Algèbre & Trigonométrie ( DUT )

Algèbre
&
Trigonométrie
DUT-GEII- Fatiha AKEF
UNIVERSITE HASSAN II DE CASABLANCA
ENSET - Mohemmadia

2F. AKEF
› Chapitre 1 : Nombres Complexes
› Chapitre 2 : Polynômes
› Chapitre 3 : Fractions Rationnelles
› Chapitre 4 : Espaces Vectoriels
› Chapitre 5 : Applications Linéaires
› Chapitre 6 : Matrices
› Chapitre 7 : Déterminants - Systèmes Linéaires

Chapitre 1 : Nombres Complexes
1. Corps des nombres complexes
2. Représentation géométrique
3. Nombres complexes de module 1
Chapitre 1 :
Nombres Complexes
Chapitre 2 :
Polynômes
Chapitre 3 :
Fractions Rationnelles
Chapitre 4 :
Espaces Vectoriels
Chapitre 5 :
Applications Linéaires
Chapitre 6 :
Matrices
Chapitre 7 :
Déterminants - Systèmes
Linéaires

4F. AKEF
Définition :
› On appelle nombre complexe tout couple de l’ensemble ℝℝ
muni d’une structure de corps commutatif par les lois de
compositions internes introduites ci-après.
› L’ensemble des nombres z = (a, b), (aℝ, bℝ) est noté ℂ.
 z = z (a, b) = (a, b) 
 addition : (a, b) + (a, b) = (a + a, b + b)
 multiplication :(a, b) .(a, b) = (aa- bb, ab+ba)
Propriété de l’addition :
› (ℂ, +) groupe commutative.

5F. AKEF
Propriété de la multiplication
› * Associative, *commutative, * (1, 0) élément neutre pour « . »,
* élément symétrique.
Soit z = (a, b), on cherche s’il existe z = (a, b) tel que :
› zz = (a, b).(a, b) = (1, 0) 
› si a2 + b2 0
› Tout nombre complexe non nul z = (a, b) admet donc un
inverse noté défini par .

6F. AKEF
Conclusion
› ℂ* est un groupe commutative pour la
multiplication.
Conséquence
› Dans ℂ* l’équation z z = z admet une solution
unique z = z . Notée (définit la division).
› La multiplication est distributive par rapport à
l’addition.

7F. AKEF
Structure algébrique de ℂ
(ℂ, +, .)est un corps commutatif. Ce corps contient le corps des nombres réels ℝ.
En effet soit ℂℂ , ℂ = {(a, 0)ℂ, aℝ}
1) ℂest un sous-corps de ℂ car :
Si zℂ, zℂ z+zℂ et -zℂ
zzℂ et ℂ (z  0)
2) l’application  de ℝ dans ℂ définie par : a (a) = (a, 0) est bijective et
compatible avec l’addition et la multiplication
(a+a) = (a+a, 0) = (a) + (a)
(aa) = (a a, 0) = (a, 0) (a, 0) = (a) (a)
›  est donc un isomorphisme du corps ℝ sur le corps ℂ. Il permet d’identifier
les nombres complexes (a, 0) aux nombres réels a. On notera par la suite
(a, 0) = a

8F. AKEF
Exemple
› (0, 0) = 0 et (1, 0) = 1
Il en résulte une nouvelle écriture pour des nombres complexes.
› z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + (0, b)
› or (0, b) = (b, 0).(0, 1) = b  (0, 1)
En introduisant le nombre complexe (0, 1), notéi, on obtient z = (a, b) = a + bi
Remarque
› (0, 1) est noté par fois j(application en électricité)
De plus (0, 1).(0, 1) = (-1, 0) = -1 donc i2 = -1par suite i3 = - i , i4 = 1
Généralement même remarque : i4n = 1 , i4n+1 = i , i4n+2 = -1 , i4n+3 = -i .
› z = a + bi est appelée forme algébrique du nombre complexe z. C’est celle qu’on
utilisera par la suite pour effectuer les calculs dans ℂ.

9F. AKEF
Image d’un nombre complexe
Soit le plan rapporté en repère orthonormé.
A tout nombre complexe z = a + bi on associe le point M de coordonnées a et b.
› Par définition M est l’image de z et inversement z est l’affixe de M.
› z = a + bi M(a, b) est bijective.

10F. AKEF
› Le plan des points M(z) est appelé plan complexe, l’axe Ox axe des réels, l’axe
Oy axe des imaginaires purs.
› A tout nombre complexe z = a + bi, on peut aussi associer le vecteur de
composantes a et b.
› On appelle module et argument du nombre complexe z le module et l’angle
polaire du vecteur image .

11F. AKEF
› On note
› r = et
› z = a + bi = r cos + r sin i = r(cos + i sin) c’est la forme trigonométrique d’un
nombre complexe on note par fois z = [r, ].
Exemples
› Module et argument de 1+ i
› Module et argument d’un nombre réel.
Remarque
› Si z = 0, |z| = 0 mais Arg z est indéterminé.

12F. AKEF
› Image de la somme
› Soit z = a + bi et z = a + bi d’image M et M. On a z = z + z = (a + a) + (b + b)
i. L’image de z est donc le point M définie par : .
› L’addition des nombres complexes équivaut à l’addition des vecteurs images

13F. AKEF
› Image du produit
› Soit z = r(cos + i sin) et z = r(cos + i sin)
zz = r r(cos + i sin) (cos + i sin)
= rr [coscos- sinsin + i (cos sin+ sincos)]
= rr [cos( + ) + i sin(+)].
| zz| = | z | | z|
Arg(z z) = Arg(z) + Arg(z)

16F. AKEF
Notation exponentielle
› On a
› Si |z| = |z| = 1 |z z| = 1 et = 1
› Donc l’ensemble des nombres complexes de module 1 est un groupe multiplicatif.
› On considère l’application () = cos + i sin
› On a : (+ ) = () ()
› Il existe donc un isomorphisme entre le groupe additif
des arguments et le groupe multiplicatif des nombres
complexes de module 1.
› On pose alors cos + i sin = ei
› La forme trigonométrique d’un nombre complexe quelconque s’écrit alors : z = r ei

22F. AKEF
Notion de fonction de variable complexe :
Définition
› On appelle fonction de variable complexe toute application f de ℂ (ou d’une partie de
› ℂ) dans lui même : z Z = f(z)
› Si z = x + iy f(z) = f(x + iy) = P(x, y) + i Q(x, y)
› Une fonction de variable complexe définit donc deux fonctions de deux variables
réelles.

23F. AKEF
› Exemples :
(i) f(z) = z2 = (x + iy)2 = x2– y2 + 2ixy
› Si m est l’image de z et M l’image de Z on peut associer à la fonction f
une application du plan complexe dans lui même.

