Cuaderno de Actividades: Física I4) Dinámica de un sistema departículasLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 99
Cuaderno de Actividades: Física I4) Dinámica de un sistema de partículas4,1) Cantidad de movimiento prde un sistema de par...
Cuaderno de Actividades: Física I1 2 2 1,Ft tI F t t t t→ ≡ ∆ ∆ ≡ −rr ru I Ns  ≡ r4,3) ( ),RFR R I p≡rr rEl impulso de...
Cuaderno de Actividades: Física I,R EXTFI p≡ ∆rr rSegún la última ecuación para que el SPp p cte≡ ≡uurr rel ,R EXTFI o≡rr ...
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Cuaderno de Actividades: Física Iiii) Choques Espaciales o Tridimensionalessvren el R3.Los choques también pueden describi...
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Cuaderno de Actividades: Física Ia) x : Lc , se analizaran los cambios del p solo en x ,1°)  /xp p p p≡ → =r r r r A A B B...
Cuaderno de Actividades: Física Itiene cada cuerpo inmediatamente después de que esto sucede.Considere mA = 0,90 kg y mB =...
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Cuaderno de Actividades: Física IS4P11) Una bala de masa m y velocidad v pasa a través de la esfera de unpéndulo de masa M...
Cuaderno de Actividades: Física ICon lo cual para que la esfera pueda completar la vuelta se requerirá, 2>V gl, y conjugan...
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Cap4 dinámica de un sistema de partículas

  1. 1. Cuaderno de Actividades: Física I4) Dinámica de un sistema departículasLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 99
  2. 2. Cuaderno de Actividades: Física I4) Dinámica de un sistema de partículas4,1) Cantidad de movimiento prde un sistema de partículas1 2sp np p p p p≡ ≡ + + +r r r r rKiip≡ ∑r1i ni iip m v≡≡≡ ∑r r[ ]mu p kgs≡r4,2) Impulso de una fuerza, FIrrDefinición: Es una CFV que considera el efecto integral de la fuerza en eltiempo.1 2fitFt t tI Fdt→ ≡ ∫rr rCaso particular: F cte≡uurrLic. Percy Víctor Cañote Fajardon partículasimivrFrm100
  3. 3. Cuaderno de Actividades: Física I1 2 2 1,Ft tI F t t t t→ ≡ ∆ ∆ ≡ −rr ru I Ns  ≡ r4,3) ( ),RFR R I p≡rr rEl impulso de la fuerza resultante se relaciona con los cambios de lacantidad de movimiento lineal de tal forma que tendríamos otra formaalternativa de expresar la segunda ley de Newton, en este caso, para fuerzasque dependen del tiempo.RFRdpI F dt dt pdt ≡ ≡ ≡ ∆ ÷ ∫ ∫r rr rFI p≡ ∆rr rEste resultado que puede entenderse para una partícula puede extendersepara un SP, veamos, la fuerza resultante sobre cada partícula podríaconsiderarse constituida por una fracción interna y externa, la parte interna deestas fuerzas, es decir, entre las partículas del SP, se cancelarían en estrictocumplimiento de la Tercera Ley de Newton, quedando solo la fuerza resultanteexterna actuando sobre el SP, por lo tanto,Lic. Percy Víctor Cañote FajardoRF F≡rFIrr1 partícula pr101
