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Ayudantia7 (derivadas)

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Ayudantia7 (derivadas)

  1. 1. ´ Pontificia Universidad Catolica de Chile Facultad de Matema ´ticas ´ Departamento de Matematica Primer Semestre de 2010 ´ Calculo I - MAT1610 Secciones 1 y 2 Ayudant´ 7 ıa DerivadasProblema 1. Sean f y g tales que f (a) = g(a) y f ′ (a) = g′ (a). Considere h tal que ∀x ∈ (a − δ, a + δ)con δ > 0 se tiene que f (x) ≤ h(x) ≤ g(x).Demuestre que h es derivable en a con h′ (a) = f ′ (a) = g′ (a).Problema 2. Sean f, g : R → R derivables tales que f (0) = 0, g(0) = 1 y adem´s, a f ′ (x) = g(x) ; g′ (x) = f (x).Demuestre que h(x) = (f (x))2 − (g(x))2 es constante y determine su valor.Problema 3. Dada la funci´n o (x − a)2 x≤3 f (x) = , b − (x − 5)2 x>3determine los valores de a, b ∈ R de modo que f sea continua y derivable en R.Problema 4. Derive alegremente: i) cos2 2x2 + 2x + 1 √ ii) exp (arctan x)) iii) xxProblema 5. Sea f una funci´n tal que f (x+y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R. Adem´s, f (x) = 1 + xg(x) o acon l´ g(x) = 1. Demuestre que f ′ (x) = f (x). ım x→0Problema 6. Considere la funci´n f definida como o 1 g(x) sin x x=0 f (x) = , f (x) = 0 x=0con g(0) = g′ (0) = 0. Determine si existe f ′ (0) y calc´lela. uProblema 7. Determinar un valor de k ∈ R de modo que los gr´ficos de las funciones af (x) = kx3 y g(x) = ln x se intersequen en un punto donde las rectas tangentes a ambos gr´ficos acoincidan.jnfaunde@uc.cl - milopez@uc.cl 1
  2. 2. ´ Pontificia Universidad Catolica de Chile Facultad de Matema ´ticas ´ Departamento de Matematica Primer Semestre de 2010 ´ Calculo I - MAT1610 Secciones 1 y 2 Ayudant´ 7 ıa SolucionesProblema 1. Notemos que f (a) ≤ h(a) ≤ g(a),pero f (a) = g(a) ⇒ h(a) = f (a) = g(a). Sea x tal que x ∈ (a, a + δ), entonces f (x) − f (a) h(x) − h(a) g(x) − g(a) ≤ ≤ . x−a x−a x−a ımite cuando x → a+ se tiene queLuego, tomando l´ f (x) − f (a) h(x) − h(a) g(x) − g(a) l´ ım ≤ l´ ım ≤ l´ ım . x→a+ x−a x→a + x−a x→a + x−a →f ′ (a) →g ′ (a)Si x → a− el resultado es an´logo. As´ usando el Teorema del Sandwich, concluimos que a ı,h′ (a) = f ′ (a) = g ′ (a).Problema 2. Derivando, h′ (x) = 2f (x)f ′ (x) − 2g(x)g′ (x).Pero f (x) = g′ (x) y f ′ (x) = g(x), entonces h′ (x) = 0. Luego, h es una funci´n constante y para ocalcular su valor podemos evaluar en alg´n punto de su dominio. Finalmente, u h(x) ≡ h(0) = (f (0))2 − (g(0))2 = −1.Problema 3. Claremente f es continua en R − {3} por ser operaci´n y composici´n bien o odefinida de continuas. Luego, para que f sea continua estudiamos l´ f (x). ım x→3Es claro que, por como est´ definida f , se tiene que a l´ f (x) = f (3) = (3 − a)2 . ım x→3−En cambio, l´ f (x) = l´ b − (x − 5)2 = b − (3 − 5)2 = b − 4. ım ım x→3+ x→3+As´ para la continuidad necesitamos que ı, (3 − a)2 = b − 4. (1)Por otro lado, para que f sea derivable necesitamos que f (x) − f (3) l´ ım x→3 x−3jnfaunde@uc.cl - milopez@uc.cl 2
