Teoría de Campos Electromagnéticos Tema 2: Campos Electrostáticos - Ley de Coulomb e intensidad de campo eléctrico - Densidad de flujo eléctrico - Ley de Gauss - Potencial eléctrico - Densidad de energía en campos electrostáticos

1. Campos Electrostáticos
Sesión I
Teoría de Campos Electromagnéticos
Francisco Sandoval

2. Agenda
 Flashback
 Introducción
 Ley de Coulomb e intensidad de campo
 Campos eléctricos debidos a distribuciones continuas de
carga
 Densidad de flujo eléctrico
 Ley de Gauss – ecuación de Maxwell
 Potencial eléctrico
 Densidad de energía en campos electrostáticos

3. Quadrinho
Revisión – Semana 1I

4. Flashback
 Análisis vectorial
 Algebra vectorial.
 Sistemas de Coordenadas y su transformación.
 Cálculo aplicado a vectores.

5. Introducción

6. Introducción: Aplicación de la electrostática
Transmisión de energía
eléctrica
Aparatos de rayos X y
pararrayos
Dispositivos – electrónica de
estado sólido
Periféricos de computadoras Pantalla sensible al tacto
Medicina:
electrocardiograma,
electroencefalogramas, etc.

7. Introducción: Aplicación de la electrostática
(Industriales)
Pintura por aspersión
Maquinaria
electroquímica
Separación de partículas
finas
Rociar plantas
Medir el contenido de
humedad de los cultivos
Acelerar el horneado
del pan, etc.

8. Ley de Coulomb e intensidad de
campo

9. Ley de Coulomb I
La ley de Coulomb establece que la fuerza 𝐹 entre dos cargas
puntuales 𝑄1 y 𝑄2 es:
1. De dirección igual a la de la línea que las une.
2. Directamente proporcional al producto 𝑄1 𝑄2 de las
cargas.
3. Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia 𝑅
entre ellas.
𝐹 =
𝑘𝑄1 𝑄2
𝑅2
• 𝑘, constante de proporcionalidad
• 𝑄1 𝑦 𝑄2 en coulombs (C)
• Distancia 𝑅 en metros (m)
• Fuerza 𝐹 en newtons (N)

10. Ley de Coulomb II
 𝑘 = Τ1 (4𝜋𝜀0)
 La constante 𝜀0 se conoce como permitividad del vacío (en
farads por metro)
𝜀0 = 8.854 × 10−12 ≃
10−9
36𝜋
ΤF m
𝑘 =
1
4𝜋𝜀0
≃ 9 × 109 ΤF m
𝐹 =
𝑄1 𝑄2
4𝜋𝜀0 𝑅2

11. Ley de Coulomb III
 Si 𝑄1 y 𝑄2 se localizan en puntos con vectores de
posición 𝒓1 y 𝒓2, entonces la fuerza 𝑭12 sobre 𝑄2 debida
a 𝑄1, esta dada por:
𝑭 =
𝑄1 𝑄2
4𝜋𝜀0 𝑅2 𝒂 𝑅12
donde:
𝑹12 = 𝒓2 − 𝒓1
𝑅 = 𝑹12
𝒂 𝑅12
=
𝑹12
𝑅

12. Ley de Coulomb - Observaciones
1. 𝑭21 = −𝑭12
2. Cargas iguales se repelen, cargas distintas se atraen.
3. La distancia 𝑅 entre los cuerpos cargados 𝑄1 y 𝑄2 debe
ser grande en comparación con las dimensiones lineales
de los cuerpos.
4. 𝑄1 y 𝑄2 deben ser estáticas.
5. Los signos de 𝑄1 y 𝑄2 deben tenerse en cuenta.
Si se tiene más de dos cargas puntuales, usar el principio de superposición.
𝑭 =
𝑄
4𝜋𝜀0
෍
𝑘=1
𝑁
𝑄 𝑘 𝒓 − 𝒓 𝑘
𝒓 − 𝒓 𝑘
3