  4. 4. Cuaderno de Actividades: Física I,R EXTFI p≡ ∆rr rSegún la última ecuación para que el SPp p cte≡ ≡uurr rel ,R EXTFI o≡rr r ,SPp p cte≡ ≡uurr r ,R EXTFI o¬ ≡rr rEsto quiere decir que para un SP donde no exista ,R EXTFro el efecto integral deella se cancele, el SPprdeberá de conservarse.4,4) Centro de masa de un SP, CMSea un sistema de partículas de “n” partículas,1 11i i n ncmi nm r m r m rrm m m+ + + +≡+ + +r r rK KrK1cm i iir m rM≡ ∑r r 1dvrMρ≡ ∫r1cm i iiv m vM≡ ∑r r 1dvvMρ≡ ∫r1cm i iia m aM≡ ∑r r 1dvaMρ≡ ∫rLic. Percy Víctor Cañote FajardoSPRFIrrpr,R R EXTF F≡r r102
  5. 5. Cuaderno de Actividades: Física I¿Como se vincula el CM con el SP?En el contexto cinemático,sp i iip p m v CM≡ ≡ ⇔∑r r r{ }1cmv pM≡ →r scmp M v≡r rY en el dinámico,, ( )R R ext CM cmd dF F p mv M adt dt≡ ≡ ≡ ≡ →r r r r r,R ext cmF M a≡r rDe estos resultados se puede inferir rápidamente que le SP puedereemplazarse por una partícula con la masa del SP, M, moviéndose según cmrr,Lic. Percy Víctor Cañote FajardoRFrp mv≡r rim,R CMFrCMvr≡M CM103
  6. 6. Cuaderno de Actividades: Física IObservaciones:i) Ahora, si i → ∞: SP continuo ≡ cuerpo (CR): Σ→∫En las sumas discretas las im son reemplazadas por dvρ , dondeρ : densidad volumétrica de masadv: elemento de volumenii) En muchos casos es recomendable hacer la descripción del fenómenodesde el sistema CM, debido a que las ecuaciones pueden simplificarsesustancialmente ,por ejemplo, la CMvrsiempre es cero, esto es, 0CMv ≡rr.¿? Como describo el CM en base a simetrías del SP (cuerpo)¿? El CM da información acerca de como esta distribuida la masa del SP¿? Se puede calcular el CM de manera sencilla¿? Como interviene el CM en el movimiento de los cuerpos¿? Como utilizamos el CM en nuestra vida cotidiana¿? Intervendrá en CM en otros campos de la Física¿? Se usara CM tecnológicamente4,5) Energía para un sistema de partículasi) Energía Cinética, Ek2, ,12k k sp k i i ii iE E E m v≡ ≡ ≡∑ ∑Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 104
  7. 7. Cuaderno de Actividades: Física IRelación entre Ek,0 y Ek,cm2, ,12k o cm k cmE Mv E≡ +ii) Energía Potencial, Ep, ,p sp p p iiE E E≡ ≡ ∑Si la ,p iE fuese ,pg iE , entonces, ,pg pg i CMiE E Mgz≡ ≡∑iii) Energía Mecánica, EM, ,M sp M M iiE E E≡ ≡ ∑4,6) Momento Angular, LLr→ descripción rotacional de los movimientos→Frrotaciones… ,R extFFτ τ≡rrri) L para una partículaLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 105
  8. 8. Cuaderno de Actividades: Física IrxrmpxrL ≡≡0LAB ≡ FIJOii) L para un SPsp i i i i i ii i iL L L r xp m r xr≡ ≡ ≡ ≡∑ ∑ ∑      Relación entre o cmL y L o CM CM CML Mr xr L≡ +  Lic. Percy Víctor Cañote Fajardomvr0≡ CM0106
  9. 9. Cuaderno de Actividades: Física I4,7) Torque para un sistema de partículas,τi) n =10 rxFτ = ii) n partículasRelación entre y LτLp→ : rotacional, están vinculados por pdtdFR=FF τ→ : rotacional, están vinculados por ¿?Lic. Percy Víctor Cañote Fajardom•r0 Fm1 ° mi0 iriF10701 1n ni i ii ir xFτ τ= == =∑ ∑  
