y x2 = 17 m en los instantes t1 = 4 s y t2 = 10 s, respectivamente. Determina: a) la velocidad del móvil; b) la ecuación de la posición; c) la posición en el instante t = 5 s. 14 # Contesta al apartado a). Teniendo en cuenta que, en este movimiento, la velocidad media coincide con la velocidad instantánea, sm2 6 12 410 517 t x vv m == − − = ∆ ∆ == # Contesta al apartado b). La ecuación de la posición tiene la forma: x = xo + vt, en la que hay que determinar los valores de xo y de v. Como v = 2 m/s, sólo hemos de calcular el valor de la posi- ción inicial; para ello, se dispone de dos parejas de datos. De la primera de ellas: 5 = xo + 2·4, xo = -3 m. Puedes compro- bar que se obtiene el mismo resultado con la otra pareja de datos. Por lo tanto, la ecuación de la posición es: x = -3 + 2t # Contesta al apartado c). Al sustituir en la ecuación de la posición el valor del tiempo se obtiene: x = -3+2·5= 7 m.
  • 21. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 0 1 2 3 4 5 6 t (s) x (m) La gráfica x-t de un móvil es la que se muestra más abajo. a) Determina las posiciones del móvil en los instantes t1 = 1 s y t2 = 4 s. b) Calcula su velocidad. c) Determina la ecuación de la posición. 15 # Contesta al apartado a). La velocidad coincide con pendiente de la recta en la gráfica x-t. Para su cálculo podemos utilizar los puntos citados en el apartado anterior: sm6 3 18 14 )4(14 t x v == − −− = ∆ ∆ = En la gráfica x-t observamos que, en los instantes 1 y 4 s, las posiciones son -4 m y 14 m, respecti- vamente. # Contesta al apartado b). # Contesta al apartado c). La ecuación de la posición tiene la forma: x = xo + vt, en la que hay que determinar los valores de xo y de v. Como v = 6 m/s y el valor de la posición inicial es: xo = -10 m, la ecuación de la posición es: x = -10 + 6t.
  • 22. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química El tío Juan sale de su pueblo, a las 8 horas de la mañana, con una velocidad constante de 9 km/h. Dos horas después, y del mismo pueblo, su cuñado sale con una velocidad constante de 11 km/h con el propósito de alcanzarlo. ¿A qué hora y a qué distancia del pueblo lo logrará? 16 # Lo primero que puedes hacer es transformar la diferencia en el tiempo que tienen los dos movimientos en una diferencia espacial. Al mismo tiempo debes elegir un sistema de referencia y escribir las ecuaciones de la posición de los dos “atletas”. Cuando el cuñado inicia su movimiento, a las 10 horas de la mañana, el tío Juan ha recorrido ya 18 km. Si tomamos como referencia el pueblo y suponemos que el tiempo empieza a contar a las 10 h, las ecuaciones de la posición son: Tío Juan: xJ = 18 + 9t Cuñado: xC = 11t # Realiza ahora los cálculos pertinentes. Cuando el cuñado alcanza al tío Juan se cumple que sus posiciones coinciden: xJ = xC; por lo tanto, 18 + 9t = 11t; 18 = 2t y t = 18/2 = 9 horas. El encuentro tiene lugar 9 horas después de haber salido el cuñado, es decir, a las 7 horas de la tarde. Para hallar la distancia al pueblo, sustituimos el valor de t en cualquiera de las ecuaciones de la posición: xJ = xC = 99 km.
  • 23. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química La gráfica representa la posición, en función del tiempo, de los cuerpos A y B que llevan movimientos rectilíneos. a) Describe de la forma más completa posible –esto es, incluyendo datos numéricos- cada uno de los movimientos. b) Indica en qué instante ambos cuerpos coinciden en la misma posición. Utiliza dos procedimientos: algebraico y gráfico. -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 0 2 4 6 8 10 t (s) x(m) Móvil A Móvil B 17 # Contesta al apartado a). El cuerpo A, que se encuentra inicialmente en la posición -25 m, se está moviendo con una velocidad de 12,5 m/s (pendiente de la recta azul). El cuerpo B, inicialmente situado en la posición 40 m, lleva una velocidad de -3,75 m/s (pendiente de la recta magenta). # Contesta al apartado b). Se cumple que: xA = -25 + 12,5t y xB = 40 – 3,75t. Coinciden en la misma posición cuando xA = xB, es decir, -25 + 12,5t = 40 – 3,75t; 16,25t = 65; t = 4 s. Llevando este resultado a cualquiera de las ecuaciones de la posición, se obtiene que x = 25 m.