24F. AKEF
› Exemples :
› (ii) fonction Z  aZ + b
Soit f l’application de ℂ vers lui-même définie par :
z Z = a z + b a,bℂ.
› Cherchons les éléments invariants par f :
› f(zo) = zo = a zo + b
› (1 – a) zo = b
› Si a  1 :
zo = On a donc :
Z = az + bzo = a zo + b
Z-zo = a(z -zo) c’est à dire

25F. AKEF
› Exemples :
› a = r ei = r
› Relation qui caractérise une similitude de centre , d’angle  et de rapport r
› Si  = k on obtient un homothétie de centre  et de rapport  r .
› Si r = 1 une rotation de centre , d’angle 
› Remarque
› Multiplication par i : rotation de
› Division par i : rotation de
› Si a = 1 :
› il n’existe pas d’élément invariant si est de vecteur associé au nombre complexe b.
› 
› M est l’image de m dans une translation de vecteur

Chapitre 2 : Polynômes
I. Polynômes formels
II. Structure de l’ensemble du polynôme
III. Division euclidienne dans K[X]
IV. IV-Division suivant les puissances
croissants dans K[X]
V. Zéros d’un polynôme
VI. Factorisation d’un polynôme
Chapitre 1 :
Nombres Complexes
Chapitre 2 :
Polynômes
Chapitre 3 :
Chapitre 4 :
Espaces Vectoriels
Chapitre 5 :
Chapitre 6 :
Matrices
Chapitre 7 :
Linéaires

28F. AKEF
Définition
› On appelle polynôme à une déterminée sur un corps commutatif K,
toute suite d’éléments de K, P = (ao, a1, …, an, 0, 0, …) dans laquelle tous
les termes sont nuls à partir d’un certain rang.
› K = ℂ P : polynôme à coefficients complexes.
› K = ℝ P : polynôme à coefficients réels.
› Par définition, le polynôme nul noté 0 est tel que tous les coefficients ai
soient nuls 0 = (0, 0, …, 0, …)

29F. AKEF
Degré - égalité
› * Le plus grand entier n tel que an 0 s’appelle le degré du polynôme
P = (ao, a1, …, an, 0, 0, …)
› On note do(P) = n. Exemple : P = (0, 1, i, 7, 0, …) do(P) = 3
› Le polynôme nul n’a pas de degré.
› * Deux polynômes P = (ao, a1, …, an, 0, 0, …) et Q = (bo, b1, …, bp, 0, 0,…) sont
égaux si pour tout kℕak = bk on a alors P = Q  do(P) = do(Q)

30F. AKEF
On munit l’ensemble des polynômes de deux lois de compositions interne et d’une
loi externe.
Addition
› Soit deux polynômes à une indéterminée sur un corps commutatif K.
› P = (ao, a1, …,ap, 0, 0, …) Q = (bo, b1, …, bp, 0, 0,…)
› On appelle polynôme somme, le polynôme P + Q = (co, c1, …, cr, 0, 0, …)
telquenℕcn = an + bn on a do (P + Q) Max(do(P), do(Q))
› On vérifie que l’addition des polynômes est associative, commutative possède un
élément neutre le polynôme nul 0 = (0,0,…,0,…) et tout polynôme
P = (ao, a1, …, an, 0, 0, …) admet un opposé le polynôme - P = (-ao, - a1, …, - an, 0, 0, …)
.
› D’où l’ensemble des polynômes muni de l’addition est un groupe commutatif.

31F. AKEF
› Multiplication
› Soit deux polynômes P = (ao, a1, …, ap, 0, 0, …) Q = (bo, b1, …, bp, 0, 0,…)
› On appelle produit du polynôme P par le polynôme Q le polynôme PQ = (co, c1,…, cn, 0,…)
telque co = aobo , c1 = aob1 + a1 bo , …
› En particulier cn = apbq avec r = p + q
d’où do(PQ) = do(P) + do(Q)
› On vérifie que la multiplication est associative, commutative, distributive par
rapport à l’addition et elle possède un élément neutre, le polynôme unité
u = (1, 0, 0, …)

32F. AKEF
Multiplication
Conclusion
L’ensemble des polynômes muni de l’addition et de la
multiplication a une structure d’anneau commutatif
unitaire.
Remarque
L’anneau des polynômes est intègre si P  0 et Q  0
do(PQ) = do(P) + do(Q) PQ  0.

33F. AKEF
Multiplication par un scalaire
Soit P = (ao, a1, …, an, 0, 0, …) un polynôme et K
P = (ao, a1, …, an, 0, 0, …)
› Propriétés
(P) = () P
1 P = P
( + ) P = P + P
(P + Q) = P + Q
› Alors l’ensemble des polynômes poss
› ède relativement à l’addition et la multiplication par un scalaire une
structure d’espace vectoriel.

34F. AKEF
Multiplication par un scalaire
Soit P = (ao, a1, …, an, 0, 0, …) un polynôme et K
P = (ao, a1, …, an, 0, 0, …)
› Propriétés
› Donc tout polynôme s’écrit d’une manière unique comme combinaison
linéaire des polynômes Xo, X1, X2,… de plus ces polynômes sont
indépendants. On en déduit que ℬ = {Xo, X1, X2,…} est une base de
l’espace vectoriel des polynômes. On note cet espace K[X]

35F. AKEF
Multiplication par un scalaire :
Exemple
› K = ℂou K = ℝ
› ℝ [X] ensemble de polynômes à coefficients réels
› ℂ[X] ensemble de polynômes à coefficients complexes
Remarque
› Le polynôme X = (0, 1, 0, …) est utilisé comme variable formelle mais n’est pas un
élément de ℝ ou de ℂ les polynômes ainsi défini sont appelé polynômes formels.
› Soit P = ao + a1 X+ … + apXp un polynôme formel et l’application de ℝ (ou ℂ) dans lui
même définie par : (x) = ao + a1 x+ … + apxp
› La fonction est appelée fonction polynôme associée à P si () = 0 on dit que  est un zéro
du polynôme P.
› Dans la suite, on ne distinguera plus, polynôme formel et fonction polynôme associée.
On notera par exemple
P(x) = ao + a1 x+ … + apxp polynôme ordonné en « puissance croissante »
Ou P(x) = apxp + ap-1 xp-1 +…+ a1 x + ao polynôme ordonné en « puissance décroissante »

36F. AKEF
Théorème
› Soient A et B deux polynômes donnés de K[X] avec B  0
alors il existe un couple unique de polynôme (Q, R) tels
que :
› Les polynômes Q et R sont respectivement le quotient et le
reste de la division euclidienne de A par B
Remarque
› si R = 0 A = BQ on dit que A est divisible par B

37F. AKEF
› Démonstration du théorème
1) On démontre, en les calculant, que les polynômes Q et R
existent. Ordonnons, les deux polynômes A et B selon les
puissances décroissantes :
› A = anxn + an-1 xn-1 +…+ a1 x + ao
› B = bpxp + bp-1 xp-1 +…+ b1 x + bo

38F. AKEF
› On obtient ainsi une suite de restes (Ri) de degré décroissante :
› Lorsque do(Rk) < do(B) la division est terminée et l’on a (en ajoutant
membre à membre)
› L’existence est établie.

39F. AKEF
2) Unicité :
› Montrons que le couple (Q, R) ainsi trouvé est unique supposons qu’il
existe un autre couple (Q1, R1) tel que :
et  BQ + R = BQ1 + R1B(Q – Q1) = R1– R
› Par conséquent
si R1– R = 0  Q = Q1
sinon do(B) + do(Q – Q1) = do(R1– R) (*)
mais do(R1– R)  Max [do(R1) , do( R)] < do(B)
(*) do(R1– R)  do(B) contradiction donc R = R1 et Q = Q1.