  10. 10. Cuaderno de Actividades: Física IR = R ( ,L τ )RdLdtτ = →,R extodLdtτ =Esta ecuación simple que vincula a y Lτes valida cuando,i) O: fijo en el espacioii) O: el CM, 0 = 0’ =CMiii) O:v0 // vcm ; ‘0’ se mueve // al cmAhora, de ii) { } { },R extd dF p mv m adt dt= = =   cmaM= , esto es, ,R ext cmF Ma= ,esta ecuación también debe de cumplirse para mostrar la simetríacompleta entre lo trasnacional y lo rotacional.Para ciertas direcciones especiales se cumple,L Iw= ejes principales de inerciaI: momento de inercia,R ext Iτ α=Los momentos de inercia son, por lo tanto, equivalentes a las masas,dan información acerca de la oposición que muestra un SP (cuerpo) alas rotaciones en ciertas direcciones, también están fuertemente ligadosa la simetría del SP (cuerpo) así como a la distribución de las masas, porsupuesto.El I para un SP en cierta dirección dada por el eje ξ, se determina de lasiguiente forma,ξri mi2i iiI m rξ≡ ∑Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 108
  11. 11. Cuaderno de Actividades: Física IS4P22) La figura muestra un sistema de dos partículas en el instante inicial ( t= 0 s), donde ( )1ˆˆ ˆ4 3 2r i j k= + +m, ( )2 1 2ˆ ˆ5 12 , 2 1r i j m m m kg= + = =y lasvelocidades en función del tiempo son 1ˆv tk=m/s y ( )2ˆˆ ˆ5 6v ti j k= − +m/s. Halle para t = 1 s,a) El centro de masab) La fuerza sobre el sistemac) El momentum angular respecto de Od) El momentum angular del centro de masae) El momento de inercia respecto del eje z.f) La energía cinética respecto del centro de masag) La energía cinética respecto de Oh) Interprete la diferencia entre c y d, también entre f y g.SOLUCION:r1 (0) ≡√r2 (0) ≡√m1 ≡ 1m2 ≡ 0,5v1 ≡ tkLic. Percy Víctor Cañote Fajardo2vm22rm11r1v109
  12. 12. Cuaderno de Actividades: Física I( )2ˆˆ ˆ5 6v ti j k≡ − +a) ? 1CMr t s≡ ≡( ) ( ){ }1 1 2 21( )CMr t m r t m r tM≡ +  b) 1 2?,F F f f≡ ≡ +  c) 0LL≡1/2221121 ≡+≡+≡ tvxrmvxrmLLL id) 0CML L L′≡ ≡  1/212211≡++≡≡ tmmvmvmrv CMCMe) I = ¿?f) Ek del sistema de partículas / o’ ≡ CMEk ≡ Ek,CM2 2, 1 1 2 21 1 2 2k cmE m v m v≡ +cm ≡ móvil:1 1, 1 cm cmv v v v≡ ≡ −   1 0 /0 1v v v′≡ +  Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 110
  13. 13. Cuaderno de Actividades: Física I2 2 cmv v v≡ −  2,12k cm k CME E Mv≡ −2 21 1 2 21 12 2kE m v m v≡ +=√√ , t ≡ 1g) Ekh) c) – d): I - Icm≡ M cmcm rxr f) – g): Ek – Ekicm ≡21m2cmv4,8) Aplicación importante de sistema de partículas: Choques ocolisiones.El fenómeno es muy importante puesto que nos permite acceder aconocimiento valioso acerca de,→ Estructura de la materia:Experimento de E RutherfordModelo planetarioAceleradores de partículas: AL de Stanford, anillo del CERN (Teoría M)Lic. Percy Víctor Cañote Fajardoα111
  14. 14. Cuaderno de Actividades: Física I→ Caracterización de materiales:e = √θ i = √θ r = √µ : se puede conocer!→ Eventos de extinción masiva, EEMExtinción de saurios.Desaparición de la especie humana: colisión con asteroide masivo para2027.Este fenómeno es producido por fuerzas impulsivas IF, las cuales secaracterizan por:- Ser muy intensas 103-4- ∆t: tiempo de actuación de los IFdel orden ∼ 10-3a 10-4Lic. Percy Víctor Cañote FajardoP P: INF n1012eVµY-FI FIXLínea de colisión o impacto: x112
