El documento describe los conceptos de pensamiento espacial y sistemas geométricos, incluyendo las gráficas de la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola en el plano cartesiano y cómo resolver problemas aplicando las ecuaciones de las cónicas. El estudiante aprenderá a definir estas gráficas y tomar una actitud crítica al argumentar problemas matemáticos correctamente.

1. Grado: DÉCIMO Asignatura: MATEMÁTICAS IV Período
Nombre del Docente: Nombre del Estudiante:
Unidad de Competencia:
El pensamiento espacial y sistemas
geométricos, se definen mediante las
gráficas en el plano cartesiano de la
circunferencia, parábola, elipse e
hipérbola, permitiéndole al estudiante
resolver problemas aplicando las
ecuaciones de las cónicas.
Eje:
PENSAMIENTO ESPACIAL Y
SISTEMAS GEOMÉTRICOS
COMPETENCIAS
Cognitivo:
Define las gráficas en el plano cartesiano de la circunferencia, parábola, elipse e
hipérbola
Procedimental:
Resuelve problemas aplicando las ecuaciones de la circunferencia de la parábola,
elipse e hipérbola.
Convivencial:
Toma una actitud crítica frente a los distintos problemas matemáticos
argumentándolos de manera correcta.
Estándares relacionados con el eje:
Resuelvo problemas en los que se usen las propiedades geométricas de figuras
cónicas por medio de transformaciones de las representaciones algebraicas de estas
figuras.
Revisó: Verificó: Aprobó para copias:

2. MOTIVACION
 ¿Qué ficha completaría la siguiente sucesión?
 Aquí hay 5 igualdades a las que les falta una tarjeta para que se cumplan.
Colócalas en su lugar.

4. IDEO 1
VIDEO 2

5. FUNDAMENTACIÓN COGNITIVA.
El estudio profundo de las secciones cónicas se
inició tras el descubrimiento de que los planetas se
mueven alrededor del sol en órbitas casi elípticas,
con el sol en uno de sus focos, (Kepler). Se
conoció además que los cuerpos podían moverse
alrededor del sol en órbitas que se aproximaban
mucho a las otras clases de secciones cónicas.
Los cometas por ejemplo, que tienen órbitas
hiperbólicas o parabólicas, se aproximan al sol una
vez y se alejan definitivamente, aunque en ciertas
ocasiones es difícil saber si el cometa se mueve en
una órbita parabólica o elíptica muy larga, que le
traerá de nuevo a su punto de origen cientos o
miles de años más tarde.
Las secciones cónicas tienen características importantes también en la
reflexión de las ondas sonoras y luminosas y se utilizan en la construcción de
reflectores cuando se necesita iluminar intensamente un espacio pequeño,
como en microcirugía. La parábola se emplea en reflectores, antenas de
radar, faros de automóviles y telescopios. Uno de los dispositivos focales del
telescopio del observador Hale en el monte Palomar posee un espejo
hiperbólico.
 Distancia entre dos puntos
Cuando los puntos se encuentran ubicados
sobre el eje x o en una recta paralela a este
eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia
de sus abscisas.
Cuando los puntos se encuentran ubicados
sobre el eje y o en una recta paralela a este eje,
la distancia entre los puntos corresponde al
valor absoluto de la diferencia de sus
ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de
coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:
 Pendiente de una recta
En el plano cartesiano, toda recta l que corta el eje x, forma con éste dos
ángulos suplementarios. Sea θ el ángulo medido desde el semieje positivo x
hasta la recta l, en sentido contrario al de las manecillas del reloj. θ es
denominado ángulo de inclinación de la recta l. así:
PAUSA TECNOLOGICA: Leyes de Kepler 1/2 y 2/2.
Visite el siguiente enlace y en clase se socializará los conocimientos
adquiridos:
http://www.youtube.com/watch?v=xbkSFj2zDUA&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=RAth_4-5SKs&feature=fvwrel
Si θ es el ángulo de inclinación de la recta l, y θ ≠ 0, entonces, la
pendiente m de la recta l, se define como.
m = tan θ

6. La pendiente de una recta se puede determinar conociendo dos puntos
distintos de ella.
Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos distintos de la recta l, tales que x1 ≠ x2, y θ
el ángulo de inclinación de l.
Si por el punto P se traza una paralela al eje x y por el punto Q, se traza una
paralela al eje y, entonces la forma del triángulo rectángulo PQR, donde las
coordenadas del punto R son (x2,y1) y ∠ QPR = θ por ser ángulos
correspondientes entre paralelas.
Al aplicar la definición de tangente, en triángulo PQR, se tiene que,
PR
RQ
=θtan pero, )( 12 yyRQ −= y )( 12 xxPR −= , de modo que:
12
12
tan
xx
yy
m
−
−
== θ
Ejemplo: dados los puntos (-1,1) y (2,-2) calcular la distancia entre ellos y su
pendiente.
Para calcular la pendiente utilizamos la formula y
remplazamos
( )( ) ( )22
1212 −−+−−=d
( ) ( )22
33 −+=d
18=d
Ahora para calcular la pendiente remplazamos en la formula
( )12
12
−−
−−
=m 1
3
3
−=
−
=m
Si P(x1
,y1
) y Q(x2
,y2
) con x1
≠ x2
, son dos puntos distintos de la recta l,
entonces:
y