  3. 3. ´ Pontificia Universidad Catolica de Chile Facultad de Matema ´ticas ´ Departamento de Matematica Primer Semestre de 2010 ´ Calculo I - MAT1610 Secciones 1 y 2exista. Cuando x → 3+ se tiene que f (x) − f (3) b − (x − 5)2 − (3 − a)2 l´ ım = l´ ım . x→3+ x−3 x→3+ x−3Usando la condici´n (1), se tiene que o f (x) − f (3) b − (x − 5)2 − (b − 4) −x2 + 10 − 21 −(x − 3)(x − 7)l´ ım = l´ ım = l´ ım = l´ ım = 4.x→3+ x−3 x→3 + x−3 x→3 + x−3 x→3 + x−3Cuando x → 3− se tiene que f (x) − f (3) (x − a)2 − (3 − a)2 ′ l´ ım = l´ ım = (x − a)2 = 2(x − a)|x=3+ = 2(3 − a).x→3− x−3 x→3+ x−3 x=3+Finalmente, para que el l´ ımite exista es necesario que 2(3 − a) = 4 ⇒ a = 1.Reemplazando en (1) se tiene que (3 − 1)2 = b − 4 ⇒ b = 8.Problema 4. Para calcular estas derivadas, recordar la regla de la cadena f ◦g(x)′ = f ′ (g(x))g′ (x).As´ ı, i) Derivando, ′ ′ cos2 (2x2 + 2x + 1) = 2 cos 2x2 + 2x + 1 · cos 2x2 + 2x + 1 ′ = 2 cos 2x2 + 2x + 1 · − sin 2x2 + 2x + 1 · 2x2 + 2x + 1 = −2 cos 2x2 + 2x + 1 sin 2x2 + 2x + 1 (4x + 2) . ii) Derivando, √ √ √ arctan( x) ′ √ arctan( x) √ ′ earctan( x) √ ′ earctan( x) e =e · arctan x = √ 2 · x = √ . x +1 2 x (x + 1) iii) Notamos que xx = exp (ln (xx )) = exp (x ln x) = ex ln x . As´ ı, ′ (xx )′ = ex ln x = ex ln x (x ln x)′ = xx (x)′ ln x + x (ln x)′ = xx (1 + ln x) .jnfaunde@uc.cl - milopez@uc.cl 3
  4. 4. ´ Pontificia Universidad Catolica de Chile Facultad de Matema ´ticas ´ Departamento de Matematica Primer Semestre de 2010 ´ Calculo I - MAT1610 Secciones 1 y 2Problema 5. Por la definici´n de derivada, o f (x + h) − f (x) f (x)f (h) − f (x) f ′ (x) = l´ ım = l´ ım h→0 h h→0 h f (h) − 1 hg(h) + 1 − 1 = f (x) l´ ım = f (x) l´ ım h→0 h h→0 h = f (x) l´ g(h) = f (x). ım h→0Que es lo que se quer´ probar. ıaProblema 6. Notemos que f (h) − f (0) g(h) sin(1/h) f ′ (0) = l´ ım = l´ ım . h→0 h h→0 hAhora, g(h) g(h) − g(0) l´ ım = l´ ım = g′ (0) = 0. h→0 h h→0 hLuego, g(h) sin(1/h) f ′ (0) = l´ ım = 0, h→0 hpues sin(1/h) est´ acotado. aProblema 7. Las rectas tangentes a f, g, en x = c est´n dadas por a y = f ′ (c)x + n1 ; y = g′ (c)x + n2 ,respectivamente, con n1 , n2 constantes por determinar. Para que ambas rectas coincidan senecesita que sus pendientes sean iguales, es decir que 1 f ′ (c) = g′ (c) ⇒ 3kc2 = ⇒ 3kc3 = 1. (2) cPor otro lado, para que las gr´ficas se intersequen en x = c es necesario que a f (c) = g(c) ⇒ kc3 = ln c. (3)Reemplazando (2) en (3) se obtiene 1 1 = ln c ⇒ c = e 3 (4) 3Finalmente, reemplazando (4) en (2) tenemos que 1 k= . 3ejnfaunde@uc.cl - milopez@uc.cl 4

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