  15. 15. Cuaderno de Actividades: Física IEn la aproximación de los IFrse considera la conservación del ppara todochoque.p≡ ctep≡ pLos choques pueden clasificarse espacialmente de la siguiente manera,i) Choques frontales o unidimensionales:Cuando las velocidades antes y después de la colisión se encuentran en una L.Esta línea L es la línea de colisión o impacto, Lc.ii) Choques oblicuos o bidimensionales:Las vrde las partículas en un plano, este plano es determinado por la L decolisión y cualquier otra L ⊥ a ella.Lic. Percy Víctor Cañote Fajardov1 v2 xx: Línea de colisión o impacto113
  16. 16. Cuaderno de Actividades: Física Iiii) Choques Espaciales o Tridimensionalessvren el R3.Los choques también pueden describirse en función de las Ekinvolucradas,i) Choques elásticosEk = cte → Eki ≡ Ekfii) Choques inelásticosEk ≠ cte → Eki = Ekf + Q; Q: forma de energía no cinética, por ejemploenergía potencial de deformación.Es frecuente introducir el coeficiente de restitución del choque, e, cantidaddefinida por Newton que valora las velocidades relativas antes y después de lacolisión,12 1 12 1 22 , vv vev v≡ −= −Donde: e: coeficiente de restituciónLic. Percy Víctor Cañote Fajardo11vry pr 12vrx1vrpr2vr114
  17. 17. Cuaderno de Actividades: Física Iv12: velocidad de 1 respecto de 2 antes de la colisión, v12 = v1-v212 :v velocidad de 1 respecto de 2 después de la colisión, v’12 = v’1-v’22 11 2 v vev v−=−Esta ecuación valida para el choque frontal puede ser aplicada en el casobidimensional respecto de la L de colisión o impacto,2 12 11 2 1 2 x xx xxv vv vev v v v−−= =− −En los choques por lo general se miden las svro en ciertos casos las masas,→vs =?1 2 , ?v v =1) p p p p= → =r r1 1 2 2 1 1 2 2 m v m v m v m v+ = +→r r r r2) Es eLic. Percy Víctor Cañote Fajardo1vry pr2vr1 xvr2 xvrx1vrpr2vrxv1rxv2r115
  18. 18. Cuaderno de Actividades: Física IEk = Ek’ o e = 1 oEk = Ek’+Q 0 ≤ e < 12 2 1 21 2 1 1 2 21 1 1 12 2 2 2kE mv mv m v m v= + = +2 12 11 2 1 2 x xx xxv vv vev v v v−−= =− −S4P12) Dos discos circulares A y B se están moviendo sobre una superficiehorizontal lisa cuando chocan según un impacto central oblicuo, como seindica en la figura. El disco A pesa 10 kg y el disco B 6 kg . Antes delchoque la velocidad de A fue smj5+i5=V A /rrry la velocidadde B fue smj5+i12-=V B /rrr.Si el coeficiente de restitución para estos dos discos es 0,7, determinelas velocidades de los discos después del choque y el porcentaje total deenergía cinética perdida.SOLUCION:mA = 10mB = 6vA = (5 iˆ + 5 jˆ ) m/svB = -12 iˆ +5 jˆe= 0,7Lic. Percy Víctor Cañote FajardoYAVrBVrA B XYAVrBVrA B X116