13. Ejemplo 1: Fuerza de Coulomb
Hallar la fuerza ejercida sobre la carga 𝑄1, 20𝜇C, debida a la
carga 𝑄2, -300 𝜇C, sabiendo que 𝑄1 se sitúa en (0, 1, 2) m y 𝑄2
en (2, 0, 0) m.
𝑹21 = −2𝒂 𝒙 + 𝒂 𝒚 + 2𝒂 𝒛
𝑎21 =
1
3
−2𝒂 𝒙 + 𝒂 𝒚 + 2𝒂 𝒛
Entonces
𝐹1 =
20 × 10−6
−300 × 10−6
4𝜋
10−9
36𝜋
3 2
−2𝒂 𝒙 + 𝒂 𝒚 + 2𝒂 𝒛
3
= 6
2𝒂 𝒙−𝒂 𝒚−2𝒂 𝒛
3
N
La magnitud de la fuerza es 6N y la dirección es tal que 𝑄1 es
atraída hacia 𝑄2.

14. Ejemplo 2: Fuerza de Coulomb – Múltiples Cargas
Respecto de la Figura, halle la fuerza sobre una carga de 100 𝜇C
en (0, 0, 3) m, si cuatro cargas iguales de 20 𝜇C están localizadas
en los ejes 𝑥 y 𝑦 en ±4 m.
Considere la carga debida a la carga en 𝑦 = 4
10−4 20 × 10−6
4𝜋
10−9
36𝜋
5 2
−4𝒂 𝒙 + 3𝒂 𝒛
5
La componente 𝑦 se anula por la carga en 𝑦 = −4. En
forma similar, las componentes x, debidas a las otras dos
cargas se anulan. Por consiguiente,
𝑭 = 4
18
25
3
5
𝒂 𝒛 = 1.73𝒂 𝒛 N

15. Intensidad de Campo Eléctrico I
 La intensidad de campo eléctrico 𝑬 es de dirección igual a
la fuerza 𝑭 y se mide en newtons/coulomb o volts/metro.
La intensidad de campo eléctrico 𝑬 es la fuerza por unidad de carga en el campo
eléctrico.
𝑬 =
𝑭
𝑄
La intensidad de campo eléctrico en el punto 𝒓 debida a una carga puntual localizada
en 𝒓′ es
𝑬 =
𝑄
4𝜋𝜀0 𝑅2
𝒂 𝑅 =
𝑄 𝑘 𝒓 − 𝒓′
𝒓 − 𝒓′ 3

16. Intensidad de Campo Eléctrico II
La intensidad de campo eléctrico en el caso de 𝑁 cargas puntuales 𝑄1, 𝑄2, … 𝑄 𝑁
localizadas en 𝒓1, 𝒓2, … 𝒓 𝑁, viene dado por:
𝑬 =
1
4𝜋𝜀0
෍
𝑘=1
𝑁
𝑄 𝑘 𝒓 − 𝒓 𝑘
𝒓 − 𝒓 𝑘
3

17. Ejemplo 3: Campo Eléctrico – Carga Puntual
Halle 𝑬 en (0, 0, 5) m debido a 𝑄1 = 0.35 𝜇C en (0, 4, 0) m y
𝑄2 = −0.55 𝜇C en (3, 0, 0).
𝑹 𝟏 = −4𝒂 𝒚 + 5 𝒂 𝒛
𝑹 𝟐 = −3𝒂 𝒙 + 5 𝒂 𝒛
𝑬 𝟏 =
0.35 × 10−6
4𝜋
10 −9
36𝜋
41
−4 𝒂 𝒚 + 5 𝒂 𝒛
41
= −48.0 𝒂 𝒚 + 60.0 𝒂 𝒛 V/m
𝑬 𝟐 =
−0.55 × 10−6
4𝜋
10 −9
36𝜋
34
−3 𝒂 𝒙 + 5 𝒂 𝒛
34
= 74.9 𝒂 𝒙124.9 𝒂 𝒛 V/m
𝑬 = 𝑬 𝟏 + 𝑬 𝟐 = 74.9 𝒂 𝒙 − 48.0 𝒂 𝒚 − 64.9 𝒂 𝒛 V/m

18. Campos eléctricos debidos a
distribuciones continuas de carga

19. Introducción I
 Cálculo de campo eléctrico en distribución continua de
carga a lo largo de una línea, sobre una superficie o en un
volumen.