7. ACTIVIDAD 1
Hallar la distancia y la pendiente que pasa por cada par de puntos
1. P (-5,-2), Q (-5,-3) 2. R (2,-5), S (0,2)
3. M (10,-3), N (-2,4)
4. W (-3,-2), V (-6,2)
5. H (4,-1), I (3,9) 6. D (4,-1), E (-8,4)
7. B (1,3), C (2,6) 8. F (-3,-6), G (-2,-4)
 Ecuaciones de la recta
Tomados dos puntos de una recta, la pendiente , es siempre constante. Se
calcula mediante la ecuación:
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la
pendiente:
Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se
conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se
conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la
recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente
m es la tangente de la recta con el eje de abscisas.
 Forma simplificada de la ecuación de la recta
Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de
ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la
recta, y2 − y1 = m(x2 − x1):
Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se
conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se

8. puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen
a partir de una ecuación dada.
ACTIVIDAD 2
Graficar la recta que pasa por el punto P y tiene pendiente m. Luego, escribir
su ecuación en forma canónica.
1. P (-5,-3), m = 4/3 2. P (-2,-1), m = -4/2
3. P (1,3), m = 2 4. P (4,8), m = -1
5. P (2,6), m = -3 6. P (1,0), m =-1/4
7. P (-1,2), m = 0 8. Calcular la ecuación de la recta para
cada uno de las puntos de la
actividad 1
 Elementos de la circunferencia
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
• centro, punto interior equidistante de
todos los puntos de la circunferencia;
• radio, el segmento que une el centro
con un punto de la circunferencia;
• diámetro, el mayor segmento que une
dos puntos de la circunferencia y,
lógicamente, pasa por el centro;
• cuerda, el segmento que une dos
puntos de la circunferencia; las cuerdas
de longitud máxima son los diámetros;
• recta secante, la que corta a la
circunferencia en dos puntos;
• recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
• punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la
circunferencia;
• arco, segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
• semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los
extremos de un diámetro.
Longitud de la circunferencia
La longitud de una circunferencia es:

9. donde es la longitud del radio y (número pi) es el cociente entre la longitud
de la circunferencia y el diámetro.
Ecuaciones de la circunferencia
Ecuación en coordenadas cartesianas
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro
en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la
ecuación
.
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
.
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada
circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia,
se deduce:
resultando:
Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: ,
la ecuación de la circunferencia es:
EJEMPLOS:
1. Determinar si el punto P dado a continuación, pertenece o no pertenece
a la circunferencia (x+2)2
+ (y-1)2
= 25
a. P(4,-1)
Solución:
Haciendo P (x,y) = (4,-1) se tiene que:
(x+2)2
+ (y-1)2
= (4+2)2
+ (-1-1)2
= 62
+ (-2)2
= 40
Las coordenadas del punto no satisfacen la ecuación, por lo tanto, (4,-1) no
pertenece a la circunferencia.
2. Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro (-2, 1) y radio 2.
Solución:
En la ecuación canónica se hace C (h,k) = (-2,1) y r = 2, es decir,

10. (x+2)2
+ (y-1)2
=4
Luego, se desarrollan los binomios, se transponen los términos y se simplifica,
así :
X2
+ y2
+ 4x – 2y + 1 = 0
ACTIVIDAD 3
1. (x-4)2
+ (y-2)2
= 9 2. (x+5)2
+ (y-4)2
= 8
3. (x+6)2
+ (y-3)2
= 4 4. (x-3)2
+ (y-6)2
= 2
5. (x-3)2
+ (y+5)2
= 16
LA PARÁBOLA
Definición: la parábola es el conjunto de puntos del plano que está a la
misma distancia de un punto, su foco, y de una recta fija, su directriz.
Se pueden observar parábolas en el chorro de agua de una fuente o en la
trayectoria de una pelota en el aire. Se puede dibujar también de modo
continuo con una cuerda, como e ve en la figura: Parábola contracción y
elementos.
Elementos de la parábola.
En la parábola se distinguen los siguientes elementos:
• El eje de simetría o eje focal, es la recta con
respecto a la cual una rama de la parábola se
refleja en la otra.
• El vértice, es el punto de intersección entre la
parábola y su eje de simetría.
• El foco, es el punto sobre el eje de simetría,
que está separado del vértice por una distancia
igual a la que separa el vértice de la directriz.
• La directriz, es la recta perpendicular al eje de
simetría, tal que la distancia del vértice a la
directriz es igual a la distancia del vértice al
foco. Es decir, el vértice es el punto medio del segmento que une el
foco y la directriz.
• El lado recto, es la cuerda perpendicular al eje de simetría de la
parábola, que pasa por el foco. Su longitudes cuatro veces la distancia
del vértice al foco.
ECUACIÓN CANONICA DE LA PARABOLA CON VÉRTICE EN (0,0)

