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PROBLEMAS RESUELTOS CINEMÁTICA
                          RAPIDEZ MEDIA Y VELOCIDAD MEDIA


     1. Una partícula se encuentra en la posición (4, 2, -2) m y en 10 segundos se traslada a la
        posición (8, 12, 20) m. Su velocidad media es:

a)   0.4i + 1.2j - 1.2k      (m/s)
b)   4i + 10j + 22k           "
c)   12i + 10j - 22k          "
d)   1.2i + j - 2.2k          "
e)   0.4i + j + 2.2k          "

Solución:

Expresemos la posición de la partícula en término de sus coordenadas cartesianas y
llamemos por r1 y r2 al vector posición que las identifica.

                                        r1 = 4i + 2j – 2k
                                       r2 = 8i +12j + 20k

                                               r    r2        r1
                                        vm
                                                t          t

                                  8i 10 j 10k   4i 2 j 2k
                              vm =
                                              10

                                 4i 10 j 22k
                             vm =                   0,4i            j 2,2k m/s
                                      10

2. La velocidad media y la rapidez media, para un mismo intervalo de tiempo, tienen igual valor
cuando:

I. La partícula se mueve en línea recta con velocidad constante
II. La partícula se mueve en línea recta y regresa a su posición inicial
III. El desplazamiento y la longitud de la trayectoria son iguales.

             a)   Sólo I
             b)   Sólo II
             c)   Sólo III
             d)   I y II
             e)   I y III

Solución:

La velocidad media y la rapidez media tienen el mismo valor sólo cuando el
desplazamiento de la partícula tiene la misma magnitud que la longitud de la
trayectoria. Esto ocurre cuando la partícula se mueve en línea recta y en la misma
dirección, no necesariamente con velocidad constante.                 Florencio Pinela C.
3. Una partícula se desplaza desde el punto p1 de coordenadas (3, -2, 1)m, al punto p2 de
coordenadas (10, 8, 7)m. Si en el punto p1 la partícula tenía una velocidad de V = 2i + 4j m/s.
El ángulo que forma la velocidad en el punto p1 y el desplazamiento de la partícula es:

a) 27,4º
b) 34,1º
c) 56,8º
d) 65,2º
e) 71,4º

Solución:

Nos piden el ángulo formado entre el vector velocidad en el punto p1 y el vector
desplazamiento entre los puntos p1 y p2. Utilicemos la definición del producto escalar
entre el vector velocidad y el vector desplazamiento. Necesitamos conocer el módulo de
los dos vectores y expresar el vector desplazamiento en función de sus componentes
ortogonales.
                                         r = r2 – r1

                                      r2 =10i + 8j + 7k
                                        r1 = 3i –2j +k

                               r =(10i + 8j + 7k) – (3i –2j +k)

                                       r = 7i +10j + 6k
                                        r = 185 , (m)

                                        V = 2i + 4j
                                      V = 20 , (m/s)

                                      r V  r V Cos
                                             r V
                                      Cos
                                              rV
                                           14 40
                                     Cos =
                                           185 20

                                            = 27,4

4. Una partícula describe la trayectoria mostrada en la figura, el tramo AB es horizontal
y BC un tramo de circunferencia de 10 m de radio. Determine el módulo de la
velocidad media de la partícula entre los puntos A y C sabiendo que ésta se mueve con
rapidez constante de 8 m/s y tarda 10 s en realizar el recorrido.

a)   3.4 m/s
                                                                  C
b)   4.4 m/s
c)   5.2 m/s
d)   6.2 m/s
                  A                                       B
e)   8.0 m/s
Solución:

La velocidad media se define como la relación entre el desplazamiento y el tiempo
empleado. El desplazamiento es el vector que parte del punto A y se dirige hasta el
punto C.
                                                                     C


                       A                                   B



Para calcular el desplazamiento necesitamos conocer la magnitud del tramo AB.
Sabemos que la rapidez de la partícula es de 8 m/s, la rapidez representa la relación
entre la distancia recorrida y el tiempo empleado, con la rapidez y el tiempo podemos
determinar la longitud de la trayectoria, esto es la longitud del tramo AB y la longitud
de las ¾ de circunferencia.

                                              d    AB ¾ * 2 r
                                        V=
                                               t       10
                                             80 = AB + 15
                                              AB = 32,87 m

                                        r = (32,87 + 10)i + 10j
                                           r = 42,87 i + 10j

                                    r    42,87i 10 j
                                                     = 4,287 i + j
                                    t        10

                           El módulo de la velocidad media será 4,4 m/s

5. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son falsos?

I.- El módulo de la velocidad media no puede ser mayor a la rapidez media. Correcto!!
II.- Un cuerpo puede experimentar desplazamiento positivo cuando su velocidad media es
negativa. Falso!!. El signo del desplazamiento corresponde al signo de la velocidad media.
III.- La velocidad media y la aceleración media vectorialmente tienen la misma dirección.
Falso!!!. La dirección de la velocidad media corresponde a la dirección del desplazamiento. La
dirección de la aceleración corresponde a la dirección del vector “cambio de velocidad”
IV.- Un cuerpo con aceleración positiva experimentará siempre desplazamientos positivos.
Falso!!. No necesariamente, los cuerpos pueden desplazarse en dirección contraria a la
aceleración.
V.- En el movimiento rectilíneo uniformemente variado, la aceleración media es una constante.
Correcto!!!.

a)   II, III, IV
b)   III, IV, V
c)   I, II, III, IV
d)   I, III, IV
e) Todas son falsas.                                                        Florencio Pinela C.
6. El gráfico de la figura representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si
para todo el recorrido la rapidez media y la velocidad media son de 20 m/s y 10 m/s
respectivamente. Determine los valores de x y xo

            x(m)            xo(m)                     x(m)
a)           50             -150
b)          50              -100               x
c)          200              -150
d)          100              -100
e)          200              -100

                                              0
                                                                                 10   t(s)

                                             - xo


Solución:

Observando el gráfico notamos que la partícula a t=0 parte del punto –xo y se mueve
en dirección positiva llegando hasta el punto x, luego regresa (invierte la dirección de
movimiento) y se detiene en el origen a los 10 segundos.


                                                                                             x



            -xo                                   0                              x
                      desplazamiento

                                       dis tan cia     xo x   x   xo 2 x
                  Rapidez Media =                                           20
                                             t           10         10

                                           xo + 2x = 200

                                              desplazamiento      xo
                      Velocidad Media =                                10
                                                     t            10

                                             xo = 100

                                         100 + 2x = 200
                                            x = 50 m

                                           xo + 2x = 200
                                        xo + 2(50) = 200

                                          xo = 100 m. (-)


Florencio Pinela C.
7. Una partícula tarda 5s en ir de la posición a hasta la posición b, como se indica en la
figura. El módulo de la velocidad media de la partícula es

a)   1.95 m/s                                               z
b)   1.75 “                                                                        b
c)    1.5 “
d)    1.25 “
e)    Falta indicar la trayectoria                                                 8m
     de la partícula.

                                                                        a               y
                                                                             5m

                                              x                 10m

Solución:

Encontremos los vectores posición inicial y posición final para luego determinar el
vector desplazamiento.

                                                                    z
                                                                                   b


                                                                                   8m


                                                                        a               y
                                                                             5m

                                              x                 10m

                                           ra = 2,5i + 5j
                                           rb = 10j + 8k

                                Desplazamiento = r = rb - ra

                                     r = (10j + 8k) – (2,5i + 5j)
                                          r = -2,5i +5j + 8k
                                                   
                              Velocidad Media = v m = r / t
                             Velocidad Media = - 0,5 i + j + 1,6k

                               
                               vm =      0,52 12 1,6 2 = 1,95 m/s




Florencio Pinela C.
8. El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si la rapidez
        media y la velocidad media para todo el recorrido son de 20 m/s y 5 m/s
        respectivamente, los valores de V1 y V2 son:

     V1 (m/s)          V2(m/s)                  v (m/s)

a)      15.5           12.3
b)      24.6           22.0
                                         V1
c)      21.5           18.5
d)      18.7           22.5
e)      10.5           15.5
                                                                                                t (s)
                                          0               10           15

                                         V2
Solución:
En el gráfico velocidad versus tiempo el área bajo la curva representa el
desplazamiento. Velocidad positiva    desplazamiento positivo, velocidad negativa
desplazamiento negativo. Recuerde que la distancia es una cantidad escalar y carece de
signo.
                                    V
                                                                  Desplazamiento positivo




                                                                                            t


                                                      Desplazamiento negativo

El desplazamiento neto será:
                                       s = 10 V1 - 5 V2

La distancia total recorrida será:
                                      d = 10 V1 + 5 V2

                                 Velocidad media = s / t
                                  Rapidez media = d/ t

                                s / t = 5 = (10 V1 - 5 V2)/15
                              d/ t = 20 = (10 V1 + 5 V2 )/15

Formamos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

                                      75 = 10 V1 - 5 V2
                                     300 = 10 V1 + 5 V2

Resolviendo este sistema de ecuaciones encontramos: V1 = 18,7 m/s y V2 = 22,5 m/s
9. El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si durante
        los 10 primeros segundos su velocidad media es cero y su rapidez media 10 m/s.
        La velocidad inicial de la partícula es
                                              V(m/s)
a)   15   m/s
b)   20   m/s
c)   25   m/s
d)   30   m/s
                                                                              t(s)
e)   35   m/s                             0




Solución:
                                              V(m/s)

                                        Vo

                                                                    10         t(s)

                                                          5

                                       -Vo



Si la velocidad media es cero, el desplazamiento positivo (amarillo) y el desplazamiento
negativo (azul) deben tener la misma magnitud. Los triángulos deben ser iguales y
simétricos.

El desplazamiento neto será:
                               s = ½ Vo(5) – ½ Vo(5) = 0

La distancia total recorrida será:

                                d = ½ Vo(5) + ½ Vo(5)

                                         d = 5 Vo

                                 Rapidez media = d/ t

                                     d/ t = 10 = 5Vo/10

                                        Vo = 20 m/s




Florencio Pinela C.
PROBLEMAS PROPUESTOS CINEMÁTICA
                       RAPIDEZ MEDIA Y VELOCIDAD MEDIA

1. Una partícula se encuentra a t=0 en un punto de coordenadas (-5, 6, 10)m y se
   mueve con velocidad media de 3i – 2j m/s durante cinco segundos. La posición de
   la partícula a los cinco segundos es.

a)   ( 10, -10, 4 )m
b)   ( 15, 10, -10 )m
c)   ( 10, -4, 10 )m
d)   ( 5, 6, 10 )m
e)   ( 15, -10, 0 )m

2. Un helicóptero parte y sube verticalmente 100 m. De aquí vuela horizontalmente
   hacia el este 200 m y finalmente vuela horizontalmente hacia el norte 200 m. El
   desplazamiento del helicóptero fue

a)   100 m
b)   200 m
c)   300 m
d)   400 m
e)   500 m

3. El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta. Durante los primeros
cinco segundos la velocidad media de la partícula fue de 50 m/s. Determine la velocidad media
de la partícula hasta el instante en que adquiere la mitad de su velocidad inicial.
                   V(m/s)
a)   20.0   m/s
b)   30.3   “ 60
c)   44.7   “
d)   47.1   “
e)   50.0   “
              vo

                        5      8   t(s)

3. El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta (el gráfico no se
   encuentra a escala). Si la velocidad media durante los 10 primeros segundos es
   cero, el valor de la rapidez media durante este intervalo es:
                                              v(m/s)
a)   6 m/s
b)   10 m/s
c)   15 m/s
                                                                           t(s)
d)   20 m/s
                                          0      3              10
e)   60 m/s
                                      -20
Florencio Pinela C.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE
                         PROBLEMAS RESUELTOS

       1. Una partícula describe una trayectoria no rectilínea, entonces:

I.         la partícula está acelerada. Correcto!!. Sólo el hecho que la partícula cambie la
           dirección del vector velocidad, esta estará acelerada.
II.        si la rapidez es constante su aceleración será cero. Falso!!!.Esto sería cierto si la
           trayectoria fuera rectilínea y la partícula no invierta la dirección de movimiento.
III.       si la rapidez es constante su velocidad media lo será también. Falso!!. La rapidez y la
           velocidad media son iguales en magnitud sólo cuando la partícula se mueve en línea
           recta.

a)     I y II son verdaderos
b)     I y III son verdaderos
c)     Solo I es verdad
d)     I, II y III son verdaderos
e)     I, II y III son falsos


       2. Para una partícula moviéndose en línea recta, ¿cuál(es) de (el) los siguientes casos no es
          posible?

a)     Desplazamiento negativo con aceleración positiva.
b)     Rapidez media menor que la velocidad media.
c)     Rapidez media mayor que la velocidad media
d)     Desplazamiento nulo con aceleración cero.
e)     Desplazamiento positivo con aceleración media cero.
                                                                            V
a) El gráfico de la derecha muestra un movimiento
Con aceleración positiva. El área bajo la curva
representa el desplazamiento, en este caso desplaza-
miento negativo. Si es posible!
                                                                                                   t
b) La velocidad media iguala en magnitud a la rapidez
media solo en el caso en que la partícula se mueva en
línea recta y en la misma dirección, por lo tanto la
rapidez media es siempre mayor o igual que la
velocidad media. No es posible!

c) Si es posible!!!.

d) No es posible!!. Si la aceleración es cero, la velocidad es constante. Si la velocidad
es constante el desplazamiento no puede ser cero.

e) Si es posible!!. Si la partícula se mueve en línea recta y su aceleración es cero,
significa que su velocidad es constante. Si la velocidad es constante su desplazamiento
puede ser positivo o negativo.

Florencio Pinela C.
3. Dos partículas se aceleran desde el reposo al mismo instante a razón de 5 m/s2 y 3 m/s2
        respectivamente. Si las partículas se encuentran al cabo de 10 segundos. La distancia
        que estaban separadas al instante de partir fue:

a)   50 m
b)   100 m
c)   125 m
d)   150 m
e)   200 m

Solución:

Si las partículas parten del reposo con diferente aceleración, y se encuentran luego de
viajar una determinada distancia. Las partículas debieron haber partido de diferente
posición , llevando ventaja en distancia (xo) la partícula con menor aceleración.

                                   Instante t = 0, en que parten

A                     B
             5 m/s2            3 m/s2                                                        x

x=0
         xo

                                   Instante t, en que se encuentran
                          (la posición final de las dos partículas es la misma)



x=0
                                xA = xB


Posición final de una partícula.
                                          x = xo + Vo t + ½ a t2

Posición final de la partícula A:
                                          x = xo + Vo t + ½ a t2
                                          xA = 0 + 0 + ½ 5 (10)2
                                               xA = 250 m

Posición final de la partícula B:
                                        xB = xo + Vo t + ½ a t2
                                        xB = xo + 0 + ½ 3(10)2
                                            xB = xo + 150

La posición final de las dos partículas es la misma; xA = xB

                                            250 = xo + 150

                                               xo = 100 m
Florencio Pinela C.
4. El gráfico representa el movimiento de dos partículas A y B que viajan con
        aceleraciones aB y aA en línea recta. La relación entre aB y aA es:

                                 v (m/s)
a) 6
b) 5                                     25
c) 4                                                          A
d) 3
e) 2                                     20                           B

                                         0                                                 t (s)
                                                                               t
                                      -5
Solución:

En este problema aplicaremos el concepto de que la pendiente de una curva en el plano
velocidad versus tiempo representa la aceleración.

La pendiente de la curva A es:
                                                25 20             5
                                      aA =
                                                  t               t

la pendiente de la curva B es:
                                              25          5       30
                                    aB =
                                                      t            t

                                            30
                                   aB/ aA = t 5                       =6
                                               t


     5. Los movimientos de dos cuerpos “A” y “B” en línea recta se encuentran representados
        en la gráfica. El tiempo t que transcurre desde el instante que parten hasta que ambos
        cuerpos se encuentran en la misma posición es:

                                              x (m)
                                                                  A
a)   6s
b)   5s                              10                                    B
c)   4s
d)   3s                              2
e)   2s
                                                                  t                t (s)
                                                1
                                     -2

Solución:
Cuidado!!. Fíjese en las coordenadas del gráfico, éste es un plano posición versus
tiempo. En este plano la pendiente representa la velocidad, por lo tanto estamos en
presencia de un movimiento rectilíneo con velocidad constante.
De acuerdo a los datos del gráfico, el cuerpo A al instante t = 0 se encuentra en la
posición inicial x = -2m, después de un segundo pasa por el origen y luego de t
segundos se encuentra en la posición x = 10m.
Con esta información podemos determinar la pendiente de la curva (VA) y el tiempo
que tarda en llegar a la posición xA =10m.

Posición del cuerpo A al instante t                    0
                                 xA = xo + VA t + ½ a t2

                                        xA = xo + VA t

la velocidad VA la obtenemos del gráfico (pendiente).
                                          VA = 2 m/s                                 1

                                        xA = xo + VA t
                                         10 = -2 + 2 t                     -2

                                              t = 6s


     6. El gráfico que se muestra representa la variación de la velocidad en el transcurso del
        tiempo para una partícula que se mueve en línea recta y que se encuentra en el origen al
        instante t =0. Para el intervalo de tiempo mostrado, la máxima distancia que la
        partícula se aleja del origen es

                                                v(m/s)
a)   250 m                                 20
b)   500 m
c)   350 m
d)   150 m                                0                                     30       40 t(s)
e)   100 m                                             5      10      20


                                        -20


Solución:

Cuidado!!. Fíjese en las coordenadas del gráfico, éste es un plano velocidad versus
tiempo. En este plano la pendiente representa la aceleración y el área bajo la curva el
desplazamiento.
De acuerdo al grafico, la partícula experimenta desplazamiento positivo durante los
primeros 20 segundos, y luego regresa (desplazamiento negativo) durante los siguientes
20 segundos.

El desplazamiento positivo es:
                                  5*20/2 + 5*20 + 10*20/2
                                          = 250 m
El desplazamiento negativo es:
                                   10*20/2 + 10*20/2
                                       = 200                            Florencio Pinela C.
La partícula se aleja 250 metros y luego regresa 200 metros. Se nos pregunta la
máxima distancia que la partícula se aleja del origen, la respuesta es lógica, esta
distancia corresponde al desplazamiento positivo.

                                          250 metros

    7. Dos vehículos parten del reposo y de la misma posición, los vehículos se
       aceleran en direcciones contrarias. ¿Cuál de los siguientes gráficos
       representaría mejor el movimiento de los dos vehículos?

    x                             x                                     x          (c)
            (a)                               (b)




                                                          t                                  t

                          t

x                                     x
            (d)
                                                              (e)


                         t                                          t




Solución:

Cuidado!!. Fíjese en las coordenadas del gráfico, éste es un plano posición versus
tiempo. En este plano la pendiente representa la velocidad.

 Si los vehículos parten del reposo, la pendiente de la curva al instante t = 0 debe ser
           igual a cero. El único gráfico que cumple esta condición es el e).
Ratifiquemos el resultado a partir de la segunda condición, “los vehículos se aceleran
  en direcciones contrarias”. Acelerarse en direcciones contrarias significa que los
vehículos incrementarán su velocidad positivamente el uno y negativamente el otro. El
                   gráfico e) es el único que cumple esta condición.

                                                                            Florencio Pinela C.
9. Dos vehículos parten del reposo y de la misma posición moviéndose en línea recta, el uno se
acelera a razón de 2 m/s2 y el otro a 4 m/s2. Si los vehículos se encuentran después de haber
viajado 1000 m. ¿Después de cuánto tiempo que salió el primero partió el segundo?.

a)   3.15 s
b)   9.26 s
c)   6.26 s
d)   11.30 s
e)   10.62 s

Solución:

En este problema podemos calcular el tiempo que emplearía en recorrer los 1000
metros cada uno de los vehículos. Por supuesto que será mayor el del vehículo que
viaja acelerado a 2 m/s2, la diferencia entre estos dos tiempos es el intervalo de tiempo
que debería tomar “ventaja” éste vehículo.