40F. AKEF
› Exemple – Disposition pratique
Effectuons la division euclidienne de : A = 3x5 + 4x2 + 1 par B = x2 + 2x + 3

41F. AKEF
› Soit A et B deux polynômes ordonnés en puissance croissantes
A = ao + a1x + … + anxn
B = bo + b1 x + … + bpxp avec bo 0
› Alors il existe un couple unique de polynôme (Q, R) det[X] tels que :
› Q et R sont respectivement quotient et reste de la division en
puissances croissantes de A par B, à l’ordre k

42F. AKEF
› Exemple et disposition pratique
› Soit A = 2 + 4x2 + x3 et B = 1 + 2x + 3x2 . Effectuer la division à l’ordre k = 3 .
› On a donc dans cet exemple
2 + 4x2 + x3 = (1 + 2x + 3x2) (2 – 4x + 6x2 + x3) + x4 (-20 – 3x)
› Exercice : Division à l’ordre n de 1 par 1- x.
› 1 = (1 – x) (1 + x + x2 +…+ xn) + xn+1

43F. AKEF
› Définition
K = ℝ ou ℂ. On dit que l’élément a de K est un zéro du polynôme PK[X] si P(Q) = 0.
On dit aussi que a est une racine de P
› Théorème
Le reste de la division euclidienne de P par x – a est p(0). Pour que a soit zéro de P, il
faut et il suffit que P soit divisible par x – a.
› En effet : Effectuer la division euclidienne de P par x – a
› x = a P(a) = R
› Par conséquent P = (x – a) Q + P(a)
› Le reste de la division euclidienne de P par x – a est p(a) il en résulte, pour que P soit
divisible par (x – a) il faut et il suffit que p(a) = 0, c’est à dire que a soit zéro de P.

44F. AKEF
Exemples
› 1) P(x) = xnan est divisible par x – a
xnan = (x – a) (xn-1 + a xn-2 + … + an-2 x + an-1)
› 2) P(x) =xn+ an est divisible par x + a pour n impair
en effetP(-a) = (-a)n +an = 0 si n=2p+1
xn+ an = (x + a) (xn-1- a xn-2 + … + - an-2 x + an-1)

45F. AKEF
Ordre de multiplicité d’un zéro
› Soit a un zéro de P, alors (x – a) divise P, il existe un polynôme P1 tel que :
P = (x – a) P1.
› Si P1(a)  0, on dit que a est zéro simple de P.
› Si P1(a) = 0, alors P1 est divisible par (x – a) et il existe un polynôme P2 tel
que
P1 (x – a) P2d’où P = (x – a)2 P2 .
› Si P2(a)  0, on dit que a est zéro double de P.
› D’une façon en générale, s’il existe un entier naturel k 1 et un polynôme Pk
tel que
P = (x – a)h Pk avec Pk (a)  0
› On dit alors que a est zéro multiple d’ordre k de P.
k est appelé multiplicité du zéro a de P

46F. AKEF
Soit P un polynôme , si P(a) = 0 P est divisible par (x – a)
› Si P(a) = P(b) = ….. = P(ℓ) = 0 , a  b  …  ℓ
P est divisible par (x – a) (x – b) … ( x- ℓ)
› La factorisation d’un polynôme conduit donc à la recherche de ses
zéros
Théorème de d’Alembert
› Tout polynôme de degré non nul et à coefficients complexes admet au
moins un zéro dans ℂ

47F. AKEF
Conséquence
Tout polynôme de degré n possède n zéros dans ℂ, distincts ou confondus
En effet : si P(a) = 0 on a
› Il suffit d’appliquer le théorème de d’Alembert à P1.
Soit donc le polynôme de do n : P(x) = anxn + … + a1 x + ao admettant les n zéros
x1xn P(x) = an (x– x1) … (x - xn) en regroupant les parenthèses identiques
P(x) = avec 1 + 2 + … +n = n
› Exemple
P(x) = x3– x2 + x – 1
P(x) = (x – 1) (x – j) (x + j)

Chapitre 3 : Fractions Rationnelles
I. Définition
II. Partie entière et pôle d’une fraction
rationnelle
III. Décomposition d’une fraction dans ℂ
IV. Décomposition d’une fraction dans ℝ
V. Compléments
Chapitre 1 :
Nombres Complexes
Chapitre 2 :
Polynômes
Chapitre 3 :
Chapitre 4 :
Espaces Vectoriels
Chapitre 5 :
Chapitre 6 :
Matrices
Chapitre 7 :
Linéaires

56F. AKEF
Théorème fondamental
› Toute fraction rationnelle de pôles a, b, …, ℓ peut se
décomposer de façon unique en la somme de sa partie
entière et des parties principales relatives à chacun de ses
pôles
› Chaque fraction du type est appelé fraction de 1er
espèce. Pour cette raison la décomposition précédente est
la décomposition en éléments simples de première espèce

58F. AKEF
Pratique de la décomposition
1) Si do (P) > do (Q) calculer la partie entière.
2) Déterminer les pôles avec leur ordres de multiplicité et écrire la forme
de la décomposition.
3) calculer les coefficients
› Ce calcul est simplifié dans le cas où la fraction est paire ou impaire
car la décomposition doit alors posséder la même propriété.
› Les coefficients relatifs aux pôles multiples sont donnés par la formule
A = les coefficients relatifs aux pôles multiples par la méthode
générale (division en puissance croissante) ou souvent en utilisant les
valeurs de substitution simple et bien choisies
x = 0, x =  1, x =  i ou x .

69F. AKEF
Relations entre les coefficients et les zéros d’un polynôme de ℂ[X]
› Soit P un polynôme de ℂ[X] de do n  1
P(x) = an xn + an-1 xn-1 +… + a1 x + ao (1)
› Si x1, …, xn sont les racines de P(x) (distincte en confondus)
P(x) = an (x - x1) (x – x2) … (x -xn)
› Développons ce produit de facteurs et identifions avec (1)
› terme de do n : an = an
› terme de do (n-1) : an-1 = - an (x1 + x2 + … + xn)
› terme de do (n-2) : an-2 = - an (x1 x2 + x1 x3 + … + xn-1xn)

70F. AKEF
Relations entre les coefficients et les zéros d’un polynôme de ℂ[X]
do0ao = (-1)n an x1 x2 + … + xn
› Si on désigne par k la somme des produits k à k des n racines, exemple
1 = x1 + … + xn …n = x1 x2 + … + xn

72F. AKEF
Factorisation dans ℝ :
› Soit pℝ[X] polynôme à coefficients réels P(x) = an xn + an-1 xn-1 +… + a1 x +
ao(aiℝ)
On a :
› C’est à dire d’où le résultat
› Si a est une racine d’ordre  de l’équation à coefficients réels P(x) = 0,
il en est de même de .
› Dans le cas général toute équation à coefficients réels P(x) = 0 admet :
› - des racines réels x1, x2,.., xr d’ordres respectifs 1, 2,… ,r .
› - les couples de racines complexes , , … , d’ordres respectifs 1, 2,… ,
s .

73F. AKEF
Factorisation dans ℝ :
› Remarque
Le nombre de racines complexes est toujours pair, il en résulte qu’une équation
de do impair possède au moins une racine réelle
› Exercices
Factoriser sur ℝ les polynômes
1) P(x) = x4 + 3x2– 4
2) P(x) = x4 + 1

Chapitre 4 : Espaces Vectoriels
I. Structure d’espace vectoriel sur un corps
commutatif
II. Sous-espace vectoriel
III. Base d’un espace vectoriel
Chapitre 1 :
Nombres Complexes
Chapitre 2 :
Polynômes
Chapitre 3 :
Chapitre 4 :
Espaces Vectoriels
Chapitre 5 :
Chapitre 6 :
Matrices
Chapitre 7 :
Linéaires

75F. AKEF
1- Lois externes
› Définition
› Etant donné un ensemble E, et un ensemble . On appelle loi de composition
externe entre éléments de E et éléments de , toute application f de  E
dans E
f :  E E
(, a) f(, a)
› f(, a) est le composé de  et de a pour loi externe considérée
› On note en général f(, a) par .a ou  a on dira dans ce cas que la loi
externe est une multiplication externe
›  s’appelle domaine d’opérateur