20. Introducción II
 Notación:
 𝜌 𝐿 ( ΤC m), densidad de carga lineal
 𝜌 𝑆 ( ΤC m2), densidad de carga superficial
 𝜌 𝑣 ( ΤC m3
), densidad de carga volumétrica
 𝑑𝑄, elemento de carga
 𝑄, carga total
𝑑𝑄 = 𝜌 𝐿 𝑑𝑙 → 𝑄 = ‫׬‬𝐿
𝜌 𝐿 𝑑𝑙 (carga de línea)
𝑑𝑄 = 𝜌 𝑆 𝑑𝑆 → 𝑄 = ‫׬‬𝑆
𝜌 𝑆 𝑑𝑆 (carga superficial)
𝑑𝑄 = 𝜌 𝑣 𝑑𝑙 → 𝑄 = ‫׬‬𝑣
𝜌 𝑣 𝑑𝑣 (carga volumétrica)

21. Introducción – campo eléctrico
𝑬 = ‫׬‬
𝜌 𝐿 𝑑𝑙
4𝜋𝜀0 𝑅2 𝒂 𝑅 (carga de línea)
𝑬 = ‫׬‬
𝜌 𝑆 𝑑𝑆
4𝜋𝜀0 𝑅2 𝒂 𝑅 (carga superficial)
𝑬 = ‫׬‬
𝜌 𝑣 𝑑𝑣
4𝜋𝜀0 𝑅2 𝒂 𝑅 (carga volumétrica)

22. Carga de línea I
 Considérese una carga de
línea con densidad de
carga uniforme 𝜌 𝐿 que se
extiende de 𝐴 a 𝐵 a lo
largo del eje 𝑧.
 El elemento de carga de la
línea es:
𝑑𝑄 = 𝜌 𝐿 𝑑𝑙 = 𝜌 𝐿 𝑑𝑧
 La carga total:
𝑄 = න
𝑧 𝐴
𝑧 𝐵
𝜌 𝐿 𝑑𝑧

23. Carga de línea II
 La intensidad de campo eléctrico 𝑬 en un punto
arbitrario 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) puede hallarse por:
𝑬 = ‫׬‬
𝜌 𝐿 𝑑𝑙
4𝜋𝜀0 𝑅2 𝒂 𝑅
 Sea el punto donde el campo será evaluado (𝑥, 𝑦, 𝑧), y el
punto de origen (𝑥′, 𝑦′, 𝑧′), basado en la figura:
 𝑑𝑙 = 𝑑𝑧′
 𝑹 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 − 0, 0, 𝑧′ = 𝑥𝒂 𝑥 + 𝑦𝒂 𝑦 + 𝑧 − 𝑧′ 𝒂 𝑧
𝑹 = 𝜌𝒂 𝜌 + 𝑧 − 𝑧′ 𝒂 𝑧
 𝑅2 = 𝑹 𝟐 = 𝜌2 + 𝑧 − 𝑧′ 2

𝒂 𝑅
𝑅2 =
𝑹
𝑹 3 =
𝜌𝒂 𝜌+ 𝑧−𝑧′ 𝒂 𝑧
𝜌2+ 𝑧−𝑧′ 2 Τ3 2

24. Carga de línea III
 Sustituyendo:
𝑬 =
𝜌 𝐿
4𝜋𝜀0
න
𝜌𝒂 𝜌 + 𝑧 − 𝑧′ 𝒂 𝑧
𝜌2 + 𝑧 − 𝑧′ 2 Τ3 2
𝑑𝑧′
 Definiendo 𝛼, 𝛼1 y 𝛼2:
 𝑅 = 𝜌2
+ 𝑧 − 𝑧′ 2
1
2 = 𝜌 sec 𝛼
 𝑧′ = OT − 𝜌 tan 𝛼
 𝑑𝑧′ = −𝜌 sec2 𝛼 𝑑𝛼
 Remplazando:
𝑬 =
−𝜌 𝐿
4𝜋𝜀0
න
𝛼1
𝛼2 𝜌 sec2 𝛼 cos 𝛼 𝒂 𝜌 + sin 𝛼 𝒂 𝒛 𝑑𝛼
𝜌2sec2 𝛼

