Apresentação ppt sobre integrais triplas para o curso de engenharia Mecânica ministrado na Faculdade Redentor pela professora Daniela

1. Integral Tripla
Seja definida em uma caixa
retangular
( , , )f x y z

2. Caixa Retangular

3. Integral Tripla
Definição: A integral tripla de sobre a
caixa é
se o limite existir.
f
B

4. Região do Tipo 1

5. Região do Tipo 1

6. E e D como Região do Tipo 1

7. E e D como Região Tipo 1

8. E como região do Tipo 1 e
D como região do Tipo 2

9. E como região do Tipo 1 e
D como região do Tipo 2

10. Exemplo 1
Calcule onde é o tetraedro
do sólido delimitado pelos quatro planos
,
E
z dV∫∫∫
0, 0, 0 e 1.x y z x y z= = = + + =
E

11. Exemplo 1

12. Exemplo 1

13. Exemplo 1

14. Região do Tipo II

15. Região do Tipo II

16. Região do Tipo III

17. Região do Tipo III

18. Exemplo 2
Calcule onde é a
região limitada pelo parabolóide
e pelo plano
2 2
,
E
x z dV+∫∫∫
2 2
y x z= +
4.y =
E

19. Exemplo 2

20. Exemplo 2

21. Exemplo 2
É extremamente difícil calculá-la.

22. Exemplo 2

23. Exemplo 2
e

24. Aplicações da Integral Tripla

25. Exemplo 1
Utilize uma integral tripla para determinar
o volume do tetraedro limitado pelos
planos
T
2 2, 2 , 0 e 0.x y z x y x z+ + = = = =

26. Exemplo 1

27. Exemplo 1
2 2
ou 1
2
x y
x
y
+ =
 
= − ÷
 

28. Exemplo 1

29. Outras Aplicações
Todas as aplicações de integrais duplas
podem imediatamente estendidas para as
integrais triplas.

30. Massa e Momentos
onde ( , , ) é a função densidade
em unidades de massa por unidade de volume.
x y zρ

31. Centro de massa
onde

32. Centróide e Momentos de
Inércia
Se a densidade é constante, o centro de
massa do sólido é chamado centróide de
Os momentos de inércia são dados por:
.E

33. Carga Elétrica Total
onde ( , , ) é a densidade de carga.x y zσ

34. Exemplo 2
Determine o centro de massa de um
sólido com densidade constante que é
limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
2
x y=
, 0 e 1.x z z x= = =

35. Exemplo 2

36. Exemplo 2

37. Exemplo 2

38. Exemplo 2
(por causa da simetria de
em relação ao plano portanto
eE ρ
,xz 0.)y =

39. Exemplo 2

40. Exemplo 2

41. Exemplo 2
Portanto, o centro de massa é