76F. AKEF
› Etant donné un corps commutatif K,
d’éléments neutres 0k et 1k
› On dit qu’un ensemble E muni d’une loi
de composition interne notée « + » et
d’une loi de composition externe notée
« . », dont le domaine d’opérateurs est
K a une structure d’espace vectoriel sur
K si
› 1) (E, +) est un groupe commutatif
› 2)a,bE ,K
› .(a + b) = .a + .b
› (+ ).a = .a + .b
3)aE ,K
.(.a) = ().a
4)aE
1k.a = a
Les éléments de E sont appelés
vecteurs
K s’appelle le corps de base de
l’espace vectoriel E
Les éléments de K s’appellent
scalaires
2- Structure d’espace vectoriel sur un corps commutatif K
Définition

77F. AKEF
Exemples
› (ℝn, +, .) est un espace vectoriel sur ℝ pour tout nℕ*
› (x1, x2, …, xn) + (y1, y2, …, yn) = (x1+y1, x2+y2,…, xn+yn)
› (x1, x2, …, xn) = (x1, x2,…, xn)
› l’ensemble des fonctions numériques à variable réelle ℱ(ℝ, ℝ)
est un espace vectoriel sur ℝ pour l’addition des fonctions
et pour la multiplication d’une fonction par un réel. Il en
est de même pour (,+, .). étant l’ensemble des fonctions
polynômes de degré  n

78F. AKEF
3- Règles de calcul dans l’espace vectoriel (E, +, .)
A- Règles de calcul du groupe (E, +)
› (a, b, c)E3 a = b  a + c = b + c
› (x, a, b)E3 x + a = b  x = b + (-a)  x = b – a
› (a, b)E3- (a + b) = (-a) + (-b)
B- (, x)ℝE l’élément neutre de (E, +)
› .x = ( = 0 ou x = )

79F. AKEF
› Démonstration
Soit ℝ soit xE

80F. AKEF
Propriétés
› 1)ℝ* x,yE
.x = .y  x = y
› .x = .y -1.(.x) = -1.(.y)  (-1.).x = (-1.).y 1.x = 1.y  x = y
› 2) ℝxE
(-).x = -(.x) = .(-x)
› (-).x = (-1).x = -1.(.x) = -(.x) = (.(-1)).x = .(-1.x) = .(-x)
› 3)(,)ℝ2xE yE
(-).x = .x -.x
.(x – y) = .x -.y

81F. AKEF
› Définition
› Etant donné un espace vectoriel (E, +, .)et une partie F de E non vide.
On dit que F est un sous espace vectoriel de (E, +, .) si et seulement
si (F, +, .)est un espace vectoriel
› Propriétés caractéristiques du sous-espace vectoriel
Conditions nécessaires et suffisantes
› Théorème

82F. AKEF
› Démonstration
› Soit (E, +, .) un espace vectoriel et F une partie non vide de E
› C.N.S(1) : Il faut que F soit stable pour les deux lois « + » et « . »
c-à-d
1)(x, y)F2 x + yF
2)(, x)ℝF xF
› Supposons que 1) et 2) sont vérifiées
› Soit xF (F )
-x = -1.x d’après 2)-xF donc (F, +, .)est un groupe.
› Les autres axiomes d’espace vectoriel vrais dans E, le sont dans F

83F. AKEF
Théorème
(F, +, .) est un sous-espace vectoriel de (F, +, .) si et seulement si
a) F CNS (2)
b) (, )ℝ2(x, y)F2x +yF
Démonstration
› CNS (1)  CNS (2) ?
› (, )ℝ2(x, y)F2xF , yF d’où x +yF
› CNS (2)  CNS (1) ?
› (, )ℝ2(x, y)F2x +yF
›  = 0 y = xF F stable pour « . »
›  =  = 1 x+yF F stable pour « + »

84F. AKEF
3- Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs
› Définition
Soit n réels 1, 2,…, n et n vecteurs x1, x2,…, xn
On appelle combinaison linéaire des n vecteurs, le vecteur :
› Définition
On appelle famille de vecteurs de E toute partie finie de E (on dit aussi
système)
› Proposition
› L’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs d’une famille de E
est un sous-espace vectoriel de E

86F. AKEF
Définition
› Le sous-espace vectoriel constitué par les combinaisons linéaires des vecteurs
d’une famille s’appelle le sous-espace vectoriel engendré par cette famille
› On dit alors que cette famille est une famille génératrice du sous-espace
vectoriel
Remarque
› Si la famille S = {x1, …, xn} engendre F on a F (1,…, n)ℝn tel que
Exemples
› E = ℝ3
› F = {(x1, x2, x3) / x3 = 0} sous-espace vectoriel de ℝ3
› ℱ(ℝ, ℝ), le sous ensemble des fonctions continues est un sous espace vectoriel
de ℱ(ℝ, ℝ)

87F. AKEF
› Proposition
› E espace vectoriel, F1, F2 sous espace
vectoriel alors F1  F2 sous espace
vectoriel
› Définition :
› F1 + F2 = {xE /  x1F1, x2F2
x = x1 + x2} appelé somme des sous
espaces vectoriels F1 et F2
› Propositon
› F1 + F2 est un sous espace vectoriel
de E
› (Démonstration en exercice)
Exemple
P = ensemble des fonctions polynômes
A = ensemble de tous les polynômes de la
forme : a + bx
T = ensemble de tous les polynômes de la
forme : a + bx + x2
F = ensemble de tous les polynômes de la
forme : bx + cx2
G = ensemble de tous les polynômes de la
forme : cx2
A, T, F, G sous espace vectoriel de P
A + F = TA + G = T
A  F  {0p}A  G = {0p}

88F. AKEF
1- dépendance et indépendance linéaire
› Soit n vecteurs x1, x2,…, xn d’un espace vectoriel et n scalaire 1,…, n
› On considère x = 1 x1+ … + n xn
› On a1 = 2 = … = n = 0  x = 1 x1 + 2 x2 + … + n xn = 0
› L’implication réciproque est en général fausse 1(1, 2) + 1(1, 2)
› Définition
› Les vecteurs x1, x2, … ,xn sont dits linéairement indépendantes si
› 1 x1 + 2 x2 +…+ n xn= 01 = 2 =… = n = 0
› On dit aussi que les vecteurs (xi) forment une famille libre

89F. AKEF
› Définition
Au contraire, s’il existe n scalaires 1,…, n non tous nuls tels que
1 x1 + 2 x2 +…+ n xn= 0 les vecteurs x1, x2, … ,xn sont linéairement dépendants
On dit aussi que les vecteurs (xi) forment une famille liée
› Remarque
Dans le cas d’une famille liée, l’un des vecteurs peut s’exprimer comme combinaison
linéaire des autres
› Exemples
A-Dans ℝ2
Pour que deux vecteurs du plan soient linéairement dépendants il faut et il suffit
que
1 + 2= (1  0 et 2  0) ou que =  c’est à dire qu’ils sont parallèles
ou confondues
B- Dans ℝ3
› (1, 0, 0) , (0, 1, 0) et (0, 0, 1) sont linéairement indépendants

90F. AKEF
Remarques
› Si n vecteurs sont linéairement indépendants il en est de même de p
quelconquesd’entre eux
› Si en effet les p vecteurs x1, … , xpétaient dépendants, il existeraitp
scalaires 1,…, p non tous nuls 1 x1 + 2 x2 +…+ p xp = 0
› en choisissant1 x1 + p xp+…+ p+1 xp+1 + … + n xn = 0
›  x1, … ,xndépendants (contradiction)
› On démontre de la même façon si n vecteurs x1,…, xn sont linéairement
dépendants, il en est de même de tout système de n + p vecteurs
x1, … ,xn, xn+1,…, xn+p

91F. AKEF
2- base d’un espace vectoriel
› n vecteurs e1,…, en forment une base de l’espace vectoriel E si
1- ils sont linéairement indépendants
2- ils sont générateurs de E c’est à dire si tout vecteur x de E peut s’écrire
sous la forme x = x1 e1 + x2 e2 +…+ xnen
› La décomposition précédente du vecteur x relativement à la base (e1, e2 ,…, en )
est unique.
› S’il existait en effet deux décompositions de K
› les scalaires 1,…, n sont donc déterminés par la donnée de x, ils sont
appelés composants de x par rapport à la base (e1, e2 ,…, en ).