11. Cuando la parábola está ubicada en el plano cartesiano, de manera que
su vértice es el punto (0,0), su ecuación se determina considerando
dos casos: la parábola cuyo eje focal o de simetría coincide con el
eje x y la parábola cuyo eje focal coincide con eje y .
Ecuación de la parábola con vértice en (0,0) y eje de simetría el eje x
Si p es la distancia del vértice al foco de la parábola con vértice en (0,0) y
eje de simetría el eje x, entonces, las coordenadas del foco son F
(p,0).
Como la distancia del foco al vértice es igual a la distancia del vértice a
la directriz, entonces, la ecuación de la directriz es x = -p.
La proyección de cualquier punto P (x,y) de la parábola en la directriz, es
de la forma M (-p,y). Así, la distancia entre M y P es:
( ) ( )[ ] ( ) pxyypxPMd +=−+−−=
22
,
Además, por definición de la parábola, se cumple que:
( ) ( )PMdFPd ,, =
( ) ( ) pxypx +=−+−
22
0
pxy 42
=
La ecuación canónica de la parábola con vértice en (0,0), foco en (p,0) y el eje
x como eje de simetría, es: pxy 42
=
De manera similar la ecuación de la parábola con vértice en (0,0), foco en
(0,p) y el eje y como eje de simetría, es: pyx 42
=
Ejemplo: determinar los elementos de la parábola xy 242
=
La ecuación xy 242
= corresponde a la formula pxy 42
= , por lo tanto, la
parábola tiene vértice en (0,0), y el eje de simetría coincide con el eje x.
Para determinar p, se igualan las ecuaciones xy 242
= y pxy 42
= . De tal
manera que px4 = x24 ; p = 6.
Como p es mayor que cero, entonces, la parábola se abre hacia la derecha.
Así, los elementos de la parábola son:
Vértice: V (0,0)
Foco: F (p,0) = (6,0)
Eje focal o eje e simetría: eje x
Directriz: x = -p, es decir, x = -6
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARABOLA CON VERTICE EN (h,k)
Sea (h,k) un punto distinto del origen del plano cartesiano.
Para deducir la ecuación de una parábola con vértice en (h,k), se consideran
dos casos: la parábola con eje de simetría paralela al eje x y la parábola
con eje de simetría paralelo al eje y.
Ecuación canónica de la parábola con vértice en (h,k) y eje simetría
paralelo al eje x
Sea p la distancia del vértice al foco de una parábola con vértice en (h,k) y eje
paralelo al eje x. Entonces, las coordenadas del foco son F(h+p,k).

12. Además, la directriz está dada por x=h – p y la ecuación del eje de simetría
es y = k.
Ahora , si P(x,y) es un punto de la parábola, entonces su proyección sobre la
directriz, es de la forma M(h-p,y). Luego,
( ) ( )[ ] ( ) ( ) phxphxyyphxPMd +−=+−=−+−−=
222
,
Y por definición de la parábola, se tiene que:
d( P,F) = d(M,P)
( )[ ] ( ) phxyyphx +−=−+−−
22
( ) ( ) 222
)( phxkyphx +−=−+−−
phpxkkyy 442 22
−=+−
( ) )(4
2
hxpky −=−
La ecuación canónica de la parábola con vértice en (h,k) y eje de simetría
paralelo al eje x, es:
( ) )(4
2
hxpky −=−
donde p es la distancia del vértice al foco.
De igual forma la ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje y,
vértice en (h,k) es:
( ) )(4
2
hypkx −=−
donde p es la distancia del vértice al foco.
EJEMPLO:
Encontrar la ecuación canónica de la parábola que cumple con las
condiciones dadas.
a. Vértice en (-3,4) y foco en (-5,4).
Solución
La parábola con vértice en (-3,4) y foco en (-5,4) es una parábola cuyo eje
focal o eje de simetría es paralelo al eje x, y su grafica se abre hacia la
izquierda, pues el foco es un punto ubicado a la izquierda del vértice.
La distancia p del vértice al foco está dada por la diferencia de las abscisas
de estos puntos p = -5 – (-3) = -2 y como el vértice es V(h,k) = (-3,4), al
remplazar en la ecuación canónica, se tiene que
(y-4)2
= 4(-2)(x-(-3)), entonces, (y-4)2
= -8(x+3)

14. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS.
Estas actividades serán propuestas por el docente, durante el desarrollo de
los temas.

15. EVALUACIÒN.
ASPECTO COGNITIVO.
• Evaluaciones parciales.
• Evaluación de período.
ASPECTO PROCEDIMENTAL.
• Desarrollo de las actividades de la guía.
• Realización de actividades complementarias.
• Realización de consultas.
ASPECTO CONVIVENCIAL.
• Participación positiva y activa durante el desarrollo de las clases.
• Responsabilidad y honestidad y puntualidad en todas las actividades
propuestas.
• Trabajo en grupo.
• Disciplina.

16. BIBLIOGRAFÍA - WEBGRAFÍA
 http://www.paulovi.edu.pe/aulavirtual/docentes/ulises/01_ludica.pdf
 http://www.sectormatematica.cl/contenidos/distancia.htm
 Trigonometría y geometría analítica. Santillana
 Supermat. Tomo 5. Voluntad.