  • 24. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química En la figura observamos la gráfica posición-tiempo de un ciclista que se mueve en línea recta. a) Describe cómo varía la velocidad del ciclista a medida que transcurre el tiempo. b) ¿En qué intervalos de tiempo el movimiento es uniforme? c) Halla la velocidad máxima alcanzada por el ciclista. 18 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 t (h) x (km) # Contesta al apartado a). Durante el cuarto de hora inicial, al ser la gráfica x-t una curva, vemos que la velocidad está aumentando. En el siguiente cuarto de hora, al ser la gráfica x-t una recta, la velocidad permanece constante. En la siguiente media hora el ciclista está en reposo. En el último cuarto hora el ciclista vuelve al punto de par- tida: durante 0,1 h con una velocidad constante y durante 0,15 h con otra velocidad también constante. # Contesta al apartado b). El movimiento es uniforme en los intervalos: de 0,25 h a 0,5 h, de 1 h a 1,1 h y de 1,1 h a 1,25 h. # Contesta al apartado c). La velocidad será máxima en los instantes en los que la pendiente de la tangente a la gráfica también lo sea. Eso ocurre en el intervalo de 1,1 h a 1,25 h, donde la pendiente vale: s/m 3 50 1,125,1 5,20 t x v − = − − = ∆ ∆ =
  • 25. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química En el estudio experimental de un movimiento rectilíneo se ha obtenido los resultados abajo indicados. a) Dibuja la gráfica velocidad-tiempo. ¿Se trata de un movimiento uniformemente acelerado? ¿Por qué? b) Determina, mediante las ecuaciones del movimiento, el desplazamiento realizado por el móvil a los 7 s de iniciado el movimiento. 19 t (s) v (m/s) 0 -12 2 -2 4 8 6 18 8 28 10 38 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 t (s) v (m/s) # Contesta al apartado a). Se trata de un movimiento uniformemente acelerado ya que la velocidad es di- rectamente proporcional al tiempo y la gráfica v-t es una recta. Vemos que vo = -12 m/s y que la aceleración (pendiente de la recta) es: a = 50/10 = 5 m/s²; # Contesta al apartado b). La ecuación del desplazamiento es: ∆x = vot + ½ at². Para t = 7 s, ∆x = -12·7 + ½ 5·49 = 38,5 m.
  • 26. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química La gráfica v-t de la figura se refiere al movimiento de un cuerpo desde que se puso en marcha el cronómetro hasta que fue parado, instante en el que marcaba 10 s. Halla el desplazamiento del cuerpo en esos 10 s. 20 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 t (s) v (m/s) # Analiza cuántos movimientos podemos distinguir en la gráfica v-t. De 0 a 4 s: movimiento rectilíneo uniforme con v = 15 m/s. De 4 s a 5 s: movimiento rectilíneo uniformemente acelerado con vo = 15 m/s y a = -15 m/s². De 5 s a 10 s: movimiento rectilíneo uniformemente acelerado con vo = 0 y a = 2 m/s². # Calcula ahora los desplazamientos en cada uno de los tramos de la gráfica v-t. ∆x1 = vt = 15·4 = 60 m ∆x2 = vot +1/2 at² = 15·1 + ½ (-15)·1 = 7,5 m ∆x3 = vot +1/2 at² = 0 + ½ 2·5² = 25 m El desplazamiento total es la suma de estos tres desplazamientos parciales: 92,5 m. El desplazamiento también puede calcularse como el “área bajo la curva” en una gráfica v-t. En este caso, el valor del desplazamiento coincide con la suma de las áreas de un trapecio (67,5 m) y de un triángulo (25 m). 5,6715 2 54 A1 =⋅ + = 25 2 105 A2 = ⋅ =
  • 27. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 0 1 2 3 4 5 6 7 t (h) v (km/h) La siguiente gráfica velocidad-tiempo describe el movimiento rectilíneo de un ciclista. Interprétala. Halla el desplazamiento y la distancia recorrida en 6 h. 21 # Analiza en qué tramos el movimiento es uniforme (MRU) y en cuáles es uniformemente acelerado (MRUA). MRU  de 0,5 h a 1,5 h: v = 10 km/h de 3 h a 5,5 h: v = -5 km/h MRUA  de 0 a 0,5 h: vo= 0 y a = 20 km/h² de 1,5 h a 3 h: vo = 10 km/h y a = -10 km/h² (en el instante t = 2,5 h, el ciclista invierte el sentido del movimiento) de 5,5 h s 6 h: vo = -5 km/h y a = 10 km/h² # Calcula ahora los desplazamientos en cada uno de los tramos de la gráfica v-t. ∆xI = vot +1/2 at² = 0 + ½ (20)·0,5² = 2,5 km ∆xII = vt = 10·1 = 10 km ∆xIII = vot +1/2 at² = 10·1,5 + ½ (-10)·1,5² = 3,75 km ∆xIV = vt = -5·2,5 = -12,5 km ∆xV = vot +1/2 at² = -5·0,5 + ½ (10)·0,5² = -1,25 km El desplazamiento total es la suma de estos cinco desplazamientos parciales: 2,5 km. II III IV V I # Determina la distancia recorrida. El ciclista se mueve hacia la derecha durante 2,5 h y hacia la izquierda durante las 3,5 h restantes. En dichos intervalos de tiempo recorre 17,5 km y 15 km, respectivamente; en total, 32,5 km.