92F. AKEF
Exemples
› 1) Dans l’ensemble des vecteurs du plan deux vecteurs non colinéaires
définissent une base
Tout vecteur peut donc s’écrire : = x + y
› 2) Dans ℝ3 e1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1) forment une base
x ℝ3 x = (x1, x2, x3 ) = x1 e1+ x2 e2 + x3 e3((ei) génératrice)
1 e1+ 2 e2 + 3 e3 = (1, 2, 3 ) = 1 = 2 = 3 = 0
(ei) famille génératrice et libre  (ei) base
(e1, e2, e3 )appelée base canonique de ℝ3

93F. AKEF
Exercices
1) Montrer que (1, 1) et (3, 2) sont linéairement indépendants
2) Trouver les coordonnés de (1, 0) par rapport aux deux vecteurs (1, 1) et (1, 2)
(resp.( ))
3) Montrer que les vecteurs (1, 1) et (1, 2) forment une base de ℝ2
4) Trouver les coordonnés du vecteur X par rapport aux vecteurs A, B et C.
X = (1, 0, 0) A = (1, 1, 1) B = (-1, 1, 0) C = (1, 0, -1)
5) Soient (a, b) et (c, d) deux vecteurs du plan
› Montrer que si ad bc = 0, ils sont linéairement dépendants
› Montrer que si ad bc 0, ils sont linéairement indépendants

94F. AKEF
› Théorème 1
› Soit {x1, … , xn} une famille de n vecteurs
d’un espace vectoriel E. Soit p > n et soit
{y1, … , yp+1} une famille de p+1
combinaisons linéaires des vecteurs x1, … , xn.
Alors la famille {y1, … , yp+1} est liée
› Exemple
› S = { }
› Prenons
Corollaire
- Soit E un espace vectoriel engendré
par n vecteurs x1, … ,xn
- (tout vecteur de E est une
combinaison linéaire de x1, … ,xn)
- Alors toute famille de p > n vecteurs
de E est liée

95F. AKEF
Théorème 2 :
› Soit E un espace vectoriel ayant une base {x1, … , xn}
› 1° Toute autre base de E est formée de n éléments
› 2° Toute famille libre {y1, … , yn }est une base de E
› 3° Toute famille génératrice{y1, … , yn } est une base
Définition
› Soit E un espace vectoriel non réduit à {0}
› On dit que E est de dimension finie, s’il existe un entier n et une base de E
formée de n éléments
› Alors, toute base de E est formée de n éléments, cet entier n s’appelle la
dimension de E et se note dimk E
›

96F. AKEF
Remarque
› Si E = {0} , on pose dimk E = 0
Exemples
› ℂ = 2
› ℂ = 1
› P : n’est pas de dimension finie
› Un espace vectoriel qui n’est pas de dimensionfinei est dit de dimension infinie
Propriété
› Soit E un espace vectoriel sur un corps K
› Si toutes les familles de (n+1) vecteurs sont liés, alors E est un espace vectoriel de dimension
finie et dimk E ≤ n

97F. AKEF
Preuve
› Soit m le plus petit entier ayant la propriété que toutes familles de m+1 vecteurs
soient liés
› On a m ≤ n
› Donc il existe (x1, … ,xn) famille libre dans E
› Alors que pour tout x E, nous avons (x1, … ,xn,x) famille liée
› D’où x est combinaison linéaire de x1,x2… ,xn. Donc (x1, … ,xn) est une base de E

98F. AKEF
Conséquences
* Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F un sous espace vectoriel de E alors F est de
dimension finie et dimk F ≤ dimk E
* Si dimk F = dimk E alors F = E
En effet dimk F = n, (n+1) vecteurs de F sont liées donc dim F ≤ n
Si dimk F = dimk E il existe une famille libre de n éléments c’est donc une base de F
* Soit E un espace vectoriel engendré par {x1, … , xn }
Alors E est de dimension finie et dimk E ≤ n (preuve Théorème 1 et propriété)

99F. AKEF
Rang d’une famille de vecteurs
› Soit E un espace vectoriel et {x1, … , xn } une famille de n vecteurs
› On appelle rang de famille {x1, … , xn } le nombre r maximum d’éléments des
familles libres que l’on peut extraire de la famille {x1, … , xn}
› Le sous espace vectoriel F engendré par x1, … ,xn possède une base de r
vecteurs parmi x1, … , xn
Remarque
› Si dimk E = n et si {x1, … , xn} est une famille génératrice de E, alors
{x1, … , xn} est une base de E

100F. AKEF
Théorème de la base incomplète :
› Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps K
› Pour tout famille libre {y1, … , yp} de E (p  n), on peut trouver
› q = n  p vecteurs z1, … , zq de E tels que (y1, … , yp, z1, … , zq ) soit une
base de E
› Remarque :
› Tout sous espace vectoriel F de E admet un supplémentaire G
› E = F  G(définition déjà vue en T.D), et on a : dimk E = dimk F + dimk G

Chapitre 5 : Applications Linéaires
I. Définition d’une application linéaire
II. Image et noyau d’une application linéaire
III. Rang d’une application linéaire
Chapitre 1 :
Nombres Complexes
Chapitre 2 :
Polynômes
Chapitre 3 :
Chapitre 4 :
Espaces Vectoriels
Chapitre 5 :
Chapitre 6 :
Matrices
Chapitre 7 :
Linéaires

102F. AKEF
1- Définition
Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K. On appelle application
linéaire de Edans F toute application telle que :
› (x, y)E2 f(x + y) = f(x) + f(y)
› K xE f(.x) =  f(x)
Exemples
1) Espace vectoriel sur ℝ , soit aℝ f : ℝℝ
x ax
2) pr1 : ℝ2ℝ pr2 : ℝ2ℝ
(x, y)  x (x, y)  y
› Dans le cas particulier où F = ℝ (ou ℂ) l’application linéaire f : E ℝ est appelée
forme linéaire
› Si F = E, l’application linéaire f : E E est appelée endomorphisme de E
› On appelle isomorphisme de E vers F une application linéaire bijective de E vers F,
on dit que E et F sont isomorphes
› On appelle automorphisme de E un endomorphisme bijectif de E

103F. AKEF
Notation
› L’ensemble des applications linéaires de E vers F est noté
ℒ(E, F), l’ensemble des endomorphismes de E est noté ℒ(E)
2- Premières propriétés
a) Soit fℒ(E, F) gℒ(F, G) alors gofℒ(E, G)
b)f application linéaire de E dans E si et seulement si
– (x, y)E2(, )K2 f(x + y) = f(x) + f(y)
c)fℒ(E, F) f(OE) = OF
– En effet f(x + OE) =  f(OE) = OF
d)xE f( x) =  f(x)