Tiempo que le toma al vehículo que viaja a 2 m/s2 en recorrer los 1000 metros.
                                                 0
                                        x = Vo t + ½ a t2

                                                 2 x
                                          t1 =
                                                  a

                                          t1 = 31,62 s

Tiempo que le toma al vehículo que viaja a 4 m/s2 en recorrer los 1000 metros.

                                        x = Vo t + ½ a t2

                                                 2 x
                                          t2 =
                                                  a

                                          t2 = 22,36 s

¿Después de cuánto tiempo que salió el primero parte el segundo?.

                      Es la diferencia entre estos dos tiempos: 9,26 s


10. Un bloque resbala sobre un plano como se indica en la figura. El bloque al deslizarse:



a) su velocidad y aceleración aumentan
b)   su velocidad aumenta y su aceleración es constante
c)   su velocidad aumenta y su aceleración disminuye
d)   su velocidad y aceleración disminuyen
e)   su velocidad disminuye y su aceleración es constante

Florencio Pinela C.
11. La ecuación del movimiento de una partícula en línea recta viene dada por la siguiente
expresión x = 4t2 + 2t + 8, donde x está en metros y t en segundos, el desplazamiento, la
velocidad y la aceleración de la partícula al cabo de 2 segundos son

     Desplazamiento (m)        Velocidad (m/s)              Aceleración (m/s2)

a)        32                           16                           8
b)        32                           2                            4
c)        28                           18                           8
d)        20                           16                           8
e)        20                           18                           8

Solución:

De acuerdo a la expresión de la posición, podemos determinar por comparación los
valores de: la posición inicial ( xo), la velocidad inicial (Vo) y la aceleración( a)

                                       x = 4t2 + 2t + 8
                                   x = xo + Vo t + ½ a t2

                                          xo = 8 m
                                         Vo = 2 m/s
                                         a = 8 m/s2

Con esta información determinemos el desplazamiento a los 2s.

                                       x = Vo t + ½ a t2
                                     x = 2(2) + ½ (8)(2)2

                                            x = 20 m.

Calculemos ahora la velocidad a los 2s.

                                        V = Vo + a t
                                        V = 2 + 8(2)

                                        V = 18 m/s

La aceleración a los 2s.

     El movimiento es con aceleración constante, por lo tanto la aceleración es la misma
                        para cualquier instante de tiempo, a = 8 m/s2




                                                                         Florencio Pinela C.
12. Un móvil recorre 300 m en 20 segundos con aceleración constante. Si la velocidad al
terminar su recorrido es de 20 m/s, la velocidad con la que empezó su movimiento es:

a) 0                                                     V
b) 5 m/s
c) 10 m/s                                           V
d) 12 m/s
e) 15 m/s

solución:                                           Vo



                                                                      t                        t
Una de las ecuaciones útiles para resolver problemas de cinemática es:

                                              VoV
                                        x=        t
                                             2
 La que representa el área bajo la curva (trapecio) del plano velocidad versus tiempo,
   esta ecuación involucra cuatro de los cinco términos utilizados en cinemática, no
 contempla la aceleración. De acuerdo a la información dada en este problema, es la
                                    ecuación ideal.

                                                2 x
                                        Vo =        V
                                                 t

                                              2 * 300
                                      Vo =            20
                                                20

                                            Vo = 10 m/s


13. El gráfico representa el movimiento de dos partículas en línea recta. En el instante
correspondiente al punto A (intersección de las rectas), de los siguientes enunciados:

I. Las partículas tienen la misma velocidad. Falso!!. Este es un gráfico posición versus tiempo.
II. Las partículas se encuentran. Correcto!!. En ese instante las partículas tienen la misma
posición
III. Las partículas experimentaron el mismo desplazamiento. Falso!!. Las partículas se mueven
en direcciones contrarias.
                                                x (m)
a) Solo I es correcto
b) Solo II es correcto
c) I y II son correctos
d) I y III son correctos                                     A
e) Todos son correctos


                                                                                           t (s)
                                        0
Florencio Pinela C.
14. El gráfico representa el movimiento de dos partículas en línea recta. El instante en que las
partículas tienen la misma velocidad es:


                            v (m/s)
a) 8,5 s
b) 8,0 s              20
c) 7,5 s
d) 7,0 s
e) 6,5 s
                                                                                t (s)
                       0                 5                     10

                      -10


Solución:

Cuidado!!. Fíjese en las coordenadas del gráfico, éste es un plano velocidad versus
tiempo. En este plano la pendiente representa la aceleración.

Llamemos (1) a la partícula con aceleración positiva y (2) a la partícula con
aceleración negativa. Sea t el instante en que las partículas tienen la misma velocidad.

                                V                                   (1)

V1 = Vo1 + a1 t
V2 = Vo2 + a2 t

V1 = -10 + a1 t                                                                   t
V2 = 20 + a2 t                                             t

                                                                                (2)


Los valores de la aceleración la determinamos del gráfico a partir de la pendiente.

                                               10
                                        a1 =      = 2 m/s2
                                                5

                                                20
                                       a2 =               2 m/s2
                                               10

                                               V1 = V2

                                      -10 + a1 t = 20 + a2 t
                                      -10 + 2 t = 20 +(-2) t
                                               4 t = 30

                                               t = 7,5 s

Florencio Pinela C.
15. Dos vehículos se mueven en línea recta con velocidad constante y en la misma dirección,
con velocidades de 20 m/s y 30 m/s. Si al instante t=0 los vehículos están separados 200 m y si
uno de ellos le da alcance al otro. ¿En cuánto tiempo lo logra?

a) 20.0 s
b) 16.6 s
c) 10.6 s
d) 6.6 s
e) 4.0 s

Solución:

Si los vehículos se mueven con velocidad constante y diferentes, y además se
encuentran separados una cierta distancia. Para que uno de ellos (1) le de alcance al
otro (2), el que viaja a mayor velocidad (1) debe encontrarse atrás.

                             Posición inicial t = 0, de los vehículos


                                   (2)
(1)                       30 m/s                     20 m/s
            x =0
                          200 m


                   Posición de los vehículos al instante t en que le da alcance


                                                                                        30 m/s
                                                                        20 m/s
            x =0
                                          x1 = x2



La posición del vehículo (1) al instante t es:            0
                                  x1 = xo + Vo t + ½ a t2
                                      x1 = xo + Vo t
                                       x1 = 0 + 30 t

La posición del vehículo (2) al instante t es:             0
                                                         2
                                  x2 = xo + Vo t + ½ a t
                                       x2 = xo + Vo t
                                      x2 = 200 + 20 t

El instante en que los vehículos se encuentran es:

                                               x1 = x2
                                         30 t = 200 + 20 t
                                            10 t = 200
Florencio Pinela C.                           t = 20 s
MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE
                        PROBLEMAS PROPUESTOS


     1. Si la velocidad media de una partícula que se mueve en línea recta es cero,
        entonces, ¿cuál de las siguientes alternativas es verdadera?

a)   La velocidad de la partícula, en algún instante, será cero.
b)   La aceleración de la partícula es positiva en un tramo y negativa en el otro tramo.
c)   El desplazamiento de la partícula es igual a la distancia total recorrida.
d)   La velocidad de la partícula es constante.
e)   La velocidad media de la partícula será cero, solamente si ésta no se mueve.


2. Dos vehículos A y B se mueven con velocidad constante y en la misma dirección;
VA= 15 m/s y VB= 20 m/s. Si los vehículos se encuentran separados 100 m.¿ Qué
aceleración deberá imprimir el vehículo A para que le de alcance al vehículo B al cabo
de 10 segundos?

a)   1,0   m/s2
b)   2,0   m/s2
c)   3,0   m/s2
d)   4,0   m/s2
e)   5,0   m/s2


3. Dos partículas A y B se encuentran en las posiciones indicadas en la figura a t =0. Si
las partículas se mueven con velocidades de 20 m/s y 10 m/s respectivamente. ¿Cuál
es la distancia total recorrida por las partículas al instante de encontrarse?


       A                                                              B

        -200                                  0                        100            x(m)
a) 400 m.
b) 500 m.
c) 700 m.
d) 900 m.
e) 1200 m.


4. Para el problema 3, si en la posición indicada la partícula A se acelera a razón de
2m/s2, mientras B continúa con velocidad constante.¿ Qué distancia se habrá desplazado
A en el instante que le da alcance a B.

a) 260 m.
b) 290 m.
c) 340 m.
d) 392 m.
e) 430 m.
5. Un auto se mueve con velocidad constante de 20 m/s acercándose a una intersección donde
existe un semáforo. En el instante en que el vehículo se encuentra a 80m de la intersección, el
semáforo cambia a rojo. El conductor reacciona y aplica los frenos dos segundos después de ver
la luz roja, deteniéndose 4 segundos después. El auto se detendrá

a)   20 m antes del semáforo
b)   20 m después del semáforo
c)   40 m antes del semáforo
d)   40 m después del semáforo
e)   exactamente bajo el semáforo

6. Dos partículas parten al mismo instante desde el origen de un sistema de coordenadas. La una
parte en dirección vertical con rapidez constante de 4 m/s. La otra parte desde el reposo y se
mueve en dirección perpendicular a la anterior con una aceleración de 8 m/s2 durante los
primeros 4s, para luego continuar moviéndose con velocidad constante. Desde el instante en que
partieron, al cabo de cuánto tiempo las partículas estarán separadas 0.15 km.

a)   2.2   s.
b)   3.3   s.
c)   4.4   s.
d)   5.5   s.
e)   6.6   s.



     7. La gráfica x-t representa el movimiento de dos partículas en línea recta. A los cinco
        segundos las partículas están separadas 5 metros. ¿ Cuál es la velocidad de la partícula
        2, si la velocidad de la partícula 1 es 1 m/s.? .

                                  x (m)
a)   1 m/s
b)   2 m/s
c)   3 m/s                                1
d)   4 m/s                  20
e)   5 m/s                                    2
                              5                                         t (s)

                             0                                5




8. El gráfico de la figura representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si a
los nueve segundos la partícula se encuentra en la posición x = 20m. la posición de la
partícula a t=0 es                           v(m/s)

a) -45     m                                  20
b) -25     m
c) -20     m
d) -10     m                                                            6           9     t(s)
e) 0                                              o
9. Un automóvil viaja con una rapidez inicial v se para en un intervalo de tiempo t. Si la
desaceleración durante este intervalo t es constante ¿Cuál de las siguientes afirmaciones
es correcta para dicho intervalo?

a) La distancia recorrida es vt/2
b) La rapidez media es vt
c) La aceleración es -v/2t
d) La distancia recorrida es vt2/2
e) La velocidad media es vt/2


10. Un cuerpo con aceleración constante tiene una velocidad de 8 m/s al instante t = 5s
y una velocidad de 26 m/s para el instante t = 8s, la aceleración y la velocidad media de
la partícula para el intervalo de tiempo indicado fueron

     Aceleración media    Velocidad media

a)    6 m/s2              17 m/s
b)    6 "                 11,3 "
c)    9 "                 17   "
d)    9 "                 11,3 "
e)    12 "                17   "


      11. Una partícula parte del origen de coordenadas y se desplaza hacia un punto P con
          velocidad media 20 i m/s en 10 segundos, a continuación experimenta un
          desplazamiento de (25 i + 30 j) m durante un tiempo de 5 segundos hasta un punto Q.
          La velocidad media de la partícula durante los 15 segundos fue

a) 200 i                 m/s
b) 250 i + 300 j          "
c) 45 i + 30 j            "
d) 5 i + 30 j             "
e) 15 i + 2 j             "




12. En relación a la definición de aceleración ¿ cuál de las siguientes alternativas es
FALSA?

a) Si un cuerpo moviéndose en línea recta con velocidad constante, cambia la dirección de su
movimiento, el cuerpo experimentará aceleración.
b) Un cuerpo con velocidad negativa puede tener aceleración positiva.
c) El vector aceleración siempre se encuentra en la dirección de movimiento de un cuerpo.
d) Un cuerpo con aceleración positiva puede tener desplazamiento nulo.
e) Un cuerpo con aceleración negativa puede tener desplazamiento nulo.
13. Una partícula describe una trayectoria circular de 50 cm de radio, moviéndose con
rapidez constante de 200 m/s . El módulo de la aceleración media entre los puntos a y b
es

a) 509 m/s2
b) 1018 “
c) 2036 “
d) 25464 “                          a                                 b
e) 50929 “




     14. Un automovilista viaja a 20 m/s cuando observa que un semáforo situado a 150
         m delante de él cambia a rojo. El semáforo está en rojo durante 10 segundos. Si
         desea cruzar el semáforo en el instante en que cambia a verde sin detenerse,
         calcular la desaceleración uniforme que requiere el automóvil y la velocidad del
         automóvil cuando pase el semáforo.

 a) -1 m/s2,     5 m/s
 b) -1 m/s2,     10 m/s
 c) -1 m/s2,     10 m/s
 d) -2 m/s2,     0
 e) -2 m/s2,     10 m/s
a)
                                                                 150 m


     15. Una partícula parte del reposo con una aceleración de 2 m/s2. La distancia
         recorrida por la partícula en el intervalo de tiempo comprendido entre t = 2s y t
         = 3s es.

a)   3 m
b)   4 m
c)   5 m
d)   9 m
e)   13 m

     16. La función de posición de una partícula es: x(t) = 16 t2 - 4 t. La velocidad media
         de la partícula para el intervalo comprendido entre t = 1s y t = 2s, es

a)   12   m/s
b)   34   m/s
c)   44   m/s
d)   56   m/s
e)   68   m/s
17. La ecuación de un determinado movimiento viene dado por la siguiente
         expresión x= 4t2 + 2t + 8 (S.I.), calcúlese la distancia al origen, la velocidad y la
         aceleración al cabo de 2 segundos.

     Distancia (m)      Velocidad (m/s)          Aceleración (m/s2)
a)      32                     16                       8
b)      32                     2                        4
c)      8                      18                       8
d)      8                      2                        8
e)      32                     18                       8


     18. Dos partículas se encuentran en reposo y en la misma posición. Si a t=0 se aceleran en
         direcciones contrarias encontrándose separadas 150 m al cabo de 5 s. Determine la
         magnitud de su aceleración sabiendo que uno de ellos se acelera el doble que la otra.


a) 2 m/s2               4 m/s2
b) 3 m/s2               6 m/s2
c) 4 m/s2               8 m/s2
d) 5 m/s2               10 m/s2
e) 6 m/s2               12 m/s2


19. Dos vehículos viajan en la misma dirección en una carretera plana y horizontal, en
un instante, al que llamaremos t = 0 uno de los vehículos que se mueve con velocidad
constante de 100 Km/h se encuentra a 1 Km de la meta. El otro vehículo viene detrás a
una distancia de 500 m y con velocidad constante de 90 Km./h. ¿ Qué aceleración
debería imprimir este vehículo para que de alcance al primero al momento de llegar a la
meta’.

a)   0.93   m/s2
b)   1.2    “
c)   1.8    “
d)   2.2    “
e)    3.5   “

20. Un carro parte del punto A desde el reposo con una aceleración de 2 m/s2. En ese mismo
instante un segundo carro pasa por el punto B con velocidad constante de 10 m/s. Si después de
20 segundos la distancia de separación entre los carros es de 100 m, la distancia entre los
puntos (A,B) en que ellos parten es:

a) 100 m
b) 200 m
c) 300 m
d) 400 m
e) 500 m



                         A                                      B
21. Un automóvil parte del reposo y se acelera uniformemente a 10 m/s2 para pasar
         dos semáforos consecutivos que se encuentran separados 200 m. Si el vehículo
         tarda 4s en pasar los dos semáforos, determine la distancia a la que se
         encuentra el primer semáforo del punto de partida.

a)   80   m
b)   45   m
c)   35   m
d)   20   m
e)   18   m


     22. La posición de una partícula en el tiempo está dada por: x =10 + 8t – t2, en donde t esta
         en segundos y x en metros. ¿Qué distancia recorre la partícula durante los primeros 6
         segundos de su movimiento?

a)   12 m
b)   20 m
c)   22 m
d)   26 m
e)   30 m


     23. Para el problema anterior, la velocidad media en el mismo intervalo de tiempo fue:

a)   2.0 m/s
b)   3.3 m/s
c)   3.7 m/s
d)   4.0 m/s
e)   –3.7 m/s

     24. Una partícula parte del reposo y realiza un movimiento rectilíneo uniformemente
         acelerado. Durante los primeros 15 segundos tiene una velocidad media de 20 m/s. La
         velocidad de la partícula a los 10 segundos fue

a)   15.4 m/s
b)   20.0 m/s
c)   26.7 m/s
d)   32.6 m/s
e)   40.0 m/s

     25. Dos vehículos A y B viajan en direcciones contrarias con velocidades de 80 Km/h y
         120 Km/h respectivamente. Si al instante t=0 cuando los vehículos se encuentran
         separados una distancia de 1 Km, el vehículo B frena deteniéndose al cabo de 15
         segundos. ¿Cuál es la distancia que separa los vehículos en el instante en que B se
         detiene? El vehículo A mantiene su velocidad

a)   500 m
b)   450 m
c)   417 m
d)   407 m
e)   397 m
MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE-
                        CAÍDA LIBRE
                   PROBLEMAS RESUELTOS

      1. Una piedra se suelta desde la terraza de un edificio de 80 m de altura. Dos
         segundos después se lanza una segunda piedra desde la misma posición ¿Con
         qué velocidad inicial se debería lanzar la segunda piedra, para que dé alcance a
         la primera justo en el instante en que ésta llega al suelo?

a)    38,2   m/s
b)    35,8   m/s
c)    33,6   m/s
d)    32,1   m/s
e)    29,2   m/s

Solución:

Si llamamos t1 al tiempo que tarda el objeto que se suelta en llegar al suelo, el objeto
que se lanza deberá tardar dos segundos menos en llegar al suelo para darle alcance y
por supuesto, debe ser lanzado con una determinada velocidad.

Determinemos el tiempo que tarda el objeto que se suelta en llegar al suelo.

Escojamos nuestro sistema de referencia
de tal forma que todas las cantidades                           Voy =0
vectoriales que apuntan hacia abajo
sean positivas.

 y = Voy t + ½ g t2
Si el objeto se suelta, Voy = 0

    y = ½ g t2                              80 m                      g          y = +80 m
                                                               +
        2 y                                                         +
t
         g

        2 * 80
t
         9,8

t = 4,04 s




Por lo tanto, el objeto que se lanza deberá recorrer los 80 metros en 2,04 segundos.
Determinemos la velocidad inicial con la que deberíamos lanzarlo.

                                                                          Florencio Pinela C.
y = Voy t + ½ g t2

         80 = Voy (2,04) + ½ (9,8)(2,04)2
                                                                                 Voy
         (2,04) Voy = 59,6
                                                                                                y
         Voy = 29,2 m/s




              2. Un cohete se acelera desde el reposo a razón de 5 m/s2. Al cabo de 10 segundos
                 se le termina el combustible. La altura máxima a la que llegará el cohete es

         a)   250,0   m
         b)   377,5   m
         c)   397,0   m
         d)   405,5   m
         e)   425,5   m

         Solución:
         Desde que el cohete parte hasta que alcanza su altura máxima, el cohete experimenta
         dos movimientos diferentes. El primero en el que lleva una aceleración hacia arriba de
         5 m/s2 durante 10 segundos (instante en que se le termina el combustible), y el segundo
         en el que lleva una aceleración hacia abajo de 9,8 m/s2 hasta que llega a su altura
         máxima. Es importante anotar que en el instante en que se termina el combustible, el
         cohete sigue ascendiendo, ya que en ese instante tenía una determinada velocidad (V)
         (velocidad a los 10 segundos), luego por acción de la gravedad, esta velocidad
         disminuye continuamente hasta hacerse cero, cuando llega a la altura máxima.