  • 28. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química Un motorista de tráfico circula con una velocidad de 20 m/s y observa que un conductor comete una infracción. Sale en su persecución, para lo cual acelera con un ritmo constante de 0,5 m/s². a) ¿Cuánto tiempo empleará el motorista en alcanzar una velocidad de 30 m/s? b) Halla el desplazamiento del motorista en ese tiempo. A partir de la ecuación de la velocidad podemos escribir: s20t 5,0 2030 a vv o === −− 22 # Recuerda las ecuaciones de este movimiento y contesta al apartado a). # Contesta al apartado b). m5004005,0 2 1 2020²at 2 1 tvx o =⋅+⋅=+=∆
  • 29. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química Desde lo alto de un campanario de 20 m de altura, se lanza verticalmente hacia arriba un objeto con una rapidez de 40 m/s. Se supone despreciable el rozamiento con el aire. a) Calcula la posición y la velocidad del objeto en el instante t = 6 s. b) ¿Qué altura máxima alcanza el objeto? ¿Qué tiempo emplea en lograrla? c) Halla la velocidad del objeto cuando vuelve a pasar por el punto de lanzamiento y el tiempo total empleado. 23 # Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento. Y X yo = 20 m vo = 40 m/s a = -9,8 m/s2 De acuerdo con el sistema de referencia, las magnitudes vecto- riales que apuntan hacia arriba se toman con signo + y las que se- ñalan hacia abajo con signo -. Las ecuaciones asociadas a este lan- zamiento son, entonces: v = 40 – 9,8t y = 20 + 40t - 4,9t2 # Contesta al apartado a). Sustituyendo en las ecuaciones del movimiento t por 6, v(6) = 40 -9,8·6 = -18,8 m/s y(6) = 20 + 40·6 - 4,9·36 = 83,6 m El signo – del primer resultado indica que el objeto está bajando y el valor de la posición significa que se encuentra por encima del punto de lanzamiento. # Contesta al apartado b). Cuando se alcanza la altura máxima se cumple que la velocidad es nula, cosa que sucede en un instante tal que: 0 = 40 – 9,8t; t = 40/9,8 = 4,08 s; por lo tanto, ymax = 20 + 40·4,08 – 4,9·4,082 = 101,6 m # Contesta al apartado c). El punto de lanzamiento cumple la condición de que y = 20 m, por lo que: 20 = 20 + 40t – 4,9t2 ; 0 = 40t – 4,9t2 ; 0 = t(40 -4,9t), ecuación que tiene dos soluciones: la evidente t = 0 y la que interesa ahora: t = 40/4,9 = 8,16 s. La velocidad en dicho instante es: v = 40 – 9,8·8,16 = -40 m/s. Se concluye que cuando el objeto vuelve al punto de lanzamiento se mueve con una velo- cidad de intensidad idéntica a la inicial, aunque de sentido contrario. También vemos que el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada.
  • 30. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química Se deja caer una piedra desde la boca de un pozo. Llega al fondo con una velocidad de 14,7 m/s de intensidad. a) ¿Cuál es la profundidad del pozo? b) ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en llegar al fondo del pozo? 24 # Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento. De acuerdo con el sistema de referencia, las magnitudes vecto- riales que apuntan hacia arriba se toman con signo + y las que se- ñalan hacia abajo con signo -. Las ecuaciones asociadas a este lan- zamiento son, entonces: v = -9,8t y = yo - 4,9t2 Y X yo = ? vo = 0 a = -9,8 m/s2 v = -14,7 m/s # De acuerdo con la información disponible, analiza qué apartado debes contestar primero. De la ecuación de la velocidad deducimos que: -14,7 = -9,8t; t = 14,7/9,8 = 1,5 s, que es el tiempo que tarda la piedra en llegar al fondo del pozo. En ese instante la posición de la piedra es y = 0; por lo tanto, en la ecuación de la posición pode- mos escribir: 0 = yo – 4,9·1,52 = yo – 11, por lo que la profundidad del pozo es: yo = 11 m.