104F. AKEF
1- Image d’une application linéaire
Définition
› Soit fℒ(E, F)
› On appelle image de f et on note Im f l’ensemble des éléments y de f tels qu’il
existe au moins xE avec y = f(x)
› Propriété
› Im f est un sous espace vectoriel de F
2- Noyau d’une application linéaire
› Définition
› Soit fℒ(E, F), on appelle noyau de f et on note N(f) ou Ker f l’ensemble des
éléments de E qui ont, par f, OF comme image Ker f = {xE , f(x) = OF}

105F. AKEF
2- Noyau d’une application linéaire
Exemple
› Ker pr1 = {(0, y), yℝ}
Propriété
› Ker f est un sous espace vectoriel de E.
Lemme :
› F injective  Ker f = {OE}
Preuve
› f injective
› Soit xKer f f(x) = f(OE)  x = OE.
› Réciproquement Ker f = {OE}
› Soit x,yE f(x) = f(y)f(x  y) = OF  x  yKer fx  y = OEx = y

106F. AKEF
3 - Propriétés
A- Soit fℒ(E, F)
› Si (e1, e2, …, en) est une base de E alors (f(e1), f(e2), …, f(en)) est une famille génératrice de Im f
› En effet : yIm f xE f(x) = y
( 1, …, n)Kn , x = 1 e1+ … + n en , alors f(x) = f (i ei)
y = f(x) = 1 f(e1) + … + n f(en)
› Attention
(f(e1) , … ,f(en)) n’est pas obligatoirement une base de Im f (par exemple si ker f ≠, 0f(ei) = 0 )
B- fℒ(E, F)
Si f est injective l’image d’une famille libre de E par f est une famille libre de F
En effet : soit (e1, …, en) une famille libre de E. Soit 1, …, nn scalaires tels que
1 f(e1) + 2 f(e2) + …+n f(en) = OF
f(1 e1+ 2 e2 +… + n en) = OF
› Or f est injective, d’après le lemme Ker f = {OE} d’où 1 e1+ … + n en = OE
› Comme { e1, …, en } libre 1 = 2 = … = n = 0 (f(e1) , f(e2) , … ,f(en)) est libre

107F. AKEF
Corollaire
› Si f est un isomorphisme de E vers F, l’image par f d’une base de E est une base
de F
› Une application linéaire de E vers F qui transforme une base de E en une base de
F est un isomorphisme
Preuve
› Soient fℒ(E, F) et (e1, …, en) une base de E
(f(e1) , … ,f(en)) une base de F
› Soit yF y1, …, yn n scalaires tels que
y = y1 f(e1) + y2 f(e2) + …+ yn f(en) = f(y1 e1 + y2 e2 +… + ynen)
xE x = y1 e1 +… + ynen y = f(x)  f est surjective
› Soit xKer f  x1, …, xn n scalaires
x = (x1 e1+ x2 e2 +… + xnen ) f(x) = OF f(x1 e1 + x2 e2 +… + xnen) = OF
x1 f(e1) + …+ xn f(en) = OF x1 = x2 = … = xn = 0
x = 0e1 +… + 0en = OE Ker f ={OE} f est injective

108F. AKEF
Résumé
› f isomorphisme  l’image d’une base par f est une base
Remarque
› Si (e1, …, en) est une base de E, f est définie par f(e1) , f(e2) , … ,f(en)
› xE ( x1, x2 ,…, xn)Kn x = x1 e1 + x2 e2 +… + xnen
›  f(x) = x1 f(e1) + x2 f(e2) + …+ xn f(en)
Théorème
› (E, +, .) et (F, +, .) isomorphes dimk E = dimk F

109F. AKEF
Démonstration
› Dimk E = dimk F  E et F isomorphes
› Soit B = (e1, …, en) une base de E, B = une base de F
› Soit f l’application linéaire de E vers F définie par
f(ei) = i{e1, …, en}
f transforme B en B d’où f est un isomorphisme
Remarque
› On en déduit que tout espace vectoriel sur ℝ de dimension n est
isomorphe à ℝn

110F. AKEF
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies n et p respectivement
et f une application linéaire de E dans F
Im f est un sous espace vectoriel de F
Alors Im f est de dimension finie et dimk(Im f)  p = dimk F
Définition :
› On appelle rang d’une application linéaire f d’un espace vectoriel E de dimension
finie dans un espace vectoriel F la dimension de l’image Im f
Théorème
› Soit f une application linéaire d’un espace vectoriel E de dimension n dans un
espace vectoriel F de dimension p, son rang r = dimk (Im f) est donné par
Dimk E = dimk (Im f) + dimk (Ker f)

111F. AKEF
Corollaires
1) si f est injective Ker f = {OE }dimk(Ker f) = 0 et r = n = dimk E
f injective dimk (Im f) = dimk E
2) f surjective Im f = F r = dimk F
f surjective dimk (Im f) = dimk F
3) f bijective  r = n = p =dimk E = dimk F
Structure Algébrique de ℒ(E, F)
(ℒ(E, F), +, .)espace vectoriel
Si F = E (ℒ(E), +, o) est un anneau
Remarque
Le composé de deux isomorphismes est un isomorphisme

Chapitre 6 : Matrices
I. Matrice d’une application linéaire
II. Opération sur les matrices
III. Matrices carrées
IV. Matrice de changement de base
Chapitre 1 :
Nombres Complexes
Chapitre 2 :
Polynômes
Chapitre 3 :
Chapitre 4 :
Espaces Vectoriels
Chapitre 5 :
Chapitre 6 :
Matrices
Chapitre 7 :
Linéaires

113F. AKEF
› Soient E et F deux espaces vectoriels sur K de dimension n et p rapportés aux
bases respectives (e1, …, en) et (1, …, p) et f une application linéaire de E dans
F. f est déterminé par la donnée des composantes des vecteurs f(e1), f(e2),…, f(en)
relativement à la base (1, …, p) de F.
› A tout vecteur x E, x = x1 e1+ …+ xn en f(x) = x1 f(e1) + x2 f(e2) +… + xnf(en)
(a11 x1+a12 x2+…+a1nxn ) 1+(a21 x1 + a22 x2 +…+ a2nxn ) 2+…+(ap1 x1+ap2 x2+…+apnxn ) p.
= y1 1 + y2 2 +…+ ypp .

114F. AKEF
› L’application linéaire est donc parfaitement définie par la donnée du tableau
suivant de p lignes et n colonnes :
f(e1) f(e2) f(en)
› Ce tableau est appelé matrice de l’application linéaire f relativement aux bases
(e1, e2 ,…, en) et (1, 2 ,…, p)
On note
=
Produit ligne colonne

116F. AKEF
Notation
l’ensemble des matrices p lignes et n colonnes est noté Mp,n(K).
Soit fℒ(E, F), (e1,…, en) base de E, (1,…, p) base de F
On associe à f la matrice à p lignes et n colonnes
Inversement, on peut considérer toute matrice (p, n) comme représentant d’une
application linéaire de E dans F rapportés à deux bases données
ℒ(E, F) Mp,n(K) bijection

117F. AKEF
1- Egalité de deux matrices
› f, gℒ(E, F) A = (aij) et B = (bij) leurs matrices associées
› Si f = gf(ej) = g(ej) 1  j  n
› A = B aij= bij 1  i  p 1  j  n
› L’application ℒ(E, F) Mp,n(K)
› f A est bijective

118F. AKEF
2- Somme de deux matrices
(f + g) (ej) = f(ej) + g(ej)
cij = aij + bij
C = A + B C = (cij)
Exemple
L’addition ainsi définie est une loi de composition interne
On vérifie qu’elle munit l’ensemble des matrices (p, n) d’une structure de groupe abélien
L’élément neutre est la matrice nulle