   V                                        Determinemos el desplazamiento y1 y la velocidad
                                            del cohete a los 10 segundos.
                          +                                      y1 = Vo t + ½ a t2

                                                                  y1 = ½ a t2
                                                                y1 = ½(5)(10)2
                                                                   y1 =250 m

       a =5 m/s2          y1
                                                                 V = Vo + a t
                                                                V = 0 + 5(10)
                                                                 V = 50 m/s

Vo=0                                                                     Florencio     Pinela   C.
Determinemos ahora el desplazamiento
 del cohete desde el instante en que se                          Vfinal=0                +
 acaba el combustible (inicial) hasta el
 instante en que alcanza la altura
 máxima (final) y2 .
   Calculemos primero el tiempo que tarda
        en llegar a la altura máxima

                Vfinal = Vinicial +g t                           g=   - 9,8 m/s   2


                 0 = 50 + (-9,8) t                                                            y2
                       t = 5,1 s
                                                           Vinicial =50m/s
                y2 = Vinicial t + ½ g t2
            y2 = 50(5,1) + ½(-9,8)(5,1)2
                    y2 = 127,6 m

     La altura máxima a la que llegará el
                 cohete es

                y1 + y2 = 377,6 m



     3. El gráfico representa el movimiento de un objeto lanzado verticalmente y hacia arriba
        desde la terraza de un edificio de altura h. El valor de h es:

a)   76.8 m                                   v (m/s)
b)   56.4 m
c)   50.6 m                              20
d)   40.8 m
e)   20.4 m                                                           6
                                                                                      t (s)
                                          0




Solución:

Suponemos que el objeto es lanzado desde la terraza y tarda 6 segundos en llegar al
piso del edificio.
Recuerde que el área bajo una curva en el plano velocidad versus tiempo representa el
desplazamiento. El área positiva (superior) representa el desplazamiento del objeto
desde la terraza del edificio hasta alcanzar la altura máxima. El área negativa
(inferior) representa el desplazamiento del objeto desde la altura máxima hasta llegar
al piso. Lo que significa que la diferencia entre estos desplazamientos (áreas) sería la
altura del edificio.
Recuerde además que la pendiente de esta curva representa la aceleración (-9,8 m/s2).
Conociendo este valor podemos determinar, usando el gráfico, el tiempo que tarda el
objeto en llegar a la altura máxima(t) y la velocidad con que impacta el piso (-V).
V
                               Desplazamiento positivo ( y1)
                   20


                                                          Desplazamiento negativo ( y2)

                                                                                 t
                                      t                      6



                   -V


Determinación del valor de t.

                    La pendiente de la recta es el valor de la gravedad

                                            20
                                                  9,8
                                             t
                                           t = 2,04 s

Determinación de V, la velocidad de impacto con el piso.

                    La pendiente de la recta es el valor de la gravedad

                                         V
                                               9,8
                                        6 t
                                      V = 9,8(6-2,04)

                                          V = 38,8 m/s

Con estos valores podemos calcular las áreas de los triángulos (desplazamientos)

                                                                  Determinación de y1
                                                                          y1 = t(20/2)
              y1
                                                                        y1 = 2,04(20/2)

                                                                          y1 = 20,4 m
                                 y2
                                                                  Determinación de y2
                                                                       y2 = (6-t)(38,8/2)

                                                                       y2 = 3,96(38,8/2)

                                                                          y2 = 76,8 m

                                                         La altura del edificio es: 56,4 m
4. El gráfico representa el movimiento de un cohete lanzado verticalmente con aceleración
        a. Después de 10 segundos de haber partido se apagan los motores. La aceleración del
        cohete mientras los motores estuvieron prendidos es:

a)   7.2 m/s2                          v (m/s)
b)   6.2 m/s2
c)   4.9 m/s2
d)   2.5 m/s2
e)   El gráfico no es correcto


                                                                                      t (s)
                                 0                                      15
Solución:

Recuerde que en un gráfico velocidad versus tiempo, la pendiente representa la
aceleración y el área bajo la curva el desplazamiento.

La pendiente del primer tramo (entre 0 y 10 segundos) es positiva y representa la
aceleración del cohete mientras los motores están prendidos. La pendiente del segundo
tramo (entre 10 y 15 segundos) es negativa y representa la aceleración de la gravedad
desde el instante en que se apagan los motores.

A partir del gráfico podemos determinar la aceleración del cohete mientras los motores
están prendidos, si llegáramos a determinar la velocidad en el instante en que se
apagan los motores.

La velocidad en el instante en que se apagan los motores la podemos determinar,
conociendo que la pendiente de la recta entre los 10 y 15 segundos es la aceleración de
la gravedad.

                                       v (m/s)
                                 V




                                                                                      t (s)
                                 0                   10                 15

La pendiente de la recta entre los 10 y 15 segundos es la aceleración de la gravedad:

                                         V
                                             9,8 m/s2
                                         5
                                         V = 49 m/s

Con este valor de velocidad vamos a determinar la pendiente de la recta entre t=0 y 10
segundos, pendiente que representa la aceleración del cohete.

                                     a = V/10 = 4,9 m/s2
Florencio Pinela C.
5. Un objeto se lanza desde la terraza de un edificio de 50 m de altura con una
        velocidad de 40 m/s y hacia arriba. Determine el tiempo que tardará el objeto en
        pasar por un punto ubicado a 20 m por debajo del punto de partida.

a)   8.6 s.                                    +
b)   8.9 s.
c)   9.6 s.
d)   10.2 s.                                                                  -g
e)   10.8 s.                                       +Vo


Solución:
                                                                  y = -20 m

                                                                     desplazamiento




Si el objeto es lanzado desde la terraza (posición inicial), y pasa por un punto ubicado
20 metros más abajo después de un tiempo t, significa que el objeto ha experimentado
un desplazamiento de 20 m ( ó – 20 m), dependiendo del sistema de referencia. Si
tomamos nuestro sistema de referencia considerando como positiva todas las
cantidades vectoriales que apuntan hacia arriba, tenemos:

El tiempo que tarda el objeto en adquirir un desplazamiento de –20 m

                                     y = Vo t + ½ a t2

                                      -20 = 40 t + ½ (- 9,8) t2
                                         -20 = 40 t – 4,9 t2

Tenemos que resolver la siguiente ecuación de segundo grado.

                                          4,9 t2 – 40t – 20 = 0

                                 ( 40)      40 2 4(4,9)( 20)
                            t=
                                            2(4,9)

                                          40    44 ,63
                                     t=
                                               9,8

                                          t = 8,6 s
Florencio Pinela C.
6. Un astronauta en cierto planeta lanza una esfera verticalmente hacia arriba con una
        velocidad de 72 km./h y encuentra que regresa a su punto de partida en 7 segundos. El
        valor de la aceleración de la gravedad en este planeta es

a) 1,2 m/s2
b) 2,8 m/s2
c) 5,7 m/s2
d) 9,5 m/s2
e) No se puede determinar

Solución:                                                              Posición final
                                                       Vo(-)
                                   Posición inicial




Si la esfera es lanzada hacia arriba y vuelve al mismo punto, significa que ha
experimentado un desplazamiento nulo durante los 7 segundos que la esfera permanece
en movimiento. Consideremos nuestro sistema de referencia hacia abajo positivo

72 km/h = 20 m/s
                                       y = Vo t + ½ a t2

                                    0 = -20(7) + ½ a(7)2

                                        a = 5,71 m/s2

     7. Un cuerpo se lanza verticalmente y hacia arriba, pasa dos veces por un mismo punto
        ubicado a 8.6 m desde el suelo en un intervalo de tiempo de 3 segundos. La velocidad
        inicial del cuerpo es:

a) 30 m/s             b) 25 m/s     c) 20 m/s         d) 14 m/s        e) 10 m/s

Solución:

Si un objeto se lanza verticalmente hacia arriba
pasa por un punto y al volver pasa nuevamente
por el mismo punto, la magnitud de la velocidad
del objeto en ese punto es la misma cuando sube
y cuando baja, además el desplazamiento es nulo.                                                -
                                                                  V
Si el objeto tarda 3 segundos en pasar por el
mismo punto.
                                                                          -V
Vfinal = Vinicial + g t
                                                                                        y=8,6 m
                                                               Vo
- V = V + (-9,8)3
2 V = 29,4

V = 14,7 m/s
Con este valor de velocidad podemos determinar la velocidad con la que fue lanzado el
objeto.
                                  V2 = Vo2 + 2g y
                                       Vo2 = V2 - 2g y
                                 Vo2 = (14,7)2 – 2(-9,8)8,6
                                        Vo2 = 197,96

                                        Vo = 14 m/s


     8. Desde un globo que está ascendiendo a una velocidad de 50 m/s se suelta un
        cuerpo para que caiga libremente. Si tarda 20 segundos en llegar al suelo, la
        altura a la que estaba el globo en el instante de soltar el cuerpo es:

a)   960 m
b)   1260 m
c)   1660 m
d)   1960 m
e)   2960 m                          Vglobo=50 m/s

Solución:
                                                          Vinicial
                                                                               g


                                                                           +
                                 y




Desde el instante y posición en que el objeto se suelta, hasta el instante y posición en
que toca el suelo (20 segundos), la magnitud de este desplazamiento ( y) representa la
altura a la que se encontraba el globo en el momento de soltarse el objeto.

Cuidado!!!. Aunque el cuerpo se suelta, recuerde que éste se encuentra en movimiento
junto con el globo, es decir, que en el momento de soltarlo, el objeto se movía hacia
arriba con una velocidad de 50 m/s (con respecto al suelo)      Vglobo = Vinicial del objeto

Consideremos nuestro sistema de referencia de tal forma que todas las cantidades
vectoriales que apunten hacia abajo sean positivas.

                                      y = Vo t + ½ g t2

Florencio Pinela C.
y = -50(20) + ½ (9,8)(20)2

                                           y = 960 m

     9. Desde la terraza de un edificio de 50 m de altura se lanza verticalmente y hacia arriba
        un objeto con una velocidad de 20 m/s. Al mismo instante y desde la calle se lanza otro
        objeto en forma vertical con una velocidad de 30 m/s . Los objetos se encontraran al
        cabo de

a)   2   s
b)   3   s                          Vo1= 20 m/s
c)   4   s
d)   5   s
e)   6   s

solución:

                                                                             y = y 1 = y2

                           50 m
                                                         Vo2=30m/s




Si los objetos se encuentran, significa que en ese instante tendrán la misma posición,
independiente del sistema de referencia. Tomemos el piso como nuestro sistema de
referencia, y consideremos que todas las cantidades vectoriales que apuntan hacia
arriba son positivas.

Llamemos “ y” a la posición en que los objetos se encuentran, la que será la misma
tanto para el objeto (1) como para el objeto (2), esto es y1 = y2.

                                    y = yo + Vo t + ½ g t2

                                   y1 = yo1 + Vo1 t + ½ g t2
                                   y2 = yo2 + Vo2 t + ½ g t2

yo1 = Posición inicial del objeto (1)
yo2 = Posición inicial del objeto (2)

                                  y1 = 50 + 20 t + ½ (-9,8) t2
                                   y2 = 0 + 30 t + ½ (-9,8) t2

                       Para el instante en que se encuentran; y1 = y2

                               50 + 20 t – 4,9 t2 = 30 t – 4,9 t2

                                           10 t = 50
                                            t=5s
MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE-
                     CAIDA LIBRE
               PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Un cohete impulsado por turbinas se acelera constantemente desde el reposo y en
dirección vertical a razón de 10 m/s2. A los 10 segundos después de su partida, las
turbinas se apagan repentinamente.

Determine la altura máxima a la que llega el cohete

a)   490 m
b)   510 m
c)   620 m
d)   1010 m
e)   1110 m

2. Determine el tiempo que tarda el cohete en volver al suelo

a)   20 s
b)   24,5   s
c)   34,5   s
d)   40,4   s
e)   44,5   s

3. Desde lo alto de un edificio de 75 m de altura se lanza verticalmente hacia arriba una esfera
con una velocidad inicial de 10 m/s. La velocidad inicial con que debe lanzarse verticalmente
hacia abajo otra esfera desde un edificio de 150 m de altura para que lleguen juntos al suelo si se
lanzan al mismo tiempo es:

a) 35 m/s       b) 25 m/s         c) 15 m/s      d) 5 m/s        e) no puede determinarse



     4. Un cuerpo se suelta desde una altura H, se observa que los últimos 10 m los recorre en 1
        segundo. Entonces la altura H es:

a) 25.8 m             b) 19.6 m           c) 17.2 m               d) 14.5 m             e) 11.3 m


     5. Dos cuerpos de masas m y M, (M > m) se dejan caer desde el reposo y desde
        diferentes alturas en caída libre. ¿Cuál de las siguientes alternativas es correcta?

a) El cuerpo de masa M experimentará un mayor incremento en su velocidad para
   iguales intervalos de tiempo.
b) El cuerpo de masa m experimentará un mayor incremento en su velocidad para
   iguales intervalos de tiempo.
c) El bloque de masa M experimentará mayor fuerza gravitacional y por tanto mayor
   aceleración.
d) El incremento de velocidad para iguales intervalos de tiempo es el mismo para los
   dos cuerpos.
e) Los dos cuerpos terminarán adquiriendo la misma velocidad.
6. Desde el mismo punto y a una altura h sobre el suelo se lanzan verticalmente dos cuerpos
simultáneamente con velocidades +Vo y –Vo. Entonces, ¿cuál de las siguientes alternativas es
falsa?

a)   Ambos cuerpos llegan al suelo con la misma velocidad.
b)   El cuerpo que se lanza hacia abajo llega antes que aquel que se lanza hacia arriba.
c)   Los cuerpos llegan al suelo a intervalo de (2 Vo/g) segundos.
d)   El desplazamiento de ambos cuerpos es el mismo.
e)   El cuerpo que es lanzado hacia abajo llega con mayor rapidez que el otro.

     10. Dos objetos idénticos A y B caen desde el reposo desde alturas diferentes hasta llegar a
         tierra. Si B tarda dos veces más que A para llegar a tierra, ¿cuál es la relación de las
         alturas desde las que cayeron A y B? Despréciese la resistencia del aire.

a)   1: 2
b)   1:2
c)   1:4
d)   1:8
e)   1 : 16


8. Un fuego artificial explosivo se dispara desde el suelo verticalmente hacia arriba y estalla a su
máxima altura directamente por encima de la cabeza de la persona que oye la explosión 1,5
segundos después de verla. La velocidad del sonido es 340 m/s. La velocidad de lanzamiento
del explosivo era

a)   66 m/s
b)   70 m/s
c)   80 m/s
d)   90 m/s
e)   100 m/s




9.Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el nivel de la calle con una
rapidez de 20 m/s y es atrapada por una persona desde una ventana que se encuentra a
12 m de altura. Si la pelota es atrapada cuando va de bajada, el tiempo que la pelota
estuvo en el aire fue

a)   0,73 s
b)   0,95 s
c)   2,24 s
d)   3,35 s
e)   3,90 s
10. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. Determine el
desplazamiento del objeto durante el último segundo de su recorrido ascendente antes de llegar
a su altura máxima.

a) 2,2 m
b) 2,8 m
c) 3,6 m
d) 4,9 m
e) 9,8 m

11. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde la terraza de un edificio de altura h con
una velocidad de 20 m/s. Si el objeto tarda 5 segundos en llegar a la planta baja del edificio, el
valor de h es:

a) 122,5 m
b) 100,0 m
c) 77,5 m
d) 55,0 m
e) 22,5 m


12. Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba. ¿Con qué velocidad debería ser lanzado
para que regrese a su punto de partida al cabo de 6 s?.

a)   20 m/s
b)   25 m/s
c)   30 m/s
d)   35 m/s
e)   40 m/s




13. Se lanza verticalmente una pelota alcanzando una altura máxima de 80 m, Dos segundos
después de haber sido lanzada la primera una segunda pelota es lanzada en la misma dirección,
de la misma posición y con la misma velocidad inicial. La distancia a la que se cruzan las
pelotas desde el punto de partida es

a)   80   m.
b)   75   m.
c)   60   m.
d)   45   m.
e)   25   m.


14. Un muchacho se encuentra en una ventana a 10 m del suelo y deja caer un objeto. Otro
muchacho ubicado en el suelo lanza al mismo instante otro objeto con una velocidad de 10 m/s.
La altura sobre el piso a la que se cruzan los objetos es:

a) 3,1 m
b) 3,5 m
c) 1.87 m
d) 6,1 m
e) 5,1 m
15. El gráfico representa el movimiento de un objeto lanzado verticalmente y hacia
arriba desde la terraza de un edificio. La altura del edificio es:

a)   20 m               v (m/s)
b)   40 m                  20
c)   60 m
d)   80 m                                                      t (s)
e)   160 m                  0



                           -60


16. Un objeto se suelta desde lo alto de un edificio de 60 m de altura, al mismo instante
se lanza desde el suelo verticalmente y hacia arriba un segundo objeto. Se desea que los
objetos se encuentren a la mitad del edificio, la velocidad del segundo objeto es

a)   24.5 m/s
b)   b) 22.3 m/s
c)   c) 20.2 m/s
d)   d) 18.5 m/s
e)    e) 16.4 m/s
MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE-
                  MOVIMIENTO PARABÓLICO
                   PROBLEMAS RESUELTOS

     1. Desde una camioneta que se mueve con velocidad constante de 20 m/s sobre una
        superficie horizontal, se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto con una
        velocidad de 10 m/s. El desplazamiento horizontal que experimentará el objeto
        hasta llegar al suelo es (desprecie el rozamiento del aire)

a)   10,2   m
b)   20,4   m
c)   30,6   m
d)   40,8   m
e)   51,0   m

Solución:




                 10 m/s                                  -


                                      20 m/s


Si el objeto se lanza verticalmente hacia arriba, el desplazamiento horizontal del objeto
será el mismo que experimentará la camioneta moviéndose con velocidad constante. Ya
que al ir el objeto junto a la camioneta, la componente horizontal de la velocidad
inicial del objeto es igual a la velocidad de la camioneta.

Determinemos el tiempo que tarda el objeto en regresar al suelo.

El tiempo que tarda en volver al suelo, es el tiempo que tardaría un objeto lanzado
verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 10 m/s en experimentar un
desplazamiento nulo

                                    y = Voy t + ½ g t2

                                       Voy = 10 m/s

                                     0 = 10 t - 4,9 t2

                                     t(10 – 4,9t) = 0

                               t1 = 0 (instante en que parte)
                       t2 = 2,04 s (instante en que vuelve al piso)
El tiempo lo podemos calcular también de la siguiente manera:

Si el objeto regresa al mismo punto de partida
(componente vertical del movimiento),
la velocidad en ese punto debe ser la misma
(en magnitud).
                                                          V
Vfinal = Vinicial + g t

-V = V + g t

t = -2V/g

t = - 20/-9,8                                                  -V

t = 2,04 s

Ahora podemos determinar el desplazamiento horizontal del objeto (el mismo
desplazamiento de la camioneta).