  19. 19. Cuaderno de Actividades: Física Ia) x : Lc , se analizaran los cambios del p solo en x ,1°) /xp p p p≡ → =r r r r A A B B A A B Bm v m v m v m v+ = +r r r r{ } { } { } { }ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ10 5 5 6 12 5 10 6 Ax Ay Bx Byi j i j v i v j v i v j+ + − + = + + +50 72 2: 10 6 2Ax Bxv vx − = + ≡ −2°) 2 11 210,7 :2x xx xAv veBv v=−= ==− 0,7 Bx AxAx Bxv vv v−=−{ } { } 5 12Bx Axv v−=− − 17 0,7 11,9Bx Axv v− ≡ × ≡→??BxAxvv≡≡ ˆ ˆ5A Axv v i j→ = +r∧ ˆ ˆ5B Bxv v i j= +b)k kkE EE−x 100%{ } { }2 2 2 21 12 2k A Ax Ay B Bx ByE m v v m v v= + + + { } { }2 2 2 21 1 2 2k A Ax Ay B Bx ByE m v v m v v= + + +S4P2) El sistema que se muestra esta formado por dos cuerpos A y B, unidospor una cuerda y un resorte comprimido tal como se muestra en lafigura. Todo el sistema se mueve con velocidad constante V0 = 6 m/ssobre una superficie horizontal sin fricción y la energía potencial delsistema es 27,12 J. Si se rompe la cuerda, determine la velocidad queLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 117
  20. 20. Cuaderno de Actividades: Física Itiene cada cuerpo inmediatamente después de que esto sucede.Considere mA = 0,90 kg y mB = 1,36 kg.SOLUCION:Lic. Percy Víctor Cañote FajardoY V AA60°X’BV BA60°V0B118
  21. 21. Cuaderno de Actividades: Física IPiso horizontal lisoV0 = 6Epe = 27,12 Av =?mA = 0,9mB = 1,36 Bv =?:p cte p p′≡ ≡uurr r r A A B B A A B Bp m v m v m v m v p≡ + ≡ + ≡r r r r r rEM = cte ← wFNC≡ 0 ← FNC = NrEM = E’M2 2 2 21 1 1 12 2 2 2M A A B B pe A A B BE m v m v E m v m v≡ + + = +Desde el CM: , :A Bv v→ Epe →Ek→ :p pr rdesde el CM 0 0 0CMp p Mv p m≡ ¬ ≡ → = ≡r r rr r r rBBAA vmvm ≡ (l)cteEM ≡→2 21 10 2 2M pe A A B B ME E m v m v E≡ + ≡ + ≡ (ll) ?, ?A Bv v≡ ≡Calculando velocidades desde OLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 119
  22. 22. Cuaderno de Actividades: Física IACMA vvv+≡B CM Bv v v+ +  ?, ?A Bv v≡ ≡ Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 120
  23. 23. Cuaderno de Actividades: Física IS4P4) Un niño de m kg de masa se encuentrainicialmente parado sobre un tablón de Mkg de masa y L m de longitud, comomuestra la figura. Si el niño empieza amoverse con una ivv ˆ0−≡m/s (respectode O) y la superficie X es lisa, determine:a)La velocidad del tablón (respecto de O.b) La posición del niño (desde O) cuando llegue al extremo A del tablón.c)La posición del tablón (punto medio del tablón) cuando el niño este enA.d) ¿Qué ocurre con el CM del sistema niño-tablón?SOLUCION:a)0 ≡ MV + m(-v0) → 0mV vM ≡  ÷ b)-(v0 + V)( )( )/ 00 00 0n tL L MLv v V tmv V v M mv vM≡ − + → ≡ ≡ ≡+ ++Lic. Percy Víctor Cañote FajardoA BXO LV -v0M mo Xm o’O xA X121
  24. 24. Cuaderno de Actividades: Física It: tiempo para que el niño se desplace desde B hasta A, o sea, tiempo para queel niño se encuentre en la posición xA. Calculamos dicha posición usando altablón,Amx V tM→ ≡ × ≡ 0v  ÷ M×0Lv ( )M m→+ ( )AmLxM m≡+c) De b)( ) ( ){ } 32 2omL L Lx M mM m M m≡ + ≡ ++ +d) 0cmv ≡S4P7) Un sistema consiste de cuatro partículas de igual masa “m” que estánunidas por medio de barras rígidas de igual longitud “l” y de masadespreciable. El sistema está inicialmente en reposo sobre unasuperficie horizontal lisa. Se aplica un impulsoI , como se indica en lafigura,I = I i , para t = 0. Determine:a) La velocidad del CM,rcm .b)La velocidad angular del sistema,w .SOLUCION:Lic. Percy Víctor Cañote FajardoYmlXI122