119F. AKEF
3 - Produit par un scalaire
cij = aij
 (A + B) = A + B
( + ) A = A + A
(A) = () A
A = A
Corollaire
L’ensemble des matrices (p, n) muni des deux lois précédentes possède une structure
d’espace vectoriel sur ℝ (ou sur ℂ)
Exercice
Exprimer la matrice M = comme combinaison linéaire de 4 matrices
Remarque
On démontre que plus généralement l’espace vectoriel des matrices (p, n) est de
dimension n.p

120F. AKEF
4- Produit de deux matrices
Soient E, F, G trois espaces vectoriels
fℒ(E, F) gℒ(F, G) gofℒ(E, G)
Soit A et B les matrices respectives de f et g relativement aux bases
(e1 ,…, en) , (1 ,…, p) , (1 ,…, p) de E, F et G
Cherchons C la matrice de gof
On a

121F. AKEF
On dit que le produit de deux matrices
s’effectue ligne par colonnes

123F. AKEF
Propriété du produit matriciel
 Le produit matriciel n’est pas commutatif
 Le produit matriciel est associatif
 Le produit matriciel est distributif par rapport à l’addition
 A = 0 ou B = 0  AB = 0, mais la réciproque est fausse :
AB = 0 ⇏ A = 0 ou B = 0
Par exemple

124F. AKEF
Définition
› On appelle matrice carrée d’ordre n, la matrice d’une application linéaire
d’un espace vectoriel E de dimension n vers lui-même
› L’ensemble des matrices carrées d’ordre n possède pour l’addition et la
multiplication une structure d’anneau unitaire
› Elle représente, dans une base de E, l’application identique de E
Remarque
L’anneau des matrices carrées
1) n’est pas commutatif
2) n’est pas intégré

125F. AKEF
2- Matrices inversibles
› Une matrice carrée A d’ordre n est inversible s’il existe une matrice carrée
B d’ordre n telle que AB = BA = I
› La matrice B est appelée matrice inverse de A on la note A1
› A A1 = A1 A = I
› Si f et g sont leurs applications linéaires correspondantes
› fog = gof = IE
› C’est à dire g = f 1
Inversement
› Si f est inversible A l’est aussi et A1 est la matrice de f1
›

127F. AKEF
3 - Matrice transposée
› On appelle matrice transposée d’une matrice A = (aij), la matrice notée tA obtenue
par un échange de ligne et de colonnes tA = (aji)
Exercice
› Ecrire les transposées des matrices :
› Vérifier sur les matrices précédentes la formule générale
› t(BA) = tA .tB

128F. AKEF
Exercice
On donne la matrice :
et on considère l’endomorphisme f de l’espace ℝ3 dont la matrice relativement à
la base canonique est A
1- Calculer les coordonnées y1, y2, y3 de y = f(x) en fonction des coordonnées x1, x2, x3
de x et en déduire que A est inversible
2 - Calculer x1, x2, x3 en fonction de y1, y2, y3 et en déduire la matrice A1

129F. AKEF
Définition
Soit E un espace vectoriel de dimension n rapporté à la base ℬ = (e1,
e2,…, en)
Soit ℬ = une autre base de E
On appelle matrice de passage de la base ℬ à la base ℬ la matrice
carrée P dont les colonnes contiennent les composantes des vecteurs de
ℬ par rapport à ℬ .

130F. AKEF
› Cette matrice P peut être considérée comme
la matrice de l’application de E par rapport
aux bases ℬ d’une part et ℬ d’autre part
› IdE étant inversible, sa matrice P1 est la matrice
de passage de la base ℬ à la base ℬ
P =

132F. AKEF
Sous forme matricielle

133F. AKEF
3- Effet d’un changement de base sur la matrice d’une application
linéaire
Soit fℒ(E, F) dimk E = n dimk F = p
 Soit A la matrice de f relativement aux bases (e1, …, en) et (1, …, p) de
E et F respectivement
Soit A la matrice de f relativement aux nouvelles bases et
Cherchons la relation entre A et A’ connaissant les matrices de passage

134F. AKEF
On dit que les matrices A et A sont équivalentes
Deux matrices équivalentes représentent donc la même
application linéaire dans deux systèmes de bases
différentes
En particulier si E = F , P et Q sont identiques et dans
ce cas
Les matrices A et A sont semblables

135F. AKEF
Exercice :
› Soit f une application linéaire qui a pour matrice A = dans la base
(e1, e2)
› Déterminer sa matrice A dans la base définie par

136F. AKEF
Matrices carrées particulières
a- Matrices diagonales
b- Matrices scalaires
c- Matrices symétriques A = tA
Rang d’une matrice
Définition
On appelle rang r(A) de la matrice A le rang du système des n vecteurs
colonnes c1,…, cn

137F. AKEF
Remarque
› A peut être considérée comme la matrice d’une application linéaire f de
KnKp . Donc le rang de A est le rang de f
› r(A) = r(f) = dim f(Kn)
Propriétés
› Si A est la matrice d’une application linéaire f de Kn vers Kp les 3
nombres suivants sont égaux
›  Le rang du système des vecteurs colonnes
›  Le rang du système des vecteurs lignes
›  Le rang de f

Chapitre 7 : Déterminants - Systèmes
Linéaires
I. Forme n-linéaire alternée - déterminant
II. Développement d’un déterminant
III. Systèmes Linéaires
IV. Système de Cramer
V. Système homogènes
Chapitre 1 :
Nombres Complexes
Chapitre 2 :
Polynômes
Chapitre 3 :
Chapitre 4 :
Espaces Vectoriels
Chapitre 5 :
Chapitre 6 :
Matrices
Chapitre 7 :
Linéaires

139F. AKEF
1- Forme bilinéaire alternée – Déterminant d’ordre deux
Définition
› E espace vectoriel sur ℝ
› Une forme bilinéaire sur E est une application de E E dans ℝ, (x, y) (x, y) linéaire
par rapport à x et y
› x, x1, x2E y, y1, y2Eℝ
› 1)( x1 + x2, y) = ( x1, y) + ( x2, y)
› (x, y) = (x, y)
› 2)(x, y1 + y2) = (x, y1) + (x, y2)
› (x, y) = (x, y)
› Si de plus (x, y) = (y, x) la forme bilinéaire est dite alternée (ou antisymétrique)
Remarque
› Cette condition équivaut à (x, x) = 0 xE

140F. AKEF
Cas particulier où E = 2
› E = 2
› Soit alors (e1, e2) base de E
« Déterminant » de deux vecteurs x et y dans la base (e1, e2)
› x = a11 e1 + a21 e2
› y = a12 e1 + a22 e2
› (x, y) = ( a11 e1 + a21 e2 , a12 e1 + a22 e2)
› = a11a12 ( e1, e2) + a11 a22 ( e1, e2) + a21 a12 ( e2, e1) + a21 a22 ( e2, e2)
› Or  est alternée (e1, e1) = (e2, e2) = 0
› (e2, e1) = (e1, e2)
› D’où finalement (x, y) = (a11 a22 a21 a12) ( e1, e2)

142F. AKEF
Forme n-linéaire alternées – Déterminants d’ordre n
Définition
E espace vectoriel de dimension n sur ℝ
 : Enℝ
(x1, x2, …, xn) ( x1, x2, …, xn)
est une forme n-linéaire alternée si
est linéaire par rapport à chacun des vecteurs
( x1, …,  xi + , …, xn) = (x1,…, xi , …, xn ) + (x1, …, , …, xn ) i{1,…, n}
est alternée :
( x1,…, xi , …, xj ,…, xn ) = ( x1,…, xj , …, xi ,…, xn)