                                          x = Vx t

                                   x = 20*2,04 = 40,8 m


     2. Un globo asciende con velocidad constante de 20 m/s. A los cinco segundos de
        su partida se lanza desde el globo un objeto horizontalmente con una velocidad
        de 10 m/s. El tiempo que tardará el objeto en llegar al suelo desde el instante en
        que fue lanzado es

a)   4,5   s.
b)   5,0   s.
c)   6,0   s.
d)   7,0   s.                      Voy = 20 m/s
e)   8,0   s.

Solución:


                                                      Vox = 10 m/s




                            H                                        g
                                                  y

                                                              +
Florencio Pinela C.
Aún cuando el objeto se lanza horizontalmente, observe que este se mueve
verticalmente junto con el globo, es decir, el objeto describirá una trayectoria
parabólica donde los 10 m/s corresponde a Vox y los 20 m/s corresponde a Voy.

Para determinar el tiempo que tarda en llegar al suelo, necesitamos saber desde que
altura fue lanzado. Conociendo la altura, ya podremos calcular el tiempo que tarda el
objeto en experimentar un desplazamiento vertical igual en magnitud a la altura
determinada anteriormente.

Determinación de la altura desde donde fue lanzado el objeto.

                                H = Voy t;     el globo asciende con velocidad constante

                                   H = 20(5) =100 m

Determinación del tiempo que tarda el objeto en llegar al suelo.

Tomemos como sistema de referencia el suelo y consideremos que todas las
cantidades vectoriales que apuntan hacia abajo son positivas.

   Desde que el objeto parte hasta que llega al suelo experimenta un desplazamiento
                                vertical de 100 metros.

                                    y = Voy t + ½ g t2

                                  100 = - 20 t + 4,9 t2

                                 4,9 t2 – 20 t – 100 = 0

                                   20       20 2 4(4,9)( 100)
                          t=
                                             2(4,9)

                                          20    48,58
                                     t=
                                               9,8

                                          t = 7,0 s




Florencio Pinela C.
La figura representa el movimiento parabólico de un proyectil y se
aplica a los problemas 3, 4, 5 y 6.
                                       Vo= 94 m/s


                                 40º



               h
                                                                                     +
                                                  1000 m

     3. Utilizando los datos dados en la figura, la altura h desde donde fue lanzado el proyectil
        es:

a)   75 m
b)   85 m
c)   95 m
d)   106 m
e)   120 m

Solución:

Determinemos el tiempo que tarda el proyectil en llegar al suelo, este tiempo lo
encontramos conociendo el desplazamiento horizontal, y recordando que la
componente horizontal del movimiento parabólico es un movimiento rectilíneo
uniforme.
                                    x = Vox t                          Vo
                                                         Voy
                               Vox = Vo Cos 40

                                          Vox = 72 m/s
                                                                                      Vox
                                          t = 1000/72

                                           t = 13,89 s

Tomemos como sistema de referencia el suelo y consideremos que todas las
cantidades vectoriales que apuntan hacia abajo son positivas.

                                        y = Voy t + ½ g t2

                                       Voy = - Vo Sen40

                                        Voy = - 60,4 m/s
Florencio Pinela C.
y = (-60,4)(13,89) + ½ (9,8)(13,89)2

                                            y = 106,4 m

     4. La altura máxima que alcanza el proyectil medida desde el punto donde fue lanzado es:

a)   186 m
b)   168 m
c)   148 m
d)   136 m
e)   126 m

Solución:

Cuando el objeto alcanza la altura máxima la componente de la velocidad en “y” es
cero (Vy = 0).
Vy2 Voy 2g y
        2
                                                Vy = 0
                                                                              Vox
0 = (-60,4)2 + 2(9,8) y

 y = - 186 m                                        y
                                                          Voy
la altura máxima alcanzada es de 186 m.
                                                                     Vox
     5. La rapidez del proyectil al llegar al suelo es:

a)   104,5 m/s
b)   89,0 m/s
c)   84,5 m/s
d)   76,0 m/s
e)   68,5 m/s

Solución:

Ya conocemos la componente horizontal de la velocidad del proyectil al llegar al suelo
(Vox), recordemos que la componente horizontal del movimiento parabólico es un
movimiento uniforme. Nos queda por determinar la componente vertical de la velocidad
al instante de impactar el suelo (Vy). Una vez conocida esta componente, podemos
utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la velocidad del proyectil al impactar el
suelo.
Vy =Voy + g t

Vy = - 60,4 + (9,8)13,89

Vy = 75,7 m/s
                                                                                  Vox
          2        2
V= V     ox   V   y



V=     722    75,7 2 = 104,5 m/s                                      Vy
                                                                                    V
6. Para el punto de altura máxima, los vectores que representan la velocidad, aceleración y
        peso del objeto son:

        Velocidad          aceleración   peso
a)

b)              0

c)

d)              0                         0

e)                                        0


     7. En un partido de fútbol un jugador cobra un tiro libre. Los gráficos representan los
        movimientos de la pelota. Despreciando la resistencia del aire. La rapidez con que la
        pelota llega al suelo es:

a)   31.2 m/s
                           y(m)                                x(m)
b)   24.0 m/s
c)   25.0 m/s       19.6
                                                          20
d)   22.6 m/s
e)   20.2 m/s

                       0                           t(s)    0                            t(s)
                                         4                                 4

Solución:

Los gráficos representan las diferentes posiciones de la pelota en “y” y en “x” con
respecto al tiempo.

Analicemos el gráfico “y” Vs t. Nos podemos dar cuenta que el balón alcanza una
altura máxima de 19,6 m, y lo logra en 2 segundos.
Al analizar el gráfico “x” Vs t. Nos podemos dar cuenta que el balón experimenta un
alcance horizontal máximo de 20 metros en 4 segundos.
Para este tipo de parábola, la velocidad(magnitud) con que es disparado el balón es la
misma con la que impacta el suelo.

Determinemos la componente en “x”
de la velocidad inicial (Vox)

 x = Vox t

Vox = x/t

Vox = 20/4 = 5m/s


Florencio Pinela C.
Determinemos la componente en “y” de la velocidad inicial (Voy)


                                         y = Voy t   ½ g t2

                                         y = Voy t   ½ g t2
                                                                        -
                                     19,6 = Voy (2) - 4,9(2)2

                                          Voy = 19,6 m/s

                                               2        2
                                        Vo = Vox      Voy

                                         Vo = 20,2 m/s


8. Un cuerpo se lanza describiendo una trayectoria parabólica. Cuando el objeto va
ascendiendo (posición A), los vectores que representan la fuerza resultante sobre el
objeto, velocidad del objeto y la aceleración son:

     Fuerza     Velocidad       Aceleración
a)

b)                                                       A

c)

d)

e)



9. El bloque de la figura parte del reposo desde la posición indicada. Si sobre el bloque de 40 kg
actúa una fuerza resultante F de 100 N (mientras se encuentra sobre la mesa) La distancia
horizontal que avanzará hasta llegar al suelo es

a)   10.00 m. F
b)   8.94 m.
c)   7.14 m.                  10 m
d)   6.32 m.                                                    5m
e)   5.02 m.



Solución:

Para determinar el desplazamiento horizontal que alcanza el bloque, tenemos que
determinar primeramente la velocidad del bloque en el instante que abandona la mesa.
Determinemos la velocidad del bloque en el instante de abandonar la mesa.

  Si sobre el bloque actúa una fuerza resultante de 100 N, entonces su aceleración es:

                                          F=ma

                                          a = F/m

                                  a = 100/40 = 2,5 m/s2

Si el bloque parte del reposo y se desplaza una distancia de 10 metros con una
aceleración de 2,5 m/s2, su velocidad final será:

                                     V2    Vo2    2a x

                             V      0 2(2,5)(10) = 7,07 m/s

Esta es la velocidad horizontal con la que el bloque abandona la mesa. Determinemos
el tiempo que el bloque tarda en llegar al suelo. Recordemos que el tiempo que tarda un
objeto lanzado horizontalmente en llegar al suelo, es independiente del valor de la
velocidad inicial, y solamente depende de la altura desde donde es lanzado, además,
este tiempo es el mismo que tardaría el objeto si fuese dejado caer desde el reposo
desde la misma altura.

                                     y = Voy t + ½ gt2

                                           Voy = 0

                                          y = ½ gt2

                                                 2 y
                                          t=
                                                  g

                                           2(5)
                                    t=          = 1,01 s
                                           9,8

La distancia horizontal que avanzará hasta llegar al suelo es:

                                           x = Vox t

                                  x = 7,07(1,01) = 7,14 m




                                                                       Florencio Pinela C.
10. Con qué ángulo se debe lanzar un proyectil para que impacte horizontalmente en un blanco
situado a 5m de altura sobre una pared localizada a 10 m del punto de lanzamiento. La base de
la pared se encuentra al mismo nivel del punto de lanzamiento.

a)   15º
b)   30º
c)   45º                                                                       Vox
d)   60º
e)   75º
                                      Vo
Solución;
                           Voy
                                                                                       y=5m

                                                                   -
                                           Vox

                                                        x = 10 m




Si el proyectil impacta la pared horizontalmente (Vy = 0), significa que lo hace cuando
alcanzó su altura máxima.

El tiempo que tarda el proyectil en alcanzar su altura máxima es:

                                       Vy = Voy - g t

                                         t = Voy /g

               las ecuaciones en “x” y en “y” para el punto de impacto son:

                                         x = Vox t
                                     y = Voy t – ½ g t2

                 Remplazando t en cada una de estas ecuaciones tenemos:

                                      x = Vox (Voy /g)
                              y = Voy (Voy /g) – ½ g (Voy /g )2

                                      x = Vox Voy /g
                                         2          2
                                       Voy        Voy
                                    y=       ½
                                        g          g

                                             VoxVoy
                                        x=
                                                  g

                                                   2
                                                 Voy
Florencio Pinela C.                        y=
                                                 2g
Dividiendo “y” para “x”, tenemos:

                                      y       5      1 Voy     1
                                                                 tan
                                      x      10      2 Vox     2

                                               tan = 1

                                                    = 45


12. Los gráficos mostrados representan el movimiento de un proyectil en dos
dimensiones. El alcance máximo de este proyectil es

a)   12,2 m.           Vy (m/s)                                    Vx (m/s)
b)   10,2 m.
c)   8,4 m.       20
d)   6,5 m.                                                    3
e)   4,6 m.


                                             t(s)                                 t(s)


Solución:

Observando los gráficos nos podemos dar cuenta que al instante de ser lanzado el
proyectil(t = 0), la componente en “y” de la velocidad inicial (Voy) es igual a 20 m/s, y
la componente en “x” de la velocidad inicial (Vox) es de 3 m/s, y constante durante
toda la trayectoria. Con esta información podemos determinar el alcance máximo del
proyectil.
Suponemos que el proyectil es lanzado y cae desde una superficie horizontal, en
consecuencia el desplazamiento vertical del proyectil es nulo. Consideremos todas las
cantidades vectoriales que apuntan hacia abajo negativas.



                Voy = 20 m/s




                               Vox = 3 m/s


                                          y = Voy t + ½ g t2

                                          0 = Voy t - ½ g t2

Florencio Pinela C.
2Voy
                                        t=
                                              g

                                        t = 4,08 s

con este valor determinamos el alcance horizontal:

                                         x = Vox t

                                  x = 3(4,08) = 12,2 m


13. Un astronauta que está en un planeta extraño descubre que puede saltar una
distancia horizontal máxima de 30 m, si su rapidez inicial es de 10 m/s. La aceleración
de la gravedad en el planeta extraño es

            a)   2.0 m/s2
            b)   3.3 m/s2
            c)    4.8 m/s2
            d)   5.3 m/s2
            e)   6.8 m/s2

Solución:

Si la distancia que puede saltar el astronauta es máxima, significa que el ángulo de
elevación con el que salta es de 45 grados.

Determinemos el tiempo que dura el salto.

                                         x = Vox t

                                  t=     x /Vo Cos 45

                                       t = 4,24 s; (tiempo de subida y bajada)

Con este tiempo podemos determinar la aceleración de la gravedad analizando la
componente vertical del movimiento.
                                         0
                                   Vy = Voy - G t

En esta ecuación “t” representa el tiempo de altura máxima (2,12 s).
                                                                                 _
                                        G = Voy /t

                                   G = Vo Sen45 / t

                                       G = 3,3 m/s2

Florencio Pinela C.
14. El chorro de agua de la manguera en posición horizontal como se indica en la figura,
tiene un alcance de 4.0 m. Cuando el extremo de la manguera se inclina un ángulo de
30º el alcance horizontal del chorro de agua será

a)   4.8   m.
b)   5.4   m.
c)   6.5   m.
d)   7.2   m.
e)   8.0   m.
                     1.5 m



                                         4.0 m

Solución:

Determinemos primeramente con los datos del problema la velocidad del chorro de
agua.
Si el chorro sale horizontalmente, el tiempo que le toma en llegar al suelo es:

                                               2h
                                         t=
                                               g

                                         2(1,5)
                                 t=             = 0,55 s
                                          9,8

Con este tiempo y el desplazamiento horizontal determinemos la velocidad del chorro
de agua:
                                      Vo = x/t

                                Vo = 4/0,55 = 7,27 m/s

Determinemos ahora el alcance horizontal con el chorro a 30 de elevación.


                                   Vo
                    Vo Sen30

                                        Vo Cos30




                y     1,5 m                                                  +



                                                    x
Tomemos el suelo como nuestro sistema de referencia y determinemos el tiempo que
tarda el chorro en alcanzar un desplazamiento vertical de 1,5 m, cuando es lanzado con
una velocidad inicial vertical de -Vo Sen30 .

                                     y = Voy t + ½ g t2

                                   1,5 = -3,64 t + 4,9 t2

                                   4,9 t2 -3,64 t – 1,5 = 0

                                   3,64       3,64 2 4(4,9)( 1,5)
                          t=
                                              2(4,9)

                                            3,64 6,53
                                      t=
                                                9,8

                                           t = 1,04 s

Con este tiempo podemos determinar el desplazamiento horizontal del chorro de agua:

                                           x = Vox t

                                   x = 7,27 Cos 30 (1,04)

                                           x = 6,5 m

15. Desde un avión que vuela a 70 m de altura y que se mueve a una velocidad de 200 km/h se
suelta una bomba. Si el proyectil hace impacto sobre un automóvil que se desplaza a una
velocidad constante de 80 km/h, como se muestra en la figura. La distancia x inicial entre el
avión y el automóvil es:


a) 253 m
b) 230 m
c) 210 m
d) 154 m
e) 126 m




                          X


Solución:

Determinemos el desplazamiento horizontal del auto y del proyectil para poder calcular
la distancia X.

Si el avión vuela horizontalmente, el tiempo que tarda el proyectil en llegar al suelo es:
2h
                                           t
                                                 g

                                           2(70)
                                     t=          = 3,78 s
                                            9,8

              Con este tiempo determinemos el desplazamiento del proyectil.

                                          xp = Vavión (t)

                                 Vavión= 200 km/h = 55,55 m/s

                                           xp = 210 m

                        Calculemos ahora el desplazamiento del auto.

                                           xa = Vauto t

                                  Vauto= 80 km/h = 22,22 m/s

                                           xa = 84 m

                      Por lo tanto la distancia X es de, 210 – 84 = 126 m.




Florencio Pinela C.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE-
                      MOVIMIENTO PARABÓLICO
                      PROBLEMAS PROPUESTOS

     1. La figura muestra la trayectoria de una pelota. En el punto A, de altura máxima,
        seleccione la alternativa correcta:

a)   La rapidez experimenta su menor valor.
b)   La velocidad es cero, pero la aceleración no es cero.
c)   La rapidez es menor que en C, pero mayor que en B.
d)   La rapidez es menor que en B, pero la aceleración es mayor que en B.
e)   En los puntos B y C, la velocidad es perpendicular a la aceleración.
                                          A

                                                            B

                  C




     2. Una esfera A se desliza con una velocidad constante de 15 m/s como se indica en la
        figura. Determine la velocidad inicial y vertical que debería imprimirse a la esfera B
        para impactar con la esfera A, suponiendo que se lanza en el mismo instante en que la
        esfera A abandona la mesa.
                                              A
a)   12 m/s
b)   10.4 m/s
c)   8.7 m/s
d)   3.3 m/s
                                     4m
e)   13.6 m/s                                                               B
                                                          5m

     3. Se dispara un proyectil formando un ángulo con la vertical. Tres características de su
         movimiento subsecuente son
    I.       la componente horizontal de la velocidad
    II.      la componente vertical de la velocidad
    III.     la aceleración
Despreciando la resistencia del aire, ¿qué característica(s) cambia(n) mientras la bala está en el
aire?
a) I solamente
b) II solamente
c) II y III solamente
d) I y II solamente
e) I y III solamente
4. Un basquetbolista lanza verticalmente hacia arriba un balón con una velocidad inicial v,
         al mismo tiempo y con una velocidad inicial dos veces mayor un futbolista patea un
         balón con un ángulo de elevación . Si los dos balones llegan al suelo al mismo
         instante, el ángulo fue

a)   30º
b)   45º
c)   55º
d)   90º
e)   no tiene solución.

5. Un helicóptero se mueve horizontalmente a una altura de 500 m y con velocidad de
50 m/s. Un objeto se lanza horizontalmente desde el helicóptero y perpendicular al
movimiento de él con una velocidad de 20 m/s. La distancia horizontal que avanzará el
objeto al llegar al suelo es

a)   202   m.
b)   505   m.
c)   544   m.
d)   620   m.
e)   707   m.


6. Un objeto se lanza describiendo una trayectoria parabólica como se indica en la figura.
Cuando el objeto pasa por el punto A, el diagrama de fuerzas que actúan sobre el objeto es: (no
considere el rozamiento)

                            A




                 (a)            (b)             (c)             (d)             (e)




7. Un helicóptero vuela horizontalmente con una velocidad de 200 km/h y a 200 m de altura.
Del helicóptero se lanza verticalmente y hacia abajo un objeto con una velocidad de 20 m/s. El
tiempo que tardará el objeto en llegar al suelo es:

a)   6,32 s
b)   6,12 s
c)   5,86 s
d)   5,35 s
e)   4,63 s
8. Un objeto se lanza horizontalmente desde una altura h como se indica en la figura. Si el
objeto experimenta un alcance horizontal de 100 m, la altura h es:
                                             v=30 m/s
a) 36,4 m
b) 48,2 m
c) 54,4 m
d) 64,2 m
e) 72,6 m                  h



                                                  100 m
9. Un proyectil es disparado desde una superficie horizontal con una velocidad inicial de 100
m/s y un ángulo de elevación de 37º. El proyectil golpea una pared ubicada a una distancia d
medida desde el punto de lanzamiento. Si el proyectil impacta la pared horizontalmente, el
valor de d es:

a)   650   m
b)   490   m
c)   430   m
d)   390   m
e)   330   m



10. Un proyectil es disparado con una rapidez (Vo) de 30 m/s y un ángulo de inclinación ( ) de
45º como muestra la figura. ¿Cuánto tiempo tarda el proyectil en llegar al punto A?
                            Vo
a) 7,77 s
b) 6,02 s
c) 5.76 s
d) 3,22 s
e) 2,16 s          50 m


                                                                                 A


11. Un objeto se lanza horizontalmente con una velocidad Vo desde una altura ho
logrando un alcance horizontal xo. Si se cuadruplica la altura, y la velocidad de
lanzamiento se redujera a la mitad, el alcance horizontal sería:

a)   la cuarta parte
b)   la mitad
c)   el mismo
d)   el doble
e)   cuatro veces mayor
12. Un objeto es lanzado desde una superficie horizontal con una velocidad inicial
         de 20i + 30j (m/s). La altura máxima alcanzada por el objeto y el tiempo que
         tarda en volver al suelo son:

a)   45.9 m ;      3.06 s
b)   40.1 m ;      2.01 s
c)   35.6 m ;      4.8 s
d)   30.2 m ;      5.2 s
e)   45.9 m ;      6.1 s


                El siguiente enunciado se aplica a los problemas 13, 14 y 15

Un auto de competencia de alta velocidad parte del reposo y se acelera a razón de 10
m/s2. A los 5 s después de su partida el vehículo se incendia y el piloto es expulsado
automáticamente del vehículo en dirección vertical. El piloto cae al suelo a una
distancia de 200 m del punto de donde partió el vehículo (el piloto no lleva
paracaídas).

