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Conocimientos básicos de Teoría de Conjuntos

NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO

Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se
llaman elementos del mismo.

Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a ∈ A.
En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a∉ A.


Ejemplos de conjuntos:


                              7      
           o    A = 2, 5, − , 0, 5 
                              9      
           o    B = {x ∈ N / x es menor que 5}

           o    ∅ : el conjunto vacío, que carece de elementos.
           o    N: el conjunto de los números naturales.
           o    Z: el conjunto de los números enteros.
           o    Q : el conjunto de los números racionales.
           o    R: el conjunto de los números reales.
           o    C: el conjunto de los números complejos.

Se puede definir un conjunto por :

               extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.A={1,2,3, ... ,n}
               comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza

                  B={p∈ Z | p es par}


Se dice que A está contenido en B (también que A es
un subconjunto de B o que A es una parte de B),
y se denota A ⊆ B, si todo elemento de A lo es también de B, es
decir, a ∈ A ⇒ a ∈ B.


Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente

A ⊆ B y B ⊆ A; A ⊆ B esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o
también la misma propiedad característica).

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno
dado U,
se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.


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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto:

                  A − B := {a ∈ A | a ∉ B}.


Se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto :


              A ∆ B := (A − B) ∪ (Β − A).




Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son
elementos de A o de B, es decir:

               A ∪ B := { x | x ∈ A ο x ∈ B}.




Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que

son elementos de A y de B,es decir:

          A ∩ B := {x | x ∈ A y x ∈ B}.       A∩B



Ejercicios:


1) En los siguientes diagramas indicar si es V o F lo afirmado con respecto a la región
sombreada




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2) Representar cada uno de las operaciones sombreando los diagramas adjuntos:




3) De 75 agricultores se sabe que: 18 plantan trigo, 35 plantan soja, 8 plantan trigo y soja.
¿Cuántos plantan: a) sólo trigo; b) sólo soja?, c) ¿cuántos no plantan ni trigo ni soja?

4) Se 50 personas, 10 estudian, 4 estudian y trabajan, 15 no estudian ni trabajan.
       a) Cuántas personas sólo estudian?
       b) ¿Cuántas personas sólo trabajan?
       c) ¿Cuántas personas trabajan?
5) En un instituto fueron encuestados 100 alumnos y se supo que: 21 estudian francés e inglés; 6
estudian sólo inglés y alemán; 7 estudian sólo francés y alemá ; 9 estudian los tres idiomas; 48
estudian francés ; 35 estudian alemán y 52 estudian inglés.
¿Cuántos alumnos estudian: a) sólo francés; b) sólo alemán; c) sólo inglés; d) sólo francés e inglés;
e) cuántos no estudian ningún idioma?

6) indicar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
   a) Ν ⊂ Ζ           b) Ζ ⊂ Ν          c) Q ⊂ Ν       d) Q ⊂ ℜ
   e) Ν ∩ Ζ = {Ν} f) Q ∩ Ν = {Q} g) Q ∩ ℜ = {I }

7) Identifica a que conjunto numérico pertenece el resultado de cada una de las siguientes
propuestas:
a) Se tienen 43 CD para repartir entre 8 amigos, ¿Cuántos CD les toca a cada uno?

b) Maria, Pedro y Mariana compraron 5 alfajores y se los reparten en partes iguales.¿cuanto le
corresponde a cada uno?


c)                      El siguiente cuadrado representa la Plaza Constitución, ¿Cuánto camina
                        Bart si lo hace en diagonal?




d) ¿A cuantos metros bajo tierra, estuvieron los 33 mineros en Chile en el 2010?
   Expresa la respuesta como una expresión matemática.

e) Representar en un eje orientado, los resultados obtenidos en las partes anteriores.




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8) Clasificar los números, completando la siguiente tabla:


                         N                 Z                  Q                 I
      -3
      4/7
      6/3
        9
         2
      -50/3



9) Completa con el número que falta para que la igualdad se cumpla:

 a)                        b)                           c)



 d)                          e)                         f)

                                  3     4                     4 3 20
 g)
      11 9
         ⋅ =                 h)     ⋅ =                 i)      : =
       2     10                   5 9 15                      7

10) Escribe 3 fraccione distintas que representen la región sombreada de cada figura.




11) ¿Cuántas fracciones hay entre 17 y 18?¿cuántas fracciones con denominador 5 hay entre 17 y
18?¿y con denominador 9? ¿y con denominador 21?
                                  1 4                                  1 4
12) ¿Cuántas fracciones hay entre y ? ¿cuántas fracciones hay entre y que tengan
                                  3 9                                  3 9
denominador 9? ¿y que tengan denominar 18? ¿y que tengan denominador 10?