25. Carga de línea IV
 Respecto a una carga de línea finita:
𝑬 =
𝜌 𝐿
4𝜋𝜀0 𝜌
− sin 𝛼2 − sin 𝛼1 𝒂 𝜌 + cos 𝛼2 − cos 𝛼1 𝒂 𝑧
 En el caso de una carga de línea infinita, el punto 𝐵 está en 0, 0, ∞ y
𝐴 en 0, 0, −∞ :
𝑬 =
𝜌 𝐿
2𝜋𝜀0 𝜌
𝒂 𝜌
 Si la línea no sigue la dirección del eje 𝑧, 𝜌 es la distancia
perpendicular de la línea al punto de interés y 𝒂 𝜌 un vector unitario
a lo largo de esa distancia dirigido de la carga de línea al punto del
campo.

26. Ejemplo 4: Campo Eléctrico – Línea de Carga
Como se muestra en la Figura, dos cargas lineales uniformes de
densidad 𝜌𝑙 = 4 nC/m caen en el plano 𝑥 = 0 en 𝑦 =
± 4 m. Hallar 𝑬 en 4, 0, 10 m.
Las líneas de carga son ambas paralelas a 𝒂 𝑧; sus
campos son radiales y paralelos al plano 𝑥𝑦. Para
cualquier carga lineal la magnitud del campo en 𝑃 es
𝐸 =
𝜌𝑙
2𝜋𝜖0 𝑟
=
18
2
V/m
El campo debido a ambas cargas lineales es, por
superposición.
𝑬 = 2
18
2
cos 45° 𝒂 𝒙 = 18𝒂 𝒙 V/m

27. Carga superficial I
 Considérese una lámina
infinita de carga en el
plano 𝑥𝑦 con densidad de
carga uniforme 𝜌 𝑆.
 La carga asociada con un
área elemental 𝑑𝑆 es
𝑑𝑄 = 𝜌 𝑆 𝑑𝑆
 La carga total:
𝑄 = න 𝜌 𝑆 𝑑𝑆

28. Carga superficial II
 La contribución al campo 𝑬 en el punto 𝑃(0, 0, ℎ) por la
superficie elemental 1 es:
𝑑𝑬 =
𝑑𝑄
4𝜋𝜀0 𝑅2
𝒂 𝑅
 Luego:
 Sustituyendo:

29. Carga superficial III
 Considerando la simetría de la distribución de carga:
 El campo de una lámina infinita de carga:
𝑬 =
𝜌 𝑆
2𝜀0
𝒂 𝑛

30. Carga superficial IV
 𝒂 𝑛 es un vector unitario normal a la lámina.
 El campo eléctrico es normal a la lámina e independiente
de la distancia entre la lámina y el punto de observación P.
 En un capacitor de placas paralelas el campo eléctrico
existente entre las dos placas con carga igual y opuesta
está dado por:
𝑬 =
𝜌 𝑆
𝜀0
𝒂 𝑛

31. Ejemplo 5: Campo Eléctrico – Superficie de Carga
Halle, en coordenadas cilíndricas, la intensidad de campo
eléctrico 𝑬 en (0, 𝜙, 𝑓) debido al disco uniformemente
cargado 𝑟 ≤ 𝑎, 𝑧 = 0.
Si la densidad de carga constante es 𝜌𝑠,
𝑑𝑬 =
𝜌𝑠 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜙
4𝜋𝜖0 𝑟2 + ℎ2
−𝑟𝒂 𝒓 + ℎ𝒂 𝒛
𝑟2 + ℎ2
La componente radial se cancela. Por
consiguiente,
𝑬 =
𝜌𝑠ℎ
4𝜋𝜖0
න
0
2𝜋
න
0
𝑎
𝑟𝑑𝑟𝑑𝜙
𝑟2 + ℎ2
3
2
𝒂 𝒛
=
𝜌𝑠ℎ
2𝜖0
−
1
𝑎2 + ℎ2
+
1
ℎ
𝒂 𝒛
Nótese que cuando 𝑎 → ∞. 𝑬 →
𝜌 𝑠
2𝜖0
𝒂 𝒛, el
campo debido a una carga laminar uniforme.