     13. Determine la velocidad vertical con que fue expulsado el piloto

a)   2,45 m/s
b)   4,9 m/s
c)   9,8 m/s
d)   7,35 m/s
e)   12,25 m/s

     14. Determine la velocidad con la que el piloto impacta el suelo

a)   95,0   m/s
b)   87,1   m/s
c)   76,3   m/s
d)   60,2   m/s
e)   50,5   m/s

     15. Determine la altura máxima que alcanzó el piloto después de ser expulsado

a.   11,2 m
b.   8,4 m
c.   5,6 m
d.   2,8 m
e.   1,4 m
16. Se lanza un proyectil con un ángulo de elevación de 37º. En el punto más alto de
         su trayectoria tiene una velocidad de 16 m/s. La componente vertical de la
         velocidad inicial es

a)   9,8 m/s
b)   12,0 m/s
c)   14,4 m/s
d)   16,0 m/s
e)   20,0 m/s


     17. En un parque de diversiones, una persona le apunta a un muñeco con un rifle de
         aire. El ángulo de elevación es 30º y el blanco se encuentra a una distancia
         horizontal de 5 m. En el instante que el proyectil sale del cañón del arma con
         una velocidad de 10 m/s, el muñeco cae sin velocidad inicial. El tiempo que
         tarda el proyectil en impactar el blanco es

a)   2,0 s
b)   1,0 s
c)   0,58 s
d)   0,43 s
e)   no le pega al blanco




                                                  5m

18. Si al disparar una pistola dos veces, primero con un ángulo de 1=30º y después con un
ángulo 2, el proyectil obtiene el mismo alcance horizontal. Entonces la relación entre sus
alturas máximas h2 / h1 es:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 2
e) 3

19. Se golpea una bola con un ángulo de elevación de 30º sobre una superficie horizontal. La
bola se mantiene en vuelo durante 4.5 s antes de volver a Tierra. Determine su velocidad
inicial.

a) 44,1 m/s
b) 22.05 m/s
c) 38.97 m/s
d) 34,0 m/s
e) 50,0 m/s
20. Un avión vuela a una altura de 1000 m con una aceleración de 0.5 m/s2. Al pasar
sobre el observador A lleva una velocidad de 150 m/s, en ese preciso instante deja caer
un objeto. La distancia a la que se encuentra el avión medida desde el observador en el
instante en que el objeto dejado caer llega al suelo es

a)   2050      m.
b)   2121      m.
c)   2345      m.
d)   2390      m.
e)   2480      m.



21. Un proyectil es lanzado desde una superficie plana y horizontal con una velocidad de ( 20 i
+ 10 j ) m/s. El alcance horizontal máximo del proyectil es

a)   90   m.
b)   80   m.
c)   70   m.
d)   60   m.
e)   40   m.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME Y CON
      ACELERACIÓN CONSTANTE- ANÁLISIS DE
                  GRÁFICOS
         PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
     1. El gráfico representa el movimiento de dos partículas en línea recta. La relación de VB
        para VA es:                           x (m)
a) 5
                                        150                        A
b) 3
c) 4                                                                                     t (s)
d) 1
e) 2                                                              B
                                        -50



2. El movimiento de una partícula en línea recta se describe por el siguiente gráfico v vs t.
                         v (m/s)
                      10



                                                      t (s)
                             10             T
 ¿Cuál debe ser el valor de T para que la velocidad media de la partícula hasta ese instante sea
de 8 m/s?

a)   12 s
b)   15 s
c)   18 s
d)   20 s
e)   25 s

3. Para el gráfico v-t indicado, la velocidad media entre t=0 hasta el instante en que la
velocidad es igual a cero es


a)   5,03 m/s                        v (m/s)
b)   4.23 m/s
c)   18.33 m/s
d)   5.76 m/s                 10
e)   8,33 m/s
                                                                   20
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                                               10

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Cinematica Nivel Cero Problemas Resueltos Y Propuestos

