三角関数と行列

1. クリエイティブ
コーディングのための
数学＋JavaScript 入門
三角関数と行列
新春2016スペシャル
たかはしのぶひろ
第一回クリエイティブコーディング勉強会「ベクトル」成果物
第二回クリエイティブコーディング勉強会「力」成果物
グループ展「Reflection」出展作品演出
グループ展「unframe 003」出展作品『Re-n-da-n』

2. クリエイティブコーディングで数学？
• パーティクルを自由に飛ばしたい
→速度の計算、ベクトル、移動量計算
• 色を自由に変化させたい
→周期角度の計算、濃淡の連続的変化
• 大量のオブジェクトにダンスしてもらいたい
→時間制御（タイムラプス）、高度な変形計算
• ジェネレイティブアートを作りたい
→数学アルゴリズムの理解

3. 目標
① 三角関数と行列で表現に活用できる部分を知る
• 全部は知らんでも何とかなるわよ
② 数学式→JavaScript へ移植できるようになる
• 画像、音声処理の wikipedia や論文が活用でき
るようになりますぞ
一部意訳があります正確性は他の文献を参考にしてね

4. アジェンダ
① 関数とは (2m)
② 三角関数とは (5m)
③ 三角関数を使ったコーディング体験(10m)
④ 行列とは (5m)
⑤ 行列を実装するコーディング体験 (10m)
⑥ 自由にコーディング (20m)
⑦ 発表 (5m)

5. 「関数」とは
• 処理のまとめ
• パラメータ（引数）を渡して、
返り値を返してくれる（こともある）

6. 「関数」とは
• 処理のまとめ
• パラメータ（引数）を渡して、
返り値を返してくれる（こともある）
数学も同様！

7. 三角関数（数学I）

8. 「三角関数」とは
① 角度を引数に渡すと、-1 から 1 の値を返す関数
② 返してくれる値はランダムではなく
角度と関係性がある

9. 「三角関数」とは
① 角度を引数に渡すと、-1 から 1 の値を返す関数
② 返してくれる値はランダムではなく
角度と関係性がある
表現で使うのは主にサイン (sin) とコサイン (cos)
それとパイ→π [3.1415…] は 180 であるという事

10. サイン sin
引数がいくら増えても 1 ∼ -1 の値を循環する
• Math.sin( 0 ) → 0
• Math.sin( π➗2 ) [ 1.570796… ] → 1
• Math.sin( π ) [ 3.141592… ] → 0
• Math.sin( π+π➗2 ) [ 4.712388… ] → -1
• Math.sin( 2π ) [ 6.283185 ] → 0

11. サイン cos
引数がいくら増えても 1 ∼ -1 の値を循環する
π➗2 度分だけ返り値がオフセットされている
• Math.cos( 0 ) → 1
• Math.cos( π➗2 ) [1.570796…] → 0
• Math.cos( π ) [3.141592…] → -1
• Math.cos( π+π➗2 ) [4.712388…] → 0
• Math.cos( 2π ) [6.283185] → 1

12. sin と cos
青：sin 赤：cos
http://goo.gl/bMdGjl

13. 課題① sin cos を使って何か作る
制約
• Math.sin() Math.cos() を使う
例
• 光が明滅するアニメーション
• http://goo.gl/q1xRzH
• sin cos を使って描かれる図
• Math.PI 使ってもいいかも
alpha = sin(count)
x = cos(count)×10
y = sin(count)×10
⎧
⎨
⎪
⎩⎪

14. おまけ：アークタンジェント atan
アーク∼は値から角度を求める逆関数
• Math.atan2 (y: 1, x: 1) → 1/4π (45 )

15. 蛇足：Math.atan と Math.atan2
tan は 180 単位で値が循環する
atan も 180 単位で値を返す
atan2 は 360 がわかるよう、よしなにやってくれる
• Math.tan(45 ) → 1
• Math.tan(225 ) → 1