143F. AKEF
Premières propriétés
* si deux vecteurs sont égaux alors = 0
› En effet, si xi = xj =  = 0
* si deux vecteurs sont proportionnels alors = 0
› En effet, si xi = xjℝ
( x1,…, xi , …, xj ,…, xn ) = ( x1,…, xj , …, xj ,…, xn ) = 0
› Pour  = 0  = 0 : si un vecteur est nul alors  = 0
( x1,…, 0 , …, xn ) = 0
Conséquence
› Si dans (x1, …, xn) on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des
autres, la valeur de  ne change pas

144F. AKEF
Calcul de  dans une base de E
E espace vectoriel de dimension n ,
(e1, …, en) base de E
« I » étant le nombre d’inversion par rapport à l’ordre habituel (1, 2, …, n)

146F. AKEF
Propriétés
L’application : En  K
(x1, …, xn) det (x1, …, xn)
est une forme n-linéaire alternée c’est à dire
1) det(x1, …, xi, , …, xn) = det(x1, …, xi, …, xn) + det(x1, …,, …, xn)
det(x1, …, xi, …, xn ) = det(x1, …, xi, …, xn )
2)det(x1, …, xi, …,xj , …, xn) = det(x1, …, xj, …,xi , …, xn)
3)det(e1, e2, …, en) = 1
Dans la pratique on retiendra
1° si l’on multiplie les éléments d’une colonne (ou d’une ligne) par un scalaire 
le déterminant est multiplié par 
2°si l’on permute deux colonnes (ou deux lignes) le déterminant change de signe

147F. AKEF
› Exemple
› Soit D le déterminant diagonal d’ordre n
› Conséquences
› 1) Si xi = 0 det(x1, …, xi, …, xn) = 0
› Si xi = xj det(x1, …, xi, xj,…, xn) = 0
› Un déterminant dont une colonne est composé de 0, ou deux colonnes sont
proportionnelles (ou identiques) est nul
› (Même énoncé pour les lignes)

148F. AKEF
Important
› On ne change pas la valeur d’un déterminant en ajoutant à une colonne (ou à
une ligne) une combinaison linéaire des autres colonnes (ou lignes)
Exemple
› Calcul du déterminant

149F. AKEF
Théorème
› (x1, x2, …, xn) dépendant det (x1, x2, …, xn) = 0
Démonstration
› Soit x1, x2,…, xn n vecteurs dépendants
Il existe alors xi parmi les vecteurs x1, x2, …, xn tel que

150F. AKEF
Réciproquement
› Soit n vecteurs x1, x2,…, xn tels que det (x1, x2,…, xn) = 0
› Si x1, x2,…, xn étaient indépendants, ils formeraient une base de E
› On pourrait décomposer chaque vecteur ej
Corollaire
› n vecteurs x1, x2,…, xn sont linéairement indépendants si et seulement si leur
déterminant est non nul

152F. AKEF
Il y a (3!=6) permutations de (1, 2, 3), dont 3 contiennent un
nombre pair
d’inversions
(1, 2, 3) d’où le terme + a11 a22 a33
(2, 3, 1) d’où le terme + a21 a32 a13
(3, 1, 2) d’où le terme + a31 a12 a23
et 3 contiennent un nombre impair d’inversions
(1, 3, 2) d’où le terme  a11 a32 a23
(3, 2, 1) d’où le terme  a31 a22 a13
(2, 1, 3) d’où le terme  a21 a12 a33
Finalement :
D = a11 a22 a33+ a21 a32 a33 + a31 a12 a13  a11 a32 a23  a31 a22 a13  a21
a12 a33

158F. AKEF
Définition et écriture vectoriel d’un système linéaire
› Définition
› On appelle système linéaire de n équations à p inconnues un système de la
forme
› aijet bijréels (ou complexes)
› x1, x2,…, xpinconnues.
› Forme matricielle
› A = (aij) est la matrice du système

159F. AKEF
Ecriture vectorielle d’un système linéaire
› Dans l’espace vectoriel E rapporté à une base (e1, e2, …, en)
› Considérons les vecteurs colonnes de la matrice du système A = (aij)
Résoudre (1) revient donc à écrire
le vecteur B en combinaison
linéaire des vecteurs A1 , A2 , … ,
Ap de E

160F. AKEF
Définition
› On appelle système de Cramer un système linéaire dans lequel
1) Le nombre d’équations est égal au nombre d’inconnues (n = p)
2) Les vecteurs colonnes sont linéairement indépendants

161F. AKEF
Exercice : Résoudre le système

162F. AKEF
2- Application : Inverse d’une matrice carrée
› Soit A une matrice carrée inversible
› Il existe une matrice B tel que : A B = B A = I

165F. AKEF
1 - Système de n équations à p inconnus
› Soit le système de n équations à p inconnues :
› Sous forme vectorielle :
(2) x1 A1 + x2A2 +… + xpAp= B
(1) Admet des solutions si et seulement si B appartient au sous espace vectoriel
engendré par A1, A2,… ,Ar
›
› Soit par exemple une base de ce sous espace (quitte à changer la
numérotation)

166F. AKEF
Définitions
› Par définition r est le rang de la famille (A1, A2,… ,Ap)
› On démontre que dans ce cas le déterminant D d’ordre r, formé dans r
premières lignes et colonnes de la matrice n’est pas nul
 D  0 est appelé déterminant principal du système
 Les r premières équations sont appelées équations principales et x1, x2,… ,xr
sont les inconnues principales
› A1, A2,… ,Ar et B sont linéairement dépendants, il en résulte

167F. AKEF
Conditions de compatibilité
 as où r = n  1
› La condition de dépendance s’écrit
› S est appelé déterminant caractéristique
› Le déterminant caractéristique traduit la compatibilité de la nième équation avec les r
équations principales
› Dans le cas général on démontre que la condition de dépendance de A1, A2,… ,Ar et B se
traduit par les (n – r) équations de comptabilité suivantes
› Ces (n  r) déterminants Sq sont appelés déterminants caractéristiques

168F. AKEF
Résolution
› L’équation (2) s’écrit
x1 A1 +… + xrAr = B  xr+1 Ar+1 -… -xpAp
› On se ramène à un système de Cramer de r équations à r inconnues
› Les inconnues non principales xr+1 ,… + xp sont arbitraires
› Le système est dit indéterminé d’ordre p  r

171F. AKEF
Systèmes homogènes
› Un système linéaire est dit homogène si b1 = b2 = … = bn= 0
› On a alors x1 A1 + x2 A2 +… + xnAn = 0
› Cette équation admet toujours la solution banale x1 = x2 =… = xp = 0 (solution
nulle)
› Cette solution unique si les vecteurs A1, A2 ,… ,An sont linéairement indépendant
Sinon,
› le système admet d’autres solutions que la solution nulle, elles sont calculées en
appliquant la méthode générale

173F. AKEF
Remarque
› En général les solutions du système
› peuvent s’écrire
Cas particulier n = p
› La condition nécessaire et suffisante pour qu’un système homogène de n
équations à n inconnues admette d’autres solutions que la solution nulle est que
son déterminant soit nul
› Exercice : Résoudre le système

174F. AKEF
› Chapitre 1 : Nombres Complexes
› Chapitre 2 : Polynômes
› Chapitre 3 : Fractions Rationnelles
› Chapitre 4 : Espaces Vectoriels
› Chapitre 5 : Applications Linéaires
› Chapitre 6 : Matrices
› Chapitre 7 : Déterminants - Systèmes Linéaires

Algèbre
&
Trigonométrie
DUT-GEII- Fatiha AKEF
2016/2017
UNIVERSITE HASSAN II DE CASABLANCA
ENSET - Mohemmadia

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