  • 1. PROBLEMAS RESUELTOS CINEMÁTICA RAPIDEZ MEDIA Y VELOCIDAD MEDIA 1. Una partícula se encuentra en la posición (4, 2, -2) m y en 10 segundos se traslada a la posición (8, 12, 20) m. Su velocidad media es: a) 0.4i + 1.2j - 1.2k (m/s) b) 4i + 10j + 22k " c) 12i + 10j - 22k " d) 1.2i + j - 2.2k " e) 0.4i + j + 2.2k " Solución: Expresemos la posición de la partícula en término de sus coordenadas cartesianas y llamemos por r1 y r2 al vector posición que las identifica. r1 = 4i + 2j – 2k r2 = 8i +12j + 20k  r r2 r1 vm t t  8i 10 j 10k 4i 2 j 2k vm = 10  4i 10 j 22k vm = 0,4i j 2,2k m/s 10 2. La velocidad media y la rapidez media, para un mismo intervalo de tiempo, tienen igual valor cuando: I. La partícula se mueve en línea recta con velocidad constante II. La partícula se mueve en línea recta y regresa a su posición inicial III. El desplazamiento y la longitud de la trayectoria son iguales. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) I y III Solución: La velocidad media y la rapidez media tienen el mismo valor sólo cuando el desplazamiento de la partícula tiene la misma magnitud que la longitud de la trayectoria. Esto ocurre cuando la partícula se mueve en línea recta y en la misma dirección, no necesariamente con velocidad constante. Florencio Pinela C.
  • 2. 3. Una partícula se desplaza desde el punto p1 de coordenadas (3, -2, 1)m, al punto p2 de coordenadas (10, 8, 7)m. Si en el punto p1 la partícula tenía una velocidad de V = 2i + 4j m/s. El ángulo que forma la velocidad en el punto p1 y el desplazamiento de la partícula es: a) 27,4º b) 34,1º c) 56,8º d) 65,2º e) 71,4º Solución: Nos piden el ángulo formado entre el vector velocidad en el punto p1 y el vector desplazamiento entre los puntos p1 y p2. Utilicemos la definición del producto escalar entre el vector velocidad y el vector desplazamiento. Necesitamos conocer el módulo de los dos vectores y expresar el vector desplazamiento en función de sus componentes ortogonales. r = r2 – r1 r2 =10i + 8j + 7k r1 = 3i –2j +k r =(10i + 8j + 7k) – (3i –2j +k) r = 7i +10j + 6k r = 185 , (m) V = 2i + 4j V = 20 , (m/s) r V r V Cos r V Cos rV 14 40 Cos = 185 20 = 27,4 4. Una partícula describe la trayectoria mostrada en la figura, el tramo AB es horizontal y BC un tramo de circunferencia de 10 m de radio. Determine el módulo de la velocidad media de la partícula entre los puntos A y C sabiendo que ésta se mueve con rapidez constante de 8 m/s y tarda 10 s en realizar el recorrido. a) 3.4 m/s C b) 4.4 m/s c) 5.2 m/s d) 6.2 m/s A B e) 8.0 m/s
  • 3. Solución: La velocidad media se define como la relación entre el desplazamiento y el tiempo empleado. El desplazamiento es el vector que parte del punto A y se dirige hasta el punto C. C A B Para calcular el desplazamiento necesitamos conocer la magnitud del tramo AB. Sabemos que la rapidez de la partícula es de 8 m/s, la rapidez representa la relación entre la distancia recorrida y el tiempo empleado, con la rapidez y el tiempo podemos determinar la longitud de la trayectoria, esto es la longitud del tramo AB y la longitud de las ¾ de circunferencia. d AB ¾ * 2 r V= t 10 80 = AB + 15 AB = 32,87 m r = (32,87 + 10)i + 10j r = 42,87 i + 10j r 42,87i 10 j = 4,287 i + j t 10 El módulo de la velocidad media será 4,4 m/s 5. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son falsos? I.- El módulo de la velocidad media no puede ser mayor a la rapidez media. Correcto!! II.- Un cuerpo puede experimentar desplazamiento positivo cuando su velocidad media es negativa. Falso!!. El signo del desplazamiento corresponde al signo de la velocidad media. III.- La velocidad media y la aceleración media vectorialmente tienen la misma dirección. Falso!!!. La dirección de la velocidad media corresponde a la dirección del desplazamiento. La dirección de la aceleración corresponde a la dirección del vector “cambio de velocidad” IV.- Un cuerpo con aceleración positiva experimentará siempre desplazamientos positivos. Falso!!. No necesariamente, los cuerpos pueden desplazarse en dirección contraria a la aceleración. V.- En el movimiento rectilíneo uniformemente variado, la aceleración media es una constante. Correcto!!!. a) II, III, IV b) III, IV, V c) I, II, III, IV d) I, III, IV e) Todas son falsas. Florencio Pinela C.
  • 4. 6. El gráfico de la figura representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si para todo el recorrido la rapidez media y la velocidad media son de 20 m/s y 10 m/s respectivamente. Determine los valores de x y xo x(m) xo(m) x(m) a) 50 -150 b) 50 -100 x c) 200 -150 d) 100 -100 e) 200 -100 0 10 t(s) - xo Solución: Observando el gráfico notamos que la partícula a t=0 parte del punto –xo y se mueve en dirección positiva llegando hasta el punto x, luego regresa (invierte la dirección de movimiento) y se detiene en el origen a los 10 segundos. x -xo 0 x desplazamiento dis tan cia xo x x xo 2 x Rapidez Media = 20 t 10 10 xo + 2x = 200 desplazamiento xo Velocidad Media = 10 t 10 xo = 100 100 + 2x = 200 x = 50 m xo + 2x = 200 xo + 2(50) = 200 xo = 100 m. (-) Florencio Pinela C.
  • 5. 7. Una partícula tarda 5s en ir de la posición a hasta la posición b, como se indica en la figura. El módulo de la velocidad media de la partícula es a) 1.95 m/s z b) 1.75 “ b c) 1.5 “ d) 1.25 “ e) Falta indicar la trayectoria 8m de la partícula. a y 5m x 10m Solución: Encontremos los vectores posición inicial y posición final para luego determinar el vector desplazamiento. z b 8m a y 5m x 10m ra = 2,5i + 5j rb = 10j + 8k Desplazamiento = r = rb - ra r = (10j + 8k) – (2,5i + 5j) r = -2,5i +5j + 8k  Velocidad Media = v m = r / t Velocidad Media = - 0,5 i + j + 1,6k  vm = 0,52 12 1,6 2 = 1,95 m/s Florencio Pinela C.
  • 6. 8. El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si la rapidez media y la velocidad media para todo el recorrido son de 20 m/s y 5 m/s respectivamente, los valores de V1 y V2 son: V1 (m/s) V2(m/s) v (m/s) a) 15.5 12.3 b) 24.6 22.0 V1 c) 21.5 18.5 d) 18.7 22.5 e) 10.5 15.5 t (s) 0 10 15 V2 Solución: En el gráfico velocidad versus tiempo el área bajo la curva representa el desplazamiento. Velocidad positiva desplazamiento positivo, velocidad negativa desplazamiento negativo. Recuerde que la distancia es una cantidad escalar y carece de signo. V Desplazamiento positivo t Desplazamiento negativo El desplazamiento neto será: s = 10 V1 - 5 V2 La distancia total recorrida será: d = 10 V1 + 5 V2 Velocidad media = s / t Rapidez media = d/ t s / t = 5 = (10 V1 - 5 V2)/15 d/ t = 20 = (10 V1 + 5 V2 )/15 Formamos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. 75 = 10 V1 - 5 V2 300 = 10 V1 + 5 V2 Resolviendo este sistema de ecuaciones encontramos: V1 = 18,7 m/s y V2 = 22,5 m/s
  • 7. 9. El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si durante los 10 primeros segundos su velocidad media es cero y su rapidez media 10 m/s. La velocidad inicial de la partícula es V(m/s) a) 15 m/s b) 20 m/s c) 25 m/s d) 30 m/s t(s) e) 35 m/s 0 Solución: V(m/s) Vo 10 t(s) 5 -Vo Si la velocidad media es cero, el desplazamiento positivo (amarillo) y el desplazamiento negativo (azul) deben tener la misma magnitud. Los triángulos deben ser iguales y simétricos. El desplazamiento neto será: s = ½ Vo(5) – ½ Vo(5) = 0 La distancia total recorrida será: d = ½ Vo(5) + ½ Vo(5) d = 5 Vo Rapidez media = d/ t d/ t = 10 = 5Vo/10 Vo = 20 m/s Florencio Pinela C.
  • 8. PROBLEMAS PROPUESTOS CINEMÁTICA RAPIDEZ MEDIA Y VELOCIDAD MEDIA 1. Una partícula se encuentra a t=0 en un punto de coordenadas (-5, 6, 10)m y se mueve con velocidad media de 3i – 2j m/s durante cinco segundos. La posición de la partícula a los cinco segundos es. a) ( 10, -10, 4 )m b) ( 15, 10, -10 )m c) ( 10, -4, 10 )m d) ( 5, 6, 10 )m e) ( 15, -10, 0 )m 2. Un helicóptero parte y sube verticalmente 100 m. De aquí vuela horizontalmente hacia el este 200 m y finalmente vuela horizontalmente hacia el norte 200 m. El desplazamiento del helicóptero fue a) 100 m b) 200 m c) 300 m d) 400 m e) 500 m 3. El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta. Durante los primeros cinco segundos la velocidad media de la partícula fue de 50 m/s. Determine la velocidad media de la partícula hasta el instante en que adquiere la mitad de su velocidad inicial. V(m/s) a) 20.0 m/s b) 30.3 “ 60 c) 44.7 “ d) 47.1 “ e) 50.0 “ vo 5 8 t(s) 3. El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta (el gráfico no se encuentra a escala). Si la velocidad media durante los 10 primeros segundos es cero, el valor de la rapidez media durante este intervalo es: v(m/s) a) 6 m/s b) 10 m/s c) 15 m/s t(s) d) 20 m/s 0 3 10 e) 60 m/s -20 Florencio Pinela C.
  • 9. MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE PROBLEMAS RESUELTOS 1. Una partícula describe una trayectoria no rectilínea, entonces: I. la partícula está acelerada. Correcto!!. Sólo el hecho que la partícula cambie la dirección del vector velocidad, esta estará acelerada. II. si la rapidez es constante su aceleración será cero. Falso!!!.Esto sería cierto si la trayectoria fuera rectilínea y la partícula no invierta la dirección de movimiento. III. si la rapidez es constante su velocidad media lo será también. Falso!!. La rapidez y la velocidad media son iguales en magnitud sólo cuando la partícula se mueve en línea recta. a) I y II son verdaderos b) I y III son verdaderos c) Solo I es verdad d) I, II y III son verdaderos e) I, II y III son falsos 2. Para una partícula moviéndose en línea recta, ¿cuál(es) de (el) los siguientes casos no es posible? a) Desplazamiento negativo con aceleración positiva. b) Rapidez media menor que la velocidad media. c) Rapidez media mayor que la velocidad media d) Desplazamiento nulo con aceleración cero. e) Desplazamiento positivo con aceleración media cero. V a) El gráfico de la derecha muestra un movimiento Con aceleración positiva. El área bajo la curva representa el desplazamiento, en este caso desplaza- miento negativo. Si es posible! t b) La velocidad media iguala en magnitud a la rapidez media solo en el caso en que la partícula se mueva en línea recta y en la misma dirección, por lo tanto la rapidez media es siempre mayor o igual que la velocidad media. No es posible! c) Si es posible!!!. d) No es posible!!. Si la aceleración es cero, la velocidad es constante. Si la velocidad es constante el desplazamiento no puede ser cero. e) Si es posible!!. Si la partícula se mueve en línea recta y su aceleración es cero, significa que su velocidad es constante. Si la velocidad es constante su desplazamiento puede ser positivo o negativo. Florencio Pinela C.
  • 10. 3. Dos partículas se aceleran desde el reposo al mismo instante a razón de 5 m/s2 y 3 m/s2 respectivamente. Si las partículas se encuentran al cabo de 10 segundos. La distancia que estaban separadas al instante de partir fue: a) 50 m b) 100 m c) 125 m d) 150 m e) 200 m Solución: Si las partículas parten del reposo con diferente aceleración, y se encuentran luego de viajar una determinada distancia. Las partículas debieron haber partido de diferente posición , llevando ventaja en distancia (xo) la partícula con menor aceleración. Instante t = 0, en que parten A B 5 m/s2 3 m/s2 x x=0 xo Instante t, en que se encuentran (la posición final de las dos partículas es la misma) x=0 xA = xB Posición final de una partícula. x = xo + Vo t + ½ a t2 Posición final de la partícula A: x = xo + Vo t + ½ a t2 xA = 0 + 0 + ½ 5 (10)2 xA = 250 m Posición final de la partícula B: xB = xo + Vo t + ½ a t2 xB = xo + 0 + ½ 3(10)2 xB = xo + 150 La posición final de las dos partículas es la misma; xA = xB 250 = xo + 150 xo = 100 m Florencio Pinela C.
  • 11. 4. El gráfico representa el movimiento de dos partículas A y B que viajan con aceleraciones aB y aA en línea recta. La relación entre aB y aA es: v (m/s) a) 6 b) 5 25 c) 4 A d) 3 e) 2 20 B 0 t (s) t -5 Solución: En este problema aplicaremos el concepto de que la pendiente de una curva en el plano velocidad versus tiempo representa la aceleración. La pendiente de la curva A es: 25 20 5 aA = t t la pendiente de la curva B es: 25 5 30 aB = t t 30 aB/ aA = t 5 =6 t 5. Los movimientos de dos cuerpos “A” y “B” en línea recta se encuentran representados en la gráfica. El tiempo t que transcurre desde el instante que parten hasta que ambos cuerpos se encuentran en la misma posición es: x (m) A a) 6s b) 5s 10 B c) 4s d) 3s 2 e) 2s t t (s) 1 -2 Solución:
  • 12. Cuidado!!. Fíjese en las coordenadas del gráfico, éste es un plano posición versus tiempo. En este plano la pendiente representa la velocidad, por lo tanto estamos en presencia de un movimiento rectilíneo con velocidad constante. De acuerdo a los datos del gráfico, el cuerpo A al instante t = 0 se encuentra en la posición inicial x = -2m, después de un segundo pasa por el origen y luego de t segundos se encuentra en la posición x = 10m. Con esta información podemos determinar la pendiente de la curva (VA) y el tiempo que tarda en llegar a la posición xA =10m. Posición del cuerpo A al instante t 0 xA = xo + VA t + ½ a t2 xA = xo + VA t la velocidad VA la obtenemos del gráfico (pendiente). VA = 2 m/s 1 xA = xo + VA t 10 = -2 + 2 t -2 t = 6s 6. El gráfico que se muestra representa la variación de la velocidad en el transcurso del tiempo para una partícula que se mueve en línea recta y que se encuentra en el origen al instante t =0. Para el intervalo de tiempo mostrado, la máxima distancia que la partícula se aleja del origen es v(m/s) a) 250 m 20 b) 500 m c) 350 m d) 150 m 0 30 40 t(s) e) 100 m 5 10 20 -20 Solución: Cuidado!!. Fíjese en las coordenadas del gráfico, éste es un plano velocidad versus tiempo. En este plano la pendiente representa la aceleración y el área bajo la curva el desplazamiento. De acuerdo al grafico, la partícula experimenta desplazamiento positivo durante los primeros 20 segundos, y luego regresa (desplazamiento negativo) durante los siguientes 20 segundos. El desplazamiento positivo es: 5*20/2 + 5*20 + 10*20/2 = 250 m
  • 13. El desplazamiento negativo es: 10*20/2 + 10*20/2 = 200 Florencio Pinela C. La partícula se aleja 250 metros y luego regresa 200 metros. Se nos pregunta la máxima distancia que la partícula se aleja del origen, la respuesta es lógica, esta distancia corresponde al desplazamiento positivo. 250 metros 7. Dos vehículos parten del reposo y de la misma posición, los vehículos se aceleran en direcciones contrarias. ¿Cuál de los siguientes gráficos representaría mejor el movimiento de los dos vehículos? x x x (c) (a) (b) t t t x x (d) (e) t t Solución: Cuidado!!. Fíjese en las coordenadas del gráfico, éste es un plano posición versus tiempo. En este plano la pendiente representa la velocidad. Si los vehículos parten del reposo, la pendiente de la curva al instante t = 0 debe ser igual a cero. El único gráfico que cumple esta condición es el e). Ratifiquemos el resultado a partir de la segunda condición, “los vehículos se aceleran en direcciones contrarias”. Acelerarse en direcciones contrarias significa que los vehículos incrementarán su velocidad positivamente el uno y negativamente el otro. El gráfico e) es el único que cumple esta condición. Florencio Pinela C.
  • 14. 9. Dos vehículos parten del reposo y de la misma posición moviéndose en línea recta, el uno se acelera a razón de 2 m/s2 y el otro a 4 m/s2. Si los vehículos se encuentran después de haber viajado 1000 m. ¿Después de cuánto tiempo que salió el primero partió el segundo?. a) 3.15 s b) 9.26 s c) 6.26 s d) 11.30 s e) 10.62 s Solución: En este problema podemos calcular el tiempo que emplearía en recorrer los 1000 metros cada uno de los vehículos. Por supuesto que será mayor el del vehículo que viaja acelerado a 2 m/s2, la diferencia entre estos dos tiempos es el intervalo de tiempo que debería tomar “ventaja” éste vehículo. Tiempo que le toma al vehículo que viaja a 2 m/s2 en recorrer los 1000 metros. 0 x = Vo t + ½ a t2 2 x t1 = a t1 = 31,62 s Tiempo que le toma al vehículo que viaja a 4 m/s2 en recorrer los 1000 metros. x = Vo t + ½ a t2 2 x t2 = a t2 = 22,36 s ¿Después de cuánto tiempo que salió el primero parte el segundo?. Es la diferencia entre estos dos tiempos: 9,26 s 10. Un bloque resbala sobre un plano como se indica en la figura. El bloque al deslizarse: a) su velocidad y aceleración aumentan b) su velocidad aumenta y su aceleración es constante c) su velocidad aumenta y su aceleración disminuye d) su velocidad y aceleración disminuyen e) su velocidad disminuye y su aceleración es constante Florencio Pinela C.
  • 15. 11. La ecuación del movimiento de una partícula en línea recta viene dada por la siguiente expresión x = 4t2 + 2t + 8, donde x está en metros y t en segundos, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de la partícula al cabo de 2 segundos son Desplazamiento (m) Velocidad (m/s) Aceleración (m/s2) a) 32 16 8 b) 32 2 4 c) 28 18 8 d) 20 16 8 e) 20 18 8 Solución: De acuerdo a la expresión de la posición, podemos determinar por comparación los valores de: la posición inicial ( xo), la velocidad inicial (Vo) y la aceleración( a) x = 4t2 + 2t + 8 x = xo + Vo t + ½ a t2 xo = 8 m Vo = 2 m/s a = 8 m/s2 Con esta información determinemos el desplazamiento a los 2s. x = Vo t + ½ a t2 x = 2(2) + ½ (8)(2)2 x = 20 m. Calculemos ahora la velocidad a los 2s. V = Vo + a t V = 2 + 8(2) V = 18 m/s La aceleración a los 2s. El movimiento es con aceleración constante, por lo tanto la aceleración es la misma para cualquier instante de tiempo, a = 8 m/s2 Florencio Pinela C.
  • 16. 12. Un móvil recorre 300 m en 20 segundos con aceleración constante. Si la velocidad al terminar su recorrido es de 20 m/s, la velocidad con la que empezó su movimiento es: a) 0 V b) 5 m/s c) 10 m/s V d) 12 m/s e) 15 m/s solución: Vo t t Una de las ecuaciones útiles para resolver problemas de cinemática es: VoV x= t 2 La que representa el área bajo la curva (trapecio) del plano velocidad versus tiempo, esta ecuación involucra cuatro de los cinco términos utilizados en cinemática, no contempla la aceleración. De acuerdo a la información dada en este problema, es la ecuación ideal. 2 x Vo = V t 2 * 300 Vo = 20 20 Vo = 10 m/s 13. El gráfico representa el movimiento de dos partículas en línea recta. En el instante correspondiente al punto A (intersección de las rectas), de los siguientes enunciados: I. Las partículas tienen la misma velocidad. Falso!!. Este es un gráfico posición versus tiempo. II. Las partículas se encuentran. Correcto!!. En ese instante las partículas tienen la misma posición III. Las partículas experimentaron el mismo desplazamiento. Falso!!. Las partículas se mueven en direcciones contrarias. x (m) a) Solo I es correcto b) Solo II es correcto c) I y II son correctos d) I y III son correctos A e) Todos son correctos t (s) 0 Florencio Pinela C.
  • 17. 14. El gráfico representa el movimiento de dos partículas en línea recta. El instante en que las partículas tienen la misma velocidad es: v (m/s) a) 8,5 s b) 8,0 s 20 c) 7,5 s d) 7,0 s e) 6,5 s t (s) 0 5 10 -10 Solución: Cuidado!!. Fíjese en las coordenadas del gráfico, éste es un plano velocidad versus tiempo. En este plano la pendiente representa la aceleración. Llamemos (1) a la partícula con aceleración positiva y (2) a la partícula con aceleración negativa. Sea t el instante en que las partículas tienen la misma velocidad. V (1) V1 = Vo1 + a1 t V2 = Vo2 + a2 t V1 = -10 + a1 t t V2 = 20 + a2 t t (2) Los valores de la aceleración la determinamos del gráfico a partir de la pendiente. 10 a1 = = 2 m/s2 5 20 a2 = 2 m/s2 10 V1 = V2 -10 + a1 t = 20 + a2 t -10 + 2 t = 20 +(-2) t 4 t = 30 t = 7,5 s Florencio Pinela C.
  • 18. 15. Dos vehículos se mueven en línea recta con velocidad constante y en la misma dirección, con velocidades de 20 m/s y 30 m/s. Si al instante t=0 los vehículos están separados 200 m y si uno de ellos le da alcance al otro. ¿En cuánto tiempo lo logra? a) 20.0 s b) 16.6 s c) 10.6 s d) 6.6 s e) 4.0 s Solución: Si los vehículos se mueven con velocidad constante y diferentes, y además se encuentran separados una cierta distancia. Para que uno de ellos (1) le de alcance al otro (2), el que viaja a mayor velocidad (1) debe encontrarse atrás. Posición inicial t = 0, de los vehículos (2) (1) 30 m/s 20 m/s x =0 200 m Posición de los vehículos al instante t en que le da alcance 30 m/s 20 m/s x =0 x1 = x2 La posición del vehículo (1) al instante t es: 0 x1 = xo + Vo t + ½ a t2 x1 = xo + Vo t x1 = 0 + 30 t La posición del vehículo (2) al instante t es: 0 2 x2 = xo + Vo t + ½ a t x2 = xo + Vo t x2 = 200 + 20 t El instante en que los vehículos se encuentran es: x1 = x2 30 t = 200 + 20 t 10 t = 200 Florencio Pinela C. t = 20 s
  • 19. MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Si la velocidad media de una partícula que se mueve en línea recta es cero, entonces, ¿cuál de las siguientes alternativas es verdadera? a) La velocidad de la partícula, en algún instante, será cero. b) La aceleración de la partícula es positiva en un tramo y negativa en el otro tramo. c) El desplazamiento de la partícula es igual a la distancia total recorrida. d) La velocidad de la partícula es constante. e) La velocidad media de la partícula será cero, solamente si ésta no se mueve. 2. Dos vehículos A y B se mueven con velocidad constante y en la misma dirección; VA= 15 m/s y VB= 20 m/s. Si los vehículos se encuentran separados 100 m.¿ Qué aceleración deberá imprimir el vehículo A para que le de alcance al vehículo B al cabo de 10 segundos? a) 1,0 m/s2 b) 2,0 m/s2 c) 3,0 m/s2 d) 4,0 m/s2 e) 5,0 m/s2 3. Dos partículas A y B se encuentran en las posiciones indicadas en la figura a t =0. Si las partículas se mueven con velocidades de 20 m/s y 10 m/s respectivamente. ¿Cuál es la distancia total recorrida por las partículas al instante de encontrarse? A B -200 0 100 x(m) a) 400 m. b) 500 m. c) 700 m. d) 900 m. e) 1200 m. 4. Para el problema 3, si en la posición indicada la partícula A se acelera a razón de 2m/s2, mientras B continúa con velocidad constante.¿ Qué distancia se habrá desplazado A en el instante que le da alcance a B. a) 260 m. b) 290 m. c) 340 m. d) 392 m. e) 430 m.