32. Carga volumétrica I
 Sea la distribución de carga
volumétrica con densidad de
carga uniforme 𝜌 𝑣.
 La carga 𝑑𝑄 asociada con el
volumen elemental 𝑑𝑣 es
𝑑𝑄 = 𝜌 𝑣 𝑑𝑣
 La carga total es una esfera
de radio 𝑎
𝑄 = න 𝜌 𝑣 𝑑𝑣 = 𝜌 𝑣 න 𝑑𝑣
𝑄 = 𝜌 𝑣
4𝜋𝑎3
3

33. Carga volumétrica II
 El campo eléctrico 𝑑𝑬 en 𝑃(0, 0, 𝑧) debido a la carga
volumétrica elemental es
𝑑𝑬 =
𝜌 𝑣 𝑑𝑣
4𝜋𝜀0 𝑅2
𝒂 𝑅
 El campo eléctrico es:
𝑬 =
𝑄
4𝜋𝜀0 𝑅2
𝒂 𝑅
 Es idéntico al campo eléctrico en el mismo punto debido a una carga
puntual 𝑄 ubicada en el origen o en el centro de la distribución
esférica de carga.

34. Sesión II

35. Lección II
1. Describa la ley de Coulomb.
2. Defina la intensidad de Campo eléctrico.
3. Dada la figura, en el plano 𝑦 = 3m se distribuye
uniformente una carga de densidad 𝜌𝑠 = 10−8/6𝜋
C/m2. Determine 𝑬 en todos los puntos.

36. Densidad de Flujo Eléctrico

37. Densidad de Flujo eléctrico
 Flujo eléctrico:
𝜓 = න 𝑫 ∙ 𝑑𝑺
 Donde:
𝑫 = 𝜀0 𝑬
 𝑫 es la densidad de flujo eléctrico y se mide en coulombs por
metro cuadrado.

38. Ley de Gauss – Ecuación de
Maxwell

39. Ley de Gauss – Ecuación de Maxwell I
La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico total 𝜓 a través de cualquier superficie
cerrada es igual a la carga total encerrada por esa superficie.

40. Ley de Gauss – Ecuación de Maxwell II
 Aplicando el teorema de la divergencia:
 Resultando en
Teorema de la divergencia: Intuitivamente se puede concebir como la suma de todas las
fuentes menos la suma de todos los sumideros da el flujo de salida neto de una región.

41. Ley de Gauss – Ecuación de Maxwell III
 Las ecuaciones enuncian la ley de Gauss en su forma
integral y en su forma diferencial o puntual.
 La ley de Gauss es una formulación alterna de la ley de
Coulomb.
 La ley de Gauss aporta un medio simple para hallar 𝑬 o 𝑫
en el caso de distribuciones simétricas de carga puntual,
carga de línea infinita, carga superficial cilíndrica infinita y
distribución esférica de carga.

42. Aplicaciones de la ley de Gauss

43. Aplicaciones de la ley de Gauss
 Procedimiento:
 Saber antes si existe simetría.
 Una vez detectada una distribución simétrica de carga, se
elabora una superficie cerrada matemática (superficie
gaussiana).
 𝑫 debe ser tangencial o normal a la superficie gaussiana.
 En el primer caso, 𝑫 ∙ 𝑑𝑺 = 𝐷 𝑑𝑆, puesto que D es constante sobre la
superficie.
 En el segundo caso, 𝑫 ∙ 𝑑𝑺 = 0.

44. Carga puntual
 Superficie gaussiana es
esférica centrada en el
origen.
 D es tangencial en todas
partes a la superficie
gaussiana.

45. Carga lineal infinita
 Elegir una superficie
cilíndrica que contenga a P
para satisfacer simetría.

46. Lámina infinita de carga
 Elegir una caja rectangular
simétricamente cortada
por la lámina de carga y
con dos de sus caras
paralelas a la lámina.