  25. 25. Cuaderno de Actividades: Física IˆI Ii≡a) ?cmv ≡,R EXTFI I P≡ ≡ ∆  { }( ) (0) 4 0cmP P t P P m v∆ ≡ − → ≡ −    { }4 cmP m v I∆ ≡ ≡ → 4cmIvm≡b) ?w ≡CM: ,R extdL wI Idt tτ α∆≡ ≡ ≡∆ 0t∆ → , ) )ˆ( (R ext F k It It l l wτ ∆ ≡ ≡∆ ≡ ∆  (Problema escalar)( ) ( )F tF Il lt l∆ ≡ ≡∆ 24ml≡ { }{ }0w− →4≡IwmlLic. Percy Víctor Cañote Fajardoym0 xl cmI123
  26. 26. Cuaderno de Actividades: Física IS4P11) Una bala de masa m y velocidad v pasa a través de la esfera de unpéndulo de masa M saliendo con una velocidad v/2. La esfera pendularcuelga del extremo de la cuerda de longitud l. ¿Cuál es el menor valorde v para el cual la esfera complete una circunferencia?SOLUCION:Por conservación delL debido a que el , 0τ ≡R ext ,≡uuL cte2≡ ≡ ≡ +vL mlv L MlV mlAsumiendo que la esfera adquiere una velocidad V inmediatamente después.: ,2: ≡ ≡ +  uu vojo IDEp cte mv M MV mPor conservación de la Energía. Igualando KA pgBE E≡ ,BlVAM21(2 )2KA pgBE mv E mg l≡ ≡ ≡ → 4v lg≡Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo0lv2v124
  27. 27. Cuaderno de Actividades: Física ICon lo cual para que la esfera pueda completar la vuelta se requerirá, 2>V gl, y conjugando esta condición con la ecuación que se desprende de ≡uuL cte ,2 2≡ → ≡m mvv MV VM22→ > →mvglM4>Mv glmS4P10) Una granada de masa M está cayendo con una velocidad v0, y sehalla a una altura h, cuando explota en dos fragmentos iguales queinicialmente se mueven horizontalmente en el sistema-CM. Laexplosión tiene un valor Q igual a 20Mv . Determine los puntos dondelos fragmentos chocarán con el suelo con relación al puntodirectamente debajo de la granada en el momento de la explosión.SOLUCION:CM: 1 2 1 2 0:0 2 2   ≡ ≡ − → ≡ ≡ ÷  ÷    M Mp v v v v v≡Q M 2012≡Mv 2 1( )2 2 + ÷ Mv 2( )2 ≡ ÷ Mv 2( )2→v 0 2≡v vAhora, el tiempo de movimiento de los fragmentos, t,Lic. Percy Víctor Cañote Fajardoyh Mv0x0 xM/2 M/2-v’ v’CMR x0 P125
  28. 28. Cuaderno de Actividades: Física Ien el eje y el CM realiza MRUV( )( )( )( ) ( ) 2020200 0 (0) 50 0 50 5 0≡ − ≡ + −≡ ≡ − −≡ → + − ≡y yv v y t y v t ty t h v t ty h t v t h20 01,22010− ± +≡v v ht20 02010v h vt+ −≡Con lo que,20 00 0 0 0202 210R Rv h vx x v t x x v + − ≡ − → ≡ −    y20 00 0 0 0202 210R Rv h vx x v t x x v + − ≡ + → ≡ +    ¿? Como seria si se analizara desde O1 02 0ˆ ˆ: ˆ ˆ≡ −≡ − −O v v i v jv v i v jPor conservación de la energía,{ } { }2 2 2 2 2 20 0 0 01 1 1 2 2 2 2 2 2 2   + + ≡ + + + + +      M M M MMv Mv Mgh v v gh v v gh32M 20 ≡Mv2{ }2 2 2 20 0 0 2 2+ → ≡ → ≡v v v v v v…Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 126

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