  • 20. 5. Un auto se mueve con velocidad constante de 20 m/s acercándose a una intersección donde existe un semáforo. En el instante en que el vehículo se encuentra a 80m de la intersección, el semáforo cambia a rojo. El conductor reacciona y aplica los frenos dos segundos después de ver la luz roja, deteniéndose 4 segundos después. El auto se detendrá a) 20 m antes del semáforo b) 20 m después del semáforo c) 40 m antes del semáforo d) 40 m después del semáforo e) exactamente bajo el semáforo 6. Dos partículas parten al mismo instante desde el origen de un sistema de coordenadas. La una parte en dirección vertical con rapidez constante de 4 m/s. La otra parte desde el reposo y se mueve en dirección perpendicular a la anterior con una aceleración de 8 m/s2 durante los primeros 4s, para luego continuar moviéndose con velocidad constante. Desde el instante en que partieron, al cabo de cuánto tiempo las partículas estarán separadas 0.15 km. a) 2.2 s. b) 3.3 s. c) 4.4 s. d) 5.5 s. e) 6.6 s. 7. La gráfica x-t representa el movimiento de dos partículas en línea recta. A los cinco segundos las partículas están separadas 5 metros. ¿ Cuál es la velocidad de la partícula 2, si la velocidad de la partícula 1 es 1 m/s.? . x (m) a) 1 m/s b) 2 m/s c) 3 m/s 1 d) 4 m/s 20 e) 5 m/s 2 5 t (s) 0 5 8. El gráfico de la figura representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si a los nueve segundos la partícula se encuentra en la posición x = 20m. la posición de la partícula a t=0 es v(m/s) a) -45 m 20 b) -25 m c) -20 m d) -10 m 6 9 t(s) e) 0 o
  • 21. 9. Un automóvil viaja con una rapidez inicial v se para en un intervalo de tiempo t. Si la desaceleración durante este intervalo t es constante ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta para dicho intervalo? a) La distancia recorrida es vt/2 b) La rapidez media es vt c) La aceleración es -v/2t d) La distancia recorrida es vt2/2 e) La velocidad media es vt/2 10. Un cuerpo con aceleración constante tiene una velocidad de 8 m/s al instante t = 5s y una velocidad de 26 m/s para el instante t = 8s, la aceleración y la velocidad media de la partícula para el intervalo de tiempo indicado fueron Aceleración media Velocidad media a) 6 m/s2 17 m/s b) 6 " 11,3 " c) 9 " 17 " d) 9 " 11,3 " e) 12 " 17 " 11. Una partícula parte del origen de coordenadas y se desplaza hacia un punto P con velocidad media 20 i m/s en 10 segundos, a continuación experimenta un desplazamiento de (25 i + 30 j) m durante un tiempo de 5 segundos hasta un punto Q. La velocidad media de la partícula durante los 15 segundos fue a) 200 i m/s b) 250 i + 300 j " c) 45 i + 30 j " d) 5 i + 30 j " e) 15 i + 2 j " 12. En relación a la definición de aceleración ¿ cuál de las siguientes alternativas es FALSA? a) Si un cuerpo moviéndose en línea recta con velocidad constante, cambia la dirección de su movimiento, el cuerpo experimentará aceleración. b) Un cuerpo con velocidad negativa puede tener aceleración positiva. c) El vector aceleración siempre se encuentra en la dirección de movimiento de un cuerpo. d) Un cuerpo con aceleración positiva puede tener desplazamiento nulo. e) Un cuerpo con aceleración negativa puede tener desplazamiento nulo.
  • 22. 13. Una partícula describe una trayectoria circular de 50 cm de radio, moviéndose con rapidez constante de 200 m/s . El módulo de la aceleración media entre los puntos a y b es a) 509 m/s2 b) 1018 “ c) 2036 “ d) 25464 “ a b e) 50929 “ 14. Un automovilista viaja a 20 m/s cuando observa que un semáforo situado a 150 m delante de él cambia a rojo. El semáforo está en rojo durante 10 segundos. Si desea cruzar el semáforo en el instante en que cambia a verde sin detenerse, calcular la desaceleración uniforme que requiere el automóvil y la velocidad del automóvil cuando pase el semáforo. a) -1 m/s2, 5 m/s b) -1 m/s2, 10 m/s c) -1 m/s2, 10 m/s d) -2 m/s2, 0 e) -2 m/s2, 10 m/s a) 150 m 15. Una partícula parte del reposo con una aceleración de 2 m/s2. La distancia recorrida por la partícula en el intervalo de tiempo comprendido entre t = 2s y t = 3s es. a) 3 m b) 4 m c) 5 m d) 9 m e) 13 m 16. La función de posición de una partícula es: x(t) = 16 t2 - 4 t. La velocidad media de la partícula para el intervalo comprendido entre t = 1s y t = 2s, es a) 12 m/s b) 34 m/s c) 44 m/s d) 56 m/s e) 68 m/s
  • 23. 17. La ecuación de un determinado movimiento viene dado por la siguiente expresión x= 4t2 + 2t + 8 (S.I.), calcúlese la distancia al origen, la velocidad y la aceleración al cabo de 2 segundos. Distancia (m) Velocidad (m/s) Aceleración (m/s2) a) 32 16 8 b) 32 2 4 c) 8 18 8 d) 8 2 8 e) 32 18 8 18. Dos partículas se encuentran en reposo y en la misma posición. Si a t=0 se aceleran en direcciones contrarias encontrándose separadas 150 m al cabo de 5 s. Determine la magnitud de su aceleración sabiendo que uno de ellos se acelera el doble que la otra. a) 2 m/s2 4 m/s2 b) 3 m/s2 6 m/s2 c) 4 m/s2 8 m/s2 d) 5 m/s2 10 m/s2 e) 6 m/s2 12 m/s2 19. Dos vehículos viajan en la misma dirección en una carretera plana y horizontal, en un instante, al que llamaremos t = 0 uno de los vehículos que se mueve con velocidad constante de 100 Km/h se encuentra a 1 Km de la meta. El otro vehículo viene detrás a una distancia de 500 m y con velocidad constante de 90 Km./h. ¿ Qué aceleración debería imprimir este vehículo para que de alcance al primero al momento de llegar a la meta’. a) 0.93 m/s2 b) 1.2 “ c) 1.8 “ d) 2.2 “ e) 3.5 “ 20. Un carro parte del punto A desde el reposo con una aceleración de 2 m/s2. En ese mismo instante un segundo carro pasa por el punto B con velocidad constante de 10 m/s. Si después de 20 segundos la distancia de separación entre los carros es de 100 m, la distancia entre los puntos (A,B) en que ellos parten es: a) 100 m b) 200 m c) 300 m d) 400 m e) 500 m A B
  • 24. 21. Un automóvil parte del reposo y se acelera uniformemente a 10 m/s2 para pasar dos semáforos consecutivos que se encuentran separados 200 m. Si el vehículo tarda 4s en pasar los dos semáforos, determine la distancia a la que se encuentra el primer semáforo del punto de partida. a) 80 m b) 45 m c) 35 m d) 20 m e) 18 m 22. La posición de una partícula en el tiempo está dada por: x =10 + 8t – t2, en donde t esta en segundos y x en metros. ¿Qué distancia recorre la partícula durante los primeros 6 segundos de su movimiento? a) 12 m b) 20 m c) 22 m d) 26 m e) 30 m 23. Para el problema anterior, la velocidad media en el mismo intervalo de tiempo fue: a) 2.0 m/s b) 3.3 m/s c) 3.7 m/s d) 4.0 m/s e) –3.7 m/s 24. Una partícula parte del reposo y realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Durante los primeros 15 segundos tiene una velocidad media de 20 m/s. La velocidad de la partícula a los 10 segundos fue a) 15.4 m/s b) 20.0 m/s c) 26.7 m/s d) 32.6 m/s e) 40.0 m/s 25. Dos vehículos A y B viajan en direcciones contrarias con velocidades de 80 Km/h y 120 Km/h respectivamente. Si al instante t=0 cuando los vehículos se encuentran separados una distancia de 1 Km, el vehículo B frena deteniéndose al cabo de 15 segundos. ¿Cuál es la distancia que separa los vehículos en el instante en que B se detiene? El vehículo A mantiene su velocidad a) 500 m b) 450 m c) 417 m d) 407 m e) 397 m
  • 25. MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE- CAÍDA LIBRE PROBLEMAS RESUELTOS 1. Una piedra se suelta desde la terraza de un edificio de 80 m de altura. Dos segundos después se lanza una segunda piedra desde la misma posición ¿Con qué velocidad inicial se debería lanzar la segunda piedra, para que dé alcance a la primera justo en el instante en que ésta llega al suelo? a) 38,2 m/s b) 35,8 m/s c) 33,6 m/s d) 32,1 m/s e) 29,2 m/s Solución: Si llamamos t1 al tiempo que tarda el objeto que se suelta en llegar al suelo, el objeto que se lanza deberá tardar dos segundos menos en llegar al suelo para darle alcance y por supuesto, debe ser lanzado con una determinada velocidad. Determinemos el tiempo que tarda el objeto que se suelta en llegar al suelo. Escojamos nuestro sistema de referencia de tal forma que todas las cantidades Voy =0 vectoriales que apuntan hacia abajo sean positivas. y = Voy t + ½ g t2 Si el objeto se suelta, Voy = 0 y = ½ g t2 80 m g y = +80 m + 2 y + t g 2 * 80 t 9,8 t = 4,04 s Por lo tanto, el objeto que se lanza deberá recorrer los 80 metros en 2,04 segundos. Determinemos la velocidad inicial con la que deberíamos lanzarlo. Florencio Pinela C.
  • 26. y = Voy t + ½ g t2 80 = Voy (2,04) + ½ (9,8)(2,04)2 Voy (2,04) Voy = 59,6 y Voy = 29,2 m/s 2. Un cohete se acelera desde el reposo a razón de 5 m/s2. Al cabo de 10 segundos se le termina el combustible. La altura máxima a la que llegará el cohete es a) 250,0 m b) 377,5 m c) 397,0 m d) 405,5 m e) 425,5 m Solución: Desde que el cohete parte hasta que alcanza su altura máxima, el cohete experimenta dos movimientos diferentes. El primero en el que lleva una aceleración hacia arriba de 5 m/s2 durante 10 segundos (instante en que se le termina el combustible), y el segundo en el que lleva una aceleración hacia abajo de 9,8 m/s2 hasta que llega a su altura máxima. Es importante anotar que en el instante en que se termina el combustible, el cohete sigue ascendiendo, ya que en ese instante tenía una determinada velocidad (V) (velocidad a los 10 segundos), luego por acción de la gravedad, esta velocidad disminuye continuamente hasta hacerse cero, cuando llega a la altura máxima. V Determinemos el desplazamiento y1 y la velocidad del cohete a los 10 segundos. + y1 = Vo t + ½ a t2 y1 = ½ a t2 y1 = ½(5)(10)2 y1 =250 m a =5 m/s2 y1 V = Vo + a t V = 0 + 5(10) V = 50 m/s Vo=0 Florencio Pinela C.
  • 27. Determinemos ahora el desplazamiento del cohete desde el instante en que se Vfinal=0 + acaba el combustible (inicial) hasta el instante en que alcanza la altura máxima (final) y2 . Calculemos primero el tiempo que tarda en llegar a la altura máxima Vfinal = Vinicial +g t g= - 9,8 m/s 2 0 = 50 + (-9,8) t y2 t = 5,1 s Vinicial =50m/s y2 = Vinicial t + ½ g t2 y2 = 50(5,1) + ½(-9,8)(5,1)2 y2 = 127,6 m La altura máxima a la que llegará el cohete es y1 + y2 = 377,6 m 3. El gráfico representa el movimiento de un objeto lanzado verticalmente y hacia arriba desde la terraza de un edificio de altura h. El valor de h es: a) 76.8 m v (m/s) b) 56.4 m c) 50.6 m 20 d) 40.8 m e) 20.4 m 6 t (s) 0 Solución: Suponemos que el objeto es lanzado desde la terraza y tarda 6 segundos en llegar al piso del edificio. Recuerde que el área bajo una curva en el plano velocidad versus tiempo representa el desplazamiento. El área positiva (superior) representa el desplazamiento del objeto desde la terraza del edificio hasta alcanzar la altura máxima. El área negativa (inferior) representa el desplazamiento del objeto desde la altura máxima hasta llegar al piso. Lo que significa que la diferencia entre estos desplazamientos (áreas) sería la altura del edificio. Recuerde además que la pendiente de esta curva representa la aceleración (-9,8 m/s2). Conociendo este valor podemos determinar, usando el gráfico, el tiempo que tarda el objeto en llegar a la altura máxima(t) y la velocidad con que impacta el piso (-V).
  • 28. V Desplazamiento positivo ( y1) 20 Desplazamiento negativo ( y2) t t 6 -V Determinación del valor de t. La pendiente de la recta es el valor de la gravedad 20 9,8 t t = 2,04 s Determinación de V, la velocidad de impacto con el piso. La pendiente de la recta es el valor de la gravedad V 9,8 6 t V = 9,8(6-2,04) V = 38,8 m/s Con estos valores podemos calcular las áreas de los triángulos (desplazamientos) Determinación de y1 y1 = t(20/2) y1 y1 = 2,04(20/2) y1 = 20,4 m y2 Determinación de y2 y2 = (6-t)(38,8/2) y2 = 3,96(38,8/2) y2 = 76,8 m La altura del edificio es: 56,4 m
  • 29. 4. El gráfico representa el movimiento de un cohete lanzado verticalmente con aceleración a. Después de 10 segundos de haber partido se apagan los motores. La aceleración del cohete mientras los motores estuvieron prendidos es: a) 7.2 m/s2 v (m/s) b) 6.2 m/s2 c) 4.9 m/s2 d) 2.5 m/s2 e) El gráfico no es correcto t (s) 0 15 Solución: Recuerde que en un gráfico velocidad versus tiempo, la pendiente representa la aceleración y el área bajo la curva el desplazamiento. La pendiente del primer tramo (entre 0 y 10 segundos) es positiva y representa la aceleración del cohete mientras los motores están prendidos. La pendiente del segundo tramo (entre 10 y 15 segundos) es negativa y representa la aceleración de la gravedad desde el instante en que se apagan los motores. A partir del gráfico podemos determinar la aceleración del cohete mientras los motores están prendidos, si llegáramos a determinar la velocidad en el instante en que se apagan los motores. La velocidad en el instante en que se apagan los motores la podemos determinar, conociendo que la pendiente de la recta entre los 10 y 15 segundos es la aceleración de la gravedad. v (m/s) V t (s) 0 10 15 La pendiente de la recta entre los 10 y 15 segundos es la aceleración de la gravedad: V 9,8 m/s2 5 V = 49 m/s Con este valor de velocidad vamos a determinar la pendiente de la recta entre t=0 y 10 segundos, pendiente que representa la aceleración del cohete. a = V/10 = 4,9 m/s2 Florencio Pinela C.
  • 30. 5. Un objeto se lanza desde la terraza de un edificio de 50 m de altura con una velocidad de 40 m/s y hacia arriba. Determine el tiempo que tardará el objeto en pasar por un punto ubicado a 20 m por debajo del punto de partida. a) 8.6 s. + b) 8.9 s. c) 9.6 s. d) 10.2 s. -g e) 10.8 s. +Vo Solución: y = -20 m desplazamiento Si el objeto es lanzado desde la terraza (posición inicial), y pasa por un punto ubicado 20 metros más abajo después de un tiempo t, significa que el objeto ha experimentado un desplazamiento de 20 m ( ó – 20 m), dependiendo del sistema de referencia. Si tomamos nuestro sistema de referencia considerando como positiva todas las cantidades vectoriales que apuntan hacia arriba, tenemos: El tiempo que tarda el objeto en adquirir un desplazamiento de –20 m y = Vo t + ½ a t2 -20 = 40 t + ½ (- 9,8) t2 -20 = 40 t – 4,9 t2 Tenemos que resolver la siguiente ecuación de segundo grado. 4,9 t2 – 40t – 20 = 0 ( 40) 40 2 4(4,9)( 20) t= 2(4,9) 40 44 ,63 t= 9,8 t = 8,6 s Florencio Pinela C.
  • 31. 6. Un astronauta en cierto planeta lanza una esfera verticalmente hacia arriba con una velocidad de 72 km./h y encuentra que regresa a su punto de partida en 7 segundos. El valor de la aceleración de la gravedad en este planeta es a) 1,2 m/s2 b) 2,8 m/s2 c) 5,7 m/s2 d) 9,5 m/s2 e) No se puede determinar Solución: Posición final Vo(-) Posición inicial Si la esfera es lanzada hacia arriba y vuelve al mismo punto, significa que ha experimentado un desplazamiento nulo durante los 7 segundos que la esfera permanece en movimiento. Consideremos nuestro sistema de referencia hacia abajo positivo 72 km/h = 20 m/s y = Vo t + ½ a t2 0 = -20(7) + ½ a(7)2 a = 5,71 m/s2 7. Un cuerpo se lanza verticalmente y hacia arriba, pasa dos veces por un mismo punto ubicado a 8.6 m desde el suelo en un intervalo de tiempo de 3 segundos. La velocidad inicial del cuerpo es: a) 30 m/s b) 25 m/s c) 20 m/s d) 14 m/s e) 10 m/s Solución: Si un objeto se lanza verticalmente hacia arriba pasa por un punto y al volver pasa nuevamente por el mismo punto, la magnitud de la velocidad del objeto en ese punto es la misma cuando sube y cuando baja, además el desplazamiento es nulo. - V Si el objeto tarda 3 segundos en pasar por el mismo punto. -V Vfinal = Vinicial + g t y=8,6 m Vo - V = V + (-9,8)3 2 V = 29,4 V = 14,7 m/s
  • 32. Con este valor de velocidad podemos determinar la velocidad con la que fue lanzado el objeto. V2 = Vo2 + 2g y Vo2 = V2 - 2g y Vo2 = (14,7)2 – 2(-9,8)8,6 Vo2 = 197,96 Vo = 14 m/s 8. Desde un globo que está ascendiendo a una velocidad de 50 m/s se suelta un cuerpo para que caiga libremente. Si tarda 20 segundos en llegar al suelo, la altura a la que estaba el globo en el instante de soltar el cuerpo es: a) 960 m b) 1260 m c) 1660 m d) 1960 m e) 2960 m Vglobo=50 m/s Solución: Vinicial g + y Desde el instante y posición en que el objeto se suelta, hasta el instante y posición en que toca el suelo (20 segundos), la magnitud de este desplazamiento ( y) representa la altura a la que se encontraba el globo en el momento de soltarse el objeto. Cuidado!!!. Aunque el cuerpo se suelta, recuerde que éste se encuentra en movimiento junto con el globo, es decir, que en el momento de soltarlo, el objeto se movía hacia arriba con una velocidad de 50 m/s (con respecto al suelo) Vglobo = Vinicial del objeto Consideremos nuestro sistema de referencia de tal forma que todas las cantidades vectoriales que apunten hacia abajo sean positivas. y = Vo t + ½ g t2 Florencio Pinela C.
  • 33. y = -50(20) + ½ (9,8)(20)2 y = 960 m 9. Desde la terraza de un edificio de 50 m de altura se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto con una velocidad de 20 m/s. Al mismo instante y desde la calle se lanza otro objeto en forma vertical con una velocidad de 30 m/s . Los objetos se encontraran al cabo de a) 2 s b) 3 s Vo1= 20 m/s c) 4 s d) 5 s e) 6 s solución: y = y 1 = y2 50 m Vo2=30m/s Si los objetos se encuentran, significa que en ese instante tendrán la misma posición, independiente del sistema de referencia. Tomemos el piso como nuestro sistema de referencia, y consideremos que todas las cantidades vectoriales que apuntan hacia arriba son positivas. Llamemos “ y” a la posición en que los objetos se encuentran, la que será la misma tanto para el objeto (1) como para el objeto (2), esto es y1 = y2. y = yo + Vo t + ½ g t2 y1 = yo1 + Vo1 t + ½ g t2 y2 = yo2 + Vo2 t + ½ g t2 yo1 = Posición inicial del objeto (1) yo2 = Posición inicial del objeto (2) y1 = 50 + 20 t + ½ (-9,8) t2 y2 = 0 + 30 t + ½ (-9,8) t2 Para el instante en que se encuentran; y1 = y2 50 + 20 t – 4,9 t2 = 30 t – 4,9 t2 10 t = 50 t=5s
  • 34. MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE- CAIDA LIBRE PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Un cohete impulsado por turbinas se acelera constantemente desde el reposo y en dirección vertical a razón de 10 m/s2. A los 10 segundos después de su partida, las turbinas se apagan repentinamente. Determine la altura máxima a la que llega el cohete a) 490 m b) 510 m c) 620 m d) 1010 m e) 1110 m 2. Determine el tiempo que tarda el cohete en volver al suelo a) 20 s b) 24,5 s c) 34,5 s d) 40,4 s e) 44,5 s 3. Desde lo alto de un edificio de 75 m de altura se lanza verticalmente hacia arriba una esfera con una velocidad inicial de 10 m/s. La velocidad inicial con que debe lanzarse verticalmente hacia abajo otra esfera desde un edificio de 150 m de altura para que lleguen juntos al suelo si se lanzan al mismo tiempo es: a) 35 m/s b) 25 m/s c) 15 m/s d) 5 m/s e) no puede determinarse 4. Un cuerpo se suelta desde una altura H, se observa que los últimos 10 m los recorre en 1 segundo. Entonces la altura H es: a) 25.8 m b) 19.6 m c) 17.2 m d) 14.5 m e) 11.3 m 5. Dos cuerpos de masas m y M, (M > m) se dejan caer desde el reposo y desde diferentes alturas en caída libre. ¿Cuál de las siguientes alternativas es correcta? a) El cuerpo de masa M experimentará un mayor incremento en su velocidad para iguales intervalos de tiempo. b) El cuerpo de masa m experimentará un mayor incremento en su velocidad para iguales intervalos de tiempo. c) El bloque de masa M experimentará mayor fuerza gravitacional y por tanto mayor aceleración. d) El incremento de velocidad para iguales intervalos de tiempo es el mismo para los dos cuerpos. e) Los dos cuerpos terminarán adquiriendo la misma velocidad.
  • 35. 6. Desde el mismo punto y a una altura h sobre el suelo se lanzan verticalmente dos cuerpos simultáneamente con velocidades +Vo y –Vo. Entonces, ¿cuál de las siguientes alternativas es falsa? a) Ambos cuerpos llegan al suelo con la misma velocidad. b) El cuerpo que se lanza hacia abajo llega antes que aquel que se lanza hacia arriba. c) Los cuerpos llegan al suelo a intervalo de (2 Vo/g) segundos. d) El desplazamiento de ambos cuerpos es el mismo. e) El cuerpo que es lanzado hacia abajo llega con mayor rapidez que el otro. 10. Dos objetos idénticos A y B caen desde el reposo desde alturas diferentes hasta llegar a tierra. Si B tarda dos veces más que A para llegar a tierra, ¿cuál es la relación de las alturas desde las que cayeron A y B? Despréciese la resistencia del aire. a) 1: 2 b) 1:2 c) 1:4 d) 1:8 e) 1 : 16 8. Un fuego artificial explosivo se dispara desde el suelo verticalmente hacia arriba y estalla a su máxima altura directamente por encima de la cabeza de la persona que oye la explosión 1,5 segundos después de verla. La velocidad del sonido es 340 m/s. La velocidad de lanzamiento del explosivo era a) 66 m/s b) 70 m/s c) 80 m/s d) 90 m/s e) 100 m/s 9.Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el nivel de la calle con una rapidez de 20 m/s y es atrapada por una persona desde una ventana que se encuentra a 12 m de altura. Si la pelota es atrapada cuando va de bajada, el tiempo que la pelota estuvo en el aire fue a) 0,73 s b) 0,95 s c) 2,24 s d) 3,35 s e) 3,90 s