47. Esfera con carga uniforme I

48. Esfera con carga uniforme I
 𝑟 ≤ 𝑎
𝑄 𝑒𝑛𝑐 = න ρ 𝑣 𝑑 𝑣 = ρ 𝑣 න 𝑑 𝑣
𝑄 𝑒𝑛𝑐 = ρ 𝑣 න
φ=0
2𝜋
න
θ=0
π
න
𝑟=0
𝑟
𝑟2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝜑
𝑄 𝑒𝑛𝑐 = ρ 𝑣
4
3
π𝑟3

49. Esfera con Carga Uniforme III
 𝑟 ≤ 𝑎
𝜓 = ර 𝐷 ∙ 𝑑𝑆 = 𝐷𝑟 ර 𝑑𝑆
𝜓 = 𝐷𝑟 ‫׬‬φ=0
2𝜋
‫׬‬θ=0
π
𝑟2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜑 = 𝐷𝑟4𝜋𝑟2
Por último se iguala el flujo y la carga y se obtiene el resultado.
𝐷𝑟4𝜋𝑟2 = ρ 𝑣
4
3
π𝑟3
𝑫 =
𝑟
3
ρ 𝑣 𝒂 𝑟 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑎

50. Esfera con Carga Uniforme IV
 𝑟 ≥ 𝑎

51. Esfera con Carga Uniforme V

52. Ejemplo 6: Ley de Gauss
Un volumen que, en coordenadas cilíndricas, está entre 𝑟 = 2m
y 𝑟 = 4m contiene una densidad uniforme de carga 𝜌 (C/m3).
Utilice la ley de Gauss para hallar 𝑫 en todas las regiones.

53. Potencial Eléctrico

54. Potencial eléctrico I
 También es posible obtener el campo eléctrico 𝑬 a partir
del potencial escalar eléctrico 𝑉.
 Método más sencillo porque maneja escalares en vez de
vectores.
 Suponer que se desea mover una carga puntual 𝑄 del
punto 𝐴 al punto 𝐵 en el campo eléctrico 𝑬.

55. Potencial eléctrico II
 La fuerza sobre 𝑄 es 𝑭 = 𝑄𝑬 (ley Coulomb), de modo
que el trabajo realizado en el desplazamiento de la carga
por 𝑑𝒍 es:
 El signo negativo indica que el trabajo es realizado por un
agente externo.
 El trabajo realizado total, o la energía potencial requerida,
para mover 𝑄 de 𝐴 a 𝐵 es

56. Potencial eléctrico III
 La división de 𝑊 entre 𝑄 da como resultado la energía
potencial por unidad de carga (𝑉𝐴𝐵 - diferencia de
potencial entre 𝐴 y 𝐵)

57. Potencial eléctrico IV
 Al determinar 𝑉𝐴𝐵, 𝐴 es el punto inicial y 𝐵 es el final.
 Si 𝑉𝐴𝐵 es negativo, hay una pérdida de energía potencial
en el desplazamiento de 𝑄 de 𝐴 a 𝐵; el trabajo es
realizado por el campo. Si 𝑉𝐴𝐵 es positivo, hay ganancia de
energía potencial en el desplazamiento; un agente externo
realiza el trabajo.
 𝑉𝐴𝐵 es independiente de la trayectoria adoptada.
 𝑉𝐴𝐵 se mide en joules por coulomb, unidad llamada volt
(V)

58. Potencial eléctrico V
 Si el campo 𝑬 se debe a una carga puntual:
 𝑉𝐵 y 𝑉𝐴 son los pontenciales (o ponteciales absolutos) en
𝐵 y 𝐴, respectivamente.
 La diferencia de potencial 𝑉𝐴𝐵 puede considerarse como
el potencial en 𝐵 en referencia a 𝐴.

59. Potencial eléctrico VI
 El potencial en cualquier punto debido a una carga
puntual 𝑄 situada en el origen es
 Si la carga puntual 𝑄 no se localiza en el origen sino en un
punto cuyo vector de posición es 𝒓′
El potencial en cualquier punto es la diferencia de potencial entre ese punto y un
punto elegido como referencia en el que le potencial sea cero.

60. Potencial eléctrico VII
1. Se eligió arbitrariamente el infinito como punto (de referencia) de potencial cero.
2. El potencial en un punto puede determinarse de dos maneras, según sea lo que
se conoce, la distribución o 𝑬.

61. Relación entre E y V – Ecuación
de Maxwell

62. Relación entre E y V – Ecuación de Maxwell
I
 La diferencia de potencial
entre los puntos 𝐴 y 𝐵 es
independiente de la
trayectoria adoptada.
En términos físicos implica que en un
campo electrostático el
desplazamiento de una carga a lo
largo de una trayectoria cerrada no
supone realización de ningún trabajo
neto.