13) Un agricultor riega, por la mañana, 2/5 de un campo. Por la tarde riega el resto, que son
6000 m 2 .¿Cuál e la superficie del campo?.



14) Un depósito, con una capacidad de 1500 litros , está lleno de agua. Se sacan, primero, dos
quintos de su contenido, y después, un tercio de lo que quedaba .a) ¿qué fracción de depósito se ha
extraído? B) Qué fracción queda? C) ¿cuántos litros se ha extraído y cuántos quedan?


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15) La amebas se reproducen por bipartición .Suponemos que inicialmente tenemos una ameba y
que el fenómeno se produce cada una hora,
        a) Calcula el número de amebas cuando van tres horas
        b) Calcula el número de amebas cuando van tres horas
        c) Calcula el número de amebas cuando van t horas

Propiedades de la potenciación




16) Expresa las siguientes operaciones usando solo una potencia




17) Expresa las siguientes operaciones usando solo una potencia




18)




19) Calcula aplicando propiedades




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20) Volviendo al ejercicio de las amebas, ¿cuántas horas deben transcurrir para tener 1024 amebas?


21) Calcula, aplicando definición: a) log 5 25         b) log 3 81         c) log 19 19
                                                                3
     d) log 7 1     e) log 100        f) log 0 ,100    g) L e


Propiedades de los logarítmos.




22) Completa el siguiente cuadro, aplicando propiedades.
                                                                1
   a)   log 7 ....... = log 7 4 + log 7 5              c) log     = log1 − log 7 ........
                                                                3
   b)   log 100= log 4 + log .......
           2        2       2                         d)   L64 = L.... − L.........


23) El pH nos da idea de la acidez o basicidad de una solución y se define así:

                                                              pH = - log H + [ ]
Completa el siguiente cuadro:




            sustancia       [H ] +          pH             sustancia          [H ]+          pH

            Ácido de             1          0,0            Agua pura                        7,00
             batería
            Jugo de        8 x10 −3                         sangre           4 x10 −8
             limón
            Jugo de                         2,8         Jabón de             1x10 −10
            naranja                                      tocador
              café         1x10 −5                     NaOH(1mol)                           14,00



24) Un capital de $100.000 fueron colocados a Interés compuesto al 8% anual capitalizando
semestralmente. Si al finalizar la operación obtuvo un monto de $126.532, ¿cuántos años estuvo el
capital colocados a I C?




