Support de cours sur les structures treillis sur une présentation powerpoint

1. Cours MEF : Les structures treillis
Etude des Treillis
FF
Supports du cours
Site web : https://pedagogie.ec-nantes.fr/meefi/
Premier thème du parcours
Présentation de l’élément barre
Étude des structures treillis

2. Cours MEF : Les structures treillis
Les Treillis Poutres reliées par des rotules
Traction - compression
FF
« PFD » On isole une tranche dx

f
x

N+
dx
N dN
Modèle barre
] [0,x Sudx dN fdxρ∀ ∈ = +&&l
« Comportement » ,xN ESu=
] [ ,0, xxx Su ESu fρ∀ ∈ − =&&l
Les conditions aux limites
, ( )x d tESu N= Dσ∂
uD∂( )d tu u= sur
sur
"EDP"
Équations aux Dérivées Partielles

3. Cours MEF : Les structures treillis
Les Treillis Poutres reliées par des rotules
Traction - compressionFF
( )
2
,x2 d
o
E ES u dx= ∫
l
dEδ−
« PTV » Principe des Travaux Virtuels
0 lu(M,t)

Fo

f

lF
A Wδ δ=
Modèle barre
xx xx
o
Sdxσ δε−∫
l
,
,
xx x
xx xx x
u
E Eu
δε δ
σ ε
=

= =
avec
,x ,x + + +o o
o o o
u Su u dx ESu u dx f u dx F u F uδ ρ δ δ δ δ δ∀ = −∫ ∫ ∫
l l l
l l&&
Formulation variationnelle

4. Cours MEF : Les structures treillis
Les Treillis Poutres reliées par des rotules
Traction - compressionFF
Equivalence des formulations
] [
2
2
0, 0
u
x Su ES f
x
ρ
∂
∀ ∈ − − =
∂
&&lEL
"EDP"
CL
"PTV"P uδ≡
2
2
0
( ) 0
u
P P Su ES f dx
x
ρ
∂
∀ − − =
∂
∫
l
&& 1ère
Forme intégrale
Formulation forte
2
2
00 0
u u P u
P ES dx P ES ES dx
x x xx
∂ ∂ ∂ ∂ 
= − ∂ ∂ ∂∂  
∫ ∫
ll l
00 0 0
+
P u u
P P Sudx ES dx P ES Pfdx
x x x
ρ
∂ ∂ ∂ 
∀ = + ∂ ∂ ∂ 
∫ ∫ ∫
ll l l
&&

5. Cours MEF : Les structures treillis
Les Treillis Poutres reliées par des rotules
Traction - compressionFF
Elément fini "Barre "
ji (e)

xo x=

ui uj
2 variables nodales  approximation linéaire
( )1
( , ) 1 2
( )2
1 ,
t
x t
t
a
u a a x x
a
 
= + = < >  
  Maths
Identification nodale
( )
( , )
( )
1 ,
ti
x t
tje e
ux x
u
u
 
= < − >  
 l l Physique
{ }eu N U= < >
N
x
x
e
1 ( ) = −1
l
N 1
1
10
x/ l e
N
x
x
e
2 ( ) =
l x/ l e
N 2
1
10
Approximation
nodale
Fonctions
d’interpolation

6. Cours MEF : Les structures treillis
Elément fini "Barre "
Les Treillis Poutres reliées par des rotules
Traction - compressionFF
Matrice raideur élémentaire
,x ,x ,x ,x
e e
T
d
o o
E ESu u dx u ES u dxδ δ δ− = =∫ ∫
l l
Matrice raideur élémentaire
[ ] , ,
e
T
e x x
o
K N ES N dx= < > < >∫
l
[ ]
1 1
1 1
e
e
ES
K
− 
=  − l
,x ,
i
x
j
u
u N
u
  
= < >  
  
{ } { }, ,
e
T T
d e x x e
o
E U N ES N dx Uδ δ− = < > < >∫
l

7. Cours MEF : Les structures treillis
Elément fini "Barre "
Les Treillis Poutres reliées par des rotules
Traction - compressionFF
Changement de base en 2D
α

xo

yo
j
i
(e)
ui
vi x

{ }
T
e i i j jU u v u v=
{ } [ ] [ ]{ } { } [ ]{ }
1 1
1
2
1
T T
d e e e e
T
e
e
E U U U U
ES
P P K
− 


=

=
−l
( )
j i
j i
j ie e
u uES ES
N u u C S
v v
α α
−  
= − = < >  
−  l l
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]e
e
A AES
K
A A
 −
=  
− l
[ ]
2
2
C C S
A
C S S
α α α
α α α
 
=  
 
avec
Pour les contraintes
Pour l’énergie




















=






j
j
i
i
j
i
v
u
v
u
SC
SC
u
u
αα
αα
00
00
{ } [ ]{ }
T
e eU P U=
u
u C S
v
α α
 
= < >  
 

8. Cours MEF : Les structures treillis
Elément fini "Barre "
Les Treillis Poutres reliées par des rotules
Traction - compressionFF
a

xo

yo
F
2a
{ } { }1 1 2 2 3 3
T
U u v u v u v=
Analyse d’un treillis
N° nœuds  vecteur des déplacements nodaux
6 DDL
Conditions aux limites
Système réduit sur { } { }2 3 3
T
red u uU v=
{ } { }1 1 20 0
T
YF X Y F=
6 inconnues
Résolution du système matriciel { }2 3 3u u v { }1 1 2X Y Ypuis
( )j i
e
ES
N u u= −
l
Assemblage des matrices élémentaires [ ]{ } { }K U F= 6 équations
Post – traitement
Efforts sur les éléments
Efforts aux noeuds
Lois de comportement
Equilibre de chaque élément (4 équations)

9. Cours MEF : Les structures treillis
A vous de jouer
Traitez les exemples et exercices de cours
Vous verrez
L’étude des treillis par la MEF est plus simple que par la RDM
et plus la structure est hyperstatique plus c’est simple

10. Cours MEF : Les structures treillis
A vous de jouer
Traitez les exemples et exercices de cours
Vous verrez
L’étude des treillis par la MEF est plus simple que par la RDM
et plus la structure est hyperstatique plus c’est simple