63. Relación entre E y V – Ecuación de Maxwell
II
 Aplicando el teorema de Stoke:
 Todo campo que satisface la ecuación, se dice conservativo o
irrotacional.
 Un campo electrostático es un campo conservativo.
 Es la ecuación de Maxwell para campos eléctricos estáticos
(segunda ecuación de Maxwell por deducir) en su forma
integral e diferencial.
 Describe la naturaleza conservativa de un campo
electrostático.

64. Relación entre E y V – Ecuación de Maxwell
III
 De la definición de potencial
 Comparando las dos expresiones para 𝑑𝑉

65. Dipolo eléctrico y líneas de flujo

66. Dipolo eléctrico I
Un dipolo eléctrico se forma cuando dos cargas puntuales de igual magnitud pero
signo contrario están separadas por una distancia reducida.

67. Dipolo eléctrico II
 𝑟1 y 𝑟2 son las distancias entre 𝑃 y +𝑄 y 𝑃 y −𝑄,
respectivamente.
 Si 𝑟 ≫ 𝑑, 𝑟1 − 𝑟2 ≃ 𝑑 cos 𝜃, 𝑟2 𝑟1 ≃ 𝑟2
, y
 Como 𝑑 cos 𝜃 = 𝒅 ∙ 𝒂 𝑟, donde 𝒅 = 𝑑𝒂 𝑧, definiendo el
momento del dipolo:

68. Dipolo eléctrico III
 Si el centro del dipolo no se encuentra en el origen sino
en 𝒓‘
 El campo eléctrico debido al dipolo con centro en el
origen es:

69. Dipolo eléctrico IV
 donde

70. Líneas de Flujo eléctrico I
Una línea de flujo eléctrico es una trayectoria 𝑐 línea imaginaria trazada de tal
manera que su dirección en cualquier punto sea la dirección del campo eléctrico en
ese punto.
Toda superficie con
igual potencial en
cualquier punto se
conoce como
superficie
equipontencial.
Superficie equipotenciales para (a) una carga puntual y (b) un dipolo eléctrico

71. Densidad de energía en campos
electrostáticos

72. Densidad de energía en campos
electrostáticos I
 Para determinar la energía presente en un conjunto de cargas,
primero debemos determinar la cantidad de trabajo necesario
para reunirlas.
 Si las cargas se sitúan en orden inverso
 𝑉23 es el potencial en 𝑃2 debido a 𝑄3, 𝑉12 y 𝑉13 los potenciales en 𝑃1
debidos a 𝑄2 y 𝑄3 respectivamente.

73. Densidad de energía en campos
electrostáticos II
 Si se adiciona las ecuaciones anteriores:
 𝑉1, 𝑉2 y 𝑉3 son los potenciales totales en 𝑃1, 𝑃2 y 𝑃3,
respectivamente. En general, si hay 𝑛 cargas puntuales,

74. Densidad de energía en campos
electrostáticos III
 Si la región posee una distribución continua de carga, la
sumatoria se convierte en integración.
 Puesto que

75. Densidad de energía en campos
electrostáticos IV
 Respecto de todo vector 𝑨 y escalar 𝑉 es válida la
identidad
 Aplicando la identidad a las ecuaciones de 𝑊𝐸

76. Densidad de energía en campos
electrostáticos IV
 𝑉𝑫 en el primer término del miembro derecho debe
variar al menos cuando Τ1 𝑟3, mientras que 𝑑𝑆 varía
cuando 𝑟2
. En consecuencia, la primera integral de la
ecuación debe tender a cero al crecer la superficie 𝑆.
 Como

77. Densidad de energía en campos
electrostáticos V
 La densidad de energía electrostática 𝑤 𝐸 (en Τ𝐽 𝑚3
)
puede definirse como
 Y 𝑊𝐸 puede expresarse como

78. Referencias

79. Bibliografía y Referencias
 Sadiku, Matthew N. O. «Elementos de Electromagnetismo»,
Editorial Alfaomega, Oxford University Press, 2010.

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