  • 36. 10. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. Determine el desplazamiento del objeto durante el último segundo de su recorrido ascendente antes de llegar a su altura máxima. a) 2,2 m b) 2,8 m c) 3,6 m d) 4,9 m e) 9,8 m 11. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde la terraza de un edificio de altura h con una velocidad de 20 m/s. Si el objeto tarda 5 segundos en llegar a la planta baja del edificio, el valor de h es: a) 122,5 m b) 100,0 m c) 77,5 m d) 55,0 m e) 22,5 m 12. Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba. ¿Con qué velocidad debería ser lanzado para que regrese a su punto de partida al cabo de 6 s?. a) 20 m/s b) 25 m/s c) 30 m/s d) 35 m/s e) 40 m/s 13. Se lanza verticalmente una pelota alcanzando una altura máxima de 80 m, Dos segundos después de haber sido lanzada la primera una segunda pelota es lanzada en la misma dirección, de la misma posición y con la misma velocidad inicial. La distancia a la que se cruzan las pelotas desde el punto de partida es a) 80 m. b) 75 m. c) 60 m. d) 45 m. e) 25 m. 14. Un muchacho se encuentra en una ventana a 10 m del suelo y deja caer un objeto. Otro muchacho ubicado en el suelo lanza al mismo instante otro objeto con una velocidad de 10 m/s. La altura sobre el piso a la que se cruzan los objetos es: a) 3,1 m b) 3,5 m c) 1.87 m d) 6,1 m e) 5,1 m
  • 37. 15. El gráfico representa el movimiento de un objeto lanzado verticalmente y hacia arriba desde la terraza de un edificio. La altura del edificio es: a) 20 m v (m/s) b) 40 m 20 c) 60 m d) 80 m t (s) e) 160 m 0 -60 16. Un objeto se suelta desde lo alto de un edificio de 60 m de altura, al mismo instante se lanza desde el suelo verticalmente y hacia arriba un segundo objeto. Se desea que los objetos se encuentren a la mitad del edificio, la velocidad del segundo objeto es a) 24.5 m/s b) b) 22.3 m/s c) c) 20.2 m/s d) d) 18.5 m/s e) e) 16.4 m/s
  • 38. MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE- MOVIMIENTO PARABÓLICO PROBLEMAS RESUELTOS 1. Desde una camioneta que se mueve con velocidad constante de 20 m/s sobre una superficie horizontal, se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto con una velocidad de 10 m/s. El desplazamiento horizontal que experimentará el objeto hasta llegar al suelo es (desprecie el rozamiento del aire) a) 10,2 m b) 20,4 m c) 30,6 m d) 40,8 m e) 51,0 m Solución: 10 m/s - 20 m/s Si el objeto se lanza verticalmente hacia arriba, el desplazamiento horizontal del objeto será el mismo que experimentará la camioneta moviéndose con velocidad constante. Ya que al ir el objeto junto a la camioneta, la componente horizontal de la velocidad inicial del objeto es igual a la velocidad de la camioneta. Determinemos el tiempo que tarda el objeto en regresar al suelo. El tiempo que tarda en volver al suelo, es el tiempo que tardaría un objeto lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 10 m/s en experimentar un desplazamiento nulo y = Voy t + ½ g t2 Voy = 10 m/s 0 = 10 t - 4,9 t2 t(10 – 4,9t) = 0 t1 = 0 (instante en que parte) t2 = 2,04 s (instante en que vuelve al piso)
  • 39. El tiempo lo podemos calcular también de la siguiente manera: Si el objeto regresa al mismo punto de partida (componente vertical del movimiento), la velocidad en ese punto debe ser la misma (en magnitud). V Vfinal = Vinicial + g t -V = V + g t t = -2V/g t = - 20/-9,8 -V t = 2,04 s Ahora podemos determinar el desplazamiento horizontal del objeto (el mismo desplazamiento de la camioneta). x = Vx t x = 20*2,04 = 40,8 m 2. Un globo asciende con velocidad constante de 20 m/s. A los cinco segundos de su partida se lanza desde el globo un objeto horizontalmente con una velocidad de 10 m/s. El tiempo que tardará el objeto en llegar al suelo desde el instante en que fue lanzado es a) 4,5 s. b) 5,0 s. c) 6,0 s. d) 7,0 s. Voy = 20 m/s e) 8,0 s. Solución: Vox = 10 m/s H g y + Florencio Pinela C.
  • 40. Aún cuando el objeto se lanza horizontalmente, observe que este se mueve verticalmente junto con el globo, es decir, el objeto describirá una trayectoria parabólica donde los 10 m/s corresponde a Vox y los 20 m/s corresponde a Voy. Para determinar el tiempo que tarda en llegar al suelo, necesitamos saber desde que altura fue lanzado. Conociendo la altura, ya podremos calcular el tiempo que tarda el objeto en experimentar un desplazamiento vertical igual en magnitud a la altura determinada anteriormente. Determinación de la altura desde donde fue lanzado el objeto. H = Voy t; el globo asciende con velocidad constante H = 20(5) =100 m Determinación del tiempo que tarda el objeto en llegar al suelo. Tomemos como sistema de referencia el suelo y consideremos que todas las cantidades vectoriales que apuntan hacia abajo son positivas. Desde que el objeto parte hasta que llega al suelo experimenta un desplazamiento vertical de 100 metros. y = Voy t + ½ g t2 100 = - 20 t + 4,9 t2 4,9 t2 – 20 t – 100 = 0 20 20 2 4(4,9)( 100) t= 2(4,9) 20 48,58 t= 9,8 t = 7,0 s Florencio Pinela C.
  • 41. La figura representa el movimiento parabólico de un proyectil y se aplica a los problemas 3, 4, 5 y 6. Vo= 94 m/s 40º h + 1000 m 3. Utilizando los datos dados en la figura, la altura h desde donde fue lanzado el proyectil es: a) 75 m b) 85 m c) 95 m d) 106 m e) 120 m Solución: Determinemos el tiempo que tarda el proyectil en llegar al suelo, este tiempo lo encontramos conociendo el desplazamiento horizontal, y recordando que la componente horizontal del movimiento parabólico es un movimiento rectilíneo uniforme. x = Vox t Vo Voy Vox = Vo Cos 40 Vox = 72 m/s Vox t = 1000/72 t = 13,89 s Tomemos como sistema de referencia el suelo y consideremos que todas las cantidades vectoriales que apuntan hacia abajo son positivas. y = Voy t + ½ g t2 Voy = - Vo Sen40 Voy = - 60,4 m/s Florencio Pinela C.
  • 42. y = (-60,4)(13,89) + ½ (9,8)(13,89)2 y = 106,4 m 4. La altura máxima que alcanza el proyectil medida desde el punto donde fue lanzado es: a) 186 m b) 168 m c) 148 m d) 136 m e) 126 m Solución: Cuando el objeto alcanza la altura máxima la componente de la velocidad en “y” es cero (Vy = 0). Vy2 Voy 2g y 2 Vy = 0 Vox 0 = (-60,4)2 + 2(9,8) y y = - 186 m y Voy la altura máxima alcanzada es de 186 m. Vox 5. La rapidez del proyectil al llegar al suelo es: a) 104,5 m/s b) 89,0 m/s c) 84,5 m/s d) 76,0 m/s e) 68,5 m/s Solución: Ya conocemos la componente horizontal de la velocidad del proyectil al llegar al suelo (Vox), recordemos que la componente horizontal del movimiento parabólico es un movimiento uniforme. Nos queda por determinar la componente vertical de la velocidad al instante de impactar el suelo (Vy). Una vez conocida esta componente, podemos utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la velocidad del proyectil al impactar el suelo. Vy =Voy + g t Vy = - 60,4 + (9,8)13,89 Vy = 75,7 m/s Vox 2 2 V= V ox V y V= 722 75,7 2 = 104,5 m/s Vy V
  • 43. 6. Para el punto de altura máxima, los vectores que representan la velocidad, aceleración y peso del objeto son: Velocidad aceleración peso a) b) 0 c) d) 0 0 e) 0 7. En un partido de fútbol un jugador cobra un tiro libre. Los gráficos representan los movimientos de la pelota. Despreciando la resistencia del aire. La rapidez con que la pelota llega al suelo es: a) 31.2 m/s y(m) x(m) b) 24.0 m/s c) 25.0 m/s 19.6 20 d) 22.6 m/s e) 20.2 m/s 0 t(s) 0 t(s) 4 4 Solución: Los gráficos representan las diferentes posiciones de la pelota en “y” y en “x” con respecto al tiempo. Analicemos el gráfico “y” Vs t. Nos podemos dar cuenta que el balón alcanza una altura máxima de 19,6 m, y lo logra en 2 segundos. Al analizar el gráfico “x” Vs t. Nos podemos dar cuenta que el balón experimenta un alcance horizontal máximo de 20 metros en 4 segundos. Para este tipo de parábola, la velocidad(magnitud) con que es disparado el balón es la misma con la que impacta el suelo. Determinemos la componente en “x” de la velocidad inicial (Vox) x = Vox t Vox = x/t Vox = 20/4 = 5m/s Florencio Pinela C.
  • 44. Determinemos la componente en “y” de la velocidad inicial (Voy) y = Voy t ½ g t2 y = Voy t ½ g t2 - 19,6 = Voy (2) - 4,9(2)2 Voy = 19,6 m/s 2 2 Vo = Vox Voy Vo = 20,2 m/s 8. Un cuerpo se lanza describiendo una trayectoria parabólica. Cuando el objeto va ascendiendo (posición A), los vectores que representan la fuerza resultante sobre el objeto, velocidad del objeto y la aceleración son: Fuerza Velocidad Aceleración a) b) A c) d) e) 9. El bloque de la figura parte del reposo desde la posición indicada. Si sobre el bloque de 40 kg actúa una fuerza resultante F de 100 N (mientras se encuentra sobre la mesa) La distancia horizontal que avanzará hasta llegar al suelo es a) 10.00 m. F b) 8.94 m. c) 7.14 m. 10 m d) 6.32 m. 5m e) 5.02 m. Solución: Para determinar el desplazamiento horizontal que alcanza el bloque, tenemos que determinar primeramente la velocidad del bloque en el instante que abandona la mesa.
  • 45. Determinemos la velocidad del bloque en el instante de abandonar la mesa. Si sobre el bloque actúa una fuerza resultante de 100 N, entonces su aceleración es: F=ma a = F/m a = 100/40 = 2,5 m/s2 Si el bloque parte del reposo y se desplaza una distancia de 10 metros con una aceleración de 2,5 m/s2, su velocidad final será: V2 Vo2 2a x V 0 2(2,5)(10) = 7,07 m/s Esta es la velocidad horizontal con la que el bloque abandona la mesa. Determinemos el tiempo que el bloque tarda en llegar al suelo. Recordemos que el tiempo que tarda un objeto lanzado horizontalmente en llegar al suelo, es independiente del valor de la velocidad inicial, y solamente depende de la altura desde donde es lanzado, además, este tiempo es el mismo que tardaría el objeto si fuese dejado caer desde el reposo desde la misma altura. y = Voy t + ½ gt2 Voy = 0 y = ½ gt2 2 y t= g 2(5) t= = 1,01 s 9,8 La distancia horizontal que avanzará hasta llegar al suelo es: x = Vox t x = 7,07(1,01) = 7,14 m Florencio Pinela C.
  • 46. 10. Con qué ángulo se debe lanzar un proyectil para que impacte horizontalmente en un blanco situado a 5m de altura sobre una pared localizada a 10 m del punto de lanzamiento. La base de la pared se encuentra al mismo nivel del punto de lanzamiento. a) 15º b) 30º c) 45º Vox d) 60º e) 75º Vo Solución; Voy y=5m - Vox x = 10 m Si el proyectil impacta la pared horizontalmente (Vy = 0), significa que lo hace cuando alcanzó su altura máxima. El tiempo que tarda el proyectil en alcanzar su altura máxima es: Vy = Voy - g t t = Voy /g las ecuaciones en “x” y en “y” para el punto de impacto son: x = Vox t y = Voy t – ½ g t2 Remplazando t en cada una de estas ecuaciones tenemos: x = Vox (Voy /g) y = Voy (Voy /g) – ½ g (Voy /g )2 x = Vox Voy /g 2 2 Voy Voy y= ½ g g VoxVoy x= g 2 Voy Florencio Pinela C. y= 2g
  • 47. Dividiendo “y” para “x”, tenemos: y 5 1 Voy 1 tan x 10 2 Vox 2 tan = 1 = 45 12. Los gráficos mostrados representan el movimiento de un proyectil en dos dimensiones. El alcance máximo de este proyectil es a) 12,2 m. Vy (m/s) Vx (m/s) b) 10,2 m. c) 8,4 m. 20 d) 6,5 m. 3 e) 4,6 m. t(s) t(s) Solución: Observando los gráficos nos podemos dar cuenta que al instante de ser lanzado el proyectil(t = 0), la componente en “y” de la velocidad inicial (Voy) es igual a 20 m/s, y la componente en “x” de la velocidad inicial (Vox) es de 3 m/s, y constante durante toda la trayectoria. Con esta información podemos determinar el alcance máximo del proyectil. Suponemos que el proyectil es lanzado y cae desde una superficie horizontal, en consecuencia el desplazamiento vertical del proyectil es nulo. Consideremos todas las cantidades vectoriales que apuntan hacia abajo negativas. Voy = 20 m/s Vox = 3 m/s y = Voy t + ½ g t2 0 = Voy t - ½ g t2 Florencio Pinela C.
  • 48. 2Voy t= g t = 4,08 s con este valor determinamos el alcance horizontal: x = Vox t x = 3(4,08) = 12,2 m 13. Un astronauta que está en un planeta extraño descubre que puede saltar una distancia horizontal máxima de 30 m, si su rapidez inicial es de 10 m/s. La aceleración de la gravedad en el planeta extraño es a) 2.0 m/s2 b) 3.3 m/s2 c) 4.8 m/s2 d) 5.3 m/s2 e) 6.8 m/s2 Solución: Si la distancia que puede saltar el astronauta es máxima, significa que el ángulo de elevación con el que salta es de 45 grados. Determinemos el tiempo que dura el salto. x = Vox t t= x /Vo Cos 45 t = 4,24 s; (tiempo de subida y bajada) Con este tiempo podemos determinar la aceleración de la gravedad analizando la componente vertical del movimiento. 0 Vy = Voy - G t En esta ecuación “t” representa el tiempo de altura máxima (2,12 s). _ G = Voy /t G = Vo Sen45 / t G = 3,3 m/s2 Florencio Pinela C.
  • 49. 14. El chorro de agua de la manguera en posición horizontal como se indica en la figura, tiene un alcance de 4.0 m. Cuando el extremo de la manguera se inclina un ángulo de 30º el alcance horizontal del chorro de agua será a) 4.8 m. b) 5.4 m. c) 6.5 m. d) 7.2 m. e) 8.0 m. 1.5 m 4.0 m Solución: Determinemos primeramente con los datos del problema la velocidad del chorro de agua. Si el chorro sale horizontalmente, el tiempo que le toma en llegar al suelo es: 2h t= g 2(1,5) t= = 0,55 s 9,8 Con este tiempo y el desplazamiento horizontal determinemos la velocidad del chorro de agua: Vo = x/t Vo = 4/0,55 = 7,27 m/s Determinemos ahora el alcance horizontal con el chorro a 30 de elevación. Vo Vo Sen30 Vo Cos30 y 1,5 m + x
  • 50. Tomemos el suelo como nuestro sistema de referencia y determinemos el tiempo que tarda el chorro en alcanzar un desplazamiento vertical de 1,5 m, cuando es lanzado con una velocidad inicial vertical de -Vo Sen30 . y = Voy t + ½ g t2 1,5 = -3,64 t + 4,9 t2 4,9 t2 -3,64 t – 1,5 = 0 3,64 3,64 2 4(4,9)( 1,5) t= 2(4,9) 3,64 6,53 t= 9,8 t = 1,04 s Con este tiempo podemos determinar el desplazamiento horizontal del chorro de agua: x = Vox t x = 7,27 Cos 30 (1,04) x = 6,5 m 15. Desde un avión que vuela a 70 m de altura y que se mueve a una velocidad de 200 km/h se suelta una bomba. Si el proyectil hace impacto sobre un automóvil que se desplaza a una velocidad constante de 80 km/h, como se muestra en la figura. La distancia x inicial entre el avión y el automóvil es: a) 253 m b) 230 m c) 210 m d) 154 m e) 126 m X Solución: Determinemos el desplazamiento horizontal del auto y del proyectil para poder calcular la distancia X. Si el avión vuela horizontalmente, el tiempo que tarda el proyectil en llegar al suelo es:
  • 51. 2h t g 2(70) t= = 3,78 s 9,8 Con este tiempo determinemos el desplazamiento del proyectil. xp = Vavión (t) Vavión= 200 km/h = 55,55 m/s xp = 210 m Calculemos ahora el desplazamiento del auto. xa = Vauto t Vauto= 80 km/h = 22,22 m/s xa = 84 m Por lo tanto la distancia X es de, 210 – 84 = 126 m. Florencio Pinela C.
  • 52. MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE- MOVIMIENTO PARABÓLICO PROBLEMAS PROPUESTOS 1. La figura muestra la trayectoria de una pelota. En el punto A, de altura máxima, seleccione la alternativa correcta: a) La rapidez experimenta su menor valor. b) La velocidad es cero, pero la aceleración no es cero. c) La rapidez es menor que en C, pero mayor que en B. d) La rapidez es menor que en B, pero la aceleración es mayor que en B. e) En los puntos B y C, la velocidad es perpendicular a la aceleración. A B C 2. Una esfera A se desliza con una velocidad constante de 15 m/s como se indica en la figura. Determine la velocidad inicial y vertical que debería imprimirse a la esfera B para impactar con la esfera A, suponiendo que se lanza en el mismo instante en que la esfera A abandona la mesa. A a) 12 m/s b) 10.4 m/s c) 8.7 m/s d) 3.3 m/s 4m e) 13.6 m/s B 5m 3. Se dispara un proyectil formando un ángulo con la vertical. Tres características de su movimiento subsecuente son I. la componente horizontal de la velocidad II. la componente vertical de la velocidad III. la aceleración Despreciando la resistencia del aire, ¿qué característica(s) cambia(n) mientras la bala está en el aire? a) I solamente b) II solamente c) II y III solamente d) I y II solamente e) I y III solamente
  • 53. 4. Un basquetbolista lanza verticalmente hacia arriba un balón con una velocidad inicial v, al mismo tiempo y con una velocidad inicial dos veces mayor un futbolista patea un balón con un ángulo de elevación . Si los dos balones llegan al suelo al mismo instante, el ángulo fue a) 30º b) 45º c) 55º d) 90º e) no tiene solución. 5. Un helicóptero se mueve horizontalmente a una altura de 500 m y con velocidad de 50 m/s. Un objeto se lanza horizontalmente desde el helicóptero y perpendicular al movimiento de él con una velocidad de 20 m/s. La distancia horizontal que avanzará el objeto al llegar al suelo es a) 202 m. b) 505 m. c) 544 m. d) 620 m. e) 707 m. 6. Un objeto se lanza describiendo una trayectoria parabólica como se indica en la figura. Cuando el objeto pasa por el punto A, el diagrama de fuerzas que actúan sobre el objeto es: (no considere el rozamiento) A (a) (b) (c) (d) (e) 7. Un helicóptero vuela horizontalmente con una velocidad de 200 km/h y a 200 m de altura. Del helicóptero se lanza verticalmente y hacia abajo un objeto con una velocidad de 20 m/s. El tiempo que tardará el objeto en llegar al suelo es: a) 6,32 s b) 6,12 s c) 5,86 s d) 5,35 s e) 4,63 s
  • 54. 8. Un objeto se lanza horizontalmente desde una altura h como se indica en la figura. Si el objeto experimenta un alcance horizontal de 100 m, la altura h es: v=30 m/s a) 36,4 m b) 48,2 m c) 54,4 m d) 64,2 m e) 72,6 m h 100 m 9. Un proyectil es disparado desde una superficie horizontal con una velocidad inicial de 100 m/s y un ángulo de elevación de 37º. El proyectil golpea una pared ubicada a una distancia d medida desde el punto de lanzamiento. Si el proyectil impacta la pared horizontalmente, el valor de d es: a) 650 m b) 490 m c) 430 m d) 390 m e) 330 m 10. Un proyectil es disparado con una rapidez (Vo) de 30 m/s y un ángulo de inclinación ( ) de 45º como muestra la figura. ¿Cuánto tiempo tarda el proyectil en llegar al punto A? Vo a) 7,77 s b) 6,02 s c) 5.76 s d) 3,22 s e) 2,16 s 50 m A 11. Un objeto se lanza horizontalmente con una velocidad Vo desde una altura ho logrando un alcance horizontal xo. Si se cuadruplica la altura, y la velocidad de lanzamiento se redujera a la mitad, el alcance horizontal sería: a) la cuarta parte b) la mitad c) el mismo d) el doble e) cuatro veces mayor
  • 55. 12. Un objeto es lanzado desde una superficie horizontal con una velocidad inicial de 20i + 30j (m/s). La altura máxima alcanzada por el objeto y el tiempo que tarda en volver al suelo son: a) 45.9 m ; 3.06 s b) 40.1 m ; 2.01 s c) 35.6 m ; 4.8 s d) 30.2 m ; 5.2 s e) 45.9 m ; 6.1 s El siguiente enunciado se aplica a los problemas 13, 14 y 15 Un auto de competencia de alta velocidad parte del reposo y se acelera a razón de 10 m/s2. A los 5 s después de su partida el vehículo se incendia y el piloto es expulsado automáticamente del vehículo en dirección vertical. El piloto cae al suelo a una distancia de 200 m del punto de donde partió el vehículo (el piloto no lleva paracaídas). 13. Determine la velocidad vertical con que fue expulsado el piloto a) 2,45 m/s b) 4,9 m/s c) 9,8 m/s d) 7,35 m/s e) 12,25 m/s 14. Determine la velocidad con la que el piloto impacta el suelo a) 95,0 m/s b) 87,1 m/s c) 76,3 m/s d) 60,2 m/s e) 50,5 m/s 15. Determine la altura máxima que alcanzó el piloto después de ser expulsado a. 11,2 m b. 8,4 m c. 5,6 m d. 2,8 m e. 1,4 m
  • 56. 16. Se lanza un proyectil con un ángulo de elevación de 37º. En el punto más alto de su trayectoria tiene una velocidad de 16 m/s. La componente vertical de la velocidad inicial es a) 9,8 m/s b) 12,0 m/s c) 14,4 m/s d) 16,0 m/s e) 20,0 m/s 17. En un parque de diversiones, una persona le apunta a un muñeco con un rifle de aire. El ángulo de elevación es 30º y el blanco se encuentra a una distancia horizontal de 5 m. En el instante que el proyectil sale del cañón del arma con una velocidad de 10 m/s, el muñeco cae sin velocidad inicial. El tiempo que tarda el proyectil en impactar el blanco es a) 2,0 s b) 1,0 s c) 0,58 s d) 0,43 s e) no le pega al blanco 5m 18. Si al disparar una pistola dos veces, primero con un ángulo de 1=30º y después con un ángulo 2, el proyectil obtiene el mismo alcance horizontal. Entonces la relación entre sus alturas máximas h2 / h1 es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) 3 19. Se golpea una bola con un ángulo de elevación de 30º sobre una superficie horizontal. La bola se mantiene en vuelo durante 4.5 s antes de volver a Tierra. Determine su velocidad inicial. a) 44,1 m/s b) 22.05 m/s c) 38.97 m/s d) 34,0 m/s e) 50,0 m/s
  • 57. 20. Un avión vuela a una altura de 1000 m con una aceleración de 0.5 m/s2. Al pasar sobre el observador A lleva una velocidad de 150 m/s, en ese preciso instante deja caer un objeto. La distancia a la que se encuentra el avión medida desde el observador en el instante en que el objeto dejado caer llega al suelo es a) 2050 m. b) 2121 m. c) 2345 m. d) 2390 m. e) 2480 m. 21. Un proyectil es lanzado desde una superficie plana y horizontal con una velocidad de ( 20 i + 10 j ) m/s. El alcance horizontal máximo del proyectil es a) 90 m. b) 80 m. c) 70 m. d) 60 m. e) 40 m.
  • 58. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME Y CON ACELERACIÓN CONSTANTE- ANÁLISIS DE GRÁFICOS PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 1. El gráfico representa el movimiento de dos partículas en línea recta. La relación de VB para VA es: x (m) a) 5 150 A b) 3 c) 4 t (s) d) 1 e) 2 B -50 2. El movimiento de una partícula en línea recta se describe por el siguiente gráfico v vs t. v (m/s) 10 t (s) 10 T ¿Cuál debe ser el valor de T para que la velocidad media de la partícula hasta ese instante sea de 8 m/s? a) 12 s b) 15 s c) 18 s d) 20 s e) 25 s 3. Para el gráfico v-t indicado, la velocidad media entre t=0 hasta el instante en que la velocidad es igual a cero es a) 5,03 m/s v (m/s) b) 4.23 m/s c) 18.33 m/s d) 5.76 m/s 10 e) 8,33 m/s 20 t (s) 10 -10