16. 行列（数学C）

17. 「行列」とは
• 複数の数を行と列で保持する数列
3 5( ) 1 0
0 1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
a11
… a1n
! " !
am1
# amn
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟

18. 「行列」とは
• 複数の数を行と列で保持する数列
• 表現では行列同士の計算まで理解があるといい感じ
3 5( ) 1 0
0 1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
a11
… a1n
! " !
am1
# amn
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟

19. 行列の計算：合体（concat）
M = 1 2
3 4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
5 6
7 8
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟

20. 行列の計算：合体（concat）
M = 1 2
3 4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
5 6
7 8
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= 1×5+2×7 1×6+2×8
3×5+4×7 3×6+4×8
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
一つめの行列は横に、二つめの行列は縦に値を拾う
パズルみたいな感じだよ

21. 行列の計算：合体（concat）
M = 1 2
3 4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
5 6
7 8
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= 1×5+2×7 1×6+2×8
3×5+4×7 3×6+4×8
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= 19 22
43 50
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
一つめの行列は横に、二つめの行列は縦に値を拾う
計算上出てくる行列最小の大きさになる
パズルみたいな感じだよ

22. 行列の計算：合体（concat）を汎化
= A× E + B ×G A× F + B × H
C × E + D×G C × F + D× H
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
M = A B
C D
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
E F
G H
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟

23. 行列の計算：合体（concat）を汎化
連立方程式にしてみる
= A× E + B ×G A× F + B × H
C × E + D×G C × F + D× H
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
M = A B
C D
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
E F
G H
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
→
a = A× E + B ×G
b = A× F + B × H
c = C × E + D×G
d = C × F + D× H
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

24. 行列の計算：合体（concat）を実装
→
a = A× E + B ×G
b = A× F + B × H
c = C × E + D×G
d = C × F + D× H
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
function concatMatrix(A, B, C, D, E, F, G, H) {
...
return [a, b, c, d]
}
http://goo.gl/eYmwE5

25. 「行列」何に使うん
二次元座標 (X, Y) や三次元座標 (X, Y, Z) のように複数
の値から成るデータを操作する場合有効
例：「座標」に「変換行列」を加えると
「変形」が行える（一次変換、アフィン変換）
• 「回転のための行列」(rotate)
• 「移動のための行列」(translate)
• 「拡大のための行列」(scale)
• 「傾斜のための行列」(skew)

26. 課題② 回転行列を実装する
問題：座標(5,10)を原点を中心に 45 度（1/4π）回
転させた座標をプログラムで求めよ。
回転行列
一度連立方程式にするとプログラム化しやすいよ！
cosθ −sinθ
sinθ cosθ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
′P = cosθ −sinθ
sinθ cosθ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
5
10
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟

27. 課題② 回転行列を実装する
問題：座標(5,10)を原点を中心に 45 度（1/4π）回
転させた座標をプログラムで求めよ。
回転行列
cosθ −sinθ
sinθ cosθ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
′P = cosθ −sinθ
sinθ cosθ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
5
10
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= cosθ ×5−sinθ ×10
sinθ ×5+cosθ ×10 http://goo.gl/k0nRq2

28. 課題② 回転行列でアニメーション
どの座標・角度でも求められるように、課題②のアル
ゴリズムを関数化し、角度を増やしていくと回転する
ようなアニメーションを作成してください。
http://goo.gl/ZXZxNk

29. まとめ
数学式が読めるようになればいろんな論文がジェネレ
イティブ表現で活用できるようになって捗るよ！
数学楽しいよ！

30. おくづけ
• sin と cos の解説でつかったアニメーション
http://goo.gl/bMdGjl
• 課題②回転行列をつかったアニメーション
http://goo.gl/ZXZxNk
• 参考：3年前に書いたブログ
http://creator.dena.jp/archives/27614327.html
• 数式エディター：Math Type
http://www.dessci.com/en/products/mathtype/
trial.asp