Profa: Fátima Silva -     2013

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  • 1. Mat Gral-1º EMT 1 Conocimientos básicos de Teoría de Conjuntos NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo. Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a ∈ A. En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a∉ A. Ejemplos de conjuntos:  7  o A = 2, 5, − , 0, 5   9  o B = {x ∈ N / x es menor que 5} o ∅ : el conjunto vacío, que carece de elementos. o N: el conjunto de los números naturales. o Z: el conjunto de los números enteros. o Q : el conjunto de los números racionales. o R: el conjunto de los números reales. o C: el conjunto de los números complejos. Se puede definir un conjunto por : extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.A={1,2,3, ... ,n} comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza B={p∈ Z | p es par} Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), y se denota A ⊆ B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a ∈ A ⇒ a ∈ B. Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A ⊆ B y B ⊆ A; A ⊆ B esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica). Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U, se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia. Profa: Fátima Silva - 2013
  • 2. Mat Gral-1º EMT 2 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto: A − B := {a ∈ A | a ∉ B}. Se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto : A ∆ B := (A − B) ∪ (Β − A). Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B, es decir: A ∪ B := { x | x ∈ A ο x ∈ B}. Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B,es decir: A ∩ B := {x | x ∈ A y x ∈ B}. A∩B Ejercicios: 1) En los siguientes diagramas indicar si es V o F lo afirmado con respecto a la región sombreada Profa: Fátima Silva - 2013
  • 3. Mat Gral-1º EMT 3 2) Representar cada uno de las operaciones sombreando los diagramas adjuntos: 3) De 75 agricultores se sabe que: 18 plantan trigo, 35 plantan soja, 8 plantan trigo y soja. ¿Cuántos plantan: a) sólo trigo; b) sólo soja?, c) ¿cuántos no plantan ni trigo ni soja? 4) Se 50 personas, 10 estudian, 4 estudian y trabajan, 15 no estudian ni trabajan. a) Cuántas personas sólo estudian? b) ¿Cuántas personas sólo trabajan? c) ¿Cuántas personas trabajan? 5) En un instituto fueron encuestados 100 alumnos y se supo que: 21 estudian francés e inglés; 6 estudian sólo inglés y alemán; 7 estudian sólo francés y alemá ; 9 estudian los tres idiomas; 48 estudian francés ; 35 estudian alemán y 52 estudian inglés. ¿Cuántos alumnos estudian: a) sólo francés; b) sólo alemán; c) sólo inglés; d) sólo francés e inglés; e) cuántos no estudian ningún idioma? 6) indicar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Ν ⊂ Ζ b) Ζ ⊂ Ν c) Q ⊂ Ν d) Q ⊂ ℜ e) Ν ∩ Ζ = {Ν} f) Q ∩ Ν = {Q} g) Q ∩ ℜ = {I } 7) Identifica a que conjunto numérico pertenece el resultado de cada una de las siguientes propuestas: a) Se tienen 43 CD para repartir entre 8 amigos, ¿Cuántos CD les toca a cada uno? b) Maria, Pedro y Mariana compraron 5 alfajores y se los reparten en partes iguales.¿cuanto le corresponde a cada uno? c) El siguiente cuadrado representa la Plaza Constitución, ¿Cuánto camina Bart si lo hace en diagonal? d) ¿A cuantos metros bajo tierra, estuvieron los 33 mineros en Chile en el 2010? Expresa la respuesta como una expresión matemática. e) Representar en un eje orientado, los resultados obtenidos en las partes anteriores. Profa: Fátima Silva - 2013
  • 4. Mat Gral-1º EMT 4 8) Clasificar los números, completando la siguiente tabla: N Z Q I -3 4/7 6/3 9 2 -50/3 9) Completa con el número que falta para que la igualdad se cumpla: a) b) c) d) e) f) 3 4 4 3 20 g) 11 9 ⋅ = h) ⋅ = i) : = 2 10 5 9 15 7 10) Escribe 3 fraccione distintas que representen la región sombreada de cada figura. 11) ¿Cuántas fracciones hay entre 17 y 18?¿cuántas fracciones con denominador 5 hay entre 17 y 18?¿y con denominador 9? ¿y con denominador 21? 1 4 1 4 12) ¿Cuántas fracciones hay entre y ? ¿cuántas fracciones hay entre y que tengan 3 9 3 9 denominador 9? ¿y que tengan denominar 18? ¿y que tengan denominador 10? 13) Un agricultor riega, por la mañana, 2/5 de un campo. Por la tarde riega el resto, que son 6000 m 2 .¿Cuál e la superficie del campo?. 14) Un depósito, con una capacidad de 1500 litros , está lleno de agua. Se sacan, primero, dos quintos de su contenido, y después, un tercio de lo que quedaba .a) ¿qué fracción de depósito se ha extraído? B) Qué fracción queda? C) ¿cuántos litros se ha extraído y cuántos quedan? Profa: Fátima Silva - 2013
  • 5. Mat Gral-1º EMT 5 15) La amebas se reproducen por bipartición .Suponemos que inicialmente tenemos una ameba y que el fenómeno se produce cada una hora, a) Calcula el número de amebas cuando van tres horas b) Calcula el número de amebas cuando van tres horas c) Calcula el número de amebas cuando van t horas Propiedades de la potenciación 16) Expresa las siguientes operaciones usando solo una potencia 17) Expresa las siguientes operaciones usando solo una potencia 18) 19) Calcula aplicando propiedades Profa: Fátima Silva - 2013
  • 6. Mat Gral-1º EMT 6 20) Volviendo al ejercicio de las amebas, ¿cuántas horas deben transcurrir para tener 1024 amebas? 21) Calcula, aplicando definición: a) log 5 25 b) log 3 81 c) log 19 19 3 d) log 7 1 e) log 100 f) log 0 ,100 g) L e Propiedades de los logarítmos. 22) Completa el siguiente cuadro, aplicando propiedades. 1 a) log 7 ....... = log 7 4 + log 7 5 c) log = log1 − log 7 ........ 3 b) log 100= log 4 + log ....... 2 2 2 d) L64 = L.... − L......... 23) El pH nos da idea de la acidez o basicidad de una solución y se define así: pH = - log H + [ ] Completa el siguiente cuadro: sustancia [H ] + pH sustancia [H ]+ pH Ácido de 1 0,0 Agua pura 7,00 batería Jugo de 8 x10 −3 sangre 4 x10 −8 limón Jugo de 2,8 Jabón de 1x10 −10 naranja tocador café 1x10 −5 NaOH(1mol) 14,00 24) Un capital de $100.000 fueron colocados a Interés compuesto al 8% anual capitalizando semestralmente. Si al finalizar la operación obtuvo un monto de $126.532, ¿cuántos años estuvo el capital colocados a I C? Profa: Fátima Silva - 2013