  • 31. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química a) Desde una altura de 45 m, respecto al suelo, se deja caer un libro de Física y Química. Se considera despreciable la influencia del aire. Halla la velocidad con que el libro llegará al suelo. ¿Cuánto tiempo invertirá en dicho recorrido? b) Repite el ejercicio suponiendo que el libro es lanzado verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 15 m/s. 25 # Dibuja un esquema, escribe las ecuaciones del movimiento y contesta al apartado a). # Dibuja un esquema, escribe las ecuaciones del movimiento y contesta al apartado b). De acuerdo con el sistema de referencia, las magnitudes vectoriales que apuntan hacia arriba se toman con signo + y las que señalan hacia abajo con signo -. Las ecuaciones asociadas a este lanzamiento son, entonces: v = -9,8t y = 45 - 4,9t2 Y a = -9,8 m/s2 X yo = 45 m vo = 0 v = ? t = ? Cuando el libro llega al suelo se cumple que y = 0, es decir, 0 = 45 – 4,9t2 ; La velocidad del libro en ese instante es: v = -9,8·3 = -29,4 m/s s3 9,4 45 t == De acuerdo con el sistema de referencia, las magnitudes vectoriales que apuntan hacia arriba se toman con signo + y las que señalan hacia abajo con signo -. Las ecuaciones asociadas a este lanzamiento son, entonces: v = -15 - 9,8t y = 45 -15t - 4,9t2 a = -9,8 m/s2 X yo = 45 m vo = -15 m/s v = ? t = ? Y Cuando el libro llega al suelo se cumple que y = 0, es decir, 0 = 45 – 15t - 4,9t2 , ecuación de 2º grado completa, cuyas soluciones son: La velocidad del libro en el instante válido es: v = -15 - 9,8·1,87 = -33,3 m/s   − = − ± = − ⋅−⋅−± = 87,1 93,4 8,9 3,3315 8,9 45)9,4(422515 t ¡Comenta los resultados!
  • 32. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química Desde una altura h se lanza verticalmente hacia abajo un cuerpo con una rapidez inicial de 5 m/s, invirtiéndose 6 s en llegar al suelo. Calcula el valor de h y la rapidez máxima que alcanzará el cuerpo. 26 # Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento. De acuerdo con el sistema de referencia, las magnitudes vectoriales que apuntan hacia arriba se toman con signo + y las que señalan hacia abajo con signo -. Las ecuaciones asociadas a este lanzamiento son, entonces: v = -5 - 9,8t y = h - 5t - 4,9t2 a = -9,8 m/s2 X yo = h = ? vo = -5 m/s v = ? t = 6 s Y Debes perder el miedo a las expresiones algebraicas y trabajar con “letricas” como si fuesen números. Fíjate en las condiciones que cumple la posición del cuerpo cuando t = 6 s. Cuando t = 6 s, se cumple que y = 0; llevando estas condiciones a la ecuación de la posición, tenemos: 0 = h – 5·6 – 4,9·36; h = 206,4 m. La rapidez máxima se alcanza cuando el cuerpo llega al suelo; por lo tanto, la velocidad es: v = -5 -9,8·6 = -63,8 m/s. La rapidez vale: 63,8 m/s.
  • 33. I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química a) Galileo lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una rapidez inicial de 29,4 m/s ¿Qué altura alcanzará (la piedra)? b) ¿Experimentará la piedra el mismo desplazamiento en el primer segundo de subida que en el último segundo? ¿Por qué? 27 # Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento. De acuerdo con el sistema de referencia, las magnitudes vectoriales que apuntan hacia arriba se toman con signo + y las que señalan hacia abajo con signo -. Las ecuaciones asociadas a este lanzamiento son, entonces: v = 29,4 - 9,8t y = 29,4t - 4,9t2 a = -9,8 m/s2 Y X yo = 0 vo = 29,4 m/s v = 0 y = h = ? # Contesta al apartado a). Calculamos, en primer lugar, el tiempo invertido por la piedra en subir. En el punto más alto se cumple que v = 0; por lo tanto, 0 = 29,4 - 9,8t; t = 29,4/9,8 = 3 s. Sustituyendo este valor en la ecuación de la posición, tenemos: h = 29,4·3 – 4,9·9 = 44,1 m # Contesta al apartado b). Debido a que, a medida que la piedra asciende, se está moviendo más lentamente, el desplazamiento en el primer segundo será mayor que en el último segundo de subida. En cualquier caso, se puede comprobar esto mediante los cálculos adecuados. • En el primer segundo: ∆y(de 0 a 1 s) = y(1) = 29,4·1 – 4,9·1 = 24,5 m • En el último segundo el desplazamiento será la diferencia entre las posiciones de la piedra en los instantes 3 s y 2 s: ∆y(de 2 s a 3 s) = y(3) – y(2) = 44,1 – (29,4·2 – 4,9·4) = 44,1 – 39,2 = 4,9 m